PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - NGUYỄN PHÚ KHÁNH

October 13, 2017 | Tác giả: Dạy Kèm Quy Nhơn Official | Danh mục: N/A
Share Nhúng


Mô tả ngắn

Download PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM - NGUYỄN PHÚ...

Mô tả đầy đủ

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ph ú k h á n h

NH ƠN

NdJYỀ n

.Q UY

#

HƯ NG

ĐẠ O

TP

1

TR

ẦN

PHẨN DỊG VÀ PHƯƠNG PHẤP GíẢI

i

l

T

Í

P2

l

C

H

1

2

CẤ

G

+3

10

00

B

;ÁC CHUYÊN ĐỀ

-L

Í-



A

- BIÊN soi t h e o CHƯONG t r ìn h mớ i - LUYỆN Tl c á c Kỳ t h i QUÔC GIA

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

O r Ậ P 1: KHẢO SÁT HÀM số VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ' ;THƯ VỈỆN BÌNH ĐỊNH

ịP H Ò N G M Ư Ợ N ịw /f r o ■

KHẤ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Quốc GIA HÀ NỘI

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

m b XURT BẢN ĐỘI HỌCỌVổtm Hồ ỉ 16 Hàng Chuối - Hai Ba Trưnạ Hà /Vệ Di 'sn thoai: Biên táp-ChấJ&^-&£ftZj4'€>:

.Q UY

Hành chinh: (04v>39714899LXỌQSLbị-ệ D 1(0439714897

HƯ NG

nhiệm xuất bản PHỪNG QUỐcỊq

Tổní' biên tập:

PHẠM THỊ TRẢ

Biên tập:

B

TR

ẦN

Gìáĩ.x đốc: .

00

Chiu

ĐẠ O

TP

rax: (Q4> 3 9 7 1 4 8 9 9 1

10

NGỌC LÂM v ọ THỊ THỪA

A

CẤ

P2

+3

Trình bày bìa:

NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

SÁH LIÊN KẾT

NG

TO ÁN

-L

Í-



Đổi tá: liên kết xuất bản:

BỒ

ID

ƯỠ

PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIÃI CẤC CHUYỀN ĐỂ GIẢI TÍCH12 - TẬP 1 Mã số: 1L -106Đ H 2012 In 2 .0 0 0 cuốn, khổ 17 X 24cm tại Công ti c ổ phẩn Văn hóa Văn Lang. Số xuất bản: 3 7 7 -2 0 1 2/CXB/04-58/DHQGHN, ngày 30/3/2012. Quyết định xuất bản số: 1 Ị OLK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN. In xong và nộp lưu chiểu quỷ II nãm 2012.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

cắ kù Các em học sinh thân mên!

Trong chương trinh môn toán ỉớp 12, nội dung kiên thức chiếm một tỉ trọnơ

.Q UY

rất ỉớn trong đề thi. Để giúp các em học sinh nắm được các phẩn kiến thức trọng

TP

tâm, các dạng toán từ cơ bản đêh nâng cao. Tác giả biên soạn bộ sách tham khảo

ĐẠ O

Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đềỉớp 12 gồm Hình học 12 " 1 tập " và Giải tích 12" 2 iập

HƯ NG

Bộ sách này được biên soạn theo nội dưng chuẩn kiến thức, kĩ năng. Trong sách được trình bày từng vân để, tương ứng từng chưortg, bài gãn giống sồch giảo khoa và cấu trúc đề thị của Bộ giáo dục và Đào tạo để bạn đọc tiộn tham khảo. Mỗi

TR

Tóm tắt các kiến thức lí thuyết cơ bản.

ẦN

vâh để sẽ có:

00

B

Lời giảĩ^chi tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.

10

Các bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chi tiết hoặc đáp số.

+3

Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách những phần ỉý thuyết nặng nể và ít sử

P2

dụng. Mỗi ví dụ, lờì giải lại có nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người

CẤ

đọc tâm đắc và sẽ có tư duy sáng tạo riêng của mình khi gặp những câu hỏi khó,

A

bài toán khó lạ khác.



Phân hoạt động được tác giả biên soạn rất công phu và tập hợp nhiều dạng

Í-

toán hay, mới mẻ. Giúp ngưòi học không chỉ có thể thử sức những bài toán rèn

-L

luyện tư duy, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tưởng chừng

TO ÁN

không thể nào giải nổi. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải được dựa trên nến tảng kiên thức và kĩ năng cơ bản. Tác giả hi vọng, khi gặp một đề thi khó, lạ

NG

người học sẽ không còn rigại ngùng trong việc đưa ra lòi giải cho mỗi bài toán.

ƯỠ

Cuo'i mỗi bài học là phần bài tập tự ỉuyện, đa sô' là những bài toán đã xụât

ID

hiện trong kì thi Đại học và kì thi học sinh giỏi. Cuổh sách là sự kê' thừa những

BỒ

hiểu biết chuyên môn và kính nghiệm của chính tác giả trong quá trình trực tiếp đứng lớp bổi đưỡng.Tác giả hi vọng, người học cẩn phài nắm kĩ kiến thức căn bản trước khi tham gia bài tập tự luyện.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Với " sáng tác độc đáo và đẩy tư duv ngẫu hứng" này, tác giả tin tưởng các

NH ƠN

em học sinh sẽ- vững tin bước vào kỳ thi Đại học sắp tới. Sinh viên sư phạm và Thầy cô sẽ có thêm nhiểu đề tài để tham khảo.

.Q UY

PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12

TP

"chia thành hai tập:

ĐẠ O

Tập ĩ: ỨNG DỰNG ĐẠO HẬM ĐẾ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

HƯ NG

Tập 2: HÀM SỐ MỦ - LOGARIT - TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC. Tập ĩ: Sách chia làm 7 phần:

Tính đơn điệu của hàm số.

2-

Cực trị cứa hàm số.

3.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhò nhất của hàm sô’.

4.

ĐỔ thị cùa hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ,

5.

Đường tiệm cận cúa đổ thị hàm sô'.

6.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm sô.

7.

Một sô'bài toán thường gặp về đổ thị.

CẤ

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

1.

Trong sách, tác già không chi để cập phần khảo sát - vẽ đổ thị hàm số và vấn



A

đề ỉiên quan hàm số, mà còn rất chú trọng đêh ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bâV phương trình và những

-L

Í-

bài toán khó như: tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, chứng minh bâ't đẳng thức. Đây

TO ÁN

là điểm nhân mà các sách tham khảo cùng loại chưa đề cập nhiều. Tác giả cũng trích những dạng toán thường gặp qua các kì kiểm tra của trường THPT và đề thi Đại học những năm vừa Cịua để bạn đợc tham khảo.

NG

Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điều

ƯỠ

khó tránh khỏi. Chủng tôi râ't mong nhận được sự phản biện và góp ý quý báu

BỒ

ID

cúa quý độc giả đê những lần tái bản sau cuổh sách được hoàn thiện hơn Tấc giả NGUYỄN PHÚ KHÁNH 4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

CHUYEN ĐE:

ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỔ THỊ HÀM s ố

.Q UY

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

Nội dung của chuyên để gổm: 1. Tính đơn điệu của hàm số. 2. Cực trỊ của hàm số. 3. Giá trị lôrt nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. 4. ĐỔ thị của hàm sô' và phép tịnh tiên hệ tọa độ. 5. Đường tiệm cận của đổ thị hàm số. 6. Khảo sát sự biến ữũên và vẽ đổ thị của hàm số. 7. Một sõbài toán thường gặp vể đổ thị.

HƯ NG

ĐẠ O

TP

Trong chuyên đê' này, ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị, từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số. Nội dung quan ưọng củá chuyên đê' này là một số ứng dụng đạo hàm để giải một SỐbài toán thực tê'

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ố

A

CẤ

§1.



A. CHÚẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ĐẠT.

Í-

1. K iến thức:

-L

- Nắm được khái niệm tính đơn điệu của hàm số.

TO ÁN

- Nắm được mối liên hệ giữa tính đổng biển, nghịch biên cùa hàm số và đấu đạo hàm cấp một.

ƯỠ

NG

2. K i nâng: Biết cách vận dụng tính đổng biên, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm câp một.

ID

B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

BỒ

1. Đ iểu kiện cần đ ểh à m s ố đơn điệu: Giả sử hàm SỐ f có đạo hàm trên khoảng I

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

• Nếu hàm SỐ f đồng biên trên khoảng I thì f '(x) > 0 với mọi X G ì ;

NH ƠN

• Nêu hàm số f nghịch Mêh trên khoảng I thì f '(x) < 0 với mọi X € I .

TP

.Q UY

2. Điều kiện đủ đ ể hãm sô'đơn điệu: Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số ỉiên tục trên I và có đặo hàm tại mọi điểm trong của I (tức ỉà điếm thuộc ỉ nhưng 4chông phải đầu mút của I ). Khi đó:

ĐẠ O

• Nêu f ’(x) > 0 với mọi X € I thì hàm số f đổng biêh trên khoảng I ; • Nếu f ’(x) < 0 với mọ. X e I thìhàm số f nghịch hiêh trên khoảng ĩ ;

c. C Á C

HƯ NG

• Nêu f '(x) —0 với mọi X € I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .

DẶNG BÀỊ-TẬP T H E Ố ế H ÌÌiÉ s

TR

2. Xác định tham số đế nàm số đon điệu.

ẦN

1. Xét tính đcm điệu trê) ì tập xác định hoặc trên miền.

B

3r ứ n g dụng đơn điệu chứng minh bất đẳng thức.

10

00

4. ứ n g dụng đơn điệu ị;iải phương trình và hệ .phương trình.

CHỦ Đ Ể X ______________________________________________________ __

P2

+3

o

CẤ

X É T T ÍN H Đ Ơ N Đ IỆ U T R Ê N T Ậ P X Ấ C Đ Ị N H H O Ặ C

A

T R Ê N M IỂ N .



□ Phương pháp:

Í-

Xét chiều biến thiên của hàm sô' y = f (x) ta thực hiện cấc bước sau:

-L

• Tìm tập xác âịnh D của hàm số.

TO ÁN

• Tính đạo hàm y '= f'(x ). • Tim các giá trị của X thuỏc D để f.'(x) = 0 hoặc f '(x) khôngxấcđịnh

NG

(ta gọi đó ỉà điểm giới hạn ci. a hàm sõ).

ƯỠ

• Xét dấu y T— f'(x ) trên tìmg khoảng X thuộc D .

BỒ

ID

• Dựa vào bảng xét dấu và ầiẽu kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. Chú ý: • Nếu hàm số f tiên tục trên đoạn [a;bj và có đậo hàm f '(x )> 0 trên khoảng.

(a; b) thì hàm -sô' f đông biến tri:n [a; b]. 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

9

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Nêỉi hàm sô' ĩ liên tục trên đoạn Ịa;bỊz?à có đạo hàm f '(x ì < 0 irên khoảng

NH ƠN

(a;b)thìhàmsG ĩ nghịch biến trên ía;b].

TP

.Q UY

□ Các ví dụ minh hoạ :

Lờỉ giải

ĐẠ O

í. Hàm SỐ đã cho xác định trên M.

HƯ NG

Ta có: y ’ = 4x2- 4 x + l = ( 2 x - l ) 2.



A

CẤ

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

Vx € R : y 1= 0 với X = — và y 1> 0 với mọi X & —. 2 2 Giói hạn: lim ỵ = —oo và lim y = +00 .

-L

Í-

Hàm số đổng biên trên mỗi nửa khoảng Ị^-oo; — và - ; +oo,.

TO ÁN

Từ đó suy ra hàm số đổng biêh trên R .

NG

Chú ý: Định lý m ở rộng: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I .

ƯỠ

• Nếu f '(x ) > 0 với X e I và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc I

ID

thì hàm số f đồng biên trên khoảng I ;

BỒ

* Nêu f '(x ) < 0 với X € I và f '(x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc ĩ

thì hàm số f nghịch biên trên khoảng ĩ . 2. Hàm sô' đã cho xác định trên M \ Ị—l ; l | . 7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

, -1 6 x 2 —40x —16 , Ta có: V ------------- — 7---- và y = 0 o

X

= —2 hoặc

X

nw1 =— . 2

NH ƠN

(4x 2- 4 )

Từ bảng biến thiên, ta kết luận: hàm sô'đổng biên trên các khoảng (—2; - l ) .

12X + 1 12x2 + 2

3x2 - x + ỉ

ĐẠ O

2Lời giảù

ĩ. Hàm sô' đã cho xác định trên R . Ta có: y ' =

-3 6 x 2 - 6 x + 6

HƯ NG

1. y -

TP

.Q UY

ị —I;- —1 và nghịch biên trên các khoảng (-o o ;-2 ), í ——;1 Ị, (l;+oo). V 2 7___________________________ ________V 2 ) ___________ Ví dự 2.1.1 Khảó sát chiều biêh thiên của hàm số:

ẦN

(óx2 + l) 2

0

+

0



+3

y’

+CO

B

2

00

1 ——

—O0

10

X

TR

Bảng xét dâu:



CẤ

P2

Trên khoảng Ị ——; —j : y ’>0=>> ' > 0 => y đổng biêh trên khoảng

Ị - cco; o ;—— I và [Ị^— —;+00 : ỵ '< 0 = > y nghịch biến trên

các

-L

□ Nhận xét:

;+ooj.

Í-

khoảng Ị^-oo;- —j và



A

Trên khoảng

TO ÁN

Nhận thây ỉim y = 0 và lim y = 0 , y ’

r o 7 0 ^ 9 = - —, y — = — . 2) 5 10

Từ đó bài toán có thể yêu cẩu:

ID

ƯỠ

NG

* Tìm tham sô' thực m để phương ninh: 12mx2 - 1 2x 4- 2m —1 = 0 a. Có nghiệm thực; b. Có 1 nghiệm thực; c. Có 2 nghiệm thực.

BỒ

* Tìm tham số thực m để bất phương trình: 12mx2-1 2 x + 2 m - l >0 có nghiệm thực trên khoảng (0 ;2 ). 2. Hàm SỐđã cho xác định trên R .

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Ta có: y ' = — —

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

+ - X2 v ớ i V x e K : y ' = 0

X = 0 hoặc X = 2 .

Trên khoảng (0; 2): y ’ > 0

y đổng biêh trên khoảng (0; 2);

(-oo;0) và (2;+ 00): y '< 0 = > y nghịch biên ữên các khoảng

.Q UY

Trên khoảng

NH ƠN

(x 2 - x + l)

(-«jo;0) và (2;+ 00) .

11 Nhân thây lim y = 3 và lim y = 3, y(0) = l, y(2) = -'~. X—+X; 3

HƯ NG

Từ đó bài toán có thể yêu cầu: * Tim tập giá trị của hàm số’. * Tìm tham số thực m để phương trình:

TP

Nhận xét:

ĐẠ O



00

B

Ví dụ 3.1.1 Khả© sát chiều biêh thiên của hàm số:

TR

ẦN

(m —3 ) X2 —(m —l)x -f m —1 —Q có nghiệm thực

; 3. y = (2x + l) V 9 - x 2. X +1_____________ ._______________________

+3

10

2, y = J L i L ; 2. ________ Vx2 +1_________

P2

Lời giải.

CẤ

1, Hàm số đã cho xác định trên R ,

1—3x (x2 + l)V x 2+ l

Í-



A

Vx 2 + 1 - 7 = (x + 3) Ta có: y ' = -------------V x i+ 1 _ x2 + l

-L

Với Vx € K : y ’ = 0 X =

—.

3

TO ÁN

Bảng xét dâu:

1

—00

y'



+ 30

3

+

0

ƯỠ

NG

X

BỒ

ID

Trên khoảng Ị^—00;— : y ' > 0 => y đổng biến ửên khoảng Ị^—00;— Trên khoảng í —; +00Ì : y ' < 0 => y nghịch biến trên khoảng í —; +00

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Nhận xét:

NH ƠN

Nhân thấy lim y = - I và lim y = 1, y ị ị I= J ĨÕ . x-v-o? IJJ Từ đó bài toán có thể yêu cẩu: X —3 =

0 c. Có 2 nghiệm thực.

.Q UY

* Tim tham số thực m để phương trình: nWX2 -b1 a. Có nghiệm thực; b. Có 1 nghiệm thực;

HƯ NG

X3 + 3x2 -1 < m ịy ỉx - Vx —1Ị có nghiệm thực".

ĐẠ O

TP

* Tìm tham số thực mđể bâ't phương trình: mVx2 + ỉ - X - 3 > 0 có nghỉệm thực. * . * Từ mở rộng 2, ta có bài toán: "Tim tham số thực m để bất phương trình

00

B

TR

ẦN

* Tìm tham số thực m để bất phương trình: mV2x2 +1 + 2x < 0 cỏ nghiệm thực. 2. Hàm SỐđã cho xác định trên R .

10

Với Vx GM: y - 0 X := -1 hoặc X = 0 hoặc X = 1

A

CẤ

P2

+3

Bảng xét dâu: -00 -1 +00 0 I X + 0 0 + 0 y' Trên khoảng (—co;-l) và (0;l): y ’> 0 = > y đổng biêh trên các khoảng

(-1;0) và (l;+oo): y '< 0 = > y nghịch biêh trên các khoảng

-L

Í-

Trên khoảng



(-co ;-l) và (0;1);

TO ÁN

{-1;0) và (l;+oo).



Nhận x é ỉ:

NG

Nhân thấy lim y = 0 và ìim y = Ó, y(0) = 0, y ( - l ) = y (l) = — . Từ đó bài N— *~as X— Í-HO v '2

ƯỠ

toán có thể yêu cầu:

BỒ

ID

X2 * Tìm giá tri lớn nhất và rihỏ nhất của hàrri số: y = —---- . X +1

* Tun tham số thực m đê phương trù h mx4 - X2 + n = 0 (*):

a. Có nghiệm thực;

b. Có 2 nghiệ.Ti thực;

c. Có 4 nghiệm thực.

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

.Q UY

Bài toán có thể yêu cầu: "Tun tham sô' m đế phương trình (* *) có nghiệm thực".

TP

* Từ nhận xét trên, ta có bài toán Tìm tham số thực m để phương trình saư có nghiệm thực:

ĐẠ O

+ mỊVx —2 +2yjx2 - 4 j - V x + 2 = 2^/x2 - 4 ;

HƯ NG

+ V x - Ỉ + 4m \jx 2 —3x + 2 + (m + 3) yỊx- 2 = 0;

ẦN

+ V jT+2 T >/2 —X —"V~x T 4 + m. Tham khảo đề kiếm tra học kỉ If THPT Hà Văn Mao, Thanh Hóa năm 2008.

g

9 (—3;3): y ' = 0x = —— hoặc x = 2

P2

Với Vx

+3

10

00

B

TR

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [—3;3].

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

Bảng biên thiên:

ID

ƯỠ

khoảng — -;2

BỒ

□ Nhận x é t: Nhận thây y (—3) = y (3) = 0, y ——

y(2) = 5V s.

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trên đoạn [-3:3] có giá trị lớn nhất của y là 5V5 khi X = 2 và giá trị nhò

NH ƠN

9 ty

.Q UY

7 ^ 5 3 ,,. _ khi X — o Từ đó bài toán có thế yêu cẩu:

n h ấ t c ủ a y ỉ à ------- -

* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = (2x + 1) v9 —X2 .

TP

* Tìm ỉham sô' thực của m đế phương trình:

ĐẠ O

2 x ^ 9 - X2 - m + V9 t X2 = 0 có 1 nghiệm thực . * Từ nhận xét trên, ía có bài toán "Tìm tham số thực m để phương trình sau

HƯ NG

có 2 nghiệm thực: 6\jx 2 + 4 —5x + m = 0

Ví đụ 4.1.1

TR

ẦN

1. Chứng minh rằng phương trình: —5x —5 = 0 có nghiệm duy nhất. Tham khảo đề ôn tập học kì ĩ, THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên năm 2011.

10

00

B

2. Chứng minh phương trình: X5 —X2 —2x — 1 = 0 có nghiệm duy nhất. _______________ Đề thi Đại học khối D năm 2007.

+3

Lời giải.

P2

1. Xét hàm sô' f (x) = X5 -5 x - 5 , V x e R .

CẤ

• Ta có: f'(x ) = s Ịx 4 - l j = 5Ịx2 - l j Ị x 2 + l ì , vì X2 + 1> 0, V x e R nên



A

f ( x ) = 0 X = —1 hoặc X —1.

-L

Í-

Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x) < 0, Vx phương trình không có nghiệm khi Vx < 1. lim f(x ) = +oo nên phưong trình có nghiệm X>1. X—► +CO Mặt khác: f(x ) đổng biến trên khoảng (l;+oo), do đó hàm sô' y cắt trục

TO ÁN

Vì f ( l ) — 9 và

hoành tại 1 giao điểm .

NG

Vậy, phương trình: X5 —5x —5 = 0 có nghiệm duy n h ấ t.

ID

ƯỠ

2. X5 = X2 + 2x + 1 hay X5 = (x + 1)2 .

BỒ

Dễ thây x5 > 0= 3 > x > 0 = > x -h l> l => (x -f l ) 2 > 1 tức X5 > 1 hay X> 1.

Xét hàm sô y = [l;-Ị-oo).

—2x —1 xác định và liên tục trên nửa khoảng

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Dễ thấy y (l).y (2 )< 0 = > phương trình

X5 — X2

—2x —1 = 0 có ít nhất một

NH ƠN

nghiệm thuộc khoảng (l;2 ), hon nữa hàm số y đồng biến ( y '> 0 , V x € (l;2 )) trong khoảng này. X5

—X2 —2x —1 = 0 có nghiệm đv.y nhâí và nghiệm đó

.Q UY

Như vậy, phương trình thuộc khoảng ( l;2 ) .

TP

Chú ý: " Hàm SỐ y = f { x ) xác định, ỉiên tục trên D và nếu ton tại một sõẵm (X sao cho

ĐẠ O

y(cì) < 0 và ton tại một số đương (3 $ao cho _y((3) > 0 .

Theo định ỉý về giá trị trung gian của hàm sô'liên tục, phương iTÌnh y = 0 cá ít nhất

HƯ NG

một nghiệm c € ( a ;P ) . Nếu ta chứng minh được hàm số y đơn điệu ( tức đồng biên hoặc nghịch biên) trên

TR

ẦN

khoảng (a;3) • Từ đó suy ra rằng phương trình đõ cho có nghiệm c'uy nhất thuộc khoảng

1. y = 2sinx + cos2x với xg[0;-tc]; _\

sin2x —2cosx —2x với x € —T-;-r .

+3

V=

J

2

2.

P2

2.

10

t

00

B

Ví dụ 5.1.1 Khảo s'át chiều biên thiên của hàm số:

CẤ

Lời giải.



A

ĩ. Hàm số đã cho xác định trên đoạn [o; tt] . Ta có: y ’= 2 co sx(l —2 sin x ). Ta cần tìm nghiệm của phư )T a tìm được m > —. 5

Ví dụ 3.2.1 Tìm m đê’ hàm số: y = X3 - m x 2 + (m + 3 6 ) x - 5 nghịch biến trên

TP

khoảng có độ dài bằng 4 V2 . ;

ĐẠ O

Lời giải.

HƯ NG

Hàm sô' đã cho xác định trên R .

Ta có: y ’—3x2 —2mx + m + 36 và A' —m2 —3m —108. Dễ thấy diy' = 3 > 0 /j 3o_do hàjn số đã cho không nghịch biến trên R .

ẦN

Nêu m < —9 hoặc m > 1 2 tức A ’> 0 thì y ' —0 có 2 nghiệm phân biệt Xị',

TR

x2 . Lập bảng xét dâu, ta thấy y ' < 0 với X € (xi ;x2) suy ra hàm sô' nghịch biêh

00

B

với x e [ x 1;x2 ].

4 V2

khi ịxj —x2ị —4 V2 tức

+3

10

Hàm sô" nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng

CẤ

P2

ọ Vm2 - 3 m - 1 0 8 = 4\Ỉ2 , bình phương hai vế và rút gọn ta được phương trình: 3

A

m2 —3m —180 = 0 m = —12 hoặc m = 15 (thỏa điều kiện).



Vậy, vói m ~ —12 hoặc m = 15 yêu cầu bài toán được thỏa mãn.

-L

Í-

Các hoạt động cơ bản : □ Hoạt động 1:

TO ÁN

Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biêh trên tập xác định.

NG

1. y = ——X3 + 2x2 + ( 2 m ^ - ĩ) x - 2 ;

ƯỠ

2. y= -ỉ-(m 2 - l ) x 3 + ( m + l ) x 2 -í-3x.

ID

□ Hoạt động 2: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biên trên mỗi khoảng xác đinh .

BỒ

mx + 3 - 2m 1. y = — — ; x+ m

—2 x 2 + ( m + 2 )x —3m4- 1 2. y = ----------- ------------------------.

x-1

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt động 3:

x+ m

- nghịch biêh trên khoảng (—o o ; l ) . - ^ ậ- (' c r '-J

( 2) ỵ = X3 + 3x2 4- (m + l)x + 4m nghịch biến trên khoảng (—l ; l ) .

TP

3. y = —X3 —3x2 + mx + 4 nghịch biến trên khoảng (0;+x>).Ị ,

HƯ NG

□ Hoạt động 4:

ĐẠ O

4. y = 2x3 —2x2 + mx —1 đổng biến trên khoảng (l; + 00).

5. y = mx3 —X2 + 3 x + m —2 đổng biển trên khoảng (—3:0).

.Q UY

1 Y = —x

NH ƠN

Tìm m đ ể các hàm số sau:

Tìm m để các hàm sô' sau:

TR

ẦN

1 y = mx ———nghịch biến ưên nửa khoảng [l;+ co ). x-Ị-2

00

B

2. y = —mx3V 2(m —1 )X2 + (m —1 )X đồng biên trên khoảng (2; + 00).

10

3. y = x 3 - ( m + l ) x 2 —Ì2m 2 —3m + 2jx + m(2m —1 ) ítổng biên trên nửa

P2

+3

khoảng [2;+ 00).

A

CẤ

mx2 + (m -í- l) x —1 ^ 4. y = :---------— ------------ đồng biến trên khoảng (l;+ oo) . 2x - m

-L

□ Hoạt động 5:

Í-



x2 +(2m + l)x + l ' , —--------nghịch biêíi trên khoảng (0;1). 5. y = :------

TO ÁN

Tìm tât cả các tham số m để hàm số: 1. y = x3 -Ị-3x2 + mx + m nghịch biên trên đoạn có độ dài nhỏ han 2V 2 .

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2. y = —X3 4- mx2 + mx + 2 nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 .

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ĐỀ 3 ______ ______________________________________

NH ƠN

Ứ N G D Ụ N G Đ Ơ N Đ I Ệ U C H Ứ N G M IN H BẤT ĐANG t h ứ c .

• Xét hàm sô 'y —

.Q UY

□ Phương pháp: • Đưa bất đẳng thức zẽdọng f (x) > M, X € (ứ; ổ ).

TP

x€{a;b).

ĐẠ O

• Lập bảng biẽk thiên của hàm sô'trên khoảng ịa; b). • Dựa vào bảng biến thiên và kết ỉuận.

HƯ NG

Chú ý : Giả sử hàm số f ỉiên tục trêìĩ đoan Ịơ;ồ].

ẦN

Nếu f đong biến trên ẩoan ịa;b} thì m in / = /( ơ ) , m a x / —f { b ) . xe[a;2>| xe[a;b] Nêu f nghịch biêh trên đoạn [ữ;ồ] thì mìn / = /(& ), max f — / ( o ) .

TR

xe[a;b}

00

B

□ Các ví dụ minh hoạ :

x-e[ữ;ỉ>j

+3

10

Ví dụ 1.3.1: 2. Cho a,b,c,d ỉà các số thực đương. Tìm giá trị nhỏ nha't của biểu thức:

CẤ

P2

. a + b+c + d \/abcd A = — Tr~ —— + ---— ĩ \/abcd a -fb + c + d

A

2. Cho X, y, 2 là 3 số thực không âm thỏa mân điều kiện Lời giả i.

Í-



X -1-y + z = 3 . Chứng minh rằng: xyz + xy + yz + ZX < 4 .

a + b+c + d 1. Đặt t = — 7-1==- = — * T -v -

X.

-L

-

TO ÁN

y fa b c d

Áp dụng BĐT trung bình cộng - trung bình nhân cho 2 số dường, ta có:

NG

a + b + c-f-d>2>/ãb + 2 ^ cd > 4^ãbcd suy ra

+ c + —> 4 tức t > 4 . 3 /ib ĩd

ƯỠ

Đẳng thức xảy ra khi a==b = c = d > 0 .

BỒ

ID

Bài toán quy về " Tim giá trị nhò nha't của A (t) = t 4- — vói t > 4

Dễđìấy, t > 4 thì A (t) đổrtgbiêhvà A(4) = — đạt tại t = 4. 22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Cách 1: Không mất tính

tổ n g

q u át ta giả sử

X>

y > z và

X+

y + z = 3 suy

I'y . ZỸ Àp dựng Bâ't đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân: yz < —— ị

ĐẠ O

TP

.Q UY

Đặt A = xyz-f x y + yz + zx, sưy ra

NH ƠN

ra 1 < X< 3.

Ta có: f'(x) = 3x2 —18x + 15 < 0 với mọi

x g

HƯ NG

Xét f(x) = x3 —9x2+ 15x + 9, với 1 < X < 3 .

(1;3), suy ra hàm số f(x)

ẦN

nghịch biêh trên đoạn [l;3j.

B 00

10

Cách 2: Không mất tình tổng quát, giả sử X < y < z và X + y + z = 3 => 0 < X < 1.

TR

Với Vx g [1;3]: f ( x ) < f ( l) = 16 suy ra A < —f(x) hay A < 4 .

+3

Khi đó f (x ) - X(yz + y + z) + yz là sốbậc f(x ) = 0

CẤ

+ )a x = 0

P2

aK= y z + y + z>0*

A

+) ax > 0 hay f (x ) đổng hiến trên [0;l]



=> f (x) < f (1) = (yz + y + z) + yz = 4 (vì 1 < y < z và

TO ÁN

-L

Í-

y + z = 2 => y = z = 1) Vậy f(x) < 4 hay xyz + xy + yz + zx < 4. Dâu xảy ra khi X = y = z = 1. Đểhỉểu k ĩ hơn ãạng toấn này, bạn đọc tham khảo o Bài 3 Chú ý : Giả sử hàm sô' f liên tục trên đoạn

NG

Nếu f đồng biên trên đoạn [a;ỏj thì min / = f { ơ ) , max / ~ f i b ) . xe[a;ủỊ xe\a;b]

ƯỠ

Nêu f nghịch biên trên đoạn [ứ; b\ thì min f ~ f { b ) , max f — f{Ò ). X£[a;b] xéfi;b]

ID

Ví dụ 2.3.1: Chứng minh rằng :

BỒ

1. s in x < X v ớ iV x e O ; — 2

2. s in x -t-ta n x > 2 x với V xe



TV

° i 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1. Xét hàm số f (x) = sinx —X liên tục trên đoạn X€

(đpcm).

.Q UY

° 'i

ĐẠ O

sínx < X ,Vx e

TP

. Suy ra f(x) < f(o) = 0

0;ỉ

f(x) là hàm nghịch biêh trên đoạn

Ta có: f'(x) = c o s x - 1 < 0 ,Vxe

0;

NH ƠN

Lòi giải.

0:i

HƯ NG

2- Xét hàm số f (x) —sinx + ta n x —2x liên tục trên nửa khoảng

Ta có: f'(x) = cosxH------------2 > c o s z x-i----- \ -----2 > 0 ,V x e 0;— cos X cos X 2

TR

ẦN

f (x) là hàm số đổng biên trên 0;— v à f ( x ) > f ( ơ ) , Vxeịo;—

B

hay sinx + t a n x > 2 x jV x ejo ;—j (đpcm)

10

00

Từ bài toán trên ta có bài toán sau : Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn thì sin A + sinB -f sinC + tanA -htanB -HtanC > 2-K.

+3

.

CẤ

P2

Các hoạt động cơ bản : □ Hoạt động 1:

1. Cho 2 số thực dưong x,y

thỏa mãn điều kiện

x > l,y > l





A

3(x 4- y) = 4xy . Tim giá trị lớn nhâ't và nhỏ nhâ't của biêu thức

-L

Í-

p = x3 + y 3 + 3 L 2 Ix

_1

^ 2

y )

TO ÁN

x+ y = m 2. Biết rằng (x;y) ỉà nghiệm của hệ: , ? _ . [x + y ——m + 6

NG

Tìm giá trị lớn nhâ't và nhỏ nhất của biêu thức F = xy —6 (x 4 -y ).

BỒ

ID

ƯỠ

3. Biết rằng (x;y) là các nghiệm của hệ phương trình: x+y= m X2 4-y2 —m2 - 4 m + 6. x > 0 ,y > 0 ; 0 < m < 2

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Tim giá tộ lớn nhất và nhỏ nha't ( nếu c ó ) của biểu thức:

Chứrìg minh rằng: nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức

cos A 4- cos B -f cosC +

13 6

cos A -Ị- cos B + cos c

.Q UY

4

NH ƠN

T = (x + y f -h 6xy (x + y ) + 39m + 2.

ĐẠ O

TP

thì tam giác ABC đều. 5. Cho x,y là các số không âm thoả mãn x + y —1. Tìm giá trị lớn nhâ't và X y nhỏ nhất của biểu thức p = ——--- h —-— . y+ 1 x+1

HƯ NG

6. Cho tam giác ABC có A > B > c .

- g ì x —s inA ịx sinB Tìm giá trị nhỏ nhat của biêu thức: M = J ------------- b J --------------- 1. VX—sìnC Vx —sinC

_

1



1

M

1

<



.

X

2. s in x > x —— 3!

00

ít



B

2 sinx 1. —< - ^ < 1 ;

TR

Chứng minh rằng vód mọi X€ 0;— ta luôn có: * 2j

ẦN

□ Hoạt động 2:



X

+3

10

□ Hoạt động 3:

2

24

A

X4



X2

~ 2 XH— , —-{■ x / 7V—4 x 2 2. sinx> — ĩĩ 12it '

TO ÁN

-L

Í-

1. cosx

CẤ

P2

Chứng mình răng vói mọi X E 0;~ ta ỉuôn có: V )

2 — h cot X sinx

NG

□ Hoạt động 4:

< 2 với Vn € N ,n > 1.

BỒ

ID

ƯỠ

Chứng minh rằng :

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

CHỦ ĐỂ 4 __________________:_________ ________________ ___

NH ƠN

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.Q UY

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU GlẢl PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. □ Phương pháp:

TP

Chú ý 1:

ĐẠ O

Nếu hàm so y = f ( x ) ỉuôn đơn điệu nghiêm ngặt trên D (hoặc luôn đồng biên hoặc

ỉuòn nghịch biến trên D) thì sõ nghiệm của phương trình: f { x ) = k sẽ không nhiều

HƯ NG

hơn một và f (x) = f ( y ) k}ii và chỉ khi X — y .

ẦN

Chú ý 2; • Nếu hàm SỐ y — f ( x ) 'uôn đơn điệu nghiêm ngặt trên D (hoặc luôn đong biêh hoặc

TR

ỉuôn nghịch bỉm trên D ) và hàm số y = g{x) ỉuôn đơn điệu nghiêm ngặt (hoặcluôn đơng

B

bỉm hoặc luôn nghịch biến) trên D, thì sô'nghiêm trên Đ của phương trình /(x]ị = g{x)

10

00

ỉdĩông ĩứiiều hơn một. • Nếu hàm sô' y = f (x) có đạo hàm đến cấp n trên Dvà phương trình

P2

+3

(at) = 0 có m nghiệm, klỉi đó phương trình f^ k ^ (x) = 0 có nhiều nhất ỉà m -f 1

CẤ

nghiệm.

0 hoặc' / "(x) < 0 trên D thì



A

Chú ý 3: Nếu hàm sô' y — f i x ) xác iịnh trên D và cô

f ' ( x ) đông biến hoặc ỉuồn ỉuôn nghịch biến trên D nên / ’(x) = Ocớ nhiều nhãt 1

-L

Í-

nghiệm trên D suy ra f (x) = 0 có nhiêu nhãt 2 nghiệm trên D.

TO ÁN

□ Các ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1.4.1. Giải phương trìr h; 1

NG

l - ^ = = + -T-

1

v 8 x —15

= 2 .8 x

J x - | 3 x + l| 3 x 2 -fx |

BỒ

ID

ƯỠ

V x -1

~

3.

4.

2 x - n + J ( 2 x ~ n ) Z.+ 4 , f ■*—=== — :— =2tan X với x e -x + VX2 +1 1 6 c o s 6 x + 2 c o s j! X sinx = 5 4 - S lc o s X

Đóng góp PDF 26 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

iĩ.. tĐiều / ie u kiện IVIC.M.: «X > ^

NH ƠN

Lòi giải. -r1 .

V = — - — , u > — (do v > o )

u 2u —1

= 7 (* )

tương đương với phương trình: 32u3(u —l) —7 (u X —2.

= 32u3 —21u -f 7 liên

tục

trên

nửa

l)(3u —l) = 0.

1

1

1





ì

B

TR

í *(u) > 0, u > ” => f (u) đồng biêh trên khoảng —; +oo . 2 th V2 J / ^ \

- ;+ o o 2

khoảng

ẦN

f

1^

'

ĐẠ O

8u2 —

2v

TP

2u —1

Khi đó ta có hệ : u V Su2 —V2 = 7

HƯ NG

1 1 — + •—= 2

• u =

.Q UY

Cách 1: Đặt u = V x - 1 > 0 , v = V 8 x -1 5 >0.

00

-

= -> 0 = > 3 2 u3- 2 1 u + 7 > 0 ,u > - .

Do đó u > —=3* f (u) > f

2

10

2

CẤ

Phưang trình đã cho tương đương:

P2

+3

Vậy, phương trình cho có nghiệm duy nhất X = 2. Cách 2: -



g _________ 2 —X

V8x - 1 5 Ịl + ^8x —15 Ị

“0

-L

Vx —1 Ịl + Vx —1 j

1=0

.v 8 x —15

Í-

2- X

( 2 - x ) U -----

1

A

Vx —1

-1 +

TO ÁN

1— — + 8 - = ^ . 1 r— = 0 (*)■ V x -lỊl + V x -lj V8x - 1 5 Ịl + v8x “ 15 j

NG

■ ■

.......... .............................................. -

15

V

-

A

-

, ,

có nghiệm

X

= 2.

ƯỠ

Dễ thây A > 0, Vx > —- nên phương trình

/

BỒ

ID

2. Điều kiện: 3x2 - j- x ^ 0 4 = ^ x ^ 0 ,x ^ ——. 3 - ị3 x + l| (3x + 1)2 ~ X2 = 7— -— 7 - Â 8x2 + 6x + l v 7 |3x + lỊ |x| 3x2 + x | 27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Phương trình này có dạng f(u) = f(v) với u = |3x -h l| > 0, V = |x| > 0.

|3x + 1| = |x|

1

3x + 1 = X

TP

Vì u > 0, V > 0 nên f (u) = f(v) 0 => f'(t) = 2t + \ > 0, Vt e (0;+ 00).

1

HƯ NG

. *X—---1 ,x =1 ---- . Vậy phương trình cho có, nghiệm

ĐẠ O

X = ——-,x ~ -----. 3x + 1 ——X 24

ẦN

/ n -----\ 2 x -7 t + J ( 2 x —7t)2 + 4 3. Phươne trình cho I -X -jr -v/x +1 tan X= ----------- —--------------V ) 2 tan x

00

B

TR

« . ( - * + V ^ T ) t a n x = - Ị j - x } + | f - x J + l t a n [ | - x ) (*).

+3

10

Xét f ( t) = ( - t W t 2+ l ) t a n t trên khoảng ^0;—^.



hay

P2

Dễ thấy f (t ) đổng biên trên Tkhoảng ^0;—j , nên (*) f(x ) = fỊ^——

71

A

CẤ

x = ^-~ x X= —. 2 4

-L

Í-



„ ^ t ^ 16cos6x + 2cos4x , . ị, “2 4. Ta thây, — —— — — =------- > 0 = ĩ> sin x > 0 hay sinx = v l - c o s X. 54-51COS X Đặt t = cos2x, 0 < t < 1. 16t3 + 2t2 —s/l —t =0, 0 < t < l (*). 5 4 -5 1 t

TO ÁN

Phương trình cho trở thành: 3

2

ƯỠ

NG

Xét hàm SỐ: f ( t) = ^ — y / ĩ —t = 0 với 0 < t < 1 v' 5 4 -5 1 t Ta thấy : f '( t ) > 0 với 0 < t < 1, suy ra f ( t) đổng biến trên khoảng (0 ;l) và => t =

3

- 3

là nghiệm duy nhất của phương trình (*) tức COS2 X = — hay

BỒ

ID

f| r h °

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ 2-4.1. Giải phương trình:

NH ƠN

1 J 3 x + 1 0 =4>f (x) đổng biến trên

A

3*

—;óỊ

và f(5Ì = 0 .

phương trình f (x) = 0 có đúng 1 nghiệm

X=

5.

-L

Í-

Do đó trên

ỉ*



• xe

CẤ

P2

3x2 —14x —8 < —3 => f(x)< 0,V xG

X=

5.

TO ÁN

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Cấch 2: Phương trình : V3x + 1 —Vó —X + 3x2 —14x—8 = 0

BỒ

ID

ƯỠ

NG

(V3x + 1 - 4 ) + ( i - V 6 - x ) + 3 x 2 - 1 4 x - 5 = 0

? ix=--5^— + ■J*=ZL- — -h (x -5 )(3 x -M ) = 0 V3X + 1 + 4 V 6 - X + 1 3

1

V 3 X ĨĨ + 4

>/6 —X + 1

= 0 (*)

29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

3 1 ( l ì Vì —;— ....----- h~ r= —-------+ 3x 4-1 > 0, X€ ~ ~ ; 6 ị nên phương trìnli J3ĨĨ+ Ĩ+ 4 v 6 —X+1 3 J . —0ft ^ xV= -- 5. c (* )< ^ x -5c =

ĐẠ O

TP

.Q UY

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nha't X = 5. L 5 2. Điều kiện: —1 < X < . 2 5 Dê thây, X= —1 hoặc X = — không là nghiệm phưong trình.

(V3x + 3 - 3 ) - ( V 5 - 2 x -

i

HƯ NG

Phương lại .g trình đã cho viết lại: ) - ( x -2 )Ịx2-

x

-1 2 ] = 0

TR

ẦN

3 (x -2 ) 2(x —2) t \i 7\ =aV - ■+ ^ --------(x —2)(x —X—121 = 0 3x +"3 + 3 +*f-33 ./5 2 2x X +-Ị-11 v / yỊSx '/5 -—

00

B

^ (x -2 ) 7= ------ r ~ Ị -=■ ------- X2 -f X+ 12 = 0. V3x-í-3: -f 3 V5 —2x + 1

+3

10

Xét hàm số f(x) = —X' +X + 12, vớí x e —1;—j .

CẤ

P2

Ta có: f ’(x) = —2x + l và f ’(x) = 0 0 , do đó

NG

TO ÁN

-L

Í-

—ị ~ í = — - + —.==JL=— - —X2 -f-x + 1 2 > 0 , mọi x e - l ; - r i V3x + 3 + 3 "V5 —2x + 1 ■, 2J Vậy, phương trình cho có nghiệm duy nhất X = 2 . Chú ý ĩ: Ký hiệu K là m ột âoạn,một khoảng hoặc m ột nửa khoảng. • Nêu f [x)ỉ iên tục trền đoạn [a;b\và , /( a ) ./( ồ ) < 0 thì phương trình f ( x ) = 0

ƯỠ

có ít nhất một nghiệm c —. 3 Bâ't phương trình đã cho tương đương v ớ i:

10

00

B

2x (yỈ3x- 5 + yj4x “ 3} . _____ . _____ _____ — -— . a s k ---------- --5 (V 2 x + 9 —3 )< 0 V 3 x - 5 + v 4 x - 3 - 5 /3Ĩ^5 và f(3) = 0.

+3

Xét hàm sô' f(x) = V 3 x -5 + > / 4 x - 3 - 5 , Vx> —.



A

5 Từ đó suy ra nghiệm của bâ't phương trình là —< X < 3.

-L

Í-

Ví dụ 4.4.1. Giải hệ phương trình:

ị 4 x 2 + l)x + ( y - 3)^/5- 2 y = 0 ( í ) '

TO ÁN

1.

4x2 + y 2 *f 2V 3 —4x —7

NG

+1

Đề íTĩi ĐH khối A năm 2010.

(3)

ƯỠ

2.

7 = + -= 2 Vx X

(2 )J

ID

x ‘ + l - l = x/ 3 x 2 + 3 (4)

BỒ

(x -3 )(x + 4 )= y (y -7 )



+r

+ 2 y ~ J ^ + V2 + 4x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giảù 3 4

X < — ,y

5 < —. 2

NH ƠN

1. Điều kiên: Cách 1:

.Q UY

(4x2 + l)x + (y - 3) Vs - 2y = 0 o (4x2 4- l)2x + 2(y - 3) 7 $ -~2y = 0

SỐ

f (t) = t Ị t2 -I- l j liên tục trên R..

ĐẠ O

Xét hàm

TP

(4x2 + l)2 x = (5 - 2y + 1 )^ 5 - 2 y có dạng f(2x) = f ( V 5 - 2 y )

HƯ NG

Dễthấy f'(t) = 3 t2 + l > 0 , V t e E .

0 < X< —

ẦN TR

5~4x 2

+ 2>/3^4x = 7 (3).

00

B

Khí đó ( 2) viết lại 4x2 +

y=

4 5 —4 x 2

+3

10

Vì X = 0,x = — không là nghiệm của (3 ) . 4•

CẤ

P2

í ' 2f í Xét hàm số: g (x) = 4x2 + --------- -f 2V3 —4x —7 ỉiên tục trên khoảng 0; 2 J

Í-

ílì g — —0 => (33) có nghiêm nghiệm duy nhất {2 Ị

TO ÁN

Chú ý ĩ:



-L

3Ì khoảngg 0;-^| 0;-H { 4)



A

Ta có g ’(x) = 4x(4x2 - 3) - ^ J L - - g(x) nghịch biêh trên v3 4x v

V=

1 —=> — =£• y = 2 . 2

yfs —2y , V > 0 =j>y = ~—— .

NG

Ta có thể đ ặ t: u = 2x => u < —,

X=

BỒ

ID

ƯỠ

Phương trìnli ( 1 ) => Ịu2 + 1 |—•—V- — V = 0 (u - v)Ịu2 + uv + V2 + l j = 0 < ^ u = v=>2x = J Ề - 2 y

v ì u 2 + UV + V2 - f l > 0 , V u , v 6 ® .

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Chú ý 2:

NH ƠN

5 _ t2 = — ^ với t > 0 .

D ă t:V 5 -2 y

------( 5 - t 2)2 Phưcmg trình (2) trở thành t H-------- — 4- 2V3 —2t = 7

2

Vi t = 0 hoặc t —— không là nghiệm phương trình (*)

HƯ NG

< ^t 4 - 6 t 2 + 8 > / 3 - 2 t - 3 = 0 (*).

•§

TP

t = 2x =ỉ> t €

ĐẠ O

(2x - t)(4x2 + 2xt + 12 + l j —0

.Q UY

ỊOù đó (l) =ỉ> (4x2 +JL-)X= ĩ - y l t 4» 8x3 + 2x = t 3 + 1

+3

10

00

B

TR

ẦN

_____ f 3' Xét hàm: f(t) = t 4 —6 t2 -Ị-8V3 —2t “ 3 liên tục trên khoẻng 0;-“ . V / ^ O ị 'Ta có: f ( t ) = 4 t3 - 1 2 t - - “ = = < 0,V te 0;— và f(l) = 0 n< yj3 —2t 2J ( 3) 1 khoảng Ị0;— và f (t) = Ocó nghiệm duy nhất t = 1 => X= ^ ,y = 2 .

P2

Cách 2:

A

[2x = V5 ~ 2 y

4x2 + y2 + 2v3 —4x = 7 (2)



Ta có hệ:

CẤ

Đặt u —2x,v = ijs —2y Từ (l)=> Ịu2 - í-l} u -Ị v 2 + l)v==0=>u = v

U= y 3 - 2 t > 0

-L

Í-

Với t = y —l,w = -v/3 —4x —^3 —2u u2 = 3 —2t

TO ÁN

1 x = -3 =4> t 2 = 3 —2w 2. =>• t 2 = 3 —2w =>u = t = w = l=> ■ y=2 w 2= 3 - 2 u w = V 3 —2u > 0

ID

ƯỠ

NG

3 5 Các/í 3: Điều kiên: X < —-, y < — 4 2

BỒ

(1 ) 4» 4x3 + X — ^ 2 - — 4- ^ 2

-y -

0; 5 —4x 2 y= 33

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.2 V

NH ƠN

+ 2> /3-4x=7

(2)^>4x2 + ị

^ 16x4 —25x2 + 8-V3 —4x —3 = 0

.Q UY

16x4 - 25x2 + 5 + 8(V3 - 4 x - l ) = 0

(3)

HƯ NG

(2x —1 ) (2x + 1 i(4 x 2 - 5 i - - 7 ----/ V 3-4X +1 = °

ĐẠ O

TP

^ (4x-2 - l)( 4 x 2 - 5 ) + •^6 (1 ~ 2x) = 0 V3 —4x + 1

ẦN

0 < X< - = > (2x + 1)[ a x 2 - 5 ) < 0

=»(2x + l)(-4-x2 —5 ) —• ; 1 6 ------< 0 (3)=>x = - = > y = 2. A

1

w

2

TR

v

B

□ Nhận xét:

10

00

1 . rim tất Tìm cả các tất cả giácác trị giá tham trị sô' tham m sô' đế m hệ phương đế hệ phương trìni trình sau có nghiệm:

CẤ

P2

+3

or Ị(4x2 + l )x + ( y - 3 ) V 5 —2 y = 0 265 1' _____ ; Đáp so : ------ < m < “ + 2 V 3 . - 4 \ a x 2 -i- y 2 + 2 V 3 —4x = m 64

Ị2Í2x + l)3.-Ị- 2x + l —(2y —3)-v/y —2

Giải hệ phương trinh: -I [V4x + 2 4 - 7 2 y + 4 = 6

Í-



A

2.

(3 ~ x )\/2

—X ~

;

2yyj2y —1 = 0

2V 2 --X —^ ( 2 y —l) 3 = 1

TO ÁN

-L

3. Giải hệ phương trìrữ : Gợi ý;

NG

2. Hàm số f(t) = 2t3 4 t đổng biên t > 0 suy ra f(2x + ỉ) = fỤỹ~—2j tương

ƯỠ

đương ĩơng 2x zx-ị-1 +l— = yịy ^/y — —z2 íhay vào phương trình th thứ 2 , sau đó xét hàm số

BỒ

ID

h(y) 4 y - 8 + ^2y (y) = $^4y V2y + 0 và h(6) = 0.

fl ' Kết luận, hệ cho có nghiệm duy nhất (x;y) = Ị—;6

Đóng góp PDF 34 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

u + u3 = v + v3

.Q UY

Khi'đó hệ đã cho trở thành -

NH ƠN

r fZ----- r, x = 2 —u2 U= v2 —X, u > 0 3. Đăt r-------^ ■ v2 , -f |v = V 2 y - i . v > 0 y=—

TP

2u —V = 1

.

HƯ NG

1,;6j, A ị l + Js 5 - J s ) Kết luận, hệ cho có nghiệm (x;y) = Ịl± ;ốj' 1“

ĐẠ O

Xét f (t) = t 3 + 1 đổng biên trên R .

10

00

B

TR

ẦN

Để hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn đọc tìm tin đọc cuốn: "Phương pháp giải toán chuyên lyẽn đề Phương trình, Bất phương trình, hệ phương phiec trình - Bất đẳng thức" nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Tểt Thu ( NXB Đại học Sư Phạm ) và cuốn " Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 ẵiêm thi môn toán " tác giả: Nguỵễn Phú Khánh ( NXB Tôhg hợp Tp Ho Chí Minh). 2-Điềuỉdện: x > 0 , y ^ o .

+3

Phương trình (3) tương đương với yVx -ị-y2 = 2xyJx + 2xy

CẤ

P2

ỊyVx —2xVx j 4-Ịy2 —2xyj = 0 hay (y —2x)Ịy + Vx j = 0.

A

THI: y = 2x thay vào phương trình (4) ta được:

-L

s u y ra -\/x2 + ĩ — —

Í-



2x \jx2 -f 1 —l j = ^ 3 x 2 + 3 Vx2 + 1 Ị2X—%/3j = 2x ( *) ( v ì X =

2

k h ô n g là n g h iệ m ).

TO ÁN

2x —V3

NG

Xét hàm số f (x) = Vx2 + 1 và g (x) = -----ĩ— trên khoảng (0 ; + 00). 2x —v3

ƯỠ

Ta có: f*(x)— . x ■■ > 0 , V x> 0 nên hàm số đổng biêh trên khoảng Vx2 + 1

BỒ

ID

- 2V 3 (0;+oo) và g' (x) = ------— ——— < 0 , Vx > 0 nên hàm sô' nghịch biên trên Ị.2x —V3 j khoảng (0;+ oo);



th ế phưong trình (*) có không quá 1 nghiệm trên khoảng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

35

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(0;4-oo), hơn nữa f[V 3 ] =

suy ra X—V3 là nghiệm duy nhâ't cúa'

NH ƠN

phương trình (*). Do đó (x;y) = ịy/3;2^ j là nghiệm của hệ. TH2: y = —s/x, thay vào phương trình (4 ) ta được

.Q UY

S x 2 + 3 + Vx v ? + ĩ -1 j= 0 (5).

ĐẠ O

Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ịy/3;2yỈ3 j .

TP

Dễ thây •phương trình (5) không có nghiệm thực.

3 . Điều kiện X> 0, y > 0.

Xét hàm số f (t) =

HƯ NG

Phương trình đầu viết lại: ( x —l ) 2 + 3 (x —1 ) = ( 2 —y )2 + 3 (2 —y).

+ 3t, t> 0 .

X = 3 —y.

TR

Khi đó phương trình đẩu x —1 = 2 —y

ẦN

Tacó:f’(t) = 2 t+ 3>0, V t> 0 suy ra hàm số f ( t) đổng bỉến trên khoảng (0;+co).

00

B

Đặt V = — , u = — i — và u > 0, V> 0. 2\lx yj2y

u2 -Z u + V ^+ v ^ hay

+3

10

Phương trình thứ 2 trở thành: 2v +

P2

2 v - Vz + v^ = 2 u ~ Vz-Hi^ (*).

CẤ

Xét g (a) = 2a - v 2 + a2 , a >0.

Í-



A

Ta có: g '(a) = 2 — =3.=r~ — ^~~a -=-^->-J=L— > 0 = > g (a) đồng biếh trên y ỉĩ^ ĩ khoảng (0: +00). Khi đó (*) u = V hay y = 2 x .

TO ÁN

-L

fx = 3 - y Vậy, ta có hệ: < . ìy=2x

íx = 1 ị Ịy = 2

Ví dụ 5.4.1-: Tìm tham sô' thực m đ ể phương trình có nghiệm thực

NG

ĩ. { / x t I —Vx —m;

Đề dự bị Đại học ỉchôĩ B năm 2007.

BỒ

ID

ƯỠ

2. Vx2 - 3 4 x + m - ^ ( x - l ) ( x - 3 3 ) = 1. Lời giải. ĩ. Xét hàm số f (xj = \Ịx2 -f 1 —-s/x liên tục trên nửa khoảng [0;+oo).

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

nên f '(x) < 0 , Vx > 0-

f (x) nghịch biến trên nửa khoang [0;+oo)

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP

và lim f(x)=0 , nên 0 < f(x ) < l,V x € Í0;-foo).

ĐẠ O

X—> + o o

vậy, phương trình có nghiệm thực trên nửa khoảng [0;+oo) ^ 0 < m < 1.

HƯ NG

Chú ý:

Cho hàm sô' f( x ; m ) = 0 xác định với mọi X € ỉ (*) • Biến đối (*) vẽảạng f ( x ) = f{p ì)

ẦN

• Xét hàm số y — f (x) Hên tục trên Ị

.

TR

• Dùng tính^châỉ đơn điệu của hàm số và kết ỉuận.

00

B

2. Đặt u = \/x2 - 3 4 x + m, v = ^ ( x - l) ( x - 3 3 ) ; v> 0.

+3

10

[u-v = l = > v - u - l > 0 Ta có hệ: < 4 |u5 - ( u - l ) = m - 3 3

CẤ

P2

Xét hàm sô'f (u) —us - (u - 1)4 với u > 1.

Ta có: f ’(u) = 5u4 - 4 ( u - l ) 3 >0, V u > l



A

=> f (u) tăng trên nửa khoảng [l;+oo) và f ( l) - 1 ; lim f(x ) = + 00.

Í-

Lập bảng biêh thiên, suy ra f (u) > l< = > m -3 3 > l< = >m > 34.

NG

TO ÁN

-L

Ví dụ 6.4.1. Tìm i ĩ i ể ! để hệ phương trình: í x - y + m = 0 ( 1) < __ có nghiệm thực. [ y + v xy = 2 ( 2) Đề dự bị ĐH khối D - 2007.

Lời g iả i.

ID

ƯỠ

Vì y - 0 không là nghiệm của hệ. 'y/x2 —2x + 3 —Vx2 —6 x -f 11> V 3 - X —Vx —1;

10

2. -y^(x + 2^)(2x —x) —3-Vx + 6 < 4 —^(x4-6)^2x — -4- 3-\/X -4" 2 Giải bất phương trình:

52012 ỉ■ Ị[ -X. 2. ^/3x4-1'+ v 2 x + 4 < 3 —J: V2011

CẤ

rr T— 1 . 3V3 —2xH— = = = —2 x < 6 ;

P2

+3

□ Hoạt động 7 :



A

Jl x —l □ Hoạt động 8 :

( 1)

;

TO ÁN

x - i = y - A X y

-L

Í-

Giải hệ phưcmg trình:

2.

| x - ^ y - ~ X y

(1)

2 y = X3 + 1

(2)

2x2 —x y - l = 0 ( 2)

NG

[x3 - y 3 =735

4.

8 x 3 - y3 - 3 y 2 = 5 y ~ 4 x + 3 72 x + y + 5 + 2x - 2

[2x2 + 3 y 2 = 4 x - 9 y

ƯỠ

3.

;

ID

□ Hoạt động 9 :

BỒ

Giải hệ phương trình: 1.

X3 + 2 x = y ( 1)

y3+ 2 y = x ự )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

.

—3 x = y3 —3 y ( 1) X6

+ y6 = 1

(2) 39

i

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hoạt động 10 : X2

1.

+yíx = 2 y

= 4 (l)

j2x~ + 3 +

2.

7 2 y~-f 3 + V4 —X = 4 ( 2)

.Q UY

y2 +4Ỹ = 2x

3.

TP

-I- y2 +x y —7 x —6 y + 1 4 = 0

ĐẠ O

X2

4.

x3y —y4 = 80

HƯ NG

I y = 2x2 —1+ 2xyVl + x 5.

NH ƠN

Giải hệ phương trình:

( 1)

ẦN

xzy + 2xy2 + y3 = 100( 2)'

TR

6.

(2 );

+3

7' | x ( y 3 - 2 ) = 3

10

00

B

[(x+ y)4 - 2x2 -4 x y + 2y2+ x - 3 y + l = 0

P2

jỏ x 2 + y2- 5 x y - 7 x + 3y + 2 = 0 ( 1 )

(2)

A

CẤ

(x3W x - l= y3+ >/y ~ 1 □ Hoạt động 11:



Tìm tham số thực m để phương trình sau có nghiệm thực:

-L

Í-

1. x + v 3 x z + 1 = m;

TO ÁN

2. (4m - 3)Vx + 3 + (3m —4)V l —X + m —1 = 0

□ Hoạt động 12: Tìm m để phưong trình:

NG

1. Vx2 + mx -f 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt.

BỒ

ID

ƯỠ

Đế' thi Đại học Khối B -

2006.

2. VX2 -t- X + 1 —%/x2 —X 4-1 = m có nghiệm.

_ r ttrên . s ok h. oi ả- n* g 3. cos X - sin X Hì- m1= 0 có 21 nghiêm

sinx

cosx



;— . \ 4 4 J

7.

... -

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG.

.Q UY

H o ạt động 2: 1. Trên khoảng (—4; 2): y ’> 0 =?>y đổng biến trên khoảng, (—4; 2),

TP

Trên mỗi khoảng (—00;—4 ), (2; + 00): y ' < 0 =>■y lì ghịch biêh trên các k h o ả n g ( —00; —4 ) , ( 2 ; + 00) .

ĐẠ O

đổng biên trên khoảng (—2;+ 00) và nghịch biên trên khoảng

HƯ NG

SỐ

3 < 00,Vx ,V x ^ 1. ------ —-T=-< ( x - 1)2

Ta có: y'

ẦN

2. Hàm

TR

Vậy hàm số nghịch biên trên mỗi khoảng (—00; 1) và (l;H-oo). Hàm số đổng biến trên các khoảng (—5;—2) và (—2 ;l), nghịch biến trên

00

B

4.

10

các khoảng (—00;—5) và (l;+ oo ).

CẤ

P2

+3

H o ạt độn g 3:

.

Í-



A

Hàm số đã cho xác định trên

TO ÁN

-L

Hàm số không có đạo hàm tại X= —1 và X = 3. + Trên khoảng (—ĩ; 3): y 1= 0 x = 1; + Trên khoảng (—00;— + Trên khoảng (3 ;+ 00) :y ’> 0.

NG

Vậy, hàm sô' đồng biến trên mỗi khoảng (—l ; l ) và (3;+co), nghịch biêin trên

BỒ

ID

Chú ý:

ƯỠ

mỗi khoảng (—00;—1 ) và (l;3 ).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

r

NH ƠN

Khi tính đạo hàm của hàm số có dạng y = Ịf(x)Ị/ ta chuyên trị tuyệt đối vào trong căn thức y = yjf2 ( x ) , khí đó tại những điểm mà f (x) = 0 thì hàm số không

TP

.Q UY

có đạo hàm. H o ạ t động 4 : 1. Trên khoảng oo;0):y ' < 0 =>hàm sốnghịch bìêh trên khoảng ị —oo;0);

HƯ NG

' 3Í2 x \ 2.Ta có: y '= ■■■ ■ =r,V xe(-oo;0)u(0;3) ■ 2v3x2 —X3 T -T^ĨYÌ SỐkhôngr^/~\ rs v»himim tại các /í-ỉầYvi V —»Xrì= V0,x - —3. Hàm có/t'a đạo điểm

ĐẠ O

Trên khoảng (2 ;+ oo): y ' > 0 => hàm số đổng biêh trên khoảng (2;-+-oo).

X= 2.

ẦN

Suy ra, trên mỗi khoảng (—oo;0) và (0;3): y ’ = 0

TR

Hàm SỐ đồng biến trên khoảng (0;2), nghịch bíêh trên các khoảng ị~ oo;0}

00

B

vàà (2;3).

+3

10

3. Hàm số đổng biến trihì khoảng [ - Ế l . Ế l ] , nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

CẤ

P2

, - ủ \ *í:ẫiì ~1; 2 / V và 2 / •



A

_ , , 7 x 2 + 3 x - h 3 - ( 2 x + 3) 6. Ta có: y = ------ ——====—------V x 2 -í- 3 x + 3

TO ÁN

-L

Í-

L ^ /----------------Ịx > - — y' = 0 ^ VX2 +3> + 3 = 2x + 3 0, Vx g (2;+oo) V x-2 ^ 7 lim y = ỉim (2:ỉ2V x - 2 W + 00 . I

X—ì- r o o

X— > + rsj '

42bởi GV. Nguyễn Thanh Tú Đóng góp PDF

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

số

y = 2x2Vx —2 luôn cắt

NH ƠN

Dưa vào bảng biến thiên ta thấy đổ thị của hàm đường thẳng y - 1 1 tại duy nhất một điểm.

Cách 2:

.Q UY

Xét hàm số y = f (x) == 2x2Vx —2 —11 ỉiên tục trên nửa khoảng [2; + o o ).

TP

Ta có f(2) = - l l , f ( 3 ) = 7 . Vì f(2).f(3) = - 7 7 < 0 = > f ( x ) = 0 có ít nhất một

HƯ NG

ĐẠ O

nghiệm trong khoảng (2; 3).

(S3).

X > \Ỉ2 .

TR

2. Điều kiện:

ẦN

Vậy phưang trừih có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (2; 3).

B

Xét hàm số: f(x) = x5 + —7 = ^ = —2012 với X > V 2 .

nhiêu nhất một nghiệm => f(x) = 0 có nhiều nha't là hai

lim f(x) = +oo,f \ y ỉ ĩ \ < ồ t ỉim f(x) = + oo= »f(x) —0

có hai

số

f (x) = 3x -

X3 , X € [-2 ;2 ].

TO ÁN

3- Xét hàm

-L

Í-



A

nghiệm và



CẤ

=> f (x) = 0

P2

+3

10

00

■JĨ —2

Ta có: f ’(x) = 3 —3x2, trên khoảng (-2 ;2 ): f '(x) = 0

X = -1

hoặc

X = X.

NG

Từ bảng biến thiên, ta kết luận: hàm số đổng biên trên đ o ạ n [ - l;l] và nghịch

ƯỠ

biên trên các đoạn [-2;-l], [l;2].

ID

Vì - 2 = f ( - l ) < f ( x ) < f ( - 2 ) = 2, V x e [ - 2 ;- l] ;

BỒ

Nên —2 = f (—l) < f (x) < f (l) = 2, V x e [ - l;l ] . —2 = f (2)< f(x) < f (l) = 2, V x e[l;2 ].

Từ đó suy ra ịf(x )|< 2 , VxG[—2;2j. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

43

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

H oạt động 1:

1. m* ^< -~5 .

.Q UY

2

2. Hàm sô' đã cho xác định trên R .

TP

* Ta c ó : y ' = ịm 2 - l j x 2 -ỉ-2(m + l)x + 3 và có A ’ — 2^—m2 + m - f 2j. y’ > 0,Vx € R.

ĐẠ O

Hàm số y đổng biến trênM khi và chỉ khi + Xét m2 —l = 0 < ^ m = ií= l.

HƯ NG

3 * m = l = > y ' = 4 x - f 3 => y ’ > 0 X > ——=> m = 1 không thoả yêu cẩu

4- Xét m2 —1 =* 0 0 Vx g R ^ m = - l thoả mãn yêu cầu bài toán. ±1.

00

B

TR

+ Nếu m < - 1 Vm > 2 thì y '> 0 v ớ i mọi XE R . Hàm số y đồng biến trên R .

10

+ Nêu m = 2 thì y ' = 3(x + l ) 2, ta có : y ' = Qx = - l , y ' > 0 , x ^ - l . Hàm

+3

số y đổng biêh trên mỗi nửa khoảng (—oo;—l] và Ị—l;+ o o ) nên hàm sô' y đổng

P2

biên trên K..

CẤ

+ Nếu —l < m < 2 , m ĩ * l thì y ’ = 0 có haí nghiệm phân biệt x1,x2 . Giả sử



A

Xj < x 2. Khi đó hàm sô' nghịch biền ỉrên khoảng (x l ;x2) /đổrtg biêh trên mỗi khoảng (—oo;xx)và (x2;+oo). Do đó —1 < m < 2,m í* 1 không thoả mãn yêu

-L

SỐ

y đổng biên trên R khi và chỉ khi m < —1 V m > 2.

TO ÁN

Do đó hàm

Í-

cầu bài toán .

Vậy vói 1 < m < 2 thì hàm số y đổng biên trên K . H o ạ t động 2 :

NG

1. Hàirt số đã cho xác định trên khoảng (—oo;—m )u (—m ;+oo).

BỒ

ID

ƯỠ

, ,_ m 2+ 2 m -3 . Ta có : y —— ---- ——:— ,Xz£—m . (x 4- m)

Hàm số nghịch biến trên tập xác định k h i: y' < 0 ,V x e ( - o o ;—m) và (—m ;+ oo)< ^m 2 + 2m —3 — đổng biên trên mỗi khoảng (x1;lj và (l;x 2) ' trường hợp này không thỏa.

HƯ NG

Vậy m < — thỏa mãn yêu cầu của bài toán. H oạt động 3:

TR

ẦN

m2 —4 1. Ta có y ' = ---------(x + m)

Ịm 2- 4 < 0

10

y' < 0,Vx e ( —oo;l)

+3

f-2 < m < 2 \ [m < —1

. - 2 < m < -1 .

P2

—m > 1

Ị—m ị (—oo;l)

CẤ

—m^(~oo;l) -2 g(x) nghịch biên trên khoảng (—l;l) x

^

TO ÁN

và tím g(x) = —2 Jim g(x) = —10. Vậy m < - 1 0 thoả yêu cầu. - l +

X -> 1 ~

NG

Cách 2: y" = 6x 4 -6 . Nghiệm của phương trình y" = 0 là X = —1 < 1. Dc đó, hàm số đã cho

ƯỠ

nghịch biến trên khoảng (—ỉ; l) khi và chỉ khi m < lim g( 1“

ID

3. Hàm SỐđã cho nghịch biến trên khoảng (0;+oo) khi và chỉ khi

BỒ

y' = —3x2 —6x + m < 0 ,V x > 0

3x2 -f 6x = f (x).

Ta có f ’(x) —6x + 6 > 0 ,V x > 0 và f (o) = 0. Từ đó ta đ ư ợ c: m < 0 . 45 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

4. Ta có : y' —6x2 - 4x +TCL Cách 1: Hàm số đã cho đổng biến trên khoảng

khi và chỉ khi

.Q UY

y '> 0 ,V x € (l;+ o o ) í) = 6x2 - 4 x > - m , x > 1. g ’(x) = 12x —4 > 0 /V x > l4 ^ g (x) đổng biêh trên khoảng (l;+ oo) v-

x" i + v

'

xSúo*'

>

Dựa vào bảng biên thiên suy ra 2 > —m ^=ỉ>m > —2.

ĐẠ O

x" j+

TP

và lim g(x)= ìim fô>:2 —4x) = 2, lỉm g(x) = +oo.

HƯ NG

Cách 2: Hàm số đã cho đổng biêh trẽn khoảng (l;+ o o ) khi và chỉ khi y * > 0 ,V x e(l;+ o o ) 0 /V x e (l;+ o o ) 1

x2 <

.

TR

Xj <

g(t) = f(t + l) .

00

Đ ặ t t = X — í => X = t 4 - 1 , k h i đ ó

B

thòa mãn

m > --(a) hoặc f (x) = 0 có hai nghiệm

ẦN

Khi và chỉ khi hoặc A ’==2 - 6m < 0

+3

10

Điều kiện (*) g(t) = ó t2 + 8t + 2 + m có hai nghiệm không dương, tức là

...(b). Từ (a)và (b)suy ra m > —2.

CẤ

Sg < 0

P2

Ag >0

A

. p*>0



5. Ta có :y ' = 3mx2 ~ 2 x + 3 . Hàm Số đã chọ đổng biện trên khoảng (—3;0) V x e (-3 ;0 )

hay 3mx2 - 2x-i-3 > 0,

V xe(~3;0)

-L

Í-

khí và chỉ khi y '> 0 , ^ ,Vx g (—3;Q). v '

TO ÁN

3x

NG

2x —3 Xét hàm số g(x) = —- — liên tục trên khoảng (—3;0), ta có 3x

ID

ƯỠ

s ’(x) = -------- 4----- < £ (—3;0)

BỒ



jX

lim g ( x ) = ~

X --------- 3



, ^ 7

ể (x) nghịch biên trên khoảng (—3;0)

lim í :( x ) = - o o . X —* 0 ~

" ■.. - - •' 4 Đưa vào bảng biên thiên s ay ra m > — — 27

46

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

mx2+4mx + 14 (x + 2)

-

.Q UY

,

1. Ta có y = -------

NH ƠN

Ịỉơạtđộĩigéĩ

Hàm nghịch biến trên nửa khoảng [l; -Ị-oo)

TP

^ f ( x ) = mxz + 4 m x + 1 4 < 0 , Vxe[l;-Ị-oo) (*). •

Nếum = 0 khi đó (*) không thòa mãn.



Nêu m

ĐẠ O

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

HƯ NG

0 . Khi đó f (x) có A = 4m 2 —14m

TR

ẦN

7 • Nếu O c m c - t h i f (x ) > 0 V x € K , nêu f(x)có hai nghiệm Xx, x2 thì Á f(x) < 0 X€ ( x ị ; x2) nên (*) không thỏa mãn.

—2m —V4m2 —14m ■“ . m

+3

X2 —

10

~ 2 m + ’Ì4 m 2 —14m m

00

B

7 • Nếu m < Ghoặc m. > —. Khi đó f(x) = 0 có hai nghiệm

A



Đo đo f(x} < 0 Vx € Ịl;+oo)

CẤ

P2

Vì m < 0 hoăc m > — =»x, < x 7 => f(x)x2 —3m > V 4 m —14m

14 ^m 0 5 ,

-L

Í-

fm < 0

TO ÁN

Cách 2: (*) 4^> m < - —í í —= g(x) V x € Íl;+ o o )< ^ m < m in g(x) v’ X +4x w L ' x>ĩ w _ m<

14 .

NG

_.__ / \ \ 14 Ta cóm ìng(x) = g (l) = —

ƯỠ

2. Hàm số đồng biên trên khoảng (2;-Ị-00) khi và chỉ khi

ID

y’ > 0 ,V x e (2 ;+ o o )^ » m x 2 + 4(m —l)x + m —1 > 0 ,Vx € ( 2 ; + o o ).

BỒ

^ (x2 + 4x + 1 ) m > 4x +1, Vx € (2; + 00) ' '

m>

— , Vx € (2; + 00) X +4x + l

Xét hàm SỐ g (x )= — ,x € Í2 ;+ o o ). v ! X +4x + 1 x ' Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

47

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2ZX(' X+- l < O.Vx€ (2;+oo) (x + 4 x + l)

NH ƠN

g .(x) =

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=» g(x) nghịch biên trên khoảng (2;-i-oo) và lim g(x) = — , lim g(x) = 0. X — >2+

1 3

X—> + oơ

TP

.Q UY

9 Vây m > —-. 7 13

ĐẠ O

3. Ta có y' = 3 x2 —2(m + l)x —^2m2 —3 m + 2 J. Hàm đồng biến trên nửa khoảng [2;+ 00)

y ’ > 0, Vx € [2;+ 00)

HƯ NG

f(x) = 3x2 - 2 ( m + ĩ)x —^2m2 —3m + z j> 0 , Vxe[2;-Hx>) Vì tam thức f (x) có A ’= 7m2 —7m + 7 > 0 ,Vm € M nên f (x) có hai nghiệm: m + 1 - y íà '

m + l + ^/Ăĩ

> x2

B

lx

TR

rx 0

ẦN

X1= -----,-------; *2 = ----- --------

+3

10

Do đó f (x) > 0 Vx € [2;+oo) x2 < 2 & yfK' < 5 —m [m < 5

P2

[m‘< 5

[2m + m —6 < 0

2

CẤ

ỊA '< (5 —m)

3

5. m < ——.



A

2

Í-

H o ạ t động 5 :

-L

1. Ta có :y ‘= 3x2 + 6 x + m có A ’ = 9 —3m.

TO ÁN

Nêu m > 3 thìy ’ > 0,Vx G R , khi đó hàm số luôn đổng biên trên K , do đó m > 3 không thoả yêu cẩu bài to á n . Nếu m < 3, khi đó y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Xj ,x2(Xj < x2) và hàm sô'

NG

nghịch biên trong đoạnịxỊ ;x2] với độ dài a = |x2 —xĩ |.

ID

ƯỠ

Theo Vi-ét, ta có : x l + x2 = —2 ^ X 2 = —.

BỒ

Hàm sô' nghịch biên trên

đoạn có độ dài nhỏ hơn

2 V2

a< 2 V2

^ ( x 2 - x 1)2 < 8 ^ > (x 1 + x 2)2 - 4 x 1x2 < 8 ^ 4 ——m < 8 ^ m > —3.

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ĐỀ 3

NH ƠN

H oạt động 1 : 1 . Ta có: 4xy = 3(x + y)>6V xỹ=> xy

TP

.Q UY

4 Hơn nữa vì X > l , y > 1 nên (x —l)(y - 1) > 0 tức 3 xy + l > x + y=>xy + l > ì-xy hay x y < 3 .

và maxP = - ^ khi (x;y)== (l;3), (3;l). L*ị Ó

HƯ NG

minP = ^ ^ - khi (x;y) = JLZ

ĐẠ O

Vậy J < x y < 3 , p = ^ ( x y ) 3 - 4 ( x y )2 - A + H . 4 27 xy 3

TR

ẦN

Ịx-|~y = m fx+y=m 2- Từ hệ l o - , o tương đương với 2 X + y ' ——m ' + 6 “ ” Ịx .y = m i - 3 Theo định lý Vi - et đảo thì x,y là các nghiệm của phương trình

00

B

t 2 - t u + m2 - 3 - 0 (*).

10

Phương trình (*) có nghiệm khi A > 0 nghĩa là

+3

- 3 m 2 -Ị-12>0 - 2 < m < 2 .

P2

Với —2 < m < 2 thì hệ cho có nghiệm (x;y) và F —m2 —3m —6.



A

-2;2] và F (-2 ) = 13, F(2) = - ĩ l .

CẤ

Dễ thây, F’= 2m —3 < 0 vói mọi m € ( —2;2) suy ra F nghịch biến trên đoạn

-L

Í-

Vậy, minF ——11 khi m = 2 và maxF —13 khi m = —2. fs = m 3. Đặt s = X + y,p = xy . Hệ cho trở thành: P = 2 m -3

TO ÁN

Hệ có nghiệm khi phương trình: t z - mt + 2m - 3 = 0 có nghiệm

3 ■ ■, —< m < 2 thỏa bài toán. 2

-

NG

, t 2 >0 4 ... [0 < m < 2

ƯỠ

Khi đó T = m 3 + 6 (2 m -3 )m + 3 9 m + 2 = m3 + 12m2 + 21m-í-2

BỒ

ID

Ta xét hàm số f (m ) = m3 +12m2 +21m + 2 trên đoạn Ị"—; 2 'Ta có f'(m ) = 3m2 +24m + 21> 0, V m e ị—;2 49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON



=> f (m )luôn đổng biên trên đoạn

v à f ||) - ^ .

f(2)-10ft

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

.Q UY

5 1 1 3 Vậy: minT = min. f(m ) = —— khi m = - và maxT = m a x f(m )-1 0 0 tJẫứ\ 8 2 .mj 3 j m = 2.

I I I

ĐẠ O

TP

A B C 3 4. Đ ặ t: t = cosA + cosB + cosC = l + 4sin —s i n ^ s i n - r - ^ K t < —. 2 2 2 2

■* 1

HƯ NG

Xét hàm số f(t) = t4 -— hàm số liên tục trên nửa khoảng Ta có: f ’(t) = l — ^ -> 0 ,V t€

=> f (t) đổng biến trên nửa khoảng

ẦN

V

3 xảy ra khi t = cosA-Ị-cosB + cosC = — hay tam giái

B

13

00

=

TR

ra:2 0 < t<

2 - 2 xỵ 2 + xy

2 --2 t Xét hàm sô' f(t) = --—— ,t 6 v 7 2 -ft

-L

Í-

.4

-6

TO ÁN

Ta có f '( t) = ------------ ,-< 0 ,V t€ 0;ỉ4 (2 + t); Vậy m i n f ( t ) = f p j = - |,Ị i a x f ( t) = f (0 )= 1 .

ƯỠ

NG

0 f — = — , Vx € 0;— . [ 2 ị[2) Tĩ 2}

-L

Í-





X3



TỤì

TO ÁN

2. Xét hàm số f (x) = sinx —X+ — liên tục ữên nửa khoảng Xe O;— .

6

2)

X2

NG

Ta có: f'(x ) = cosx —1+ — => f"(x) = -s in x + x > 0 Vx€

ƯỠ

=> f ( x ) > f ’(0) = 0 Vxe 0 ;—1=> f ( x ) > f(0 ) = 0 Vx€ , Vx€ 0;—I (đpcm).

BỒ

ID

^ s ì n x > x —" H o ạ t động 3 :

X2 X4 Ị Tĩ1 L Xét hàm số g(x) = cosx — ------ — liên tục frên nửa khoảng x € 0;— 2 24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X3

NH ƠN

Ta có: g'(x) = - s in x + xK - -—~ < 0 Vx€ 0 ; - . 6 2)

.Q UY

^ g ( x ) < g ( 0 ) = 0 VxG 0;— =>C0SX X ——- ; V xe 0 ;-: , 6 2) 3 sinx „ X sinx' X2 X4 xố > 1- — > M I X 6 ~T 12 216 1 X / 2

4

4

X 1 --ĨX 9 24 / _\J 2 4 sinx] „ X X Vì x e 0; — => 1 —— > 0 — > 1 -— + — 2 9 X 2 24 2 4 / \ Mặt khác: 1 - — + — > co sx ,Vx6 0 ;^ 2 24 2 „

X

X

HƯ NG

sinx

ĐẠ O

' •

TP

;

> 1 - —- + 2 24 „ 2

B

TR

ẦN

J

sinx

10

> co sx ,Vxe

2

(đpcm).

+3

Suy ra

00

,

sínx

> c o sx Vx€ 0;

-L

Í-

Chứng minh rằng: với Va < 3 , ta luôn có:

É I CN



A

CẤ

P2

sinx in XS I TtI Nhân xét: Ta có 0 < sinx < x => 0 < — — < 1 ,Vx€ 0;— nên X (2 1 u / \3 sinx sin x ì Va < 3. Do đó, ta có kết quả sau

TO ÁN

1 1 ( TT 4. Xét hàm sô" f (xì = ——------- — liên tục trên nửa khoảng X € 0;— sin X X ( 2

ƯỠ

NG

„ , cl, V 2COSX T a c ó :f ( x j = ---- v

BỒ

ID

Ta cỏ:

2

2 Í - x 3c o s x + sin 3x) J X3 s i n 3 X

sinx

> cosx ,Vx€ 0;^-

(“#

—x 3cosx-b sin3 X > 0 ,Vx€ 0; — 2/

f ' ( x ) >0 ,Vx€ 0 ;— .2

52 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĩ

5. Ta có: 22 sinx + 2tanx > 2.V22sinx.2tanx = 2 .2 2

~

1

3

. . .

_ * Tt

sinx + ^ t a n x > -x ,V x € 0;— .

>22

1

3x

2

2

7C liên tục ưên nửa khoảng 0;—

HƯ NG

Xét hàm SỐ f(x) = sinx + ^-tanx —“

w

2

ĐẠ O

sỉnx+'~tanxf' '

Ta chứng ưũnh: 2

SÚIX+—tanx

.Q UY

____________ I r ~ ■ 7

-

TP

- •

[ 2

TR

ẦN

/ \ 1 3 ( c o s x - l) 2(2cosx + l) f -rci f '( x ) - c o s x + - — -----—= “----------------------------------------------- ^----- > 0,V x e 0 ;— v ' 2.COS X 2 2 cos X[ 2 ) \ x ) > ff( (o) 0 ) = 0. =^>f (x) đổng biên trên 0; — => f ((x)

^3w . - X , Vx € 2

0;—Ị (đpcrn).

10

00

1. 2

sin X + —tan X >

B

.0:ỉ

+3

H o ạ t động 4 ;

P2

Đặt x=* — e (0 ;l),V n e N * .

CẤ

n

A

Bất đẳng thức cần chứng minh là: -^1+ X +

V l—X

< 2, Yx € (o; l ) .

Xéthàm f (x) = -v/l+x + > / l - x , x g [0;1). y

/

■■■ ■ \

/y

'

X.

I

A



Ạ/ X

A

^ A

^

ỊV

! I---------

nW

ề - x ĩ 1

-L

Í-

rw -s 1 1 (^)— I--------+ * r

NG

TO ÁN

^

l



A c I Xlc m i

\

CHỦ ĐỀ 4

ƯỠ

H oạt động ĩ :

' ^

X>

1

—. 2

BỒ

ID

1. Điều kiên :

Xét hàm SỐ f (x) = \/4x —1 + V4x2 —1 liên tục trên nửa k hoảng - ; + o o 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

và fỊ—j=-l => f (x) = 0 có nghiệm duy nha't X= —.

2 ;+ °°

.Q UY

khoảng

NH ƠN

Ta có: f'(x) = -T=2==H— I — — > 0,Vx>ậ=?> f(x) đổng biêh trên nửa V4x —1 V4x2—i 2

TP

2. Điều kiện : X< ị .

ĐẠ O

Xét hàm số f (x) = Xs + X! —V l —3x + 4 ỉiên tục trên nửa khoảng Ị—oo;i .

HƯ NG

Ta có : f'ix W S x 4 + 3 x ^-ị---- == > 0,Ỵx/l - 3 x 3 w

x= - l: H oạt động 2 : 1. Phương trình

ẦN

khoảng ( - o o ; ỉ và f(—l) = 0 nên phương ữình f(x) = 0có nghiệm duy nhất

B

TR



/

'

'

+3

Đặt u = - 3 x ,v = 2x-Ị-l, u ,v > 0

10

V

00

» (-3 x )Ỉ2 + ^ ( ^ ) 2 + 3 1 = (2x + 1)(2 + Tc^x + l f + i ).

CẤ

P2

Phưong trình cho viếHại u^2+ -> /u^i^j= = v|2 + -s^^+3'j (*).

A

« Xét hàm SỐ f (t) = 2t 4- V t4 -ỉ- 3 t2 liên tục trên khoảng (0; -f-oo). >14.3



2t -i-3t

-L

Í-

•>0, V t> 0 = > f(t) đổng biên trên khoảng 3t: (O;-roo). Khi đó phương; trình (*)f(u) = f ( v ) ^ u = v 0, Vx > 0 => y

2Vx

đồng biến trên nửa khoảng



A

[0;+oo). Do đó, nếu phương ưình y = 0 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Dễ

Í-

thấy y ( l) - 0 => X= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

TO ÁN

1. Đ iể u k iệ n : X > 0 .

-L

Hoạt động 3 :

Xét hàm số f(x) = Vx + V3x + 1 - Ị x 2 + x + lỊ liên tục trên nửa khoảng

ƯỠ

NG

—2x —1.

ID

suy

—0 nhiều nhất 2 nghiệm và f(0) = f (l) = G=>x —0,

BỒ

f(x )

—2 < 0 ,V x > 0 ,

phương trình. 2. Điêu kiện

X>

X

ra

phương

ỉrình

—1 là 2 nghiệm của

1. 55

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Dễ thấy,

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

= 1 không là nghiệm cứa phương trình. + Vx —1 = 7.

NH ƠN

Khi X > 1 phương trình cho viết lại yfx-f-6 +



V x > l =>f(x) đổng biến trên khoảng (l;+o o) và f(2) = 7, do đó x = 2

|Ị

.Q UY

Xét hàm số f ( x ) - \ / x + 6 + x2 +y/ x —í , với X > 1 , ta có:f ' ( x ) > 0

nghiệm duy nhât của phương trình. Phương trình cho trả thành u3 + 3 u =

V3

TP

3. Đặt U = v5x —x2, u > 0 và V—X + 1,V>0.

+ 3v, xét f(t) = t 3 + 3 t, t > 0 hàn

ĐẠ O



4. y / x - 2 = ( 2 x - 5 ) 3 + X - 3 , đặt y = \fx - 2 .

HƯ NG

số f (t) đổng biêh t > 0 , suy ra u = V, tìm được X= 1, X= —.

x = y 3+2

TR

Cộng vế theo vế ta được:

ẦN

' 8x3 - 60x2 + 151x -1 2 8 = y

Khi đó ta có hệ phương trình:

00

B

(2 x -5 ) +(2x - 5 ) - y 3 + y , vì hàm số f ( t) = t 3 + t đổng biến trên K nè]

10

y = 2 x -5 tức ị / x ' - 2 = 2 x - S (x-3)(8x2~36x + 4 l) = 0x = 3

+3

Hoạt động 4:

P2

X-f1 —— -------------------- , ỊxỊ > —.

CẤ

f(x) = 2m + 3



A

Ta có: f ’(x) =

1 3 r < m < ——. 1 2

2



X

-L

Í-

Hoạt động 5:

1

+ —— > 0 với |x| > 2x 11 2

1

TO ÁN

1. Đ iề u k iệ n : X > 4 .

5

NG

___ — ^ Xét hàm số f Ịx) —J s x —1 + Vx + 3 liên tục trên nửa khoảng —;+oo

ƯỠ

Ta có:f’(x) = — + • -ì—-— > 0 ,Vx> —=> f(x) là hàm sô' đổng biến 2v5x —1 2vx —1 5

BỒ

ID

trên nửa khoảng

f (x) > f (l)

1

^-;+oo



=

khi đó bất phương trình đã cho

X > 1. Vậy bất phương trình cho có nghiệm là X > 1.

56 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

k iện : —2

< X< 4.

Bất phương trình cho

v ^ x 3 + 3x2 -f-6x + 1 6 —y f ĩ —K < 2V3 .

Xét hàm số f(x) = V2X3 +3x2 +6x4-16—V4 —X liên tục trên đoạn Ị—2; 4].

v à f ( l ) = 2V/3 / d o đ ó

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: —2 <

TP

đổng biêh trên nửa khoảng (—2; 4 )

( * ) * » f ( x ) < f ( l ) < * x ;< l . X<

HƯ NG

Hoạt động 6: 1. Điều kiện: 1 < X< 3.

3.

ĐẠ O

(x)

3ỈXZ 4 -x 4-l ) 1 / . X = = = = = = ■■■■'+ ^>0,Vx€ĩ(-2;4) V2x + 3x + 6x + 1 6 2v4 —X Ị

.Q UY

Ta có: f ' ( x ) =

NH ƠN

2. Đ iề u

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

yJx^-Zx+3 + V x^ĩ > Vx^-6x + l l + *JĨ~X

ẦN

-^(x —l)2 + 2 + V x—ĩ > -^(3 —x)2 + 2 + -73 —X (*).

B

TR

X éthàm s& y = f(t) = Vt2 + 2 + V t , t > 0 .

10

00

Ta iaco: có: rf '(IEI t ) ~——7p =■ =— ■ = H i— íj= p > 0 ,v t> 0 .

X>

P2

( * ) luôn đúng. Nêu x > 5 Xét h à m SỐ f (x) = Ụ x + 2 + Vx + ójỊV2x —1 —3Ị Iíền tục trên khoảng (5 ;+ 00)

+ - 1 k /ặ r i-3 ) + ^ + l ^ ± > v 7 [ 2VX + 2 2Vx + 6 j k . ! V 2 x -i =>f(x) đổng biên trên khoảng (5;-foo) và f(7] = 4 ,

ID

BỒ

:

ƯỠ

NG

f-(x)= [ - 1

V ậy

o,vx > 5.

do đó (*) *»f(x)x3 ^3 —2x + - — ■< 2x + 6 "v2x —1

'1 3

2; 2

ẦN

f (x) ỉà hàm p.ghịch biêh trên nửa đoạn

Hàm sô' g[x] = 2x + 6 là hàm đổng biến trên R và f (l) = g (l) = 8 .

TR

Nếu x > l= ^ f ( x ) < f ( :l) = 8 = g (l)< g ( x ) =$>(*) đúng. => f(x) >

=

f(:L)

8 = g(l)>g(x)

B

X< 1

=£>(*)

v ô n g h iệ m .

00

Nếu

P2

0. Ta có:

CẤ

Hoạt động 8: 1. Điều kiện: X 0, y

+3

10

3 Vậy nghiệm của bất phưang trình đã cho là: 1 < X < —.



A

(!) ( x - y ) 1 + - { XV

X2 —1 = 0

X= ± 1 -

-L

Í-

• y = x phương trình (2)

NG

TO ÁN

° y = ——phương trình (2) không có nghiệm thực. X

BỒ

ID

ƯỠ

Bình luận: Cách giải SE u

Í

x —1

fx —" X ; j

y = ĩ l y = —1 đây sai. Điều kiện: X 0, y ^ 0.

* Xét hàm số f(t) = t - - , te R \{ 0 } = > f* (t) = l + ỉ > 0 , V te R \{ o } .

Suy ra (1 ) f (x) = f (y )

X= y .

Sai do hàm sô' f (t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f (— = f (1) —0). Đóng góp PDF 58 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Điều kiện: x ^ o , y ^ 0.

NH ƠN

2

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Cách 1: ( l ) ^ ( x - y ) 1 + xyj —l i Vs

TP

x=

• y = —— phương trình (2 ) «=>X4 + X + 2 —0. X -1 X -J Ị= -

4V4

=> f ( x ) > 0

j

l i m y - l i m y = + 00. X—*+õo

.X—»—00

Vx € R = >

x

4+

x

ẦN

[v 4 J

+ 2 = 0 k h ô n g c ó n g h iệ m th ự c .

TR

f t ỉ 1 = 2 ------ ẫ ^ > 0 ,

HƯ NG

Xét hàm số f(x) = X4 + x + 2=> f ’(x) = 4x3 + 1 = 0

ĐẠ O

. X= y phương trình (2) •

.Q UY

X= 1

Cách 2: Điểu kiện: X 5* 0, y ^ 0.

00

B

x= y

+3

10

( l ) « ỳ x - y + - — - = 0 (x- y) l + ~ ) = 0 1xy { xyj y= —

-l± J s

A

——- phương trình (2 ) X4 + X + 2 = 0. X • Với Ịx |< 1 = » x + 2 > 0 = » x 4 + x + 2 > 0 .



y

1

=> X 4 > |x| > -X => X4 + X+ 2 > 0.

TO ÁN

• Với Ịx| >

-L

Í-



X=

CẤ

X—y phương trình ( 2 )

P2

X= 1

Suy ra phương trình (2) không có nghiệm thực. - l + yỉs

y= l

ID

x=

1 +V5

1

- 1 -75 2

V

ƯỠ

NG

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt

2

y= _

1

1 -V 5

2

BỒ

3. Nhân 3 cho phương trình ( 2). Lây phương trình ( 1 ) —( 2) theo vế ra được

(x -2 )3 =(y + 3)3, (x;y) = (3;-2),(2;-3). 59 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON



WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. 8x3 - y 3 - 3 y 2 = 5 y -4 x + 3 < ^4 x + 8x3 = 2y+ 2 + y 3 + 3y2 + 3 y + 1

NH ƠN

2(2x) + (2 x )3 = 2 ( y + l ) + ( y + l ) 3.

Xét hàm số f (t) = 2t + t 3 ( t e R ) , f ’(t) =: 2 + 3 t2 Vt > 0, hàm số đồng bii

.Q UY

trên R , từ đó suy ra 2x = y 4-1 hay y = 2x —1.

TP

Thay vào phương trình sau, ta được v4x + 4 + 2x + 2 - 4 = 0 . Hoạt động 9:

ĐẠ O

~ 1. Cách 1: Xét hàn=i số f (t) = ts +2t=> f'(t) = 3 tz + 2 > 0, Vt € R .

HƯ NG

; Li_T_ [f(x) = y (l) Hệ phưong trình trở thành j . [f(y) = x (2)

+ N ế u X > y => f ( x ) > f ( y ) =>- y > X ( d o ( l ) v à ( 2 ) d ẫ n đ ê h m â u th u ẫ n ) .

f (x) < f(y )= > y < x(mâu thuẫn).

ẦN

+ Nếu X < y

X= 0

TR

Suy ra x = y , thế vào hệ ta được X3 + X —0 o XỊx2 - f l j = 0

B

? íx = 0 VI X + 1 > 0 .Vây hê có nghiêm duy nhât \

10

00

ly =0

+3

Cách 2: Trừ ( 1 ) và ( 2) ta được:

X

y (x —y) X + — + ^ - + 3 2

—y vào (1 ) và ( 2] ta đ ư ợ cx 3 +

Í-

Thế



A

CẤ

P2

X3 - y 3 + 3 x —3y —0 ^ (x —y )[x 2 + y 2 + x y + 3 ) = 0

4

X=

TO ÁN

-L

Vây hê phương trình có nghiêm dưy nhât

0 0 . 60

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Dê thây, (x;y) = (0;0) là nghiệm của hệ.

NH ƠN

t2 +V t Với x ,y > 0 , ta xét hàm số f(t) = — —7— vói t > 0 và f '( t ) > 0 với t > 0 nên f (t) ĩà hàm số đổng biên trên t > 0.

.Q UY

Từ hệ suy r a x = y .

2. Điều kiện:

TP

——< x < 4 2

Cách 1: Trừ (l) và (2] ta được: 7 2 x 4 -3 - V 4 - X = ^ 2 y + 3 - ^ 4 - y ( 3).

TR

ẦN

Xét hàm số f (t) = J z t -f 3 —V4 —t liên tục trên đoạn

HƯ NG

ĐẠ O

——< y < 4 2

00

B

Ta có: f (x) = —-= = = ■-j-----—- • > 0, Vt € (------- ; 4 v v.2t + 3 2 V 4 - t l 2

10

=^-(3)«»f(x) = f(y) 0

-L

Trừ ( 1 ) và (2) ta được;

TO ÁN

(yj2x + 3 - y j2 y + 3 Ị + Ị i / 4 - y - V 4 - x Ị = 0

NG

(2x + 3 )-( 2 y + 3) | ( 4 - y ) - ( 4 - x ) _ 0 -v/4 —y

V4 —X

ƯỠ

•\/2x + 3 + -^2y + 3

BỒ

ID

^ ( x - y ) - r = = ĩ —r = ^= + ~ = = j — ==Ò(*). . ( V 2 x + 3 + V 2 y > 3 ^/4—y + V 4 - X J

61 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2 1 Vì 7= _ , = H — 7= ■v/2x+ 3 + -\j2y -4-3 -\/4—y + V4;—X

NH ƠN

1> 0 nên (*) 0 ,v t > l = 3 > f ( t ) đồng biến trên nửa khoảng Ị Ị

ẦN

[l;+oo) và f(x ) = f (y)x= y.



B

Vậy hệ đã cho có nghiệm: (x;y) = ( l ; l ) .

■1

TR

Thay X = y vào phương trình ( 1 ) ta được: X2 ~ 2 x +1 = 0 tức X = 1.

10

00

Chú ý : Phương trình ( 1) < s > [ y - ( 3 x - 2 ) ] [ y - ( 2 x - l ) ] = 0 .

+3

Hoạt động 11:

CẤ

P2

1. Xét hàm số f(x) = x -H^ 3 x 2 + 1 và y = m.

A

Hàm số f (x) = X -j- v3x2 -f 1 liên tục trên R .

-L

ỊX < 0

Í-



Ta có : f'(x) - —— v3x2 4-1

TO ÁN

Ị3x2 4-1 = 9x2

và f '(x) = 0

v & 2 + 1 =■■- 3 x

x —— mà f(x) = m d o đ ó m > — •. 3 3

ƯỠ

~ rv

1

0 ---

—3 ^ X <

BỒ

ID

2. Điều kiện:

T> 1 ___3 -s/x_-Ị- 3 + w

1. Phương trình



1 — X ~h 1

m = —- 7== ==— 7 7 = = — - . 4 v x + 3 + 3 v l —X + 1 Í V Ĩ T s ì2

ÍV Ĩ^ X -+■

= 1.

64 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM



0;f

,t = t a n —;t e[0;l] sao cho: 2^

NH ƠN

Nên tổn tại góc

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

J ị2

.Q UY

J x + 3 —2sinư> —2 — r và V l-X —2cos^ = 2 - — —. 1+ r 1+1

ĐẠ O

Xét hàm sô': f (t) = —^ ỉiên tục trên đoạn t € Í0 ;lj. Ta có v 1 —5t + 16t + 7 J

TP

3>/x+-3 + 4-s/l—X + 1 __ —7 tz + 12t + 9 ^^^ m= — — —Ị= = f---- m = ------ — --------- - = f t ) , 3 ) . 4y[x + 3 + 3>ỉĩ—x + 1 —5t -f 16t + 7 w w

HƯ NG

, V —52t2 —8t —60 r--, f ''to = 7 - - ạ < ° 'Vt G [°;1] Ị—5t + 16t -Ị-7j

TR

ẦN

=^f(t) nghịch biến trên đoạn [0;lj vaf(o) —— =— . 7 9 Suy ra phưcmg trình (lj có nghiệm khi phương trình (3 ) có nghiệm trên đoạn

10

00

B

■ 7 9 t € [0; 1 ] khí và chỉ khi: —< m < —.

P2

+3

3. Đặt t = co sx-sin x= V 2co s( X + — I, -y Ì2 < t< \Ỉ2 , s in x c o s x = — , l 4j 2

CẤ

Phưong trình cho trở thành: t + —‘~~2 = —m ị —yỊỈ < t< ^Ỉ2, 1 & ±1 j (*)



A

Phưong trình V2cos^x + —-j = t Ịjtị —.

HƯ NG

* ị 1 Cách 2: Đặt t = X -Ị- - , khi đó để (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng —— thi

ẦN

lì t - r —(m —4) t —— —1 = 0 có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0 . 2 2

10

00

B

TR

Í2x + 1 > 0 Cách 3: Phương trình đã cho tươne đương ] , , , ,. 6 6 6 [3x2- ( m - 4 ) x - l - 0 (*)

+3

Với X = 0 không ìà r ghiệm của (*) nên ta có :

3x + 4 x —1

P2

m=

A

CẤ

~ f[ V 3x2 + 4 x - 1 1 _ Xét ham so r (^x) —-------- ------ với -— < X-5*0 X 2



Phương trình đãcho có hai nghiệm phân biệt khivà chỉ

khỉ phương trình

-L

Í-

f (x) = m có hai nghiệm phân biệt x 1,x2 thỏa mãn ——< X1< x2 ^ 0.

TO ÁN

Lập bảng biến thiên ti ỉ tìm được: m > —.

NG

2. y = f(x) = a/x2 + X+ 1 - J x 2 —x - f 1 2x + l 2 x -l ^ ■= _■ = r ----— ■■■■■=• > 0 suy ra hàm so đổng biên. v x 2+ x + l Vx2-X + 1 Giới hạn: iim y = —1, ỉim y = 1. Tức -1 < m < 1. X— - o c

X —++ X

BỒ

ID

ƯỠ

y =

Đóng góp PDF bởi66 GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

p RÀI ĨÂP Tư LUYỆN. Bài tập 1:

2. y = x 3 + 3 x 2 + 3 X + 2;

3 y = - x 4 +2x2-1 ;

í

5. y =

6. y = - ệ x 7 + | x 6 - ỉ x 5 + 4;

7- y ~ 9- y

X2 —4 x + 3

;

2x2—2x —4

3x

10- y =

X2 + 1 ;

x

2 + 2 x

2x

7

+

2

+ X+ 1

;

ẦN

q V=

x+ 2

,

ĐẠ O

X2 + 4 x + 3

HƯ NG

Xs + X3 + 8;

y = x4 + 2 x 2 - 3 ;

TP

I. y = x 3 - 3 x 2 + 2 ;

.Q UY

Khảo sát chiều biên thiên của hàm số:

12. y = | x 5 - | x 4 + | x 2 + 2 x - l ;

13. y = x —1 —Vx —2;

14. y —2x

! 5. y = V l - x 3 ;

16. y = |x2 - 2 x - 3 |.

TR

II. y = 9x7 - 7 x 6 + - x 5 + 1 2 ;

10

00

B

Vx2 —1 ;

P2

+3

Đồi ỉập 2:

A

CẤ

Chứng minh rằng phương trình : -X 5 + X3 - 4x - 3 = 0 có nghiệm duy nhất 5 và nghiệm đó thuộc khoảng (l;2 ).



Bài ỉập 3:

-L

1. y = 3mx + v x ^ + 2 ;

Í-

Tun m để hàm số sau đổng biên trên M

TO ÁN

2. y = (m + 2)— - (m --l)x + 4 x —1;

NG

3. y = ỉ x 3 X2 + ( m 2 - 3 Ì x - l ; 3 . 2 . ' 7

ID

ƯỠ

4. y ~ ( m - 2 ) ^ ~ — Ịm2 - 4 ) x 2 + 3 ;

BỒ

5. y ——— mx2 4- (m + 2)x + 3 ;

6. y = —— (m 4- 2)x2 + (m2 —4-Ịx ;

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

fì7 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X —1



;

( m - l) x + m2+ 2 m - 3

6 . y = - ------

(m -l)x 2+ 2 x + 1 9. y —-------- L— ~--------- ; x+1

-

- — -— ;

x+3m

NH ƠN

X—m2 -I-7m —11

7 . y = --------

X2 —2(m + 2)x + m —1 10. y = --------^ ’ --------- . x~3

.Q UY

Bài tập 4:

TP

1. Tìm điều kiện của tham sô' m sao cho hàm sô':

ĐẠ O

-3 x 2 + m x~2 , r' T y =--------------- T~ nghịch biên trên từng khoang xác định. 2x '1 2. Chứng minh rằng hàm s ố : y = COS2x —2x + 3 nghịch biên trên K.

HƯ NG

Bài tập 5:

Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm sô": +(m —l) x 2 —

-t-3m + 2jx + 12 đổngbiềh trên (2;-foo).

ẦN

1. y =

TR

2. y = X3 + 3x2 + (m - l)x + 3m —2 đồng biến trên khoảng (—1; l ) .

4- mx2 4- (3m —2) X+ 1 đổng biêh trên khoảng (l; 2).

P2

+3

4. y ——

10

00

B

3. y = 4mx3 - 6x2 + (2m —l) x +1 đồng biến trên khoảng (0;2).

CẤ

5. y = —X3 + (2 m —l ) x 2 + Ịm2 —9m + 9jx + 2 đổng biên trên (—oo;l).

A

6- y = mx4 - 4 x 2 + 2m - 1 đổng biêíì trên khoảng (~3;0) và nghịch biên trên

Í-



khoảng (0;3 ).

-L

7. y = —------ nghịch biêh trên khoảng (2;+oo). x -m

TO ÁN

X —2m

/

\

8. y = 7-------- Ỹ------- nghich biêh trên khoảng (1;2). (2m + 3Jx —m . v 1

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2 —2 9. y = ---------- nghịch biên trên khoảng (—oo;0). X- m o V / (m -l)x 2+ m 10. y —-------- ---------- nghịch biên trên khoảng ( 0 ;l). x+3m v ’

mx2 -f(6m + 5)x —2(1 —3m) 11. y —------------------------------------- nghịch biên trên (—oo; —1).

.

68 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ĩ?'

y= x +

---------j _ đổng biên trên khoảng (l;+ o o ).

NH ƠN

12

Bài tập 6:

.Q UY

Um m đ ể hàm số y = ( m - l ) x 3 - 2(m + 2)x2 + (m + : ì ) x - l . 1. Đồng biến trên khoảng (—oo; 0 ) ;

TP

2. Nghịch biến trên khoảng (—oo;0)>

ĐẠ O

3. Đổng biên trên khoảng (4; + oo); 4. Nghịch biển trên khoảng (1; 4).

HƯ NG

Bài tập 7:

ẦN

In n giá trị của thaitt số m sao cho hàm số: ' m —1 2 —Ịm í 2 + m jx \ —1 -t y = -2x 3 4—------X

TR

Nghịch biến trên khoảng có độ đài là 3.

Bài tập 8:

00

B

Xét tính đơn điệu của hàm số:

10

1. y = V3 sin X- COSX- X trên khoảng (— tt)..'

+3

% TC 2 ’2 ì'

P2

2. y = ta n x ~ 8 sin x trên khoảng



A

CẤ

X 1 3. y = mx-f-sinx + —sin2x-ị-~ sin3x đỗngbiêhtrên 49 4. y = X+ m cosx đổng biên trên R .

Í-

5. y —X(m —l) + m cosx nghịch biến trên R .

-L

6. y = x.sỉnx4-m cosx đồng biêh trên R .

TO ÁN

7. y = ( 4 m —5)cosx + (2m —3)x + m2" 3 m - f 1 nghịch biển trên R .

Bài tập 9:

NG

Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:

ƯỠ

y = —X3 ——m (m + l)x 2 + m 3x + m2 + 1

ID

Bài tập 10:

BỒ

Cho hàm số y = x3 - 2x2 - (m —l)x + m ( l ) . Trong tm òng hợp hàm số (l) đổng biến trong tập số thực K , tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đổ thị hàm số (l) và hai trục 0x,0y có diện tích bằng. 1. 69 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Chứng minh rằng vói mọi x e Ịo ;—j ta luôn có: 2. 2sinx + ta n x > 3 x ;

.Q UY

1 . ta n x > x ;

NH ƠN

Bài tập 11:

3. 3 ta n x > 3 x + x3;

4. 7Ĩ2sin2X< 4x( t t - x ).

TP

Bài tập 12:

2

2

+ —

24

, V x^O ;

HƯ NG

1. 1 — — < C 0 S X < 1 —

ĐẠ O

Chứng minh các bất đẳny thức sau:

. 1 1 2. xsin—> 1 — , ,v> > 0 ; X 6x2

2 4 X X 4. co sx < 1 ———í-^—,V x ^ 0 . 2 24 -

TR

ẦN

X2 3. cosx > 1 —— , V x^O ; 2

B

Đài tập 13:

10

00

Giải phương trình:

2. \/x3 + 3x + x 2 + 4x —7 = 0 ;

+3

I. \/6x + l = 8 x 3 —4x —1;

CẤ

P2

3. Vx + 2 = X3 —3 x ;

A

5. (4x2 - l j V l - x 2 = X;



7. 3x4 -í- 2x = V5x + 3 ;

4. X3 + 3x2 H-4x + 2 = (3x + 2)>/3x + l

6. 27x3 - 27x2 + 13x- 2 = 2 ÌỊ2 X -1 ; 8. X3 - 3x2 - 8x + 40 - 8 ^ 4 x -h 4 = 0;

-L

Í-

9. V4-X + 9 = 2x2 —6 x --3 ;

TO ÁN

10. 2(3x - 1 ) V3x - 1 = 2x3 + 7x2 -f 5x + 4; I I . V X -T 1 -f- y f x + 6 + \^X -Ị-1 3 = 9 ;

NG

12. Vx —1 H~2>/x —2 + \/x+~7 = 4; ĩ ĩ i ” 3x —2 -Ị- \[x*~+8

ƯỠ

13.

14. Vx + Vx —5 “Ị“ V2x -- 5 = 2\/5 .

BỒ

ID

Bài tập 14: Giải phương trình:

1. 24 x 2 - 6 0 x + 3 6 — 7 = L = + - p i Vi'X — 7

Đóng góp PDF 70 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

—0;

y j x - l

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

i! - ? * ì± ĩ^ 2 x + l;

.Q UY

3. ìỊĩĩ— 2 = 8 x 3 — 6 0 x 2 + 1 5 1 x —1 2 8 ;

4. yỊĩx2 + 9x —4 = X3 —4x2 —5x + 6; ự - x 3 + 9 x 2 - 1 9 x + 1 ì = X3 - 6 x 2 + 1 2 x - 7 ;

TP

5.

ĐẠ O

6. 16x3 + 4 x 2 —4x + l~ 2 ( 4 x —l)V 4x —1 .

Bài tập 15:

HƯ NG

Giải bất phưong trình: 1. Vx + Vx —5 < >/s;

2. Vx + 1 + ỈISx —7 + V7X-5 + Vl3x- 7 < 8 .

ẦN

Bài tập 16:

TR

Giải hệ phương trình:

jx 3 -Ị-y3 = 9 i

|x 2 + 2 y 2 = x + 4y

Ị4x2 + 3 y 2 = 16x + 9 y

10

00

B

|x 3 + y 3 = 9

X4 - y4 = 240

P2

X3 —2 y 3 = 3^x2 - 4 y 2^ ~ 4 (x —8 y ) ’

fx3 - y 3 + 3 y 2 ” 3x = 2

CẤ

4.

+3

3.

Ịx + V l+ x2 j Ị y + / l + y2 j = l

Í-

5- ị



A

|x 2 + V.1- X2 - 3 ^ 2 .y - y 2 = - 2 1

í

-L

xyj6 x-2 xy+ l =4xy+ 6x + l

TO ÁN

2x3 - 4 x 2 + 3 x - l = 2x3 ( 2 -

6.

y)*j3-2y

Bài tập 17:

NG

yfx + 2 - yjl4 - x-y/3 - 2 y +1

ƯỠ

Giải hệ phương trình: | x 3 - 4 x 2 + 7 x + l = 5y

ID

ịx3- 3 y = y 3~ 3x

BỒ

[2x2 —y 2 = 4

■’

jy 3- 4 y 2 + 7 y - f l = 5x

| x 2 —3 x = y 2 + y + 1 I

y 2 —3 y —X2 +X + 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

71

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

x ( y 3 ~ X3 j —7

4.

X3 (x + y) + 9 y = xy2 (x + y) + 9x X3 + 3 x 2 + 4 x + 2

.Q UY

y—

y3 +

5.

V l-X 2 - J y ~ y l 2 - y ~ l

ĐẠ O

TP

\lx2 + 2x4- 22 - J y = [y + 1)2

6.

X4 - y4 = 240 X3 —2 y 3 = 3^x2 —4 y 2Ị—4(x —8 y ) ’

'

I

j

jxy^y2+3y+ 3j-12+51x

10

00

B

Bài tập 18:



fx3(3y + 55) = 64

TR

[ 7 2 x 4- y+ 5 + 2x = 2

-

I

ẦN

Í8x3- y3- 3 y 2= 5 y - 4 x + 3

HƯ NG

^/y2 + 2 y 4- 22 - Vx = (x + 1)2

+3

Giải hệ bấtphưong trình: I (x 3 - 3

P2

Bài tập 19:

X 1< 0 x + 1>0

CẤ

Tìm tham sô' thực m để phương trình sau có nghiệm thực:



A

1. Vx ~ l + 4 V ? —3x + 2 + (m + 3)\/x —2 —0;

Í-

2. X2 + 4 x — m V —X2 — 4 x — 3 + m + 2 = 0 ;

TO ÁN

-L

3. W6 + X- X2 - 3x = mỊVx-i- 2 + 2>/3-xj; 4. X2 - 2 x + m .(x -4 ) .,J X

+2-v/8 + 2x —X2 - 1 4 —m = 0.

NG

Bài tập 20:

ƯỠ

í. Tìm tham số thực m để phương trình : mx -í- ^/(m —l) x 4- 2 = 1 có nghiệm

ID

thực trên đoạn [ 0 ;l|.

BỒ

3x2 —1 /-----2. Tìm m để phương trình: - ,== = ■= \l2x - 1 + mx có nghiệm. v 2 x -l 72

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

BàỊtập21:

.

2

g. h ư ớ n g

.Q UY

Ỉ3x2 —mxVx + 1 6 = 0

2 ^ y (x -l) + x + y = 5

d ẫ n g iả i.

Bài tập 1:

ĐẠ O

Bài tập 1 đến bài tập 10/14,15,16 tương tự ví dụ 1.1.1 đêh ví dụ 1.1.3 11. Hàm S Ố đã cho xác định trên R .

TP

1.

(x2 —5x + 4 < 0

NH ƠN

' Tìrn tham số thực m để hệ sau có nghiệm thực:

HƯ NG

Ta có: y ’= 7x4 ( 3 x - l ) 2 . 1 3

1 . 3

y ’ = 0 với X = 0 hoặc X = —■và y ' > 0 với mọi X5* 0 , X

TR

ẦN

I

\ 0;— và nửa khoảng

10

00

B

—;+00 I. Từ đó suy ra hàm số đổng biến trên M.

+3

12. Hàm số đã cho xác định trên R .

P2

Ta có: y ’= Ịx2 —1 ỊỊ 2X2 —3X+ 2Ị.

CẤ

y' = 0 ^> x = —1 hoặc X—1 vì 2x2 —3x - f 2 > 0 , V x € R .

A

Từ bảng biẽh thiên suy. ra hàm sô' đồng biêh trên các khoảng (—00;—1 ) và

y (l) = —

y ( ~ l ) . y ( l ) < 0 , suy ra phương

-L

Í-

Nhận xét: y ( - l ) = | ^ ,

-



Ịl;+ c o ) , nghịch biêh trên khoảng

TO ÁN

2 3 3 trình — -----X4 + —x2 + 2 x —1 = 0 có ít nhâ't môt nghiêm tìiuôc khoảng 5 4 2 ^ ( - l ; l ) , hơn nữa hàm số y nghịch biến trên khoảng này.

NG

2 3 3 Do đó phương trinh — ---- X4 + —X2 + 2x —1 = 0 có nghiệm duy nhất và

ƯỠ

nghiệm đó thuộc khoảng

ID

Qua đó ta có bài toán mới:

í. Chứng minh rằng phương trình :

2 C —X

BỒ

5 duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng (—l ; l ) .

3 4 3 2 —•—X -ị— X + 2 x —1 = 0 có nghiệm 4 2

73 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 5 , Hàm

ĐẠ O

TP

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

số đã cho xáq định trên nửa khoảng ( - 00 *l Ị .

HƯ NG

X Ta có: y t __ = -------J3x2 ===. 2yỊĨ— x:}

ẦN

y ’ = 0 khi X = 0 và y ’ < 0 khi Vx € f-o o ;l) và X ^ 0.

ocr lỊ .

TR

Do đó hàm số nghịch biên trên nửa khoảng

Chú ý: y ' = 0 tại X == 0 thì hàm sô' không đổi trên nửa khoảng (~oo; l Ị .

00

B

Bài tập 2:

P2

+3

10

1q 2 Xét hàm số y = ^-x -I-X-5—4x —3 xác định và liên tục trên K . ^x = - l , y ( - l ) = - |



A

CẤ

Ta có: y ’= x 4 + 3x2 - 4 và y’ = 0

-L

Í-

Lập bảng bìêh thiên, suy ra: y < 0, Vx < 1 => phư ơng trình không có nghiệm khi Vx < 1.

TO ÁN

Mặt khác y ( l ) = —- và lim y = +oo, do đó phương trình đã cho có nehiêm x->+oo

Ư

°

v

NG

x>l,hơnnữa y(2) = — > 0 =>y(l)y( 2 ) Phương trinh ^ x 5 4- X3 - 4x - 3 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( l;2 ) .

BỒ

ID

Hơn nữa y đổng biêh trên khoảng (l;+oo), do đó hàm sô' y cắt trục hoành tạí 1 giao điểm có hoành độ X e ( l; 2 ) . Vậy, phưong trình : V

+XS - 4 x - 3 = 0 có một nghiệm duy nhất và

nghiệm đó thuộc khoảng ( 1 ; 2) . Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

□ Mổ rộng:

í Chứng minh rằng phương trình X5 - 5 x 4 + 1 5 x 3 —X2 + 3 x - 7 = 0 có 1 thực duy nhất

n g h iệ m

.Q UY

2 Chứng minh rằng phương trình X2012- 2 x 3 = x 6 + 1 có đúng 1 nghiệm

Bai tập 3: Bài tập 2 đến bài tập 10 tương tự ví dụ 1.2.1, ví dụ 1.2.2

ĐẠ O

1 m> -

TP

thực dương.

3

00

B

TR

ẦN

HƯ NG

Bài tập 4:

+3



y' = 0

khi

k € z . Vì y ' = 0 íạ i vô hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số

+ ỵn

CẤ

x_

y ' = - 2 s in 2x - 2 = - 2 (l + sin 2 x )< 0 , V x e R

P2

Ta có:

10

2. Hàm số đã cho xác định trên M .

Í-



A

4 nghịch biến trên R. Vói Vxp x 2 € M và x l < x2, khi đó ỉuôn tồn tại khoảng (a; b) chứa x x, x2 . Do

-L

y ’ = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) nên hàm số nghịch biên trên khoảng

TO ÁN

(a;b) khi đó y (x j) > y ( x 2) => hàm số nghịch biết trên R.

ƯỠ

Bài tập 5:

NG

Chú ý. Khi xét tính đơn điệu của hàm số chứa hàm lượng giác ta để ý đạo hàm của hàm "so có thể triệt tiều tại vô hạn điểm, do đó ta chuyển về xét tính đan điệu trên một khoảng chứa hữu hạn điểm mà tại đó đạo ham tnẹt tieu.

ID

1. - | < m < 2 ;

2. m < - 8 ;

BỒ

2

o m _ >— 9 ; 3. 10

5. m < 1; Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

7F>

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Bài tập 7:

2. m < —3; 4. —5 < m < 1 3 .

5 7 m = —— hoặc m = 4-. 2 2

.Q UY

Bài tập 6: 1. m > 1 ; 3. m > 1 3 ; ..

Bài tập 8:

ĐẠ O

Hàm đổng biên trên ỊR

TP

3. Ta có y ' ~ m + COSX + ỉ c o s 2 x + - c o s 3 x .

HƯ NG

^ y ' > 0 , V x € J R 0 ,V x e J R

- t 2 + -ị= g(t),V t e [ - l ; l ] với t = cosx,t e [ —l;l] .

TR

ẦN

Bài toán trở thành tìm m để tổn tại m > max g (t).

2

2

+3

10

00

B

g'(t) = ‐4 t 2‐ 2 t = ‐2 t(2 t + l)=!>g'(t) = 0 ^

P2

Bài tập 9:

CẤ

Hàm sô' đã cho xác định trên R .



A

T a c ó y ' = x 2 - m ( m + l ) x + m3 và A = m 2 ( m ~ l ) 2 X=

0. Hàm số đồng

-L

Í-

+ m —0 thì y ' — x z > 0 ,V x e R và y ' = 0 chỉ tại điểm biêh trên mỗi nửa khoảng (—co;0] và [0;+ o o ).

+

TO ÁN

Do đó hàm sô đổng biên trên R .

m = 1 thì y

= (x ~ l )

>0,Vx £ R v à y ' = 0 chỉ tại điểm X— 1.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Hàm số đổng biến trên mỗi nửa khoảng (—oo;l] và [l;+ o o ).

Do đó hàm

SỐ đổng

biên trên ]R.

+ m = 0, 11] / 1 khi đo y ’ 0

m x = m2

• Nêu m < 0 hoặc m > 1 thì m < m2. 76

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bảng xét dâu y':

_u 1 4oưa vào bảng xét dâu, suy ra hàm số đổng biên trên các khoảng (-o o ;m ) và

y’

X

v m»2 0

—00

+

y'

+00

m 0

-

+

TP

m

ĐẠ O

• ỊsỊgíi 0 m < 1 thi m Bảng xét dấu y ':

.Q UY

ịmz ’+ ° ° ) ' s iảm tT^n khoảnỗ (m; m2) •

NH ƠN

+ 00.

m 0

m 0

—00

X

HƯ NG

Dựa vào bảng xét đâu, suy Ta hàm sô' đổng biêh trên các khoảng ( oo;m2j và (m;+oo), giảm trên khoảng (m 2;m ).

ẦN

Bài tập 13:

TR

2. Xét hàm sô' y>--=Vx3 +3 x + X2 4- 4 x —7 với X> 0.

00

B

3Íx2 + l ) ^ t ị + 2(x + 2) > 0, Vx € (0;+ oo), do đỏ nếu phương trình 2vx^+3x đã cho có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất và y (1 ) = 0 .

P2

+3

10

Ta có: y ’=

CẤ

Như vậy X= 1 là nghiệm duy nhất củà phương trinh.

A

4. (x + ĩ ) 3 + X + 1 = Ụ 3 x + ĩ ) 3 4- V 3 x + ĩ , x é t h à m s ố f ( t ) = t 3 + t ,



6. (3x - 1)3 + 2(3x —l) = 2x —1 +

- 1 , xét hàm số f(t) = t 3 + 2 t .

Í-

Cách 1: Xét hàm số: -f (x) = X3 - 3x 2 - 8x + ■40 và g(x) = 8 ^4x + 4 trên nửa

min

TO ÁN

đoạn [—1 ;+ 00), dễ thây:

-L

8.

2ÌỈ2x

t > 0 .

f ( x ) = f ( 3) = 13 và

xe[-l;+oo)

max

g(x) = g(3)== 13,

xe[-l;+oo)

NG

dođó f(x )~ g (x ) = 3 khi x = 3.

ƯỠ

Cách 2: Đặt ị f ĩx + ĩ = t, t > 0

ID

=> f(t) = t 12- 2 4 t 8 + 1 6 t4 - 5 1 2 t + 2816 với t > 0 và

BỒ

f'(t) = 2( t —2}.g(t) với g ( t ) > 0, t >0

Suy ra f ■(t) = 0 khi t = 2 tức

+ ĩ = 2 hay X= 3. 77

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 14:

---- = = = = = - = X2 ----- = = , Ậ S x —6) —1 V X -1

TP

Cách khác: (5x —6

.Q UY

1. 6 ( 4 x - 6 ) ( x - l ) + - f = - =- = = — r ' = \ ~ °v Ặ x - l)(5x - 7 ) ( V x ^ ĩ + Vsx - 7 )

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĐẠ O

1 3 Xét hàm số f (t) = t ---- 7== = với t > 1, ta tìm đươc X = —. + 3x3 = (3x + ì ỹ + 3 (3x 4-1) (*).

HƯ NG

2. Phương trình cho biến đổi về:

= 3 x 4 -1 .

10

00

B

TR

ẦN

Dễ thây f (t) = r* + 3t đổng biến trên R , nên (*) o Jx e ( x 0;b)

thì hàm sô' đạt cực tiểu tại điểm xfl.



A

* N ếu

CẤ

P2

đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b). Khi đó :

Í-

Nói m ột cách khá : , nêu f'(x) đổi dâu từ âm sang dương khi Xqua đíêm

-L

x0 thì hàm sô' đ ạt cực tiểu tại điêm x0.

TO ÁN

X

a

BỒ

ID

ƯỠ

NG

f'(x)

N ếu

f(x)

b

x0 0



+

f(a)

_________ / ( b ) — f(x0) — —

Ịf’(x0) > 0 .x e ( a ;x 0) t 't h ì hàm sô đạt cực đại tại điểm Xn. f'(xo) < 0 .x e ( x ộ;b)

Nói m ột cách khc c , nêíi f'(x) đổi dâu từ dương sang âm khi X qua điêm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

~b

f 'W

f (xo) f(x)

TP

.Q UY

f(b)

Định lý 3; Giả sử hàm số f có đạo hàm câp m ột trên khoảng (a;b) chứa

HƯ NG

* N êu f "(x0) 0 I__*

+3

hàm SỐ không liên tục tại X= 0 .

P2

c . G ÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ .

-L

Í-



A

CẤ

í. Tim các điểm cực trị của hàm số. 2. Tìm điều kiện đ ể hàm số có cực trị. 3. Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước. 4. ứ n g dụng đơn điệu chứng minh bất đẳng thức. 5. ứ n g dụng đan điệu giải phương trình và hệ phương trình.

TO ÁN

o CHỦ Đ Ể 1 ________________________________________________________

TÌM CÁC ĐIỂM c ự c TRỊ CỦA HÀM s ố .

NG

□ Phương pháp:

ƯỠ

Tim cực trị của hàm số y — f [ x ) ta thực hiện các bước sau:

ID

• Tìm tập xác định D của hàm số.

BỒ

• Tính đạo hàm y ' = • Tìm các giá trị của

X

thuộc D để / '( * ) = {) hoặc f ' { x ) không xấc định ( ta gọi

đó là điểm tới hạn của hàm số). Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

83 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

I

thuộc D.

• Dưa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra điểm cưc tri của hàm số. Chú ý: *Nẽíi y ' không đổĩ dấu thì hàm sô'không có cưc tri.

NH ƠN

• Xét dâu y '= f ' { x ) trên từng khoảng

Ị I I

3.

HƯ NG

Ví dụ 1.1.2 Tìm cực trị của hàm s ố : 3 2 I. y = - ~ -3 .~ —+ 2x + 4; 2. y = >/|x |( x - 3 ) ; 3 2

ĐẠ O

TP

.Q UY

* Đôĩ với hàm bậc ba thì y ’= 0 có hai nghiệm -phân biệt là điều can vàđủ để hàm sõị . I c ó c ự c ÍTỊ. I . ĩ □ Các ví dụ minh hoạ : ị

y = (x + 3 ) V 3 - 2 x - x 2 .

suy

X

29 = l; y ( l ) = —■- và đạt cực 6



A

CẤ

tiểu tại x = 2;y(2) = —

□ Nhận x é t :

ra hàm số đạt cực đại tại

P2

Từ bảng biến thiên

+3

10

00

B

TR

ẦN

Lời giải. 1. Hàm sô' đã cho xác định và liên tục trên K . Ta có: y' = X 2 - 3x4- 2. _ 29 14 V x€ K : y ' = 0 X = l ; y ( l ) h o ặ c X = 2;y(2) = — 6 3

( 29^1(

14 Y

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-

Hàm sô' đẵ cho có 2 điểm cưc tri A 1;—- và B 2:— . { 6 ) { 3 ) Bài toán có thể mò rộng: * Viết phương trình đường thẳng đì qua 2 điểm cực trị; * Tim trên trục hoành điểm M sao cho tam giác AMB vuông tại A ; * Tìm trên đổ thị đã cho 2 điểm C,D để C,D cùng A,B tạo thành hình bình hành ACBD;

BỒ

ID

* Tim phương trình đường tròn đi qua 2 điểm cực trị và điểm K ( - l;2 ) . * Bài toán: " Với giá trị nào của m >0 thì đường thẳng nối hai cực trị cùa đổ thị hàm sô' y = —X3 —3x2 4- 4 tìêp xúc vói đường tròn (C): ( x - m ) 2 + ( y - m - l ) 2 = 5" .

84 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên M .

V ^-x (x -3 ) khi x < 0 3 (x - l)

khi x > 0

2 Vx

Ta có y' =

.Q UY

y=

NH ƠN

Vx(x —3) khí x > 0

ĐẠ O

TP

^ rJL- + yf~x khi x < 0 2V—X Hàm số không có đạo hàm tại X= 0 .

HƯ NG

Trên khoảng (-cc;0) :y ' > 0 , trên khoảng (0;+oo): y' = 0 ^ X= 1. Bảng bíêh thiên 0

—00

1 __ _________

0

^ ^^

^

'

—2

00

—00

B

TR

+

-Ị-CQ

ẦN

X

10

Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm X=■■(), f (0) —0, hàm số đạt điểm cực tiểu tại

+3

= —2.

P2

điểm X—



A

CẤ

Chú ý ĩ: ĩ. Cho dù hãm sô'không có đạo hàm tại X - 0, nhưng nó vẫr: đạt cực đại tại điểm đó. 2. Hàm sô'liên tục nhimg không có đạo hàm tại điểm x = 0 khi xét cực trị hằm số ta không cần chứng minh hàm sô'không có đạo hàm tại điểm X = c.

Í-

3. Cho hàm số y ~ f { x ) xác định trên Dvà điểm x = x( 0 nêu k chín, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm X= 2nntn e %

í

TO ÁN

-L

y,r(k7i) = 2cos(k7ĩ)-f 2ccs2(kjr).



và y(2n7r) = 0.

NG

y ,r{k7r) = 2 > 0

nếu

k

lẻ, suy ra hàm sô' đạt cực tiểu tại điểm

ƯỠ

x = (2n-i-l)7ĩ,neZ và y(2n f

=



BỒ

ID

y "Ị ±— + k2n I < 0 suy TZ hàm số đạt cựcđại tại điếm

Đóng góp PDF86 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

■ Gấc hoạt động cơ bản : 1 y = x3 + 3 x 2 4-3X + 5;

3. y = x + l + V 4 x -x 2 ;

2 y = —X4 + 6 x 2 - 8 x + l ;

4. y = (2x + 3)-\/-x2 + 4 x - 3 ;

CHỦ Đ Ể 2 ________________ ______________________________ _

HƯ NG

o

2. y = sin6x + cos6x .

ĐẠ O

1 . y = V 3 x -2 sin x + cos2x;

TP

□ H oạt đ ộ n g 2: Tìm cực trị của các hàm s ố :

.Q UY

□ H oạt đ ộ n g 1: Tìm cực trị của các hàm sô':

TÌM ĐIỂU KIỆN ĐỂ HÀM s ố CÓ c ự c TRỊ. •



ẦN

□ Phương pháp:

«

B

TR

Quy tắc I; Áp dụng định lý 2 • Tim f ( x ) .

00

m Tìm các điềm Xị ịi —1,2,3...] tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng

+3

Xét dấu của / ' ( * ) . Nêu f'{x) đốì dấu khi xcịua điểm XQ thì hàm số có cực trị

P2



10

không có đạo hàm.



A

• Tim f'{x)

CẤ

tại điểm Kq . Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

• Tim cấc nghiệm X; (/ = 1,2,3...) của phương trình f ' { x ) = 0.

-L

Í-

• Với mỗi Xị tính

TO ÁN

— Nếu / " ( * , ) < 0 thì hàm sổ đạt cực đại tại điểm X ị.

— Nếu f " { x ^ > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm Xị.

□ Các ví dụ minh hoạ :________________________________

NG

Ví đụ 1.2.2 Tun tham sô' m e l để hàm sô':

ID

ƯỠ

x^m x +L y -------- ------- đạt cực tiếu tại X= 1. ______________X+ m_______________

BỒ

Lơi giải. Hàm sô' đã cho xác địrih và liên tục trên khoảng (—co;—m ) w (-m ;+oo). Ta có: y ' - l ------- — -T và y" = ----- — (x + m) (x + m) Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng xác định, nên hàm số đạt Cftrf.-tiêu tại X = 1 khi thỏa mãn: Điều kiện cần:

.Q UY

y ’( l ) = 0 1 ------- — - = 0 m = 0; m = 2 ( l + m)

TP

Điều kiện đủ: m = 0 => y "(1) = 1 > 0 => X = 1 là điểm cực tiểu.

ĐẠ O

m = 2 = > y ''(lj = - l< 0 = > x = l là điểm cực đại.

Ị I

HƯ NG

Vậy m = 0 thỏa yêu cầu bài toán. Nhận xét: Đ ể ý định lý 3 chỉ phát biểu khi y "(l) & 0.

I

Nếu trình bày hàm số đat cưc tiểu tai X= 1



ẦN

chính xác.

fy ’( l ) = 0 Ị ■< , thì lời giải chưa! l y ”( i ) > 0 ị

TR

fy’(l} =0

10

00

B

Như vậy, để áp dụng được hệ \ . ta cần khẳng định y " ( l) > 0. ự \ / ^ Chú ý: *Hàm sô’ / (xác định trên D ) có cực trị 3*0 € D thỏa mãn hai điêu kiện sau:

7Ị

ị Ị ị í

P2

+3

ỉ) Đạo hàm của hàm số tại x-ữ phải triệt tiêu hoặc hàm so'khong có đạo hàm tại XQ. ị

;

CẤ

ii) / '( * ) phải đôĩ dấu qua điểm xữ hoặc / ”(x0) ^ 0 .

* Nếu /'( * ) là một tam thức bậc hai hoặc triệt tiêu và cùng dm với một tam thức bậc í



A

hai thì hàm có cực trị 0 m < —2 (D o m < 0 ).

CẤ

P2

■Um f(x0) = lim # Ị ± Ì ± ^ - 1 , x-»-no Xg —2 c-^-00 r,m V xg-4x0 + 5 = —00. Xo- 2 x-*2~

A

ỉim f(x0)= lim -



X—*2

X

TO ÁN

-L

Í-

Ta CÓ f ’(x0) “ -------7~^-------------- - •" < 0,V X o €(-oo :2). (x0 - 2 ) Vx0 - 4x0 + 5 Bảng biến th iến : 2

— 00

S |f



NG

f(x )

ID

ƯỠ

f(x )

BỒ

Phương trình (l)có nghiệm x0 < 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

— 00 ■

< —1 m < —2

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

n il:

II!

Ví dụ 2.2.2 Tim các Jlệ số a, b sao cho hàm số

ax2-fbx ax +bx + ab ax-f-b

NH ƠN

ĩ

^ tcự ctr ị tại điểm x = 0 và x = 4.

.Q UY

Lời giải. Ta có đạo hàm

ĐẠ O

TP

• y '—a x 'í 2abx + b2- a 2b (ax + b)2 • Điều kiện cần : '

HƯ NG

Hàm sõđạt cực trị tại điếm x = 0 và x = 4 khi và chi khi b2 —a2b ■=0

ẦN

y’(o) = o y' (4) = 0

a = —2 Ịb = 4

TR

16a + 8a b + b 2 - a 2b _ 0 (4a + b)1



y' = 0

x=0 x = 4'

P2

+3

lbz= ~4 2 ^ y = j ^ 4x (-X + 2Ỵ

10

00

B

• Điều kiện đủ :

CẤ

Từ bảng biên thiên : hàm số đạt cực trị tại điêm x = 0 và x = 4 Vạy a = —2, b = 4 à giá trị cần tìm.



A

C á c hoạt ñộng cơ bản :

-L

Í-

□ H oạt đọng 1: Xác định các hệ sô' a,b,c sao cho hàm s ố :

TO ÁN

h ĩ ĩ i +i bx, + c đ ạ t c ự c noành làm tiếp !tuyêh tại X = 1.

tíế u t ạ i x =

3

v à đ ổ th ị h à m

s ^ n h ậ n trụ c !

'

NG

□ H o at đ ô n n Tì ' , Đê kiêm trahỌc k ìI'tỉn h An Giang-năm 2 ỡw\ n o ạ t a ọ n g 2: Tìm các giá trị của m để hàm số:

BỒ

ID

ƯỠ

1- y - (m 4- 2)X3 + 3x 2 + mx - 5 có cực đại và cực tiểu-

2. y = (m + l)

r2

(

)2

1+ x

2

—3m 1 -f-x

+ 4m có duy nhất một cực trị.

3 .y = m s in x - c o s x - 1

90

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

đông 3: Tim các hệ số a,b,c,đ để hàm số: y - a x 3 + bx 2 + cx + d sao

.Q UY

ic điểm A(0;2) và B(2;~2) lần lượt là các điểm cực tiểu và cực đại của _rJ so.

ĐẠ O

TP

V CHỦ Đ Ể 3 ĐIỂU KIỆN ĐỂ CÁC ĐIẾM cự c TRỊ CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỂU KIỆN CHO TRƯỚC.

9 Trước hết ta tìm điểu kiện đểhàm sâ'cỏ cực trị, • Biểu diễn điêu, kiện của bài toán thông qua tọa ẩộ các điểm cực trị của đõ thị hàm

ẦN

I I

HƯ NG

□ PhUơng pháp:

I $ 8 t ừ đ ó ta t ì m đ ư ợ c đ i ề u k i ệ n c ủ a t h a m Sõ.

TR

ĩ

Chú ý: *Nêu ta gãp biểu thức đôĩ xứng của hoành độ các điểm cttc trị và hoành độ các điểm

B



00

ịCựC’trịỉà nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta sử dụng định líViét.

+3

Định lí í: Cho hàm đa thứcy — PỈ^x), giả sử y = {ax + b )p '(x) + h(x) khi âó

P2

[

10

I *Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điếm cực trị ta thường ảùng các kết quả sau:

CẤ

ịnẽíi xữ là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm sô'là: y (* 0) = h{xữ) và ị y = hịx) gọi là phương ừình quỹ tích của cấc điểm cực trị.

A

Chứng minh: Giả sử x 0 là điểm cực trị của hàm số, vì p ị x ) là hàm đa thức nên



\

Í-

ị P ‘ịxữ) = 0 ^ y ( x 0) = (ax0 + b ) P ’(x0) + h{x o) = h {xo) (đPan) ■

TO ÁN

-L

. . 4 ỉ/(x) . % Định ỉí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ y = , : khi đó nếu xữ ỉà điểm cực trị của v(x) ) ——-

NG

hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: y

là phương trình quỹ tích của cấc điềm cực trị. v •/ ( x )\

ID

ƯỠ

Vày

BỒ

Chứng minh:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

V/

(x0)

NH ƠN

Giả sử x 0 là điểm cực trị của hàm sô'thì XQ là nghiệm của -phương trình v(x0)

.Q UY

Ví dụ 1.3.2 Tìm các giá trị của m đế hàm sô'

1. y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx - 5 có cực đại, cực tiểu có hoành độ là các sốđưoĩio

TP

Tham khảo đề ôn tập học kì l, THPT Nguyễn Khuyển, TpHCM năm 20

ĐẠ O

2. y = x 3 —6x 2 + 3(m + 2)x —m —6 đạt cực đại và cực tiêu đổng thời hai'

3

y

_ 2 x 2 +3 x + m

—2

HƯ NG

trị cực trị cùng dâu.

điểm cực đại và cực tiêu tại các điểm có hoành (

TR

ẦN

XJ,X2 thỏa mãn |y(x 2) - y ( x 1)| = 8 .

00

B

y ~ —mx 3 + 3 m x 2 + ( 3 m - f l j x - 2 có cực đại tại X6 (—3 ;0 ).

+3

10

Lời giải. \ 1.Hàm số đã cho cócác điềm cực đại, cực tiểu có hoành độ là các sốđư ơi

P2

khi và chi khi phương trình: y' = 3(m + 2)x 2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dưar| I



A

a = (m + 2 )* 0

CẤ

phâĩì biệt, nghĩa là ta ]uôn có:

A' = 9~3m (m + 2 )> 0

-L

Í-

m p= >0 3(m + 2 )

A ’= - m 2 - 2 m + 3 > 0

0 ^ Ị2 ^m —2 )x ị+ m —2|Ị2(m—2)x2+ ni —2.|>0

CẤ

(m - 2)2(2Xj + l)(2x2 -í- 1) > 0

A

& (m - 2)2 [4X1X2 + 2(xl + x2) + 1 ] > 0

Í-

(m - 2)2 (4m 4- 17 ) > 0

-L

17 -— < m ^ 2. 4



(m - ì f [4 x ^2 + 2(Xĩ + x2) + 1 ] > 0

x * -2 ,m * 0 ,

ta

cỏ

BỒ

Vói

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

17 So với điểu kiện bài toá n, v ậ y ------< m < 2 là giá trị cần tim . 4 m 2x 2 + 3x + m - 2 = 2x —143. y = x +2 x+ 2 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D —M \{—2 Ị .

m

y ' = 2 — -----372= (x + 2)

2{x-\-2)

—m

, -3 (x + 2)

§(x)

/ ' ' (x + 2J

g (x ) = 2 (x + 2 )2 - m .

93 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

I

NH ƠN

Đ6 thị hàm sõ có cực đ ạ i, cực tiếu khi y ■= 0 có 2 nghiệm phân biệt và j dấu H ũ X qua các nghiệm đó, khi đó phưong trình g(x) = 0 c ó h a i n X ệ o ,^ biệt khác —2 í

.Q UY

f2Cx + 2}2 = ]n > 0 or o 0.7 ^m >0. ( 2C~2 + 2 ) - m ^O

ĐẠ O

TP

Khi đó ta có ị y ( x : ) = 4x1 + 3 y (x 2) = 4x2 + 3

^ K * 2 ^ - y ( x i ) |- |( 4 Xa+ 3 ) - ( 4 x 1 + 3)| = 4| x 2 -

x 1|

TR

ẦN

HƯ NG

ịy (x 2) “ y(xi)| = 8 4|x 2 - Xĩ| = 8 (xx + x 2)2 - 4xjx 2 = 4 (l) K + x2 = - 4 w ' 8 —m ( 2). xax2 --------— ' 2

B

Từ (1 ) và (2) suy ra ( ~ 4 ) 2 - 4 p* ~ mj

10

00

4. Hàm số đã cho XÍ C định và liên tục trên K Tà có y’ 3m + 11.. Ta y' = mx 2 + -Ị- 6 mx + 3m - 1. -

-

_

P2

+3

+ Nêu m = Othì v ' = l >0 Vx(= ỉ® số không COcực trị.

Ị Ị



A

CẤ

+ Nếu m ^ t a o ó A; = m ( 6 m - l) ;: Bảng xét dấu m —co

Ị ! •hàm số

Í-

+00

-L

A’ r f r J * ếu 0 < m < t tt,ì SO không có cực trị.

TO ÁN

~

°

hàm sõ luôn tăng M

BỒ

ID

ƯỠ

NG

• Nêu m = ỉ thì v' = —Y2 -L V-LỈ — 1 í „ * 6 6 2~6 teng Vxe » -đ o đ ó h à m sõ k h ô n g có cự c ta ° ■ Với m < 0 hOặCm4

+ " ---------

, do đó h à j



o \2_í ^ ầO,Vxe®=-. hàmsõluônỊ Ị

' kh' đÓt- * - y c 6 h a i nghiệm p hân b íít

I

x u = ~ 3 ± ~ ; - (X1 0 ^ m < ——(do m < 0 ). 3

ĐẠ O

^> m ( 6m —l) < 9 m 2 -f m > —, tương tự. 6

HƯ NG

í

+00

TP

"

x2

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Chú ý: Giả sử y ' = ax2 + bx + c

TR

ẦN

* Hàm sô'có hai điểm cực trị dươngy ’ = 0 có hai nghiệm dương phân biệt: 0 < x1 < x 2 ^ a ^ 0 ) A > 0 , x1 + x 2 > 0 , xr x2 > 0 .

y ' = 0có hai nghiệm trái dấu

+3

10

* Hàm $ấ có hai điểm cực trị trái ẩấu Jfj < 0 < x2 ữ 5* 0, x 1.x2 < 0 .

00

B

* Hàm số có hai điểm cực trị ãm y ’ = 0 có hai nghiệm âm phân biệt xị < x2 < Ò o a * z 0, A > 0 , x 1 + x 2 < 0 , XÍJĨ2 > 0.

P2

* Hàm số có hai cực trị có giá trị cực trị cùng dấu -w- y v y 2 > 0 .

CẤ

* Hàm sô'có hai cực trị nằm về 2 phía đôĩ với tung

y\-y-i < 0



A

* Hàm sô'có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung * Hàm số có hai cực trị nằm trên trục hoành

y x + y 2 > 0, y x.y 2 > 0. y 1 -Ị- y -1 < 0,y x.y2 > 0.

-L

Í-

* Hàm sô'có hai cực trị nằm dưới trục hoành

x 1.x2 < 0.

TO ÁN

* Hàm sô'có cực trị tìểp xúc với trục hoành y \-y 2 = 0 ■ Ví dụ 2.3.2 Với giá trị nào của m £ l thì đổ thị của hàm số

NG

mx2 H-íin2 -í-l]x + 4m3+ m 1. y = -------- --------- ----------------- tương ứng có một điểm cực trị thuộc góc phẩn

Tham khảo đề kiểm tra học kì I , tỉnh Tiến Giang - năm 2010

BỒ

ID

ƯỠ

x+ m tư thứ ( 11) và một điểm cực trị thuộc góc phẩn tư thứ (iv) của mặt phẳng tọa độ.

2. y = X3 —3x2 + m 2x + m có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu , 1 5 của đổ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thắng d : y = —X——. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

95 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. y — —X4 4- 4m xz —4m



3 cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác nhận điểoịE

NH ƠN

làm trực tâm.

H

Tham khảo đề ôn tập, THPT Lê Hổng Phong, TpHCM - năm 2ữlị

.Q UY

Lời giải.

_ *

,

TP

ĩ. Hàm sô' đã cho xác định trên D = M \ |—m Ị. mxz + 2m^x —3m3

ĐẠ O

T a có : y — ------- ---- — —---------------------------------------------------------- , x

(x + m)

I

A(x1;y1),B(x2;y2) là các điểm cực trị của đổ thị hàm số thì Xj,x2f í < x2)là nghiệm của phương trình g(x) = mxz + 2mzx —3m3 = 0. I

HƯ NG

Gọi

t

—m .I

ẦN

ĐỔ thị của hàm số có một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (ỉì) và một điểmỊ

TR

cực trị thuộc góc phẩn tư thứ (iv) của mặt phẳng

độ khi

(a).

Ị ị

00

B

(1)< ^m .g(0) m ^ 0

tọa

ĐỒ thị của hàm số không cắt trục Ox

+3

10

( 2)

Ịm2 + ljx -f 4m3 -I- m = 0 (x ^ —m) vô nghiệm

P2

4^ mx2

CẤ

m^ 0

m ^0 - 1 5 m 4 —2m2 + 1 < 0

m < — 7=r hoăc m > V5 ' V5

TO ÁN

-L

Í-



A

A = (m2 - f lỊ —4m^4m3 + mj < 0 m ^O , 1 m >1

;

(b).

(3) 4^ m < 0 (c) 8** fri cần tìm.

NG

Từ (a) (b) (c) suy ra m <

ƯỠ

Chú ý: Cho hàm số y — ax3 + bx2 -h cx + d{a 3* 0) đổ thị là ( c ) .

BỒ

ID

• Hàm sô'có cực đại và cực tiểu ừong đó một điểm ạtc trị của đô thị nằm ở góc phân tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phan tư thứ ba a > 0 và y ' = 0 có 2 nghiệm phần

biệt trái đấu đong thời y (x1).j/(x2) < 0. 96

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

f. • Hàm số có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của lõ thị nằm ở góc phần ịư thứ hai còn điểm kìa nằm ở góc phân tư thứ tư ^ a < 0 và y ' — 0 có 2 nghiệm phẫn biệt trái dấu đững thời y (x!).y (x2) < 0

TP

.Q UY

• Hàm sộ'có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đo thị nằm ở góc phần ịit thứ nhất còn điểm kia nằm ờ góc phẫn tư thứ hai y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

HƯ NG

ĐẠ O

• Hàm sô'có cực đại và cực tiêu trong đó một điểm cực trị của đổ thị nằm ờ góc phân tư thứ ba còn điểm kia nằm ở góc -phẩn tư thứ tư y f —0 có 2 nghiệm phân biệt trái

ẦN

• Hàm sô'có cực đại: và cực tiêu trong đó một điểm cực trị của đổ thị nằm ở góc phâh thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba 45 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt đổng t h ờ i ( x 2) < 0 ■ • Hàm sô'có cức đại và cực tiêỉi trong đó một điểm cực trị của đo thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điêhĩ kia nằm ở góc phần tư thứ tư -ộỳ y ' — 0 có 2 nghiệm -phân biệt

00

B

TR

xl < x 2 < 0

10

0 < x 1 < x 2 đong thời y ) . y ( x z) < 0.



A

CẤ

P2

+3

ax 2 4 -bx + c —'— đô thi ỉà Chú ý : Cho hàm sô' y = -------- — a 'x + b' • Hàm so có cực đại và ạec tiều trong đó một điểm cực trị của đô thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba a.a' > 0 và y ' —0 có 2 nghiệm phân biệt trái dẵỉi đâng thài y{x^j.y{x 2) < 0 . .

-L

Í-

• Hàm sô'có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đô thị nằm ờ góc phần tư thứ hai còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tiĩ a.ữ '< 0 rà / " 0 cớ 2 nghiệm phân biệt trái dãu đâng thời y (.Xj ) .y {x2) < 0 .

ƯỠ

NG

TO ÁN

• Hàm sô*có cực đại và cực tiểu, trong đó một ầiểm cực trị của (ỉâ thị nằm ở góc phần tư thứ nhất còn ầỉểm kia nằm ở góc phần tư thứ hai y ' — 0 cổ 2 nghiệm phân biệt

BỒ

ID

• Hàm sô'có cực đại và cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đổ thị nằm ở góc phần tư thứ ba còn điểm kia nằm ở góc phần tư thứ tư y ' = 0 có 2 nghiệm phẫn biệt trái dấu đổng thời

3;(^i) + J/(x2 ) < 0

y(*i)-y{x2) 0 «=>—■ s /3 < m < V 3 .

BỒ

ID

ƯỠ

Vi-ét, ta cộ xĩ + x 2 - 2,

JC2 =

m

Gọi A(x1;y1),B(x2;y2) là các điểm cực trị của đo thị hằm số và I là trưng:

điểm của đoạn AB . Đường thẳng AB có hệ số góc : k

k ab

y' = 3x2 —6x.

00

B

TR

Ix, = 0 => y, = 0 => A(0;0) y'=o-»r , ,=fl(l;-2) Ịx>2 = 2 = > y 2 = - 4 = » B ( 2 ; - 4 ) v ;

10

Dễ thây í (l; —2) € A . Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu bài toán .

P2

+3

3. y'=: - 4 x ( x 2 - 2 m )

CẤ

m < G = ^y ' = 0 có 1 nghiệm, nên hàm số có 1 cực trị.

A

m > 0 = ^ y ’= 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi đâu qua môi nghiệm đó, nên \Ễ m ;4 m 2 —4m j, c ^ /2 m ;4 m 2 - 4 m j

Í-

A(0;—2m),



hàm số có 3 cực trị

TO ÁN

-L

VI tam giác ABC cân tại A và B,c đôỉ xứng nhau qua Oy

NG

H làtrư ctâm tam eiác ABC khi I =>BH.AC = 0 (*). & BH-LAC v}

ƯỠ

Ta có: BH = J i m ; —4m 2 + 4 m + “ j, AC = ỊV2rn;4m 2j.

BỒ

ID

31 Khi đó (*) 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

99 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

y=

X4

m2 + mx2 + 6 -------có 3 cực trị A € Oy, B, c sao cho:

.Q UY

1. Tam giác ABC vuông tại A ;

NH ƠN

Ví dụ 3.3.2 Tìm các giá trị của m để đổ thị hàm số

2. Diện tích tam giác ABC bằng 32;

TP

3. Diện tích tứ giác OABC bằng 52;

ĐẠ O

4. Tứ giác ABOC là hình bteỉh hành.

Lời giải.

HƯ NG

Hàm sô' đã cho xác định trên R .

Ta có: y’ = 2x^2x2 +mj.

ẦN

Nêu m —0 thì y ' = 4x^ =$■ hàm số đã cho chỉ có 1 cực trị.

TR

Nếu m > 0 thì 2x2 -f m > 0 => hàm sô' đã cho chỉ có 1 cực trị.

10

00

B

Nếu m < 0 thì 2x2 + m —0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 , do đó hàm số đã Ị cho có 3 cực trị.



A

CẤ

P2

+3

Vậy, m < 0 hàm số đã cho có 3 cực trị „ . m2 I m 3mz ị m 3mz 0;6 ——— , B ;6 — — và c — ;6 — — 2 V 2 4 V 2 4 / ^ / V / m m2 ì m m ĩ. Cách 1; AB = và AC = T ; 4 T 4

TO ÁN

T

-L

Í-

Tam giác ABC vuông tại A khi AB _LAC hay AB.AC = 0 m m m 2^ m m3 o + 1 = 0 , phương trình [ T ~4 ~ ĩ 8 ỉ ^ \ J\ J V ỉ

BỒ

ID

ƯỠ

NG

íiày có nghiệm m = —2 ( thỏa m < 0) hoặc m = 0 không thỏa . Vậy, m ——2 thỏa đề bài. Cách 2: Gọi I là trung điểm BC; do tam giác ABC vuông cân tại A nên AT BC , m AI = —- tức — 2 4 m m _ m rrr —— h — = 0 ^ — +1 16 2 2

100 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

2 Diện tích tam giác ABC bằng 32 khi và chỉ khi

.Q UY

Đặt u = y —— => m = —2u2, khi đó phương trình (*) trơ thành

m2

,

„ I nT

ĐẠ O

. „. 3. Ta có: OA =

TP

u5 = 32 —2^ => u = 2 tức m = —2(2)2 = —8 thỏa mãn.

HƯ NG

Diện tích tứ giác OABC bằng 52 khi và chỉ khi OẠỄ£ = 52 túc 6 — .2*]— = 104 2 2 V 2

ẦN

cổc/ỉ ĩ: Bình phương 2 vế và rút gọn ta được phương trbih:

TR

m5 —24m 3 4- 144m + 21632 —0

00

B

0 m .2, - — = 104 0 , khi đó (*) trở thành 1 2 ~ 4 t4|.t = 104 (**)

Í-



Đặt t =

-L

THI: 0 < t < \/3 =>12 —4 t4 > 0, phương trình (* *) trở thành

TO ÁN

(12 —4 t4 Ị-t = 104 - Dễ dàng chứng minh được

NG

f(t) = Ị l 2 - 4 t 4 j. t - 1 0 4 < 0 với mọi te ( 0 ;\f è j.

ƯỠ

TH2: t>yỊ3 =>■12 —4 t4 < 0, phương trình (* *) .trở thấnh

ID

(4 t4 - 1 2 j.t = 104.

BỒ

Xét hàm số f (t) = (4 t4 - 1 2 j.t-1 0 4 = 4 t5 - 12t - 1 0 4 vtỵi t > # 3 , ta có f'(t) = 20t4 —12 = 4^5t4 —3Ị 1H1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

v

'

lim

f(t)< 0 ,

x ^ /I ) +

lim f ( t) > 0 I X^ + đồ thị hàm số f(t) cắt trục hoành tại 1 giao điểm

I

.Q UY

đồngbiêh trên khoảng ( f e + o o j ; hơn nữa

NH ƠN

Vì t > 3/3 nên 5 t4 —3 > 12 =>■f ’(t) > 0 , mọi t > yỈ3, suy ra f (t) lằ hàm

t€Ị>/3;-fooỊ vỊ

ĐẠ O

TP

f (2) = 0, do đó phương trinh Ị4 t 4 —12j.t = 104 có nghiệm duy nhâ't t = 2 tứ|

HƯ NG

^ —— = 2 hay m = ~ 8 . ;ĩ

4. Tứ giác ABOC ỉà hìrữ bình hànỉvkhi và chỉ khi BA —o c (*)

TR

ẦN

__ m2 i m . 3m2 ] I rn ---Ta có: BA — và o c = ếị ;6 “ V 2 4 4 \ 2 V

00

3m 2 4

P2

+3

m2 _ £ 4

m 2 = 6 => m ——Vó thỏa m < 0 .

10

Khi đó (*) 0 É |^ & lđ iề tlk jệ n ,s u y ra m = l . ^ ^

P2

+3

2 Tứ giác ABOC nội tiếp khi và chi khi ABC = AOC. ÍT— i 22 + l )V | í dự 5.3.2 Giả sử đõ thị y " = x44 - T2 (m x.22 + 3 c7óTÕ 3 c ự c tr ịA , B, C .T ta m .

1

,

o

CẤ

~ ~



A

dể đường tròn nôi tiếp tam giác ABC có bán kính bangJL----- ---------- ------------Lời giải,

Ta có: y' —4x(x 2 - m 2 - 1 ).

TO ÁN

V

-L

Í-

Hàm số đã cho xác định trên R .

Dễ thây, Vm€M. thì y ' = 0 có 3 nghiệm x ^ o hoặc X= -V m 2 + Ĩ hoặc

NG

X—^m 2 -Ị-1 nên đổ thị hàm so co 3 cực tri.

, cc ^^m m 2 + 1l ;;3 3 - (m 2 + l1))

\

ID

ƯỠ

Giảsử Giả sử A(0;3), B -y -Vjm m 2 + ĩ ; 3 - ( m 2 + ll))

f + m 2

+ l , BC = 2^ / ^ + ĩ , I là trung điếm BC

BỒ

Ta có: AB = AC = Ị m 2 + l >AI = (m 2 + l Ị 2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

l ' l ì Diện tích tam giác ABC: “ .BC.AI = -(A B -f AC-f-BC)r với r là bán kill 2 2 '-Í đường tròri nội tiêp tam giác ABC.

.Q UY

\Z Ịm2 + lj vim2+l

TP

(m 2 + l )4 + m 2 + 1 4- Vm 2 + 1

ĐẠ O

h a y |m 2 -h lj = l + y (m 2 + l j + 1 (*). Đ ặ tt = m 2 + 1 .

HƯ NG

Phương trình (*) viết lại: = ! + >/:1+ tr

m = ±1.

A

CẤ

P2

+3

10

00

B

Với t = 2 tức m + 1 = 2

TR

1+ r

ẦN

r-i> 0

Lờí giải.



Hàm sô' đã cho xác đinh trên R..

-L

Í-

Ta có: y’ = 3mx 2 - 6 mx + 2m + 1.

TO ÁN

Đê (c m) có 2 cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt đổng thời -

đoi dâu 2 lân qua môi nghiệm đó; tức ỉà ta luôn có:

ịm ^O [3m -3 m >0

NG

m < 0 hoặc m > 1 .

ƯỠ

Vơi m 1 thì (cm) luôn có 2 cực trị, đổng thời hoành độ cực trị

BỒ

ID

thỏa mãn phương trình 3mx 2 - 6mx + 2m + 1 = 0 (*). Và y = ỉ ( x - l)|3 m x 2 - 6m x+ 2m + 1 j + —[ ( 2 - 2 m )x +10 - m ]

104 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

| ; ra y = —1^(2 -2 m )x +10 - m j do (*) ỉà đường thẳng đi qua 2 cực trị. Ạ; y = ỉ [ ( 2 - 2 m ) x + 1 0 - m ] « - A: ( 2 - 2 m ) x - 3 y - t 1 0 - m = 0. 1 18

yj(2 - 2 m ) 2 +9 1

+1

3V 2 __ 1_ 2 m + l V2



2

=■< V 2 , đẳng thức xảy ra khi m = ^-.

ĐẠ O

ỉy d(l,A ) = -

2m +l

TP

(2 m + l) 2

.Q UY

|2m +lj

1 H--2

2

HƯ NG

l:d ( l,A ) =

ẦN

5 Vậy, với m = — thì max d(ĩ,A ) = V 2.

rằ" f 1 ì Hâ Cách 2: DÌ thấy A luôn đi qua điểm cố định M —r;3 vói V m e K . 2 |ẫ?|G ọi N là hình chiếu vuông góc của I lên A, khi đó d (l;A) < IN < IM} do đó

\ J TR

*

00

B

Ịầễĩ^

10

ẼiÉtóảng cách từ I đên A bằng IM khi và chỉ khi ỈM-LÀ tức kjj^.kA = —1 .'í

CẤ

P2

+3

■ „ _____ 5 2

; 2 ~2m 3

A

*5||pác hoạt động cơ bản :



13 H o ạt đ ộ n g 1: Tim các giá trị của m để hàm số:

-L

Í-

y = -X 3 - mx2 + (2m - l)x + 2 có 2 điểm cực trị dương. .

..

NG

TO ÁN

a m l&i-•% T. h Tkam khảo đề ôn tập, THPT Nguyễn Trãi, ỉơ:ánh ỉữ:ắnh Hòữ Hòa năm 2011. ế r ; , ... | ; ff 'Z ':2. y = —(m - l) x 3 —m i~ỏ —-x^ x2 + (3 —m)x —m + — có cực trị và số 2 nằm giữa 3 2 2 ^ỊT: : hai điểm cực trị của hàm sô. 3. y^==~x3 4-3(m ' \ + l)/x 2 -Í 3\ m 2 - f - 7 m - l|x ì + m2 - 1 có điễm cực tiểu tại một pìiểm có hoàrử\ độ rứtỏ hơn 1.

ID

ƯỠ

I

BỒ

$ :u 4. ý ——X3 + mx2 + 2(5m —8)x + 1 có điểm cực trị tại 2 điểm có hoành độ

105 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Q Hoat đông 2: Tìm các giá trị của m để hàm số có hai cực trị Xj,;x2: 1.

y

*

= —X3 ——(2m —l) x 2 H---- x + 1 thỏa mãn 3 2 9

X1

NH ƠN

-

= 2x2 ;

+m(x + l)

_

í1

1'

4. y —(x ~ m)Ịx2 —3x - -ỉn —l j thỏa mãn ỊX2.X2 Ị= 1.

HƯ NG

□ Hoạt động 3:

ĐẠ O

3. y = ----- — - ------ thỏa mãn Xj -f X2 = —6 •— + —x+2 x2

TP

X2

.Q UY

2. y = x3 —3(m + l) x 2 + 9 x —m thỏa mãn y (x 1) + y ( x 2) = 2; Tham khảo đề ôn tập, THPT Nam Phù Cừ, Hưng Yên năm 2011 I

10

00

B

TR

ẦN

Tìm các giá trị của m đíh àm số y = —X3 ——(m + 4)x2 4- (2m + 5)x + 1 3 2 ĩ. Có hai cực trị lớn hơr. —1; 2. Có đúng một cực tậ lớn hơn —1; 3 3. Có ít nhất một cực trị lớn hon —; 2 4. Có hai cực trị nhỏ hơn 4;

I I I I I Ị [ ĩ

ỗ. Không có cực trị.

I

+3

5. Có một cực trị trong khoảng (3; 5);

CẤ

P2

'

□ H o at đ ộ n g 4." Tìm cát giá trị của m để hàm sô':





A

L Chứng tỏ rằng chỉ có một điểm A duy nhất trên mặt phẳng toạ độ sao cho I

-L

Í-

X2- m ( m + l)x + m3 + 1 nó là điểm cưc đại của đồ thị y —--------- -------- --------------- ứng với một giá trị I x -m ‘ ■ 'ị thích hợp của m và cũng là điểm cực tiểu của đổ thị ứng vói một giá trị thích ! hợp khác. Tìm toạ độ của A . í 2. y = —X3 -f- 3mx2 —3m —X có 2 điểm cực trị đổi xứng nhau qua đường \ thẳng x-i-8y —74 = 0 . Ị

NG

TO ÁN



Tham khảc đề ôn tập , THPT Đặng Thúc Hứa, Thanh Hóa - năm 2009. Ị

BỒ

ID

ƯỠ

2 „ mx -f3mx + l 3. y —------- —---------- có 2 điếm cực trị nam vê 2 phía trục tung. x+ 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

'»■ \ ị

có 2 điềm cực trị nằm cùng phía đường thẳng I

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

~" 5 y = X3 + (m —4)x2 —4 (m —l) x -h 4m + 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm ịxtc đại cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = X.

.Q UY

£ y = X3 —3(m + l) x 2 + 9x + m —2 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực 1 tiểu cùa đổ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thăng d : y = —X.

TP

□ H oạt đ ộ n g 5: Tun các giá trị của m để hàm số:

ĐẠ O

1 y = X3 -4- 3(m - l) x 2 4-3(m - l)x + 1 có 2 cực trị, đổng thời đường thẳng (d) nối 2 cực trị đó đi qua l(0;—3).

HƯ NG

2 y = x3 —3mx2 -Ị-3(m + 6)x + l có 2 cực trị, đổng thời đường thẳng (đ) nối 2 cực trị đó đi qua l(3;5).

+3

10

00

B

TR

ẦN

Q H oạt đ ộ n g 6.* Tim các giá trị của m để hàm số: _ị_ 2 1 y = ----- ——----- có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai x+ 1 điểm đó đến đường thẳng A :x + y + 2 —0 bằng nhau. Ị o 2 2. y ——X + X + mx + m có 2 cực trị, đổng thời khoảng cách giữa 2 cực trị

/

\

CẤ

P2

bằng 2V Ĩ 5 . 3. y = X3 —3x2 + (m —ó)x + m —2 có hai điểm cực trị và khoảng cách từ ’

12

■=• ■ V265 o H oạt đ ộ n g 7: Tìm các giá trị của m để hàm SỐ: 1. y = X4 - 2 ( m + l ) x 2 + m có 3 cực trị A,B,C sao cho: OA = BC, 0 là gốc tọa

Í-



A

Aí 1;—4) đến đường thẳng đi qua hai cực trị băng

TO ÁN

-L

độ, A là cực trị thuộc trục tung, B, c là 2 điểm cực trị còn lại. Đẽ thỉ Đại học khối B - năm 2011. X2 + m x - m + 8

2

,

2

+ Yct = ‘ ^ '

NG

2. y = --------- —----------- có cưc đai, cưc tiếu đông thơi X —1

ƯỠ

3. y = —X3 ——(m 4- l) x 2 4* mx có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường

ID

thẳng 72x —12y —35 = 0.

BỒ

x2+ (m + l)x + m + l 4. v = ------ -------- -------------- Gọi A,B là hai điểm cực trị , đinh đê x+ 1 diện tích tam giác 0 AB bằng 2. Với giá trị m vừa tìm được, tính khoảng cách từ 0 đền đường thẳng AB. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

107

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ H o ạt đ ộ n g 8: Tìm các giá trị của m để hàm số:



NH ƠN

2. y = X4 —Zm2x2 + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông.

.Q UY

2. y = —X3 4- 3x2 + 3Ịm2 —ljx —3m2 —1 có 2 cực trị cùng điểm 0 tạo thành tam giác vuông tại 0 . 3(1

—m)x -í-1 + 3m có 2 cực trị cùng điểm 0 tạo thành tam

TP

3. y —X3 —3x2 +

ĐẠ O

giác có diện tích bằng 4 .

4. y = X4 —2m2x2 + 1 có 3 điểm cực trị ỉà 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

HƯ NG

Tham khảo đ i kiểm tra học kì I , tình Tiền Giang - năm 2009,

5. y = x3 —3mx2 + 3 |m 2 —1jx —m3 4- 4m —1 có 2 cực trị cùng gốc tọa độ 0

TR

ẦN

tạo thành tam giác vuông tại 0 . Tham khảo đề ôn tập học kì I, THPT Đặng Thúc Hứa, Nghệ An năm 2Õ11. X2 + mx + 2 , _ ì An , 2 6. y —------- --------có điêm cưc tiếu năm trên Paraboỉ (p ): y —X + X—4 ' '

00

B

V_ 1

10

□ H o ạt đ ộ n g 9: Xảc định giá trị tham số m 6 K để hàm số: 3

j.

CẤ



P2

Í

+3

1. y = X4 —2mx2 + 2 có 3 cực trị tạo một tam giác có đường tròn ngoại tìêp

A

2. y —X4 —( 3 m - l ) x 2 + 2m + l có 3 cực trị tạo một tam giác cùng vổd D(7;3)

Í-



nội tiếp đường tròn. Q H o ạt đ ộ n a 10i Tìm các eiá trị của m để hàm số:

-L

1. V —X3 —3x2 + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiêu nằm ở về hai phía khác

TO ÁN

nhau của đường tròn (Cm): X2 + y 2 —2mx —4my + 5m2 —1 = 0 . 2. Cho hàm số y = x4' —2mx2 -t 2m —1 (l) . Định m để hàm số (l) có ba

NG

cực trị và các điểm cực trị của đổ thị hàm số (l) tạo thành một tam giác có chu vi

ƯỠ

bằng 4^1 + V6£>j.

ID

3. y —X4 —2(m -f~ l) x 2 + 2m -f 1 có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có

BỒ

bán kính đường tròn ngoại tiếp bang 1. 4. y = X4 —2mx2 +1Ĩ1 có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính

đườne tròn nội tiềp bằng 1. 108

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

\

* y — x 3 —3x 2 + m x + l có cực đại cực tiếu và khoảng

1 11

cách từ điểm

đến đường thẳng nối điểm cực đại và cực tiểu ỉà lớn Jihat

.Q UY

2; 4 J

NH ƠN

□ Hoạt động 11 Tim m để hàm số:

Tham khảo đề ôn tập học kì ỉ, THPT Nguyễn Khuyến, TpHCM năm 2011.

— (m + l)x —m2 + 4m —2 có cực trị đổng thời tích các giá trị cực . X—1 đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ n h ất

ĐẠ O

TP

2. y=

cực TRỊ CỦA

HÀM s ố TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐANG t h ứ c .

ẦN

ỨNG DỰNG

HƯ NG

CHỦ ĐỂ 4

o

TR

Ví dụ 1.4.2 Cho tam giác ABC không tù. Tim GTLN của biểu th ứ c: p —COS2A+2V Ỉ(cosB 4*cosC).

00

B

t ờ i giải.

Í-



A

CẤ

P2

+3

10

Ta có A cos2A= 2cos2 A - l < 2 c o s A - l = l - 4 s i n 2—. 2 Đẳng thức có ^ cos2 A = COSA . p , . c B-C . c cosB + cosC = 2sin—-COS------ - < 2 s i n —. 2 2 2 B -C _ A ^ sin— =»20 < t < -— . 2 . Đăngo thứcrxảy ra COS-- =^ 1. Đăt t = * 2 Ta có: P < - 4 t z + 4 V 2 t + l = f ( t ) .

-L

í 4i

, có f '( t ) = 3 - 8 t + 4 ^ = » f '( t ) = : 0 ^ t = — .

TO ÁN

Xéthàmsố f (t), t €

ID

B —c . Đẳng thức xảy ra ■ COS—-— = 1

BỒ

= 3=> p < 3 .

cosA —COS2 A

ƯỠ

NG

Lập bảng biến thiên ta có: f (t) < f ầ . 2

[a = 90°

.Vậy niaxP = 3 .

!B = c —45ơ

. A Ví sin —= - — 2 2

109 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Ví dụ 2-4-2 Cho bốn số nguyên a,b,c,d thay đổi thỏa:

.Q UY

l < a < b < c < đ < 5 0 -Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức p = —+ — . b d

—> —+ d b 50..

f(b). v ’

ĐẠ O

Suy ra 7 ; b

TP

Lời giải. Vì 1 < a < b < c < d < 50 và a,b,c,d là các số nguyên nên c > b + 1 .

Tac0f'(x) = ~

X2

+ i= » f * ( x ) := 0 4 » x = 5.>/2. 50

w

ẦN

w

HƯ NG

Dẽ thằy 2 < b < 48 nên ta xét hàm s ố : f (x) ——+ ^ - ,x £ [ 2;48 ].

TR

Lập bảng biên thiên ta đ ược min f (x) = f ^5 V 2 j .

00

B

Do 7 và 8 là hai số nguyén gần 5V2 nhất vì vậy: 175

.

+3

10

min f (b) = min {f (7 ); f (8)1 = min [2:48] w \ \ \ n [ 175 200 J

53 . 175 Đế hiểu kĩ hơn ỉạng toán này, bạn đọc tham khảỡ o Bài 3

A

CẤ

P2

Vậy giá tn nhỏ nhất của p =

Í-



Hoạt động cơ bân :

-L

ĩ. Cho hai sô' thực x,y tihay đổi và thỏa mãn hệ thức X2 -f- y 2 —1, Tìm

TO ÁN

GTLN, GTNN của biểu tì lức p “ — l+ 2 x y + 2 y 2 Đề thi ĐH K hối B năm 2008.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2. Cho các số thực x,y thỏa X2 -ỉ-xy-t-y2 < 3 . Tim GTLN, GTNN của biểu thức: p = X2 —xy + 2y 2-

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHƯ Đ E 5 ________ ____ ____ _______________________________ __

ỨNG DỤNG

cực TRỊ CỦA

HÀM s ố TRONG BÀI TOÁN ĐẠI SỐ .

.Q UY



NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Phương pháp:

TP

sù' Biến đồĩ phương trình, bất phương trình đã cho về dạng / ( x ) = g {m ), Sau đó lập bảng biến thiên của f { x ) , dựa vào bảng biến thiên để tìm

ĐẠ O



■được tham sô'm cẫh tìm.

HƯ NG

Ví 4ụ 1.5.2 Tìm các giá trị của tham sô" thực m để phương trình:

3>/x —1 4- mVx-f-1 —2\^x2 —1 có nghiệm thực.

TR

ẦN

Đế' thi Đại học Khối A - năm 2007. Lũi giải.

00

B

Điêu kiện: X> ỉ,

10

Chia cả 2 vế phương trình cho Vx-fT , ta được: 0 y

-

TO ÁN

4x3 ~ ( 2 y + 4 )x 2 +2xy + x z + x - y = 1 2x + 2

^ (3) 2{lx —2x + l)

------------ 7

-

-

-------------

.

ƯỠ

NG

Từ (2) và (3) suy ra: X

BỒ

ID

2m = y + 1 —X2 —x = —X2 +

Đặt t —2x2 - 2x + 1 = 2

1 2J

1 ______ 3 +— 2 2(2xz - 2 x + l)

2

2

112 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 3 Khi đó (4 ) trở thành 2m = —- t + 1— w 2 2t [

l

3' . t;

ì

NH ƠN

3

lí 2V

Xét hàm sô' f (t) = 14- — trên nửa khoảng —; +00 . i [2 } 3 (1 Ta có : f'(t) = l —- y , trên khoảng —;+oo : t {2 }

.Q UY

—0 =>t = \Ỉ3.

TP

Từ bảng biến thiên, suy ra: f ( t) > 2V3 .

Ád

ĐẠ O

Chú ỊÍ;

t H— < 1 —V3 hay m < —— — . t dụng bất đẳng thức TBC - TBN : __

I -1- — ^

t

V t

nay

1

HƯ NG

2

< 1 —V3 = > m < --------- —" . . tj 2

—— t i —

21

ẦN

Các/ĩ 2;

00

B

TR

? [(x 2- x ) ( 2 x - y ) = m ( 1) Hệ phươne trình đã cho viết lại: í , , . Ị(x2- x ) + ( 2 x - y ) = 1 - 2m ( 2)

P2

+3

10

Dễ thấy phương trình trong hệ đã cho không phải là 1 đa thức đối xứng đối với X và y . Nhưng ta có thể nhận ra tính bất biến của bài toán

CẤ

Iu - X2 - X I u > ----1 Đặt ị V 4 ) • Hệ đã cho trở thành : <

ỉì «■

4



A

[v = 2 x - y ( v e Ẹ )

u + v = 1 - 2m / uv = rr, u > -

-L

Í-

Nhận thây v ế trái của các phưcmg trình thấnh phần của hệ là các đa thức đối xứng đối với u và V.

Ị-u +u=m(2u+l) TO ÁN

( • ) ~ { v=,(1 : 2" ), " “

V = l-2 m -u

—u +u , 2u +

( 3)

\ - u 2 +u ^ 1 f (u) = —------- , u > — v ; 2u + l 4 - 2 u 2- 2 u 4:1 Ta có : f (u) = (2u + l ) 2 ilísệ

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Đặt

VueỊ;+coì:

f '(u ) = 0=>u= 113

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2-V 3 )2

Ị < = > m < — —— .

Chú ý: Bài toán quy vê' tìm tham số thực m để phương trình

TP

^ u 2 + u = m(2u + l ) có nghiệm u > - —.

.Q UY

r 1 ;+oo _ 4

NH ƠN

Từ bảng biến thiên suy ra hệ có nghiệm khi ( 3) có nghiệm thụộc

ĐẠ O

Cách 3: Dựa vào cách 2 . Từ phương trình ( 2) => y = X2 -f X+ 2m —1 ( 3)

HƯ NG

Khi đó thay ( 3) vào phư m - x ( r ỹ - ị x z ỉ ũ J 2x - 2x + l v Đăt t = x ( x - l ) = x 2 - 2 . - - X + —- —= í x - ì ì

- ỉ > - ỉ

: : 4 4 Ỉ , 2 j 4

}

TR

v

t(l-t)

B

, ^

(4). v ;

4

1(

3

10

00

Khi đó phương trình (4) viết lại m = ————= 1 —— 2t + 1 H----— — F 6 v ' 2t + l 4V 2t + 1

P2

+3

Xét hàm SỐ g ( t) = 1 - —^2t -f 1 + — “— j trên nửa khoảng

4 ^}



A

CẤ

_ 2-Vã - Đến đây, ra làm như trên. Suy ra m < 2 ;+ooj và ị

Í-

Chú ý: Hàm số g (t) >ác định yà liên tục trên nửa khoảng

I

-L

lim g ( t ) = —00nên phương crình trên có nghiệm thực t (tức là có nghiệm thực X

L-»+«0 ' '

TO ÁN

) thì phải có m < max g (t) .

ceB ;+w)

NG

Các hoạỉ động cơ bản :

ƯỠ

Q Hoạt động 1: Tìm các J5iá trị tham số thực m để phương trình:

BỒ

ID

1. 2x - f 1 —myịx2 —2x-f 2 = 0 có nghiệm thực.

2. m ịy Ịl + x2 - V l - X 2 ++ Vl + X2 - V l - X 2 có nghiệm thực.

Tham kh ảo để ôn tâp hỡc kì ĩ. THPT Amsterdam. Hầ Nôi nấm 2010. 114

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON



4 nghiệm thực.

NH ƠN

3. m (x + 4)V x^+2 = 5x2 + 8x + 24 '•

Tham khảo đề ôn tập học kì ỉ, THPT Lê Quý Đôn, Khánh Hỏa năm 2011.

.Q UY

4. (3x2 —14x + 1 4 j - 4(3x-7)(x-l)(x-2)(x-4) = m có một số lẻ nghiệm thực.

TP

5. Tìm m đ ể phương trình : 2(sỉn4x + cos4xỊ+cos4x + 2 sin 2 x -m = 0 có

ĐẠ O

nghiệm trên đoạn 0;— -

x + -jx ỹ = 1

HƯ NG

□ Hoạt động 2: Tìm các giá trị của tham số thực m để hệ phương trình có 3 cặp nghiệm thực.

TR

ẦN

|3(x + l ) 2+ y - m = 0

B

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG.

+3

Hoạt động 1:

I

10

H 3

5

00

Ả/

CẤ

P2

1. Ta có: y' —3x2 + 6x + 3 —3 (x + 1)2 > 0, Vx => Hàm số không có cực trị.

A

2. Ta có: y ’ = —4x3 4-12x —8 = :—4(x —l ) 2(x-j-2)

= —2 , y Ị—2) —25, hàm số không có cực tiểu.

TO ÁN

Hoạt động 1:

X

-L

Vậy, hàm đạt cực đại tại



—4(x —l) 2(x + 2) —0 4^ X= 1 hoặc x = —2

Í-

y' = 0

CHỦ ĐỀ 3

1. Ta có: y’ = X2 —2mx -f 2m —1; y’ = 0 «=> X2 ~ 2mx + 2m —1 = 0 (*).

NG

Hàm sô' có hai điểm cực trị dương

BỒ

ID

ƯỠ

ÍA ’= m2-2 m + l > 0 I s = 2m > 0 ịp = 2 m - l > 0

(*) có hai nghiệm dương phân biệt

1 m> — 2. [m ^ l

2. Ta có: y' —(m —l ) x 2 - (m + 3)x + 3 —m. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình: Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

115

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(m —l) x 2 —(m + 3)x + 3 —m=: o (l) có hai nghiệm phân biệt Xj ,x2. Phương trình (1 ) trở thành (m —l ) t 2 + (3m —7 )t + m —7 —0 ( 2).

NH ƠN

Đặt t = x -2 = > x = t + 2.

Phương trình ( 1 ) có hai nghiệm xl , x2 sao cho x: < 2 < x2 khi và chỉ khi

.Q UY

phương trình {2 ) có hai nghiệm t j , t 2 thỏa m 7 „ t 1 < 0 < t 2 —-----< 0 < ^ l < m < 7 . m —1 _

r,

TP

-

3. Ta có y ■——3x2 + 6(m + l)x —^3m2 + 7 m —l j .

ĐẠ O



HƯ NG

Hàm sô" đạt cực tiêu tại một điểm có hoành độ nhò hơn 1

- - 3x2 + 6 (m + l)x —Ị3m2 + 7m —l j —0 có hai nghiệm x1,x2

thoà

ẦN

mãn điều kiện : Xj < 1 < x2 (1 ) hoặc Xị < x2 < 1 ( 2).

ì

—l)(x 2 —l) < 0 < ^ x 1.x2 —(x1+ x 2) + ĩ < 0

j

10

X1< 1 < X 2 ị

3m + 7 m - l -

00

x v x2 =

B

Theo định lý viet, ta có :

TR

x1+ x 2 = 2(m + l)

A

CẤ

P2

+3

3m2 + 7 m —1



A'

-L

Í-

• x ĩ < x 2 < 1 (2) ^

0

Xj - f x 2 < 2

(X1 ~ l ) ( x2 ~ 1)^ 0

TO ÁN

Từ (a) và (b) suy ra m < 1

NG

4. m < 2 hoặc m > 8 thì hàm số có cực trị.

[x1-Ị-x2 < 2

5

ƯỠ

< x2 < 1 ^ \ & ... m > — ](x1- l ) ( x 2- l ) > 0 4

BỒ

ID

Tóm lại: —< ni < 2 hoặr m > r thỏa mĩ n điều kiện. 4

Hoạt động 2: 1 . m ——2 hoặc m = 3.

2. m ==—3 hoặc m = i .

116 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

, X2 + 4x + m 3 .TaCÓ y = - - - --(x + 2)

Đê’hàm số đạt cực đ ại, cực tiêu tại các điểm có hoành độ X2

,x2thì phương trình

+ 4 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác —2 khi 0

xỉ + x‘ = - 6

JỊ_

JL_

Xi

X2

x

2 = 12

ĐẠ O

|x 1 +

X-.X. = m

(Xj + x 2)2 —2.xr x2 = —6 Xị -* *2 x 1,x ,2 ’

m —2

TR

B 10

X —4x' + 5

CẤ

10

3



-L

Í-

5. 2 < m < — . 3

2. m < —

X —2

A

. 3. m < —^ hoặc m > 2. 2

TO ÁN

Hoạt động 4:

X2 —2mx +

,

0=^m < 4

+3

P2

10

,

m = 2.

- ( m + 4)x + 2m + 5 v à y ' = 0 ^ m = g(x):=

1. —- r - < m < —2 hoặc m > 2. 3

ĩ. Ta có y

m= 6

00

Hoạt động 3: X2

ẦN

24 16 —2m —— m -8m -}-12 = 0 m ^ 1 _ < :v 4/t 0#m 10 ^ m < 4

Ta có: y ’ =

HƯ NG

Theo định lý Vi-ét, ta có :

TP

[g (-2 ) = ( - 2 ) 2 + 4 .( - 2 ) + m * 0

m2 —1

.x ^ m .

(x —m j

ƯỠ

NG

Tam thức g(x) —X2 — 2mx + m2 —1 có A = 1 > 0,Vm € M y(x1) = —m2 + m —2=>M|m —l ; - m 2+ m —2j

ID

y ’= 0^»

X, = m — 1

BỒ

m ■+1 = - m 2+ m + 2 = ^ N (in + l;-m 2+ m + 2 j 1“X-2 = -----y(x2)

Đặt' A(x0;y0) . Giả sử ứng vói giá trị m = m1 thì A là điểm cực đại và ứng vói giả trị m —m2 thì A là điểm cực tiểư của đồ thị hàm số 117 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

I

-

A



x0= m 2 + l

7

NH ƠN

[x0 = m 1 —l

|y0 = - m i + m i~2 [y0 = -ni2 + m 2 + 2

-m ị

.Q UY

■01^-1 = 1112+1

+ m1- 2= —m| + m2+2

2

1 2

x0= —-

m. —— 1 2 [m1=j-m2= - l m, =ẻ —

fm, -m, =2

0

A

1 _7 2' 4

2

HƯ NG

2. m = 2.

TP

Theo bài toán, ta có :

ĐẠ O

Ta CÓ:

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ẦN

3. 0 < m <

TR

4. Với jmj > 1 thì ta có y = —Ịl —m2 jx là đưòng thẳng đi qua 2 điểm cực trị

00

B

M(x1;y ĩ ) và N(x2;y2).

10

Theo bài toán, ta có (2xj -j- yr1)(2x2 + y 2)> 0

P2

Hoạt động 5:

+3

Đáp số: |m |> 1 v à m ^ ± 2

CẤ

1. (đ); y = - 2 ( m - l ) ( m ~ 2 ) x - m 2 + 2m.

.



A

2. (d): y = 2 |~ m 2 + m + 6,x + m2 + 6 m + ĩ và m = 4

+ 2 x + 2 m -'2

-L

X

TO ÁN

1. Ta có y ' —

Í-

Hoạt động 6:

(x + ự

NG

3 m < 2 thì A ^ y - J = 2x^-2511),B(x2;y2 = 2 x 2 ~t-2m) là các điểm cực trị của

ƯỠ

đổ thị hàm SỐ thì x lf x 2 là nghiệm cửa phương trình g(x) = 0,x X1

+ x2 = —2, Xj.X2 = —2 m .

BỒ

ID

Theo định lý Vi ét

1.

Theo yêu cầu bài toán d(A,A) = d(B,A) 0 hay m < 9 .

X 24 Và y = -r(x —l ) y '+ —m —6 X + —m —4, vì điểm cực trị có hoành độ là 3V ' ,3 , 3

HƯ NG

|v§■;

ĐẠ O

pp

ẦN

I nghiệm của y ' = 0 nên đường thẳng (d) qua 2 cực trị có phương trình

TR

y = —m —6 X + —m —4 hay 2(m —9)x —3 y + 4(m —3) = 0 3 3

00

2 ( m - 9 ) l - 3 . ( —4) + 4 (m -3 )|

V 4 m 2- 7 2 m + 3 3 3

m-3Ỉ

2

V4m2 —72m + 3 3 3

-v/265

CẤ

P2

12 Theo bài toán d(A,(d)) = -^===

A

Bình phương hai vế, rút gọn ta được: 249m2 —1302m + 1 0 5 3 = 0 ,



|| ^

|6m —18

+3

# ( m - 9 ) f + (-3)

10

d(A,(d)) =

B

J

%?7

X2

= m +1

-L

Í-

ỊỊ|; Hoạt ñộng 7: 1. y' = 4x3 - 4 (m - l) x =^>y’ = 0x = 0 hay

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y 1= 0 và đổi dấu 3 lần qua nghiệm

TO ÁN

X hay X2 = m +1 có 2 nghiệm phân biệt khác 0 m + 1 > 0 tức m > —1. Khi đó đổ thị hàm số có 3 cực trị

NG

A(0;m), B|-Vm + l ; - m 2- m - l ) , c(Vm-f-l;-m2- m - l ) .

ID

%---::-

2. m = —2

4. Ta có y =

1% ■

II

BỒ

|p

ƯỠ

Theo bài toán, ta có: OA - BC m2 = 4(m + 1) m = 2 ± 2^/2 thỏa X +2x

, x ^ —1

(x + 1)2

Với VmEK. thì A(—2;m —3) và điểm cực tiểu B(0;m + l).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

• Ta có : O A (-2 ;m -3 ), O B (0;m + l) và OA.OB = (.m —3)(m + l) .

NH ƠN

=>0A = \ Ị m 2 - 6m + 13, 0B —Ịm-i-lỊ

.Q UY

ÕẤÕB ___ /-------- J(OA.OB)ZJÕĂ.Õ b )2 cosAOB —— :— =»sinAOB = Vl —cos2AOB = —-------- ——4 -------- — OA.OB OA.OB

ĐẠ O

TP

• Diện tích đt(Ạ0A8j - —OA.OB.sin ẤOB = -ẶoA.OB)2 - (OA.ÕbỊ2

dt(AOAB) - - = |m 4-1| => d t(A0AB) = 2 0 [m + 3 > 0 \ , . -^=>■ Ịg( l) = - m - 3 ^ 0 m ^-3

m > —3

120 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

+ V rn + 3;m + 2 + 2Vm + 3 j làrđiểm cực tiểu của đổ thị hàm số. J ;:A € ( P ) ^ m + 2 + 2VnT+3== Ịl-Ị-Vm + 3)2 + l + >/m-f 3 - 4 ^ m = - 2

ploạt động 9:

TP

Vì B,c đổi xứng nhau qua Oy do đó tâm I đường ưòn đi qua 4 điểm A,B,C»E> nằm trên trục Oy và l(0;x0). j IA " ID Khi đó có hệ: \ ^ IA = IB

00

B

m=

TR

x0 —1

>ỉo = 1

ẦN

( 2 - x 0)2 = m + ( 2 - m z - x 0)2

HƯ NG

ĐẠ O



.Q UY

Ê . l . Ta có: y ' = 4x3 —4mx = 4x(x2 —m). pr ' ' fC Với m > 0 có điểm cực trị A(0;2), b Ị—Vm;2 —m2j, cỊV m ;2 —m2j .

10

■y. 2, m = 3

+3

Hoạt động 10:

. fx = 0 =» y = 2 y = 0

P2

_ ■ 5! l . T a c ó : y = 3 x —6x;

CẤ

ị x = 2 = ^ v = —2



A

(cm):(x —m )2+ ( y —2m)2 = 1 có tâm ĩ(m;2m) và bán kính R = 1. 2

36 5

6 Vs

.

-L

Í-

Vì ỈB = V sm 2 + 4 m + 8 J s m -f— 5]

TO ÁN

=> điểm A nằm trong đường tròn (Cm)IA 0

ID

Gọi A (0;2m —l), B (-V m ;—m2 + 2 m - l j , cỊV m ;—m2 4-2m —lj.

BỒ

CĨỆrvi tam giác ABC : p = yịếm + 2-v/ni + m4 . p = 4-Ịl-l-V65 j m = 4.

121 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. m > —1 hàm số có 3 cực trị A(0;2m -j-l), B^Vm + 1 ;—m2j,

+ T;—m2j và IÍ0;a) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

IA =1 =l

Ịa = 2m,a = 2m + 2 (l)

.Q UY

Theo bài toán, ta có :

m + (a + m2)2 = 0 ( 2)

TP

c

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĐẠ O

Thay (1 ) vào (2) ta tìm được m = 0. 4. m$> 0 hàm số có 3 cự m = 2

TR

Hoạt động 11:

2. Ta có y = Ể . - 2± ± -' g Ị - 3m± 3 = - l M

(x -1 f

00

B

(x -1 f

- X, X

10

g(x) = x2 - 2 x + m2 - 3 m + 3

P2

+3

Hàm số có cực đ ạ i, cực tiểu khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân

A

CẤ

ÍA '> 0 biêt X,,x,khác 1 { . , l y 1 ~ l - m + 2yj—m 2 + 3 m - 2

TO ÁN

y* = 0 ^

-L

Khi đó

Í-

nghiệm của phương trình gịxj = 0 , x ^ l .

x 2 = 1 + V—ĩn m":: + 3m —22=> => y’ 2 = l —m —2\/—m 2 + 3 m —2

NG

yr y2 = ( l - m)2 - 4-(-m2 + 3m'“ 2); (7

BỒ

ID

ƯỠ

y r y 2 = 5m2 - 14m + 9 ==f(m ) và f (m) có đỉnh s

Vói 1 < m < 2, xét f (m) có 77 / V / \ 4 ' 4 7 € ( l ; 2 W min. m = — min f(m) = —- =>miny^.y^ = —- khỉ m = 3 1; mê 1:2 v > 5 J 132 c; C 55 vv me(l:2;

Đóng góp PDF122 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Hoạt động: I_|_2xy + 2y2

t V_+

t 2y 2 + 2 ty z + 3 y z

ĐẠ O

X= ty =» p =

TP

* Nêu y = 0 =$■p = 1. * Nếu y ^ 0 thì đ ặ t:

= - t ±ẾL... = f(t) t2 + 2 t + 3

''

HƯ NG

\ —4 t2+ 6 t + 18 \ Tacó: f' t = - - ~ .f t = 0 ,

(t2+2t + 3)

l i mf ( t ) = l 2 »-***' 3Ì Lập bảng biêh thiên ta được: f —— < f (t) < f (3),Vt => —3 < f (t) < 2

10

X2 4 - y 2 = 1

00

B

TR

1

ẦN

4$ t. = 3,t, = —

NJ I LO

1. Ta co: p

X2 + 6 xy x 2+ 2 x y + 3 y ‘

.Q UY

X2 + 6 x y

+3

Vậy m inP = —3 đạt được khi

x = - - y

CẤ

P2

2

X2

VĨ3 3 VĨ3 1

y = ±V ĩõ 3 x = ±

Vĩõ

+ xy + y2 =ị> 0 < a < 2.

-L

2. Đặt a =

x = ^F

Í-



A

3 I Ịy^ maxP = r- đạt được khi I 2 [X —3y

y=±

* Nêu a

0, ta giả sử y 5É0. p

X2 -

xy + 2y2 _ t 2 - 1 + 2 2 2— 2 - f (t )

X -rx y + y

ID

ƯỠ

NG

Đặt

TO ÁN

* Nếu a = 0 < ^ x = y = :0 = ^ p = 0.

t

+ t + l

CHỦ ĐỀ 5

BỒ

Hoạt động 1: 1. Phương trình cho đưa về dạng: f (x) = m với f (x) =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2x — Ị—j[^ • - = -—= VX2—2x + 2

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Ta có: f ’(x) = ------------- 5 ^ - t £ = = , V x e R : f (x) = 0 ^ > x ~ ~ w ( x 2 - 2 x + 2)Vxz - 2 x + 2 ' v ; 3

W x 2 +2

4772

x+4

(*)

ĐẠ O

TP

X+ 4

2. Phương trình cho đưa về dạng: m =

.Q UY

Giới hạn: lim f(x) = - 2 , lim f(x) = 2. X— .—-c x y x-^+oc ' ỵ Từ bảng biêín thiên suy ra —2 < m < VĨ3

■vói t e (—l;3 j, khi đó (*) trở thành m = t + —, t e (—1;3]. Đáp; Vx2 + 2 t 13 so: 4 < m < -7 3 4. f(x) —( x - l ) ( x - 2 ) ( x ~ 4 ) = x3 - 7 x 2 + 1 4 X - 8

ẦN

HƯ NG

Đặt t =

TR

g(x) = (3x2 - Ĩ 4x + 14)2 - 4(3x - 7)f(x)

B

g(x) là đa thức bậc 4 với hệ sô' của X4 là —3 .

10

00

f'(x) - 3x2 - 14x + 1 4

+3

g ’(x) - 2(3x2 - 14x + 14)(6x - 14 ) - 12f (x) - 4(3x - 7)f r(x) = - 12f (x)

P2

g'(x) = 0 ^ x = l ; x = 2;x = 4. g (l) = 9; g(2) = 4; g(4) = 36.

CẤ

. Từ bảng biên thiên cho thây phương trình g(x) —m có một số lẻ nghiệm khì

A

và chi khi: m = 4; m = 9; m = 36.



5. Phương trình cho viết lại - 3 sin 2x + 2 sin 2x + 3 = m Đặt t = sin 2 x . Với Xe

-L

Í-

2x e[0 ;7ĩ]= > te[0 ;l].

TO ÁN

Suy ra f ( t) = - 3 t 2 + 2 t+ 3 = m với t e [ 0 ; l] = > 2< m <

10

Hoạt động 2: - 4 < m < - — hoặc — < m < 1 2 . 3

NG

4

ƯỠ

D. BÀI TẬP Tự LUYỆN.

ID

Bài tập 1:

BỒ

Tìm cực trị của các hàm s ố : 4x2 - 3x l.y = X—1

2- y —

4x2 + 4x - 1 2x2 + 4x 4- 3

124 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

6, y = | Ị x - V ã J ^ 3x2Ị;

7. y = V -x 3 + 3x 2 ;

8. y = x + l + V 2 ? - 8 ; 10. y = —+ Vx2 + 3 ;

^9. y = X + 2 > /x 2

12. y = |x + i| + x ;

+ (x - 1) Vx ;

14. y = x2+ x - | x 2 -4 Ỉ;

' 13. y = |2x - 4| 4 -V2x2 - 8 ;

16. y = ịxị + 2 V 4 - x 2 ;

HƯ NG

j L 15. y = |x 4- 3j 4 “ v ^ x + X2 ;

17. y = 2 |-x + l| + x - 2 + V x - x

ẦN

Bài ỉập 2: Tìm cực trị của các hàm s ố : 1. y = 2 s ỉn 2 x Y 3;

TR

2. y = 3 - 2 c ó s x —cos2x;

B

3. y = cosxVsinx trên đoạn 0; —I ■ 1 2!

00

■■

+3

10

4. y = Ịcos3 X ■+-sin3 x| + 3sin 2x ;

6- y —X—2sìn2x ; 8. y —x ta n x ;

CẤ

7, y — x t a n x ; 9.

y = c o s 2x ;

^v,

10. y = cos2x; 12. y = 3cosx 4- yÍ3 s in x ;

A

11. y — 3 c o s x 4- \ ^ 3 s i n x ;



f-r

P2

5. y = x —2sin2x ; J

TP

X2

^

■7Ĩ Tĩ T ĩ

-L

Í-

; 14. y = c o tx + 4 x ,x e Ỹ- . 13. y = (c o s2 x + l)s in 2 x ,x € t l 2 2j 15. y = 2cos—-f 3 c o s — ,x€(ồ;20'k)

TO ÁN

I'

ĐẠ O

-*■ 11. y = XV16 -

.Q UY

'5. y = 2x —\lx 2 —3 ;

NH ƠN

4. y = 2x + l —yỈ2x2 —8 ;

3. y = xv4 —x ;

Bài tâp 3:

.

ñ ạ o h à m c ủ a h à m s ố t ạ i ñ iể m X

ƯỠ

Ế»--V1 . Tính

\

NG

cos-x + 2 s m x + 3 / 16. y = ------- —7—— - , x € 2cosx —sinx4-4

BỒ

ID

I ; ’ ■J|E.x = 0 , biết rằng hàm số f(::) xácđịnhbờỉ.: :

= 0 . CM

r ằ n g h à m sô ' ñ ạ t c ự c t iể u t ạ i

í^ l+ x s i^ -1 f(x) — ,

X—0

125 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

1

X sin— , x ^ 0 X ■ Chứng mình rằng f ’(x) = 0 nhi 2. Cho hàm số f(x) =

.Q UY

,x = 0 hàm số f (x) không đạt cực trị tại điểm 0.

Cho hàm số y = X5- 3 x 2 + 2 có đô' thị là (c ) . Gọi A,B là các điểm cực đạt

TP

3.

ĐẠ O

cực tiểu của đổ thị (c). Viết phương trình đường thẳng d cắt đổ thị (c) tại điểm M,N ốao cho tứ giác AMBN là hình thoi. Tim m €M đ ểhàm só':f 1. y = mx3 + 3x2 + 12'x■+2 đạt cực đại tại

=

2.

đat cực đại tại X = 2. x+ m X3 4- (m + 3)x2 f 1 - m đạt cực đại tại X=

ẦN

3. y

X -f m x 4 -1

X=

TR

2 .y =

HƯ NG

Bài tập 4:

— 1.

00

B

4. y = 2^m2 - 3 js in x ~ 2 m s in 2 x + 3 m —1 đạt cực tiểu tại điểm x = —.

10

5. y = X3 — m x 2 + ( m 4- 6 ) x 4- 5 c ó 2 đ iể m c ự c trị d ư ơ n g .

+3

2x2 —mx + m —2 - có 2 điểm cực trị âm.

P2

6 .y =

mx + X

CẤ

7. y = mx3 —3mx2 + (m + l)x —4 có cực tiểu tại một điểm hoành độ âm.



A

1 1 8. y = —(m —l) x 3 ——(m —l) x 2 -t-2m-ỉ-3 có cực tiểu tại một điểm có hoàrtỉi độ lớn hon 2.

-L

Í-

Bài tập 5:

Tun m € M để hàm số có cực đại, cực tiểu :

TO ÁN

X2 -I- m x ~ 2

1. y = ------—-----.

X—m 4. y = x4- 2 ( m - 4 ) x 2+ 2 m - 5 .

BỒ

ID

ƯỠ

NG

mx —1 3. y = (m + 2)x3 -f3x2 ~f mx + m .

x2 - m ( m + l)x-h m 3 + l

2. y = -------- ----- —Ị------------ .

5.

X2 — ( m + l ) x - m + 2 (m -l)x 2 y = --------- — — --------------------------------------------------------------------------------— . y

X~1

J

X —1

6.

= -i

Bài ỉập 6: Tìm m € E để hàm số: 1. y = mx4 4- (m —l) X2 + 1 —2m chỉ có một điểm cực trị. 2. y = X4 + 4mx3 -f 3(m -Ị- l) x 2 4-1 có cực tiểu mà không có cực đại.

126 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

mx2 + x + m x+m

.Q UY

à i t â p 7*. ™ m s R đẽ hàm số không có cực trị: ;W ,r o e " ! y = mx3+3mx2- ( m - l ) x - l 2-y

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Sàitập 8: , ~ v==x3 + a x 2 + b x + cđạt cựctrị bằng ^ •n m cá c h ê sõ a .b .c sao cho hàm so y X + X 1- ® x = - 2 và đõ thị của hàm sõ đi qua điểm A(1;0). / ; ; 0 tại điếxn X , , . - f M = ax3 + bx2 + cx + dđạt cực ' t óệ csọ í í aa,D,c,u b c đ asao cho hàm so f ( x ) - a x ^ -1-UA -r 2 Tun cách í „ 0 f f o w o và đạt cực đại tại điểm x - 1 , {) tiểu tại điếm X—u,

HƯ NG

ĐẠ O

TP

zz

ẦN

ỊBài tậ p 9: E Tìm tti để hàm số: , f______ . I yI y ( :Z - l ) x 2 + 2(m + l ) có 3 cực trị tạo thành tam giác có rạng

B

* L ± 2 E ló cực trị và khoảng cách giũa hai điẽm cực trị bằng 10. 1 —X

10

00

1 • ^ y

__ mx2 + x - m + Ị có

A,B và AB = V3 .



4. y = x2- i + * - 5m+ 1

P2

+3



CẤ



TR

1 4 Ịtằm là gốc tọa độ Ch

A'BVà AB: t . 2J5

^ I Ĩ - 3 ( I - l í +K

- 3m+2)X- m(m_l) cóñường,hẳngñiqua

-L

Í-





A

5_ y = -X 3 + 3 x a + 3m (in + z)x + 1 có cực trị A,B và

TO ÁN

7. y L ỉ —3xz . cô cực đ * cực ti& và cácc* ỉ thỊto sđ õ ix to s n h a u q u a đ ư ò n g t h ẳ n g (d ):X + 2y

.

«

đS *1 hàm sõ sons sonS vói a«6ng thing ( ):

8x+3y + 9 = 0.

BỒ

ID

t

Z

ƯỠ

■ L

- n i + ( 5» - 4 ) x + 2

- - — có hai điểm cực đại và cực tiêu cùng dấu.

P2

fpfe

1. y

v

X ~1

2. y = X3 + ( l - 2m)x2 + (2 - m)x -f m-Ị- 2 có hai cực trị đổng thòi hoành độ

CẤ

Ị|;;„

X2 “ ( m - l- l) x + 3m + 2

10

Hp:gạXXác ác định giá trị tham sô m ẽ l để hàm số

00

Ipai tập 15:



A

|J|ủ a điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Í-

Ị | 3. y = -X 3 - mx2 + (2m - l)x - m + 2 (Cm) có hai cực trị cùnị' dương.

ƯỠ

II

TO ÁN

|S y.'r

Xác định giátrị tham s ố m G Ẽ để hàm số cực đại cực tiểu x l ,x2: -ị Ị 1. y = —mx3- ( m - l ) x 2+ 3 ( m - 2 ) x + ^ thỏa mãn X! + 2 x2 = l 3 3 1 1 2. y ~ ~ X3 ——(3m —l) x 2 4- 2 ( m - l) m x thỏa mãn x1 = x2z + 3

NG

Ịf

-L

pBài tập 16:

I '

BỒ

ID

3. y = —X3 —mx2 4- (m2 —lỊx — ..

_

, (m -ự

thỏa mãn xị = xr (x2 ^ 5) + 1 2 .

_

ỉE 4. y = X + m + 1 + - — -----— ;m ^ 1 th ỏ a m a n sHV V—1

_

2 ,

—x 2 = m x ‘ —1

129 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

5. y = 2x3 —3(2m + l) x 2 4-6m(m + l)x + (m + l) 2 thỏa man

NH ƠN

■-* M [y(xi ) - y ( x2 )](6 -5 m )> m 2(x2- x |

3

.Q UY

6. y = ỉ x 3 —(m —l) x z + 3 (m —2 ) x + ỉ thỏa mãn 2 < |x j —x2| 0.

NG

V

ƯỠ

8. y —X3 —m2x2 —2x + 3 c at cực tiểu tại X E (m ;2m ).

BỒ

ID

9. y = x4 - ( m - l ) x 2 - l đạtcự cđại tại x € (l;m + l ) .

10. y = —— có cực đại :ại X € (o; l ) , có cực tiểu X ở ngoài khoảng đó.

x2+ m( x + l) 11. y = --------- -------- có cực đại tại X € [0; 1], có cực tiểu X ngoài đoạn đó. X *4" ^

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 130

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

I k y == ( m + 1 ) X3 + m x 2 — X c ó m ộ t c ự c trị tạ i X € ( — 1; l ) .

n y = ỉ x 3 —mx2 + (iĩị + 2)x —1 có cực trị trong khoảng (0;+oo).

a. xX/x2 e ( l;+ o o ) ;

b. |x1 - x 2| = 8V3.

W

x

"

,

,

c ó c á c đ iể m c ự c đ ạ i v à c ự c tiể u v à k h o ả n g

i

7

V= —X —mx + m —1 có 3 cưc tri và 3 điểm cưc tri của đồ thi hàm số

4

'

TR

JỊp

4

ẦN

ậlaeh giữa chúng nhỏ hon 2\Ỉ5 . 1

TP

HƯ NG

X2 —(5m —2)x + 2m + l

ĐẠ O

Ik y z=—X3 —(7m + l ) x 2 + 16x —m có các điểm cực đại và cực tiểu

.Q UY

ị tập 18: Hác định tham số thực m đẽ hàm số:

00

B

||% ọ thành một tam giác có diện tích bằng V2. •

10

IJ&L y = x3 + 2 ( m - l ) x 2 + Ịm2 -4 m + l j x - 2 Ị m 2 + m +V2012 j đạt cực trị tại

CẤ

P2

+3

1 1 1 điểm CÓhoành độ Xj ;x2 sao cho —- + —“ = H x ị + x2) . SE- ■' X1 x2 2 IẴ':: pf§v 5. y = X3 —3mxz + 2 có hai cực trị A,B sao cho tam giác AIB có diện tích



A

i |h g 3 V 2 với l ( l ; l ) .

Í-

|§ỊỊ\6. y = 2x3 - 3 ( m + l ) x 2 + 6mx + ms có cực đại A, cực tiểu B sao cho:

-L

|pf£‘. a. Khoảng cách giữa A và B bằng V2 .

TO ÁN

| | ệ ": b. Hai điểm A và B tạo với điểm c(4;0)m ột tam giác vuông tại c.

NG

ffi'v*"" |Ệ g 7 . y = ——mx3+(3m —l) x 2—4x —2 có cực tn A,B sao cho tam giác MAB diện

ƯỠ

lỊổchbằng l,b ietM (0 ;l).

ID

I j p . y = X4 - 2m2x2 + 1 có cực trị A, B,c sao cho tam giác ABC diện tích bằng 4.

BỒ

iỆ ị. 9. y = X4 + 2mx2 + m 2 + m có cực trị A,B,C đồng thời các điểm cực trị của đổ tạo thành một tam giác có góc bằng 120°. B Ệ ' 10. y = X4 + 2mx2 - m —1 có cực trị A,B,C đổng thời các điểm cực trị của đổ |ị tạo thành một tam giác c ó diện tích bằng 4 V2 . Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

131

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

t' tạo thành một tam giác ci

11. y = X3 —3mx2 + 2 có cực trị A,B cùng l ( l ; l )

NH ƠN

diện tích bằng 3V2 . 12. y = x3 —3x2 —3^m2 —ljx + 3m2 + 1 có cực trị A,B cùng l(2 ;l) ,

.Q UY

thành một tam giác có diện tích bằng 1.

tạ| 1

13. y —-X 3 - - ( m - l ) x 2 + ( m - 2 ) x + l có cực trị A,B cùng D ^3;~j và*gốc



'

1

"Ị

ĐẠ O

Bài tập 19:

TP

tọa độ tạo thành hình bình hành OADB theo thứ tự đó.

Cho hàm sô' y = X3 -Ị- 3x2 —3 (m —l ) x , có đổ thị là (cm). Tìm m đ ế :

ẦN

TR

a. Tam giác AO B vuông tại 0 ; b. Nằm khác phía đối với trục hoành; c. Cách đều đường thẳng y —5;

HƯ NG

1- (Cm) đạt cực trị tại A,B sao cho:

B

d. Tam giác AO Bcó diện tích bằng 12. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cùng với 2 trục tọa độ tạo thành

00

1

tam

10

giác có diên tích băng —. 6

P2

+3

Bài ỉập 20: 1. y

CẤ

Tìm tham sô' m để hàm s ố :

X4 —2m2x2 -Ị-1 có 3 điểm cực trị Xà 3 đỉnh của 1 tam giác vuông cân;

3

2

y —X —3x +ĨĨ1 có 2 cực trị đồng thời 2 cực trị này cùng điểm 0 tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4;

TO ÁN

-L

3.

Í-



A

2. y —X4 —2mx2 -Ị- 2m2 —m có 3 cực trị đổng thòi 3 cực trị này tạo thành một tam giác vuông;

4. y = X3 - 3mx2 + 3Ịm2 —1 jx —m3 + m có 2 cực trị đổng thòi 2 cực tn này

NG

cùng điếm 0 tạo thành một tam giác vuông tại 0 ; 5. y = X4 - m x 2 + 4 x + m c ó 3 đ iê m c ự c trị s a o c h o

ta m g iá c c ó đ ỉn h là 3

đ iểm

ID

ƯỠ

cực trị đó nhận gốc tọa độ làm trọng tâm. A,B sao choABOmột tam

BỒ

6. y = -X 3 - X2 + (m - l)x + m có 2 điểm cực trị

giác vuông cân , với 0 là gổc tọa độ.

132 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

|n g . 3

+:

1

.Q UY

y = x3 ——mx2 - f —m3có hai điểm cực trị tạo với gốc tọa y\)> ®(x2>y2)- Trong trường hợp này, tìm nvọf hệ thức giữa Yỵ và y2 độc ỉập đối với m .

Bài tập 23:

ẦN

Tim m đ ểh àư isố

TR

ĩ. y = x3 + 3 x 2 + 12m/ x ~ l có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ

B

Xj;X2 sao cho Xị + x | đại giá trị lớn nhất.

00

X2 + mx + m - 1

1

3

5

P2

+3

10

2. y = ------------ --------- đạt cực trị và tam giác tạo thanh từ các điếm cực trị X“Ị” 2 ■Ậ và gốc tọa độ có diện tích I thỏ nha't. ■

2

CẤ

3. y = —X ——mx -4 m x —4 đat cưc tri tai Xijx? sao cho biểu thức'1 3 2 ■ . ’ ■

1



A

m2 x ị + 5mxi + 12m ^ M = —------- —----------- 1"— ----- —ị ----- —— đạt giá trị nhỏ nhât. X i+ 5m x2 +12m m 3

2

-L

Í-

4. y = —X —mx —XH-m + 1 có cực đại, cực tỉểủ đồng thòi khoảng cách gìữạ^

TO ÁN

các điểm có cực đại, cực tiêu là nhỏ nhất. 5. y — X3 — 3 x 2 + m x + 1

c ó c ự c đ ạ i, c ự c tiể u v à

k h o ả n g c á c h t ừ điểni

NG

( l 11) 4 .. , , ., I Ị - ; — đưcmg thăng nôi 0 ,V k e Z .

ID

I

ƯỠ

2t ĩ : Hàm SỐ đạt cực đại tại X.= ± ——+ k2 iĩ, y ± — +k2iv 3

BỒ

Ịỵs; Hàm số đạt cưc tiếu tại X= kir , y (kiv) = 2(1 —coskTc) 2

_ . — cosx 1 —3sin X 3. Ta cổ : y —-sin x V sin x H---- ,—— .COSX —-. ■■-— 2vsinx 2vsinx Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

13 5 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

XSÍ0;2Ì

1

Tổn tại góc |3 sao cho sin (3= ự=r, khi đó

cosx.sinx = —2~ ,0 < t 0 , V t € 0; >/2 1

■ Suy ra hàm sô' không có cực trị .

CẤ

Bài ỉập 3: x J



A

!. f ■(0 ) = lin, i M z i M - I.m í X

x-*0

x-^0

Ỉ+IỂP2X- A . X2

TO ÁN

-L

Í-

__________ Xsin2 X___________ _

^ 1 + x s i n 2 xj + ^ /l+ x s in 2x + 1

NG

. sinx 1 f (0 )= lim sinx.— —. , ------------------- = 0. x ^ Ị l+ x s in 2xj + \Zl4~xsin2x-4-l

BỒ

ID

ƯỠ

V^ — 7*- 0 n , f-% MặtI- Ị/V>-5^ khác X ta r>A có :-

sin2x

f(x) =

^Ịị l + xsin2xỊ + ^/l + xsin2x + l

Vì hàm sô' f (x) liên tục trên ]R nên hàm số f (x) đạt cực tiểu tại X = 0 . 136 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

L ; f(x )-f(o )_ 1 ‘2. Ta có ——----— = xsin—vói mọi X^ 0. X X lỊ , f(x )-f(0 ; .. Vớimọi x ^ O : x sin— < X và limx = 0 nên lim—^ -----— = 0 . W ■ xị 1 X—0 X—0 X

ĐẠ O

iỊ| do đó hàm số f (x) có đạo hàm tại X= 0 và f '(o) = 0 . |/ ; \ X 1; Lây một dãy xn = — , khi đó f(xn) = •" 2 sin2n-TC = Q,VnGlR. 2mv ' (2]t t c)

.Q UY



TP

.

Giả sử (a; b) là một khoảng bất kỳ chứa điểm 0 .

HƯ NG

Vi ỉimxn = 0 nên với n đủ lớn xn € (a;b) và do f (xn) = 0 = f (o), Vn € R , theo đinh nghĩa cực trị của hặm số X= 0 không phải là một điểm cục trị của f ( x ) .

TR

B

Cách 2: (d) cần tìm đi qua trung điểm AB và vuông góc AIỈ

00

H;

ẦN

„ — ÍÃM = NB 3. Cách 1: Ằ [a m = a n

10

i tập 5:

P2

+3

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

• l mJ

mx —2x + m

SỐ

có cực trị khi phương trình mx2 —2x + m = 0 có hai nghiệm phân

TO ÁN

Hàm

-L

(mx —l)

Í-

Ta có y ' =



A

CẤ

+ Nếu m = 0 thì y = x2 —2=^ hàm số có một cực trị. 1 + Nếu m ^ O hàm số xác định Vx: m

1 - m 2> 0

ƯỠ

NG

biệt khác — m "Mặè Vậy —1 < m < 1 là những giá trị cẩn tìm.

BỒ

ID

Bài tập^6:

1.Tacó ý ' = 4mx3 —■2 (m —l ) x và y’ = ơ«»

x= 0 2mx2 + m —1 = 0 (*) 137

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y ' = 0 có một nghiệm duy nha! và y ' đổi đấu-khi X đi qua nghiệm đỏ. I

X= Q-Í=> f m ^ o

0

m i

ĐẠ O

Ị a ' = —2m (m —1)< 0

[m = 0

TP

m= 0

.Q UY

Khi đó phương trình 2mx2 H-m —1 = 0 (*) vô nghiệm hay có ngjhíệm kép

Bài tập 9:*

HƯ NG

1. m = —. 8. Ta có: y ’= X 2 - 2mx + 5m - 4.

TR

ẦN

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y ’triệt tiêu và đổi dâu hai lẩn qua nghiệm X, khi đó phương trình X 2 —2mx -h5m —4 = 0 có haí nghiệm phân biệt

B

xl,x2 A = m2-5 m + S > 0 « > m < l hoặc m > 4 .

10

00

Đường thẳng đi qua 2 điểin cực đại, cực tiểu là m+2.

jkhi và chi khi:

CẤ

ỊỊ

3l

m2 - 5m + 4 ) = J

3

- m 2- —m + 2 ^ - 3 3 3



A

Theo bài toán

P2

+3

( t ) : y = - —(m 2-5 m + 4)x-i-—m2

Vậy: m = 0 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm.

-L

Í-

Bài tập 10:

TO ÁN

. 1. y = ỉ x 3 - 2x2 + 3x - 2 . 3

2 3 ? 2. y = —X —x + 3x ~ 2. 9

NG

B à itậ p 1 4 :y = x2 + 2mx- 2f - m .

ƯỠ

Hàm

SỐ

(x + m)

có có một điểm cực đặi và một điểm cực tiểu khi phương trình

ID

X2 4- 2mx —2m2 —m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác —m tức m < —— hoặc

BỒ

m >0. 1. Phương trình đường thẳnc; qua hai cực trị là : y == 2x —m, theo bài toán ta

có: A(m;0) và B(0;—2m)=> s^Qg = —.0A.0B=>ịmỊ = l . Đóng góp PDF 138bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

I: 1 1*2. m < —— hoặc m > 0 thì phượng trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại

|x j ; y i ) và cực tiểu Đ(x2;y 2)' y = 2x —m, khi đó c(x1;2x1 —m) và OC.OD = 0 tức

.Q UY

>(x2;2x2 —ni). Tam giác OCD vuông tại 0 khi và chỉ khi

TP

| x 1x2 ~ 2 m (x 1 + x 2) + m 2 = 0 (*).

Áp dụng định lý vi - ét Xi 4- x2 = —2m; X-JX2 = —2m2 —m , khi đó (*) trở m

—1 hoặc m = 0 .

ĐẠ O

lành 5m(m + l) = 0

ầ: Đot chiếu điều kiện, ta thây m = —1 thỏa.

1 . y'

HƯ NG

Bài tập 17: 2x + 4x —m -ỉ-1

ẦN

(x+ iỴ

00

B

TR

ậ' Bài toán trở thành: " tìm m để phưong trình 2x + 4x + 1 = m có hai nghiệm ■■ phân biệt thỏa mãn ~ 2 < x 1 < —1 t ỆE[0 ; 1] ■



A

Hàm sô' đã cho viết lại: y = 2 t ------13= f (t) .

-L

Í-

Xét f(t) = 2 t “ —t 3 liên tục trên đoạn [0;l] 3 Ta có: —2 —4 t2, với mọi t€ ( ũ ; l) .

NG

TO ÁN

Ta tìm nghiệm của phươrg trình y ’ trên khoảng ( 0 ;l).

BỒ

ID

ƯỠ

Í-LÌ Uj

/X ■ 1

1

t e ( o ;r)

V2

£ Ê .f ( o ) = o .f( i) = ! _ 2V2 , u; _ 1 _ 1 ■" TC = — khit=^p=rsinx = — =

max y = max f=

x€[0;ix]

[ 2 —4 t2 = 0

t£[0;l]

min y — min f =f (0 ) = 0 khi t = 0

xe[0;r]

tefo-i]

v 7

146 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

sinx = 0

X = 0 VX = 1 C

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

v í d ụ 4.1.3.

J. Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn X3 < y . Tìm giá trị nhỏ nha't của biểu thức pí=x2 + y 2 - 8 x + 16.

.Q UY

Tham khảo đề kiểm tra học kì I , THPT Trung Giã, Sóc Sơn, Hà Nội năm 2011.

2. Cho hai sô' x,y ^ 0 thay đổi thỏa mãn (x H-y)xy = X2 + y 2 —xy .Tìm giá trị y

ĐẠ O

X

TP

1 1 lớn nhất cửa biểu thức : A = —J + —J .

Đế thi Đại học khối A năm 2006. í. Neil X > 0 thì y >

X3

> 0 => y 2 >

X6

HƯ NG

Lời giải.

khi đó p > X6 + X2 —8x + 1 6 .

ẦN

Xét hàm SỐ f (x) = X6 + X2 —8x -Ị-16 với X > 0.

TR

Ta có:

00

B

f ’(x) = 6x5 + 2x —8 = ( x ” l).2.Í3x5 + 3 x 4 + 3x3 + 3 x 2 + 3x + 4Ì.

+3

10

V x€(0;+oo): f ’(x) = 0 ^ x —1 vì 3x5 + 3 x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 + 3x + 4 > 0 với Vx

g

(0 ;+ o o ) và

P2

Giá trị nhỏ nhâ't của p là 10 đạt được khi X= 1, y = 1.

A

CẤ

Nếu X < 0 thì —X> 0, X2 > 0, y 2 > 0 nên p > 16. Vậy, giá trị nhỏ nhâ't của p là 10 đạt được khi X= 1, y = 1.



2. Cách 1:

-L

Í-

Đặt: u = x + y,v = xy ^ ( x + y)xy = x2 -ị-y2 —xy uv = u2 —3v V

u = ———(do U 5 Í-3 u+ 3

NG

TO ÁN

(u + 3Ìv = u2 o

0)

BỒ

ID

ƯỠ

2^ A 2 ^ 4u2 _ 4 ^ li-1 Vì u > 4v = =» ——— — -— >■u > —— —-— < 1 \=>----- -37> 0 {lưu ý u u+ 3 u+ 3 u+ 3

u

Xét hàm f(u) = - ^ Ì ^ = > f ( u ) = - ^ < 0 = ^ f(u )< f(l) = 4 = > A < 1 6 . Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

147

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

= y = —. vậy GTLN của A = 16.

1 1 Cách 2 : Đặt a ——;b = —. Khi đó giả thiết của bài toán trở thành X

y

TP

.Q UY

a + b = a2 + b 2 —a b > “ (a + b)z < ^ 0 < a - f b < 4 =>■A < 16. 4v ’ 1 Đang thức xảy ra 2.

TP

Tìm giá trị lón nhất và }ìhỏ nhất của biểu thức

CHỦ Đ Ể 2 _________________________________________

PHƯƠNG

HƯ NG

o

ĐẠ O

'2ịxzy + xy2 Ị+ l ị x 3 + y 3 ] - 3xy * A —- 2 —~ X -x y

ph á p đ ư a v ể m ộ t b iế n

ẦN

□ Phương pháp:

TR

Nhắc lại bất đẳng thức Côsỉ (BĐT tniĩig bìĩửt cộng- trung ỉrình ĩứiân)

00

B

• Hai sô': Với hai sô' thụ c a, b > 0 ta luôn có: a

> Vãb .

2

10

Đẳng thức xảv ra khi a = b > 0.

CẤ

P2

+3

1 1 4 Hệ quả: Với hai sô' thực đương a,b ta có: —+ —> — -— . a b a+ b Đẳng thức xảy ra khi a = b >0.



A

• Ba số: Với ba sốthưc a,b,c > ơ ta luôn có: —

3

c > ^/abc .

Í-

Đẳng thức xảy ra khi a = b== c > 0.

NG

TO ÁN

-L

1 1 1 9 Hệ quả: Với ba số thực dương a,b,c ta luôn có: —+ —+ —> — —-------. a b c a-h b + c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c>0. • Tổng quát: Với n số thực không âm ta luôn có:

ƯỠ

—-----—--------- > Va i -a2 -a n

ID

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi các số a ị bằng nhau và không âm.

BỒ

Hệ quả: Với n số thực dương a 1,a2J...,an ta có: 1 -1-------j_ , ------1

1 .

n2

ai a2 an a i + a 2 + - + a n Đẳng thức xảy ra khi ai bằng nhau và dưang. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 150

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TR

ẦN

HƯ NG

ĐẠ O

TP

.Q UY

NH ƠN

Ịĩ' M ột sốhcu ý khi áp dụng BĐT Cô si: ỳ: • Bất đẳng thức Cô si chỉ áp dụng cho các số thực không âm, đổng thời ỉà sự so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân. • Điều kiện để xảy ra đâu "=” là các số bằng nhau và không âm. Phương pháp: Nội dụng của phương pháp này là tìm cách đưa một bất đẳng thức nhiều biêh về bâ't đẳng thức chứa một biên. Một trong những công cụ tối ưu khi chứng minh bất đẳng thức một biên là công cụ đạo hàm. Quan trọng nhất ở phương pháp này là tìm cách đánh giá để đưa về một biên. Để đưa về một biêh, chúng ta cần lưu ỷ: • Nêu một bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một biến bậc nhất thì ta có thể rút biên đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được một bâ't đẳng thức một biến. Tuy nhiên cách làm này chúng ta chi sử lí khi bất đẳng thức không quá phức tạp. o Nêu điểu kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểu thức đối sứng hai biên thì ta có thể chuyền về tổng và tích hai bìêh đó. Lưu ý: s 2 > 4 P . f(x,y) - > p , trong đó g(x,y) f(x,y) và g(x,ỵ) là những biểu thức đẳng cấp bậc k hai biến, ta có thể đặt

10

00

B

• Khi gặp bài toán chứng minh BĐT hai biên có dạng :

P2

+3

x = ty (y 3*0).

CẤ

fit*1) Khỉ đó BĐT cần chứng minh trở thành: — I— - > p đay là BĐT một biên.

TO ÁN

-L

Í-



A

Để chứng minh BĐT này ta có thể sử đụng phương pháp khảo sát hàm sô'. a n b11 • Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng: ” 4- —- thì ta có thể đặt b 3 a b _________ ___________ ________________ ______________________ Ví dụ 1.2.3. Cho x,y là 2 số thực không âm thỏa mãn X4- y —1.

Lời giải.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2 Ịx2y + xy2Ị Chứng minh rằng: 0 < — ----- ------- < 2. X + y —xy Tham khảo đề kiểm tra học kỉ ỉ , THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên năm 2011. 2 íx2y + xy2j 2xy (x 4*y) 2xy Đăt P = - “----- ■=------ = —----—------— ■ vì x + y = l . X +-y —xy(x + y) —3xy l-3 x y Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

151

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CÓ:

f ’(t) = -----? T > 0 , V tefo;-! =£- hàm số f(t) đồng biến trên đoạn (l —3t) I 4,

HƯ NG

ĐẠ O

lì lí 1 0;— và f(0) = 0, f — = 2, suy ra 0 < f ( t ) < 2 hay 0 < p < 2 . 4] ^ \4r) Đẳng thức xảy ra p = 0 khi

TP

Ta

1 . 4

.Q UY

_ r—~ ( x + y) Màà x > 0 , y > 0 ^ x + y > 2 ^/xy s u y r a 0 < x y < - — 4 2t , xét hàm số f (t) = ——— với t 6 Đặt t = xy, t e 0;44 v ' 1 —3t

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(x;y) = (0;l) ,( l; 0) và p = 2 khí (x:y) = [ § :§ j-

ẦN

Ví dụ 2.2.3. Cho các số thực dương a,b và thỏa mãn a + b + 1 = 3 ab . Tìm giá

B

TR

tri lớn nhât của biêu: p = —7------ r ----- r — ^ —. b(l + a) a ( l + b) a2 b2 ___________ Tham khảo đề ôn tập học kì ĩ , THPT Lê Quý Đôn, Khánh Hòa - năm 2011.

10

00

Lời giải. Từ giả thiết, suy ra ( l + a ) ( l + b) = 4ab.

+3

Theo bất đằng thức trung bình cộng - trung bình n h â n , ta có:

CẤ

P2

4ab = ( l + a )(l-f b )> W a b suyra a b > l .

A

_ 3a2 (l-+b) + 3b2( l + a)



ab{l + a ) ( l + b)

a2 + b 2 __3 a b ( 3 a b - l ) - ( a 2 + b2) a 2b^

4a2b2

NG

TO ÁN

-L

Í-

TY r> 5ab —X ^ - i n * Hay r = — ■ Ta can chứng minh p < 1. 4a2b2 5 a b -l Thật vậy, < 1 (ab—l)(4 ab —1 )> 0 đúng vói ab> 1. 4a2b2 Vậy, giá trị ỉớn nhâ't của p bằng 1 đạt được khi a = b = 1. Chú ý: ^

'Ị

BỒ

ID

ƯỠ

p = —~ ~ r , đặt t = ab=> t > 1, khi đó p = f ( t) với f ( t) = ------ vói t > 1 . 4a2b2 4t Bài toán trỏ thành: 5 t~ l 'Tìm giá trị ỉón nhâ't của f ( t) = ——- vói t > l " .

152 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

M í.

ì m r íiá *7 lr«-i i i ^ f t rvà i nhỏ nhất của biểu 1hức : x +! y-17^—■ = 92.TTìm giáf-Ttri lớnnnhất

.Q UY

P = 2Ịx3 + y 3j-3xy.

NH ƠN

i:y jd ụ 3.2.3. Cho x,y là 2 so thực thỏa mãn:

Đê' thi Cao íìẳng khối A năm 2008. X2

+ y 2 + xy = 3 . Tìm giá trị lớn nhẩt và nhỏ nhất của biểu thức

TP

2.

ĐẠ O

Q =x3 + y 3- 3 x - 3 y .

Lời giải.

HƯ NG

1. P = 2(x + y)Ịx2 - x y + y 2j- 3 x y = 2 ( x + y ) ( 2 - x y ) - 3 x y vì x2 + y 2 = 2 .

ẦN

/ \2 7 ? (x-f- y)2 - 2 Hơn nữa (x~f y) = x + 2xy+ y = 2 + 2xy=> xy = —— -ị-------- .

TR

Và (x - y)2 > 0 tức

00

B

■ 2ịx2 + y 2j > x 2 +2xy + y2 => l ị y ĩ + y 2Ị>(x-f-y)2

10

Hay. (x -fy )^ < 4 , nêu đặt t = x-f-y thì —2 < t < 2 . t 2 —2

+3

-3

—t 3 ——t 2 -f-6 t+ 3 , —2 < t < 2 . . 2

P2

t 2 —2

CẤ

Khi đó p = 2t 2 -



A

Xét hàm số f(t) = —t 3 —~ t 2 + 6 t + 3 với t e [ —2;2j. 3 t2 —3 t + 6 , với V t€ (—2;2): f'(t) = 0 f(2 ) = l.

-L

f(-2 ) = - 7 ,f ( l ) = H

=1.

Í-

Ta có:

TO ÁN

13 max f(t) = — khi t = l , min td-2;2] v ' 2 tê[—2;2| v '

7 khi t = l.S uy ra :

ƯỠ

NG

maxP = — khi (x;y) =

m m P = —7 khi (x;y) = ( l; l) .

BỒ

ID

I / 2. x2.+y2 + xy = 3 o ( x + y ) 2- 3 = x y <

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

\2

(x4-y)2 2%/^Vt~h2 4 t2 —4t —15 > 0 ^ t > b a / a 2 1b 2 ^ £ Ì ^ = 4 ( t3 - 3 t ) - 9 ( t 2 - 2 ) . Mặt khác: p — 4 Ũ 2" ^ b a 2" b3 + a 3

Ln j (N

TO ÁN

-L

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a + —+ b + —■> 2 y fĩ

BỒ

ID

Xét hàm sô' f (t) = 4 t3 —9 t2 —12t + 1 8 trên nửa khoảng

5 — ;+oo 2

f (t) = 12 t2 - 1 8 t ~ 1 2 - 6 ị t ( 2 t - 5 ) + 2 ( t - l ) ] > 0 , V t e

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

í5

;+oo 155

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

5 Vậy f (t) luôn đổng biến trên nửa khoảng —;+oo , suy ra [2

.Q UY

23 . 5 — ———và đẳng thức xảy ra khi t = —■tức là a = 1 và b = 2.

TP

23 Vậy minP = —— khi a = l và b = 2 hoặc ngược lại.

ĐẠ O

Đ ể ý: Theo bất đẳng thức TBC - TBN, ta có: ab + 2 > 2VẼãb .

HƯ NG

Khi đó*2Ịa2 + b2j + ab = (á + b)(ab + 2) > 2yj2ab (a -I- b)

Bình phương 2 vế ta được 2^a2 -Ị-b2j ~í-abj > 8 ab (a.+ b) tức là:

TR

b a

—> 2 -

B

Đặt t =

ẦN

2 fa b] a b --1 -2 + 1 > 8 -—i-----j- 2 (*) lb aj > a ,

10

00

2 5 Khi đó (*) trở thành (2t 4- l) > 8 (t + 2), từ đây ta tìm được t > —.

z y

CẤ

X

X

+3

y ,

z

P2

~ ^ T 2. Cách í:Đ ặt

và abc = 1.

A

Bài toán trở thành: Cho a,b,C G



TO ÁN

-L

Í-



1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức: p ——— —4- — ~ + 3â + 2 b + x c -í" 1 — , 1 1 „ 1 -b c . . 1—bc 2 Ta có: ------- Ị--------—l-j--------------------^ 1-)------------ ==----- = —p= , b+ 1 c + 1 bc + b + c + l be 4- 2vbc + 1 V b c+ 1

1 3a + 2

NG

Suy ra: p„ ^ >

—r==2r---- — 1:--- Ị— 2 —— t2 -------Ị---- 2 Vbc + 1 _3_ 2 2t + 3 t-i-1 t2

ƯỠ

vói t = \/bc (l < t < 2}.

BỒ

ID

Tồn tại giá trị nhỏ nhâ't của p khi tổn tại giá trị nhỏ nhất của f (t) trên đoạn

[l;2] với f (t):

2t2 -f 3 + t + l'

156 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

J La CÓ - f (tj —2 -> 3t ip 2 3

1 2\2< 0, Vt € (l;2) => f (t) nghịch biẽn trên 1

.Q UY

I [( t -r ) ( t + ) o ạ n [ l ; 2 ] . S u y ra p > f ( t ) > f ( 2) = I I .

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

I Đẳng thức xảy ra khi x = 4 ,y = l , z = 2.

TP

it 34 I ' Vậy minP —— ,k hi x = 4, y = 1, z —2

ĐẠ O

p ‘ Chú ý:

1 4- >/a

do abc ~ 1.

10

2a-f 3

+3

p>

00

B

TR

ẦN

HƯ NG

K' Đặt a ——,b = —,c = -= ^ a b c = l , a € Íl;4 ]. I y z. x ■ s 1 1 2 I I í Tạ cần chứng m inh: với a và b đương, a b > l . j||. 1 + a 1 + b 1 + Vab Ệ Đẳng thức xảy ra khỉa = b > 0 hoặc ab > 1. Ệ. 1 1 2 Khí đó p ~ --1—ỉ ----------1--------^T~--------- 'r r ' ' hay 2a-Ị-3 l-h a c l - f a b 2 a + 3 l-ỉ-va«abc

Xét f(á) = — ----- 1-----~ = ,a € [ l ;4 ] .Đ ặ t t = Vã=^t e[l;2].

Lây đạo hàm theo 2 ta có :

Z+ X

-y X P '(z) = 0 + - y— ,■■+ - — (y + z) (2 + x)

-L

Í-

#

P2

y+z

CẤ

2x-Ị-3y

A

CiicJz 2; p

1-f va



2a 4-3

( x - y ) ( z 2- xy) ------ ) ■- —ị (y-f-z) (z -f x)

TO ÁN

Nêu X= y thì ? ~

2V i x > y thì p > p ( V ^ ) - 2xl 3 y + ^ J ^ -

NG

* T a^

ID

ƯỠ

Khảo sát hàm p theo 2, ta có p nhỏ nhất khi z —Vxỹ ■

BỒ

Đặt t =

—=>p:

2 r+ 3

^------- = f(t) v ớ it€ ( l;2 ] . 1+t 157

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

—2Ỉ4t3(t —1 ) 4- 3 Í2 t2—t + 3 )] 1 / v. ■ ^ . f ( t ) > f ( 2 ) —-— . Đẳng thức xảy ra khi x = 4, y = l , z = 2.

HƯ NG

Cách 3: Đặt a = —, b ~ —,c = —=^abc = l . X y 2

ĐẠ O

34 Vậy mĩnP = — , khi x ~ ị , y ~ l , z = 2.

00

B

TR

ẦN

„ 1 1 1 Khi đó: p = — -----1---- — \---- —. 2 -j- 3â 1 + b 1 + c X * 1 1 2 Do bc = —> 1 nên áp đụns; bất đẳng thức —- — + ——- > ---- • —•. y 1 + b 1 + c 1 + Vbc

+3

10

Đăt t = Vbc — . — => 1 < t < 2 và a = “V- Do đó: p = — 7 ------ 1— - —. ]Ịy t2 2t + 3 1 + t

P2

Ta chứng minh: p > — , Vt € [l;2]. Thật vậy, vói Vt £ [l;2] ta có:

t2 2 34 -----------Ị— - — > — quy đồng và khai triễh ta có được: 2t + 3 1 + t 33



A

CẤ

34 P> — 33

Í-

35t3 —64t2 -f 69t~162 < 0 ^ ( t —2)Í35t2H-6t + 8 l) < 0 bâì đẳng thức đứng. 1

TO ÁN

-L

34 ,■ Vậy p > — . Đang thức xảy ra

NG

Vậy minP =

ƯỠ ID BỒ

x= 4

z = 2ỵ x = 2z

y = l. 2= 2

34 33

CÁc/í ể ; Đặt y = a x , z = bx=ỉ>a,be

Khi đó: p =

X —4 y

2 + 3a

Ỉ :1

a b -H a + b b-í-1

Xét hàm số f(a ) = — ---- i— - —, f'( a ) = ------- — - 4 ------ — 2+ 3a a + b (2 + 3a) (a + b) Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 158

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

.Xét b(2 + 3a)2 - 3 (a + b)2 = 9a2b + 6ab + 4b - 3a2 - 3b2 > 1 5 a 2b + 4 b - 3 a 2- 3 b 2 = 3 a 2( 5 b - l ) + b ( 4 - 3 b ) > 0 . 4 1 (lì = —7 + 11 l + 4 b 4

ĩ = s{b )-

Tacó: g , ( b ) = ( ĩ í <

+ ( ĩ à

r g ,( b ) = 0 ~ b 4

Từ đó suy ra: g (b )> g | | = | | hay p > ~ -

TR

w = 2z

z —2

00

b -ỉ

X —4 ,y = l

/ mà x ,y ,z e [l;4 ]

B

x~4y

ẦN

Đẳng thức xảy ra khi 1 a= — 4

ĐẠ O

+ủ

HƯ NG

Vođ6- ^ T i + ĩ h

TP

[4

.Q UY

Nên f(a) ỉà hàm đổng biển trên

10

2

P2

+3

34 Vậy mìnP = — -

CẤ

Ví dụ 5.2.3. Tim m sao cho giá trị ỉớn ĩìhất của hàm số:



A

y = - i x 2 + — X+ 1 , Vx e [—l; l ] bằng 2.

Lời giải:

-L

Í-

Hàm số đã cho xác định và ỉiên tục ữên đoạn [—l ; i j .

NG

TO ÁN

Ta có: y =~K + ~~ và y = 0 x = — . 2 . 2

ƯỠ

Khi đó y ' < 0 và hàm số nghịch biêh ữên đoạn [—l ; l j . max y = y ( - l ) = - ——, max y = 2m = -3

x e [-l;l]

2

x e [-l;l]

BỒ

ID

Lúc này,

* — > 1 hay m > 2 . Khi đó y ’> 0 và hàm số đổng biêh trên đoạn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

159 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP

max y = 2 m = ±2V2 ( không thỏa ). xe[-l;l] Vây,

max y = 2 khi m = - 3 hoăc m = 3. xe[-l;l]

ĐẠ O

~ 111 max y = -tl + — . x e[-il] ‘ 8

HƯ NG

c Suy ra

.Q UY

2

TR

ẦN

Các hoạt động cơ bản: □ Hoạt dộng 1 Cho 2 số thực dương x ,y thỏa mãn X4- y + xy = 3.

10

00

B

Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức:

P2

+3

□ Hoạt động 2:

CẤ

í. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn: 0 < x , y < l và x + y = 4xy. Tìm giá trị lón

A

'nhằt và nhỏ nhâ't của biểu thức F = X2 + y 2 —x y . Cho các số thực x,y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 -f“4 x y > 2. Tĩm giá trị



2.

Í-

nhỏ nhất của biểu thức: A = 3ịx* + y 4 + x2y 2J~ 2 (x z + y 2) + 1

TO ÁN

-L

Đề tki ĐH Khối B năm 2009. 3. Cho x,y là 2 số thực dương thỏa mãn X+ y < 1. Tim giá trị nhỏ nhâ't của

biểu thức Q =

x2 + y 2 -i-xy J x + y.H-3 x+ y xy

NG

□ Hoạt động 3:

BỒ

ID

ƯỠ

2. Cho x > 0 ,y > 0 thỏa mãn x + y + l = 3xy. Tìm giá tộ lớn nha't của biểu 3x 3y 1 1 1 —~Vx + — ------■—— “ y(x + l ) x(y + l ) x + y X2 y 2 Tham khảo để ôn tập, THPT Yên Lạc, Vĩnh Phức - năm 2010.

160

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

z Cho 2 số thực x,y thỏa mãn 1 - y 2 = x ( x - y ) . J Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: p = —---- -----—. X3y + xy 3

.Q UY

3. Cho 2 số thực X, y thỏa mãn X2 + y2 = xy + 1 .

HƯ NG

ĐẠ O

4. Cho a,b là các sô' dương thoả mãn ab + a + b = 3. Qa sh Tim GTLN của biểu thức: p = ——-+ — — i- ——— a2 —b2 . b-Ị-1 a + 1 a + b 5. Cho a,b,c là các số thực dương thòa mằn: ab + a + b = 3 .

TP

Chứng minh rằng: — < 2^x4 + y4 j+ 12x2y 2 < — .

3b ab 2 .2 3 + ——— < a + b -h ^ a+ 1 a+ b 2 Đề thi Đụi học khốỉ D năm 2007.

ẦN

_,___ . , 3a Chứng minh: b+1

TR

Hoạt động 4:

B

ỉ. Cho x,y là 2 số thực không âm thòa mãn 2x + 3y = 5. Tìm giá trị lớn nhâ't

10

00

của Q —X2 + y 2 .

+3

2. Cho x,y ià 2 số thực thay đổi thỏa mãn X+ y = 1. Tìm J5iá trị lón nha't của:

P2

a. Q = (x3 4 -ljỊy 3 -F-lj;

CẤ

b. M = x3 -hy3 + 3 ịx 2 - y 2j-f 3(x + y).



A

3. Cho x,y là 2 sô' thực thay đổi thỏa mãn :

Í-

a- y < 0, X2 + X==y '+12. • Tìm giá trị lớn nhâ't của T = xy 4- X*f 2y + 1 7 . g iá trị l ớ n n h ấ t



g iá t ộ n h ỏ n h ấ t c ủ a b i ế u th ứ c

TO ÁN

-L

2 2 b. b . X2 X + + yy 2 = xX+ y y . Tìm

M= x3 + y 3 + x 2y + xy2 .

NG

c. x , y ^ 0 và x y (x + y ) = x + y —X—y + 2.

BỒ

ID

ƯỠ

Tixằ giá trị lớn nhất của biểu thức N = —+ —-. X y 4. Cho x ,y là 2 số thực dương thay đổi thỏa mân 3x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ 1 1 nhất của biểu thức p = —4— 7==X Vxy Đềtítt Cao khối A năm 2010.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

□ Hoạt động 5 : Tìm giá ÍTỊ nhỏ nhất của hàm s ố :

y = V—X2 + 4x + 21 —V—X2+3x4-10 trên miền xác đình của nó.

.Q UY

Đẽ thỉ Đại học Khối B - năm 2010J

□ Hoạt động 6 :

TP

L Cho X, y 6 [—3;2] thỏa mãn điều kiện X3 + y 3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá

ĐẠ O

trị nhỏ nhất của biểu thức: p = X2 + y 2.

2. Cho % y € R , thỏa mãriĩđiều kiện x > 0 , y > l và x + y = 3. Tìm giá trịìón

HƯ NG

nhất, giá trị nhỏ nhât của biểu thức: p = x3 + 2y2 + 3x2 + 4xy —5 x .

00

B

TR

ẦN

, . , & 10a l l b , 1 2c^ ,69 , , .N *1 3. Cho a,b,c € 1;2 . Chứn ; minh răng: —-— Ị“— ~ị— —- < —bc ca ab 2 _ Ti oi /-V , /nị; minh _ , , răng: & x y 2—+ y—+ X z 26 4. Cho x,y,ze[l;3j.C hứ —+ — y z X X z y 3 ũ Hoạt độn g 7: Tìm m sac> cho giá trị rứìỏ nhất của hàm số:

+3

10

y = 4mx + IX - 4x + 31 lớn hơn 2.

HOẠT ĐỘNG. a . .m

A

CẤ

P2

DẪN GIẢI CÁC __HƯỚNG ______ _ ______^ ________ _ ___



Hoạt động 1:

-L

Í-

1 1 1. y(o) = - ,y (2 ) = -5 = » maxy —— khi x = 0, min y = —5 khi x = 2 w 3 w Xiị0;2f 3 xe{0;2]

TO ÁN

Hoạt động 2:

ĩ. m ịny = —12,m axy = —;?VĨ3 X€|0;3] xê[0;3j

ƯỠ

NG

7 2. inin,y = 0 khi x ~ —l , x ~ 6 và max y = 7 khi

.

(~2;2)

BỒ

ID

3. Ta có y ' = l — ~

5

X—^

• A V4--X - X —c y=0^>| ^ Ịx g (-2 ;2 ) I

^ 4 —X2 = X , Í 0 < x < 2 x g

. . (-2 ;2 )

-

[4 -X = x

r,« » x = w 2

162

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

x€[-2;2]

X~^Ỉ

2;

min f(x) = —2 khi x = —2.

xe[-2;2] v 7

float ñộng 3:

ĐẠ O

TP

.Q UY

u 1 Đặt sm^- = t= ^ t(E [0 ;l] ta c ó h à m s ố f(t) = 2V1 —t 2 ( l + V e t j , t€ [ 0 ;l] w I , ,, v _ n _ 5VĨÕ itsu y ra m m y = r(iT j = 0, m a x y = ——— . I x €[0;tv] x€[0;-it] 4

NH ƠN

^ max f(x) = 2>/2 khi

p

\ 1, y = s in 4 x + cos2 x + 2 = sin4 x - s i n 2 x + 3. L Xét hàm số f (t) = t 2 —14- 3 liên tục trên đoạn [0;l] 11 _ 3 m in y = min f (t) ——i —2 —; m ax y = m ax f (t) = 3. 4

te[0;ij

'

ẦN

4

TC _ 2 ;1Ĩ

TR

te[0;i]

HƯ NG

Hàm sô đã cho xác định và liên tục trên R . Đặt t = sin2 x,0 < t < 1.

00

B

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn đoạn

f ( x ) = 0 X — —

7Ĩ 7V 5 ir

+3

r, / \

10

T a CÓ: f ' ( x ) = l — 2C O S 2X ,—— < x < t t ;

X=

7T

.

2



A

CẤ

P2

w 6 6 6 5tĩ y/s , , 5tt TT max v = — - + khi x = ~ - ; min v = -~ - khi xe|_2:lt| 6 2 6 xeỊ-^;it| 2

-L

Í-

4. Đặt t —sinx=> f (t) = —— 1— , t GÍ—1; lì. t2+ t + l J

TO ÁN

f (t) = — liên tuc trên đoan [—1; lì. v ! t2+ t + l " m ín f(x )= min f ( t) = 0 khi sínx —- l ^ x = - ~ + k2TT, k € Z . tẽ[—1; lj

w

2

NG

v }

maxf(x)= max fft) —1 khì sỉnx —0 x = k7T,

ƯỠ

t e [ - l; l|

BỒ

ID

5. Vì |s in x |+ |c o s x |> s in 2x + cos2x = l , V x e R . sin 6 x|co sx| + co s6 x|sinx|

Nên y — -----n

X ■1 .1 — sinx + cosx

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

|sin xco sx ||jsin x | + |c o s x | Ị

i==:-r ~ r

i— A----------- sinx + cosx

HCO WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

y = ịsin XCOSx| ( l - |sin XCOSx| - sin2XCOS2x) y = —-|sin 3x| —i|s in 2 x |2 -f-i|sin2x|.

HƯ NG

Khiđó y = g (t) = 2 t6 - —(2t2 —1| với mọi t € [0 ;l],

ĐẠ O

6. y = 2cos6 X“ —^2cos2x —l j . Đặt t = cos2 x ,0 < t < 1 .

TP

Xét hàm số : fit) = —i t 3 ——t 2 + —t liên tuc trên đóan fO;l]. w 8 4 2 '

.Q UY

Đặt t = |sin2x|;0< t < 1 .

Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhò nhất của hàm số g (t) trên đoạn [0;lỊ.

TR

củaphương

trình

g '( t ) ~ 0

trên khoảng

(0;l)



B

Tatim nghiệm

ẦN

Ta có: g ’(t) —6 t2 - - với mọi t e ( 0 ; l ) .

10

00

g ’(t) = 0,te(0;l)^t = ỉ.

TC 4

P2

+3

_ _ 5 . . . _, 1 maxy —— khiX = TVvàm iny = — khi x = —. 4 4 —V2 < t < V2 .

A

CẤ

7, Đăt t = sinx —cosx = V2cos X——ị



Khiđó y = g ( t ) = —ì t z + —t vớìmọi t c Ị —^ ĩ^ y Ịĩị.

-L

Í-

Bài toán ữở thành: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số g (t) trên đoạn

TO ÁN

—V2;V2ị. Ta có: g ’(t) = ——t 2 + —với mọi t e Ị —s/2;-v/2j. 1 20. m iny = ý=r, m a x y = 1.

NG

ỉ ^ f l+ s ì n x > 0 11. Hàm sô đã cho xác định khi {

BỒ

ID

ƯỠ

[H -C O S X > 0

y > 0 => y 2 = sinx + co sx + 2 + 2 > /s ìn x + c o s x + sin x c o s x + l (*). r

í

Tĩì slĩ < t< -\/2 = ^sin x co sx = —-— t2—1.

Đặt t = sinx + cosx = v2sin x-i— 4j

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

.

2

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

(1 -

-

■+-2t + lỊ —t -Ị- 2 + J2ịt 4-lị Ị

+ 2 - V2, khi - V2 < t < - 1

(1 + V2 jt + 2 -f y / ĩ , khi - 1< t < V2

X6R v '

/4+ 2Ã/2;

y

mĩnf(x) = l. xẽẾ

HƯ NG

maxf(x) =

ĐẠ O

TP

f(t) =

V z jt

4

NH ƠN

viêt lại f(t) —1 + 2

.Q UY

jỊỊ; Khi đó

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7

I :Hoạt Hoạt động đọng 4:

ẦN

■ , , , 2 2 2. Đ ăt't = x + y , từ giả thiêt suy ra xy = 2t —1 => —< t < —. 5 3

TR

I P §r

'1

Ạ = 7Ịx2 + y 2"j —10x2y2 = —33t2 -f-40t —10, với —< t < - .

00

B

Ip

10

| r 2. Từ giả thiết, suy ra Ịx2+y2j —3|x2+y2Ị+2 = —|3x2y2+ x2Ị c < 3 . Đăng thức xảy ra i Ix + y = 1

c + 6 = . 2x. +6 X +2xy+3y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

X

x= ± â 2

y=±2

2(2x + 3 r)* > 0. +2xy+3y

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

3 X——_ y 2

s=>c > —6 . Đẳng thức xày ra o

3 X = =F VĨ3 2 y= ± VĨ3

^

x2+ y 2 = l

NH ƠN

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.Q UY

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĐẠ O

TP

Vậy maxC = 3; m in C = :-6 . Tuy nhiên bách làm cái khó là chúng ta làm sao biết cách đánh giá C —3 C+ 6 ? 4. Cach ĩ:

HƯ NG

l ì í 1 ì . 7 1 ?+— 1 +xy = r -= 1 ? + —— p= 7— - + -------+ xy + —— . X +y 2xy) \ 1 6 x y ) 16xy X +y xy

TR

1 ÍT" 1 — + x y > 2 j— = 16xy V16 2

ẦN

1 1 ^ 4T —=--ỉ----—^ ---------r >4 X +y 2xy (x + y3

_ 1 —+— 1=>op_= —r—

4{x + y)2

4

+3

16xy

10

00

B

X +y

7 _= — 25 . + xy > 4 + -1 + — xy 2 4 4

CẤ

P2

1 25 Dâu đãng thức xảy ra khi và chỉ khi X= y = —, min p = . 2 4

A

Cách 2: 1 1 p = ~ 2~ 2 +



+xy = 7~

1

(x+y) -2xy xy

1 1 + x y > — =— + — +xy.

l-2xy xy

1>X+ y> 2y[xỹ> 0 —>xy>Q=>t = xyi te ^ O ;—

TO ÁN

-L

Í-

x2+y2 xy

1

p = — ỉ — h-H-t, t e f ( I ; —1*

f

1

ID

ƯỠ

NG

1 - 2t t ^ 4-J Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 1 f ( t ) - —— — h—+ t liên tục trên nửa khoảng t £ Ị 0;—

BỒ

Hoạt động 5: (x + y )2 - 4 x y > 0 (x + y)3 + 4xy > 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

_

2 ^ ( x + y )2 ^ l — >~7-2 2

=^x + y > 1 và X + y > - —

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

CHỦ ĐỀ 2

.Q UY

float ñộng 1: Đặt t = x + y . Từ giả thiết suy ra xy = 3 —t và kết hợp (x 4-y)2 > 4xy thì t > 2 . -t + 3 t+3

2. K —4

TP

1. F =

X

-Ị- y . Từ giả thiết suy ra xy = — thì 1 < t < 2 , khi đó 4

HƯ NG

1. Đặt t =

ĐẠ O

Hoạt động 2:

F = (x + y)2 -3 x y —t 2 - —t.X é th à m s ố f (t) —t 2 ——t , với t e [ l ; 2 ] .

B

TR

ẦN

3 ' Ta có f'(t) —2t ——> 0 với mọi t e ( l ; 2 ) , do vậy f(t) lả hàm sổ đồng biến 4 í trên đoạn [l;2] . ;n uuạii

10

00

1 Suy ra mỉnF = min f(t) = f (l) = — đạt được khi (x;y) = 1^2'2 và

CẤ

hoặc (x;y) =

'2 W 2 2 - V 2 ' 2 ; 2



2- V 2 2 + ^ 2 ; 2

(x + y)3 + 4 x y > 2

-L

x-r y)2- 4xy >0

=»(x + y)3 + ( x + y ) 2- 2 > 0 = ^ x + y > 1 .

Í-

■:(x;y) = 2.

2

A

t e flS ] w

P2

+3

_ 5 m ax F = max f(t) = f(2) = — đạt được khi

> 3 (x2+ y 2) -

BỒ

Đ ặ tt = x2+ y 2 > 3. Đặt t =

X

( x '+ y 2)

- 2 ( x 2+ y z) + l

= —(x2+ y 2)2 - 2 ( x 2 + y 2) + 1.

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

A = 3(x4 + y 4 -bx2y 2) - 2 ( x 2 + y2) + i

2

2

= ị> t> - và A > —t —2t + 1 . 2 4 1-2

t + y thì 0 < t < 1. Áp dụng (x + y) > 4xy => xy < •— .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

167

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

mỉnQ = y

NH ƠN

K h i đ ó Q = —4 + 4 ^ t2 ~ 3 ^ v ớ i 0 < t < Ị . khi (x;y) = Ị ỉ ; ỉ .

.Q UY

Hoạt động 3:

1. Ta có: 3 x y - l = x + y >2^/xỹ. Đặt t = xy =i>3t- 2 Vt - 1 > 0 ==>t > 1. .

.

.

1 1 1 x + y 2^/xy

.

TP

Theo bât đăng thức trung bình công - trung bình nhân: ------- < — Ỵ=z=r <

— .

2

ĐẠ O

",

5t —1 1 5t —1 1 Y~ + -Xét f (t) = + — trên nữa khoảng [l;+oo) và suy ra

=> M <

HƯ NG

3 maxM = ^ t = 1 X= y = 1. 2

ẦN

2. Ta có : 1 -X2 +y2-xy> 2xy-xy « xy -3 x y < = > x y > — .

10

00

p= — 2 + 3 , t e í - ỉ a l x Ị o } . t +1 |_ 3 '

.

CẤ

P2

+3

3. - —< t < —, t = x y , 2 |x 4 + 'y4Ị + 12x2y2 = f (t) = — t 2 + t

^



A

4. Từ ab + a + b = 3 => 3 —(a -f- b) —ab < 3a(a + l) + 3b(b + l)

^



Ta có: p = —^

Í-

(b + l ) ( l + a )

ab

,,2

' a-Ị-b ab

3ỈD“1“â -Ị- b -t-1

a+ b

-L

,

— (a + b) +2ab;

(a + b) —2ab + (a + b)

TO ÁN

p= 3

^

— 4» a + b > 2.

—(a + b)2 + 2ab;

ƯỠ

NG

3 - ( a + b) p = —Ị(a-ị-b)2 + 3(a + b ) - 6 + ■ — -|- b) + 6 —2 (a. -4- b ); 3 -I- b p = ỉ —(a-Ị-b) + (a + b) + 12 Y2 4 a+ b

BỒ

ID

12 Đặt t —a -4- b > 2. x ẻt hàm số g (t) = —t 2 -Ị-1 4- — + 2 với t > 2. 3 Vậy max p —— đạt được khi a —b = 1.

168 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ị|

Vì (a + b)2 > 4ab =» t 2 > 4(3 —t)

t 2 + 4 t —12 > 0 «=>t > 2 (do t > 0 ).

NH ƠN

i t 5. Nhận thấy các biểu thức có trong bài toán ỉà các biểu tỉ lức đối xứng hai biến i j t b nên ta đặt: pỊP' t = a + b=^ab = 3 —t và a 2 + b2 = t z —2 (3 —t ) = : tz + 2t —6.

TP

.Q UY

’ 3(az+ b 2)+ 3 (a + b) ab V 3 Bất đẳng thức 2.

2. Đặt s = x + y = 1, p = xy , S2 - 4 P > 0 = ^ P < Ỉ và Q = P3 - 3 P + 2.

ẦN

4

+ 3x2 —9x —7 với —4 <

X<

B

X3

3.

00

Xét hàm số f (x) =

TR

3a. X2 + x —12 = y < 0 hay - 4 < x < 3 . Khi đó: T = x 3 f 3x2 - 9 x - 7 .

+3

(x;y) = ( - 3 ; - 6 ) hoặc (x;y) = (3;0).

10

minT ——12 khi (x;y) = (l;—10 ), maxT —20 khi

CẤ

P2

3b. Đặt t —X+ y . Áp đụng bất đẳng thức

A

(x + y ) 2 < 2^x2 + y 2j và giả thiết suy ra



(x + y)2 < 2(x -f y) tức t 2 < 2t suy ra 0 < t < 2.

-L

Í-

M= (x + y)3—2xy (x+y), từgiả thiết suy ra 2xy = (x + y)2—(x + y)

TO ÁN

Khi đó M = t 2, với '0 < t < 2. Do đó minM —0 khi,(x;y) = (0;0) và maxM = 4 khi (x;y) = ( l ; l ) . r-t+ 2 , kết hợp (x + y) > 4 x y t+2 suy ra t < —2 hoặc t > 2 và minN = 2 khi (x ;y) = (-l;l). X

+ y . Từ giả thiết suy ra xy =

ƯỠ

NG

3c. Đặt t =

ID

Hoạt động 5:

BỒ

í - x 2+ 4x + 21>0 E>iều kiện: < _ _ - 2 < X < 5. ■ - X 2 + 3x + 10 > 0 169

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

- ( x - 2)

x- f x~2

,

NH ƠN

HƯ NG

y '^ 0 = ( x - 2 ) j ™ - ^ x - |j . ( , - |) V 2 S- ( l - ự

ĐẠ O

TP

nên y’ =----—----

'7

.Q UY

I------ 7------- 2 49 ( X étưênm iền - 2 < x < 5 , t a c ó : y = ^ 2 5 - ( x - 2 ) “ J 4 ~Ị^X“

tsj I 00

______

Cách 1:

-2 < X< 5

TR

ẦN

(* -2 )(* -§ )* 0

00

B

( x - 2) f f - ( x - f T i = i X- f T ( 2 5 - ( x - 2 ) 7

10

xeỊ^-2 ;— u [2 ;5 )

CẤ

P2

+3

x = ^-. ■9 J 3 Y _ 4 9 / _ 7x2 - 3 25 X—— = — ( x - 2 ) t l 2j 4 v ;

j = yịĩ :



A

Ta có y (-2) = 3; y Ị^l j = -Jĩ; y (5) = 4. Vậy max y = y

Í-

Cách 2: Điều kiện: -2 . 0 = > y > 0 .

TO ÁN

=>y2 = (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5 - x ) ~ 2 Ậ x + 3)(7 - x)(x + 2)(5—x) = Ụ ( x +3)(5 - x ) - Ặ x + 2 ) (7 - x ))2 + 2 > 2

ƯỠ

NG

Suy ra y > >/2 , đấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =

ID

7 ( x + 3 ) (5- x ) - Ậ T " 2 ) ( 7 - x) = 0

BỒ

Hoạt động 6: 1. Từ giả thiết ta suy ra ñược X= y]2 —y3 thay vào p ta ñược: p = ì ị ( 2 - y 3f + ệ y 3f = ì j ( 2 - t f + ĩ l ẽ = f(t)

170

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Trong đó ta đã đặt t —y3. Vì x e [ —3;2]=> X3 e [ —27;8j=>—2 7 < 2 —y 3 /3 j .

10

Xét f(a) = a a + Ị3.ỉ và f'(a) = 0 h (b) < max Ịh (l);h (2)Ị Xét ' ■=> đpcm. * k(b) = f(2 )= » k (b )< m a x (k (l);k (2 )Ị



Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1, c = 2 .

Í-

y X Không mât tính tông quát, giả sử 1 < X 0 < ^ l + - - - - ^ > 0 (1). u Ay ; z y z

ID

Từ ( l ) và (2) suy ra 2 + 2 ^ + —ì > —+ + — Vz x j y z y

.

X

BỒ

Đặt t = — suy ra 1 < t < 3. X

Khi đỏ —+ —+ —+ —2=> —< m < —. 2 2

10

Bài tập 1:

P2

+3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2. y = V l - x 2 + 2 ^ ị l ~ x 2ỹ .

CẤ

L y = (x + l ) V l - x 2 ;

A

Bài ỉập 2: Tìm giả trị lớn rihất, giá trị nhò nhất của hàm số:



ĩ. y —|x3- 3 x 2 + l| trên đoạn [—2;l].

-L

Í-

2. y = Ịx3 + 3x2 - 72x + 9o| trên đoạn [—5;5].

TO ÁN

3. y = Ịx3 —3x + 2Ị trên đoạn [-3; 2].

Bàỉ tập 3: X2

-Ị- xy + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A =

X2

-|- y 2 ;

NG

1.

Cho 2 số thực dương x,y. và thỏa mãn:

ƯỠ

2. x + y ^ —1 và X2 + x y + y2 = x + y + l* XV

BỒ

ID

Tìm giá trị lớn nhât của B = ---- —-----; x+y-í-1

2 2 xy(x + y ~ 2 ) + . . x + y ) 2 3. X ~f y = ' . . Tìm giá trị r,hỏ nhất nia c = — x y (x y + x + y + 1)

172 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

p + i ) ( y 2+ i)

:I I ' ■ I :Bàí t ậ p 4: Cho 2 số thực x,y và thỏa mãn: ĩ.

X2^2x2—lỊ + y2Ị2y2—lỊ = 0. Tun giá trị lớn nhất, nhỏ nhâ't của x 2 Ịx2—4 Ị + y2Ịy2—4-j -f 2|x2y2—4] -

TP

J biểu thức: A =

.Q UY

f~

NH ƠN

IP ' 4. X4- y + 1 —3 x y . Tim giá trị nhỏ nhất của D=

x‘.2 (x2 + l)- -y 2 (y2 + l)



ĐẠ O

2. X2 + y 2 + xy —3 . Tìm giá trị ỉớn nhâ't và rửiỏ nhất của biểu thức:

p = x3 + y 3 - 3 x - 3 y .

HƯ NG

Ị Bài tập 5:

1. Cho 3 số thực không âm X, y, z thỏa mãn: X2 + y 2 -Ị- r ĩ — —. Tìm 3 / y ■■ 4 giá trị lớn nhẩt của biểu thức p —3(x + y 4- z) + -— —-----. x+ y+z r .. 3 2. Cho x,y ,z ia các số thực dương thõa mãn X-hy. + z < —. Tìm giá trị

B

TR

ẦN

L ’I'’ I;,;

P2

+3

10

00

t 1 1 1 ị / nhỏ nhất của biểu thứcP = x + y-Ị-z-Ị- —4- —+ —. I X y z t 3. Cho x ,y ,z là số thực thỏa m ãnx2 + y z + z 2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất,



lị

Tìm giá tri lớn nhất của biểu thức: p = -------------------- f — — a + i b + 1 c 4-1 5. Cho a,b,c là 3 số thực dương và thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = 1-Chứng

Í-



A

CẤ

nhỏ nhâ't của biểu thức p = X3 + y3 4-Z3 —3xyz. I 4. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: abc + a + c = b.

NG

TO ÁN

-L

; ■ > a b c 3^/3 |m m h r ằ n g :T + 2 í + 2 ũ ĩ9 ■ : ỆỊ b +c a +c a +b 2 1^ 6. Cho Cho a,b,c là 3 sô" thực dương và thỏa mãn a-fb-í' C = 1. Tim I giá trị lớn nha't của biểu thức p = ab + bc + ca —2abc. 1' 7. Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3 .Tim giá iTỊ nhỏ nhâ't R m nn

V

17 «7 lò u * CẤ fi-.TW' /ÍTP/vner t ĩiỏ a m ã n X + y + z > 0 . T ì n i g iá t r ị n h ỏ

BỒ

ID

-■■■

ƯỠ

fjciia biểu thức p = 3 (x 2 + y 2 + 7} ) - 2xyz.

173 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1. lim a để giá trị lán nhất của hàm số y = |x2 + 2x + a —4 trên đoạn [—2 ;l| đạt giá trị nhỏ nhất.

bé nhất

TP

y —ịx2'+ px + qỊ trẽn đoạn [—1; l] là

.Q UY

2. Tìm giá trị p,q để 0.C M rằng: ——T----Ị —HI-----— --- —>> T—+---T-— a-í-b b + c c-|-â 2

10

00

B

2a 2b 2c - (c —a) 2. Cho 0 < a < b < c . CM rằng: ———+ - ■-+ — < 3 + ” 7------T. b-bc c + a a + b a(c+a)

CẤ

P2

+3

3. Cho X> y > z > 0. CM rằng: —+ “ + — > —+ — + —. z y X y z X 4. Cho x,y,z > 0.



A

CM rằng: X4 -b y 4 + z4 4- xyz(x+ y + z)

>xy(x2 + y 2)+ y z(y 2 + z 2j + zx(z2 +X2Ị.

-L

Í-

5- Cho 3 số dương X, y, z thỏa mãn điều kiện X2 + y2 + z2 = 2 .

TO ÁN

Tim giá trị nhỏ nhí ì: của biểu thức p = X3 + y 3 + z3 —3xyz. 6. Cho các sô'thực dư 1. b "I- 2c c “ỉ" 23 3 -ị- 2b 7. Xét các SỐ thực không âm thay đổi x ,y ,z thỏa điều kiện: X+ y + 2 = 1. Tìm giá tr nhỏ nhâ't và giá trị lớn rìhất của: s = . Ễ E i + . | Ẹ ỹ + ./ĩ = ĩ l +x \l+ y V1 + Z

174 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

8. Cho các sốth ự c dương a,b,c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8 a c< 1 2 . Tim 1 2 3 eiá trị nhỏ nhất của biểu thức p = — I------1— . a b c 9. Cho 3 số x,y,z thuộc khoảng (0 ;l).

.Q UY

I

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Chứng minh rằng: 2 ( y 3+ z 3) - y 2z - z 2 - y < l .

ĐẠ O

TP

10. Cho x,y,z là 3 sô' không âm thỏa mãn X+ y + z = 1. 7 Chứng minh răng: 0 < xy + yz + zx “ 2xyz < — .

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Bài tập 8:

TR

ẦN

HƯ NG

Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQcó cạnh MNnằm trên cạnh BC, hai đỉnh p và Qtheo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác định vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhât đó.

B

E. HƯỚNG DẪN GIẢI.

10

00

Bàiỉập2:

+3

ĩ. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn Ị—2 ; l |.

P2

Đặt g(x) = x3 - 3 x 2 + l,x G [—2;lj, g'(x) = 3x2 - 6 x .

CẤ

Ta tìm nghiệm của phương trình g' (x) = 0 ưên khoảng (—2 ; l ) .

A

g’(x) = 0, x € ( - 2 ; l ) < ^ > x ~ 0 . \



g(—2) = —19, g(0) = l, g ( l ) ~ - l , = > m a x g ( x ) = l , [ming(x) = -19 -2 ;i\ y ' \

\

/

ị _ 2 ;1 ị

\

/

-L

Í-

X€ [—2; 1j =* g(x) € [—19;l| =►f (x) = Ịg(x)Ị e [0; 19].

TO ÁN

g ( ơ ) . g ( l ) < 0 =>3 x a € (0 ; l) s a o c h o g (x 1) = 0.

Vậy m a x f ( x ) = 1 9 , mi n f ( x ) = 0.

NG

Bài tập 3:

ƯỠ

1. Đặt t = X+ y . Từ giả thiết suy ra xy = t 2 —1. 2 Hơn nữa (x + y) > 4xy suy ra 0 < t < —j=. v3

BỒ

ID

1

2. Đặt t = X+ ỵ . Từ giả thiết suy ra xy = t 2 —t —1. 2 Hon nữa (x 4- y ) > 4xy suy ra ——< t < 2.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

175

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Đặt t = X4- y . Từ giả thiết suy ra 2xy = t - 1 .

NH ƠN

Hơn nữa (x + y)2 < 2^x2 + y 2 j suy ra l< t< y Ỉ 2 . 4. Đặt t = X + y . Từ giả thiết suy ra 3xy = t + 1 .

.Q UY

Hơn nữa (x -f y)2 > 4xy suy ra t > 2.

2 J -2 __^

ĐẠ O

1. Đặt t —X2 -f y2, từ giả thiết suy ra x2.y2 = --------- , hơn nữa

TP

-Bài tập 4:

HƯ NG

X2 + y 2 > 2xy suy ra 0 < t < 1. Khi đó A = t 2 —4t —8, với 0 < t < l .

2. Đặt t = X + y, —2 < t < 2 , minP ——4, maxP = 4

TR

ẦN

Bài tập 5:

00

B

ĩ.Đ ặ t t = x + y + z , X2 + y 2 + z 2 < ( x - Ị - y + z)2 < 3 |x 2 + y 2 + z 2 j

+3

10

= > -< t2< 4 = ^ -^ < t< 2 . 3 3

2V3

;2 . Từ đây, ta tim được

CẤ

P2

Dễ thấy p = 3t 4— đổng biêh trên đoạn



A

( x + y + z)2 = 3fx2 + y2 + z2) 2 maxp = 8 khi - v ’ V / 9 = > - + - + - > X y z x+y+z IX y ZJ 1 1 1 9 p ~ x + y + z + —+ —+ - > x + y + z - b X y z x+y+z

ƯỠ

NG

Đặt t =

< —. Khi đó p > t + - , 0 < t < 2 t 2

ID

Xét fit) = t + —,teio ;—I . TaCÓ f ’(t) = l - — < 0 ,V t € w t 2j w t2

0;!

BỒ

_ 15 15 15 . Vậy mỉn f(t) = f ệ = — => p > —- => min p = — khi X = 2 2 2 0 c > 0 => Vc> 0:g(c)< g 2V 2 Vc2 + 1 c2 + l

BỒ

ID

ƯỠ

=£- p < — . Dâu "=" xảy ra khi a — ~ = , b —V2 , c = —-7- . 3 y V2 2V 2 : 5. Để không mấi: tính tổng q u á t , giả sử 0 < a < b < c và thỏa mãn hệ thức a 2 + b 2 -Ị-c2 = l.D o đ ó 0 < a < b < c < - 7=. V3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

a , b c ^ a , b c b2 + c2 a2 + c 2 a2 -f b2 1 - a 2 1 - b 2 1—c2 _ a2 b2

c2

TP

. . , 1 Xét hàm s ố : f(x) = —X -r X liên tục trên nửa khoảng 0;-ỹ= .

.Q UY

á ( l - a 2Ị + b ( l - b 2) + c ( l - c 2)

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

HƯ NG

ĐẠ O

í 1 Ta có » f ’(x) ——3x2 + 1 >JỮ,X € 0;-T= =£- f (x) ỉiên tục và đổng biên trên ^ "V^ , f \ ( X^ 2

nửa khoảng 0 ; - i . lim f ( x ) = lim x ( l —x 2) = 0, f - i -

( V3] X—0+

X— »0+



\

3V3

ẦN

^ 0 < f(x )< i ^ h ay0 ^ - x , Vxe 0 ; 4 r . 1 -x 2 2 ( '7 3 . . x ( l ~ x 2) 3V3

1 —a

1 —b

1-c2

2

+3

7

10

a b c ^ 3 v 3 / _ 2 ,2 _2\ —(a -f-b + c Ị. Suy ra ------ —4------- rH---- 5"^ “■ V.

...../

A

CẤ

P2

a b c ^ 3\Ỉ3 ^ , 1 Vậy T7 '7 + 1 --.T + 2 T Ỷ ^ 0 • Xảy ra khi a —b = c = —£=■. b2 + c2 a2 + c2 ' a2 + b2 2 ” ^3 ' Chú ý: Để không mất tírh tổng q u á t, giả sử 0 < a < b < c và thỏa mãn



hệ thức a 2 + b2 + c2 = 1. Ta có thể suy ra 0 < a < b < c < l .

-L

Í-

Khi đó xét hàm s ố : f (x) = xỊ l —X2Ị liên tục trên khoảng (0 ;l). 1

^

í 1 ^ôVigbiến ưên Ị0;-y^ .

TO ÁN

• f ' ( x)>0, xG

NG

l ì Ị 1 • f ’( x ) < 0 , x e — 1 =ỉ-f(x) liên tục và nghịch biến trên vv3 ; M

BỒ

ID

ƯỠ

Và lim f (x) = lim f (x) = 0, f Ị-Ậr = —^==> 0 < f (x) < —\= X— >0+ X— >1— W 3 ) 3v3 3v3 Phần còn lại tương tự nh à’ trên. 6. Đểý: b c < —(b + c)2 = —(l —a)2, ab + ac = a —a 2.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 178

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

)

+3) = ì ( - x 3 + 15x2 - 27x + 27)

.Q UY

> 27 - 6x(3 - x

ĐẠ O

(x - y ) 2(x + y ) > 0 đúng.

■4

TP

Xét f(x) = - x 3 +15x2- 2 7 x + 27, xe ( 0 ; 3 ) . Tnróc hết ta có: X3 + y 3 >

NH ƠN

7. P = 3^(x+y+z)z-2(xy+yz+zx)j-2xyz = 27-6x(y + z)-2yz(x+3)

HƯ NG

Đặt a = x + y + z, s au đ ó đ ặ t t = —, 0 < t < l . a 3

64

Xét hàm số: f ( t ) = ( l “ t) + 6 4 t3,vớ i t€ [0 ;l] , minP = — . 81

ẦN

Bài ỉập 6:

B

4| = (x + 1) + 3 —5 .

00

y —|x2x + a

TR

1. Hàm số đã cho xác định và ỉiên tục trên đoạn [—2 ; lj .

+3

10

Đặt t = (x + 1) ,x ẽ Ị —2;l]=^ t€ [0 ;4 ].

P2

Ta có f{t) = |t + a —5|,t e[ũ;4].

f (t) = max{ f (°). f {4}} = max{la - 5I-la - 1|}

CẤ

x| a- ĩ | a max f (t) = |a —5| = 5 - a .

-L

Í-

• |a —5ị 3=> max f (t) —|a —lj = a —1.

TO ÁN

Í5 —a > 5 —3 = 2,Va < 3 „ Mặt khác ị => max f ( t ) > 2,Va G R. [a —1> 3 —1 —2, Va > 3 têfo:4] w Vậy giá trị nhỏ nhâ't của max f (t) = 2 khi a —3. te[0;4]

v ’

NG

J ô

ƯỠ

2. Xét hàm số f (x) = X2 + px 4- q.

ID

• Hàm SỐ đã cho xác định và liên tục trên đoạn [—1; l] => y = I f (x)|.

BỒ

f ( - l ) = l - p - f q, f (0) = q ,f (l) = l + p + q.

Giả sử m axy = f(a) = » |f(l)|-t-|f(0 )|> |f(l)-f(0 )| = |l + p|,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

179

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

m > \

NH ƠN

2 =*. f ( a ) > —. 1 w 2

* p > 0 =>|i + p Ị > 1:

| l —p| > 1;

, = > f (“ ) > ị

TP

* p< 0

.Q UY

f(°)K

ĐẠ O

Ị f( ° H

HƯ NG

m_ax]y = m a x |f j - £ | ; |f ( - l ) |; |f ( l ) |

* p = 0=i- f ( x ) = x 2 + q, f (0) = f Ị—£ j = q, f ( - 1 ) = f (l) = l + q

B

TR

ẦN

Giá trị lón nhất của y ỉà một trong hai giá trị ỊqỊ;Ịl■■+-qị

10

00

* q < - : ~ = > | q | > - ^ = > | f (0 )|> ^ = > f ( a ) > ì .

+3

2 1 X - -- < ị -=>max f (x) = 4 < ^ x —0; x = ± l ỉ f Ml = 2 2 v ; 2

P2

*q" _ 2

CẤ

Cũng là giá trị nhỏ nhâ't của f ( a ) . Vậy p = 0, q —---- thoả mãn bài toán.

X2 4-1

Í-

c ÍL rrv CL IM'

-L

ax -rb



A

3.Hàm SỐ đã cho xác định và liên tục trên M . * Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khí:

TO ÁN

ax0 ■+b _ Xr> + 1

NG

A —a 2 —16(4 —b) < 0

4x2 - a x- Ị -4 - b> 0 , V x e R Ị4x02 —axQ + 4 —b —0 : có nghiệm Xq

a2 + 1 6 b - 6 4 = 0 (*).

ƯỠ

A = a 2 —16 (4 —b) > 0

BỒ

ID

* Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng —1 khi và chỉ khi

180 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

ax-Ị-b >-1,Vx €R x2 + l

NH ƠN

X + ax + b + 1 > 0, Vx € M ax0 -f- b -f-1 — 0 : c ó ngl liệm x0

Xq 2 +

A = a2- 4(b~Hl) 0

a 2 —4b —4 = 0

.Q UY

Xf) + 1 (**)

a2 + 16b —64 = 0 (*)

V

b= 3

[a = 4 Vj [b = 3

[b = 3 a= 4 b= 3

ẦN

Vậy giá trị a,b cần tìm là :

[a = —4

HƯ NG

—4b —4 = 0

[a2 —16 W.1 (**) [b = 3

ĐẠ O

TP

T ừ(*) và (* *) ta có hệ

10

00

B

TR

a+ 1 4. y' = —4x —2(a + l), y' —0 X —---------, hàm số’ đổng biên trên b 2 ị a -f l ì , , . , , — , íI 3a +-Ị-1 1 , khoảng I —oo; — và nghịch biêh trên khoảng Ị—------ ;+oo a -Ị-1

P2

+3

N ế u :----------< - l ^ a > l , hàm số nghịch biên trên đoạn Ị L;lj.

CẤ

Khi đ ó : max y = y(—l); miny = y (l). xe[-l;l] xe[-l;lỊ

a+ 1 —1 < ----- ——< 1 ■•—3 < a < 1, lập bảng biên thiên ta thây 2' ■ ■ ‘ í a + lì , như vậy hàm số chỉ có thể đạt giá trị nhỏ nha't tại một max y — y xe[-l;l] 2

-L

Í-



A

Nếu

tro n g h a i đ iể m X “ — 1 h o ặ c X — 1 .

TO ÁN

Khi đó ta xét hiệu: y ( —l ) —y (l)

NG

y ( - l ) - y ( l ) > 0 = > m iny = y (l) và xễ[— l;l]

y ( - l ) - y ự ) < 0 ^ mi ny = y ( - l ) .

ƯỠ

■À

BỒ

ID

Nếu ———^ > 1 a < —3 , hàm số đồng biến trên đoạn [—ĩ ; 1]. Khi đó : max y = y ( l) ; min y = y ( - l ) .

181 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

x = —, y = —,z = — a b c

^ và bâ't đẳng thức đẵ cho [x,y, z>0 1

1

1

1 -f- X

1 -Ky

3

.Q UY

2. Đăt

NH ƠN

Bài tập 7:

1 4 “z

2

ĐẠ O

TP

1 1 2 2V2 Giả sử z < 1 => xy > 1 rúìn có: —- — I----— > -------f = —— —■(=. 1+x 1 + y 1 + 7xy 1+VZ

1„ =f(t)vói 1+ r w

HƯ NG

1 1 1 ^ 2Vz 1 2t => — ----1---- -----1----— > H----——— + ■ 1+x 1+y 1+2 1 + V z 1 +Z ■ 1 + t

ẦN

t = Vz < l.T acó: f'(t) = ----~5T” ----— 7 f ( t ) > f ( l ) = — , Vt < 1 => đpcm.

1 -Ị- X

X 4 -1

7

X

1

2x(x + l)

X H- X+ 1 > 2 — — -h 2 a + - ■v X

l+ O í.



A

a

CẤ

.

1+Oí. .

P2

Ct -Ị- X

+3

10

00

2. Đặt —= Oi., —= X, 1 < a < X . Khi đó bâ't đẳng thức cần chứng minh a a v. vv, 2 2a 2x V + X + 4 trở thành — ---- 1-—-----1-----< —— ———

+ ^ 4 < 0í < x . 1+Ct

2 < A ~ 2 X *X

-L

Í-

Xét hàm số f (x) = X2 + X+ 1 - ( 2 ^ 4 + a + x

Ì-2 -a

x.-

(x +

2x+l

C i)

>0,l 0 ,V x > 0

\

x2j

TP

=> f (x) là hàm SỐđổng biến Vx > 0 => f (x) > f (y) = 0 => đpcm.

ĐẠ O

4. Không mất tính tổng quát ta giả sử: X> y > z > 0 .

x y ịx 2

HƯ NG

Xét hàm số: f(x) = x4 + y 4 + z 4 4- xyz(x + y 4-z) -

.Q UY

NH ƠN

X y z “ +- +ly z XJ

+ y 2) + y z ( y 2 -f-z2)+ z x (z 2 -hx2j

ẦN

Ta có f' (x) = 4 x 3 —3x2 (y-hz) + xyz+ y z ( x + y + z ) ~ Ị y 3 + z 3Ị

TR

=>• f" (x ) = 1 2 x 2 - 6 x ( y - i - z ) - | - 2 y z = > f" ( x ) > 0 (đo x > y > z )

00

B

f ’(x) > f ’(y) = z2y —z3 —z2 (y —z) > 0 nên f(x) là hàm số đồng biên. %

10

=> f ( x) > f(y) = z4 —2z3y + y 2z2 = z2(z —y)2 > 0

đpcm.

CẤ A

(x + y + z)2 - 2

(x + y + z)3 +3(x +y+ z). . 1

Í-

= (x + y + z) 2 -

(x + y+ z)2 - ( x 2 + y 2 +z 2)



= (x + y + z) 2 -

P2

+3

5. p = -3xyz + X3 + y3+ z3 = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)

TO ÁN

-L

Đ ặ t t = x + y + z = > ( 0 ; V ô p = — t3 + 3t v ó it e (0;yỈ6 Ị Xét £(t) = —- t 3 + 3t với t e (0; Vó ] t3 +3 = 0 t = Vĩ. từ b b t ta có f(t) > 0

ƯỠ

NG

f'(t) =

ID

Vậy minP = 0 khi X= y = z =

3

BỒ

■ 6. Giả thiết viết lậii 25Ịh “Tb + c ! = 48 + 9Ị3 + b -f-c j kêt họp

đẳng thức a 4 + b 4 + c 4 > Ỉ Ị + Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

c

2 j , t ừ đó suy ra: 183

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

3 | a 2 -Ị-

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

j



-I-

+ (? j + 4 8 < 0 , n g h ĩa là:

NH ƠN

3 < a 2 + b2 + c2 < — (*).

(b + 2c)a2

2az

(c + 2a)b2

^ 2b2

c*2

---------------------------

a2 b2 c2 -1---- — I . b + 2c c “I- 2â 3 “I- 2b

HƯ NG

. „ Đặt p =

.

ĐẠ O

(a + 2b)c2 '2 c2 1----------------> -----a + 2b 9 3

b2

TP

a2

.Q UY

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân:

ẦN

p > —Ị a2 + b 2 + c 2j - — a 2 ( b + 2 c ) + b 2 (c + 2a) + c z (a + 2b)

TR

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân:

00

B

2 . h2 , 2h ^ a 3 + a 3 + c 3 b3 + b 3 + a 3 c3 + c 3 + b 3 a c + b a -he b < ----------------- 1------------------- 1-------- —------3 3 3

10

= a3 + b3 + c 3.

P2

+3

Khi đó P > - Ị a 2 + b2 + c 2j - —(a + b + c)Ịa2 + b2 +C2Ị hay

ì ị a2 + b 2 + c 2 ) - * ( a 2 + b2 + c 2 ) j 3 ( a 2 + b 2 + c 2 j. A

CẤ

p>

Í-



Đặt t = ^3^a2 + b + c j thì 3 < t < 4 đo (*).

TO ÁN

-L

Do đó p > — Ị - t 3 + - t 2 với 3 < t < 4 . 27 9 7. Tĩm MinS ; Không mâ't tính tổng quát giả sử: 0 < X < Y < Z < 1 . Vói Ị ^ y + Z = 1 ^ x , y , z e [ o ; i ] .

NG

jx ,y ,z > 0

ID

ƯỠ

Vì ( l - x ) ( l + x) = l - x 2 < l nên: ỉ ^ > ( l - x ) 2

BỒ

Dâu đẳng thức xảy ra trong trường hợp X= 0 hoặc X= 1.

Khi đó s =

- + J — - + J — - > l - x + l - y + l - z hay s; Vl + x \ l + y \ l + z

J —

184 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Đẳng thức xảy ra khi X— y —0, z = 1 thì s = 2. Vậv: minS = 2.

NH ƠN

Tìm MaxS: Không mâ't tính tổng quát giả sử: 0 < X < y < z < 1 .

\ l - h z ]j 1 + x + y

\l +y

V1 + Z

z |i — ^ / z = 1 + a /— - + J . Đặt h (z )= J — V1 + z

v '

V2-Z

V 1 + ■-

ĐẠ O

V2-Z

l —y> 1-

TP

Vl + X

.Q UY

Lúc đó: z > —; x + y < — 3 3

HƯ NG

Í1 Bài toán trở thành giá trị lớn nhất của h (z) trên đoạn —; 1 .

Maxh(z)=Max- h ị—Ịỉ h ( l ) ; h ~ | = ự ^ .

ẦN

h'(z)~0^z —

+3

10

00

B

TR

0 o đ ó ; S = J ĩ Ẹ ị + tI Ẹ ị + J ĩ Ẹ ị < i + - L . Y-1+X V i + y V1+Z V3 1 2 Đẳng thức xảy ra khi x = 0 ,y —z = —-thì s = 1 + 'jr*'

CẤ

P2

Bài toán trở thành x,y,z là 3 số thực dương, thồa mãn: + 1 2 x y -2 1



A

2x + 8 y + 2 1 z < 1 2 x y z = j > z >

Í-

p = x + 2y + 3 z > x + 2 y + | ^ | , x é t f (x) = > + 2 y + 2* * * ệ -

TO ÁN

-L

f'(x) = 0 f (y0) tức là f (x) > h (y) với

ƯỠ

NG

h(y) = 2y + f + ề ỉ ± ĩ ĩ ù , y > 0. 4y 2y

BỒ

ID

h' (y) = 0«* y = - |= * h (y )> h Ị-|Ị .

Vậy p > f ( x ) > h ( y ) > h | j = y .

185 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ta có: g '(y ) = 6y2- 2 z y - l v à g ’(y ) = 0

z - V z 2 + 6 ì < 0 hoặc

.Q UY

y2 = iỊ z + Vz2+6j>0

NH ƠN

9.Đ ặt g (y ) = 2 ( y 3+ z 3) - j ^ z - z 2- y .

TP

Vì y ! < 0 nên ỵj g [o; 1 ].

ĐẠ O

Qua y 2 đạo hàm g ’(y) đổi dâíi từ âm sang dương nên y 2 là đ iâ n cực tiểu.

Nêu y2ẽ[0;l] thi g(y2)< g (o) và g (y z) < g ( 1).

HƯ NG

Nếu y 2 ễ [.0;1] thì g (y) đcm điệu tăng trên đoạn [0;l].-

Cả 2 trường hơp trên thì max g( y) = g(o) hoăc max g( y) = g (l). 7

\

/

ye[0;l]

Tacó: g(0) = 2z3—z2, g (l) =2z 3- z 2- Z + 1.

v

v '

ẦN

yeịD;l]

B

TR

Vì 2 < 1 nên g ( l ) > g ( 0 ) , s u y r a m a x g ( y ) = g (l) .

2-

z

+ 1 < 1

10

z

-» z (2 -l)(2 z + l) < 0

đúng.

+3

2z 3 -

00

Ta cần chứng minh g ( l ) ^ 1 tức

A

CẤ

P2

Chú ý: Bài toán 8, 9 là 2 bài toán khó, thường thì hay xuất hiện trong kì thi học sink giỏi cap địa phương hơn ìà kì thi Đại học. 1 10. Giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x,y,z ta có: 0 < z < —.

-L

Í-



1 Đặt s = xy+yz+ zx-2xyz = x y ( l—2z) + z ( x + y ) > —x y + z (x + y )> 0 j ( i - 2 z ) + z ( x + y ) hay

TO ÁN

Hơn nữa s = xy(1 —2z) + z (;< + y ) <

NG

S < - ( - 2 z 3+ z 2+ l ) = f(z)

ƯỠ

Xét hàm số: f(z) = —ị —2z3+2z + l ^ , 0 < z < ỉ

ID

1 7 f'(z) = 0 o z = 0 hoặc z ==—, từ bảng biến thiền suy ra s < f ( 2)< ——

BỒ

Bàỉ tập 8: Đặt BM = X, 0 < x < - = > N M = BC-2BM = a - 2 x . 2 Đóng góp186 PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Trong tam giác vuông BMQ có

tanQBM = ^ ^ = ^ Q M = BM,tanQBM = x%/3.

.Q UY

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là s (x) = MN.QM = (a —2x)x>/3. Bài toán quy về:

ĐẠ O

TP

r y Tìm giá trị lớn nha't của s(x ) = (a —2x) xV3, x€ 0 ;— .

HƯ NG

S'(x) = - W Ix + a ^ x G 0;— ; S'(x) = 0x = —. w { 2} w 4

ẦN

3 Bảng biêín thiên của s(x) trên khoảng 0;— i

B

TR

a2V3 a Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhât là —T— khi X——. ^ 8 4

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ TÂM ĐỐI XỨNG

10

00

§4.

P2

+3

A. TÓM TẮT GIÁO KHOA.

CẤ

1. Điêm uốn của đổ thị: Giả sử hàm số fcó đạo hàm cấp một liên tục trên khoảng (a;b)chứa



A

điểm x0và có đạo hàm câp hai trên khoảng (a;x0) và (x0;b)-Nếu f"đổi

Í-

dấu khi X qua điểm x0 thì ĩ(x0;f (x0)jlà một điểm uốn của đổ thị hàm số

-L

y = f(x).

TO ÁN

Nếu hàm sô' fcó đạo hàm cấp hai tại điểm x0 và l|x 0;f (x0))là một điểm uốn của đồ thị hàm sô' thì f *(x0) = 0

NG

2. Phép tịnh tiên hệ tọa độ:

ƯỠ

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tình tiến theo vectơ 01 là: !X= X + x0

,

.

BỒ

ID

y = Y+ y0

B. C Ấ C DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ĐỀ. ĩ. Chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến vectơ. 2.Tâm đôi xứng của đồ thị. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

187

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ĐỂ X _______________________________________ h ệ t ọ a đ ộ t r o n g ph é p t ịn h t iế n

NH ƠN

CHUYỂN

THEO VECTƠ Õĩ.

TP

.Q UY

4 ^ X 7 o' Ví du 1.1.4 Chứng minh rằng đổ thị y = —---- X —— có duy nhâ't một trục đối 2 2 ' ■ xứng vuông góc vái trục Ox. *-— ■ ■ ^

ĐẠ O

------------ s -----------------------------------------------------------------

HƯ NG

Lời giải. Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Giả sử x = m là một trục đốì xứng khác của đổ thị hàm số đang xét.

TR

ẦN

V ó i m ọ i ñ iể m M (x q ; y 0 ) bâ't k ỳ th u ộ c ñ ồ t h ị v à M '( x q ' ; y 0 ’) là ñ iể m ñ ổ ĩ x ứ n g với

Í

x0 + x'o' = 2m .

.

+3

10

,,21 3 _ ( 2 m - x 0)4 ố 2 2 xỔ

- | = (~

A

CẤ

Vì y 0 = y o" nên có: Y -

P2

„ - - xo' y° 2

00

B

yo=yo' Vì M' thuộc đồ thị hàm sô', nên tọa độ của nó là nghiệm phưong trình: 2 (2 m - xo)

2 Xq)---- (2m —x0 )2

Tức Ịxq + (2m —Xq )2 —2 Ị Xq —(2m —x0 f



3

, Vx0 -

= 0 đúng với Vx0 -

-L

Í-

Nhận thấy, không tồn tại m để đẳng thức Xo+( 2m —Xq )2 = 2 đủng với

TO ÁN

Vx0 . Do vậy, x ị — (2m —x0 Ỹ — 0 đúng vói Vxọ khi m = 0 . V ậ y , X — ũ ỉà t r ụ c ñ ố i x ứ n g d u y n h ấ t c ủ a ñ ổ 't h ị c ủ a h à m s ố .

(c ): y = X3 + 3mx2 + (m + 2)x + 1 nằm trên trục hoành.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Ví dụ 2.1.4 Tìm tham số thực ĩh để điểm I thuộc đổ thị Biết rằng hoành độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y " = 0. Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên K .

Ta có : y’ —3x2 + 6mx + m + 2. 188

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

y " ~ 6 x + 6m và y" = 0g’(x) = 0 0

.Q UY

Xét hàm số g(x) = 4x3 —3mx2 + 4 liên tục trên R và

HƯ NG

g'(x)đổi dấu 2 lần qua nghiệm và g(x) = 0 có 3nghiệm phân biệt khi m >0

2

ẦN

n\>2y/2. o) có tiệm cận xiên ỉà đường

TP

2. Đồ thị hàm sô' y — mx + n + pVQXZ+

HƯ NG

ĐẠ O

thẳng: y = m x + n -\-p 4 ã x + 2a

ẦN

Led giải.

B

1 2 --

ỉim y — ỉìm ------- = 2 và

X— >—oo

lim y =

X—>— oy . 2 1+ -

X

x-> + o o .

P2

oo v à

lim ------^- = 2 = > y = 2 là tiệm

+3

X

c ậ n n g a n g c ủ a ñ ổ t h ị k h i X -5- —

1 2 --

X— >4-00 X— >+00 . 2 1 -ỉ—

10

Ta có:

'

00

'

TR

ĩ. Hàm sô' đã cho xác định và liên tục trên D = K \{ —2j .

x —* ( ~

v

2) + ;.

y = ỉ i Ịim 2x1 lim — m Xx->-rxj — >— oo YX X— >-c-co x(x -r2) X—

0 => hàm sô' y không có

Í-

'





X —» ( — 2 )

A

CẤ

limy = —o o và ỉim y = +oo=>x = —2 là tiệm cận đứng của đồ thị khi x~->(-2) x— >(-2)+

-L

tiệm cận xiên khi X—»—oo.

TO ÁN

2 -lim —= lim ——T-“ Um -----^ = 0 => hàm số y không có tiệm cận X-H-OOX x->+oo x(x + 2] X— >+oo X+ 2

NG

x iê n k h i X —» + o o .

ID

ƯỠ

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = K \ Ị o | .

BỒ

-x jl + lim y = ỉim • x o

X—5-—no

— lim

.Ịl-Ỉ— —= —l=>y = —1



tiệm cận

n g a n g c ủ a ñ ồ t h ị h à m s ố k h i X —» — o c .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

199

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

..... V : *' „ lim y = lim — --------- = lim X —

X

x - * + o o

Y

NH ƠN

X -.+ O U

r~ T 1 + —^ = 1 = ^ = 1 là tiệm cận ngang của X

đổ thị hàm SỐkhi X —»+00 . J.

Vx2 + 1

y/x2 + 1

n

^

___ X—»0

X

____ X— *0

x-*0+

X—>0"*"

V

.Q UY

lim y = l i m ----------- — —CO, iim V— ỉ i m ------------ = +00 => X —0 là tiệm X

V

TP

cận đứng của đổ thị hàm sô' khi X—»■o- và X—>0+ .

7

x j l + - i-

yjx

X xiên khi X—»■+00

X X——» >+ +0 00 0

X

X —* + 0 0

V

hàm số y không có tiệm cận

TR

XV

B

X — > ++ oo_ o> Y

ẦN

-f-1 V X lim —— lim ----- T— — lim —-— ------= 0 y

HƯ NG

ĐẠ O

-x ./l + 4 r y Vx< , 1 ~ X +7 lim —= lỉm ----- -— — lim ---- *—=------ = 0^=> hàm số y không có tiệm X—»-00 X X— v-oa X X—>—00 X cận xiên khi X—>—00

00

Ví dụ 2.1.5: Tim tiệm cận của các đổ thị hàm sô' sau: 2. y = X+ Vx2 - 1

+3

10

1. y —yj x2 - 2 x + 2

CẤ

P2

Lòi giải. ĩ. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . ~ 2x + 2.= Ịim

L

ĩ + A . = 1' Xx~->+oo]ỊXX



A

Ta có: a — lim - = lim — X—>+oo X X—>+00

TO ÁN

-L

Í-

b = Um (y —ax )= lim Ịyjx2 —2x + 2 —x ]= ỉim r - ^x lb ji----x^ +co X_>+ÍXJ\ ị x_ +00 ^ x2 _ 2x + 2 + X -2

= lim x-v+oo

, I

+ -

"-■Ị----- = - 1 2

2

ƯỠ

NG

1 --+ 4 + 1 V X X => y —X—1 là tiệm cận xiên của đổ thị hàm sô' khi X —»+OOA

BỒ

ID

.. y \/x2 —2x + 2 . a — lim —= lim ---------------- lim 1 X X X — >— 0 0

X — + — 0>J

X —

r 00 Y

■2x + 2 b = ỉim (y —ax) = lim h /x 2 - 2x + 2 + x )= lim —7 X —2x + 2 —X X — »— 0 0

X —> - o o \

/

X — »— c o

/,

200 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

+1

2

2

L

-

f -

x =----= 1 =>y = —x-fl ■

t *

1



X —* + o o \

x ~ *+ c o i J x

2

HƯ NG

Ị ............= 0.

b = ỉim ( y - a x ) = lim (Vx2 - l - x ) = lim X —»+ o o

ĐẠ O

y x + Vx2 —1 .. I, L 1 a = lim —= lim — — ------ = lim 1 + J l — ~ = 2X— X X X—>+oo\ X \ V /

TP

2. Hàm SỐđã cho xác định và liên tục trên D = (—oo; —l]u[l;-|-oo).

.Q UY

là tiệm cận xiên của đổ thị hàm số khi X —s- —oo.

l - ị - x

x->+ooX

x- >- +oo|

V

b = ỉỉm y = lỉm ị^lx2—l ' + x ) = lim /

J

x ^ - o o

00

X —> - o o \

X j

y ỉ ỵ 2

___ ^

- -----= 0 ____ X

10

X —k -o o

TR

lim * ± ệ z ĩ = Jta ( i _ f l X L o .

x -* -n o X

B

a = lim 1 =

ẦN

=> y = 2x ỉà tiệm cận xiên của đổ thị hàm số khi X —»-Ị-oc.

+3

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm sốkhi X—»-Oi). / \ z - I____ i _-tẠ___ ____« l_ * _

P2

CẤ

A

.............—

Các hoạt động cơ bản : □ Hoạt độríg 1: Bài tập 1: Tìm tiệm cận của đô' thị hàm số:



■- É................................................................................... ;. .1. . . . . ........ ..................

NH ƠN

iti'&H'.r.M.M !».« —oo. 1 Vì lim y = lim = —=> đổ thị hàm sốkhồng có tiệm cận đứng

X

1

=

,—



, , , ~ đưòmg tiệm cận đứng của đô thị hàm so.

+3

_ ’ Đường thăng

10

00

Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đổ thị hàm số.

P2

yịm

CẤ

XI2 Ví dụ 2.23 Cho hàm sô' y = -----—, có đổ thị là (c) .



A

Tìm tất cả các điểm M thuộc (c) sao cho khoảng cách từ M đên tiệm cận đứng bằng 5 lẩn khoảng-:ách từ M đêh tiệm cận ngang.

-L

Í-

Tham khảo đề kiểm tra học kì ỉ T H P T Amsterrdam, Hà Nội - năm 2011

TO ÁN

Giả sử M

X q ; H -------—

Lời gi ải . là ñ iể m t h u ộ c ñ ổ t h ị

(c ) ,

Xq ^ 3 .

NG

x0 —‘V Khi đó khoảng cách từ M đêh tiệm cận đứng là di = Ịxq —3|

BỒ

ID

ƯỠ

Khoảng cách từ M đêín tiệm cận ngang là ÍỈ2 = — - — ị|x0 ~ 3| 25

2

Theo giả thiết (12 = Sd; hay Ịxq —3ị = ì— I ^ (x0 —3) = 25, phương trinh ix0 ~ 3|

n à y c ó 2 n g h iệ m X q = — 2 h o ặ c X q = 8

Vậy, M(—2;0), M (8;2 1 là tọa độ cần tìm. Đóng góp PDF bởi 202GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ĐẠ O

1 T acó: y ' = m ----- ,x ^ 0 .

TP

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên (—o o ; 0 ) u (0;+ oo).

.Q UY

> 2 điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng 4Ỹ7 Lời giảú

NH ƠN

1 v í dụ 3.2.5: Tim m € M để hàm số y = mx + — có cực trị và khoảng cách từ

X2

Với m > 0 thì

HƯ NG

Để hàm SỐ đã cho có cực trị thì phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. 1 y ' = 0 m — y = 0

1 1 Xj —— r ^ < x 2 = r =r và điểm cực Vm Vm

ẦN

X

J

00

B

Wm

TR

' 1 tiêu của hàm số là A -y=)2yfm .

X—

X

P2

m—^Lr —2Vm

+3

X—»— 2 ^d(M ,d1).d(M ,d2)-= 2V 5 .

206

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

w D. BÀI TẬP Tự LUYỆN. •% ■ì-

Bàí tập 1:

2x2 + 3mx —m + 2 g: trì tham số m sao cho y = ---------- —---------- có tiêm cân xiên tao 1. Tim giá

.Q UY

X—1

với hai trực tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 .

1 cách gốc tọa độ 0 một khoảng băng — V17

HƯ NG

Bàỉ tập 2:

ĐẠ O

X -i' 1

TP

m2 ^ 2. Tìm giá trị tham sô' m sao cho y = 2mx + m —1----------- có tiệm cận xiên

TR

ẦN

_ 2x + m „ _ , ' ,.,1 ~ Cho hàm so y = -----■ ---- . Tìm m đê đô thi hàm số có tiêm cân đứng, tiêm mx —1 cận ngang và các tiệm cận cùng với hai trục toa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích .lầ 2.

B

Bài tập 3:

+3

10

00

1 2 ĩ. Cho đường cong (Cm): y = ——X +3 + ——- — và đưòng thẳng (dm): 2 mx 1 y = mx —m + 2. Tìm tham số m để (cm ) có điểm cực đại, cực tiêu và tiệm cận

m

x 2



_Ị_

CẤ

P2

xiên của nó tạo với đường thẳng (dm) một góc 45^ .

x+ 1

A

2. Cho hàm sô' y = ------- ---------. Xác đinh m để hàm số có cưc đại, cực tiểu







và tiệm cận xiên, tiệm cận đứng của đồ thị hàm sô' cùng vái trục hoành tạo thành

Í-

một tam giác vuông có một góc 60°.

-L

Bải tập 4:

TO ÁN

, , mx2 +(3m + l)x —m + 2 Tim tham so m đê đổ thị hàm so y —--------- i---------------------- có tiệm cận X + 1

ƯỠ

Bài tập 5:

NG

xiên là (d) và (d) tiếp xúc với đường tròn tâm l(l;2 ), bán kính bằng yỊ Ĩ. 2 x -ị- \

ID

í. Cho hàm số: y = ---- — có đổ thị là (c.) .Tìm trên đổ thị những điểm có X -f-1

BỒ

tổng khoảng cách đên 2 tiệm cận nhỏ rứìất. 3 x _5 2. Cho hàm. số: y = ------ — có đồ thị là (c) .Tìm trên đổ thị những điểm có tổng ìchoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhẩt. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

207

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

HƯ NG

ĐẠ O

TP

.Q UY

NH ƠN

2x --Ị3. Cho hàm số y —------- có đổ thị là (c ). Tìm trên đồ thi (c) những điềm x+ 1 M có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận bằng 2. X -1- 1 4 . Cho hàm số y = —— - có đổ thị là (c). Tìm trên đổ thị (c) những điểm M X 2 sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ ỉà nhỏ nha't. ' Bài tập 6: 1 —2x ĩ. Cho hàm sô' y = ------- ..Tìm A,Bthuôc 2 nhánh khác nhau của đổ thi để 1 -x ' AB ngắn nhất. 2x + 2 2. Cho (c ): y = —------. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (c) có tổng khoảng 1

cách đến hai tiệm cận ỉà nhò nhất. X

ẦN

_X -j“ 1 3. Cho hàm số (c ): y = ------ —---- . Tìm các điểm M thuộc (c) có tổng khoảng 1

00

B

TR

cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nha't. , / _\ 2x + 2 4. Cho hàm sô (Cj: y = ---- -— . Tìm 2 điềm M,N thuộc hai nhánh khác nhau

+3

của (c) sao cho đoạn MN nhỏnhâ't.

10

X —1

..2 , .. !

P2

5. Cho + 1 .■Tìm 1 Cho hàm hàm số sô' (c):y (c):y == — —-—X----2 điểm M,N thuộc 2 nhánh khác

CẤ

X 4-1

nhau của (c) sao cho đoạn MN nhồnhất.



A

Bài tập 7:

+ j * + 1. X—1

-L

Í-

Cho hàm số (c): y = -

TO ÁN

1. Tìm điểm A thuộc (c) có tổng khoảng cách đên 2 trục tọa độ là nhỏ nhâ't. 2. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (c) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.

Bài tập 8:

ƯỠ

NG

/ \ “1“ 2x ~f*2 1. Tìm điểm thuộc đổ thị (Cj của hàm sô' y = ------ —------ sao cho khoảng cách X "4"1

ID

từ điểm đó đêh trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung.

BỒ

z Viết phương trình đưòng thẳng qua tâm đôi xứng của (c): y — X—^"x—- và cắt

(c) tại hai điếm phân biệt A,B sao cho khoảng cách giữa 2 tiêp tuyêh tại A,B bằng 1.

208 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2x + l 3. Cho hàm số y -----------có đổ thị là (c). Gọi K là điểm trên (c) có hoành độ

NH ƠN

k ( k ^ —l ) . Xác định k sao cho khoảng cách từ l(—1;2) đến tiê'p tuyến với (c) tạí K đạt giá trị ỉớn nhất.

.Q UY

E. HƯỚNG DẪN GIẢI.

Bài tập 1:

ĐẠ O

TP

1. Với m = —2 hàm sô' đã cho suy biến thành đường thẳng y = 2x —4 nên không có tiệm cận. Do vậy, m ^ —2 hàm số, đã cho có tiệm cận xiên là y = 2x + 3 m + 2. í 3m + 2 ) _ iv và cắt trục tung tại

HƯ NG

Giả sử tiệm cận xiên cắt trục hoành tại A

ẦN

B(0;3m + 2).

TR

SA0B = 4 tức 0A.0B = 8 hay (3m + 2)2 —1 6 -O’m = ~ hoặc m = —2.

00

B

2 Vậy, m = — thỏa bài toán.

J

1 o



^ 17



I01" 1!

— — --------------------------

V4m

+ 1

1

P2



V17

CẤ

d (0 ,t)\

+3

10

2. Tiệm cận xiên là (t): 2m x—y + m —1 = 0 , m ^ o .



A

7 8 hay 13m —34m + 16 = 0 ^ m = 2 hoặc m = —- . . 13

-L

1 2 = 2+'XJ

ẦN

Đạo hàm : y ’= 4x3 —4x = 4xỊx2 —l j

TR

x = 0 ,y (0 ) = - 3

Bảng biên th iên : —1

0 +

CẤ

—00

P2

X

+3

10

00

B

y ' = 0 ^ x = ~ l , y ^ ị ^ —ị-

+ +00



—4

+00

A

+00 •

0

1

Í-

Hàm số đổng biên trên các khoảng (—1;0) và (:l;+oo), nghịch biên

-L

trênkhoảng (—00;—ỉ) và (0;l)

TO ÁN

Hàm số có điểm cực đại tại X = 0, y(0) = —3 và có điểm cực tiểu tại X = - 1 , y (-. 1 ) = —4

và X = 1, y( 1 ) = - 4.

NG

y " = Ị2x —4

ƯỠ

V3

(_Vặ)

3

BỒ

ID

y"=0< ^ X, —■

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

V ặì

3

= —3— 9

= —3 — 9

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

y " đổi dấủ hai lần qua nghiệm „4 v à x _= x ,-=Ể ^.

X= X1 = - ^^

3

9

Vỉ

,5 : 9

TP

Ui

và Ư-:

.Q UY

nên

ĐẠ O

là hai điểm uốn của đổ thị. ĐỒ thị ."Giao điểm của đổ 1hi vói trục 0y A(0;—3)

HƯ NG

Giao điểm của đổ thị với ti ục Ox b (-V 3;0), c (V3;0)

TR B 00

CHỦ Đ Ể 3

10

o

ẦN

Đồ thị là hàm số chẵn nên rthận trục Oy làm trục đối xứng

mx + n

P2

+3

HÀM SỐ HỮU TỶ y = ax + b , an-bm'^o.

CẤ

□ Phương pháp:

ax + b _ .__ —------ , a n —bm ^O mx + n



A

Hàm số hữu tỷ y

mx + n

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-

Dáĩig điệu đồ thị của hàm sô' y = ----- '— , an —bìĩi ^ 0.

2x —1 Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đô thị của hàm số: y = -------- . X —1

214bởi GV. Nguyễn Thanh Tú Đóng góp PDF

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Giới hạn : lim y = —oo;

ỉim y = +00 => X — llà tiệm cận đứng. X — >1+

.Q UY

X—*1

lim y = lim y = 2 => y = 2 là tiệm cận ngang. X

— —00

NH ƠN

Lời giải. Hàm số đã cho xác định D = M.\{l}.

X — >+T>y

-1 „

1

-2

^

/

/

-3

u

ẦN

TR

y= A x+ n

B 00 10

4

5

\

' X

1 \

P2

>

r



\

2

3

4

5

I

-2 '

CẤ

n

A

x=

TO

X



'Ví dụ Khảo sát sự biêri thiên và vẽ đổ thị của hàm số: y

Í-

3

1



1

' 2

+3

■3

2

i

1 y

y = A -X + n

1

1/

-1 -

/

X

1

—3x + 6

~ 1

-L

L ờ i g iả i.

TO ÁN

Hàm số đã cho xác định D = M \ | l | Giới h ạ n : lim

y — —oo;

X — * - l~

lim

00 ;

y — +

lim

X — ►l'*"

y = -

00 ;

lim

y = + oc= > x = l

X — *+00

X — ►— o o

ƯỠ

NG

là tiệm cận đứng. lim

[ y - ( x - 2 ) | = v

/J

lim X—

00

— X-

— 0; 1

lỉm

[y — ( x v

X -> + O G [

2 )]— 'J

lim X “

+CO

— — = 0 x _ 1

ID

X -U -c o 1

BỒ

=$>y ~ x ~ 2 là tiệm c.ận xiên.

Đạo hàm: Ý =

X2 — 2x — 3

(x -iý

,x ^ l.

216 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

—1 0

3 0

1 -

+ oo +

.Q UY

Bảng biến thiên: — oo X 4y'

NH ƠN

íx = - l , y ( - l ) = - 5 x = 3, y ( 3 )= 3

y’ = 0

. -TOO

/ —oo

TP

N —oo

ĐẠ O

y

HƯ NG

Hàm SỐ đổng biên trên các khoảng (—co; —l) và (3;+oo),'

ẦN

nghịch biêh trên các khoảng (—l ; l ) và (l;3)

B

TR

Hàm số có điểm cực đại tạị X—- 1 , y ( - l ) = - 5

TO ÁN

□ Hoạt động 1:

-L

Í-



A

CẤ

P2

+3

10

00

và có điểm cực tiểu tại x = 3, y (3 )= 3 .

NG

1. Cho hàm số y = —X3 ~ 3x2 + mx + 4 , trong đó m là tham số thực. a. Khảo sát sự biên thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0

ƯỠ

b. Tìm tâ't cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;-ị-oo).

BỒ

ID

2. Khảo sát sựbiến thiênvà vẽ ñổthị (c) của hàmsố: y=

-X 3

+ —X 2 + 6 x —3. 217

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3

3

2

NH ƠN

Chứng minh rằng phương trình: —X + —X + 6x —3 = 0 có ba nghiệm

.Q UY

1 phân b iệt, trong đó có một nghiệm đương nhò hơn —.

Chứng minh rằng phương irình y —0 có 3 nghiệm phân biệt. Khảo sát sự biến thien và vẽ đổ thị (c) của hàm số:

ĐẠ O

4.

TP

/ '\ 1 7 7 17 3.'Khảo sát sự biên thiên và vẽ đố thị (CJ của hàm số y = —X —2x + ——.

HƯ NG

y = —X3 + 3 x 2 + '?x + 2.

Viết phương trình tiêp tuyêh của đổ thị (c)tại điểm có hoành độ x0,

ẦN

biết rằng y "(x 0) = —6. Giải bât phương trình y ’(x —1 )> 0 5. Khảo sát sựbiêh thiêr và vẽ đổ thị hàm số y —X3 —6x2 + 9x - Tìm tất cả

TR

các đường thẳng đi qua đìểcn M(4;4) và cắt đổ thị (c) tại 3 điểm phần biệt

00

B

6. Tìm hệ sô' a,b,c sao cho đồ thị của hàm số y —X3 -ỉ-ax2 + bx + c cắt

10

trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại

P2

+3

điểm có hoấnh độ là —1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị của hàm số với giá trị a,b,c vừa tìm được . .

X — 3 v à đ ổ th ị ( c ) tiế p x ú c v ớ i đ ư ờ n g t h ẳ n g ( d ) :



đ ạ t c ự c đ ạ i tạ i đ iể m

A

CẤ

1 7. Tìm các hệ số m ,n,p € K sao cho-hàm số y = ——X3 + mx2 + nx + p

-L

Í-

y —3x —— tại giao điểm của (c) với trục tung .

TO ÁN

□ Hoạt động 2

Chứng minh rằng phưimg trình: X4 —2 |m 2 + 2jx2 + m 4 + 3 = 0 luôn

NG

có 4 nghiệm phân biệt XJ,X2/X3,X4 với mọi giá trị của m . Tìm giá trị m e R s a o ch o: Xj 4- x ị + y ị + x ị + XjX2X3X4 = 1 1 .

BỒ

ID

ƯỠ

□ Hoạt động 3 1. Cho hàm số y = mx2 t í 2m - 1)x - 1 có đ6 foj là /c J m e X+ 2 v m/ a. Chứng minh rằng với mọi m > 0 hàm số ỉuôn có cực đại, cực tiểu. b. Khảo sát sự biến thiêr và vẽ đổ thị (c) của hàm số với m = 1.

Đóng góp PDF218 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Viết phương trình tiếp tuyêí

NH ƠN

c.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

tuyến đi qua A (l;0).

60 '(3 fũ

HƯỚNG DẪN GIẢI □ Hoạt động 1 :

-c

ẦN

la. Với m —0 , ta có hàm số y = —X3 —3x2 + 4.

.Q UY

b. Tìm trên đường thẳng y = 4 c< tuyến đêh đổ thị hàm số.

TP

'ê 0 )

ĐẠ O

TP

□ Hoạt động 2:

Ta chứng tỏ (2) luôn có hai nghiệm : 0 < t x < t 2.

ẦN

A' = Ịm2 + 2j ” ^m4 + 3 j = 4m2 -M > 0 vói mọi m .

TR

Vậy (2) luôn có hai nghiệm phân biệt

00

B

t lf t 2 và t 1- t2 = m4 + 3 > 0 t 1 + t 2 —2(m2 + 2 j> 0

P2

+3

xĩ + x 4 + X1X2X3X4

yftĩ, —Ậ > t

CẤ

xỉ + x2 +

10

Do đó phường trình (l)có 4 nghiệm :



A

= 2 (t1 + t 2) + .t1t 2

Í-

x ị + x ị + x ị + x l +XJX2X3X4 = 4Ỉm 2 + 2 Ì + m 4 + 3 = m 4 + 4m2 + 1 1

-L

- Xj +Xj +X 3 + x ị +XJX2X3X4 = 11

m 4 + 4m 2 + 1 1 = 11

TO ÁN

m4 + 4m2 = 0 m —0.

□ Hoạt động 3

X “f~ 2

ƯỠ

NG

1. y = mx —1 H— -— . Hàm số cho xác định ửên D —M\ {—2}.

BỒ

ID

1 a. y 1= m — (x + 2j Với m > 0 thì phương trinh y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác —2.

.Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu khi m > 0. 221 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

CẤC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN HÂM s ố

NH ƠN

§7.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP ĐẠ O

o

.Q UY

Các dạng bài tập theo chủ đề. 2. Điểm thuộc đổ thị irủa hàm số. 2. Sự tương giao của Jlai đổ thị 3. Tiêp tuyên của đồ thị. CHỦ ĐỂ 1

_____________ ______________________

_

HƯ NG

ĐIỂM THUỘC ĐỔ THỊ CỦA HÀM s ố . □ Phương pháp: Ta thường gặp bài toáĩi sau:

ẦN

Tím tấi cả các điểm M thuộc đồ thị (c): y = f ( x ) , biết M thỏa mãn tính chất T

TR

cho trước.

00

B

□ Các VÍ dụ minh hoíỉ:

10

Ví dụ 1.1.7:

+3

ĩ. Cho hàm số y = 2x2 —ìx -ỉ-1 có đổ thị là (p) và đường thẳng (a ) : y = X—5.

P2

Tìm các điếm M e (p), N € ( à ) sao cho MN nhỏ nhất.

CẤ

2. Tìm các điểm M trên đô' thị (c) : y = X4 + 2 x 2 —X sao cho tiêp tuyên của (c)



A

17Ì tại M vuông góc vói đường thăng IM, vói I 0;— . 8

j

Í-

3. Tìm trên đổ thị (c ): y = X 3 —3x2 + 1, hai điểm M, N sao chọ MN = 4V2 và

TO ÁN

-L

tiếp tuyêh tại đó song song vói nhau.__________________________________ Lời giải

NG

2. Giả sử M^m;2m2 —3m + l j ẽ (p) và N (n;n—5) g (a ).

BỒ

ID

ƯỠ

MN2 = .( m - n ) 2 + (2m : - 3 m - h l —n + s) = ( m - n ) 2 -f ị(m -n)-ỉ-2Ịm 2 —2m+3^j

(m - n) + (m2 —2rr + 3)! + lịm 2 - I m + i Ị > 2 (m2 - 2m + 3)2

(m -l)2+ 2 Ị2 > 8 =>MN> 2V2 . Đóng góp PDF bởi 222GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

m= 1 fm = l= ^ M (l;0 ) ¥0^ W Đẳng thức xảy ra khi W‐‐.. ( m - n ) + (m2 - 2 m + 3) = 0 ^ | n = 3=>N(3;~2)

2. Tiêp tuyêh d tại M(x0;yD) thuộc (c) có hệ số góc ỉà y 0 = 4 x g + 4 x ữ/

^phương trình có dạng: y =

(4Xg + 4 x 0 j(x

—x 0) +

Xq

+2Xq — 1



.Q UY



NH ƠN



có vectơ pháp

TP

í tuyên n - ( 4 x * + 4 x 0; - l ) .

ĐẠ O

——* 2 51 Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương AM = XO;X0 + 2x1 ~ l 8 Đường thẳng d và AM vuông góc nhau khi n và AM cùng phương với nhau \f 25 ì tức (4*0-f-4x0) x j+ 2 x * - - ^ - + x 0 = 0< ^x o = 0 hoặc ov / \

HƯ NG

/

(

10

00

B

TR

ẦN

4 ( x ỉ + l ) ( x ẳ + l ) 2 - y + 1 = 0 (*).

33 t 2 —+—— 1 = 0, phương 8

,

Xq

= 1

xơ = —1 hoặc x0 = 1.

P2

Với t = 2 tữc

+3

trình n à y c ó n g h iệ m t — 2 th ỏ a đ iề u k iệ n t > 1 .

CẤ

Vậy, có 3 điểm cẩn tìm M(—1;2), M(0; —l), M (l;2). Giả sừ M ^m; m3 - 3m2 + l Ị , N ^n; n3 - 3n2 + l j với m

n ỉà tọa độ thỏa

A

3.



mãn để bài. Vì tiếp tưyêh tại M,N song song vói nhau nên y'(rn) = y '(n )

Í-

hay

-L

3m2- 6 m = 3n2 - 6 n ( m - n ) ( m + n - 2 ) = 0 =>n = 2 ~ m , m ^ l

TO ÁN

Han nữa MN2 = (m —n)2 + Ịm 3 —3m2+ l - n 3 +3n2 —l j , rút gọn ta được MN2 = 4 ( m - l ) 6 - 2 4 ( m - l ) 4 + 4 0 ( m - l ) 2, do n = 2 - m

NG

Mà MN = W 2 suy ra 4 t3 - 2 4 t 2-f-40t =32 với t = ( m - l ) 2 ,t > 0 , giải ra 3).

ƯỠ

được t = 4 , từ đây có (m ;n) = ( 3; —

ID

Vậy, điểm cẩn tìm M(3;—l), N(—1;3).

BỒ

Ví dụ 2.1.7 2

ĩ. Tìm tọa độ 2 điểm B, c thuộc 2 nhánh khác nhau của đổ thị y = — sao X

cho tam giác ABC vuông cân tại A (l;—2). Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

OO'i

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

1 WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2x-f 1 2. Tim các điểm thuộc 2 nhánh khác nhau của (c): y = -------- sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó ngắn nhất.

Lời giải.

NH ƠN

X -f* 1

í 2ì 2 , c c ; - , b < 0 < c là 2 điểm thuộc đổ thị y = —. Gọi H, K lần c _

.Q UY

1. Xét B \bi

"

ĐẠ O

K ( c ,- 2 ).

TP

lượt ỉà hình chiêu cùa B, c lên đường thẳng y = —2, khi đó H(b;—2) và

HƯ NG

Dễ thấy BAH 4“ CAK = CAK + ACK = 90° =» BAH = ACK suy ra

ẦN

ÍAH = CK AAHB = ACKA ( cạnh huỷền, góc nh ọ n ) => I hay BH —AK bc = 3c + 2 V bc ——c —2 (l)

TR

(l —b) — 2 + 2

2 + -H = | c - l |

B

■ = c-1

(2 )

10

00

2

P2

+3

8c + 4 3c -Ị- 2 * Với bc = 3c + 2 => b = ------ r- thay vào (2) ta được — c —1



A

CẤ

Suy ra c2 + 3c + 2 = 0 hoặc 3c2 + 7c 4* 2 = 0 không thỏa c > 0. —c —2 * Với bc ——c —2 =£- b — thay vào (2) ta được = c -1 c-f-2

Í-

Suy r a c + c —6 —0 0 )

TO ÁN

-L

Vậy, B(—2; —1 ), c(2 ;l) hoặc ngược lại là tọa độ cẩn tìm. 2. Gọi A Ịa;2----- — , B b ; 2 - 1 với a < —1, b > —1 ỉà 2 điểm lần lượt a + 1J ( ' . b + l,

BỒ

ID

ƯỠ

NG

thuộc nhánh phải và nhánh trái của đổ thị. Đặt u = —1 —a > 0 , v = l- Ị-b > 0 . AB2 = (u

+

v

)2 +

1 ì2 - + - = (u + v)2 1+-

(1 [u

V

(u v f

> 4uv 1 + -

H

Hay AB2 > 4u v + — >16. uv

224 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

u= V

r

NH ƠN

u= V 4 >=> I , =^u —v = l . 4uv = — lu = 1 uv

Đẳng thức xảy ra k h i:

Vậy, A(0;1), B (-2;3) thì mỉnAB = 4.

-— X-I— . 3 2

2

TP

3

ĐẠ O

và c là 2 điểm nằm trên đổ thi y = —

.Q UY

Ví dụ 3.1.7 Tim tọa độ 2 điểm B, D sao cho ABCD là hình vuông, biết rằng D là điểm nằm trên đường thẳng đ : x + y —2 = 0 ; l(l;9) ]à trung điểm AC; A

Lời giả i.

3

2

3

3

2

2

3

=1

TR

a+ c

00

3

2

2

3



2

10

3

+ -

P2

+3

2

B

f— l a 3 —— 1 a 2 —~7 a + — 7 + ,1- c 3 - - 1C 2 - - 7C

3

2

ẦN

thuộc đổ thị của hàm sô' I là trụng điểm AC:

HƯ NG

7J í 1 3 1 2 7 í 1 3 1 2 .7 7 Gọi A 3;—3 ---- 3 ---- 3H ị, c c ; ^ c - - C - - c - 4 - - là 2 tọa độ điểm

—(a + c) (a + c)2 ~3ac

A(—3;—3)

c(5;2l)

hoặc ngược lại

Í-



A

CẤ

(a + c)2 —2ac ——(a + c) - 1 1 = 0

d:

X= t •

TO ÁN

-L

THI: A(-3;-3) và c(5;2l). và D g (cI)=$- D(t;2 —t).

NG

Ta có: ÃD = (3 + t ; 5 - t ) , CD = ( - 5 + t ; - 1 9 - t )

ƯỠ

[đ A.DC = 0 ABCD là hình vuông khi và chi khi ■ [DA = DC

BỒ

ID

1 '

^1

I U

-

i

ft = —11 V t = 5

9 9 v2 =>t = - l l tức D ( - ll;1 3 ). ị(3 + t) + (5 —t) = ( t —5) + (—19 —t)

225 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy, A(—3;—3), B (l3;5ỉ, TH2: A(5;2l) và

c(5;2l),

c(—3;--3)

D(—11; 13) là tọa độ cần tìm.

tương tự.

^ có

đổ thị là

(c). Tìm

ưên đồ thị

(c)

những

TP

ĩ. Cho hàm số y —x

.Q UY

Ví đụ 4.1.7

NH ƠN

Vì AB = DC = (l6 ;8 )= ^ B (l3 ;5 ).

2. Tìm trên đổ thị

(c)

ĐẠ O

điếm M có khoảng cách đến đường thẳng 3x ■+-y + 6 = 0 nhò nhất. : v^= —X3 + 3 x có bao nhiêu bộ bốn điểm A,B,C,D sao

HƯ NG

cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm 0 (0 ;0 ). Lời giải.

+ 4x0 + 5 . Gọi (d)ỉà khoảng cách từ M Xn + 2

ẦN

Xq

ĩ. Gọi M(x0;y0) € ( c ) ^ M V

B

4(x0 + 2)4

00

1

V ĩõ

+3

y/ĩo

4 x ỉ + 1 6 x rt + 17 Xq + 2

10

d=

TR

đên đường thẳng 3x + y + 6 = 0.

A

CẤ

P2

£ Đẳng thức xảy ra ■• 4ịxt; -f 2j —-ị— — — ĩ ■ |x0 + 21

-3 — 2

í —3 5 Ì

Ị— Ị—

-L

3bjỊ với a ^ b và 2. Giả sử A^a;—a3 +3a^B ^b;—b3 +3b

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

ÍOA _LOB ABCĐ là hình vuône tâ n 0(0;0) j 6 v ' Ịoa-ob

Biên đổi và rút gọn

>

7 ĨÕ ‘

5 yn= ~ 0 2

-5 5 xn = —-=>■ yn = - — 0 2 0 2

Í-



Vậy có hai điểm thoả yêu yên cẩu bài toán ỉà

Xr

x0 + 2

í —5

và M2 ——;

a,b> 0.

_ [OA.OB = 0 ^ Ị oa= o b

a b + a b ^ a 2 - 3 ^ b 2 —3j = 0 a 2 + ( a 3 - 3 a ) = b2 + ( b 3 - 3 b y a2b2- 3 ( a 2 + b2) + 10 = 0

(1 )

ta được : a + b = 0 (a2 + b2 - 3)2 - a 2b2 + 1 = 0

Đóng góp PDF226 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(*)■

( 2)

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Rõ ràng phương trình (3) không có nghiệm thực với Va G M. Trường hợp 2: Đặt u = a 2 -f b2, V—a2.b2.

a = yỊĨ—ylĩ

v= 2

|a 2.b2 = 2

b “ V2 -T >/2

[u = 5

j a 2 -f-b2 = 5

v -5 ^

a2.b2 =

a—

hoặc

ĐẠ O

|a 2 + b2 = 4

Í - V 2 + V2 b = ^ 2 -V 2

■T T s

a= hoặc

HƯ NG

u= 4

TP

V= 5 .

5 + Vs

ẦN

Giải hệ, ta được u = 4, V—2 hoặc u =

.Q UY

W \ [ v - 3 u + 10 = 0 ív —3 u - 1 0 Khi đó hệ (1), (2) trở th àn h : 1, 9 ọ (2)

Với điều kiện (2) thì A và B có hoành độ là

và X2 nói cách khác

NG

TO ÁN

-L

A = [—(2m -f 3 ) f + 8 (m —1 ) > 0 hay1 x x ' ( - l ) 2 -(2 m + 3 ) ( - l ) - 2 ( m - l ) ^ 0

ƯỠ

Xj;—— + m và B x2;—— + m ỉà tọa độ cần tìm.

BỒ

ID

__ *1 +*2 _ 2m-+3 ~ 2 ~~ 2 Trung điếm M của A và B thỏa = y i + y 2 _ 2 m —3 yM 2 4

228 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

—4

——j —21 = 0 hay m = 1.

NH ƠN

M thuộc đường thẳng (d) 43-

Với m = l thỏa mãn điều jkiện (2)> khi đó phương trình (l) trở thành: 5x = 0 ^ x = 0 hoặc

U A



V/ > p y

/V —

V

ẦI ư a v .

X

/

= 5.

.Q UY

X2 — —

TP

Vậy, A(0;1) và b Ị s ;—— hoặc ngược lại.

ĐẠ O

Các hoạt động cơ bản : □ Hoạt động 1: điểm M trên cung AB sao cho diện tích AAMB lớn nhât.

HƯ NG

1. Cho hàm sô' y —X2 có đổ thị là (p) và điểm A(—l;l),ĩ:(3 ;9 ) thuộc (p ). Tìm

ẦN

2. Cho hàm sô' y = X—^ có đổ thị là (C).Tìm điểm M trển đổ thị (c) sao

00

B

TR

cho khoảng cách từ M: ' . , 6J s a. Đên đường thẳng (d): 2x + y —2 = 0 bằng ——.

P2

+3

10

b. Đêh Oy gâp đôi khoảng cách từ M đến Ox. _ 3x _ ^ 3. Cho hàm số y = -------- có đồ thị là (c). Tìm điểm M trên đổ thị (c) sao cho

A

CẤ

12 khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): 3x —4y 4- 1 = 0 bằng — . cóđổthịlà (c). Tìm điểm M trenđổthị (c) sao cho



4. Chohàmsô'y

-L

Í-

khoảng cách từ M đến đường thẳng (đ ): X—4y + 8 = 0 có giá trị nhỏ nhất

TO ÁN

3x —2 5. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị y = —----— mà khoả ’12 cách từ điểm đó 2x + l . đên đường thẳng y = 7x - f l nhỏ nha't.

□ Hoạt động 2:

NG

3x —1 1. Tun tọa độ 2 điểm B, c thuộc 2 nhánh khác nhau của đổ thị y —------—sao

ƯỠ

X —1

ID

cho tam giác ABC vuông cân tại A (2 ;l).

BỒ

I 2x 2. Cho hàm số y —— — có đổ thi là (c ). Tìm hai điểm B,c thuôc hai nhánh X —2

x '

I của (cỊ) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A(2;0).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

3. Với 0(0;0) và A(2;2) lè 2 điếm thuộc đổ thị y = x3 - 3 x , tìm điểm M nằm trên cưng OA của đổ thị hàm sô'sao cho khoảng cách từ M đêh OA lớn nhất 4. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y = 3x —2 sao tổng Jkhoang cách từ M tói

.Q UY

hai điểm cực trị của hàm số y = X3 —3x2 4- 2 là nhỏ nhất.

5. Tim điểm M thuộc đổ thị y = x4 -f~2x2 —4 sao cho tam giác MAB có diện

TP

íích nhỏ nha't, với’A(0;—16), B(—1; —8).

ĐẠ O

6. Tìm điểm M thuộc đổ thị y = —X3 + 3 x 2 —3x -4- 4 sao cho khoảng cách từ

HƯ NG

điểm đó đến điểm A(—3; 3) nhỏ nhâ't

7. Cho hàm sô' y ——2x + 2 CQ (3Ổthị (c) x+ 1 v[

ẦN

a. Tim các cặp điểm trên (c) đối xứng nhau qua A Ị—— 3 j .

TR

b. Tim điểm M thuộc (c) sao cho tiêp tuyên tại đó cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm

00

B

phân b iệ t A,B sao cho IA + IB = 8.

10

□ H oạt động 3: Cho hàm sô' y —x3 —5x2 -I- lOx —8 , có đồ thị (c ).

+3

1. Gọi A là điểm thuộc ( c ) , c là điểm thuộc đường thẳng

□ Hoạt động 4:

-L

Í-



A

CẤ

P2

17 d : X—7 y + 25 = 0 và I I - - ; - là trung điểm AC. 1 2 2 Tim tọa độ điểm B có hoành độ âm sao cho tam giác 0 AB vuông cân tại A . 2. Gọi E,F theo thứ tự là giao điểm của đường tròn ngoại tiêp tứ giác OABC với trục hoành, trục tung ( E, F khác 0 ). Tim tọa độ điểm M trên đường ữòn sao cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất.

NG

TO ÁN

5 3 41 „ 2. Tìm trên đồ thị (c): y = X ——“ X có bao nhiêu bộ 4 điểm A, B, c, D w 3 12 sao cho tứ giác ABCD là hình vuông tâm 0 . 2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y =. 3x —2 sao tổng khoảng cách từ M tới

ƯỠ

haí điểm cực trị của đổ thị y ==x3 —3x2 + 2 là nhò nhất.

ID

3. Tìm trên đồ thí (c) :y = X3 —3x2 + 2 điểm K sao cho khoảng cách từ K

BỒ

đến điểm H(2;—4) là nhỏ nhẵt. 4. Cho hàm số: y = - —— , có đổ thị là (c ).

Đóng góp PDF 230bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

a. Tim cặp điểm trên (c) đối xứng qua điểm E(—1;—l ) .

NH ƠN

i

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

b. Tìm các điểm trên (c) có tổng các khoảng cách từ đó đẽn 2 trục tọa độ nhỏ nhất. 5. Tìm cặp điếm trên ( c ) : y = ——h xz + 3x - 1 đối xứng qua điểm e [—— — V 2

□ Hoạt động 5:

6,

.Q UY

3

TP

1. Tìm tất cả các điểm trên đô' thị (c)sao cho chúng có tọa độ là các số

T 2~5x b. y = -----X—1

x2+ 3 c. y = -----d.

5x 2+ 1

y=

X —1

;

X—4

HƯ NG

3x —2 a. y = ^ - — ; x+3

ĐẠ O

nguyên:

3 x 2 4-5x + 14 b. y = --------- —--------. 6x + l

+3

,

□ Hoạt động 6:

^ 2x “Ị” 3



A

ĩ. Cho hàm số (Cm):y = — ■

CẤ

P2

3(x + l) a. y = —— -— x -2

10

00

B

TR

ẦN

X —2 l+ 2 x e. y = —------- ; f. y ~ — ---2x + 3 3 x -l X2 , 3x2 —2 K- V— 7 h. y = —-------- . . 2x —1 5x4-1 2. Tìm tâ't cả các điểm trên (c) có tọa độ là các sô" nguyên.

— ■Định m €M để (Cm)có 2 điểm

Í-

p h â n b iệ t đ ổ i x ứ n g n h a u q u a g ố c 0 .

-L

2. Cho hàm sổ (Cm) :ỵ ~ x —^ r t x ~^~rn . Định m € M để (Cm)có 2 điểm

TO ÁN

phân biệt đôi xứng nhau qua gốc 0 .

NG

X3 11 3. Cho hàm số y = ------- Ị- X2 + 3x ——“ có đổ thị là(c ). Tìm trên(c) hai điểm

ƯỠ

M,N đối xứng nhau qua trục tung. (l) có tâm đối

ID

4. Cho hàm số y —X3 + a x 2 + b x + c ( l ) . Xác định a ,b ,c đ ể

BỒ

xứng là l(0;l) và đi qua điếm M(l; —l) . — 3x -f- 4 5. Tìm trên đổ thị hàm số y = ------ — ------ các cặp điểm đôi xứng nhau qua 2x 2 đường thẳng (d ): y “ X . Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

231

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

6. Tim trên đổ thị hàm số y = X3 —3x + 1 các cặp điểm đốì xứng nhau qua

có đồ thị là ( c ) . Tìm trên đổ thị (c) tâ't cả các

cặp điểm đối xứng nhau qua điểm



t

X2 -Ị- X -ị- 1

.Q UY

7. Cho hàm sô' y —------- x

NH ƠN

trụ c t u n g m à k h ô n g n ằ m trê n trụ c tu n g .

/ \

ĐẠ O

TP

8. Cho hàm sô' y = ------ — —— có đồ thị là (CJ . Tìm những cặp điểm trên đồ X 1' thị (c) đối xứng nhau qua đường thẳng (d): 16x-fl7y + 3 3 = 0.

HƯ NG

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG. Hoạt động 1:

ẦN

1. MH ± AB =>■dt(AMB) = ỈAB.MH . Khi đó d t(A M B )m ax ^ MH max

TR

M = M0 (x0; y0) với M0 e (p) sao cho tiếp tuyêh của (p)tại M0 song song

+3

10

00

B

9 -1 vói AB . Hệ SỐgóc AB là kj = ------ —2. ■ " 1 3+1 k l —y'(x 0) —2xữ = 2 < ^x 0 —1. Vậy M (l;l)là điêrncầntìm .

P2

Chú ý: Giả sử A ( x x ; y J ) , B ( x 2 ;y 2),

đ ư ờ n g th ẳ n g đ i q u a h a i đ iể m p h â n b iệ t



m+ 2 m-1

là đ iể m t h u ộ c đ ổ th ị

(c ).

Í-

2. Gọi M m;

A

CẤ

AB có hệ số góc k = “ — ~ > * 2 ^ X1 • x2 - Xj

-L

TO ÁN

a. d(M ,d) =

«5 +, m—...— +2 2 2m m -1

2m —3 m + 4

Vs |m —1|

NG

. f, Js 2m 2 —3m -f4 6^/5 d(M ,d) = --------------- = -—— 7—- = ------^ v ' 5 V 5 |m ~ l| 5

I , I 2m —3 m + 4 = 6 m - 3d I ỉ I

BỒ

ID

ƯỠ

-y 5 2m —9m +10 = 0 =Ị>m = 2, m = — 2 9 1 2m + 3m —2 = 0 ==>m = —2, m = ^

2

Vậy có 4 điểm M cần tìm. ?32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

b. d(M,Oy) = 2d(M,Ox)m - 3 m - 4 = 0 ^ m = - l , m = 4. m —1

J. B (-l;2 ), c(3;4). b —1

,c

Cj 2



c -1

,b < 1 < c thuộc (c ).

ẦN

2. B b;2 +

HƯ NG

Hoạt động 2:

TR

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B và c trên Ox

10

N - ! ; 1)

; * \ c(3;3)

P2

+3

ÍA H = KC

N ên: j [HB = AK

AABH = A C A K .

00

CKA = B H A = 9 0 °

B

Ta c ó : . A B — A C ,C A K -i-B A H = 9 0 0 = C A K + A C K ^ BA H — A C K ;

CẤ

3. Gọi M^Xg;y^Xg)) là tọa độ cẩn tìm và 0 1 và f'(x 0) < 0 khi x0 < 1, suy ra M (l;—1 ). 233 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

6. AM2 = ( x 0 + 3 ) 2 -r(x0- l ) 6 = f(x 0) , f'(x 0) > 0

khi x0 > 0 và f ’(x0) < 0 khi x0 < 0 , suy ra M(0;4).

.Q UY

Hoạt động 3: 1

a + ( - 2 5 + 7c)

2

ĐẠ O

2

' 1 1' là trung điển I.JVC — 2 2

—5a2 4-10a-~8j-{-c

y

_ 2

HƯ NG

2 24 —a c = ——

TP

1. A(a;a3 - 5 a 2 + 1 0 a -8 Ịe (C ) , C ( - 2 5 + 7 c ;c ) e ( d ).

ẦN

ja = 3=^A(3;4)

í c = 3 ^ c (“ 4 '3)

TR

( a - 3)(7a2 - 1 4 a 4-27j = 0

3(x0 —3) + 4(y0 - 4) = 0

Xo=- l ; yo=7

. x (-l)+

Dựa vào bảng biên thiên suy ra m < —19 hoặc m > 21. 241

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

2. Gọi (d):y = kx + 2k -hl 2x -ị- 1 Phưcmg trình hòành độ giao điểm:-— = kx -f 2k + 1 với

.Q UY

^ k > :2 + (3k —l)x ,+ 2k —0 (*) ( x = —1 không là nghiệm)

TP

(d) cắt (c) tại 2 điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phương trình (*)có 2 ;

1ị k ^ O I, [ k c 3 —2V2 VỈ0 3 + 2V2

A = kz ~ 6 k + 1 > 0

.



HƯ NG

k^O

ĐẠ O

nghiệm phân biệt

Khi đó A(x1;kx1+ 2 k f 1 ), B(x2;kx2 + 2 k + l ) , x1,x2 là 2 nghiệm của (*). kxA= k x B k(xA + X B) + 4k + 2 .= 0

B

TR

kxA 4- 2k 4-1 = kxB4- 2k 4-1....

ẦN

Khoảng cách từ A và B đêh Ox bằng nhau

10 +3

cắt ñổ thị (c) tại hai điểm phân biệt A và B cùng điểm I tạo



y = X + 2m

1 —2x

CẤ

số y = ~^~x có ñổ thi là (c). Tìm tham số m ñể đường thẳng ñm:

A

Cho hàm

k = —3 thỏa điểu kiện (**). Vậy k = —3.

P2

Ví dụ 5.2.7 ĩ.

00

, í X—3k =T" k -------- 4* 4k + 2 —0 i k

____ 1

2; 2

-L

Í-

thành tam giác có diệri tích bằng 1, với I

TO ÁN

2. Cho hàm số y = mX— ^ có đồ thị là (Cm). Tìm m để trên đổ thị (cm) có 2 điểm p, Q cách đều 2 điểm A (~3;4),B(3;—2) và diện tích tứ giác APBQ bằng 24.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Lời giải 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (c) và đ m * 1+x = x + 2m g(x) = 2x2 -f 4mx + 1 —2m = 0, x ^ — (1 ) X 2x 2 Đường thẳng dm cắt 'đổ thị (c) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi

phương trình ( 1 ) có hai rghiệm phân biệt Xj,x2 khác — tức Đóng góp PDF 242 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

-1*0

, __ - l - y / 3 . . _ - 1 + yfe hay m < -------- — hoặc m > ----- Ỉ----- ( 2).

.Q UY

A ’ = 4m 2 + 4 m —2 > 0

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Với m < —-— — hoặc m > —-■+ — thì đường thẳng dm cắt đổ thị (c) tại

(x 1 + x 2 )

~ 4 x 1.x2

ĐẠ O

Khi đó AB2 = (x 2 —XJỶ + (x2 — ) = 2

TP

hai điểm phân biệt A(x 2;xj + 2m ) và B(x2;X2 + 2m).

xl ‘x2 =

l~ 2 m Ịr~~ 1 —2m

=> AB =

+ 4m - 2Ị .

TR

AB2 = 2 (—2m)2 —4

ẦN

Theo định lý Vi-et, ta có :

HƯ NG

X1 + x 2 = - 2 m

00

B

Diện tích tam.giác IAB là s = —AB.IH vói IH = d (1 ,dm)

+3

10

ịxI - yỊ + 2r

1

n

P2

Ậ 2+ (-ỹ

7

\ |2m+ lị =

A

CẤ

Giả thiẽt s = 1 hay - .y 2 |4 m + 4 m - 2J.1

1, bình phương hai vê và



rút gọn ta được: (2m + 1)4 —3(2m + 1)2 —4 = 0 (3), đặt

t

= (2m + 1 ) và t > 0,

Í-

phương trình (3) trở thành t 2 - 3t - 4 = 0, phương trình này có hai nghiệm

(thỏa điều kiện (2) ).

NG

TO ÁN

-L

t = —1 ( không thỏa t > 0 ) hoặc t — 4 / \2 , 3 . „ _ 1 Với t = 4 tức (2m -f 1) = 4 tương đương vói m = — hoặc m ——

BỒ

ID

ƯỠ

3 1 Vậy, m = — — hoặc m = 3 thỏa bài toán. 97/ 2 2 2. Từ giả thiết suy ra p, Q nằm trên trung trực của đoạn AB . Phương trình P Q : x - y +1=0. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và PQ : mx + 2

—X+1 X2 —m x —3 = 0, x ^ l ( 1 )

X —1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

243

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

PQ cắt (c ) tại 2 điếm phân biệt p, Q khi và chỉ khi phương trình ( l) có 2

NH ƠN

híệm phân biệt khác 1, tức ỉà < ỵ |m + 2 * 0

d(A,PQ).PQ = 24

ĐẠ O

Diện tích tứ giác APBQ bằng 24

TP

Gọi tọa độ P(x1;x1 + l ) / Q(x2;x2 + 1) => PQ = \Ị2(xz - xx)2

.Q UY

Với m * - 2 , phưomg trình ( l ) có 2 nghiệm x l , x 2.

3yl2yj2(xz ~X j)2 = 2 4 < ^ ( x j+ x 2)2 - 4 x j x 2 = 16 (2)

HƯ NG

Theo định lý Vi - e t , ta có: Xj + x2 = m/ x1.x2 = -3 Thay vào (2) ta được m2 + 1 2 -1 6 =

m = -2 hoặc m = 2

Đối chiếu điều kiện, ta thấy m = 2 thỏa mãn bài toán.

ẦN

□ Nhận xét:

TR

Dễ thây trên đổ thị (c) tồn tại 2 điểm có tọa độ nguyên: A (0;l), B(2j—l ) . Qua có

phương trình:

10

00

y = —X+ 1 . Từ đây, ta có bài toán sau:

B

2 điểm phân biệt A,B ta xác định được đường thẳng (AB)

+3

Gọi E, F là giao điểm của đường thẳng y =3 —X+ m và đổ thị (c) . k i,k 2 lẩn

P2

lượt là hệ số góc của các tiêp tuyên với (c) tại E và F . Tìm tọa độ E/ F để:

CẤ

ỉ. Tiếp tuyêh tại E, F song song với nhau.



A

2. Tông k ! + k 2 = H .

Í-

3. Tích 1 ^ 2 = 1 .

TO ÁN

-L

Ví đụ 6.2.7 Cho hàm số y = -X X —1 í. Tìm a,b đế đổ thị hàm số cắt trục tung tại A^O; —l) và tiếp tuyên của đồ thị tại

NG

A có hệ SỐ góc bằng —3 . Khảo sát sự biến thiên .và vẽ đổ thị (c) của hàm số với a,b vừa tìm được.



BỒ

ID

ƯỠ

2. Cho đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm

. Tìm m để (d) cắt

(c) tại hai điểm phân biệt M1,M2. Các đường thẳng đi qua M1,M2 song song với

các trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật. Tính các cạnh của hình chữ nhật đó theo m € R , khi nào hình chữ nhật này trở thành hình vuông.

244 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giải.

1.

,

-a -l

_

ax + b x -1

_

NH ƠN

A(0;—l ) e y —

a= 2 _2x + l * 1 ’b = >l y = ±Xi — ^ 1-

g

.Q UY

(x - iỵ

Để (đ) cắt

(c) tại hai điểm phân biệt

Mj ,M2 khi phươnị; trình

TP

2. (d) đì qua điểm B(—2;2) có phương trình y = m(x 4 2) + 2

ĐẠ O

2x + 1 m(x + 2) + 2 = —------ có hai nghiệm khác 1, hay phưong trình

(*)

TR

m ĩ2 + m l —2m - 3 5É0

4 _ ■ m < — -4$ m < ~ 3 3 m>0 m >0

ẦN

A —m 2 -4-4m (2m + 3 ) > 0

HƯ NG

mx2 4- mx —2m —3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là m^ 0 m ^O

00

B

Giả sử Ma (x1;y 1) JM2(x 2;y2), hai cạnh hình chữ nhật MjPM2Q có độ dài là :

10

s m + 12 m ,MjQ = ịy2~ y ĩ ị = V 9 m ^ + 12m Iml

+3

M jP= x2 —X1 =

CẤ

P2

Hình chữ nhật MjPIV^Q trở thành hình vuông khi và chi khi

-m| ~|-12m = + 12m 0 X—2

HƯ NG

g.(2)*0

a. A(x1;mx1 + l) ,B ( x 2;mx2 + l)

^m2 + 1) (x2 + Xj )2 - 4x2.xj ị = 10 (b)

TR

ẦN

AB = V ĩõ

+3

10

00

B

x2 + X1 = 2. Áp đụng định lý vi ét phưcTLg trình (*), ta có 1 X2*X1 —

CẤ

P2

Khi đ ó : (b)y(0) = 4 ^ x ( : c + 2mx + m + 2 ) = 0 _ ' g(x) = x +2m x + m-f-2 = 0 phương trình

ẦN

(Cm)và (d) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0;4),B,C

TR

g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

10

00

B

[a ^ = m 2 —m —2 > 0 f m < —l v m > 2 , , ^ ịg(0) = r.1 + 2 * 0 * \Z * -2 ()• SAKBC = ^-BC.d(K,d), trcngđó d(K,d) = —

P2

+3

=

BC2 = 3 2

CẤ

SAKBC = 4 -s- ỈB C d (K,d; = 4 « -B C = w i



A

(XB - xc )2 + (y B- y c )2 = 32 với XB,XC là hai nghiệm của phương trìnhg(x) = 0. 32

& 2(xB - xe ý = 32

-L

Í-

^ (xB - xc )2 + [xB+ 4 - (xc + 4)j2 =

TO ÁN

m2- m - 6 = 0 m = —2,m = 3, do điểi. kiện (*) => m = 3 .

NG

V 2. s = 2 JỊ x 4 - Ị m 2 + 2jx 2 ~ m 2 -i-l dx =

15

15

BỒ

ID

ƯỠ

15 3. 3 ^ m < — thì đ cat cắt (c'(c - tại 3 điểm pphân biệt thỏa đề bài.

Dê thấy ỈB2+1C? >2IB.ĩC > 4 .—.IB.ICsinBỈC==4Siec/ đẳng thức xảy ra khi

tam giác BIC vuông cân tại ĩ . Khi đó IK .I'd, K là trung điểm BC.

254 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

A. BÀI TẬP Tự LUYỆN

Bàỉ tập 1: 1. d : y = x + l

.Q UY

Tim m để đường thẳng cắt y = x 3 - 3 ( m + l) x 2 - 3 x + l

tại 3 điểm phân biệt

TP

A, B (0;l), c sao cho AC~5-\/2.

,

2 x —1

HƯ NG

A(0;2), B, c sao cho tam giác MBC có diện tích 2 ^ 2 , M(3;l)

ĐẠ O

2. d: y = —X-f- 2 cắt y = x 3 + 2m x 2 + 3 (m —l) x + 2 tại 3 điểm phân biệt

_

_

3. d : y = X + m cắt y = -------- tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 2V2 x+ 1 ,

X “b 1

_ rr

ẦN

4. d : 2mx —2v + m -f 1 = 0 cắt y = - —■ — tại 2 điểm phân biệt A, B sao 2x-f 1

TR

cho OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhâ't

00

B

5. d : y = m cắt đổ thị y ——---- - x — tại 2 điểm A,B sao cho dt(AOAB) = — .

10

Bài tập 2: X2 — 2 m x + m + l

+3

~

..

Cho hàm so y = ---------------—---- . Xác đinh m đ ế đường thăng

P2

2 x —1

1

y —m + 1

CẤ

cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A,B sao cho: 1 . OAXOB; 2. AB = 2yÍ5



A

Bài ỉập 3:

Í-

Cho hàm số y = —2x^ —3x2 + 3 có đổ thị là (c ). 3

2

6

= 0 có 3 nghiệm X1 ,X2,X3 thỏa

TO ÁN

-L

1 . Tìm m đ ể phương tr ì n h -----f

3 1 1 < —. 2 2 2 2. Lầy điểm M thuộc đổ thị( c ) . Chứng minh rằng có nhiều nhất haí đường — - < X ị < — — < X£ < 0 < X3

NG

m ã n đ i ề u k iệ n

ƯỠ

thẳng đi qua điểm M và tiêp xúc với (c ).

ID

Bài tập 4:

sao cho đường thẳng

BỒ

Tìm hai tọa độ p và Q thuộc đồ thị (c): y = Ịx 2 —l j

PQ song song với trục hoàrth và khoảng cách từ điểm cực đại của (c) đêíi đường thẳng PQ bằng 8 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 5:

NH ƠN

Cho hàm số y = - 2 x 3 + 4x2 - f 1, có đổ thị là (c ) . 1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A (0;l) có hệ sô' góc là k . Tun k để d cắt (c)

B,c khác A sao cho B nằm giữa A và c đổng thời

.Q UY

tại 2 điểm phân biệt AC = 3AB ;

2. Tim trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiêp tuyẽh đêh (c ).

Bài tập 7:

ẦN

Xác định m đế đổ thị các hàm số:

ĐẠ O

tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho AD= BD.

f 2x -Ị-1 2 —k cắt đổ thị y = ---- —

HƯ NG

, Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx

TP

Bài tập 6:

TR

1. y = X 3 — m x ^ + X — 1 v à y — — 3 x — 1 c ắ t n h a u t ạ i 3 ñ iể m c ó h o à n h ñ ộ là 3

B

số không âm lập thành cấp số cộng.

00

2. y —(x —3)|x 2 + 2mx —1j cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

+3

cắ t trụ c h o à n h tạ i 4

ñ iể m p h â n b iệ t c ó h o à n h ñ ộ

P2

3. y — X 4 — ( m -f l ) x 2 + m

10

Xị ,x 2,x 3 lập thành cấp số cộng.

câp sô' cộng.

CẤ

X1 ' X2' X3'X4

A

4. y = X3 —3mx2 + 2m (m —4)x 4- 9m 2 —m cắt Ox tại ba điểm phân biệt có



hoành độ lập thành một cấp số cộng.

-L

Í-

5. y = X3—(3m + l) x 2 + (5m + 4^x ~ 8 cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành

TO ÁN

độ lập thành một cấp số nhân. 6- y —X4 —2(m + l) x 2 + 2m 4-1 cắt Ox tại bôn điểm phân biệt lập thành một I

cap số cộng.

I

NG

Bài ỉập 8:

ƯỠ

Cho hàm số y = 2x 4 —3 (m + l) x 2 + 2m —1. Tim m để đổ thị hàm số đã cho: I

2. Cắt đường thẳng d : y = —2 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành

I

BỒ

ID

1. C ắ t tr ụ c h o à n h tạ i h a i đ iể m p h â n b iệ t A ,B s a o c h o đ ộ d à i A B = 4 ;

câp số cộng.

256 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

|jàitập9: > , x+3 1 . Tim tham số m đê đường thăng y = 2x + 3m cắt đổ rhi y = —— tai hai __ x+2 điếm phân biệt A,B mà OA.OB = - 4 . 2. Tìm tham sô' m để đường thẳng y = -X cắt đổ thị

.Q UY

NH ƠN



y = x3 - X2 + ( m - 2 ) x + m + l tại 3 điểm phân biệt , trong đó hai điểm có

TP

hoành độ dưong cùng với điểm C (l;-2 ) tạo thành một tam ị;iác nội tiếp đường

ĐẠ O

tròn tâm 1( 1 ;—1 ).

HƯ NG

, , +2x _1 3. Tim tham sô' m để đường thẳng y = mx - m cắt đổ th ; y = --——------- tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác ABC vuông tại c Ịl; V2 j .

ẦN

Bài tập 10:

TR

Tìm tham sô' m để đổ thị hàm sô'

1. y = X4 -(3rii + l) x 2 + 2m + 3 cắt trục hoành tại 4 điểm ohân biệt có hoành

00

B

độ lập thành 1 cấp số cộng.

10

2. y = X3 —(3m + l ) x 2 4- (5m + 4)x —8 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

+3

lập có hoành độ theo thứ tự thành 1 câp số nhân.

P2

Bài tập 11:

CẤ

1 . Giả sử (d) là đường thẳng đi qua A(—2;0) và có hệ sò" góc k . Tìm tâ't cả



A

tham sô' thực k để đường thẳng (d) cắt đổ thị của hàm số y = —X3 + 3 x —2 tại (2

Í-

3 điểm phân biệt A,B,M sao cho tam giác OBM có trọng tậm G

3

;- 8

X2

TO ÁN

-L

2. Tìm tất cả tham số thực m để đường thẳng (d ): y m x + 4 cắt đổ thị của -

hàm số y -=------ tai 2 điểm phân biêt X- 1

NG

3. Giả sử (d) là đường thẳng đi qua A(—3;l) và có hệ số góc m . Tìm tất cả cắt đồ thị của hàm số y = X3 + 3x 2 + 1 tại

ƯỠ

tham sô" thực m để đường thẳng

BỒ

ID

3 điêrn phân biệt. 4. Giả sử (d) là đường thẳng đi qua 1(2;—22) và có hệ sô' góc k . Tìm tất cả tham SỐ thực k đ ể đường thẳng (d) cắt đổ thị của hàm số y = X3 “ 3x2 —9x tại

3 điểm phân biệt IJ,K sao cho JK = 5a/26 . 257 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

5. Tìm ni m = 0 (loại)

= y(m ) = 0 ^ - 2 m 3 + 2 m = 0 ^ m = 0 V m - ± l Vậy, m = ± 1 ỉhì Cm) cắt Ox tại đúng 2 điếm phân biệt.

pfipbởi GV. Nguyễn Thanh Tú Đóng góp PDF

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X4 —(3m

+ 2) X2 + 3m ——!

X2 =

NH ƠN

5c. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = —i là1

o

,

TP

1 _ 3 m ^O

C H Ủ Đ Ể 3 ________________________________ •

ịc):y — f(x)

co ng



{€'): y = g{x)

tiếp xúc nhau tại

ẦN

Bài toán 1; Hai đường

HƯ NG

TĨẾP TOTẾN CỦA HÀM số« □ Phương pháp:

ĐẠ O

[0 < 3m + 1 < 4 Theo bài toán 1 _ 3m + l * z l

.Q UY

X2 = 3m + 1

TR

M ịx0;y 0) .Khi điểm M € ( c ) n ( c ') và tiếp tuyến tại M của (c) íxùng vái tiêb

00 10

+3

Ị / W ) = 5(*o) * _ u;ís_ . . , , ,, . có nghiệm x0. [ / ựo) = 3 M

B

tuyêh tại M của ( c ) chi khi hệ phương trình sau:

'

tiếp xúc nhau

— đX— Ố =

Q có nghiệm kép .

A

[(í/): y = ax 4- b

CẤ

f(cì: y — f i x ) K

P2

Lưu ý ; M ệnh đ ề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:



H àm f ( x ) nhận Xq làm nghiệm 'bội k nêíi

1' (*0 ) = ^ và f k (x0) ^ 0. Nghiệm bội ỉớn hơn hoặc

Í-

/ ( x q ) = f ’{xQ)

TO ÁN

-L

bằng 2 chứ không phải nghiêm kép. Phép biến đôĩ tương ẩương của phươỉig trình nói chung không bảo toàn so bội của nghiệm.. Vĩ ẩụ ĩ. Đư&n^ cong y ~ \fx không tiếp xúc với imc hoành iại 0 , tức là vhương ỉrìnk

NG

■Jx = 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2. Khi đó đổ thị

ƯỠ

ị c ) : y — X3 của hầm sô' tiẽp xúc với trục hoành tại X — 0 nhưng phương trình X3 = 0

nhận 0 ỉàm nghiệm bội 3.

ID

Ví đụ 2. Đo thị Ị c ) : y ~ sịp.x của hàm sô' tiếp xúc với đường thẳng {ầ)-.y—x tại

BỒ

X = ơ nhưng phương trình sinx —X — 0 thì không thể có nghiệm kép.

N hư vậy, phép biên âôĩ tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, d ỉứ không chắc bảo toàn sô'bội các nghiệm. Đ âỵ củ) g là sai lầm d ễ mắc phải khi giải quỵêì bài toán iiêb tuyến.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

263

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài toán 2: Đ ường cong ị c Ỵ . y — / ( * ) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 khi và chỉ khi

NH ƠN

*

hàm SỐ y = f ( x ) khả v i tại x ữ. Trong trư ờng hợp ( c ) c ó tiếp tu yến tại điểm có hoành độ x 0 thì tiêp tuyên đó có hệ sô'góc f ( x ữ) .

y

=

f ’( x Q ) ( x - x ữ ) + f { x ữ ) .

TP

dạng:

.Q UY

* Phương trình tiếp tuyên của đồ thị {c ): y = f ( x ) tại điếm M (xo’>f { xo)) có

ĐẠ O

Phưang trình tiêp tui/êh CỊta đ ồ thị ( c y . y = / ( x ) đ i qua điểm M ( x l ', y l )

Lời giải Cách ĩ : • Phương trình đit’ờng thẳng y = k ( x - x ỉ )+ y l . ( d )tiê p xúc vớ i đồ thị ( c ) tại N ( x 0 ; y Q) khi hệ:

ẦN



HƯ NG

đi qua điểm M có hệ số góc là kcó ảạng :

- x 0) + y ữ.

P2

nên ( d ) cùng cỏ dạng y - y '0 (x

+3

10

00

B

TR

ị / M = k (xo-~x i ) + y i ; \ có nọhĩẽm x n . 1 /■(*„) = * Cách 2; • Gọi N(x 0;_y0) là ìọa âộ tiếp điêm của đồ thị (c) và tiếp ìuyẽn ịd^qun điểmM,

Từ phương trình { *) t a tìm được tọa độ điểm N { x 0 ; y Q^j, từ ẩẵỵ ta

tìm được

A



CẤ

• (ũf) đi qua điểm M nên có phương trình : y ĩ = y ' 0(x-j —Xọ) 4- y 0 (*)



phương trình đường thểĩỉg ị d y

-L

tưyêh d với đổ ỉhi (c)r 3? "

p h ư ơ n g írìn h tiế p

X

X

TO ÁN

ỉ. Viết

Í-

Ví dụ 1.3.7

4 2 T-■" , biết ở đì 2

qua



điếm A (-6;5).

Thum khảo đ ể ôn tậ p học kì ĩ, T H PT N gô G ia Tựr Khánh H òa năm 2011.

NG

2. Chứng minh rang với mọi m đường thẳng y _^

_|



x -fm luôn cắtđổ thị



'

ƯỠ

ÍC): y = ——----- tại hai điểm phân biêt A và B. Goi k, ,k 2 lẩn lươt là hê số’góc 2x - 1

BỒ

ID

cửa các tiếp tĩ.ívến vổ? fc) lại A và B. Tun ;ri &'ũ đr ìống k I 4- k2 đạt giá trị ỈỚTÌ nhất.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Đ ề thi Đ ại học K h ôi A - năm 2-011

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giải.

.Q UY

y(x 0) = x° + , tiêp tuyêh d có hệ sõgóc y '(x 0) = ------ x0 * 2 và d x0 ~ 2 (< 0 -2 )

NH ƠN

1. Cách 1; Gọi ^Xg;y (xg)) là tọa độ tiếp điểm của tiêp tuyíĩh d và (c), với

TP

—4 / \ Xn -ỉ- 2 có phương trình: y = ------- —- ( x —XgJ-j- ——— • (x0 - 2 ) 2 . X o -2 A ( —6; 5 ) xiên c ó 5 = ----------- —( —6 — Xq ) -ỉ—

x0 - 2

n à y tư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i Xq - 6 xq = 0 Xq = 0 h o ặ c X0 = 6 . V ớ i Xg = 0 , ta c ó p h ư o n g trìn h : y = - X - 1 .

7 .

TR

ẦN

X

Với Xọ - 6, ta có phương trình: y = ^

HƯ NG

(x0 - 2 )

— p h ư o n g trình

ĐẠ O

d đ i q u a đ iể m

X

7

00

B

Vậy,, có 2 tiếp tuyên thỏa đề bài y - —X—1, y = ----- h —. .

10

Cách 2: Phương trình d đi qua A(—6; 5 ) có hệ số góc k , khi đó đ có phương

P2

+3

trình là : y = k(x + 6) + 5.

CẤ

d tiếp xúc (c) tại điểm có hoành độ Xg khi và chỉ khi hệ : 4xọ-24xq=0



A

k ( x 0 + 6 ) + 5 = —- — -

44

có nghiệm Xq hay <

T

K

có nghiệm Xq —

------------------ --------------------------- — —

•—

0,

k = -l= ỉ> d ; y = ” X - 1

TO ÁN

x0 =

-L

Í-

.

NG

x0 = 6 , k = - —=^>đ:y = - —+ — .° 4 4 2 X 7

ƯỠ

V ậ y , c ó 2 tiế p t u y ế n th ỏ a đ ề b ài y = —X —1 , y = —— + — .

ID

Nhận xét ĩ: Qua cách 1 ta thâv đường thẳng d : y = - X—i iuôn tiếp xúc vơi

BỒ

(C) tại tiếp điểm M(0;--!Ì và đường thẳng d luôn vuông góc với đường thẳng IM vói ỉ là giao điểm 2 đường íiệm cận.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Qua đó ta có bài toán sau: X -f- 2 Tim trên âổ thị y = ■-- những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với

.Q UY

đường thẳng ỈM , với / ( 2 ; l ) .

TP

Lời giải.

,



- 4

x 0 —2

HƯ NG

tuyến tại M có hệ số góc y ’(xg) = ----- ~ õ ' X q^2. (* 0 -2 )

ĐẠ O

'G ọ i (x0;y(x0)) ỉà tọa độ tiếp điếm cân tìm với y(xo) —lH------— và tiếp

ẦN

~ . . có hệ sô gót , T ~ y ( —xĩ ) _= ------4 —— Đường thăng .IM k và>,k —-y (xo ■ )----* 0 -* Ị ( x o -2 f

B

TR

Tiếp tuyến tại M vuông góc ÍM khi và chỉ khi y '( xq ).k = —1 tức là '

00

------------------- —r- ==—1 hay (x0 —2)4 = 16 Xq = 0 hoặc x0 = 4

10

(xo-2) (x0-2)

P2

+3

Vậy, Mị (O;—l) , M2 (4;3) là tọa độ cần tìm.

CẤ

Nhận xét 2: Dễ thây, tiếp tuy âr tại M’l , M2 song song vói nhau, hơn nữa đường ỉhẳng qua 2 điêiĩì M j, M2 song song vói đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng



A

tọa độ tức là tiếp tuyên tại M j, M > có hệ số góc là y’ (0) — y’( 4 ) = —1.

Í-

Qua.đó ta có bài toán sau:

TO ÁN

-L

Giả sử đường ỉhẳng A : X —y - - m —0 cắt đo ihị )C~ị~2 y= ------ — tại 2 điểm phân biệt Mị, M2 X —2

NG

1. Gọi kị &2 ]^ n lượt là hệ sô'£ÓC của -dị, dọ tại M i, M2 . Tìm tọa độ M-1, Mọ

ƯỠ

sao cho kỵ 4' ỉ y ’(x0 ) = : - i tức X ọ + —-e- ~ l = - l X r

h a y n g h iệ m Xq = 0 h o ặ c x 0 == — — . P h ầ n c ò n iạ i g ià n h c h o b ạ n đ ọ c .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

/c ,= /í2

2- K

( ^ 1 )

- L

( ^

z )

^

^ 1 *^ 2



ĐẠ O

TP

3 -

Phư 0 , V x 0 € R .

A

«

CẤ

P2

3X0 - 6 x n0 - 9 = 0 y '(x o )= 9 y '(x 0) = -9 3 x n -6 x n +9 = 0

+3

10

00

B

TR

ẦN

Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điíần phân biệt A, B. Gọi p là góc tạo bởi giữa d và Ox, do đó d có hệ số góc k :=±tanp % OB Dễ thây, tam giác AOB vuông tại 0 , suy ra tanp = ----= 9OA Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là ±9 , nghĩa là ta luôn có:

Xq

=3

s u y ra p h ư ơ n g tr ìn h tiể p tu y ế n y

Í-

Với



V ớ i Xq = - 1 s u y ra p h ư ơ n g tr ìn h tiế p t u y ế n y - 9 X + 7 .

= 9x —25.

-L

Vậy, có 2 tiếp tuyến y = 9x + 7 , y = 9x - 25 thỏa đề b à i. Hoành độ tiếp điểm x0 của tiêp tuyêh dạng y = kx + m vói(c) là nghiệm

TO ÁN

3.

kcủa phương trình f ' (x0) = k 3Xq + 12x0 + 9 —k = 0 (1 ). Để tồn tại 2 tiếp tuyêh với (c) phân biệt nhau thì phương trình (1 ) có hai

NG

I

ƯỠ

g|ighiệmpìhân ỉig iu ẹm pnan biệt, DU khi

đó A ' = 9 + 3 k > 0 hay k > —3 (2).

.

ID

f Khi đó tọa độ < tiêp điểm (x0;y0) của 2 tiếp tuyến với (c) là nghiệm hệ

BỒ

phương trình: I y 0 = xổ + 6 xồ + 9x0 + 3 3xq "Ị- 12xq + 9 = k 269 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2x0

3

NH ƠN

_ Ị y o - õ ( xo + 2)(3xổ + 12xo + 9) Ị3xq + 1 2 x ữ + 9 —k

,_k-6

, 2k - 9 3 .

.Q UY

, nì,

yo = T 3 (x 0 + 2 ) k “ ' :x0 " 3 ^ ~ v3 ~ x0

ĐẠ O

TP

í

HƯ NG

Do (d) cắt trục Ox,Oy ỉ ương ứng tại A và B sao cho OB = 2012.0A nên có

TR

ẦN

thể x ả v ra: • Nêu A = 0 thì B = 0 , trường hợp này chỉ thỏa nêu (đ) cũng qua 0 . Khi

CẤ

P2

+3

10

00

B

® Mếu Av^O, khi đó trong tam giác AOB vuông tại 0 sao cho —— OB k —6 tanOAB = ± ——-= ±2012 -------= ±2012=^ k = 6042 hoặc k = -6 0 3 0 3 OA (không thỏa ^2Ì).

A

4. Hèm sô' đã cho có 2 điểm cực trị A (ĩ;2^, B (3;-2Ị và đưòng thẳng đi qua



2 cực trị là AB: 2x + y —4==0.

.

-L

Í-

Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiếp điểm của đổ thị (c) của hàm SC và tiếp tuyến - 6 Xq + 9xc - 2

TO ÁN

(d) cần tìm. Khi đó y 0

Ta có: A B = W s, d(M ,4B ) = ^2x° + J L ồ " 4^

ƯỠ

NG

Giả thiết SMAB =6 —-.AB.d(M,AB) = 6. 0 p>0

NG

A ’> 0

TO ÁN

m ^o

-L

m ^O

Í-

dương phân biệt, tức là. mx2 + 2(m —l)x + 2 —3m = 0 có đủng 2 dương phân

2 hay m € Ỉ 0 ; - |u ( ì ; - Ị . 0 R nên độ dài cung yịs

-L

Í-

nhỏ nha't khi (d) tiêp xúc với đường ưòn, tức là d(l ,(d))== R

TO ÁN

|( 3 - m ) 2 - 3 - 3 + m| i ----- = = = = = ---- —~j= hay -Ị

J(3 —m)2+ l

vS

|m| ■ ■

1 =•= —Ỵ=, bình phương hai

v*n2—6m + 10

V5

ƯỠ

NG

vế và rút gọn ta được phương trình 2m2 4- 3m —5 = 0, giải phưang trình này ta 5 được m = l hoặc m = -- thỏa bài toán. 2

ID

Ví dụ 5.3.7

BỒ

1. Cho hàm

S Ố

y = 2x4 —4x2 -r 1, có đổ thị (c) . Viết phương trình tiềp tuyêh của

(c ), biết tiếp tuyên tiêp xúc với (c) tại hai điểm phân biệt.

% Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

273 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(c). Viết phương trình tiếp tuyến của

NH ƠN

2. Cho hàm sõ y = x4 - 4 x 2 -i-3, có đổ thị

(c) đi qua điểm A(0;4) c ó hệ số góc m , biết tiếp tuyến tiếp xúc với (c) tại

1. Gọi

.Q UY

bốn điểm phân biệt.__________________ ________________________ ______ Lòi giải.

N^n;f (n)) lần lượt là tọa độ tiêp điểm của tiếp tuyêh (t)

TP

và đổ thị (c) của hàm số và M s* N .

ĐẠ O

Theo bài toán tiếp tuyên tệd M 5ÉN có cùng hệ số góc và tung độ góc.

„ , ’ |y'(m)=y'(n) :

f8m 3 - 8m = 8n ! —8n

ím = —n

Ịm 2 + n m + n2 - 1 = 0

B

Ịn 2 = 1

00

Ịm + n = 0 Hay

ẦN

- 6 m -f4m + 1 = —6n + 4 n + 1

TR

Nghĩa la j

m = —n n= ± l

+3

___ 1

mn = — 3

CẤ

P2

|3^m2 -í-n2j —2 = 0

có nghiêm.

/ \2 -4 (m + n) = 1

10

m -Ị-nm + n - 1 = 0

, ...

có nghiệm.

HƯ NG

Hay hẹ: ị [ - m y ,(mj + y(ra) = - n y ,(n) + y(n)

A

1 . Vậy ( l) : y = —1 thỏa mãn để bài.



m= n= ±

-L

Í-

Cách 2: Xem 2. hoạt động í’ 2. Phương trình đưòng thẳn 5 d đi qua A có hệ số góc m có dang: y = mx 4- 4,

TO ÁN

đ tiếp xúc đổ thị (c) tại điếm có hoành độ x0 khi hệ : [x j-4 x ổ -f 3 = mx0 4-4

m = 4X0

3 3 I 11 4* 1 ỳ

2 1 x0 = . 0 3

1 00 ÓX

ƯỠ ID BỒ

x0 hay

có nghiệm

Ịm = 4Xn — 8 X f

= m

II

x ồ

NG

[4Xq - 8

3Xq -4 X q + 1 = 0

có nghiêm x0

2 7 4bởi GV. Nguyễn Thanh Tú Đóng góp PDF

20V3 m = ---- —— 9 20V3 m = —— 9 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Với m = —4 , tiếp tuyến y = —4x + 4, tiếp điểm Mj ( l;o ). Với m —4 , tiêp tuyến y = 4x + 4 , tiếp điểm M2(—1;0).

TP

„ . 20V 3 , . _

ĐẠ O

_ 20y/3 Với m = ——— , tiếp tuyến y = ———X+ 4 , tiep điếm M — -—

.Q UY

20V3 _ 20V3 A „ , fV3 16 Với m = --------------------------------------- ——, tiep tuyên y = ---- —X+ 4 , tiep điểm M 9 9 3 9

Vậy, qua A kẻ được 4 tiếp tuyên đến đồ thị (c) :

HƯ NG

„ 20V3 20V3 y = - 4 x + 4 , y = 4x + 4, y —— ——x + 4 , y = —— ■X+ 4.

ẦN

ũ N h ân x ét: Dạng toán qua 1 điêm kẻ được 4 tiêp tuyến đến đõ thị là dạng toán ít gặp. Đ ể hiểu kĩ hơn dạng toán này, ta giải bài toán sau:

TR

"Biện luận theo m số tiếp tưyên của ( c ) :

00

B

y —x 4 r^-6xz vẽ từ điểm

10

Gợi ý: Phương trinh tiẹp tuyêh (d) của (c) vẽ từ M(3;m) có dạng:

và (c) tiếp xúc nhau tại điểm cóp hoành độ x0, từ đó suv ra:

CẤ

P2

(d)

+3

y = k ( x - 3 ) + m.

m = x04 - 6 x 02- ( 4 x 03 -1 2 x 0)(x0 - 3 ) = g(x0).



A

Ta có: g '(x 0) = 0x0 = - 1 hoặc x0 = 1 hoặc x0 =3.

NG

Ví dụ 6.3.7

TO ÁN

-L

Í-

Từ bảng biêh thiên suy ra: * m < —21 hoặc m = 27: có 2 tiếp tuyên. * m = —21 hoặc m = - 9 : có 3 tiếp tuyến. * —21 < m < - 9 hoặc -9 < m < 27: có 4 tiếp tuyên. * m > 27: không có tiếp tuyêh nào.

BỒ

ID

ƯỠ

1. Tim m đ ể tiếp tuyến của đổ thị y —X3 —3x2 -Ị- m tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB có diện tích bằng 1,5. 2. Tìm các giá trị dương của m để (Cm): y = X4 —3(m + l ) x 2 + 3m + 2 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và tiếp tuyên tại điểm có hoành độ lón nhất cùng với 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có điện tích bằng 24. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON 275

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Lời giải. 1. x = l= > y (l) = m - 2 suy ra M (l;m —2). Tiêp tuyên tại M là d : y = - 3 x + m + 2.

.Q UY

(

m “1” 2 --------;0

TP

d cắt Oy tại B nên B(0;yB) và B e d suy ra B(0;m + 2).

HƯ NG

ĐẠ O

Diện tíeh tam giác OAB cd diện tích bằng 1,5 khi và chi khi —.|OAỊ.|OBỊ—— m+2 2 2ị = = ổ3 tìhay (m ++ 2) — --Ịm ỉm -hZl a v im z l2 = 9 ; phương trìrửì này có hay |OA|.|OB| = 3 o 2 nghiệm m ——5 hoặc m = i . Vậy, m ——5 hoặc m = 1 ỉà giá trị cẩn tìm.

ẦN

2. Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và trục hoành:

B

TR

X4 - 3 ( m - f l) x 2 + 3m-|-2 = 0 ^ ( x 2 —l)Ịx 2 - (3 m + 2)Ị = 0 (*).

00

Với m > 0 thì (Cm) cắt trục hoành tại 4 giao điểm phân biệt và x = ^/3^r+2

+3

10

là hoành độ lớn nhâ't.

P2

Giả sử aỊ-s/3ĩĩi + 2 ;0 j là giao điểm có hoành độ lớn nhất và tiếp tuyên đ tại

CẤ

A có phương trình: y —2(3m •f- l)V 3m + 2.X —2(3m 4- 1^3ĩĩi -I- 2 )



A

Gọi B ỉà giao điểm của d và Oy suy ra b(0;—2(3m 4- l)(3m + 2)) Theo giả thiết, tam giác OAB vuông tại 0 và S0AB = 24 0. Tả có: f T(m) > 0 với mọi m > ơ , suy ra f(m ) đồng biêíì với mọi m > 0 và 2

NG

0, do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhâ't m ——.

ƯỠ

Í2Ì

ID

Vậy, m = ị thỏa mãn đề bài. ỵ 3

BỒ

Ví dụ 7.3.7 Viết phương trình tiếp tuyêh chung của haí đường cong (c ):y = x3 + l và (C ): y = x 2 + x .

276 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

lượt tại các điểm có tọa độ(x0;y0) nên hệ sau có nghiệm: [ 4 + 1 = xỔ+ x c

CÓnghiệm x0

[3xổ —2x0 4-1

(x0 + !) = ( xỔ+ xo)

có nghiệm x0

.Q UY

x ỗ + 1 = x ẫ + xo

NH ƠN

Lờỉ gỉảỉ. Giả sử (T)là tiêp tuyêh chung của (c)và ( c ) . (T)tiêp *ức với (c) và (c')lần

ĐẠ O

TP

Xo3 + l = x 02 + x0 Xn =

HƯ NG

x0 = l

là tiêp điểm của hai đưòng cong đã cho và y '( 1 ) = 3 nên phưang

Vậy

TR

ẦN

trình tiếp tuyên chung củạ hai đường cong đã cho là y = 3x - 1 . Chứ ý: Cho hai đường cong ( c ) : y = f ( c y . y = ỹ( x) ■Hõy tìm tất cả các tiếp tuyên

00

B

chùng của (c) và ( c ‘) .

10

Giả sử ỈT) ỉà tỉẽp tuyến chung của ịc)và (C").

+3

(Y)tiếp xúc với (c )và ( c ) lần lượt tại các điểm có hoành độ Xị,x2. Khi đó:

Xl / ' ( ìll

)= /(* 2) -

M

x 2f ' ( x 2 )



[/(* 1) -

CẤ

j / '( * i ) = /'(* 2 )

A

_

P2

( T y . y = f ' ( x 1) ( x ^ x 1) + f ( x ì ) v à ( T ) : y = f ' ( x 2) ( x - x 2) - f ( x 2)

Í-

Giả sử Xịlà nghiệm của hệ (*) với i = 1,2,3,...,n thì các Hêp tuyên can tìm là '

-L

( 7 ;) : .y = /'( * /) ( x - x ,- ) + /( * ,) •

TO ÁN

Các hoạt động cơ bản : □ Hoạt động 1: 2x + l

NG

1. Viết phương trình tiếp tuyển của đồ thị y.= ---'

ƯỠ

qua điểm

/ biết tiếp tuyến đó đi

X "4” 2

Tham khảo đ ề ôn tập học kì I, THPT Nguyễn Thương Him, TpHCM —năm 2009-

BỒ

ID

2. Cho hàm SỐ ■y = X3 —3x2 + 2 có đổ thị là (c ). Viết phương trình tiếp tuyên của đồ thị (c)biết tiêp tuyên đi qua điểm A Ẹ ; - 2 9 Tham khảo để ôn tập "nhiều, tntờng THPT" năm 2011. 277 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

B(3;0).

|xị —1

b. c(2;2).

.Q UY

qua điểm: a.

A -iA tt . ------ tiêp tuyên đó đi

NH ƠN

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị y =

TP

4. Tìm m ẽ l để từ điểm M(l;2) kẻ được 2 tiếp tuyên đến đồ thị

ĐẠ O

(cm):y = x3 ‐ 2x2 + ( m ‐ l ) x + 2m.

ẦN

HƯ NG

5. Xác định m ê l để từ Mí(0;m) kẻ được hai tiêp tuyển đềh (c) : y = ——— X 1 sao cho hai tìêp íuyêh tương ứag nằm về hai phía đối vói trục Ox. Tham khảo đề ôn tập, THPT Thảng Long, Lãm Đồng năm 2011. 6. Giả sử đồ thị y = X3 --5x2 + (m -f 4)x —m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt A(l;0), B, c . Gọi k 1,k 2 lì hệ số góc của tiểp tuyến tại B, c . Tim m để

B

TR

kỉ + k* = 160.

+3

10

00

7. Giả sử đường thẳng y = X+ m —1 cắt đổ thí (c ): y = ——— — tại A và B 2x 3 phân biệt. Gọi ka ,k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyên vói (c) tại A và B.

P2

Tìm m € R để tổng k x + k 2 đạt giá trị lớn nhất.

CẤ

8. Viết phương trình tiếp ruyêh với đồ thị y = X3 —6x2 + 9x —2 tại điểm M, biết M cùng với 2 cực trị của đổ i'hị tạo thành tam giác có diện tích bằng 6 .



A

□ Hoạt động 2:

1. Cho hàm số v = x3 —3x2 + 4 , có đồ thị là (c). Viết phương trình tiếp đường thẳng

-L

Í-

tuyên với đồ thị (c), biềt rằng tiếp tuyêh vưông góc với 9

TO ÁN

y = — —X -(- 2 0 1 0 .

Tham khảo đê'ôn tập học kì ỉ ,THPT Trưng Vương, Bình Định - năm 2010.

NG

2. Cho hàm số y = X3 + 3x2 + 1 , có đổ thị ỉà ( c ) . Từ gốc toạ độ 0 có thể kẻ được

ID

ƯỠ

bao nhiêu tiếp tuyẽn với đổ ữiị ( c ) . Viết phưong trinh các tiếp tuyên đó. Tham khảo đề kiếm tra học kì ỉ , tỉnh Tiền Giang - năm 2010.

BỒ

3. Cho hàm sô' y = ----- - l i — 7có đổ thị là (cm), m 5* 0. Tìm m để (cm) cắt

trục hoành tại 2 điểm phâr biệt A, B sáo cho tiếp tuyêh với đồ thị tại hai điểm A, B vuông góc nhau. Tham khảo đề kiểm tra học kì I , tỉnh Tiền Giang - năm 2009.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TP

.Q UY

NH ƠN

/ \ o /Ị. 4. Viết phương trình các tiêp tuyến d vói (CJ: y = —X + x ----tai điểm M 3 3 biết hình chiêu của M lên trục Ox là N và d cắt Ox tại I sao cho MN = 3IN. X+ 2 5. Tim trên đồ thị hàm số y = ---- —những điểm M sao cho tiếp tuyến của đổ x+1 7 thị hàm số tại M căt trục tung tại điểm có tung độ băng —.

HƯ NG

ĐẠ O

_Ị 6. Tìm trên đồ thị y = ----- —những điểm M để tiếp tuyến tạì đó cắt Ox, Oy x+ 1 lần lượt tại Ạ? B sao cho OB = 20A . Tham khảo để ôn tập học kì ỉ, THPT Ngĩtyễn Huệ, TpHCM - năm 2010. 2 x _3

7. Viết phương trình các tĩêp tuyêh d với ( c ) : y = —-----, biết tiếp tuyến đó

ẦN

X "■2

* x để tiêp tuyêh (d) của đồ thị

00

8. Tìm điểm M thuộc đổ thị ( c ) : y =

B

TR

— 4 cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho COSA B I , với I(2;2 ).

10

X

X

P2

+3

j tại điểm M tạo với đường thẳng (d'): 2x —y -f 10 = 0 một góc 45°.

A

CẤ

9. Tìm tọa độ tiếp điểm của đổ thị (c ): y = ——— vói tiêp tưyến ( t ) , biết rằng X 1 tiếp tuyến (t) tạo vói đường thẳng (d ): y = —2x + 2012 góc 45° .

-L

Í-



2x -í-3 10. Cho hàm sô' y —-------- , có đổ thi (c) . Tìm tất cà các tham số thưc m để X—2 đường thẳng : y = 2x + m cắt (c) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyêh tại



TO ÁN

đó song song với nhau.

Hoạt động 3:

ID

ƯỠ

NG

(3m + l ) x - m 2+ m , x 1. Cho hàm sô y — -----------—— "--------- có đổ thị ià (Cm), m e R và x+ m ■A,___ 4Í1 m ^ O .Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đổ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đổ thị sẽ song song với đường thẳng X—y —10 = 0. Viết phưomg trình tiếp tuyêh đó.

BỒ

2. Chứng minh rằng nếu các tiếp ừuyến (d),(t)

của đổ thị (c):

y —X3 —6x2 4- 9x song song với nhau thì hai tiếp điểm A, B đối xứng nhau qua M(2;2). Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

279 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Tim m eM để tiếp tuyên đi qua điểm M(2;m - f 2) của đổ thị hàm số

NH ƠN

y = X3 — 3 x + m p h ả i đ i q u a gô'c tọ a đ ộ 0 .

4. Chứng minh rằng từ một điểm thuộc đường thẳng X = 2 luôn kẻ được một tiê p tuyêín d u y n h â t đ ế n đ ổ th ị c ủ a h à m sô' y = X3 — 6 x 2 4- 9 x — 1 .

.Q UY

1 5 5. Viết phương trình tiêp tuyên d của (c): y = ——X4 —X2 + —, biết d cắt

3 yfl 0

3

giác OAB bằng —và khoảng cách từ 0 đến d bằng ———.

ĐẠ O

'*

TP

trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B sao cho OA < OB, sao cho diện tích tam

6. Viết phương trình tiếp tuyến d của (c): y = -----— và l(—3 ;l) , d cắt 2

HƯ NG

X “ị""3

tiệm cận lần lượt tại A và B sao cho: a. IA=4IB; b. IA + IB nhỏnhât.

ẦN

7. Viết phưong trình tiếp tuyêh d của (c): y —-------- , biết d cắt true hoành,

TR

X—1

10

00

B

trục tung lẩn lượt tại A và B sao cho HB = 4HA, H là hình chiêu vuông góc của 0 lên d . 8. Tìm tất cả các giá trị của k để tổn tại 2 tiếp tuyêh với (c);

+3

y = X3 + 3x2 + 9x + 3 phân biệt và cọ cùng hệ sô' góc k , đổng thời đường thẳng

CẤ

tại ’A,B sao cho OA ~ 2012.0B .

□ Hoạt động 4:

A

Viết phương trình tiếp tuyên của đổ thị (c) : y = —X4 —X2 + 6 , biết tiếp



2.

P2

đi qua các tiêp điểm của 2 tiếp tuyên đó với (c) cắt các trục Ox,Oy tương ứng

1 6 m € M để tiếp tuyên có hệ số góc nhỏ nhất của ,

Tìm

(Cm):

TO ÁN

2.

-L

Í-

t u y ê n v u ô n g g ó c v ớ i đ ư ờ n g th ă n g y = —X — 1 .

y = X3 — 2 x 2 + ( m — l ) x - f 2 m v u ô n g g ó c v ớ i đ ư ờ n g t h ẳ n g y = —X.

□ H oạt động 5: Tìm m để đổ th ị:

BỒ

ID

ƯỠ

NG

y ——mx^ -f- (m —l) x 2 +(3m —4)x -h l có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông 3 v góc với đường thẳng X — y -f 2012 —0. 2x —3 2. Gọi (d) ỉà tiếp tuyến của đồ thị (c ): y = ——tại M cắt các đưòng tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Tim tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiêp tam giác IAB có diện tích nhỏ n h ất, với ĩ là giao điêm hai tiệm cận .

28 0 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3

NH ƠN

3. Tim m để khoảng cách từ B —; 1 Ị đến tiềp tuyêh đ tại điếm A có hoành I độ bằng 1 thuộc đổ thị y = X4 —2mx2 -}- m ỉà lớn nhất. Tham khảo để ôn tập, THPT Đức Thọ, Hà lĩnh năm 2011.

.Q UY

□ Hoạt động 6:

X

+

1

ĐẠ O

TP

l 1. Tìm hai điểm A, B thuộc đổ thị y = X3 —3x 4- 2 sao cho tiếp tuyên tại A, B : CÓ cùng hệ số góc và đường thẳng đi qua A,B vuông góc với đường phân giác thứ 2. 2x -f- 3 2. Lập phương trình tiếp tuyên của đổ thị (c ): y = -------- tại những điểm

HƯ NG

thuộc đổ thị có khoảng cách đên đường thẳng 3x + 4y —2 —0 bằng 2.

□ Hoạt động 7:

? t TT 2x2 sao cho điểm M (l + sin a;9 ) nằm ĩ. Cho hàm sô' y = ———.Tìm a G ữ;2

ẦN

~

B

TR

ưên ñổ thị íc ). '

B đổi xứng nhau qua điểm

M.

10

hai điểm

00

Chứng minh rằng, tiếp tuyêh của (c) tại điểm M cắt hai t ệm cận của (c) tại

—Ị” 2

đều 2 điểm A(—1;—2) và B(l;0).

CẤ

X

P2

+3

+3 2. Cho hàm sô' y = ——------, có đổ thị (c ) . Viết phương trình tiếp tuyên d cách



A

3. Cho hàm số y = X3 —6x2 + 9 x —1, có đồ ửìị (c ) . Viết phương trình tiếp

X 4

Í-

tuyêh d cách đều 2 điểm A (2; 7) và B(—2; 7). X 2

-L

4. Cho hàm số y ———+ ——Ị- 2 , có đồ thị ( c ) . Viết phưong trình tiêp tuyến 4 2 5

TO ÁN

9V5 d, biết khoảng cách từ A(0;3) đêh d bằng —-—.

= X4 —3 x 2 + 2 , c ó đ ổ th ị là ( c ) .

ƯỠ

NG

□ Hoạt động 8: 1. G h o h à m s ố y

ID

a. T ìm c á c t iế p t u y ế n c ủ a ( c ) c ó 3 đ iể m c h u n g p h â n b iệ t V(d ( c ) .

BỒ

b. (Ếho điểm M trên (c ) có hoành độ m . Trong trường hợp tiêp tuyêh tại M cật (c) tại 2 điểm A, B khác M, hãy tìm quỹ tích trung điểm I củ.ì đoạn thẳng AB. I

Tham khảo đề ôn tập học kì z, THPT Amsterdam, Hà Nội nâm 2010.

ì

281

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

hàm SỐtại đúng 2 điểm phân biệt. X4

c£a

NH ƠN

2. Viết phương trình tiếp tuyên d tiếp xúc vớí đồ thị (H ): y = Ịx2 - l j

5

.Q UY

3. Cho hàm số : y = ---- -3 x 2 H— có đổ thị là (c ). Giả sử M £ (c) có hoành

\



ĐẠ O

biệt khác M.

TP

độ a . Với giá trị nào của £ thì tiếp tuyến của (c) tại M cắt (c) tại 2 điểm phân 4. Cho hàm số: y = X3 —3x có đồ thị ỉà (c) .Tìm trên đường thẳng

HƯ NG

X = 2 những điểm có thể ké được đúng 3 tiêp tuyêh tới (c).

□ Hoạt động 9l Cho hàin sô' y —X4 —2x^ + 3, có đổ thị là (c)

ẦN

ĩ. Tìm trên đổ thị (c) điểm B mà tiêp tuyến với (c) tại diêm đó song song

TR

với tiếp tuyêh với (c) tại điểm A (l;2).

Tìm trên đường thẳiig y —2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiêp

2.

00

B

tuyến phân biệt vói đồ thị c ).

10

□ H oạt động 10: Cho híiin s ố : y = X4 - 2x2 có đổ thị ỉà (c ).

P2

+3

ĩ. Viết phương trình tiếp tuyêh của (c) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

CẤ

2. Tim những điếm M trt ĩn trục Oy để từ M kẻ được 4 tiêp tuyến đêh (c ).

A

3. Tìm những điểm N ưên đường thẳng (d ): y = 3 đế từ N kẻ được 4 tiếp



tuyêh đêh (c ).

X

m

Í-

4. Tìm điểm M để từ A(4;2) có thể kẻ được 2 tiếp tuyển AM, AN đến đổ V

[~

TO ÁN

-L

thi y = ———- sao cho bán cính đường tròn ngoai tiếp tam giác BMN bằng V5, x -2

NG

£3 H oạt động 11: Viết phương trình tiếp tuyển (d) vói đồ thị (c), để:

ƯỠ

1. (d) tạo với 2 đường liệm cậĩì cùng với

BỒ

ID

bằng 2Ị2 +

y/ĩj, biết (c):

tạo thành tam giác có chu ví

3'— — .

2. (d) cắt 2 tiệm cận tại A, B sao cho IA2 +ĨB2 = 40 với ĩ(—1)2), biếi: (c): 2x —1

y=f ĩ ĩ Đóng góp PDF282 bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

IP Hoạt đ ộ n g 12: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với đồ thị (c ), để: ị| 1. (d) cắt 2 trục tọa độ tại các điểm ArB thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB

3. (d) cắt trục hoành, trục tung tại 2 điểm phân biệt cùng với điểm 0 tạo

I thành tamgiác cân tại 0 , biết (c): . b. y = X —X + 1

32

HƯ NG

x+ 2 a. y = —— r

ĐẠ O

I



TP

Ệ{c)' y = -X 3 + X2 + X-f 1, A (l;l), B(0;2) và c —

.Q UY

Ễhuộc đường thẳng X—4y = 0, 0 là gốc tọa độ. ! | 2. Giao điểm của (đ) và ( t ) : y = X-I-1 là trọng tâm của tam giác ABC biết

2x + 3

, -I

ẦN

□ Hoạt động 13: 1. Giả sử ñổ thị y =-X2Ị— X2+ m—1j + 2 có ñổ thị ỉà (cm) có 3 ñiểm cực trị ,

4

B

ỉí,

TR

. Khi đó gọi (d) là tiếp tuyến của (cm) tại điểm cực tiểu, tìm m để điện tích

CẤ

P2

+3

10

00

miền phẳng giới hạn bởi (cm) và (d) băng ~ ~ . 15 Tham khảo đề ôn tập học kì II, THPT Yên Lạc, Vĩnh Phĩíc nã trí 2010. 2x 2. Cho hàm số y có đổ thị là (c). x+ 1 a. Chứng tỏ rằng, có vô số cặp điểm trên đổ thị (c) của hàm số mà tiếp tuyêh

-L

Í-



A

của chúng tại đó song song với nhau. b. Tìm điểm M thuộc (c) sao cho tiếp tuyên tại M của (c) cắt Ox, Oy tại 4 1 A, B sao cho diện tích tam giác OAB băng —, 0 là gốc tọa độ. 4 Tham khảo đề ôn tập học kì ĩ, THPT Amsterdam, Hà Nội năm 2010.

NG

TO ÁN

3. Tim m để đổ thị y —X3 - 3mx + 2 có eiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 1 x + y - f 7 = 0 góc a sao cho coseX— Tham khảo đề ôn tập, THPT Bỉm Son, Thanh Hóa nãm 2011.

ID

ƯỠ

4. Xác đinh m để hai tiếp tuyến của đổ thị y —— + 2mx^ —2m +1 tại 15 Aí 1;0) và B(—1;0) hợp với nhau một góc ỊJ. sao cho COSJ! = ——.

BỒ

□ Hoạt động 14: Tìm tham số m đ ể đổ thị y = x3 - 4 m x 2 + 7 m x - 3 m tiêp xúc với parabol:

y = X2 —X+ 1 . Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ĐỘNG. Hoạt động 1:

(c). Phương trình tiêp tuyêh

(d)của (c)tại M0 là

.Q UY

2. Gọi M0 (x0;y0) €

Do (d) đi qua điểm A

23

xo)-

TP

y-yo = y'(xo)(x- xo ) ^ y - ( xo3“ 3xo2+ 2) = ( 3xo2 ~ 6xo)(x nến

ĐẠ O

I ? r 2;

6Xn —32Xn + 46xn —12 = 0

HƯ NG

- 2 - ( xỔ“ 3x0 + 2) = (3xồ ~ 6xo / 23 - X r

x0 = 2 = ^ y = - 2

x0 = 3 =» y = 9x —25

ẦN

(x0 - 2)ị3xị - 10x0 4- 3^ = 0

1 3

'

5 3

61 27

B

TR

X

Vậy qua điểm A

10

00

kẻ được ba tiêp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho là:

P2

+3

_ o9 x - 2oc _ 3 5 X- ,+ 61 y = - 2o, y — 5, y = ^-

CẤ

í 23 ■ Bài toán sẽ hay nếu đẽ bài yêu cầu: "Chứng tỏ rằng qua điểm A

2 luôn kẻ



A

được ba tiếp tuyến đến đo thị hàm so".

Í-

4. Gọí N(x0;y0) e ( c ) . Phương trình tiêp tuyển (d)của (Cm)tại N là:

-L

y = (3X0 - 4x0 + m - 1 j(x - x0) -Ị-Xq - 2xổ'+ (m - l) x 0 + 2m

TO ÁN

M e(d) k = ± 2 .

+3

o b 2 = b h .b a

OB

=> —

10

OA2 = AH.AB

B

TR

ẦN

OB Hê số góc của đường thẳng d là k = ± —— = ±3. õ ỡ ỡ OA Tiêp tuyến d : y = —3x + 3, y = 3x + 3.

P2

Ị; Hoạt ñộng 4:

CẤ

1 . Gọi (t) là tiếp tuyến của đổ thị (c) của hàm sô' và (t) vuông góc với



A

đường thẳng y = —X—1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng —6. 6

Í-

Cách ĩ: Gọi M(x0;y 0) là tọa độ tiêp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (c) của

-L

hàm s ố .

TO ÁN

Khi đó, ta có phương trình: y ’(x0) = —6 —4Xq —2x0 = —6 ^ ( x o - l ) ( 2 x ị + 2 x 0 +3) = 0 (*).

ƯỠ

NG

Vì 2Xq + 2x0 + 3 > 0, Vx0 6 M nên phương trình

ID

( * ) ^ X Q= l = > y 0 = y ( l) = 4=>M (l;4).

BỒ

Phương trình tiếp tuyên cần tìm là: y = —6(x —1 ) -f 4 = —6x + 10. Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = —6x + m. (Yj tĩêp xúc (c) tại diễm M(x0;y0) khi hệ phương trình

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

287 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

"^1

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2 3

X ——

7 -bm —~ > m —— 3 3 2 3

=

X

—.

Í 2Ì

ĐẠ O

Theo bài toán ta có: y’

m = 10

TP

7 7. = ^ y '> m — =^>y ’= m —-7- khi 3 3

x0 = l

.Q UY

2. y ’= 3x —4x + m —1 —3

I

3

HƯ NG

Hoạt động 5: 1.

NH ƠN

- 6xn + m 0 0 0 có nghiệm x0 I-4XỈ —2xn = —6 -X* - Xn + 6 =

Để tiếp tuyến của đổ thị vuông góc với đthẳng

X

—y + 2012 —0 khi và chỉ

khi y ’.l ——1 hay mx 2 + (m + l)x + 3m —3 = 0 có nghiệm Vx € R .

TR

ẦN

1 Đáp so: —V < m < 1. 2

° - và y’o = 2

B

2. Gọi M(x0;y0) G ( C ) ^ ỵ 0 =

00

2■ (x0 “ 2) _^ 2x _3 Phương trình tiêp tuyên (d) của (c) tại M : y = ----- —^-(x —x 0) 4x0- 2 (x0 - 2 )

CẤ

P2

+3

10

Xq

2;2Xọ 2 x0 2



A

(d) cắt hai đựờng tiệm cận tại hai điểm phân biệt A

Í-

Dễ thây M là trung điểm AB và l(2;2)là giao điểm hai đường tiệm cận.

NG

TO ÁN

-L

Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiêp tam giác IAB có diện tích \2 1 = TC(X0 ~ 2) s = 7TÍM = TC(x0 ~ 2) + 2x 0 - ? _ 2 > 2tt . x0 - 2 (x „ -2 )

ƯỠ

Dâu đẳng thức xảy ra khi (x 0 —

BỒ

ID

Vậy

& (x0 ~ 2f

x0 = 1=> y0 = 1 Xq —3 => y0 = 3

M^3;3) thỏa mẵn bài toán.

Bài toán có th ể mở rộng: Tim những điểm trên (c) có hoành độ

X

> 2 sao cho

tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

288 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

11

HD: Theo trên ta có : A 2;— — - ,B(2x0 —2;2)=^ IA,IB.Chu vi tam gịác

p lB l à P = IA + IB +AB = ẩ

( x0 “ 2 J IA + IB + V ia 2 7

NH ƠN

p

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

IB2 > 2 VlAJB + V2JA.IB.

Đẳng thức xảy ra khi ỈA= IB.

.Q UY

j§ Nếu. trường hợp tam giác AIB không vuông thì p = ĨA-H ]B-f AB, để tính AB

P = IA + IB4- V Ã ? > 2VIA.IB + ^ Ĩ A 2 + IB2 - 2IA.IBcosỊỉXĨb) ____________________ _ p > 2J ỉ A.IB + y2IA.IB - 2IA.IBCOSỊỉX ĩẽ) .

I

Đẳng thức xảy ra khi IA = IB.

HƯ NG

I

ĐẠ O

I • *Ệ.

TP

Ị iị&cầivđền định lý hàmsốcosừi AB2 = ỈA2 +IB 2 —2IA.IBcosỊlA,IBj.

ẦN

I Hoạt động 6: 1. A(~2;0), B(2;4).

TR

Hoạt động 7:

10

00

B

/ \ .V / \ 2 (l+ sin ciV í. Vì M (l + sin a;9 ) nằm trên đổ thị (c)nên: —-------------- = 9 v ' w 1+ sỉn a -l 1 / Ịn s ỉn a = 1 ÍT a = —=>M -■;9 2 6 l 2j .2 sỉn a = 2

+3

.

,

CẤ

P2

.



3 V__ 3] A—^ + 9 hay (d ):y = —6x + 18. ,2, 2,

Í-

y=y

A

Tiêp tuyên của đổ thị (c) tại điểm M ỉà:

-L

Tiếp tuyến (d) cắt tiệm cận đứng x = 1 tại: A (l;12).

TO ÁN

Tiếp tuyên (d)cắt tiệm cận xiên tại điểm B có tọa độ là nghiệm (x;y) giải hệ

NG

___ . , ịy = - 6 x + 18 (x = 2 f , ,ư ơ n g trìn h :ly = 2x + 2 H y = 6 ^ B(2;6)-

ƯỠ

2. y = —5x —1 .

BỒ

4.

ID

3 . y - 1-1 = 0, y - 3 = 0, y —24x-Ị-7, y = - 3x + 7. y = 2x+ ậ, y = -2x + ặ.

4

4

289 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Hoạt động 8 : 2. Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với (H) tại điểm M m;Ịm^ —l j j .

.Q UY

Khí đó đường, thẳng đ có phương trình:

TP

y = 2mỊm2 - lj(x -m )- { -Ịm 2 —1^ .

HƯ NG

phương trình

(x2 - 1 Ỷ = 2m m2 - lj(x - m) + Ịm2 - l ỷ

ĐẠ O

Đường thẳng tì tiếp xúc với (H) tại 2 điểm phân biệt khi và chi khi hê

2x ịx2 —1j = 2m Ịm2 —1j

ẦN

có đúng một nghiệm khác Dì tức hệ

có đúng một nghiệm khác m

10

00

B

(x - m )Ịx2 + mx ■+ m2 - 1 j = 0

TR

i) XỊx2 + mx + m 2Ị - m3 - 2x = 0

Ì

x = —m

CẤ

X2 + m x + m 2 — 1 — 0

P2

+3

có nghiệm x = l,m = —1

2

2

-L

Í-

3 .Vì M e(c) nên M



A

Vậy y = 0 thỏa đề bài.

TO ÁN

Tiêp tuyêh tại M có hệ số góc y'M = 2a.3 —6a, 4

Tiêp tuyến tại M có dạng : (đ ): y = ^2a3 —6aj(x —a ) + —---- 3a2 H— .

NG

Tiêp tuyêh (d) của (c) tại M cắt (c) tại 2 điểm phân biệt khác Mkhi

ƯỠ

phương trình sau có 3 nghiệm ohân b iệ t: a* 5 —---- 3a2 + — hay phương trình

BỒ

ID

X4 5 / \ ------3x2 -f —= \2a3 ~ 6 a j(x

(x —a) (x2 + 2ax 4- 3a3 —ó j := 0 có 3 nghiệm phân biệt, nghĩa là phương trình

290 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

|a| < yỊị

TP

Vậy giá trị a cẩn tìm

I

1. B(0;3), y = 3 .

HƯ NG



ĐẠ O

Ị Hoạt động 9:

2. Gọi M(m;2) là điểm thuộc đường thẳng y = 2. Phương trình đường thẳng

ẦN

Ị đì qua M(m;2) có hệ số góc là k là (d): y = k(x —m) + 2. (d) tiếp xúc (c) tạì

Xq - 2X 0 + 3 =

k (x 0 - m) +

2

TR

đ iể m c ó h o à n h đ ộ x 0 k h i h ệ (1 )

00

(2)

10

4 x ẵ -4 x 0 ^ k

B

c ó n g h iệ m Xg s u y ra p h ư ơ n g trình:

P2

+3

Ịxq —1 ỊỊ 3X0 —4ax0 + l j = 0 (*) có nghiệm Xq .

CẤ

Qua M kẻ được 4 tiêp tuyên đêh (c) khi phương trình (*) có 4 nghiệm

th ấ y Xq — 1 = 0

=> k (—1 ) =

k (1 )



Dễ

A

phân biệt và phương trmh_(2) có 4 giá trị k khác nhau. , do

đó không

thể tổ n

tại 4

giá trị

k khác

Í-

nhau để thỏa bài toán. Tóm ỉại, không có tọa độ M thỏa mãn bài toán.

-L

Hoạt động 10:

TO ÁN

2. G ọ i A ( x 0 ; y 0 ^ £ ( c ) . P h ư ơ n g t r ì n h t i ế p t u y ê h ( t ^ c ủ a ( C Ị t ạ i

A

là :

NG

y - ( x j - 2 x ^ ( 4 x ^ ~ 4 x 0) ( x - x 0). (t) đi qua 0(0; 0) nên

ƯỠ

- (x J - 2 x 1 ) =

(4x0 -

4 x 0) ( ~ x 0) ^

3x0 -

2xổ = 0 ^

x 0 = ° 'x0 =

±

JZ 3



BỒ

ID

T h a y c á c g i á t r ị c ủ a Xq v à o p h ư ơ n g t r ì n h c ủ a ( t ) t a đ ư ợ c 3 t i ế p t u y ê n c ủ a ( c ) k ẻ t ừ

0(0;0)là: ( t i ) : y —0; (t2) : y = ——ụ —x; (t3): y = ~ 2. M 6 0y= ^M (0;m ); B €

X.

(c)=* B(x0; y0)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

291

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

y-

{4

-

2x0) =

(4x0 - 4x0)(x - x0) •

(T) đi qua M(0;m) nên

.Q UY

m - ( x j - 2 x 02) = (4x04 - 4 x 0) ( - x 0) 0

P2

+3

S= - > 0 3

CẤ

•Vậy từ những điểm M(0;m)với 0 < m < — kẻ được 4 tiêp tuyến đêh đổ thị

A

(c) của hàm số đã cho.



3. N € ( d ):y = 3 = > N (n ;3 ); l € ( C ) ^ l ( x 0;y 0)

-L

Í-

Phương trình tiêp tuyến ( à ) của (c)tại I là:

TO ÁN

y - ( x0 ~ 2xo) = (4xỔ—4-x0)(x —x0) - (A) đi qua N(n;3) nên 3 - Ịxq - 2xị j = ^4Xq - 4x0)(n - x0)

3Xq - 4ĩiXq —2Xp + 4nx0 + 3 = 0

ƯỠ

NG

4* 3 (xj + 1) - 4n (x^ - x0) - 2xị = 0 (*).

ID

BỒ

c

________ 1

Do x0 = 0 không phải là nghiệm cửa . / \ 2 1 lì Phương trình (*) 3 x0 --- 2 X0 --- —2 = 0 (* *). l XoJ

292 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 Đặt t —x0 — —^ Xq —tx0 —1 —0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi t x0

NH ƠN

2

Ta có phương trinh (* *) o 3 t2 —4nt + 4 = 0 (***).

Do hệ SỐ góc của tiếp tuyến là k = 4Xq —4xọ nên hai gié trị khác nhau của x0

.Q UY

cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiêp tuyên khác nhau.

TP

Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyên đến đổ thị (c) khi và chi khi phương trình

ĐẠ O

có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 4 nghiệm pbân biệt khi và chỉ khi

A ' —4n2 —1 2 > 0 < ^n2 - 3 > 0 ^ |n |> > / 3 .

HƯ NG

phương trình (* * *) có 2 nghiệm phân biệt

Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y —3 với ỊnỊ > V3 kẻ được 4 tiếp

ẦN

tuyến đêh đổ thị (c) của hàm sô' đã cho.

TR

Hoạt động 11:

Xo~ 1

P2

+3

(x0 - i )

1

10

y = - - — — = -(x -x 0) + i +

00

B

1 . Gọi M(xq ;y Q) là tọa độ tiêp điểm và cTlà tiêp tuyên của (c) cố phương trình:

CẤ

Giả sử d cắt 2 tiệm cận/của (c) tại A 1;1 + ■

2

x0 - l



A

Chu vi tam giác IAB là c = ỈA + 1B+ AB > 2AB > 4 4- 2 J 2 , đẳng thức xảy ra

Í-

khi |xq —1| = 1 tức Xg = 0 hoặc Xq = 2.

3

t \ 2x0 - l ■.2tX~ Xo )+ 7 T 7 (x0 + l ) x0 + 1

TO ÁN

. , trình: y =

-L

2. Gọi M{x0;yo) là tọa độ tiếp điểm và d là tiêp tuyêh của (c.) có phương

NG

Giả sử d cắt 2 tiệm cận của (c) tại

ƯỠ

( - 1;2x° ~

-

Xq + 1 )

, B(2

xo

+ 1;2 ).

ID

a

BỒ

'ĨA2 + IB2 = 40 "--- ^ - t + 4(x0 +1 f =40.

(* 0 + 1) 293

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

r

*0

xổ

/ U

(x 0 - l )

1

xổ

, G€ d => x0 = —1, x0 = 3

, 3 '3 ( x 0 - 1 ) 2 ,

2. Phương trình tiếp túyên (đ) của (c) tại điểm (x0;yo) có dạng:

TP

y = (x0 + l ) 2x - | x g - x ẫ + l .

Xq

HƯ NG

2,

Xq

= 0.

ẦN

với

ĐẠ O

Gọi G là giao điểm của (d)-yà (t) thì .2 2x(j+3x0 2(xổ + 3 x 0 + 3 3(x0 + 2 ) ; 3(x0 + 2 )

.Q UY

ĩ. aỊxqíoỊ, b 0 -

NH ƠN

Hoạt động 12:

TR

G là trọng tâm của íam giác ABC, ta tìm được Xq = —— hoặc Xq = 3 . 5 16x —2 6, y = — X+ 25 25

;(d ) n 0 y = B

+3

2 x q + 4 x 0 -h2 q

2xq + 3

Q 2 xq + 8 x 0 + 6

.

P2

3a. (d) n Ox = A

10

00

B

Từ đây ta có 2 tiêp tuyên y

(2X0 + 3 f

,

Í-



A

CẤ

Tam giác OAB cân tại 0 OA = OB =>• Xq = —2 hoặc Xq = 0 / ^ ^ \ 2 x ẵ-x g -l 3b. A ;0 , b Ịo ; - 2 x Ổ + x Ổ+ i Ị, x0 = —I 3xn —2xf

TO ÁN

-L

32 =>• d : y = X.+— hoặc Xq = 1 ( không thỏa A = B = 0 )

Hoạt động 13:

ĩ. m > 1, hàm số có 3 cực tiị và y .= 2 là đường thẳng qua điểm cực tiếú và

ƯỠ

NG

X= 0, X = ± v m - l là hoành c ộ giao điểm của (cm ) và (d)

BỒ

ID

\/m -l Theo bài toán: J -x 4 + (m -l)x

-Vm-I

/ dx = 2

C o \ Vm-Ĩ X (m - l)x ~~s+

3

Diện tích miền phẳng giới hait bởi (Cm ) và (d) bằng — tức 15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4 ( m - l )2 V m ~ l

4

.2

I----------

/

NH ƠN

—----- -7---------- = ^ < ^ ( m - l ) > / m - l = l « ( m - l ) = l o m = 2. 15 15 7 ' 7

.Q UY

2b. Gọi M(x0;y 0)g (c )= > y 0 = —^ j - = » y '0 = —- 2 ■ x0 + 1 (x 0 + 1 )

ĐẠ O

TP

2 2x2 Phương trinh tiếp tuyển (t) của (c) tại M là : y 0 = ------—— -X H------ -2— , (x„+l) (x0 + l ) 2

Xq;oj,

B 0v?

í

2x2—

,

( * 0 + l) 2,

ì

1

sao cho diện tích tam giác AOB có diện tích băng — khi đó

ẦN

■)

HƯ NG

Tiêp tuyến (t) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm phân biệt A

10

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến => tiếp tuyển có vectơ pháp

CẤ

3.

x0 = l = ^ M ( l ; l )

P2

2 x ^ -x 0 - l = 0

ỉ;_2 2'

xn ——-=-=> M 2 0

+3

2x q + x 0 + 1 — 0

00

B

TR

*1 *1 "1 ọv2 -f —-OA.OB = - OA.OB = -«=> Xfl. - = - ^ 4 x J - (xn + 1)2 = 0 2 4 2 ° ( x 0 + l )2 2 o U j



A

tuyêínn^ = ( k ; ~ l ) , d có vec tơ pháp tuyên n2 —( l;l)

-L

Í-

Ta có cosa =

ít nhất một trong haí phương trình y ' = k i hoặc y ’ = k.2

TO ÁN

Yêu cầu bài toán

3x2 + 2(1 —2m)x + 2 - m = “ có nghiệm

NG

nghiệm X tức là

3x2 4- 2(1 —2m)x + 2 —m = — có nghiệm

ID

ƯỠ



BỒ

1/ \ Á i = - 8m 2 - 2 m - l > 0 2\ / ^

A 2 = 4 m 2 —m —3 > 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 m 4 3 m < —— A m > 4

1 — 2

m>

1

m<

one WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. Dễ thây, A, B ỉà 2 điểm thuộc đổ thị với V m e .l

NH ƠN

Tiếp tuyến dj tại A: (4m - 4)x - y - 4 m + 4 - 0 Tiếp tuyến d2 tại B: (-4 m + 4 )x -y - 4 m - f - 4 = 0

.Q UY

^ ___ n ___ n ___ 15 • 17 Đáp sổ: m = 0, m = 2,m = — m = 16 16

Hoạt động 14:

3Xg - 8mx0 + 7m = 2x0 - 1 X0 - 1 = 0 có nghiệm x0

ẦN

x02 —4mx0 + 3m + 1 = 0

m= — 4 m —1 m= 2

TR

3xị - 8mx0 + 7 m = 2x0 —1

ĐẠ O

có nghiệm x0

HƯ NG

|

x30 - 4 m x ị + 7mxữ - 3m = xị —x0 4-1

TP

Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0, khi hệ

00

B

BÀI TẬP Tự LUYỆN

10

Bài tập 1:

P2

+3

. Viết phương trình tiếp tuyến chung c ủ a hai đường cong: x

-Ị-9 và (c ’):y = x3 +X 2 + 3 x + 5.

CẤ

(c):y = x3 + 2x 2 -

Đài tập 2:



A

Tim m đế đổ thị hàm sô':

Í-

' 1. y = X3 —(m 4- 2)x^ 4- (4m —l)x —3m + 2 tiếp xúc vói trục hoành.

TO ÁN

3ài tập 3:

-L

2. (Cm): y = X3 —3x2 -Ị- 3mx + 3m 4- 4 tiêp xúc với trục hoành.

NG

Cho hàm số: y = —4x3 -f 3x + 2, có đổ thị ỉà (c).

ƯỠ

1. Tìm a để phương trình 4x^ —3x + 2a^ —3a = 0 có hai nghiệm âm và một ghiệm dương;

ID

2. Tìm những điểm trên đường thẳng y = 3 để từ đó có thể vẽ được ba đường

BỒ

ẳng tiếp xúc với đổ thị ( c ) . 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ịải tập 4: X -x +m với m ^ o cắt trục x^ĩ jjioanh tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyên tại 2 đi«;m A,B vuông góc ^ 1/ái nhau. s

.Q UY

NH ƠN

I 1. Tìm tham số m để đổ thị hàm số (cm ): y =

2x^ 2. Cho hàm số y = —— có đổ thị là ( c ) . Tìm trên đường thẳng y = X những lí X+ 2 ! điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyên đến (c ), đổng thởi 2 tiếp tuyêh đó *vuông góc với nhau.

- .

3. Cho hàm sô' y =

+ 3x^ +1 có đổ thị là ( c ) .

HƯ NG

^ I I Ể'

ĐẠ O

TP

I I

a. Viết phương trình tiêp tuyến của (c) kẻ từ điểm (l; 5).

Bài ỉập 5: X2 + 2mx + 2 , có đổ thị là (cm). x+ 1

/

00

B

I Cho hàm số y =

TR

ẦN

b. Tìm trên đường thẳng y = 9x —4, những điểm có thể kẻ đêh (c) ba tiếp tuyền.

+3

10

1. Xác định tham số thực m để tiếp tuyến tại giao1điểm A^a;a4 + 2a^ —3^.

HƯ NG

Tacó: y’ = 4x3 +4x=> y’(á) = 4 a 3 +4a.

Phương trình tiếp tuyên (t) : ^4a3 + 4 a j x - y - 3 a 4 - 2 a 2 - 3 = 0 5

_

3a4 + 2a2

5

TR

ẦN

/Y \\^

00

B

hay 5 ( a - l ) ( a + l ) Ị l l 7 a 6 + 193a4 + 85a2 +5] = 0

+3

10

2. y = 5x —2, y = 5x 4- 2 .

P2

* m = i— 3. 6

A



=>(d):y = k(x —m ) .

CẤ

4. Gọi M (fn; oj e Ox, m e R , đường thẳng ịd j đi qua M và có hệ số góc k

Từ

2xjỊ + 3(m - 1 ) x (2( - 6mx0 = ơ có nghiệm x0.

ƯỠ ID

^>xữf2xồ - 3 ( m —l) x 0 - 6

BỒ



(l)/(2) suy ra phương trình Xq + 3xị = 3Xq + 6x0 (xữ —m) có nghiệm

NG

x0

m) W ( 2)

TO ÁN

nghiệm x0.

-L

Í-

(d)tiếp xúc với ( c ) tại M(x0;y 0) khi hê: ị 0 ^ 0 k ( w v ; v ° 0; [3 x J + 6 x 0 = k

t i]=

0 có 1 tiếp tuyêh.

Qua M kẻ được 3 tiêp tuyêh đêh đêh đồ thị ( c ) mà trong đó có 2 tiêp tuyên vuông

góc với nhau. Khi đó (3) có 2 nghiệm phân biệt x 1?x 2 ^ Ovà k k2 = —1

306 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 3 81mz —81m(m —l ) —108m + l —0

TP

[ 1 m < - 3 v m > —— , m ^ O 11 ■ 3 ^ m —— . 27 -27 m + l = 0

ĐẠ O

I. f

3 x 22 + 6 x 2 = — 1

.Q UY

3xt2 + 6Xi

NH ƠN

m < —3

m ^o A >0

HƯ NG

Vậy M 1^— , o ] thỏa bài toán

a

f 3 Ị

7V

B

TR

ẦN

Đài tập 9: 2. M(0;l), M(2;3) 9 Bà ỉ tậ p 10: m = 0 hoặc m = — 4 19 Bài tậ p 11: m ~ - —~ thì (c) và (p) tiếp xúc nhau tại

00

m - 4 thì (c) và (p) tiếp xúc nhau tại B(0;4).

10

Bài tập 12:

P2

+3

1. m = - 1

CẤ

2. Tiếp tuyến d tại M r y —2mỊm 2 —3 j x ----—— h 3m^ H—



A

Hoành độ giao điểm d và ( c ) : (x —m)Ịx^ + 2mx + 3m^ —6j = 0. Với —%/3.„=£• m = ± 4 ĩ , kiểm tra lại thây thỏa mãn.

-L

Bài tập 16:

TO ÁN

2. Gọi tiêp điểm là

M (a;b), tiếp tuyến tại

M có hệ số góc là

k = y ’(a) = 3a2 - 2 ( m + l ) a + 4m + 2, theo giả thiết suy ra k = 10

NG

Trên đổ thị chỉ có 1 điểm nên phưorng trinh 3a2 —2(m + l) a + 4m - 8 = 0 có

ƯỠ

nghiệm kép hay A' = 0 tức m = 5, thay vào ta được a = 2 =5- M (2;29).

ID

Vậy, tiếp tuyêh cần tìm là y = lOx + 9

Bài tập 24: 2. y = - x - 1 / y = - x + 7 .

3. y — —X — 1 , y = — x + 7 .

4. y = - x - ì ,

BỒ

1. ỳ = —4x —2, y = —4x + 14.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

y = - x + 7.

307 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Xem thêm...

Bình luận

Bản quyền © 2017 SLIDEVN.COM Inc.