PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC - NGUYỄN PHÚ KHÁNH

October 13, 2017 | Tác giả: Dạy Kèm Quy Nhơn Official | Danh mục: N/A
Share Nhúng


Mô tả ngắn

Download PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC - NGUYỄN...

Mô tả đầy đủ

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

HƯ NG

ĐẠ O

TP

.Q UY

NH ƠN

NGUYEN PHÚ KHÁNH

ẦN

PHÂN DẠNG VÀ PHƯdNG PHÂP GIẢI

00

B

TR

C Á C C H U Y Ê N ðỂ

CẤ

P2

+3

10

GIẢI TÍCH 12 A

- BIỄN SOẠN THEO CHƯỜNG TRÌNH MỚI

-L

Í-



- LUYỆN THI CÁC KỶ THI ouử c GIA

2: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC ;•••[THỰ VIỆN BÌNHẼĨNK ị

ƯỠ

NG

TO ÁN

o TẬP ID

1 'PMỒỸ^y- M Ư Ơ N I ...

BỒ

i. V V .

!

NHÀ XUẤT BẰN ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NHÒ XUấT SỒN ðỌI HỌC QUỐC GIA HÒ NỘI

NH ƠN

16 H àng Chuối - Hai Bà T Irưng - Hà Nội ðiên thoai: Biên tâ p-C hế bản: (04) 39714896: Hành chinh: (04V 39714899: Tổng biên tập: (04) 39 714897

ĐẠ O

TP

.Q UY

Fax: (04) 39714899

HƯ NG

C hịu trá c h nhiệm, x u ấ t bản

PHÙNG Quốc BẢO

Tổng biên tập:

PHẠM THỊ TRÂM

Biên tập:

NGỌC LẨM

Trình bày bìa:

VÕ THỊ THỪA

CẤ

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

Giám dốc:

NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

SÁCH LIÊN KẾT

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

ðổi tác liên kết xuất bản:

ƯỠ

PHẦNỊ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ðỂ GIẢI TÍCH 12 - TẬP 2 Mã số; 1L-107ðH2012

BỒ

ID

In 2.0Ó0 cuốn, Khổ 17 X 24cm tại Công ti Cổ phần Văn hóa Văn Lang. S ố xuạt bản: 3 7 7 - 2 0 1 2/CXB/04-58/ðHQGHN, ngày 30/3/201.2, Quyết Ịdịnh xuất bàn số: 1 11LK-TN/Qð-NXBðHQGHN. In xong vả nộp lưu chiểu quý II năm 2012.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

ỉ M ỏ i Ỡ ÍỈÙ Các em học sinh thần mên!

.Q UY

Trong chựơng trình môn toán lớp 12, nội dung kiên thức chiêm một ti trọng

rất lớn trong ñề thi. ð ể giúp các em học sinh nắm ñưọc các phần kiến thức trọng

TP

tâm, các dạng toán từ cơ bản ñên nâng cao. Tác giả bịên soạn bộ sách tham khảo

ĐẠ O

Phân dạng vặ phương pháp giải các chuyên ñề lớp 12 gồm Hình học 12 "1 tập" và Giải tích 12 "2 tập".

HƯ NG

Bộ sách này ñược biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kĩ năng. Trong sách ñược trình bày từng vân ñề, tương ứng từng chương, bài gần giôítg sách giáo khoa và cẩu trúc ñẽ thi của Bộ ỊỊÌắo ñục và ðào tạo ñể bạn ñọc tiện tham khảo. Mỗi

TR

Tóm tắt các kiên thức lí thuyết cơ bản.

ẦN

vân ñể sẽ có:

Các bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chi tiết hoặc ñáp sô'.

10

-

00

B

Lời giải chi tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.

+3

Tác giả chủ trương tránh ñưa vào sách những phần lý thuyết nặng nề và ít sử

P2

dụng. Mỗi ví dụ, lời giải lại cỏ nhận ñịnh sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người

CẤ

ñọc tậm ñắc và sẽ có tư duy sảng tạo riêng của mình khi gặp những câu hòi khó,

A

bài toán khó lạ khác.



Phần hoạt ñộng ñược tác giả biên soạn tất công phu và tập hợp nhiều dạng

Í-

toán háy, mới mẻ. Giúp người học không chi có thể thử sức những bài toán rèn

-L

luyện tư duy, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tường chừng ’

TO ÁN

không thệ nào giải nổi. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải ñược dựa trên nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản. Tác giả hi vọng, khi gặp một ñề thi khó, lạ người học sẽ không còn rigại ngùng trong việc ñưa ra lời giải cho mỗi bài toán.

NG

Cuối mỗi b.àí học là phẩn bài tập tự luyện, ña sô' là những bài toán ñã xuầ't

ƯỠ

hiện trong kì thi ðại học và kì thi học sinh giỏi. Cuôn sách là sự k ế thừa những

ID

hiểu biết chuyên môn vâ kinh nghiệm của chính tác giả trong quá trình trực tiếp

BỒ

ñựng lớp bổi dưỡng.Tác giả hi vọng, người học cẩn phải nắm kĩ kiên thức căn

bản trựớc khi tham gia bài tập tự luyện.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Thầỹ cô sẽ có thêm nhiều ñề tài ñể tham khảo.

I

NH ƠN

em học sinh sẽ vững tín bước vào kỳ thi ðại học sắp tơi. Sinh viên sư phạm và

.Q UY

PHAN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ðỀ GIẢI TÍCH 12 chia thành hai tập:

ĐẠ O

Tệp 2: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT - TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC. Tập 2: Sách chia làm 11 phẩn: Lũy thừa, logarit.

2.

Hàm SỐlũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

3.

Phương trình, bâ't phương trình mũ.

4.

Phương trình, bất phương trình logarit.

5.

Hệ phương trình, bâ't phưcmg trình mũ, logarit.

6.

Nguyên hàm.

7.

Tích phân.

8.

ứng dụng tích phân.

9.

Sô' phức.

!

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

HƯ NG

1.

10. Căn bậc hai cùa sô' phức và phương trình bậc hai.

CẤ

1

TP

Tập 1: ỨNG DỰNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ.

11. Dạng lượng giác của sô' phức và ứng dụng.



A

Trong sách, tác giả không chỉ ñề cập phần khảp sát - vẽ ñồ thị hàm sô' và vân Tất

chú trọng ñên ứng dụng ñạo hàm trong việc giải

Í-

ñề liên quan hàm số, mà còn

-L

phương trình, hệ phương trình, bâ't phưcmg trình, hệ bất phương trình và những

TO ÁN

bài toán khó như: tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhâ't, chứng minh bâìt ñẳng thức. ðây là ñiểm nhấn mà các sách tham khảo cùng loại chưa ñề cập nhiều. Tác giả cũng trích những dạng toán thường gặp qua các kì kiểm tra của trường THPT và ñề thi

NG

ðại học những hăm vừa qua ñể bạn ñọc tham khảo.

ƯỠ

Mặc dù tác giả ñã dành nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sự sai sót là ñiều

ID

khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận ñược sự phản biện và góp ý quý báu

BỒ

của quý ñộc giả ñể những lẩn tái bản sau cuôln sách ñược hoàn thiện hơn. Tác giả NGUYỄN PHÚ KHÁNH

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

CHUYÊN ðỂ II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT.

HƯ NG

ĐẠ O

TP

.Q UY

Trong chuyên ñề này cung câ'p kiên thức cơ bản về hàm sô' mũ và logarit. Giúp học sinh nắm ñược phép tính lũy thừa, logarit, tính chất của hàm số lũy thừa, hàm sô' mũ và hàm số logarit. Tác giả chú trọng phương pháp giải phương trình mũ, phương trình logạrit, giải hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Tác giả chú trọng ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, hệ phương trình mũ và logarit. Một số lun ý khi sử dụng chuyên ñề:

Không xét các phương trình và bất phương trình chứa tham số.

2.

Không xẹt các phương trình và bất phương trình mũ màẩn có mặt ñổng thời cả cơ số lẫn sô' mũ.

TR

ẦN

1.

10

00

B

3. Không xét các phương trình và bâỊt phương trình logarit mà ẩn có mặt ñổng thời cả cơ sô' lẫn trọng biểu thức lây logarit.

Í-



A

CẤ

P2

+3

Nội dung của chuyên ñề gổm: 1. Lũy thừa, logarit. 2. Hàm sô' lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. 3. Phương trình, bất phương trình mũ. 4. Phương trình, bâ't phương trinh logarit. 5. Hệ phương trình, hệ bất phương trinh mũ và logarit.

TO ÁN

-L

LŨY THỪA - LOGARIT A. CHUẨN KIẾN THỨC, k ĩ NĂNG CẦN ðẠT.

NG

1. Kiến thức:

ƯỠ

- Nắm ñược lũy thừa từ một sô' từ số, mũ nguyên dương ñêh sô' mũ nguyên và số mũ hữu tỉ thong qua căn số. phép toán nâng lên lũy thừa và

BỒ

ID

- Nắm ñược Iogarit theo cơ số dương khác ñổi cơ số của Iogarit . ■ ■ ■ ■ ■ . 2. Kĩ năng:

- Vận dụng thành thạo ñịnh nghĩa, tính châ't của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(tíchn sô a).

* a° = 1

với mọi a & 0 .

1 * a " = —— an

vói mọi a ^ O .

.Q UY

* a"=a.a...a

NH ƠN

B. Lí THUYẾT GIÁO KHOA. 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: a. Bịnh nghĩa: c ho n là số nguyên dưong và số thực a . Khi ñó:

0

ĐẠ O

* Với n < 0 thì an có nghĩa • » a

TP

Gfei cfeú:

HƯ NG

* Với Va?*0 thì a n =-— a 'n b. Các tính chất v ề ñằng thức: Với hai sô'thực a ,b * 0 và m,n là các số nguyên ta luôn có:

lb -0 )

B

ị? ị’ . ỉ '

00

4. (ab)” =a"b"

3, (a” )" = a™

ẦN

2. — = a ”-"

TR

1. a” a” = a ” *"

+3

10

c. Các tính chất v ẽ b ấ t dẳng thức * Cho m,n là các sô' nguyên dương, ta có:

P2

+ Với a > l thì am > a n o m > n

CẤ

+ V ớ iO < a < l thì am> a n « m < n

2. a m > b m m < 0

Í-

1. ám < b m m > 0



A

Nhận xét: Với a > 0 thì am = a" o m = n * Cho 0 < a < b và sốnguyên m ,tacó:

-L

Nhận x é t: Với 0 < a < b thì am = bm m = 0 .

TO ÁN

* Nếu n là sò' tự nhiên lẻ thì a n < bn o a < b 2. Căn bậc n fl. ðịkih nghĩa: Với n là số nguyên dương, căxi bậc n của a là số thực b thỏa

NG

mãn: bn = a .

BỒ

ID

ƯỠ

b. Tíĩìh chất: Cho a ,b > 0 , hai sô'nguyên dương m,n và hai sô'nguyên tùy ý p,q. Ta có: ì.Ậ - ĩlĩ.a lb

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2.

(b > 0 )

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

3. ^

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4.

= ($ ĩ)p

N êu P = í t h ì ^ = ^ ( a > 0 ) n m 3. Lũy thừa với sọ mũ hữii t i.

NH ƠN

5.

HƯ NG

ĐẠ O

TP

.Q UY

a. ðịnh nghĩa: Cho sô'thực a > 0 và sô'hữu tì r = — (m ,n là hai số nguyên ’ n — I— : ■ n > 0 ).K h iñ ó a r = a n = ự a m . Chú ý : Lũy thừa sô' mũ hữu tỉ chi ñược ñịnh nghĩa cho sô' thực dương. b. Tính chãi: Lủy thừa với số mũ hữu ti cỏ ñầy ñủ các tính châ't như lũy thừa với số mũ nguyên. 4. Lũy thừạ với số mũ thực à. ðịnh nghĩa: Cho sô' thực dương a và a là số vô tỉ. Khi ñó tổn tại dãy số

+3

10

00

B

TR

ẦN

hữu ti (rn) có giới hạn á và aa = lim a1” . n-»-K» b. Tính chãt: Lũy thừa với số mũ thực có ñây ñủ các tính châ't như lũy thừa với sô' mũ nguyên. Lưu ý : • Lũy thừa với sô' mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không • Lũy thừa với số mũ hữu ti và số thực thì cơ sô' dương. 5. Logarit.

CẤ A

logaa = l

-L

NG

lo g a - ^ lo g ^ - lo g - .b b iị

atogatt= a lógaa“ = a

loga^ = Ioga x 1 - lo g a x2

■ , i' ■ ■ • ' ■

TO ÁN

ðặc biệt:

lnb = a o e “ = b

Ỉ0 ga(x 1x2) = l0 gaxi + l0gax2

Í-

• Iogab ° = a lo g ab • logaab = - l o g a b

lgb = a o l O a = b



ðặc biệt: loga b = a o aa = b b) Tính chất:. • logal = 0

P2

a) ðịnh nghĩa: Cho a > 0,a * l,b > 0 thì loga b = a o a“ = b .

Xz ỉoga >/b = —loga b n

logab = ^ ^ logc a

ƯỠ

• a > 1 => loga b > loga c o b > c > 0

ID

• 0 < a < 1 = > lo g ab > logac o f l < b < c .

BỒ

G. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ð Ể . 1. Tính giá trị biểu thức, rút gọn. 2. Chứng minh ñẳng thức, bất ñẳng thức.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

CHỦ ð Ề 1

TÍNH GIÁ TRỊ B lỂ ư TH Ứ C-RÚ T GỌN.

-s/ã-Vb

Va + %/ab

yfa-yfb

t f a +t f b

TP

A=

.Q UY

□ Các ví dụ minh h o ạ : Ví dụ 1.1.1 Rút gọn biểu thức sau:

NH ƠN

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

HƯ NG

tíã -tỉb

ĐẠ O

Lời giải.

yíã + yỊb

'lj:

ẦN

B = ( ^ / ? - & b + Vbĩ - & b ) : ( ^ - 3 / b ) 2

B

Ví dụ 2.1.1 Tính giá trị của biểu thức :

TR

B = Ị ^ ĩ - 2 ^ b + Vbĩ ) : ( ^ - l / b ) 2 = ( ^ - ^ ) 2 : ( ^ - ^ / b ) 2 =;l.

B = logi (log 38 . 1.og23 ) - io g 251 0 + i o g ỉ ~ + v2f 2 Lời giải.

P2

+3

10

00

A = ^ i Ị 3^ _ loggS logls 3 log405 5

CẤ

A = toga.135 _ Ị ° ẵ l L = iog3135.]0g3 15 _ ]0g3 5,iogs 405 logls 3 log405 5



A

Á = log3(5.2 7).log315 - log3 5.1og3 (27.15)

Í-

= (log3 5 + 3) log315 - log35(3 + log315)

TO ÁN

-L

A = 3(log3 15 - log3 5) = 3.1og3Y = 3 B = log r 2 (31og3 2.1og23 ) - lo g 5210 + ìlo g ^ ! I

NG

5 = ” log33 - ^ logs 10 + logs^ = 2 2

1 2

1,

2 *°8 s ^ ‘

3 2

ƯỠ

Ví dụ 3.1.1

BỒ

ID

1. Tính log36 2 4 , biết log12 27 = a .

2. Tính log2415 theo a,b, biết log25 = a, logs 3 = b. 3. Tính log2S24 theo a,b ,b iết log6 15 = a, log121 8 - b . 4 .Tính log126150 theo a,b,c,biê't log23 = a, log35 = b, logs 7 = c.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3

3

NH ƠN

1. a = log1227 = 31og123 =

Lời giải. 3

log31 2 _ log3(22.3) ~ 21og32 + l

.Q UY

3 —a , , _ 2a Suy ra log32 = — — và ■og2 log23 = -, 3= 2a 3~ - a

TP

Ta CÓ: log36 24 = log36 (23.3) - 31og36 2+ log36 3

i 3_a Hơn nữa logo,; 2 = —— ——= --------- —------------------------— =Ì -- — va log236 21og26 2 ( l+ lo g 23) 6 + 2a _

_

1

1

1

1

1

1

2a

log336

2 Iog3 0

2 ( l + log32)

6 + 2a

Vậy, log36 24 = 3 log36 2 + log36 3 =

6 + 2a

1

1

.l o g 2415 = log24 3 + log24 5 = — ~ log324 logs 24

TR

2

B

1 1 — —------ ------- h —------——............■ 1

00

31og52 + log53

10

31og3 2 + l

ĐẠ O

,

o

HƯ NG

,

ẦN

________ . . .

1

1

CẤ

A

a ( l + b) Vậy, log2415 = - — ■£ ■ 3 + ab

P2

+3

Hơn nữa log3 2 = log3s.logg 2 = —— .7 - ^ - = -7 ; logs 3 log25 ab



3. log25 24 = ^ (3 log5 2 + log5 3) = ỉ ( 3 x + y ) với x = logs 2, y = 1° g s 3

Í-

1 y +1 1 + 1 ^ 5 2 + logs 2 + log53 _ X+ y logs 3 1 1 _ x + 2y b = log1218 = log 12 2 + 21og12 3 =

1

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

a = log6 15 = log63 + logé 5 =

ID

Suy ra

X

2 + l o g s 3 + i I 2 l0 g s2 ~ 2 x + y lo g s 2

lo S s 3

b -2 1—2b = ------------------. y = - — -------- ----2 b -a -a b -l 2 b -a -a b -l

BỒ

Vây, log 25 24 = --------— ^ ------. &25 4 b -2 a-2 ab -2

4. log126150 = log126 2 + log126 3 + log1265

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

1

1

1

log2 126

log3126

logs 126

log22 + 2log23 + log27

1

1

= .. — - — ----- ị------------------- 1-------- as

+

......... . _+ — ............. .. Iog3 2 + 21og33 + log 3 7 log52 + 21og53 + Iog57 1

1

NH ƠN

+

■ ...... ■ ’■ '

1

1

2____

HƯ NG

CHỦ ð Ề

ĐẠ O

1 - rn 1 + a+ab Vậy- logi26150=7-r 1 + 2a + abc

o

1

e = u '■loê s 2 = loểs 3-logs 2 = 5 b ■ 3D

TP

lữg3 7 = log3 5.1ogs 7 = b e, logs3 = 7

.Q UY

Từ giả thiết suy ra: log32 = —— — = —, logz7 = log23.1og35.1ogs 7 = ab c . log23 a

ẦN

CHỨNG MINH ðẲNG THỨC - BẤT ðẢ n G t h ứ c . □ Các ví dụ minh hoạ:

. ,

2

00

v à lo§ 2 | -

2. log2 3 và log3 4

.

1

.

1

1



,

1 2 2 1 1 > - => log2 - < log2 —j= = log, 2 2 = - i 4Ĩ 3 23 62 V2 2 2

1 2 = > l'> g 3 -p > l0 g !Ì V2 3



A

M

1

Lời giải.

CẤ

1

P2

+3

10

1- l o S 3 ^

B

1

TR

Ví dụ 1.2.1 So sánh:

-L

Í-

2. A/]og32.1og34 < i ( l o g 3 2 + log34 ) = ì l o g 3 8 < ỉ l o g 3 9 = 1 ( theo Cô Si)

NG

TO ÁN

=> log3 2.Iog3 4 < 1 log3 4 < —Ị — = log2 3 ________ Iog32 Ví dụi 2.2.1 Chứng minh rằng:

2. Với mọi sô' thực X, ta có: logj

BỒ

ID

ƯỠ

1. Với x2 + 4 y 2 =12xy ta luôn có: ln(x + 2 y )-2 I n 2 = —(ln x + ln y ).

2

1

1 •+ ' l- x 2 2X —

m

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giải. Giả thiết có X2 + 4y 2 = 12xy o X2 + 4y 2 + 4xy = 16 2 I— , - ^ j = 2 , —^-2 9- x 2

V 2

? -* 2

V

2

ĐẠ O

-

TP

x-x 2 -21 X-X2

z .

2 2

. 1

8 ^

8

2

o

X= — 2 => không xây ra.

10

ðẳng thức xảy ra khi

7

i

x = t:

ẦN

_7

1 X —— .2 ;

1

B

1

00

Hay logj

x -x -2

ÍIÌ

TR

,

HƯ NG

x - x2 -2

'i : "'ì N h ư vậy, l o g i í 1 2 X % ~ Z *2 ) 2V

NH ƠN

1. ðiểu kiện: x,y > 0

X= —1

+3

x = -x 2

CẤ

P2

Ví dụ 3.2.1 Cho —< a,b,c,d < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:



A

F » l o g ^ b - Ỉ Ị + IogbỊc - ỉ ) + logt (d - ì } + lo g ^ a - ỉ j

Í-

\2

Lời giải.

-L

7 1 9 1 Ta có: a - — > 0 o a - a + - > 0 o a > a - -

TO ÁN

1

1

Tương t ư : b2 > b - —,c2 > c ——,d2 > d - — 4 4 A

(K

ƯỠ

NG

a,b,c,d €

BỒ

ID

Tương t ự : logb

(

C

V

=>logab < lo g aỊ b - ị | = > l o g a b - — >21ogab 4 lY f IV - J >21ogbc,logc d - f >21ogcd,

4y

V

4/

logd a - — > 2 logd a => F > 2(loga b + logbc + logc d + logd a ) > 8

n

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

=> MinF = 8 a = b = c = d = — 2

Các hoạt ñộng cơ bản : A=W b ±

23.2_1 + 5-3.54

B=

yã +slb

D=

_ỉ

X3 - X 3

X 3 -^x3

4

2 - 1

x3 _ x3

x3 + x 3

X +3x+2 yỊx2 + 2x + l

1-«-—( 2 X- 2 ~ x ) 2 - 1

B

1

F= | ^ ( x2- l ) ( x + l) 3

ẦN

1

5

G=

+3

10

l + i ( 2 x -2 " x)z + l

00

E=

7

TR

I

a 3 la 3 + a 3 j

HƯ NG

c = ] j ị x n + y nj2 - ị ^ x y )

li

ĐẠ O

lí 4

TP

10"3 :10“2 -(0 ,2 5 )°

.Q UY

□ Hoạt ñộng ỉ: Rút gọn biểu thức sau:

^

.

A __

P2

□ Hoạt ñộng 2: Thực hiện các phép tính sau: \-0 ,2 S í

CẤ

A = (32) v '

A

1,64 J

Í-

B=U J



, 2 x (75+2 ) ^ - 2 ) 4 ~ u J

-L

_1

_

/ . 4

ì

íI - — + —\2 7 J

/ 25.ỵ i | +U J 2

TO ÁN

c = 0,001 ? - ( -2 ) 2.643 - 8

■2

3 +(9°)

-625°'25-Ị^2-j Ì + 19(-3)'3

ƯỠ

NG

D =[ - - ]

/ 2 n 8ì 2

ID

□ Hoạt ñộng 3: Tính giá trị của biểu thức: B = log

(0,2) + l o 1"’83 - 3

BỒ

A = Ụ ĩ )l0g79 - logg 270 + log9 10 c = alga + a2 lo g ,1 0 — --------- — lga loga 10 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

D=

NH ƠN

lg (5 -2 V ẽ ) 20 +lg(V 49 + 20V6 j 41nVe + 51n(e3Js/e) 1 3^27 27

,,

p

128 ^ 3^2 ;

log72.1og67 + log113.1og6l l | log23.1og98

.Q UY

C_I ~

25logs6 + 49log?8 - 3

27

ĐẠ O

6i0t4^

TP

G = g l+ lo g 9 4 + < ị 2-lo g 2 3 + giog12s 27

HƯ NG

H = ta g ^ 8 - 9 ( to g » 2 f + 1 -

2

ẦN

3 g lo8 6 5 + 5 l- 1 ° S 5 2 _ 3 * ° 8 ? 3 6

r+ 10l+lg2

B

log3^ V l 2 5

00

J= log7^ ^ / 4 9 - -

TR

log2.og2 V W

A = log36 -

+3

10

□ Hoạt ñộng 4: Tính giá trị của biểu thức: log361og6 21og89

^ 4 log2 3 4- 4 9 * ° B 7 4

D=

31og2(]og4 16) + logi 2

Í-



A

+ 2 5 ,0S 1 2 5 8

CẤ

log9 4 ì-ìlog. B = V814 2

(

log34 0 5 -Io g 3V75 log21 4 - lo g 2 >/98

P2

l0 g 2 3 y

V

c

+ 5

TO ÁN

~ ( 3^ )

- Zlog, 2 7 « + ^

’l5 2

NG

F = log2

-L

E = 16

ƯỠ

G = 8 1 logs3 + 2 7 log3&+ 3 3l°889 - e ln2 + Ị0 3lg2 42+log23

r—

BỒ

ID

H = log2 4 ^ 1 6 - 2 ^&!1 27^/3 + &2

1=

3

log92- l o g i 5

3

2

71n(3 + 2V 2)-641n(>/2 + l ) - 5 0 1 n ( V 2 - l) + 2 Ig l2 5 '1- lg 0 .8 + 6 1 g^ 04 + 41g 50

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt ñộng 5:

. Tính ]ogab

2Ĩã

, biết Iogaba = 4.

NH ƠN

1

2 3 biết loga (a2b3) = 1. a âb v ' 3. Tính log301350 theo a ,b . Biết log303 = a,log 305 = b .



4 V2

ĐẠ O

TP

4 .Tính log5-y=== thẹo a,b.B iết logs 2 = a,logs 3 = b. 5.

.Q UY

2. Tính log

Biết log6 15 = a; log1218 = b. Tính log2S24 theo a,b

ẦN

□ Hoạt ñộng 6: 1. ðặt a = log2 5; b = log35, Tứih theo a ,b , biết:

HƯ NG

6. Biết a = log23; b = log37.T ính log2414 theo a ,b .

TR

A = log13,8 1 - 3 1 o g ” J L vĩõõ 125

log8 27

ử ẫ i

10

A = ] o g V ỗ ^ b ĩ - 4 1 o g 0.125^ £ =

00

B

2. ðặt Iog2 a = m ,log2b = n. Tính giá trị các biểu thừcsạu theo m,n:

CẤ

P2

+3

\í aáb

Í-



A

3. Tìm m ,n ñể các biêu thức sau không phụ thuộc vàọ a,b > 0

TO ÁN

-L

í h2 V B = m log7 Ị49a6.\/b Ị ~ 3n log7^ỹ —- - + lo g 7yỉãb 4. Với giá trị nào của x,y thì các biểu thức sau không ñổi với a,b > 0 .

ƯỠ

NG

A = 2xlog2( ^ . ự ^ ) - 3 y l o g 32- Ì IL - l o g 2a

ID

Bị=y Iog3^ (a>/b^)- 4xlog 27 (81/\/ãb* )-6 1 og 3 Vãb ..

BỒ

□ Hoạt ñộng 7: So sánh 1. logr l 2 + log2| + 4 và log37 + log73

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. logn+1(n + 2) và logn(n + l ) , n > 2 .

NH ƠN

□ Hoạt ñộng 8: 1. Cho a = yjx2 + ^ /x ỹ ^ + yịy2 +y j y 4x 2 . Chứng minh rằng:

.Q UY

2. Chó các số thực a,b,c > 2. Chứng minh bâ't ñẳng thức: log^c a2 + Iogc+a b2 + loga+b c2 > 3

HƯ NG

ĐẠ O

TP

□ Hoạt ñộng 9: 1. Gọi c là cạnh huyên, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, trọng ñó c ± b # 1, a 9* 1. Chứng minh rằng: logc+b a + logc_ba = 21ogc+b a.logc_ba . 2. Cho a,b > 0 thỏa mãri a2 + b2 = 7 a b . Chứng mữiỊ\ rằng:

= 2 0°g2012 a + loỗ2012 b) •

ẦN

log2012

3. Cho logabc2012 = loga 2Q12 + logb20 1 2 + lo g c2012. Chứng minh rằng: trong

TR

ba sô' a,b,c luôn tổn tại một sốnhỏ hcm 1.

= 2 0 O&2012 a + ^°S2012 b) •

10

*°S2012 4

00

B

4. Cho a,b > 0 thỏa mãn a2 + b2 = 14ab . Chứng minh rằng:

+3

□ Hoạt ñộng 10:

CẤ

P2

Cho các sô' thực X, y thaỵ ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhâ't của biểu thức:



V4x+Zy + 4 y+Zx

A

8X+ 8y + 7(2x+2y +

-L

Í-

HƯỚNG DẪN GIẢI CẨC HOẠT ðỘNG. ■________ ■

TO ÁN

Hoạt ñộng 1:

c = ■J\2n + y 2n + 2x"yn - 4 x ny n = y]x2* + y z* - 2 x 'ty* = Ậ x * - y nf = Ịx* - y"I 4

1

4

2

NG

_ _ a 3.a 3 + a 3.a^ _ a 1 + ạ 2 _ a ( a + l ) _

BỒ

ID

ƯỠ

" - -ỉ a+ 1 a+ 1 a4.a4 + a 4.a 4 Hoạt ñộng 3: 1 2 A = 72 l0S73 - (log9 270 - log9 10) = 7log73 - log32 33 = 3 - 1 = I

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

■i.

c = alga + -^— - ^ - - a l g a = 0 lga lga

! ; I

lg(5 -2 v /6 )20 +lg(5 + 2V6)20 — 4Ine2 +51ne 5

l g [ ( 5 - 2 ^ ) ( 5 + 2>/6)]20 =

2 + 16

■—

18

HƯ NG

E4 ( _ 3 ) - 2 . i . S U - Z ” . 8 ' 3 3 72 Iog72 | logn 3 _ log7 6 logn 6 2(log6 2 + log6 3) 21og6 6 3

3

2

3'

ẦN

3, _ ■ , ~ ~log2 3.1og32

~ ~ ~ =

TP

J

lg l

ĐẠ O

D=

.Q UY

B = log 1 5 '1 + - ^ j - - . 5 ' logs3 = - 2 + — - - 3*1 = — ị 10lg3 5 3 5 15

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TR

Hoạt ñộng 5:

2. 7

15

10

00

B

6 )ể ý : 13 50 = 32.5.30

log301350 = log30 32.5.30 = log30 32 + log30 5 + log30 30 = 2a + b + 1 . ( ỉ -I

2 ị 3 *'5 _ i f

0gs

l 0 g s 2 i + l 0 g s 3 "2 + l 0 g s 5 5

CẤ

0 g s V Ĩ5

M5J 1

+3

R

P2

4

-L

Í-



A

5 1, 1 5 a - b - l = - a - - b - - = ------ — . 2 2 2 2 , ^ lo g ,24 3 + log23 5. Ta CÓ: log 25 24 = —— — = ----------------------------------------—------625 log225 21og25

TO ÁN

Từ giả thiet 6

flog215 = alog26 < , [log218 = blog212

[(l - a )log2 3 + log2 5 = a ( (2 -b )lo g 23 + l = 2b

Í, o 2b - 1 log23 = - e —1 r_u 2 b =>log 24 = ____ J 5 a b + a -2 b -fl 25 2 ( a b + a - 2 b + l) gz 2 -b

6 . T a c ó : l o g 241 4 = Ị H ẵ ỉ 2 i = Ì i M

log2 24

BỒ

ID

ƯỠ

NG

=>

■=>

Z

3 + log23

Mặt khác: ab = log2 3.1og37 = log2 7 => log2414 = 1 ^-ab 3+a

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. A = 3m(logs a5 + log5b*) + ^ ( ĩ o g 5a-10 - log5b*)+ logsa " ỉo8sb

.Q UY

= 3m( f logsa + f loSs b j + Y -101og5 a - | l o g 5 bj + logs a - log5 b

NH ƠN

Hoạt ñộng 6:

TP

_ ( 9m . A f3 m 12n A , = | ^ i _ 4 n + lJlog5a + ^ i - ^ - l J l o g 5b

ẦN

HƯ NG

ĐẠ O

-4 n + l = 0 m=— => A không phụ thuộc vậo a,b't> '| _■* . _ »• ^

TR

V5

6m + 12 n + —= 0 m =— 2 33 29 m 1 — - 4n + —= 0 n=D 5 i.2 264

+3

10

=> B không phụ thuộc vào a,b o

00

B

2)

P2

Hoạt ñộng 8:

-L

Í-



A

CẤ

2. Bẩt ñẳng thức ñã cho trở thành: —--°^2 3— + —Ì2ẵ2-k— + — -°^2 c— _ > 3 (*\ log2(b + c ) log2(c + a) Iog2(a + b) 1 1 Vì a ,b ,c> 2 nên —+ — 3 ; x , y , z > l . y + z Z+X x + y

BỒ

1 Thật vậy, - - - - + +.— z - > 3 o ( 2 x + 2y + 2z) y + z z + x X+y x+y

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 >9. y + z Z+ X

THƯ VIỆN BÌNH ðỊNH

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho v ế trái, ta ñược ñiều phải chứng minh. f x ,y ,z ằ l ðăng thức xảy ra khi í tức a = b = c = 2. [x = y = 2 Hoạt ñộng 9: => loga a2 = loga (c + b)(c - b)

2 = loga (c + b) + Ioga (c - b)

.Q UY

I. Từ giả thiết, ta c ó : a2 + b2 = c2 a2 = (c + b ) ( c - b )

l o Sí(c í c-b - b)2 = -— - — - + -— -----og20iz >/ãb = |( l o g 20i 2 a + log20i 2 b)

ẦN

^ l°g 20i 2 ^

( a > 0 ,b > 0 )

TR

3. Giả sử cả ba số ñều lónhơn 1=> log2012a,log2012b,log2012C>0

= a b ^ l o g 2012^ p = ỉ( l o g 2012a + log2012b).

P2

4 .T a c ó : Ị ^ ~

+3

10

00

B

1 1 1 9 =>logabc2012 = — - -------+ ——^--- + — ----- > —— - — ■^Oê 2012a ^°§2012^ ^OỄ2012C ^82012 a^*c ^ l o g abc2012>91ogabc2012Ịogabc2 0 1 2 < 0 = > a b c < l vô lí.

CẤ

Hoạt ñộng 10:

-L

Í-



A

a3 + b3 + 7(ab2 + ba2) ðặt a =2*,b = 2y với a > 0 ,b > 0 . Khi ñ ó : p = ----- ------ T=L==----- íabva + b Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cả tử và mẫu

TO ÁN

a3 + b 3 + 7^ab2 -t-ba2Ị = (a + b)Z a + b + - ^ - j > 4 ( a + b)2>/ãb. a b V ^ T b 5"= ^ y ^ 2 a b ( a 2 + b2) <

NG

Suy ra p > 8 ^ 2 . Vậy, min p = 8 ^ 2 , khi a = b tức X = y .

BỒ

ID

ƯỠ

D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bài tập 1:

1. Gho a,b,x>0; b ,x * l thỏa mãn: lòg„ — Ị . 3

= logvVã + — -—- . logbx2

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

„ 2a2 + 3ab+ b 2 , Tính giá trị của biểu thức: p = ------- ---—ì— khi a > b. (a + 2b) Bài tập 2: 1. Tìm các sô' thực a,b thỏa mãn ñổng thời hai ñiều kiện sau: Í2az + 5ab+2b2 —3 = 0

a‘ [2 1 g (a - 3 b ) -lg 4 = lga + lgb

.Q UY

Í2a+3b = 21

■|l o g 3(a + 2b) + 21og3(b + 2 a ) = 5

ĐẠ O

TP

Bài tập 3: Chứng minh các ñẳng thức sau vói ñiều kiện các biểu thức luôn tổn tại.

„ 21og2 2az + 2log2^log2Zil^ .lo g 2 a + log* a* - 2

6

a

Iog2 2a ,

1

1

2 1

/

TR

ẦN

3. ----------4--————K..H----- ---- = 1, log2 n! log3 n! log„n!

HƯ NG

1. (log£ a ị 2 log* a + logba )(loga b - logabb) - logba = 1

10

P2

CẤ

Bài tập 4: Chứng minh rằng: 1. Vói a,b,c > 0,abc * 0 luôn có :

+3

, , ■> . „ n (n -l) 5. logjja + log a +... + log an ^ — L 21ogax

00

B

„ , \ logab + log X 4. log (bx) = - ; a - 63 l + loga X

A

lo g a d .Io g b d + lo g b d .lo g c d + lp g c d lo g a d .= -° g-? d -l0 g fr dj lo g c d



ỉo g a b c d

Í-

2. Với 0 < x1>x2,...xn 5*1 luôn có :

TO ÁN

-L

a. logXl x2 logX2 x3 logX3x4....logXn l xn logXn Xj = 1

Bài tập 5:



~J

l°g xaa

ỉogX2a

l



logXna

NG

b - l ° S x 1X2~xn a -

ƯỠ

1. Cho a,b,c > 0 theo thứ tự là ba số hạng liên tiêp của một câp số nhân. Chứng

ID

minh rằng: 31og2a + 2 log^- c = l o g b3.

BỒ

2. Cho a, b, c , x > 0 ; x * l . Chứng minh rằng: logx a, logx b, logxc theo thứ tự lập thành cấp SỐcộng khi và chỉ khi a,b,c theo thứ tự là cap số nhân.

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ta luôn có: iogby = 2lQgạx-lo8ẹz_ b logax + logcz

NH ƠN

3. Chứng minh rằng: nếu logx a.logy b,logz c theo thứ tự lập thành cấp sô' nhân, 0 < a .b ,c ,x ,y ,z * l.

TP

.Q UY

4. Chứng minh rằng: nêìi 0 < N * 1 và a,b,c theo thứ tự lập thành cấp sp nhân, log, N lo g ,N -lo g hN „ , ta luôn có : 7 - " - = 7 " 7 V M’ 0 < a .b. c * l . logc N logbN -lo g c N

HƯ NG

Bài tập 6: Cho các số thực à,b > 1 . Chứng minh rằng:

1. V t a l + V t a b ^ l n —

2. alogbC+ blt>8ca + cl08ab > 3\/ãbc

00

_ u =ab

+3

10

a + 2b . /—r~ r a "*■ l-lo g x- ^ = l o g xV a b o | ^ p

B

TR

E. HƯỚNG DẪN GIẢI. Bài tập 1:

ẦN

- r.------n-----r [, a+ b 3. > g 2a + > g 2 b < 2J lo g

29 36'



A

CẤ

P2

az -5ab + 4b z = 0 o a = 4 b (dọ a > b ) =>p = Bài tập 2: 1.a. a > 3 b > 0 . Ta có:

ĐẠ O

5. Gho a,b,c là ñộ dài ba cạnh tam giác AABC với 0 < c - b * l và c + b ^ l . Chứng minh logc+b.a + logc_ba = 21ogc+balogc_ba AABC vuông tại c .

( a - 3 b ) 2 = 4ab

Í-

2 lg ( a - 3 b ) - lg 4 = lga+ logb lg (a -3b )2 = lg(4ab)

TO ÁN

-L

Í2a + 3b = 21 Í2a+3b = 21 Ja = 9 Ta có hệ ẹ: | a 2 - lOab+ 9b2 = 0 ° Ị ( a - b )(a - 9 b )= 0 ^ \ b ==1' a + 2b - 3

o

2a + b = 3

ii tập 3:

ID

ƯỠ

NG

b. r

4373 81 2185 b=81 a=

BỒ

(log* a + 21ogba + l ) ( l - l o g ba.logabb) -lo g ba' , =(logba + l )

^

1-

1 'ì 2 -lo g ba = ( lo g ba + l) 1 — -logba !ogaab, l + loga b

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

= (logba + 1)2.[ 1 - - i 0i .ba- i - logba = logba +1 - logba =1 ^ logba + i ; =6j

a

■"

g2

n(n

1)



.Q UY

2 2 i 41ogza + 2( 1liggzgjjggi.a + 41o§2a - 2 log’ 2a

I

l + logax

5. logx a + Iogx a2 +... + logx an 2

n1 + 2 + .., + n

logax

logax

---------- ----- = -----:----—------- = — ---------

logax

logax

Bài tập 5:

21ogax

ẦN

1.Ta có:31og2a + 21og^c = lo g^ b 3

HƯ NG

1

= ---------+ ---- +

ĐẠ O

logaax

TP

3. Iogn! 2 + Iogn! 3 +... + Iogn! n - logn! (2.3...n) = 1 4.

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TR

Iog2a3 + log2 c3 = log2b6 c> a3c3 = b6 •» ac = b2.

B

logx a + logx c = 21ogx b logx ac = logx b2 ac = b2.

1

2___________

loga(c -b )~ lo g ,(c + b ).lo g a( c -b )

P2

loga(b + c)

+3

1

10

5. iogc+ba + logc_ba =2 iogc+ba logc_ba

00

2.

CẤ

o lga (b + c) + loga ( c - b ) = 2 0 log, (c2 - b2) = 2

Í-



A

o c2 - b2 = a2 o c2 = a2 + b2 o AABC vuông tại c . Bài tập 6: + > / ĩ ^ á • y / Ì Ợ n ã ĩĩ ĩ ^ = >/ 2 Ĩ r ^<

j = 2 1j ì r ĩ ^

TO ÁN

-L

1.

ðẳng thức xảy ra o a - b . 2. Ta có: alogbC = clogba =>a‘°8bC+ clogab = clogba + clogab > 2Vclogba+,ogab > 2c

NG

Tương tự: alogbC + bIogca > 2a; blogca + clogab > 2b

ƯỠ

Cộng ba BðT trên lại với nhau, ta có:

BỒ

ID

alogbC+ blogca + clogab > a + b + c > 3 ^ . ðẳng thức xảy ra khi a = b = c

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

HÀM số LŨY THỪA - HÀM s ố MŨ - HÀM SỔ LOGARIT

NH ƠN

§ 2-

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẨN ðẠT.

.Q UY

1! Kiến thức:

HƯ NG

ĐẠ O

TP

- Nắm ñược tính châ't của hàm số mũ, hàm số logarit, công thức ñạo hàm của hai hàm số trên. 2. Kĩ năng: - Vận dụng công thức tính ñạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit. Bí LÝ THUYET GIÁO KHOA. 1. Hàm số lũy thừa

TR

ẦN

a j ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng: y = xa , a e ® b. Tính chất: I* Tập xác ñịnh: • Nếu a là số nguyên dương thì tập xác ñịnh là M • Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác ñịnh là R \ {o}

00

B

• Nếu a không là sô'nguyên thì tập xác ñịnh là (0;+oo)

P2

và (í/u (x )\' = — J x=::r - . [SI K n -^ Õ Õ

CẤ

ðặc biệt:(\ZxV = —- i = 1 ’ n .^

+3

10

* ðạo hàm : Ịx“ j' = a.xa_1 từ ñó suy ra:Ị(u(x))a j' = a u '(x ).(u (x ))a 1

Í-

2. Hàm số mũ



(Oi+oo) nếu a < 0 .

A

* Tứih ñơn ñiệu: Hàm ñổng biên trên (0;+oo) nếu a > 0 và nghịch biên trên

TO ÁN

-L

a. ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng y - ax, trong ñó a > 0 gọi là cơ số. b. Tính chất: * Tập xác ñịnh: K * Giới hạn - ñạo hàm

*->0^

X)

x->0 X

ƯỠ

NG

f lỴ ex - 1 * Giới hạn: lim 1 + — = e và lim -----— = 1.

BỒ

ID

® ðạohàm: Ịax)' = ax ln a . Từ ñó suy ra: (auỊ'=-u'aulna ðặc biệt: (exỊ' = ex và ^euj ’ = u'.eu.

* ỊTính ñơn ñiệu: a > 1 thi hàm ñổng biên, nếu 0 < a < 1 hàm nghịch bíêh.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Hẩm số ỉogarit

a. ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng: y = loga X, trong ñó 0 < a * 1.

NH ƠN

b. Tính chất: * Tập xác ñịnh là tập (0;+co)

.Q UY

* Giói h ạ n -ð ạ o hàm:

, ln (l + x) x-»0 X

■.

ĐẠ O

i u* * ðao hàm: (log, x)' = —- — . Từ ñó, suy ra: (logau)' = —- — ' xlna 7 ulna

TP

* G iớ i h ạ n : lim — -— —^ = 1

HƯ NG

ðặcbiệt: (lnx)' = — vậ (lnu)' = — . ■ X u

* Tính ñơn ñiệu: Hàm ñổng biên khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.

ẦN

c. CÁC DẠNG BÀI TẬPTHEÒ CHỦ ðỀ.

TR

1. Tập xác ñịnh của hàm số.

B

2. Tính giới hạn và ñạo hậm.

C H Ủ ð Ể 1 --- —

- - — ---- ---------- -----------------------

P2

o

+3

10

00

3. ứng dụng, chứng minh ñẳng thức - bất ñẳng thức.

CẤ

TÌM TẬP XÁC ðỊNH CỦA *ÀM s ố



A

□ Phương pháp:

-L

Í-

* Hàm số y = loga f(x ) xác ñịnh

TO ÁN

* Hàm số y = logg(x) f (x) xác ñịnh o

f (x )> 0 0 < g (x )* l'

NG

* Hàm số y = ( f( x ) )g^ xác ñịnh o f ( x ) > 0 .

ƯỠ

□ Các ví dụ minh h o ạ :

ID

Ví dụ: Tìm tập xác ñịnh các hàm sô' sau:

BỒ

Ịog2 loga ty = v - {-''.'ĩ-

( 2 .V X +1

U 2+ 3J.

V x -1 ln (-2 x + V x + 3 j - ln 3

23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

L ờ ig iải.

NH ƠN

1. Hàm số xác ñịnh khi và chi k h i:

x2 + l

X +1-.-1 _ I I ... > 1 = > 0 < - r ~ - < - < = > X 0 o lo g ! 2 V x2 + s; + 3 J_

log2 i o g 1 ( 4 ± f | Vậy: D = [ - l ; l ] .

TP

2. Hàm sô' xác ñịnh khi và chi k h i:

TR



2

00

B

4 ;4,

10

o

Vx *0,y/x

ẦN

ln (-2 x + Vx + 3 j ^ ln3 * 0

9 0 D = 1 X* — 4

x£0

j —s/x - 3 < ọ •



HƯ NG

-2x + V x + 3 > 0

ĐẠ O

x>0

x>0

o CHỦ ðỂ 2

.

_

_ ■ "■■■

.

P2

+3

5 _______________ _

CẤ

TÍNH GIỚI HẠN VÀ ðẠO HÀM.

A

□ Phương pháp:



* Sử dụng các giói hạn ñặc biệt: lim—-——- = 1 yằ lim——- = 1. x-*0

X

x->0

X.

-L

Í-

eu(x)- i ln ( l + u(x)) Hệquả: lim u(x) = 0=> lim — J—7—= lim - — - : — = 1. x-»x0 v ' x-»x0 u(x) x->x0 u(x)

TO ÁN

* Sử dụng các công thức ñạo hàm

NG

Lưu ý: ðể tính ñạo hàm hàm sô' y —Ịf (x )]8-*^ ta lây loganepe hai về rồi lây ñạo

BỒ

ID

ƯỠ

hàm. Cụ thể: lny = g(x).ln f(x)= > — = [ g ( x ) .ln f( x )] \

□ Các vi dụ minh hoạ : _____ _ Ví dụ 1.2.2 Tìm các giới hạn sau : e V 2x+ l-l _ e ^ l - 3 x - l

A = lim x->0

ln(>/3x+l + l)-ln (V x + l + l ) B= lim— ---------- — ' - ' V- — ■x->0

____________ X

_ _ _

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

e-V2X+1-1 * V2X + 1 - 1 ,._ J /l- 3 x - l A = Lim—J====—-.lim —7—4— ----- lim~, ■ .lim"->0 l / i - 3 x - 1 x-i.0 X V2x + 1 - 1 x-*õ 1

=

.Q UY

, , „ _V2X S Ĩ+ 1 - 1 Mà lim—;'— -—- = lim - --- - -------= l;lim - — m 0 V2X + 1 - 1 x->o 3/i _ 3 x _ 1 x-io X

TP

Và lim— — *— ■= -1 ■Nên A = 1 + 1 - 2 ■ X

ĐẠ O

x-*0

NH ƠN

Lời giải.

HƯ NG

ln(^/3x+ĩ + lỊ -ln íV x + l + l ) B = lim— — ------------, / * — ---------x->0 X

ln (l + ^ /l+ 3 x )-ln 2 ln (l + V Ĩ + x V ln 2 = lim > ] ------- lim— ------- — ì ------X

x-*0

X

ẦN

x-»0

x-»0

X

X

B

x -*0

TR

ln íl + ì ( ^ l + 3 x - l) ' lnílH-—( V ĩ + l c - l ) ì = lim—-— — —— ■ - / -lim — ----------------------- ^ = 1

x

+3

i( ỉ/ĩĩ3 x -i)

2

2

P2

2"°

10

00

In íl + -f^ /l + 3 x - l ử iA I 2' > ) v l+ 3 x -1 1„, 1 Mà 1= —lim— ^-z-------- — —-------—.----------------------------- —------ = 3.1.1 = ^-.

ln [ l + i ( J Ĩ + ĩ - l ) V c —

CẤ

.



1

*

1

TO ÁN

-L

Vậy B = - - - = - . 7 2 4 4 Ví dụ 2.2.2

2 4

Í-

1

i( T ĩĩx - l)

A

2“ “

khi X> 0

có ñạo hàm tại X = 0 .

khi x < 0

NG

í(x + l ) e “x 1. Tìm a ñê’hàm số y = _ ~ (y/l + a x - y / c o s x /X 0

BỒ

Lời giải.

,ín+\ y (x )-y (0 ) (x + l ) e ' x - l . y (0 )= lim ± ì - L - ỉ ± - L = -ịim*— — ------- = lim v

'

x->0+

X

x_>0+

X

x->0+

e x-

e_x - 1 -X

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

y (x )-y (0 ) -x 2 - a x + l - l — — = l i m -----------—------- -

'

x-»0_

X

x->0~

/ X ' lim ( - x - a ) = - a

X

x-»0“

NH ƠN

,r~-\

y (0 ) = lim

Hàm số có ñạo hàm tại x = 0 « y ' Ị o +Ị = y'Ị(r)a = 0 .

v

..

>/1+aAx- ự c õ s Ãx _ a

,■

= l i m ------------— --------— = - và

J x-»0~

Ax

y (0 -]= ' ’ x“ó+

3

TP

,(n- \

ĐẠ O

,, ,

M ăt k h ác : V (0

.Q UY

2. Hàm sô' có ñạo hàm tại X = 0 khi nó liên tục tại X = 0 . Khíñỏ lim y ( x )= lim y ( x ) = y ( 0 ) o b = l x->0_ x-»0+

Ax

HƯ NG

Hàm số có ñạo hàm tại x = 0y'Ịo_ j = y 'Ịo+j o a = 6

ẦN

Vậy a = 6,b = l thoả yêu cầu bài toán. C H Ủ ð Ể 3 __ _______ _________

- _________

TR

o

B

ỨNG DỤNG - CHỨNG MINH ðANG THỨC - BẤT

00

ðANG

+3

10

□ Các ví dụ minh hoạ :

.

t h ứ c

P2

Ví dụ 1.3.2 Chứng minh rằng hàm số :

A

CẤ

'l.y = ln—-— thỏa mãn phương trình: y ' ( l - x ) 2.ey = 1 , V x e ( 0 ; l ) . 1 *“ X



2.y = x[3 co s(ln x ) + 4 sin (ln x )] thỏa mãn: x2y " -x y '+ 2 y = 0

Í-

Lời giải.

-L

I

TO ÁN

1. V x e (0 ; l),ta c ó

^

}

=

_JL 1 —X

= — -—?•—■-—=

(1 -x )2

X

x (l-x )

:•

BỒ

ID

ƯỠ

NG

./1\2 V 1 - x lnirr 1 - x X . Suy ra y (1 —X) ey = ------ e 1-x .= -------- .--------= 1. . v ' X X 1 —X

r 3 4 2 , Ta có: y' = 3cos(lnx) + 4sin(Inx)+x - - s in ( ln x ) + —cos(lnx) j

X

X

7 y' 7cos(lnx) sin(lnx) =>y"=—-sin(lnx) X =

+

+

1 cos(lnx) X



2f3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Doñó: x2y" -xy'+ 2y = x2 sin (ln x )+ ỉc o s{ln x ) L X X ' . -x [7 c ò s (ln x ) + sin (ln x )] + 2x[3cos(Inx) + 4 sin (ln x )] = -7 x sin (ln x )+ x c o s (]n x )-7 x c o s (ln x )-x s in (I n x ) +

.Q UY

+ 6xco s(ln x )+ 8 x sin (Ịn x) = 0.

(x >0,x

* l) . Giải bất phương trình: y ‘/x2 + l j . Giải phương trình: 2 x y '-l = 0 .

ẦN

Lời giải.

TR

1. X>0,X *1

=>y ' = ln2.r——V——1 ^ In X )

00

lnx

B

Ta'có: ý = xlògx2 = x .- ^ - '= lnx

^ Ị < 0 l n x - 1 < 0 o l n x < 1 « • 0 < x < e V In X ) Vậy bât phương trình cò nghiệm : 0 < x ^ e v à x & l .

+3

10

y '< ọ = > ln2.

P2

.

HƯ NG

2. y = é"*2+x. Giải phương trình: y ”+ y '+ 2 y = 0.

CẤ

2. y ' = (~ 2 x + i)e" x2+x, y ” = [ a x * - 4 x - l)e" xỉ+x



A

y ”+ y '+ 2y = 0 » (4x2 - 6 x + 2)e~*2+x = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 » X=—,x = 1 (x + Vx2 + l j ’

1

Khi ñó: 2 x . y 1 = 0 o

>/x2 + l

-L

x+V x2+ l

Í-

3 .y ' =

TO ÁN

f X>U x>0 1 2x = ỵjl + xz • 7 : 7 ^ X= 7=r . 4x = l + x V3

ƯỠ

NG

Ví dụ 3.3,2 Xét tính ñơn ñiệu của hàm s ố : y = ln ( - x 4 - 3x2 + 4 j Lời giải.

ID

Hàm số ñã cho xác ñịnh khi và chi k h i : -X4 - 3x2 + 4 > 0 « - 1 < x < 1 .

BỒ

^ -4 x 3 - 6 x _ 2 x (2 x 2 +3) Ta có : y = — —-— r— - = -y- —5— -X - 3 x + 4 X +3x - 4

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Trên khoảng ( - l ; l ) : y ' = 0x = 0

NH ƠN

Lập bảng biến thiên, ta thấy: hàm số ñổng biên trến khoảng! (—1;0) và nghịch biên trên khoảng ( 0 ; l ) .

.Q UY

Ví dụ 4.3.2 Chứng minh rằng:

ĐẠ O

2. Với mọi số thực X ta luôn có: ln Ị l + V l + e2x Ị< e~x + X .

TP

1. Phương trình In(x + l ) —In(x + 2)n— - — —0 không có nghiệm thực.

HƯ NG

Lời giải.

1. Xét hàm sô': f(x ) = ln(x + l ) - l n ( x + 2) + ———, xác ñịnh và liên tục trên khoảng

rr-

' cư

1

\

1

ẦN

(-l;+oo). 1

1

TR

Ta có f (x) = — ------- ----- ---- — T= 7 X+ 1 x + 2 (x + 2)(x + l)( x + 2)

1

n \_ ,

.

W------- r-------- —T5->0,Vx>-l (x + 2)2

B

=> f(x ) liên tục và ñổng biên trên khoảng (—l;+oo) yà lim f (x) ——00,

10

00

x - + -i+ : ■

lim y (x )= lím (ln(x + l) - ln ( x + 2))= lim ln ^ - ii = ln— - l .

x->+eo

+3

X->+°0

CẤ

Vậy phương trình cho không có nghiệm thực

A

2. ðặt t = ex bài toán trở thành " Chứng minh rằng Vt > 0 luôn có

Í-



l n Ị l + V l + t 2 j < ì + lnt".

-L

Xét hàm số f(t) = ln Ịl + Vl + t2 j - —- ln t với Vt >0 , rtf \

2t

TO ÁN

_

s

1

Vl + t2 - t

u

y



x (t)

NG

T acó f

1

BỒ

ID

ƯỠ

ñổng biên trên khoảng (0;+oo) I-

l + Vl + t2

. ..

. l + Vl + t2

Mặtkhác l i m — —---------= 1=> lim ln----- — —

t-»+co

Suy ra lim ln

t

1 + V ĩ+ t

t

n

J

=0

lim —=0 ñiều này chứng tỏ hàm số y = f(t)

nhận Ox làm một tiệm cận ngang Đóng góp PDF bởi28 GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ta thây y = f(t) ñổng biêh trên (0;+oo) và hàm sô'có tiệm cận ngang là ý = 0 Vt>0



Ví dụ 5.3.2 Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn

X+y

NH ƠN

khi t ->+00 nên f ( t ) < 0

+ z = 3. Tìm giá trị

I

.Q UY

nhỏ nhất của: p = ---- y --------- r---- + —■ y ■——+ ----------7----- r—4 + 21n(l + x ) - y 4 + 21n(l + y ) - z 4 + 21n(l + z ) - x t ờ i giải.

TP

Giả thiết 0 < x,y,z ẩ 3

ĐẠ O

Suy ra 4 + 21n(l + x ) - y > 0, 4 + 21n(l + y ) - z > 0 và 4 + 21n(l + z ) - x > '0 .

HƯ NG

Theo bất ñẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có: 4 + 21n(l + x ) - y + 4 + 21n(l + y ) - z - 4 + 2 1 n ( l + z ) - x ' bieu

TR

ẦN

d ạ n 8 : P ì12 + f ( x H < y ) + f Ị »

thưc CO

B

Xéthàm Số f( t ) = 21n(l + t ) - t , t e[0;3], CÓ f'(t) = Ị

10

00

Lập bảng biến thiên hàm f ( t ) , với t e [0; 3] suy ra 0 < f ( t ) < 2 1 n 2 - l .

P2

+3

Do ñó P ì 1 2 + f ( x ) +9f (y ) * f (z) a 3 + 21n 2 ■

CẤ

VS>'m in P = 3 Ĩ 2 Ĩ S 2 - khi X=J,“ 2 = 1 -



A

Các hoạt ñộng cơ bản :

Í-

□ Hoạt ñộng 1: Tìm tập xác ñịnh các hàm số sau: 2. y = ^lnỊx + Vx2- 4 j

-L

=

\l3x-2

TO ÁN

_____

,

NG

3 .y = ( > / 7 T Ĩ - 2 V " H V /

4. y -

f

Ạ.

» -Ị -Ỵ

VX +6x + 8y

6.y = V 4 -x 2 +log2^ ỉ X4* i

I

ID

ƯỠ

5. y = log2(4x - l ) - l o g i ( 4 - 4 x) *5 . 1

'

BỒ

7. y = Vx2 - 4 x + 3 - l o g x( x - - 4 ) 8. y = l n ị ' J x * + ĩ - x j Ặ o g 2^ ~ 9. y = (x2 + 2f 0gxH v '

Jx +2x 3))

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

10. y = >/5x-2x2 - 2 + ln—2^— X -1 29

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

11. y = a/x2 - 4 x +3 log2( 2 5 - 4x2j

NH ƠN

12. y = log2x+i (3x + 1 ) - 21og3x+1 (2x + 1 ) ; 13 . y = l o g ^ ( l - V l ^ 4 7 )

^3

^ -m ~ x~ +Tl x2

3

v2

x2 - x + l

2. y ~ l o g z (2x2 +3x + 2 m - l )

TP

2a

3. y = log3

ln ( l + x3ì A = li m - 7 4 = — X-*0'Vv Ẵx ++1l — - 11

e 3*

G = Iim - -

f e 3lỉ_ e 2x

^V x+4-2 4

ĩỊ x

-2 7 + 3

“ sin3x

c = l im ------ 7— --------- -Y -

10

x~*° ln(x - X + 1]

+3

g2x+l _ g 3 x + l

P2

D = lim

e^ ĩ ĩ _ j ỉ ĩ = ĩ í

E = Iim



n

A

x->0

CẤ

x->0

, :„ e 2x2- x - í ^ m

F = lim

—~ị—ị=

= = — r

Í-

x^° ln|v3x + 4 - l j

-L

-

X

ex - 1

H = lim

TR

x-*0

e 4- 3* . - ^

_ ebx

*“ Ò V x + ĩ - l

B

B = lim

ẦN

x-*0

00

1

x2 +3

HƯ NG

□ Hoạt ñộng 3: Tìm các giới hạn sau:

xz + 2 m x + m + 2

ĐẠ O

mx +l , I'^x2A 1. ỵ = ln -~2 X —X+ 1

.Q UY

□ Hoạt ñộng 2: Tim m ñể hàm số sau xác ñịnh ýới Vx e K

I = lirrif —



x-*°\sin X

1 ì l n í l + ta n 2 x ì

)

'

'

J = i i m ^ X£ - ~-1 ,(a>Q ) x->0

X

ax - x a K = lim ----- — x-»a x - a

_2

/

^ \C 0t X

L = lim (l+ X ) X-VÕV

/

TO ÁN

2X+1

M = lim

V - X + l V 3*

x-»0

^X2 +X + l J

NG

□ Hoạt ñộng 4:

a- y H

BỒ

ID

ƯỠ

1. Tính ñạo hàm của hàm số tại X= 0 1 với X= 0 1 -co sx

với X* 0

ln(cosx) b. y =

với x * 0 với x = 0

301 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

X2

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X2

a. y = V2x3 + l

ì;

b. y = \/ĩn x

ị. y = ln(3x2 - 2 x + l Ị + 2 x

c. y = 1\/sin3x sysmáx

k. y = >/e2x+1- e x + 3

Ị. y = log2^2x2+ 3j+log37 x + 1

ẦN

?

e. y = log3(3x2 + 2x + lj

X

TR

m. y = ^/ln(x+ 1 ) + logx ( x + 3 )

, _ oì (X - 2 x + 3 f. = 21nJ-^— f-yy =21n\ Ễ ^—— ặ— V X +2x+3

00

B

o .y = 3 — ~ * Vx-1

p. y = (x + l ) x+z

10

x +33x- 1

+3

g .y = e ^

ĐẠ O

HƯ NG

_ 2X- 1 i y

y = ^ n l . i o g Í - - x- -ì X {x - 4 j

TP

3. Túứi ñạo ham các hàm số sau:

.Q UY

fex khi x > 0 2. Tim a ñê ham so y = < c ó ñ ạ o h à m tạ i,x = 0 . (X + ax +1 khỉ x < 0

NH ƠN

— In x -— nếux>0 c. y = 2 4 0 nếu x - 0

CẤ

□ Hoạt ñộng 5: Chứng minh rằng:

P2

h. y -^ I n (2 x 3) - l

A

1. Nếu y = esi"x thì y'cosx - y .s in x -y " = 0.



2.Nêu y = ln(cosx) thì y 'ta n x -y " - l = 0.

Í-

3. Nếu y = xex thì y 2 y ’+ y = 0.

-L

4.N êu y = exsin x thì y " -2 y '+ 2 y = 0 . Nêu y = xl nx thì x2y " -x y '+ y = 0 .

TO ÁN

5.

6. Nêu y = e x cosx thì

+ 4y = 0

NG

7. Nếu y = e 2xsin5x thì y " - 4 y ’+ 2 9 y =0 y +y y y

" > 0, Vx e R .

ƯỠ

8. Nếu y = X.e“x thì x y ( l - x )y = 0;

BỒ

ID

9 .Nêu y = — 1------ thì x y ’ = y ( y l n x - l ) 1+x+lnx 3 u } 10.

Nêu y = — + —x\!xz + l + ìn'Jx + yjx2 + 1 thì 2y = x y '+ Iny ’

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

11. Nêu y = (x 2 + l ) ( e x + 2 0 1 2 ) thì y ' = 4 ^ - + ex (x 2 + 1 )

NH ƠN

12.. Nếu Nếu y = yl =* “77^~-7 ' = 2x2y 12 r ~ ~thì T 2x2y thì 2x y' =2 + 1 x(l-ln x)

3

□ Hoạt ñộng 6:

số y = ln£ex ị x 2 + 1 ) j .

.Q UY

1 . Cho hàm

TP

a.. Giải phương trình yy'+ '+ Ịx íx 2 + llỊy " = 0.

ĐẠ O

b. Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhât của y '.

2. Cho hàm số y = In2 X. Giải bâ't phương trình y + x y x 2y " < 3:

HƯ NG

3. Gho hàm số y = e~x (x + 1)2 . Tìm các giá trị của X sao cho:

ẦN

2y+y,+y"+y' - 1 = 0 ’ 4. Q io hàm số y = ln(x + 1 ). Túih ñạp hàm câp; n cua hăm số.

B

TR

5. Cho f(x) = — + —xylX2 +1 + —lnỊx + Vx2 + 1 j . ðặt g (x }= ln |f(x )|

10

00

Chứng minh rằng: g (x) = - ----xf(x) \ X ñổng biến trên khoảng (0;+co).

123 +3a —2a—2ị

CẤ

P2

+3

□ Hoạt ñộng 7: 1. Xác ñịnh a ñể hàm số y = log/ 3 2

2 . Xét tính ñơn ñiệu của các hàm số sau:

b. y = 5x ỊVx2 + l - x j



A

a. y = 2 x - - l n ( l + x2)

d. y - e3*2-2*-1

-L

Í-

c. y = x + l n ( l - 2 x )

TO ÁN

□ Hoạt ñộng 8: _ , ì lnx 1 1. Cho 0 < X 1. Chứng minh răng: ———< —f=

x -1

VX

BỒ

ID

ƯỠ

NG

' ■ V ' ■ X2 ' 2. Chứng minh rang: 1 —X < e x < 1 - X+ — luôn ñúng Vx e [O; 1 ]. Từ ñó suy r, -X 2

4

rằng: - x < ------< l - x + —7 --— - luôn ñúng V x e Ĩ 0 ; l l . 6

X + 1

2(1 + x)



X—V

3. Cho 2 sô thực x ,y thỏa mãn X > y . Chứng m inh:---- —>

ex —ey ex + e y

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt ñộng 9: 15 5X- 1

4 V5X+ 5 “x + 2 ,

+ 6 . Tìm giá trị lớn nhâ'tỊ và nhỏ

5X+ 1

NH ƠN

9 5X+ 5~x - 2

1 . Cho hàm sô': y = —

nhâ't của hàm số trên ñoạn [ - l ; l j . + Ị 2 - V 3 Ị —8 Ị 2 + V3 j + ^2 —-s/3 ^

nhỏ nhất của hàm số.

.Tìmgiátrị

.Q UY

2. Chohàmsô': y = ^2 + \/3 j

2

^ 7 -2 x 2j + log

2 (2x2-. 1

) Tìm các giá trị của X

ĐẠ O

3.Chohàmsõ': y.= Ịog

TP



ñểhàm số ñã cho ñạỉ giá trị nhỏ nhâ't.

HƯ NG

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ðỘNG.

.*

______________-_______ •____ ___ ______ _______ ;_______ m_________■___________1

X—1 X> i



c=> 1< X < 2=> D = (l;2]

TR

ln— >0 X—1 . x - 1 >0

ẦN

Hoạt ñộng 1:

00

B

x>2 .2

--

x>2 '2

|x 2 - 4 > ( l - x )

CẤ

7 x2+1 - 2 > 0

3x-2>0

Jx 0 X+ Vx2- 4 > Ị o

« - x > > / 3 = > D = £-\/3;+co).

f-2 x 2 + 5 x - 2 > 0

TO ÁN

X2 - 1 > 0

ị x2- 4 x + 3 > 0 o NG

11.

BỒ

ID

ƯỠ

2 5 - 4 x 2 >0

12.

Í0 D = (l;2l. X < —1 v J X>1

x>3 X- 1

o --< x < l= > D =

5 5 ——< X < — 2 2

2

■ f:1

[x> -i 1 "l 3 =>D = -±;+00 . 3 ) x*0

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2 X> - — 3

Í 0< 3 x + 2 * 1 13/---- —T «1 1 [ l - v l - 4 x >0 x * ~ ; X 5*0 3

NH ƠN

D=

2 ...

1. Hàm sô' xảc ñịnh với Vx e M r

3

,,:!C - 1 i í

- X2 - X+ 1

[X2 - (3m - 2)x +1 > 0

(!)

VxeM. (2)

2

TP

X —X+ 1

ĐẠ O

X -m x + 1

.Q UY

Hoạt ñộng 2:

ÍA, = 9m2-1 2 m < 0

VxeR j 1 ' [x + ( 2 m - 3 ) x + l > 0 [a 2 = 4 m 2 - 1 2 m + 5 < 0

HƯ NG

,

4 " . . 3 1 4 1 4 —< m < —. Vậy -r < m < —là những 2 Ìả trị cần tìm _■ 5 2 3 ■2 3 66

i2



2

-

-

10

00

Hoạt ñộng 3 :

TR

1

B

<

ẦN

0

CẤ

P2

*->°V x + l - l

A

H = lim -— -lim (V x + l + l ) = 1.2 = 2. Vì lim - — - = 1 X— >0 X x->0V / x-»0 X

Í-



I = limí —\ --- 1 )ln ( l + tan? x ì = lim cot2 XIn f 1 + tan2 x ì x-^vsin X / ' x->0 '

ln (l + u(x)) -ị =1. x-»x0 u(x)

-L

ln (l + tan2x)

'

I = l im— -— — ----- £ = 1 . V Ì lim - -i-

tan X

TO ÁN

x-*°

BỒ

ID

ƯỠ

NG

* (1 + x)“ - 1 = ealn(1^ - 1 - ( 1 + x )a ~ 1 _„ealn(Ux)- l a l n ( l + x) X a l n ( l + x) ’ X ealn(l+x ) _ 1 a l n (1 + x )

J= ]im x->0 a l n ( l + x)

= a.

X

* ạ x - x a = a a(ax' a - l ) - a 3

x _ a I 1+- — I -1 ..

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

a x- x a -= aa a - - a„ a - l x -a x -a

x-a \a x -a \a

l +í z i K = aa lim -------- - - a a_1 lim

-1 - = a3 l n a - a a 1a = a a In-

TP

X—a

x-»a

a

:

3 a

(2x3+ i ) ’

6x2

5.^(2 x 3 + i )4

5.^(2 x 3 + i )4 '

ẦN

HƯ NG

ĐẠ O

Hoai ñộng 4

;

B

TR

~3xẩÕ ™ f 3cos 3x

10

(3x2 + 2x + l)ln3



^3xz + 2x + ljln 3

6x + 2

CẤ

^

A

(3x2 + 2x + l)'

+3

5

1 _ ln2 xln5 - x l n 5 ( l n 2 - l n 5 )

P2

1 1 ^y' =XỊn;2 v5y

00

lO.v^siĩv^Ix d .y = |j

.Q UY

/

Ji->a x - a

-1

NH ƠN

1+

TO ÁN

2x -2

-L

Í-

f. y = ln -^2 — — —ì = ln(x2 -2 x + 3 ) - ln Ị x 2 +2x+3^ X "I"2x "t"3 J ^ ~ x2- 2 x + 3

ƯỠ

ID

.

4 x 2 -1 2

X2 +2x + 3 ~ X4 +2x2 +9

Ịựx2 + l - x j + 33x' 1( 3 x - l ) ' l n 3

NG

g. y' =

2x + 2

2x

i ì + 3 3x l n 3 _

3^/(x2 + l )

BỒ

Hoạt ñộng 5 :

1. Ta có y' = cosx.esinx =>y" = -sin x .esinx +cos2x e sinx => y " = - s in x.y + cosx.y' =í>y 'COSX- y.sin X- y " = 0 (ñpcm).

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hoạt ñộng 7 :

« (a - l)( 2 a 2 + 5a + 3 ) > 0

2a3 + 3a2 - 2a - 2 > 1

(a - l) ( a + l)(2 a + 3 ) > 0

x=2 1• X= —

HƯ NG

, „ 5x 2x - 5 x + 2 , r, 2a. y = 2 - - j —- = ..- 2 ; - ^ y ' = 0 o X +1 X +1

ĐẠ O

TP

o - T < a < - 1 hoặc a > 1, 2

.Q UY

1. Hàm sô' ñồng biên trên khoảng (0;+oo)

NH ƠN

2. Ta có: y' = —t anx=>y" = —1 —tan X = - l + y'.tanx = > y '.t a n x - y " - l = 0.

Lập bảng biên thiên, ta có ñược :

V

TR

\

ẦN

và (2;+ 00 )

Hàm ñổng biện trên mỗi khoảng

10

= - 1 =5XỤ x 2 +1 - x j ln5V’vX^ +1 7 77+1

P2

+3

2b. y' = 5x]n5ỊVx2 + l - x j + 5

00

B

Hàm nghịch biên trên khoảng

Ta có:

ln5 > 1 >

CẤ

>/x2 + l - x > V x ^ - x > 0

1

■ln5-

_ => y ' > 0 Vx e M



A

X +1

1

==>0 x^ + 1

-L

Hoạt ñộng 8 :

Í-

Vậy hàm sô' ñổng biên trên M .

TO ÁN

1. X > 1, bất phương trình cho tương ñương lnx <

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Xét hàmsô' f(x) = Inx -----pí: v ợ i x > l . ■■Vx

+ 2 V Ĩ - 2V Ĩ n , Ta có : f (xj = -------------- — - < — -— j = — = 0 (do cô si) khi X > 1. 2XVX 2XVX f(x) nghịch biến trên khoảng (l;+oo), suy ra f ( x ) < f ( l ) = 0 khi X> 1 , bất

ñẳng thức ñã cho ñúng. X—1 0 < X < 1, bâ't phương trình cho tương ñương In X > —J = - . VX

Đóng góp PDF bởi 3fì GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Xét hàm số f( x) = I n x - " V

với 0 < X< 1. Tưang tự trên, hàm số f Ị(x) nghịch X

NH ƠN

biên trên khoảng (0 ;l), suy ra f (x) > f ( l ) = 0 , bất ñằng thức ñã cho ñúng. Hoạt ñộng 9 :

.Q UY

1. m iny = y ( - l ) = 2, maxy = y ( l ) = 12

TP

2. miny = y ( ± l) = -1 8

Bài tập 1: Chứng minh rằng:

|> . —■ với X>0 và y > Ọ. X / . 2x+y ~

TR

2. ỉnf I

ẦN

1 . a^ . d * > a Ì . c ‘ .b - v ớ iỊ “ ^ S C íd ( bc ln a -ln b với 0 < a < b < l . b f . 4 . | 2 a + ^ | < 2b +-4r I với a > b > 0 . 2b Bài tập 2: Chứng minh rằng:

A

1. ex > l + x, V x e M



Y2

X2 2x3 4. ln ( l + x ) < x ~ — + ——,V x>0

Í-

2. ex > l + x + — , V x > 0 .

3. l n ( l + x ) > x - - x 2 V x > 0

TO ÁN

-L

Bài tập 3: 1. Cho 0 < k < 1 và a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng : + c kA f a k + b k K r bư'k +c" K ( r„k+ ,a „k " ' 1K _ , “— + — ;— + — :— - 0 thỏa a + b = 1 và 1 < k < 2. chứng irunh rằng:

ID

akbk(ak + b k) < 2 3(1 k).

BỒ

3. Chứng minh rằn g: lnỊl + Vl + x2 j < —+ lnx, x > 0

4. Chứngmữứirằng : - x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

< ln (l + x ) < X, V x > 0

37

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

5. Cho x,a,b > 0,a

\x+b

b . Chứng minh rằng: Ị ——g I

/

\b

> I -g

NH ƠN

t

6. Chứng minh rằng: ị2 x + 3XỊ < ị2 y + 3y ) , X > y > 0 .

.Q UY

D. HƯỚNG DẪN GIẢI.

TP

Bài tập 1:

ĐẠ O

L ab.bc.cd.da > a d.dc.cb.ba « l n ( a b.bc.cd.da)> ln (a ñ.dc.cb.ba) blna + clnb + d In c+a l n d > d In a + c In d + b In e + a In b (l)

HƯ NG

o(d-b)(ln c-ln a)> (c-a)(lnd -lnb)

a ': - l b d ỉ I va ) ) > ~ rí \ lnx . A /, N , ri/ 'v x - l - x l n x Xét hàm số: f( x ) = ———trên (ỉ;+oo) tacó:f (x) = --------- 2 . x -l x(x-l)

+3

10

00

B

rt~ b

TR

ẦN

Nêu c = a hoặc b = d Thì bất ñẳng thức luôn ñúng Xét X é tcc*^aa vvàà bb^* d . c . d ìnc-ìna ^ ]nd-]nb na nb

nghịch biến trên

CẤ

P2

ðặt:g(x) = x - l - x l n x = > g ' ( x ) = - l n x < 0 , V x > l = > g ( x ) ( l ; + o o ) ^ g ( x ) < g ( l ) = 0.



A

f'( x)f(x) nghịch biêh trên (l;+°o) . c . d InIn— _a_> _ u

-L

Í-

í c =*f f c> > f f d> vi 1 < { a ,t>,

TO ÁN

£ -1 a

, c

L -1 b

, d d \ ñpcm. bi ị - 1

t-1 Bài toán trở thành chứng minh: In t > 2 -—— với mọi t > 1.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2 .ðặt: t = tx = x + y y = x ( t - l ) - ' ■ X V. X . ■ ■ 2y 2x(t-l) t-1 Do ñó: —- — = ------- — ^-r = 2 — - . 2x + y 2x + x ( t - l ) t +1

Xét hàm sô': f (t ) = l n t ---- -------t > l

w

t+1

38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

f ( t ) = —- — i - T = - Í L _ l l _ ằ o v t > i t (t+ 1 ) t (t + 1 ) ■

NH ƠN

I

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=> f (t) > f ( l ) = 0 Vt > 1 hay In t > 2-—- với Vt > 1 ñpcm. -4

_ ,,

»

, ,

. ,

lnb 1+b

lna 1+a

.Q UY

3. Bat dang thức can chứng minh —— r- > ———

Do 0 < t < l = > l n t < 0 = > f ' ( t ) > 0 V t e ( 0 ; l )

HƯ NG

Tn.-': f-rti 7 ( 1 + t2) _ 2 tln t l + t2- 2 t 2lnt Tac0: f (t)= r n\2 t \2 ( l + t 2) t ( l + t 2)

ĐẠ O

TP

Xét hậm sô' f (t) t ) = J— s— ĩ2 -~, o0 b > a > 0 thì ta có

TR

ct \ ỉnb lna . ' — > — — — (ñpcm). w w 1+ b 1+ a 4..Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với

B

f(b) > f ( a )

~ ( 4* + 1 ) ' s (4'’ + 1 )‘

P2

+3

10

00

*+ểjK ẳ'+Ặ ) A

CẤ

/ \ t u \ lnÍ4a + l ) lnÍ4b + l ) blnỊ4a + l j < a l n ^ 4 +lj ———■ —- < — —------L ( ì )



l n / V + l)

Í-

Xét hàm số: f ( t ) = ------------te(0;+oo)

-L

4 l ln 4 f - ( V + l ) l n ( 4 t + l ) Ta có : f ( t ) = ----------------------- r----------- < 0 , V t > 0 n ê n hàm số nglìich biến

t^ + l)

TO ÁN

w

-

6

1

NG

trên (0;+co)

BỒ

ID

ƯỠ

lnÍ4a + l ) lnÍ4b + l ) V ậy: a> b>0 := >f(a)< f(b)< = >——------— -=3>(l)ñúng. ã b Bài tập 2: l.Xét hàm sô'y(x) = ex- X- 1 . Ta có: f'(x) = ex - 1 => f'(x) = 0 X= 0. Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x) > f(o) = 0 Vx 6 K .

) 39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X2 2. Xét hàm số f(x ) = ex - 1 - X - — v ớ i x > 0 , t a c ó :

NH ƠN

X> 0 Vx e M (theo kết quả câu 1) =>f (x ) > f (o) = 0 Vx > 0 ñpcm.

-

.Q UY

3. Xét hàm số f( x ) = ln ( l + x ) - x + - x 2 với x > 0

1 X2 Có f'(x) = — -------1 + X = —— — > 0 V x > 0 = > f ( x ) > f ( 0 ) = 0 Vx >0 = > ñpcm.

TP

Bài tập 3 :

HƯ NG

Xét hàm số y(x) = x“ - a x + a - 1 Ta cỏ f(x) là hàm liên tục trên D = (0;+oo) và

ĐẠ O

1. Trước hết, tạ chựng minh: x“ > a x —a +1 với Vx > 0. Thật vậy:

f ,(x) = a.x ot' 1 - a = a Ị x “_1- l j , V x > 0 = > f ( x ) = 0 o x = l .

ẦN

Vì f ( x ) ñổi dâu từ - sang + khi X qua X = 1 nên f ( x ) > f ( l ) = 0 Vx > 0

a+b

,

V

(*)

+3

10

00

Tiếp theo, ta chứng m inh:

B

ỉ v + b k

TR

Hay xa > (XX- a + 1, Vx > 0. ðẳng thức xảy ra o X = 1.

1

A

I

CẤ

P2

ak+bk> a b .k k 2ak 2bk E}ặt m = ---- ----,x = — , y = — =>xK+ y = , 7-4- , ■ =2 2 ) m m a +b a +b (*) trở thành: x + y > 2 .

Í-



Ta có: x = Ịxk) k > 1 + —(xk - l ) ( l )

-L

y = ( y k) è a l + ỉ ( y k - l )

(2)

TO ÁN

Cọng ( l ) và (2) theo v ế ta ñước X+ y > 2 suy ra (*) ñược chứng minh

NG

Áp dụng (*) ta ñược :

í a------k +bk> — { 2 )

+

fb k + ck> ------------{ 2 )

f c k +ak> { 2 J

-ị- -------------

a + bb 2

b+c 2

< -----------1— _

c+ a , — =a + b+c.

ID

ƯỠ

I

BỒ

2. Ta có: akbk(ak + b k) = ak( l - a ) k[a k + ( l - a ) k] = f(a) X éthàm số: f(a) = ak( l - a ) kị~ak + ( l - a ) kJ, a e ( 0 ; l ) ỉ

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

+ak ( l - a ) k [ka k_1 - k ( l - a ) k-1]

.Q UY

ñược ñpcm. =$ ff'(a) '(a) = 0 < » aa = —. Lập bảng biến thiên ta ñược

NH ƠN

f'(a) = kak 1 ( l - a ) k[ a k + ( l - a ) k] - k a k( l - a ) k 1 [ a k + ( l - a ) k]

TP

3. Xét hàm số: f(x) = lnỊl + \ / l + x2 j - —- ln x , x > 0

TR

ẦN

HƯ NG

ĐẠ O

; (V x 2 + l ) t -, 7 2" TooXt ó f'/vY-Ầ___ # Ị ^ ■ Ĩ/ .4 Ị _= ^ VX ĩ 4-Ịị (, ị . Ị . ; . Vx2 + 1 + 1 X2 X Vx2+1 + 1 X2 X 1 1 X > 0 =í> f ( x )làh àm tăng trên ( 0 ;+õo) f'(x) = x + - y - —— 7= x x Vx2 + 1 . ' r : [ 2 --\ Mặt khác: lim ln— —x t —_ A = 0 = > f ( x ) < 0 , V x > 0 . x-»+co X X V ... . ./ . ■■■• ■ . 4. Xét hai hậm SỐ f ( x ) = l n ( Ị + x ) - x và g( x) = l n ( l + x ) ~ -X

B

/

\x + b

í x+ạ )

, r/ \

/

với x > 0

\

T_\„JX + a )

f '( x ) _ f x + a^ b - a = ln — — + -----f(x ) vx + by x + a

—~

P2

u + b, I x + a (b -a )2

> g '« = -

A

vx + by

"x+a^

CẤ

/ _ \ »_ ' x + a ] b-a x+a



ðặt g( x ) = ln

■f(x) = ]n

•I (ữ I _a ị

+3

10

~ ci \

00

V- , ì_

X4" 1

f(x).

- g (x ) > 0, Vx > 0 => f '(x) > 0.

y

U íỉT 1 < 2xy Fi^riYl

ƯỠ

NG

6. Ta có: (2X+3 XỴ < (2y +3y Ỵ 2xy

ID BỒ



1+lf

1+11

ln (l + a x) < —ln í l + ay) X

v

y

/

1+lf

12 ;

W

1+1 f

( 1 ). T rorigñóa = —. w

2

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy f (t ) nghịch biến trên (0;+oo)mà

X > y

0

NH ƠN

a ^ n a ^ Ị l + a ^ l n Ị l + a*}

> 0 = > f ( x ) < f ( y ) vậy ( l ) ñúng

.Q UY

nên bất ñẳng thức ñược chứng minh.

PHƯƠNG TRÌNH - BÍT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

TP

§3.

ĐẠ O

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:

HƯ NG

- Nắm ñược phựơng pháp giải phương trình, bâVphưọrig trình mũ.

2. Kĩ năng:

ẦN

- Vận dụng thành thạo các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

afM = b = alogab o f ( x ) = loga b .

00

B

2.

TR

1 .a f(x)= a gWo f ( x ) = g ( x ) .

(1)

+3

4. afW > a gW

10

3.af^ = b g^ • » f (x) = g( x)l ogab.

P2

• Nêu a > l t h ì (l )f (x)>g( x)

Í-



A

CẤ

• Nếu 0 < a < l thì ( l )f (x )0,VxeIR

* b > 0 : phương trình ñã cho có nghiệm X= loga b ( 0 < a *1 , b > 0 )

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Phương pháp 1: biên ñô’i, quy về cùng cơ số. 2. Phương pháp 2: ñặt ẩn phụ. 3. Phương pháp 3: logarit hóa. 4. Phương pháp 4: biến ñổi phương trình về dạng tích f ( x) . g ( x) . 5. Phương pháp 5: phương pháp ñổ thị. 6. Phương pháp 6: sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.

42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

'

__________ ______________________

BIỂN ðỔI, QUY VỂ CÙNG c ơ s ố .

TP

□ Phương pháp: Ta sử dụng phép biến ñổi tương ñương sạu:

ĐẠ O

|0 < a * r

afM = ag^ a = 1 hoặc

.Q UY

CHỦ ð Ể 1

o

NH ƠN

7. Phương pháp 7: phương pháp lượng giác hóa. 8. Phương pháp 8: tìm tham số thực m thỏa mãn ñiều kiện I. 9. Phương pháp 9: bất phương trình mũ.

[f(x) = g(x)

HƯ NG

Logarít hóa và ñưa về cùng C ơ s ố .

ẦN

rtxì Í0< a*l,b > p Dattợ 1: Phương trình: a w = b o ■, ; Ịf ( x ) = logab

TR

Dạng 2: Phương trình: •

B

áfM = bg^ loga af^ = loga b8^ o f (x) = g(x).logj b

10

00

hoặc logbaf(x) = logbbg(x) x=2 t =X2 —X= —1 2* x = 2_1 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm X = —1, X= 2. Chú ý: ð ể ý bài toần cho không có tham sô' nên ta sử dụng ñiều kiện cho ẩn phụ

TP

chỉ là t > 0 v à ta thâỵ t = —vô righiệm. Nêu bài toán có chứa tham số thì ñiều

2. Phưong trình cho viết lai:

ĐẠ O

1 1 2 Ị : 1 - i > - - « 2 x ‘x > 24 o t > -4 =. $2 . 8 1 18 = (*)

ẦN

ðặt: u = 2X 1 + 1, V = 21 x + 1 ( u , v > l )

HƯ NG

-

kiện ñúng của t: X - x =

B

TR

Phương trình (*) trở thành:

„ í u + 8v = 18 o _ 9 u V u + v| u = v = 2 hoặc u = 9;v =— u + V= uv 8 u + V = ụv

TX-1 + 1 = 2

A

CẤ

P2

Với u = V = 2, ta ñược

+3

10

00

- +- = —

21-x + 1 = 2 2X_1 + 1 = 9



Với u = 9;V = 4 , ta ñược 8 2

Í-

X= 1

9 9 o

+1 = — 8

x=4

TO ÁN

-L

Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 1, X = 4 fx>0 x>[ x 2 - 3 > 0 [ỊxỊ> V ã

BỒ

ID

ƯỠ

NG

3. ðiểu kiện ñể phương trình có .nghĩa:

fx>0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Vx =3

/ 2-3, gvx - 3 ^ - 6 =0

x=9





X= 9

Jx2-3



Vx2 - 3 = 1

\2

3

~3 - 6

=

0

NH ƠN

Vx-3 =0

x=9 JC= ±2

.Q UY



WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Từ (*), (* *) suy ra nghiệm phưong trình là X = 9,x = 2.

TP

Lờii bình:

= ’(yị3 + ỵl2 )*

+

/ I—

r—\ x

00

B

(V3 + ^ ) X( ^ - V ^ ) X

TR

(5 + 2Vó)X= (Vs + V2)2j = |j>/3 + V2)Xj

ẦN

4. Nhận xét (9 + >/3 + U y / ĩ Ỵ = (>/3 + V2)3

HƯ NG

ĐẠ O

Nêu chứng ta không có ñiều kiện X>\Ỉ3 thi phương trình ñã chd xuâ't hiện nghiệm ngòại lai X =-2!!!

( Ị—

r~\x

1

+3

10

ðặt t = (V3 + V2) , t > 0 = > ( V 3 - V 2 ) = -

CẤ

P2

Phương trình cho trở thành: t3 + 2t2 - 2—= 1 o t 4 + 2t3 - 1 - 2 = 1



A

o ( t - l ) ( t + 2 )Ịt2 + t + l j = 0 » t = -2 ( không thỏa t > 0 ) hoặc t = 1 Với t = 1 tức (V3 + V2 )X= 1 = ( ^ + V2 )° , suy ra X = 0 .

TO ÁN

-L

Í-

Vậy, phương trình cho có nghiệm X = 0

o

CHỦ ðỂ 3 ____________ •

LOGARIT HÓA.

ƯỠ

NG

□ Phương pháp: (0 0 |f [g(x) = loga f(x)

Dạng 2: af(x) = bg^ (0 < a,b * 1 ) o loga af^ = loga bg^ « f ( x ) = g(x).loga b

47 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ Giải phương trình: 3. 8x.5xZ_1=2"3

2. 49.2*2 = 16.7X

NH ƠN

1. X6.5",0gx5=5-S

Lời g iả i.



log5(x6.5_logx5Ị = log55_5 hay 61ogs x - ỉo g x5 = - 5

ỉ ị

TP

o 6 ( l o g s x)2 +51ogs x - l = 0 (*)

.Q UY

1. ðiều kiện: 0 < X ^ 1 Lây Iogarit co số 5 cả 2 vê'phương trình cho ta ñựợc:

\

.

'

Với t = —1 tức iog5 X= - 1 o X= 5_1 = ỉ .

...í

1

-





I

í ■'

'

' '

'Ị

B

í

I.

10

00

Vậy, phưong trìxứi cho có 2 nghiệm: Xe

j

;■ • •

TR

1

Vói t = — tức log5x = —o x - 5 6:=\Ỉ5 6 6

-V

ẦN

5

HƯ NG

1

có 2 nghiệm t = —1 hoặc t = —.

ĐẠ O

ðặt t = logs X, phương trình (*) trở thành 6 t2 + 5t - 1 = 0, phượng trình này

+3

2. Phương trinh cho tương ñương 2* ~4 = 7X~2 (*) I

CẤ

P2

Lây logaritcơsố 2 hai vếphưcmg trình (*) ta ñược:

I

A

log^2x2-4 =log27x-2 x2 - 4 = ( x - 2 ) lo g 27(x-2)(x + 2 - l o g 27) = 0



x = 2 hoặc x = iog27 - 2

Í-

Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X = log2 7 - 2, X = 2.

-L

3. Lây logarit hai vế với cơ số 8 , ta ñược

TO ÁN

logg 8 x.5*2_1 = logg ỉ o logg 8 X+ logg 5*2"1 = log8 8"1

NG

X+ (x2 - l)log8 5 = -1 X+1 + (x2 - l)lo g 85 = 0

ƯỠ

|x + 1) + (x + l)(x - l)lo g 8 5 = 0 (x + l ) [ l + (x - l)lo g 8 5 ] = 0

X+ 1 = 0

BỒ

ID



^

X = —1

l + (x - l) lo g 85 = 0 x.log85 = log85 - l



"x = —1

'



x = l-lo g s8

Vậy Iphương trình có nghiệm: X = - l , x = 1 - log5 8 .

48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ðỂ 4

NH ƠN

BIẾN ðỔI PHƯƠNG TRÌNH VE DẠNG TÍCH. □ Phương pháp:

_________

TP

Ví dụ Giải phương trình: 4 *2-3x+2 + 42x2+6x+5 = 4 3x2+3x+7 + 1

.Q UY

f(x). g(x) = 0 o f ( x ) = 0 hoặc g(x) = 0

ĐẠ O

Lời giải.

Phương trình chọ 4x2' 3x+2:+ 4 2x2+6x+5 = 4x2-3x+2.42x2+6x+5 + l 4 X2 -3 x+ 2 _

^ 2 x 2 i-6x+5 _

jịX^-3x+2 ^ 2 x 2+6x+5 _ Q

TR

4x2_3ỉi+2 - 1 => X2-3 x + 2 = 0 o X= 1 hoặc X= 2

ẦN

|4 x2-3x+? _ l j | 4 2x2+6x+s —l j = 0

HƯ NG

^

CHỦ ð Ể 5



-



+3

o

10

00

B

42x +6x+s =1=> 2x 2 + 6x + 5 = 0 , phương trình nàỹ vô nghiệm. Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm X= 1, x = 2. ■ . •.

_ _

___

,

P2

PHƯƠNG PHÁP ðỒ THỊ.

CẤ

□ Phương pháp:



A

Giải phương trình:ax = f(x) Ị O o ^ l ) (*) l ) và

Í-

(*) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của 2 ñổ thị y = ax (o 0 .

BỒ

ID

Phương trình cho trở thành: t2 - 2 ( x + 5 )t + 9(2x + l ) = 0 (*) , phương trình này có biệt số A' = (x + 5)2 - 9 ( 2 x + l ) = ( x - 4 ) 2 Vì A '>0 nên phương trình (*) CÓ 2 nghiệm t = 9 hoặc t = 2 x + l

49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Với t = 2x +1 tức 3X= 2x +1 Xét f ( x) = 3x và g( x) = 2x + l là hàm sô'ñổng biên trên K .

NH ƠN

Với t = 9 tức 3X= 9 => X= 2

Do ñó, ñổ thị của 2 hàm sô' f (x) và g(x) cắt nhau tại hai giao ñiểm có hoành

CHỦ ðỂ 6

_ _

__ _ _ _

_

_ .

■ ■

ĐẠ O

Ò

TP

.Q UY

ñộ X= 0 và X= 1. Như vậy, X= 0 và X= 1 là nghiệm phương trình. Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm: x = 0 , x = l , x = 2 :

SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM s ố . • ••

HƯ NG

□ Phương pháp:

ðoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy nhất.

ẦN

Chuyển phương trình ñã cho về dạng f (x) = k

TR

Nhẩm Ị nghiệm X= x0, ta chựng minh X= x0 là righiệin duy nhất.

B

Với X= x0 => f (x) = f (x0) = k , suy ra X= x0 là nghiệm phương trình.

10

00

Với x > x0 ^ f (x) > f (x0) = k , suy ra phưcmg trình vô nghiệm.

+3

Với X < x0 => f (x) < f (x0 ) = k , suy ra phương trình vô nghiệm.

P2

Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x)luôn ñổng biên (hoặc luôn nghịch biên) trên

CẤ

(a;b) thì số .nghiệm của phương trình : f(x) = k (trên (a;b)) không nhiều hơn

A

một và f(u) = f ( v ) < » u = v V u, ve(a ;b).



Chứng minh: Ta giả sử f là hàm ñồng biến trên (a;b)

Í-

• Nếu u > v = > f ( u ) > f ( v )

-L

• Nêu u < v = > f ( u ) < f ( v )

TO ÁN

Tính chất 2: Nếu hàm sô' y = f (x) liên tục và luôn ñổng biên (hoặc luôn nghịch biến); hàm sô' y - g(x)liên tục và luôn righịch biêín (hoặc luôn ñổng biến) trên D

NG

thì sô'nghiệm trên D của phườrig trình: f (x) = g( x) không nhiều hơn một.

ID

ƯỠ

Chứng minh: Giả sử f ñổng biêh còn g nghịch biêh trên D và 3x0 e D: f( x0) = g ( x 0).

BỒ

* Nêu X> x0 => f ( x0) > f (x0 ) = g (x 0) > g( x) => PT:f (x) = g(x ) vô nghiệm * Nếu x < x 0 = > f ( x ) < f ( x 0) = g(x 0)P T: f(x ) = g(x ) vô nghiệm Vậy x = x0 là nghiệm duy nhâ't của phương trình f(x) = g ( x ).

50 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Tính chất 3: Nếu hàm sô' y = f (x) luôn ñồng biêh( hoặc luôn nghịch biến) trên D Vu,veD.

NH ƠN

thì f ( u ) > f (v ) < = > u > v ( u < v )

Tính chất 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]và cỏ ñạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f (a ) = f(b) thì phương trình f'(x) = 0 cỏ ít nhất một ngHiệm thuộc

.Q UY

khoảng ( a; b ) .

'

HƯ NG

Suy ra f ( b ) > f ( a ) (hoặc f ( b ) < f ( a ) ) .

ĐẠ O

Khi ñó f ' ( x ) > 0 V xe(ả ;b ) (hoặc f’( x ) < 0 Vx€(a; b)) .

TP

Chứng minh: Giả sử phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm trên (a ;b).

ðiều riàỵ trái với giả thiết f(a) = f(b).

Vậy phương trình f ’(x) = 0 có ít nhât một nghiệm trên (a;b).

TR

ẦN

Từ ñịnh Ịí này, ta có ñược hai hệ quả sau: Hệ quả 1: Nêu phương trình f(x) = 0 CÓm nghiệm thì phương trình f'jx) = 0 có

B

m - 1 nghiệm.

10

00

Hệ quả 2: Cho hàm Số ỹ = f(x) có ñạo hàm ñến câp k Ịiên tục trên (ả ;b ). Nếu = 0 có

+3

phương trình f ^ ( x ) = 0 CÓ ñúng m nghiệm thì phương trình

P2

nhiều nhất là m + 1 nghiệm.

CẤ

Thật vậy: Giả sử phương trình f^k_1^(x) = 0 có nhiều han m + 1 rỊghiệm thì

A

phương trình f'(x ) = 0 có nhiều hơn m nghiệm, ñiều này tó i với giả thiết bài toán.



Từhệquả2 => nêu f'(x) = 0 có một nghiệm thì f ( x) = 0 có nhiều nhât hai nghiệm.

TO ÁN

1. 2 x = 1 + J ¥

-L

Í-

Ví dụ 1.6.3 Giải phương trình: 2 . x + Vx 2 + 1 = 3 x Lời giải.

ƯỠ

NG

f 3 ) ĩ í 1) 2 1. Biêh ñổi phương trình cho về dang: 4 2 = 1 + 3 2 hay — + — - 1 {4J {4J ;

BỒ

ID

Nhận thây, X = 2 là một nghiệm phương trình. Í3)l

Hơn nữa, f ( x ) = —+ị^—J có f' ( x) 0 , V t*Ó ,teM nên hàm số I

CẤ

g ( t ) ñ ổ n g biến trế n các khoảng (-°o;0) vậ (0;+oo), do ñó (*)



A

^ ^ = g(x-l) — = x - l tương ñương 2x2 - 2 x - l = 0 2x) 2x l-V ã , H

1 + yỊỈ

X = — T-— ho ặc X = — —— .

2

-L

Í-

2

TO ÁN

Vậy, tập nghiệm của phương trình là s =

l S

1 + sỊĨ

Chú ý: Cẩn tìm a,b,c e M sao cho

2x2 - 2x - 1

1

,

V

ị 2x 2 - 2

x

-1

bx2 + ( - b + c)x + a

:

NG

--------—— - = a—+ M x - 1 ) + C hay ———- — —= -------------------------—-- ----------, 2x X 2x X ■

ƯỠ

ñổng nhất thức hai vế ta tìm ñược



BỒ

ID

1 u 1 r> W. , ~ 2x2 - 2 x - l ỉ \ ■ a = - - , b = - l , c = 0. Vì t h ê ------- ------ = — -— ( l - x ) . 2 2x 2x í ðểịhiêu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạnñọc tìm ñọc cuốn:"Phương pháp giải toán ; chuyên ñ ề Phương trình, Bãi phương trình,hệ phương trình - Bất ñẳng thức " nhóm tác i giả: Nguyễn Phú Khánh-Nguyễn Tất Thu.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

o CHỦ ðỂ 7 ____________________ _______________ NH ƠN

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA. □ Phương pháp:

.Q UY

Chọn thích hợp ñể ñặt ax = sin t họặc ax = COS t , (0 < a * l )

TP

Ví dụ Giải phương trình: y l + y l l - 2 2x = ( l + 2-\/l—22x ).2X

ĐẠ O

- Lời giả i. ðiều kiện: 1 - 2 2x > 0 22x < 1 O X < 0

HƯ NG

Với X < ồ = > 0 < 2 x < 1 , ñăt 2X=sin t; t e 0;— , 2J V L

ẦN

Phương trình chp trở thành: V 1 + -\/l - sin 2 1 - s i n t Ị l + 2 V1 —sin 2 1 j

B

TR

V l+ c o s t = ( l + 2 co st)sin t o V2 COS- = sin t + sin 2t

10

00

V2 cos—= 2 s ỉn ặ c o s Ậ V2 COS—I '1 - yíĩs in ^2 2 2 2\ 2,

: 3t V2 sin —- =



t=2

2

2 X= — 2Ó

2X=1

X= —1 x=ữ

A

2

6



+3

2

71

P2



t= -

CẤ

cos-r = 0

CHỦ ðỂ 8 ________________________ __

-L

o

Í-



Vậy; phương trình cho có 2 nghiệm^X= - 1 hoặc X= 0 .

TO ÁN

TÌM THAM SỐ THỰC M THỎA MÃN ðIÊU KIỆN I CHO TRƯỚC.

n l+ V l-x 2

(m + 2)3 +

ID

ƯỠ

NG

Ví dụ: Tìm m ñể phương trình x + 2 m + l = 0 có nghiệm thực.

Lời giả i.

BỒ

ðiểu kiện: —1 < X< 1 / 2 ðặt t = 3 1_* , với - l < x < l = > t e[3;9]

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

53 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Phương trình cho trở thành: t 2 - ( m + 2 ) t + 2m + l = 0 , với t e [3 ;9 ], tương t2- 2 t + l

ñương với m = -

NH ƠN

t -2

Xét hàm SỐ: f (t) = - — — — với t e [3;9] L J ; V t-2

.Q UY

t2_4t + 3

2 > 0 với mọi t e (3;9), do ñó hàm số f ( t ) ñổng biến

TP

Ta có: f'(t) = -----

o CHỦ ðỂ 9 _ _ _ _ _ _ .

ĐẠ O

trên ñoạn [3;9] và f ( 3 ) < f ( t ) < f ( 9 ) suy ra 4 < m < — .

.

-



HƯ NG

.

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.

TR

ẦN

Ví dụ Giải bất phương trình:

2. ( ^ + l f 2+X+ 2-x2+X+1< 3 . ( V 5 - l f 2+X

00

B

1. ( ^ + . 1 ) ^ < ( ^ - l ) ' X

+3 P2

Lời giải.

X 9*- 1

CẤ

1. ðiều kiện:

4. ịy/x + 1j5 + yfx2*~1 > 1

10

3. 3x2"4 + (x2- 4 ) 3 x+2 >1

Bâ't phương trình cho viết lại: ị-^2 + l j X+1 <



A

tương ñương vói

Í-

-1 < X < 2

-L

x +l

x+1

TO ÁN

Vậy, bâ't phương trình cho có nghiệm - 1 < X < 2 hoặc

X>

3 -x2 +x

+ i V x2+x /

+ 2.

/5 -1

3

í 2 ì { ỵ Ị i- l)

-3 < 0

BỒ

:Ị- x 2 + x j



+2

54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2

\ —X +x

, t >0

-V 5 -1 ,

Khi ñó bâ't phưong trình (*) trở thành t 2 + 2t - 3 < 0 o - 3 < t < 1 x 2 thì x 2 - 4 > 0 , x - 2 > 0 = > 3 x2~4 >3° = l= > V T > V P .

NH ƠN

ð ặt: t =

HƯ NG

Bâ't phương trình không có nghiệm trong khoảng trên.

Nếu |x |< 2 thì X2 - 4 < 0 ,x - 2 < 0 = > 3 x2"4 —.

ẦN

HƯỜNG DẪN GIẢI CÂC HOẠT ðỘNG. TR

Hoạt ñộng 1:

10

00

« - X2 + 5x + 6 = ỔX= -2,x = -3.

B

1. 2x2_x+8 = 41-ầx 2*2~x+8 = 22(1_3x) x2 - x + 8 = 2(1 -3 x )

4

UJ

2

64

> / 5 .5 x - 9 X = —9 X - -7=-5 x I -v/s + - i

Í-

9

' '

=— « 27

V5

I

-

4 Ỹ ______3

= - c X = UJ 2

Ị.5* = f 1 + -

l

9

-L

6. «



A

5. < » 81.4 2x=64.3.32x»

10 5 = - = - X = 1

P2

I—

CẤ

4 .5 * = 1 0 . 2 X

+3

2 . 5X+1 —5X= 2 X+1+ 2 X+3 0 5 5 —5* = 2.2X+ 2 3.2X

TO ÁN

« Ậ . 5 X= — 9 x « 2 7 . 5 x = 5 V 5 .9 x « i - l # 9 I 9 /

4X+10

3 jitL

-Ị**10

_ẺL

= f - f v9y

Y , in

fin

NG

9. 2 x~10 = 2 _32 X- 1S 0-2' x- 10 = 2X-1S 4.—— = — x-10

BỒ

ID

ƯỠ

: ^ s ( x + s ) 7ÍX + 17) 1 0 . p > 2 x~7 = 2 .2 x~3 --v - _ ; = _ 1- 2 x -7

x-1 5

:

x -3

11. 4 x 2.2x_1 - 2 x_1 = 4x 2J x-3I+2 -2^x_3I+2 0 .

-L

Í-

7 25 Ta có phương trinh : 9t —34t + 25 = 0 t = l;t = ——.

TO ÁN

^ 2 x -x = l - » 2x - x = 0 o x = ũ;x = 2 .

BỒ

ID

ƯỠ

NG

t = l

_ X2 x - x 2

25 * t* =_ — » ,9

r~ \-2

= ( SJ

o x 2 - 2 x - 2 = 0 o x = l± V 3 .

Vậy phương trình ñã cho cỏ các nghiệm: x = 0;x = 2;x = l± V 3 Hoạt ñộng 3 : 1. ðặt

U=

3X> 0,

V

= 2X> 0.

Phương trình cho trở thành: uv + 4v - 4u -

62

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

V2

= 0 » (u - v )(v - 4 ) = 0

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðặt

u

NH ƠN

2. Phương trình cho viết lại: ^Ịs^~~ĩ + 5* - 3 = ^2^5x - 3 j + 2 ( 5 * - l Ị = a/5x - 1 > 0 , v = 5x - 3

.QNJ uoo UY

3. 16X= (4 Z]X= ( 4 X)2. Nên ta ñặt: t = 4x,t> 0 = > 1 6 x = ( 4 X)2 = t z .

- 1 2 = 0.

ĐẠ O

4. 0 4 “ + 4.4

TP

Phương trình trở thành: 2tz —15t - 8 = 0 o t = 8 » 22x= 2 3 o x =

ðặt t = 4 cos x,t > 1 , ta có phương trình: t z + 4 t - 1 2 = 0 o t = 2

,

x

2-2

x

x

2-2

x

Y 2 N\_ 2 ' - 6 = 0 ðặt t = — , t > 0 ta có

ẦN

(2 } 2 +7 — \3 y _ 7

TR

2

í 2) ■ 5 .0 3 — V.3 /

HƯ NG

o 2ĨC0S x = 2 «■ 2cos2 X= 1 Còs2x = 0 X= —+ k — ' 4 2

2

1\

00

B

phương trinh :31 + 71 - 6 = 0 t = — (nhận); t = - 3 (loại)

+3

= —« x 2- 2 x - 2 = 0 » x = 1±>/3 3

6. ðặt t = 2X, t > 0 ta có:

8 V 6r ^ v 1= t 3) { t)

ð

'2+r r r i

\2

t--

+ 6 = y ( y 2 + ó)

-L

= > i '—

8 t 33- =

2 t

Í-

3



A

CẤ

t 3 _ 6 t 8 + ỉ 2 = l o r t3 t3 t {

P2

t = —[ —I 2 3

10

x^-2x

TO ÁN

Nên ta có phương trình :y - l = 0 o y = l o t - - = l

«> t 2 - 1 —2 = 0 t - 2 « X= 1.

ƯỠ

NG

8. Nhận x ẻ t: 7 + 4 ^ = (2 + V3 ) 2,(2 + V ã)(2- V3 ) = 1

ID

ðặt t = (2 + V3 )x, t > 0(2 - >/3 )x = - và (7 + 4 V3 Ỵ = t 2

BỒ

Khi ñó phương trình cho viết lại:

tz

+2 = 0t3 + 2 t - 3 = 0 < = > (t-l)(t2 + t + 3) = 0 (*)

63 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vì t2 + t + 3 > 0 ,V t e M nên ( * ) « t = l o ^ 2 + -\/3j = l o x = ũ

NH ƠN

Vậy phương trình có nghiệm: X = 0 Hoạt ñộng 4: 2. Với ñiểu kiện X > 0 , lây logarit cơ sô' 4 cả 2 v ế rổi ñưa phương trình về dạng:

.Q UY

(log4x —ì ỷ = ọ , ta tìm ñược x = 4

3. Với ñiều kỉện x ^ l , lấy logarit cơ sô' 2 cả 2 v ế phương trinh ta ñược: 3x ■

= 2 + 2 log2 3, quy ñồng rổi ñưa phương trình về dạng:

ĐẠ O

TP

X. log23 +

x2.log23 + ( l - l o g 23 ) x - 2 - 2 1 o g 23 = 0 , phương trình nằy cỏ 2 nghiệm

HƯ NG

X=: - 1 - log3 2 hoặc X= 2.

4. Với ñiều kiện X> 0 , Ịấy lògarit Cơ sô' 5 cả 2 vệ'rồi ñừa phượng trình về dạng:

ẦN

[lo g 2 s ( 5 x )- l] .lo g 57 = log57.1og5x o ĩog52X -21og5 X- 3 = 0 .

TR

5. log3 ^3X.2X j = ỉog31 log3 ^3x.2xZ1 = 0

=0

X

=0—

10

X

00

B

o l o g 33x + lo g 32x2 =0x + x2log32 = 0x(l + xlog32) = 0 "x = 0

o

-1 1 x = 7 —r r = - lo g 23 = log2^ log32 3 X— 1 ,x-l x-3 6. Cách 1: 5X.8 8 = 5 0 0 o 5 x.2 * = 5 3.22 0 .

NH ƠN

ð ặ t u = 3 x2+x, u > 0 v à

Phương trình (*) trở thành (25u - v )(-2 u + v) = 0

.Q UY

ðáp sô': phưcmg trình cho vô nghiệm.

.

ĐẠ O

ðặt u = 2xZ+x,u > 0 và v = 2xZ-x, v > 0 ^ 2 2x = —. •• ■ ■ ■ V

TP

7. Nhậnthấy ( x 2 + x ) - ( x 2- x ) = 2x .

HƯ NG

Phưcmg trình ñã cho trở thành: U-4-V - —+ 4 = 0 V < » u v - 4 v 2.- u + 4v = 0 < = > (u -4 v )( v -l) = 0. u

= 4 v ^ 2 x2+x - 4 .2 ^ _x • » x 2 + x = x z -

x

+ 2 - » x = 1.

ẦN

*

TR

* v = l=?-2x2_x= l < ^ x 2 - x = 0x = 0 hoặc x = l . Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm X = 0 hoặc X= 1.

00

B

Hoạt ñộng 7:

10

2. ðặt t = 5X~2, t > 0 . ðưa phương trình cho về dạng:

P2

+3

( 3 t - l ) ( t + x - 3 ) = 0 suy ra x = 2 hoặc X = 2 - log53 là nghiệm.

CẤ

3. x.2x = x ( 3 - x ) + 2(2x - l )

A

X.2x - x(3 - x) - 2(2X- 1 ) = 0 « X.2x - 2.2X+ X2 - 3x + 2 = 0

-L

Í-



( x - l ),( x - 2 ) = 0 c ^ ( x - 2 ) ( 2 x + x - l ) = 0 « 1.( x - 2 ),.2 x + V x -2 = 0 ^ x=2 2X= 1 - X (*) 2X+ X - 1 = 0

TO ÁN

Dễ thây X = 0 thỏa mãn (*) nên là nghiệm của (*)

ðặt f(x ) = 2x,g (x ) = l - x xác ñịnh trên !R .

NG

Rõ ràng f(x)ỉu ôn ñồng biên trên R và g (x) luôn nghịch biên trên M ,do ñó

f (x) '= g(x) có nghiệm duy nhất. Do ñó X= 0 là nghiệm duy nhâ't của (*)

BỒ

ID

ƯỠ

hàm SỐ f (x) và g (x) có ñúng 1 giao ñiểm, hay nói khác hon là phtrong trình

Vậy, phương trình ñã cho có hai nghiệm X! = 0,x2 = 2

66 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. 9xZ+ ( x 2 -3 )3 x2 - 2 x 2+2 = 0 X2

> 0 3*2 > 3° = 1

NH ƠN

ðặt t = 3*2 ñiều kiện t > 1 vì

Khi ñó phương trình viết lại: t 2 + Ịx2 - 3 j t - 2x2 + 2 = 0

TP

t = 1 —X

Với t = 2 3xZ =2x2 = iog3 2 X = ±ựlog3 2

ĐẠ O

+

.Q UY

t=2

A = (x2 - 3)2 - 4 ( - 2 x 2 + 2 ) = (x2 + l f

+ Với t = 1 —X2 3X = l - x 2 tacónhậnxét:

X-

±^/log3 2,x = 0

ẦN

Vậy phương trình có 3 nghiệm

HƯ NG

ÍVT>1 ÍVT = 1 Í3xZ= l x = 0. ì _ -'=>■< _ -! Ị^------vp>l |v p = l 1” ~ Ị^l-x = 1

TR

Hoạtñộìigà:

00

B

1 . t 2- ( 2 x + 9 )t + 9.2x = 0;A = ( 2 * +.9)2 -4.9.2* = (2 X+ 9 )2

t=9 t = 2x

10

j2x

P2

+3

2. 81.32x + 45.6 x - 3 2 .2 ‘:x = 0 o 8 1 . V + 4 5 . ~ - 3 2 = 0 ^ ' 2 4X „Í3 + 4 5 .1 -1 - 3 2 = 0

CẤ

0 81 'U



+ 3 il f - 2 “ °

Í-

3. 0 5. 2

A

n 2.ỉ

2

-L

4

TO ÁN

4. 2.

2

x _ 9 r I4 ''x +7=0«2.

2Ịx2+3x-5|

+3 x - 5

+ 4.

Ã

ƯỠ

NG

S . J i 15.

+7= 0

-2 = 0 / *V{-x \2Ị

BỒ

ID

6. o 8.3'/* .3 ^ + 9 .9 ^ ‘ - ( 3 ' /*)2 = 0 » 8 . ^ \ ì

9. « 5 3x + 9.5 x + — + -^ - = 6 4 o 5X 5

3^ J +9=0

Kí=

43 o 5 x + Ậ = 4

67

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

2X

.Q UY

ðăt t = 2X—— t2 = 22x + - ị — 4

2x

7X

TP

Ậ Ì + 3.2Xf 2*

ĐẠ O

V

')_ 4 .2 x2+1 + 1l - ðặt t = 2x2+1

HƯ NG

13. 0 , V teM nên f ( t ) ñổng biến trên M. Phương trình cho

NG

tương ñương 2x3 - X+ 2 = X3 + 2x phương trình này có nghiệm X - - 2 , X = 1

ƯỠ

2. ðặt u = x - l , v = x2 - X , phương trình cho viết về dạng: 2u + ụ = 2v + v

ID

Hàm sô' f ( t ) = 2l +.t luôn ñồng biến trên R , do ñó f(u ) = f( v ) xảy ra khi

BỒ

u = V tức X= 1 thỏa bài toán.

68 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

21n4.4x

1

O o ^ 2 + 4 xj - 6 ln 4 .4 x = 0 , ñây là phương trinh

TP

f'(x) = 0 «

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ĐẠ O

bậc hai theo ẩn là 4 X nện phương trình này có nhiều nhất là 2 nghiệm, suy ra phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất 3 nghiệm, mà ta thây

HƯ NG

1 ■ / ■■ x = 0,x = —,x = l là các nghiệm của của nó

ẦN

4. ðặt a = sin X, b = COSX=> a,b.e [-l;l].T ừ phương trình ta thây a.b > 0

10

00

B

TR

Ta có phương

+3

Trong ñó f ( t ) = ^— , t e [ - l ; i j \ { 0 } , c ó f'(t) = —— — 3 -

0 ta suy ra f (a) = f(b ) o a = b

NG

TO ÁN

-L

Í-



sinx = cosx tanx = 1 o X = —+ kĩi, k 6 z . 4 5 ðặt t = 2X, t > 0 , ta có phương trình : 3t2 + ( 3 x - 1 0 ) t + 3 - x = 0 ( l )

BỒ

ID

ƯỠ

1 _ 1 * t = -2x =-x = - lo g ,3 3 3 62 * t = - x + 3 « > 2X+ x = 3 o X= 1 (ðo VT là một hàm ñổng biên) Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= - lo g 2 3; X = 1.

7. Xét hàm số f(x ) = 3x + 2*- 3 x - 2 , ta có: f '(x) = 3x In3 + 2Xln 2 - 3 Vì f '(x) là hàm ñồng biên, nên f '(x) = 0 có nhiều nhâ't một nghiệm

69 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Suy ra f (x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm.

NH ƠN

Mà ta thây: f ( l ) = f(0 ) = 0=>x = 0;x = l là nghiệm của phương trình.

.Q UY

Hoạt ñộng 12: Viết lại phương trình ( l) dưới dạng:

m.2x2_5x+6 + 21-*2 = 27~5x + m o m.2ỵ2~5x+6 + 2l~*2 = 2(x2-5x+6)+(i-x2) + m

ðặt:

ĐẠ O

■ —2-^+6-

u= 2

,u,V > 0 . Khi ñỏ phương trình (2) viết lại:

ẦN

TR

x =2

21- x2=m (*)

B

< II 3



x=3

~2x‘2-5x+6 _ ^ - Ó ol-x^ L =m

HƯ NG

v = 2

'u = l

TP

• o m.2x2-5x+6 + 21-*2 = 2 x2_5x+6.21' x2 +m (2)

10

00

Vậy vỏim ọi m phương trìrih luôn có 2 nghiệm x = 2,x = 3 .

+3

1. Với m = 1, phương trình (*)21-x = l . o l - x 2 = 0 ó x 2 = l t > x = í l

P2

Vậy với m = 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: X= ±1, X= 2,x = 3

CẤ

fm > 0

ím > 0

A

1 ( *) O l l - x ^ l 0 g 2m ° i 7 = l - l 0 g 2m



ðể ( l ) có 4 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

Í-

m >0

m >0

-L

m 0

TO ÁN



l - l o g 2m * 4

NG

l - l o g 2m ^ 9



— 8

1 256

o m e (0 ;2 )\j—

v

...

— Ị

[8 2561

V

BỒ

ID

ƯỠ

Hoạt ñộng 13: 31 1. T + 7X+1 + 7X+2 = T ( l + 7 + 72) = 57.7Xo X < log7 — 1.

2. Chia hai v ế cho 4 X, ta nhận ñược bất phương trình:

70

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 6.

-13.1 I

+ 6 2 . 21_x _ 2x +1

Xét phương trình f (x) - 0 «> g (x ) = 21“x - 2x + 1 = 0 . Có g (x ) xác ñịnh, liên tục V x ^ 0 :g '(x ) = - 2 1_x.l n 2 - 2 < 0 với V x^O nên g (x ) nghịch biến V x^ o

TR

ẦN

g(x) = g(l)x = l= > f ( x ) = 0x = l

B

Do f(x ) liên tục trên Vx * 0 và f ( - l ) = - 1 4 < 0 ,f ỉ j = 2 + ạ/ 2 > 0, f(2) 0 nên ta có các trường họp sau

X2 + ỉ > 1

NH ƠN

o x

.Q UY

2.

>6x - 2

x

TP

1.2x > 2 6x 2 o

P2

+3

2x + 2 x < 0

— 7 = < x < 0 . 42 1 /

u

;+0 0

V2

A

CẤ

Vậy nghiệm của bất phương trình là: Xe (—go;—l ] u

Í-



5. B P T « - 2 ^ — ^= -< l.ð ăt t = 2'/\ t > l , t a c ó : 2

TO ÁN

-L

t - - < l < = > t 2 -t-2 < 0 < = > l< t< 2 < = > 2 'y,* < 2 < = > 0 < x < l t 6. B I T 3 . 9 ^ 2*-* _ 7 . 3 ^ - 2 * - * < 6 . /~2

NG

x- x ðặt t = 3j 7 xx2-2 _2x_x ,t > 0 , ta có bất phương trình:

BỒ

ID

ƯỠ

3f2 - 7 t - 6 < 0 « tVx2 - 2 x ầ x + 1

! X2 - 2x > 0

• X+ 1 > 0 ị X2 - 2 x < ( x + l ) 2

x < 0 u x>2 X > -1 x ,-i 4

«

4 x>2

.

72 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðặt t = 3 ^ ~ ^ ,t> 0 ,ta c 0 B P T : S t ^ t - l ^ O o t ỉ ì i ^ S 4'*-7* > 3 _1 "

^/x-Vx £-l< = > V x - \ / x - l < 0 o ^ / x ^ ^ ^ o 0 < x < - - —^ 2 2 8. Chia hai vếBPT cho 9 ^



ta ñược: 32(x_^ ) _ 8 . 3 * - ^ - 9 > 0

■ íx > -2 < ox>0. [x + 3 x > 0

; ; ■

2 ír Ị

^

2 x -2

ầ ĩil

3x + 4

f

10

00

B

« - 2 X+1 < 2 *-2 -í— ^ < —— 1 X +1 x - 2 ^ (2 x - 2 ) ( x - 2 ) - ( 3 x ^ ) ( , + 1 ) ^ 0 q ^ m (x + l ) ( x - 2 )

ì0

( x + l) (x -2 )

+3

Ị ị

iị-2

2 X+1 < 2X_2

TR

9. Bất phương trình cho viết lại: (22jx+1 < 2-2.^25jx-2

ẦN

I;':

HƯ NG

. /----- r . ■ /— íx + 2 > 0 ' ■-7-v' o x - V x + 4 > 2 o x + 2 > \ |x + 4 o [(x + 2) > x + 4



ĐẠ O

ðặt t = 3x-'/*ĩ ĩ ,t> Ọ ,ta có : t2 - 8 t - 9 > 0 < » t > 9 « . 3 x"VĨĨĨ > 3 2

TP

i

.Q UY

3

NH ƠN

7. Chia hai vếBPT cho 9 ^ ta ñược: 2 .3 ^ " ^ + 3 . 9 ^ '^ > 1.

P2

o X < - 1 3 hoặc - 1 < x < 0 hóặc x > 2 .



A



Í-

I

* 0 < u < 1 thì bâ't phưong trình (*) V3ƠU + 1 > U..+1

o 3 0 u + l > ( u + l ) 2 o u 2 - 2 8 U < 0 O 0 < U < 2 8 , kết hợp ñiều kiện suy

-L

f

Bâ't phương trình cho viết lại: V30u + 1 > Ịu - lị + 2u (*)

U 0 o { 1 X -4x + 3

x>3 .

-^ -> 0

lx -3 Vậy nghiệm của bất phương trình là X> 3 .

ĐẠ O

TP



.Q UY

Do ñó theo nhận xét trên thì f(x ) = f ( x ) - f ( l ) sẽừáidâuvói x - 1 (do x?*l).

2. Ta có: 4X- 2X+Z- X2 + 2x + 3 = (2X- 2)2 - (x - 1)2 = (2X+ X- 3 ) ( 2 X- X- 1) Nên BPT v

' >0 v 3 x - l + V2x + 1

(1) ’ .

HƯ NG

Í2X+X-3)Í2X- x - ì )

ẦN

Ta có: kj = \j3 x - 1 + yỈ2x f ĩ = ịyl3 \ - 1 + 1 ) + (-v/2x+ Ị - 1 ) nên kj cùng dâu

TR

hoặc cùng triệt tiêu với X.

B

k2 = 2X+X - 3 = ^ 2 X- 2 1j + ( x - l ) = > k 2 cùng dâu hoặc cung triệt tiêu với

10

00

: (x -l)Í 2 x- x - l ) ( x - l ) .D o ñ ó : ( l ) « — — -------—^ > 0 X

(2)

P2

+3

Hàm số f (x) = 2X- X - 1 có ñúng hai nghiệm X = 0;x = 1 và

CẤ

f ( x ) < 0 o x e ( 0 ; l ) = > f ( x ) cùng dâu với x ( x - l ) - ,( x - l ) x ( x - l ) X

íx * l [x * 0



v '



- -------- ----------------- - > 0

A

=>(2) 0

Í-

Vậy tập nghiệm của bâ't phương trình ñã cho là: T = R \ {0;l} .

-L

Hoạt ñộng 18:

TO ÁN

1. ðặt t = 3X, t > 0 . Bất phương trình trở thành:

NG

+1 t 2 + mt +1 < 0 ------- < -m

( l ) . Bất phựơng trình ñã cho có nghiệm

(l) có nghiệm t>0 m in f ( t)< -m ( 2 ).

ID

ƯỠ

+1 Xéthàm s ô 'f(t) = — — với t > 0.

BỒ

t 2- l Ta c ó f = —

f ( t ) = 0 o t = 1.

Từ ñây suy ra : min f (t) = f ( 1 ) = 2 => ( 2 ) -m > 2 m < - 2 .

74

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3 + V5 V

/

ðặt t =

z'rz\x |3 + n/5

,0 < t < l V x —= t V /

\x .và bất phương trình trở J

TP

V

3 -V 5

.Q UY



NH ƠN

2 .BFT- 0 2a.2x + (2a + l ) ( 3 - max f í t ) a < - 4 . (0:1] K ' 2

/

\ 2x —X

P2

+3

2 í3 1 3. Chia hai v ế bất phương trình cho 42x ~x và ñặt t = Ị — I ( 1 ).

CẤ

trLnh:m.t2 -(2 m + l ) t + m < 0 o t > m Ị t 2 - 2 t + lỊ

ta có bâ't phương



A

1 Xéthàmsô' u(x) = 2xz - x với |x|> —, có

-L

Í-

u ’(x) = 4 x - l= > u ( x ) > u — = 0 v|x|> —= > t > l v|x|> —. \2 J 2 2 Với t = 1 ta thây ( 1 ) ñúng.

TO ÁN

*

Với t > 1 => (1) f (t) = - 5—f ->m ( 2) w t - 2t .+1

ƯỠ

NG

Ta có f ( t W

- t 2 +1

1 =>f( t ) nghịchbiêh trên (l;+oo)

(t-ự

t-»+0O

ĨĨ1 f ( t ) > 0 Vt >1 Suy ra ( 2 ) ñúng Vt> 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

75

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHtíơNG TRÌNH LOGARIT

NH ƠN

§4.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẨN ðẠT.

.Q UY

1. Kiến thức:

- Nắm ñược phương pháp giải phương trình, bâ't phương trình logarit.

TP

2. Kĩ năng: B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

.

* l0g*f W = l 0 g - g W o K

HƯ NG

íf( x ) = g (x )

ĐẠ O

-Vận dụng thành thạo các phưang pháp giải phương trinh, bâ't phương trình logạrit.

> 0 (g (x )> 0)

* logaf ( x ) > lo g ag (x ) (*)

00

B

TR

, . , íf ( x ) > g ( x ) • Nếu a > l thì (*) i ' w Ịg (x )> 0

ẦN

* lògaf(x ) = bf(x) = ab

V

P2

+3

10

íf ( x ) < g ( x ) • Nêu 0 < a < l thì.(*)«►.{ ,

CẤ

/X íf(x )> 0 Chú ý: loga f (xj có nghĩa .



Cách 2:

-L

Í-

THĩ: Nếu 0 < X < —: hàm số ñồng biên trên khoảng

0;-7 . hơn nữa f

3 1

3

=0

TO ÁN

1 nên phương trình cho có nghiệm X = —. THI: Nếu

5

X > —: hàm

sô' ñong biên trên khòảng

ƯỠ

NG

3 phương trình cho có nghiệm X = 3 .

(5 ' V . —;+oò , hơn nữa f(3 ) = 0 nên \3 )

BỒ

ID

i l l Vậy phương trình có 3 nghiệm X€.

SA Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

o CHỦ ðỀ 3 NH ƠN

LOGARIT HÓA. □ Phương pháp: g ( x )> 0 ( 0 .< a * l)

.Q UY

logag (x ) = f(x )

g (x ) =

TP

□ Ví dụ minh hoạ:

ĐẠ O

Ví dụ 1.3.4

ẦN

ðiều kiện X > - Ị . Phương trình cho tương ñương:

HƯ NG

Giải phương trình: log3 Ị(x + 1)3 + 3(x + 1)2 +3x + 4 j = 2 og2(x + l )

32t = ;9 ,- 8 '= l

+3

x + l = 23t

00

=

10

ị X+ 2

B

ðặt 31og3 (x + 2) = 21og2 (x + 1) = 6t suy ra

TR

log 3 (x + 2)3 =21og2 (x + l ) hay 31og3 (x + 2) =21og2 (x + l )

CẤ

P2

Ý iY / 8 V Xét hàm f ( t ) = — + — , ta thây hàm f ( t ) nghịch biên , lại có f ( l ) = 1 \9J y9J

A

nên t = 1 là nghiệm duy nhất của (*)



Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm duy nha't X = 7.

-L

Í-

o CHỦ ðỂ 4 ___ _________________________ TO ÁN

BIỂN ðỔI PHƯƠNG TRÌNH VỂ DẠNG TÍCH. □ Phương pháp:

NG

f(x ).g (x ) = 0 < ^ f(x ) = 0 h oặcg (x) = 0

ƯỠ

□ Ví dụ minh hoạ:

ID

Ví dụ 1.4.4: Giải phương trình:

BỒ

X.21_x + 2.1og2 ( l + x) = x.log2 ( l + x) + log2(x + 1)2 Lời giải.

ðiều kiện: X > - 1 85 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Phương trình cho viết lại: X.21-x + 2.1ogz ( l + x) - x.log2 ( l + x) - 21og2 ( l + x) = 0

NH ƠN

X.ị^21_x - lo g 2( l + x )j = 0 o x = 0 hoặc 21-x - lo g 2( l + x) = 0

.Q UY

Xét hàm số: f(x ) = 21-x-Io g 2( l + x) vói X > -1

Ta có: f'(x) = - 2 1_ỉíl n 2 - - ------------ < 0 , V x > -1 suy ra f(x ) là hàm số w (x + l)ln 2 7 v ’

TP

nghịch biến trên khoảng (-l;+ oo), hơn nữa lim f (x ) > 0 , ■

lim f ( x ) < 0 từ ñó

x ->-h o

ĐẠ O

*_> _!+

HƯ NG

suy rã ñổ thị hàm sô' cắt trục hoành tại 1 ñiểm có hoành ñộ X= 1. Do ñó phương trình f(x ) = 0 có nghiệm duy nha't X = 1. Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 0, x = 1 CHỦ ðỂ 5

_ _ _ _

__ _

ẦN

o

-

_ _ .

_ _

_

.

TR

PHƯƠNG PHÁP ðỒ THỊ.

00

B

□ Phương pháp:

10

Giảiphưangtrình:logaX= f(x ) ( 0 < a * l ) (*)

+3

(*) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của 2 ñổ thị y = loga X (0 < a ¥ l)

P2

và y = f ( x ) . Khi ñó ta thực hiện 2 bước:

CẤ

Bước 1: Vẽ ñổ thị các hàm số: y = loga X (0 < a 5*l ) và y = f ( x ) .



A

Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình ñã cho là số giao ñiểm của 2 ñổ thị. □ Ví dụ minh hoạ:

-L

Í-

Ví dụ Giải phương trình: 2 2logs(x+3) = X

TO ÁN

1. logs x + 2 x - l l = 0 Lời giải.

NG

1. ðiều kiện X > 0 , phương trình cho viết lại log5 X = - 2 x + 11

BỒ

ID

ƯỠ

Xét f(x ) = log5x trênkhoảng (0;+oo) và g (x ) = -2 x + l l trên M

Dễthấy, f ( x ) > 0 , V x> 0 suy ra hàm số f(x ) ñổng biến trên khoảng (0;+oo)

và g ’(x) 0, V t> 0 suy ra g (t) là tln7

ƯỠ

hàm ñổng biền, khi ñó g^7x_1 j = g (6x-5)< = >7x_1 = 6 x - 5 hay 7u = 6u + l với

ID

U -X -1.

BỒ

Tiêp tục xét hàm g(u ) = 7u- 6 u - l có g'(u) = 7uln 7 -6 = > g '(u ) = ọ khi và

chỉ khi U = log76 - l o g 7(ln7) = uo

87 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Bảng biến thiên: Vì hàm sô' g (u ) ñổng biến trên khoảng ( - 00;u0) và nghịch biến trên khoảng (u0;+oo) nên hàm g(u ) = 0 có không quá hai nghiệm.

M ặt kh ác g ( 0 ) = g ( l ) = 0 , ch o n ê n u = 0 ho ặc u = 1 là 2 n g h iệ m của p h ư ơ n g

TP ĐẠ O

Khi u = 0 tức X- 1 = 0 háy X= 1 ' Khi U = 1 tức x - l = l hay x = 2 Vậy phương trình ñã cho có tập nghiệm s = {l;?}

.Q UY

trìn h g ( u ) = 0 .

Chú ý: Cần tìm a ,p e K saocho l = a ( x - l ) + p ( 6 x -5 ) tương ñương với = ( a + 6 p ) x - a - 5 p . ðổng nhất hai vếta ñược oe = - 6 và p = 1.

HƯ NG

1

Vì thế 7 X_1 —61og7 (6 x - 5 ) = —6 ( x - l ) + 6 x —.5 tức ta có phương trình '

ẦN

7X 1 + 6 ( x - l ) = 6 x - 5 + 6Iog7( 6 x - 5 ) .

10

00

B

TR

. ðể hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn ñọc tìmñọc cuôh: "Phương pháp giải toán chuyên ñề Phương trình, Bất phương trình,hệphương trình - Bat ñằng thức ,ầ-nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh- Nguyễn Tất Thu. 2. Phương trình cho tương ñương

P2

+3

log3( 2 x - l ) + ( 2 x - l ) = log33 ( x - l ) 2 + 3 ( x - l ) 2 (*). 1 Xét hàm số: f (t ) = Jog3 t + t, t > 0 và f ( t ) = —— + 1>Ữ với V t> 0 nên hàm

CẤ

f(t) ñồng biến trên khoảng (0;+oo)

A

có dạng

f ( 2 x - l ) = f|^ 3 (x - l) 2 o 2 x - 1 = 3 ( x - l ) 2,



Phương trình (*)

Í-

2 , phương trình này có nghiệm X= — hoặc X = 2 .

TO ÁN

-L

2 Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm X = — hoặc X= 2. CHỦ ð Ể 7

NG

o

_ _ _ , _ _ _ _ ■ _____

__

_

■; . .

DÙNG HÀM SỐ LOGRIT LÀM ẨN SỐ.

ƯỠ

□ Ví dụ minh hoạ:

I

BỒ

ID

Ví dụ Giải phương trình: lg2 x -lg x .lo g 2(4x) + 21og2x = 0 Lời giải. Biến ñ ổ i p h ư ơ iìg trìn h v ẽ d ạn g : lg 2 X -

{2+ lo g 2 j i g X + 2 lg 2 X -

0 (*)

88 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Với t = lg x , phương trình (*) trở thành: t 2- ( 2 + Iog2x).t + 21og2x = 0

NH ƠN

Phương trình này có biệt sô' A = ( 2 - l o g z x )2 nên có nghiệm t = log2 x hoặc t =2

.Q UY

Với t = log2x tức lgx = Iog2x = - ^ hay lgx = 0x = l lg2 .

TP

Với t = 2 tức lgx = 2 X= 100

CH Ủ ð Ể 8

HƯ NG

o

ĐẠ O

Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 1, X= 100.

TÌM THAM SỐ THỰC M THỎA MÃN ðlỂU KIỆN I

ẦN

CHO TRƯỚC. □ v í dụ minh hoạ:

TR

Ví dụ Tìm m ñệ’phương trình:

10

00

B

1 . Ĩog^2 ^ m x - 6 x3j + 2log1^-14x2 + 2 9 x - 2 j = 0 có 3 nghiệm phân Hệt.

P2

+3

2. log 3 X+ *J\ogị X+1 - 2m - 1 = 0 có nghiệm trên ñoạn £ l;3 ^

CẤ

3. m.92x -x - (2m + l ) 6 2x2_x + m.42x2_x = 0 nghiệm ñúng .Vx: ỊxỊ > —.

A

Lời giải.



1. Phương trình log2Ịm x - 6x3j = log2(-1 4 x 2 + 29x -

( 1 5»

ƯỠ

vũ *,

NG

TO ÁN

-L

Í-

- < x 0 14 Ịmx - 6x3 = -1 4 x 2 + 29x - 2 = 6x -14X + 2 9 - — (*) ■A X Phương trình ñã cho có ba nghiệm phân biệt o (*) có ba nghiệm phân biệt

BỒ

ID

2 1 Xét hàm số f(x ) = 6x2 -14X + 2 9 - —, —- < x < 2 X 14 . T ■ JL " í ^ 2 12x3 -1 4 x z +2 Ta có: f (x ) = 1 2 x - 1 4 + - y = --------- -----------

«p

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

x =— 1 2 (d o — < x < 2 ). 14 X= *1

NH ƠN

=> f ’(x) = 0 l < t < 2 .

10

00

Phương trình ñã cho trở thành: t 2 + 1 = 2m + 2 ( l)

+3

Phương trình ñã cho có nghiệm trên^l;3^ J o ( l ) có nghiệm 1 < t < 2.

P2

Xét hàm SỐ f(t ) = t2 + t với l < t < 2 , ta thây f ( t ) là hàm ñổng biên trên

CẤ

ñoạn [1;2]. Suy ra 2 = f (1) < f (t) < f (2) = 5 Vt e [l; 2 ] .



A

3 Vậy phương trình có nghiệm o 2 < 2m + 2 < 5 o 0 < m < —.

-L

Í-

3.ðặtu = 2x2 -x = > u '(x ) = 4 x - l .

TO ÁN

Lập bảng biêh thiên của u (x) ta :=> u > 0

ị V x: |x| > —.

Phương trình trở thành: m9u —(2m + l ) 6 u + m4u = 0

BỒ

ID

ƯỠ

NG

(3 Ỷ U ' ■ Y 3Ỷ m -(2 m + l ) + m = 0 o f n t 2 -(2 m + l ) t + m = 0 (1) \2 )

(trong ñó ta ñặtt

j

V u>0)

(l)mỊt2 - 2 t + l ) = tm = —— ----- = f ( t ) (2) (do t = 1 không là nghiệm phương trình).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

IT Ị*fc; -■ .

Yêu cầu bài toán ( 2 ) có nghiệm t > 1.

1 -t2 f'(t) = --------- ------- < 0 (t 2 - 2 t + l ) 2

V t> l

NH ƠN

Xét hàm số f (t) với t > 1, có và lim f (t ) = 0

C H Ủ ð Ể 9 ■" _ _ _ _

_

.

_________

ĐẠ O

GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Ví dụ: Giải các bất phưorvg trình: 1. log2 ( V3x +T + 6 j - 1 > log2 {7 —J10 - X)

5

1

TR

3

ẦN

2. Iogj ỉog5( 7 x ^ + 1 + x )> Io g 3log! (Vx2+ l - x ) 3

log2^4x2 - 4 x + l j - 2 x > 2 - ( x + 2 ) l o g 1^—-x 'l

P2 CẤ

Í-

1 0 -x > 0

-L

1. ðiều kiện:

Lời' £Ĩảí.



3x + l > 0

A

c . 5-12X , 5. log? _ - _ + lo g 1x < 0 1 2 x -8 J

+3

10

4.

4

2

00

4

B

3 . - lo g 2x lo g 3 x + 3 > - l o g 2x + log3 X 2

HƯ NG

□ Ví dụ minh hoạ:

;

TP

o

.Q UY

Lập bảng biến thiên suy ra m > 0 là những giá trị cần tìm.

TO ÁN

7 - v l O - x >0 irinn tương iưung ñương uưung với vựi log2 iug2 —— ---- —> log2 Ị7 —V10 —XỊ Bâ't puưung phương trinh

NG

V3X + 1 + 6 > 2 ( 7 - V lO -x ) o V 3 x + 1 + 2 V1 0 - X > 8

BỒ

ID

ƯỠ

9 . .3 6 9 . . , _ o 4 9 x - 418x + 369 < 0 1 < X < : (thoả ñiểu kiện). 49 2. ðiều kiện X > 0 Bất phương trình cho tương ñương:

log3 log! ỊVx2 + 1 - Xj + log3 log5ỊVx2 + 1 + xỊ < 0

91 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

« l o g 3 logJ ỊVx2 +1 - x j .lo g 5|V x2 +1 + x j

NH ƠN

J

o lo g lỊ V : X +1 + x j < 1 O Ũ< log5|V x 2 +1 +xj < 1

.Q UY

* 0 < lo g 5|-\/x2 + l + x j o x > 0

ĐẠ O

TP

* logs(V x2 + 1 + x ) < 1 « Vx2 + 1 + X < 5 « Vx2 + 1 < 5 - XX< —

HƯ NG

■ ( 12\ ■ Vậy, bất phương trình cho có nghiệm X6 0;— . V SJ -3. Bất phương trình cho tương ñương: Iog2 Xlog 3 X4- 6 - 3 log2 X+ 2 log 3 X> 0 log2 X- 2 < 0

lo g 2 x - 2 > 0

ẦN

(

« ( l o g 2x - 2 ) lòg£X —3 >0 l o g 3 x - 3 > 0 V 4 J 4

TR

log 3 x - 3 < 0

B

x 4

h°ặc

10

27 hoặc



4. ðiều kiện:

1 —- x > 0 2

A

CẤ

P2

+3

•^ x< ,ỉ 4/

00

~ 27 . 27 " ^ — < x < 4 —— 64 x > 4 J 64 64 / 27 0-7 '\ ;4 Vậy, bâ't phương trình cho có nghiệm: X6

Í-

4x2 - 4x +1 > 0

-L

1 X< — 2 . 2 0

1 2 X -8

5 12

X> -

2

— S22x_xlog26.= 2 i 3 Iog24 x 2

^

10

5.

B

4.(2 + ^ ) ,0g2X+ x ( 2 - 7 2 ) I082X= l + x2 (4)

+3

Bài tập 5:

P2

Giải phương trình:

A

CẤ

1. ( 2 - lo g 3x)log9x3 - — ------ = 1 l - l o g 3X



2. logx2+,2Iog2x4 = l o g ^ 8 4. 2(log2x + l) lo g 4 x + log2ỉ = 0

-L

Í-

3. 161og27 3 x -3 I o g 3xx2 = 0

TO ÁN

5. l g 4 ( x - l ) 2 + l g 2 ( x - l ) 3 = 2 5

6. Iog3x+7 (9 + 12x + 4x2) + log 2x+3 (6x2 + 23x + 2 lỊ = 4

ƯỠ

NG

7. logx 2 (2 + x) + l o g ^ x = 2

ID

8. logs (5x - l ) . l o g 25(5x+1- 5 ) = l

BỒ

9. logx X2 - 14Iog16x X3 + 401og4x yf\ =0 2

10. log 2 2 + log2 4x = 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11. 4 iogz2x - xIog26 = 2.3logz4x2

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. ( x + l ) . l o g i x + ( 2 x + 5 ) . l o g 1 x + 6 = 0 2

2

Bài tập 7: Giải phương trình:

3. 7X-1 = l + 21og7( 6 x - 5 ) 3

lo g 2

1X1



- = 1 + X-2*

TP

2.

ĐẠ O

• 1. log7x = log3(V x+2j

4. lo g j(3x + l ) + 3 - x = 0

HƯ NG

2

5. log3(x + l ) + log5(2x + l ) = 2

6. x + lgỊx2 - x - r 6 ) = 4 + lg (x + 2)

Bàiị tập 8:

+3

ì

2xz + 4x + 5 J

B 00

10

+3

..2

x 2+ x

= 7x2 +21X + 14

P2

2 o > X +X + 3

= X2 +3x + 2

CẤ

3- log3

= x2 - 3 x + 2

2x2 - 4 x + 3

\ 2x2 + 4x + 5 y (

TR

x2 - x + l

( 2. Iog3

ẦN

Giải phương trình 1. log3

.Q UY

1. I o g 3 ( 2 x + l ) + x = 2

NH ƠN

Bài tập 6: Giải phương trình:



A

4. Iog3(x2 + x + l j - l o g 3x = 2 x - x 2

Í-

5. (x + 2)log32 (x + 1) + 4 (x + l)lo g 3 (x + 1 )- 1 6 = 0

TO ÁN

-L

6. log2( l + V x) = log3 x 7. log2(x + 3lũgsx) = log6 x

8. 2log3(x+1)= x

NG

9. log^rịx2 - 2 x - 3 j = Iog2Ịx2 - 2 x - 4 j

BỒ

ID

ƯỠ

'llí 3X= 1 + X+ log3 ( l + 2x)

l i . 2003x + 2005* = 4 0 06 x + 2

«

1™

2012

12. log5 Ị3 + V3X+ 1 j-= log4 ( 3 * + 1 )

f _ i í ! ± Í L Ì = v6 - 3 y 2 - 1 6 2 ì

^X° + X + 1 J

108

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1+ị / x - x 3 Ịn

xlnl 1 + -

N1+-1.2 X

= 1 —X

.Q UY

X

NH ƠN

^ Bài tập 9 R- 1. Tìm nghiệm dương của phương trình:

2. Chứng minh rằng phương trình:xx+1 = (x + l ) x có một nghiệm dương duy nhất.

m

X

ĐẠ O

Tim tâ't cả các giá trị tham số m ñể: 1. Phương trình: logxin + lo g ^ m + lo g ^ m = 0 có nghiệm.

TP

- Bài tập 10.

2

2

HƯ NG

2. Phương trình: (m - 1)logi (x - 2 ) - (m - 5)lòg1 (x - 2 ) + m - 1 = 0

CÓhai nghiệm thoả mãn ñiều kiện: 2 < Xị < x2 < 4 . ° § 2

X+ log! X2 - 3 = m Ịlog4 X2 - 3 )

ẦN

3. Phương trình ^

TR

I

B

có nghiệm thuộc khoảng [32;+ 00) .

+3

10

00

Ị; 4. Bất phương trình log2 Vx2 - 2 x + m + 4^1og4(x2- 2 x + mj 1 .

Í-



lg(m x) 6. Phương trình: ——— r = 2 có nghiêm duy nhâ't. lg(x + l )

-L

7. Phương trình lo g ^ +2 Ịx2 + mx 4- m + 1) + log^ _ 2 X = 0 có nghiệm duy nhất.

TO ÁN

8. log2(m 2x3 - 5 m 2x2 + V 6 - x ) = log

2 ^ 3 - V x - l j thỏa mãn V m eR

9. Iog2(m 2x2 - 5rax + 3 + V 5 - x j = log

2 ( 5 - V x - l ) thỏa mãn V m eR

NG

I 10. Tìm k ñể phưong trình sau có ba nghiệm phân biệt:

ID

r

ƯỠ

4 -lx~kl Ịog jĩ (x 2 - 2x + 3) + 2-ỉ1

2. log

+x

3. log0 7 log,

2 + lg

X2 + i

00 10 +3

CẤ

7.

2x x^+1 >2 2x

6. logx 2.1ogZx 2.1ogz 4x > 1

P2

2

B

2 5. 2l0g2x + x l0B2X< 4 4 + lg

> ỉ 2

4. log2 X+ log2x 8 < 4

2^

Í-

1.



A

Bài tập 14: Giải bâ't phương trình:

-L

X2 -3x + 2

n

TO ÁN

’• '" V ?

l o g ,( l o g ,( 9 - - 7 2 ) ) < l

BỒ

ID

ƯỠ

7. l o g ^ + ^ Ị ĩ l o g ^ 2^ 1^ * ) 2

2x4-3^

6.log! X+ 21ogj ( x - l ) + log26 < 0 2 4

NG

5. logx+1( -2 x ) > 2

.

2

8. logj V2x2- 3x +1 + —log2(x - 1)2> 2

2

2

, l„ „ , 1 I 9. log5^4x + 1 4 4 j-4 lo g 52 í 0

( n

2 V

+ 91og2^ f < 4 1 og ịx /

A

2

TP

4 .1 o g * x -lo g |

.Q UY

3. yjlog4 (2x2 + 3x + 2 j + 1 > 21og2 V2x2 +3x + 2

ĐẠ O

Bài tập 16: Giải bâ't phương trình:

HƯ NG

1. 4 x + (x 3 - x j l n ( x 2 + x + 2 ) > 4 ^

ẦN

2* log2+./5 (x 2 - 2 x - 1 1 )- Iog2^ - ^ ( x 2 - 2 x - l l ) > 0

10

00

B

4. ^ lo g |x + log1 x2 - 3 > V 5 (log4 x2 - 3 Ị

TR

3. Vlog9[3x2 + 4x + 2) +1 > log3^3x2 + 4x + 2j

P2

+3

1 2 5. ------- !----- h—---------- 1. 111

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 1: 1. X > 1

NH ƠN

D. HƯỚNG DẪN GIẢI.

1 f1 ^ P t o l o g 22log2X+ log2log22x = 2 o ^ l o g 2log2X+ log2 ^ lo g 2X 1= 2

.Q UY

1 1 3 (x + 2 ) ( x - 2 ) = 16.

[(x + 3 ) ( x - l ) = 4x 23. (x + 3 ) |x - l | = 4x

Í0 /3 -3

ẦN

|( x + 3 ) ( l - x ) = 4x

TR

Bài tập 2:

00

B

1. ( l ) ^ l o g 2(2x + l).lo g 22(2x + l ) = 2 o log2 (2X+ l ) .[ l+ lo g 2 ( 2 * + 1)] = 2 (*)

+3

10

ðặt t = Iog2 ^2X+ l j khi ñó phương trình t = -2

CẤ

P2

(*) => t ( l + 1) = 2 t2 + 1 - 2 = 0

A

'log2(2x + l ) = - 2



log2(2x + l ) = l

t=l

2X+1 = 2~

o

2X + 1 = 2

2X= - —< 0 4 o x = 0. 2^ = 1 =

-L

Í-

2. ðiều kiện: X > 0 ðặt t = lnx

x=e 2

X II (T>OJ

lnx = 3

I

ƯỠ

lnx = - 2

t = 2 '■'=> lnx = 2 X= e2

íx + 2 > 0 fx> -2 3. ðiều kiện: ện: 4 _ 4 [x + 2 * l [x * -l

ID BỒ

t = -2

CO II 4->

NG

TO ÁN

Phương trình (2) viêVlặi t 3 - 3 t 2 - 4 t + 12 = 0 ( t + 2 ) ( t —2 ) ( t - 3 ) = 0

■ (*) v’

ðe ý: loga °ểab b= =r^— logba

112 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

( 3 ) < s l + l o g x+25 = I o g s ( x + 2 ) o l + -------- J-—-r = =log5(x 1



_ l + -2 = t

+ 2)

NH ƠN

logg(x + 2)

2 112 —ft — 2=0

-)-2

"

x + 2 = 52

thỏa ñiều kiện (*).

x = 23

HƯ NG

4. Ta có: logj (x + 2)2 = 21og1 |x + 2| 4

X= —

ĐẠ O

L , ( x ,+: ?2))* » o0 t =. ilog5(x

•»

TP

o

O' I un

x + 2 = 5-1

i o g 5(x + 2) = - l

.Q UY

t = lo g s (x + 2 ) * o H t = loS5(x + 2) * 0

4

4

4

4

4

\-6 < x < -2

- 2 < X< 4

10

00

6 + x>0

B

ðiều kiện: 0

TR

Ịx + 2ị > 0 .

ẦN

l o g i ( 4 - x ) 3 =31ogỉ Ị4-xỊ,log1 (x + 6)3 =31og1ịx + 6ị

+3

Phương trình ( 4 ) o 3 1 o g 1 |x + 2 ị-3 = 31og1 (^ -x J + Slogj (x + 6) 4

4

P2

4

CẤ

/3 3

4



A

Bài tập 3:

x=2

-L

Í-

1. e » l + ỈOg2( x - l ) = — l0Ì 2 4 - o l + log2( x - l ) = ------£ ---- 2V 7 log2( x - l ) 621 > log2( x - l )

TO ÁN

l o g x_12 = - .

ID

Phương trình ñã cho trỏ thành

t=l

x=2

BỒ

l + t = -t2 + t - 2 = 0 1• t t=-2 X= — 4

113 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Phương trình

X + logj X = 1 o

logs 5x

l - l o g 5X+ lo g |x = l l + log5X

iogs X= 0

rx = i

o l o g 5x(log 5 x + logs x - 2 ) = 0 Ạ o g ị X+1 = 2 o logg X= 3 log3 x = ±yỈ3 X= 3 ^ .

Í-



A

trình:t2 Ta có ñược phương trình: t2 + 1 - 6 = 0 o t = 2 (do t > 1)

TO ÁN

-L

tã cho có hai nghiêm: Vậy phương trình ñã nghiệm: X= 3± 3 %^ . Bài tập 4: 1. Phương trình 4.4lgx - 6 lgx -1 8 .9 lgx = 0

BỒ

ID

ƯỠ

NG

_ '2 Ì ðặt t = | -

lgx

u

/ 2 vg*

UJ

> 0 , 'ta có ñược phương trình: 4 t2 - t - 1 8 = 0 o t - 2 1

1

lg X= - 2 X= —— là nghiệm phương trình ñã cho.

6

100

6

2. Phương trình Ịl + log2Ị4x + l^ jlog2Ị4x + l ) = 2 ðặt t = log2 ^4X+ 1 j > 1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ta có: ( l + t ) t - 2 = 0t = l

1 x>-_ 2.

.Q UY

3. ðiều kiện:

NH ƠN

=> Ìog2 ị ý x + l j = lx = 0 là nghiệm của phương trình ñã cho;

ĐẠ O

log2x_1(x + l ) + 21ogx+1( 2 x - l ) - 3 = 0

TP

Phương trình log2x_1 (x + l)(2 x - 1) + 21ogx+1(2x - 1) = 4

ðặt t = 10Ỗ2X-1 (x + 1) => ỉ = logx+1 (2x - 1 ) .

HƯ NG

2 rt = 1 Ta ñược phương trình: t + - - 3 = 0 o t2 - 3 t + 2 = 0

ẦN

• t = l< ^ lo g 2X_1(x + l ) = l » x + l = 2 x -l< = > x = 2 (thỏa ñiều kiện).

TR

• t = 2x + ì = (2 x —l ) 2 c ^ 4 x 2 —5x = 0x = —(doñiềukiện)

00

B

Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm X= 2;x= —.

+3

10

4. ðật t = log2 X=> X= 2( .

P2

Phương trình ñã cho trở thành: (2 + V2 ) + 2* (2 - V2 ) =1 + 4* (*).

CẤ

Do (2 + V2 ) ( 2 —-»/2 ) = 2t dẫn tới: nêu ta ñặt

A

a = (2 + V2 ) ,b = ( 2 - V 2 ) =>ab = 2l và a ,b > 0

a=l ab.b = 1

"(2 + V2)t = l t = 0X = 1.



TO ÁN

-L

Í-



Khi ñó (*) trở thành: a + ab2 = 1 + a2b2 o (a - l ) ( l - ab2) = 0

NG

Lưu ý: Việc thực hiện hai lần ñặt như trên với mục ñích giúp chúng ta làm ñơn giản hình thức bài tơán, từ ñó ta dễ nhìn ra hướng giải bài toán hơn. 5. ðiều kiện: x > 0 .

BỒ

ID

ƯỠ

Phương trình » 4 1+I°Í2X - 6 log2X = 2.32+21og2x log2 X

0 4.4'«* - 6 log2X -18.9log2X =0 o 4 | - J / 2 \ log2 x

ðặt t = — I 3/

/2Y°S2 x -Ị ± J

18 = 0(*)

_

9

, t > 0 , phương trình (*)=> 4 t2- t - 1 8 = 0 o t = — 4 115

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f2 W

3J

logo X= - 2 X= —. 2 4

3J

NH ƠN

^2Vog2X_ 9 Bài ỉập 6:

.Q UY

1. Xét hàm sô' f (x) = log3 (2x + 1 ) + X, X> Ta có f (x) là hàm ñổng biêh và f ( 1 ) = 2

* N ế u - —< X< 1 => f (x) < f ( 1 ) = 2 => ( 1 ) vô nghiệm

ĐẠ O

TP

'* Nếu X > 1 => f (x ) > f ( 1 ) = 2 => ( 1 ) vô nghiệm

HƯ NG

Vậy X= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. 2. ðiều kiện: X> 0 .

( l) -

ẦN

ðặt t = log2 X, ta có phương trình: (x + l ) t 2 - ( 2 x + 5 ) t + 6 = 0

TR

Phương trình ( 1 ) có A = (2x + 5)2 - 24(x + 1 ) = 4x2 —4x + 1 = (2x —l ) z

+3

( 2) V

P2

3 3 • t = —— log2 X: X+1 x+l

10

00

B

3 Nên ( 1 ) có hai nghiệm: tx = 2; t 2 = x+1 • t = 2Iog2x = 2 o x = 4.

CẤ

Vì V T (l) là một hàm ñổng biên, còn v p (l) là một hàm nghịch biên và X

A

là một nghiệm của phương trình (2) nên ñó là nghiệm duy nhất của (2).

Í-

-L

Bài tập 7: 1. ðiều kiện: x > 0



Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= 4 và X= 2.

TO ÁN

ðạt t = log7 X => X = T và phương trình ñã cho trở thành: t = log3

í

t f ^ ÍV?Ỵ 7 2 + 2 72 +2 = 3*

NG

V

) + 2.

BỒ

ID

ƯỠ

Vì hàm sô' f(t ) = V3 /

v3,

là hàm nghịch biên và f ( 2 ) - 1

Nên ( 1 ) có nghiệm duy nhất t = 2x = 7z = 4 9 . Vậy phương trình ñã cho có một nghiệm:

X

= 49.

116

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

(x * 0 2. ðiều kiện: í X> 0 . [2X- 1 >0

Khi ñó, phương trình ñã cho log2ị2x - l j + 2x - 'l = log2X+ X

.Q UY

x = y .



Thay vào ( 3 ) và biến ñổi ta ñược PT: 7X_1 - 6(x - 1 ) - 1 = 0 ( 5 )

-L

Í-

Hàm số g (t) = 7f - 6 t - l , có g ,(t) = 7t l n 7 - 6

TO ÁN

=>g'(t) = 7t l n 7 - 6 = 0 o t 0 = lo g 76 - l o g 7ln7 Hàm sô' g(t) nghịch biến trên khoảng ( - 00;t 0) và ñọng biêh trên ( t 0;+oo) nên

ƯỠ

NG

trên mỗi khoảng ñó g(t) cồ nhiều nhất một nghiệm nên phương trình g(t)=0 có nhiều nhâ't 2 nghiệm. Ta thây t 1 = l , t 2 = 2 là hai nghiệm của g(t) suy ra phương trình (5) có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 2 . Hai nghiệm này thỏa mãn ñiều kiện.

ID

Bài tập 8:

BỒ

3. Ta thấy: ị ĩ x 2 + 4x + 5 ) - ịx2 + X+ 3 ) = X2 + 3x + 2 Do ñó, ta ñặt: a = X2 + X+ 3; b = 2x2 + 5x + 4 thì ta có ñược phương trình 117 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

log3a + a = log3b + b o f ( a ) = f(b) ( l ) Trong ñó, hàm f ( t ) = log31 + 1 là hàm số ñổng biến

.Q UY

Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= -2; X= - 1 . 6+x^+ 4x2 + 2 2012x6+x2+1 13. ( l ) o , . X + x + 1i 2012 4x^+2

NH ƠN

Do vậy: ( l ) o a = b o b - a = 0 o x 2+ 3 x + 2 = 0 o x = - l ; x = - 2

Ta có hàm số f (x) = X.2012* tăng trên R nên

(3)

HƯ NG

(2) « • 4x2 + 2 = X6 + X2 +1 o X6 -3 x 2 - 1 = 0

ĐẠ O

TP

(4x2 + 2).20124x2+2 = ( x 6 + X2 + l).2 0 1 2 x6+x2+1 (2)

ðặt u = X2 > 0, phương trình (3) viết lại ú3 - 3u - 1 = 0 (4)

ẦN

Xét f(u ) = u ^ - 3 u - l liên tục trên riửa khoảng [0;+oo).

TR

Dễ thây f(0 ).f(2 )< 0 = > f(u ) = ọ chi có nghiệm trong khoảng (0;2)nên ñặt 7t u = 2cost 0 < t < —■ .

)

B

2

00

I

10

khi ñó phương trình ( 4 ) viết lại

P2

+3

o ' 1 1 7Ĩ _ n 4 COS t - 3 co st = —cos3t = —o ' t = —=>u = 2cos— 2 2 9 9

CẤ

Suy ra phương trình có nghiệm X= ± J 2 COS—

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

Bài tập 9:

o x

(x + l)ln

l

xj

-1

= x2 (x2 + l ) l n í l + - ị ì - l (vì X> 0) ( 1 ) . • V x J -

BỒ

(t + l ) I n | l + ệ - 1

với t> 0 th ì ( 1 ) có dạng: f(x ) = f^x2Ị

118 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

g '(t) =

2t + l -1

4

, có:

_____________ 1

t (t + l ) + (2t + l ) 2 ~

-< 0,V t> 0

t ( t + l)(2 t + l ) 2

.Q UY

Xét hàm: g (t) = ln

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

TP

Do ñó g (t) nghịch biên trên (0;+oo) mà lim g (t) = 0

ĐẠ O

suy ra g ( t)> 0 ;V t> 0 = > f '(t) = (2t + l) g ( t ) > 0 ,V t > 0 hên f ( t ) ñổng biến

Tóm lại PT có nghiệm duy nhâtx = 1.

HƯ NG

trên(0;+oo). v i vậy f (x) = f Ịx2) • » X= X2 « • X= 1.

2. Tacó: Xx+1 = (x + l ) x o ( x + l ) l n x - x ln ( x + l ) = 0.

=ỉn

1 1 X X+1

00

B

, lì 1 1 = -In 1 + - + - + — — x) X x-t-1

X x+l

TR

f'(x) = In x + — i - I n ( x + l ) - —

ẦN

Xéthàm sô f(x ) = (x + l) l n x - x ln ( x + l ) , x > 0

+ -

+3

1

10

\

>0

CẤ

P2

\ xy => f ’(x) > 0 Vx >0=> f (k) là hàm ñổng biên

A

=> f(x ) = 0 có nhiều nhâ't một nghiệm.

Í-



Mặt khác: f(2 ) = 31n2-21n3 = ln—0 64 Nên phương trình ñã cho có nghiệm duy nhâ't e (2;3) .

2 x2_2x+1 log2 (x2 - 2x + 3 ) = 22|x_k| Iog2(2|x - k| + 2 ) (*)

ðặt:u = x2 - 2 x + l > 0 ,v = 2 |x - k |> 0 , f ( t ) = 2t logz(t + 2) thì ta có: (*) f(u ) = f(v)u = v (d o f( t) ñổng biên trên [0; +co))

119 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Do ñó phưong trình ñã cho tương ñương với phương trình: -2 x + l = 2 (x -k )

x 2 - 2 x + l = 2 |x - k | o

Jx - 4 x + 2k + l = 0 (1) (x2 = 2 k - l (2)

NH ƠN

X -2 x + l = -2 (x -k )

.Q UY

Phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì có 3 trường hợp: ® (1) có hai nghiệm phân biệt, (2) có nghiệm kép không là nghiệm của (1) 1 ■ ■ = > 2 k - l = 0 o k = — thử lại ta thây (1) có hai nghiệm phân biệt.

TP

® (2) có hai nghiệm phân biệt, (1) có nghiệm kép không là nghiệm của A i = 3 - 2k = 0 k = —, thử lại ñúng

ĐẠ O

(2)

ẦN

HƯ NG

«» (1) có hai nghiệm phân biệt, (2) có hai nghiệm phân biệt và chủng có ñúng một nghiệm chung => k = 1, thử lại ñúng. 1 3 Vậy k = —;k = —;k = 1 là những giá trị cần tìm.

0 — — + 21og4 X P lo g 22x >0 vlog8x J2

00

>

10

(logx 8 + log4 X2)log2y ỉ ĩ x .

B

TR

Bài lập 11: 1. ðiều kiện: 0 0





log2X

>0»

A

log2X+ l

CẤ

P2

+3

-+ log X (log2X+ 1) > 0 «> (log| X + 3)1 log2x + l >0 . lo g 2 X |lo g ,X 0 1

-L

Í-

2. Bât phương trình log3 X < ( l + log3 x)log5 X = log3 3x.log5 X

NG

TO ÁN

• Nếu X > 1 => ( l )

Ị0 g

x.logx 3x > 1

-° ^x > 1 » Iogs 3x logx5 55

3

(1) ñúng

ƯỠ

• Nếu X= 1

XJ°§3_^X > ị ^ log3x

( l)

BỒ

ID

• Nếu 0 < X < 1 rí> ( l ) log5 3x < 1 o 0 < X < 1

Vậìy nghiệm của bâ't phương trình là

3 0 X 1

ĐẠ O

|x e ( - « ; - l ) Ư(2;-H»)hệnàyVÔnShÌệm2 „ 18

x2 + x

NH ƠN

3. Bất phương trình log6

lgx+7

lg x < l

0 2

ĐẠ O

1. o l g 2x - 3 I g x + 2 > 0

.Q UY

phương trình ñã. cho. Bài tập 15:

lg2x + 3 1 g x - 4 < 0 o - 4 < l g x < l —-7 -< x < 1 0 . 10’

TR

ẦN

3. ðặt t = ^ log4 (2x2 +3x + 2), t > 0.

Khi ñó: 21og2 V2x2 + 3x + 2 =21og4^2x2 +3x + 2^ = 2t2

00

Nên bâ't phương trình ñã cho trở thành:

B

.

+3

10

t + l > 2 t 2 2t2 - t - l < 0 < = > 0 < t < l

CẤ

P2

Iog4(2x2 + 3x + 2 )> 0 Í2x 2 + 3 x + 1 > 0 1 / « _ _ < = > -- < x < 2 log4^2x2 + 3x + 2 j < l [2x 2 + 3 x - 2 < 0 2



A

Vậy nghiệm bâ't phương trình ñã cho là: ——< X < 2 . X3

-L

Í-

4.ðặt t = log2 x . Ta có: logj — = -31og2x + 3 = - 3 t + 3 ỉ 8

TO ÁN

32 log2 —1= 5 -2 1 o g 2x = 5 - 2 t nên bâ't phương trình ñã cho trở thành: X

ƯỠ

NG

t 4 - 9 ( 1 - 1)2 + 9(5 - 2t) < 4 t2 » t 4 - 13t2 + 36 < 0 » 4 < t 2 < 9

2 < t 0 (do (*)) ’ x(2x - 3 x j v

-L

X >5

1 < X< :

NG

TO ÁN

0 < X < — (kết hợp với (*)) Ịà nghiệm bấl phướng trình ñã cho.

ƯỠ

Bải tập 17:

ID

1. Bâ't phương trình o

/ 0 \sin^x

+3 V■

BỒ

\t

/ 1 \sin 2 x

ìm « (|

\£ +3

t e 124

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(2V lY Xét hàm sô' f ( t ) = — +3 — , ta thây f ( t ) là hàm nghịch biên. [0:1]

NH ƠN

=> m axf(t) = f(0) = 4. w

Bất phương trình nghiệm ñúng Vx E l o m > max f ( t) = 4

.Q UY

Vậy m > 4 là những giá trị cần tìm . 4. ðặtt = lgx => t > 0 Vx > 1.

TP

Khi ñố bất phương trình ñã cho trở thành:

t2+

(2).

HƯ NG

*t(l)----- - > m

ĐẠ O

t 2- m t + m + 3 > 0 < í> t2 + 3 < m ( t - l ) ( l) .

ẦN

X éthàm số f ( t ) = ^—1— v ớ it e ( 0 ; l) , có f ( t ) = - ---- ~-~ 2~ (2 )có nghiệm 1 6 (0;l) m < f(0 ) = - 3 .

00 10

Ta có bảng biên thiêh f(t) 1

3 0

+3

t r(t)

+00 + +00



A

CẤ

+00

P2

-

f( t)

B

• t > l = > ( l ) o m ^ = f(t) (3).

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-

(3) có nghiệm t > 1 m > 6. "m 6

125 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

5.

NH ƠN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT

o

.Q UY

A. CÁC DANG BÀI TÂP THEO CHỦ ð Ể . C H Ủ ð Ể 1 _______________________

ĐẠ O

TP

PHƯƠNG PHÁP THẾ - BIẾN ð ổ i VỂ HỆ ðẠI s ố . □ Các ví dụ minh h o ạ :

Ị 3 2x+2 + 2 2 y + 2 = 1 7

2.

1.

[2X+ 4 y = 32 [xy = 8

ẦN

(2.3X+1 +3.2y = 8

HƯ NG

Ví dụ 1.1.5 Giải các hệ phương trình:

4 2x2-2 _ 22*2+y + 4 ^ = 1

TR

í 23x+1 + 2y_2 = 3.2y+3x [ v3x2 4-1 + xy = Vx + 1

10

00

B

22y+2 - 3 .2 2x2+y = 1 6

Lời giải.

P2

+3

fu = 3x 1. ðặt < , ñiều kiện u > 0, V > 0 . [v = 2y

A

CẤ

Hệ phương trình ñã cho biến ñổi về dạng:



Í9 u 2+ 4 v 2 = 17

8 -6 u

\

9u 2- 6 u + 1 = 0

-17

o

Í-

|6u + 3v = 8

ro

9u2 + 4

8 -6 u

8 -6 u

-L

V= -

fx = - l *-y “ 1

NG

TO ÁN

1 u = — , 3X= — 3

0.

8 li Thay y = — vào phương trình ñầu ta ñược: 2X+ 2 x = 32 . X

126 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

16

Xét hàm số f ( x ) = 2x + 2 x v ớ i x > 0 .

!

X

NH ƠN

16 £ Ta có: f'(x ) = 2x l n 2 - - y 2 x ln2;



16 16 Với V x > 0 : f'(x ) = 0 « > x -2 x = — -2 X , x > 0 o x = — ,x > 0

0 và

4 ta có cặp sô' duy nhâ't thỏa mãn bài toán là:

X

(x ;y ) = (4 ;2 ) .

HƯ NG

ð ể ý: Chứng minh f (x) > 32 với X> 0 một cách dễ dàng:

ĐẠ O

Vì vậy với mọi

TP

f(4 ) = 32 vì f '( 4 )> 0 nên x = 4 là ñiểm cực tiểu của f (x ).

.Q UY



/ " JẾ 1+ìíx+MÌ 16 f(x )> 2 V 2 x - 2 x = 2 x hcm nữa X+ — > 8 , từ ñây ta có ñpcm

ẦN

X

TR

Cách 2: Ta có x ,y là 2 sô'ñưong, vì nêu x ,y âm thì 2X+ 4y < 2 2 ^ 2 xA y > 2 ^ 2 2J ỹ =32 ðẳng thức xảy ra khi X= 2y suy ra X= 4,y = 2.

CẤ

P2

22y - 3 .4 x2-1.2y = 4



A

ðặt u = 4x2_1 ' u > ỉ j , v = 2y (v > 0 ) í u2 -4 u v +V2 =1 (1) -Ị Ị v 2- 3 u v = 4 (2)

Khi ñó hệ (*) viết về dạng:

Í-

'

-L

.

TO ÁN

Cách 1: Từ phương trình ( l ) và

(2) suy ra 4u2 - 13uv + 3v2 = 0 o ( u - 3 v ) ( 4 u - v ) = 0 - » u = 3 v hoặc v = 4u

NG

Thay u = 3v vào phương trình (2), ta thây phương trình vô nghiệm.

ƯỠ

Thay v = 4u vào phương trình (2), ta ñược U= 1

fu = l

BỒ

ID

=> ì

[v = 4

ịV*-1 =1

1

[2y = 4

Íx2- 1 = 0 _ |x = ± l

■1

_ ly = 2

1

ly = 2

Vậy, hệ phương trình có nghiệm (- l;2 ),( l;2 )

127

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Cách 2: V ì

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

V

= 0 k hôn g là nghiệm của hệ, từ phương trình ( 2 ) su y ra

(3). 3v v ' Thay ( 3 ) vào ( l) , ta ñược 2v4 —31v2 —16 = 0 ^v2 —16^ 2v2 + l j = 0 :=> V2 = 16 => V = 4

NH ƠN

* u=

.Q UY

„ 1

/

Íx+1>0

HƯ NG

23x+1 + 2 y_2 =3.2y+3x (1) ,----- --------------•v/3x2 + l + xy = VX + 1 ( 2 )

4.

ĐẠ O

Vậy, hệ phương trình có nghiệm (-l;2 ),(l;2 )

fx = ± l

TP

T. , í u = 1 ^ Í4 x2^ = 1 _ fx 2 - l = C) Ta có: •! o í < 0 4 ịv = 4 [2 ^ = 4 ly = 2 [y = 2

Í x > -1

« Ị ; (3 x ; y _ 1 ) = 0

ẦN

„ PhuonS t ì n h ( 2 ) « | 3“x; “ + x y = x + i

TR

fx > -l

<

B

lx = 0 V y = l - 3 x

10

00

Với X = 0 thay vào phương trình ( 1 )/ ta ñược:

11

211

P2

+3

2 + 2y~2 = 3.2y 8 + 2y = 12.2y 2y = — ■» y = log, —

thay vào phương trình ( l) , ta ñược: 23x+1 + 2~3x_1 = 3.2 ( 3)

CẤ

Với I



A

ðặt t = 23x+\ vì X > -1 nên t > - ị 4

Í-

Phương tình ( 3) trở thành: t + —= 6 o t 2~ 6 t + l = 0cí>

t = 3 —2a/2

-L

t = 3 + 2 V2

TO ÁN

ðối chiếu ñiểu kiên t > —— ta chon t = 3 + 2V2 . 4

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Ta có : 23x+1 - 3 + 2 V2 ó X= ~ [lo g 2 (3 + 2V2 ) - 1 ]

=>y = l - 3 x = 2-Iog2(3 -t-2V2 j x=0

x = i [ l o g 2(3 + 2 7 2 ) - l ]

Vậy, hệ cho có nghiệm : y=

Szu

y = 2 - I o g 2(3 + 2>yp)

128

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ 2.1.5 Giải các hệ phương trình: ìo g 8 xy = 3ỉog8 xlog8y

[ ( ^ r ĩ ) y = ^ E i (!) 2 <

X 3 log 2 - = 7 log y X

y

4

y + log3x = l

y

NH ƠN

1.

(2)

.Q UY

2 logi-x (-x y - 2x + y + 2) + log2+y ( x2 - 2 x + l ) = 6

3.

TP

.logi-x(y +5H ° g 2+y(x + 4 ) = l

x - y = ln x + 2 3 y+2

(2) w

HƯ NG

4. •

ĐẠ O

6x2 + y 2 - 5 x y - 7 x + 3y + 2 = 0 ( 1 )

2x3 - y 3 = (2 y 2 - x 2) ( 2 y - x ) ( l ) 5. J 1 2 (2) Lời giải. 1. ðiều kiện: X> 0,y > 0,y

00

B

1

log2x + log2y = log2xlog2y

10

'log8xy = 31og8xlog8y

X

TR

ẦN

log2 x + logxy1 6 - 4

3,

, ■ 3 log2 X lo g2 x - I o g 2 y = y P ^

41og2y

P2

+3

: - - j lo g y x y 4 y

A

u (v -l) = v 3



2u = u v + 4v

" \( v * 0 ) (*)

Í-

u + V= uv 3u (v * o ) « u —V= 4v

CẤ

ðặt: u = ]og2 X ; V = log2 y hệ phương trình trở thành:

TO ÁN

-L

Nêu u = 0 thì V = 0 trái với ñiều kiện, do ñó u ^ 0

V V—1

u=-

Khi ñó hệ (*) ñưa về hệ :

4v2 - 8 v + 3 = 0

NG

2= v+4v

u=V—1

(u ,v * 0 )

BỒ

ID

ƯỠ

f 3a f I s) Hệ này có 2 nghiệm : (u ;v )= -1 ; — hoặc (u;v) = 3 - 2 V 2/ Vậy, nghiệm của hệ phương trình ñã cho là ( x ; y ) = Ỉ ;V 2

, (x ;y ) = ( 8 ; 2 V2 ]

129 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. ðiều kiện: 0 < X < 4

NH ƠN

. Phương trình (2) suy ra y = 1 - Iog3 X 3y = 31-log3X = |og~—= — (3) Thế ( 3 ) vào ( 1 ), ta ñược ị\íx + ĩ —l j —= ----------

'X

X

.Q UY

x 2 + 2x = 0 o x = 0= > y = - l hoặc X = -2 = > y = 1 . x+4 Kiểm tra lại với ñiều kiện (*), ta thấy (x;y) = ( - 2 ; l) thỏa mãn.

TO ÁN

o

NG

Vậy, hệ cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( - 2 ; l ) .

BỒ

ID

ƯỠ

4. ðiểu kiện: X> —2,y > - 2 . Phương trình ( l ) viết lại ( y - 3 x + 2 ) ( y - 2 x + l ) = 0y = 3 x - 2 hoặc y = 2x - 1 Phương trình ( 2 ) viết lại: x -3 1 n (x + 2) = y - 3 I n ( y + 2) Xét hàm sô' f(t) = t-3 1 n (t + 2) với t > - 2

130 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

t —1 Ta có: f'(tị) = - — trên khoảng (-2;+oo): f'(t) = 0t = l

!

NH ƠN

Lập bảng biêh thiên, nhận thây hàm f(t ) nghịch biên trên khoảng ( - 2 ; l) và ñổng biến trẽn khoảng (l;+oo)

.Q UY

Với X= 1 => y = 1 thỏa mãn hệ phương trình.

Với x,y e(-2;+co) và khác 1 =>f(y)>f(x)

TP

Thật vậy, vì y = 3x - 2 hoặc y = 2x —1

ĐẠ O

Suy ra y —X= 2(x —l ) hoặc y - X = X- 1. Nhận thây:

Với x < l = > y < x = > f ( y ) > f ( x ) , do hàm sô' nghịch biến trên ( - 2 ; l)

HƯ NG

Với x > l = > y > x = > f (y ) > f (x ), do hàm sô' ñổng biên trên (l;+oo) Vậy, hệ phương trình cho có nghiêm ( l ; l )

Ịo < xy

ẦN

Ịx > 0 ;0 < y * l 5. ðiều kiên: < 1

I o g 24 x y

00

B

TR

£ Phương trình (2) tương ñương với log, X+ ----- ---- = 4 - log, y , tức 1

4

log2xy

n g h ĩa là

+3

logz4xy

10

lo g 2 x + lo g 2 y = 4 -------- ------= 4 ----------—

P2

4 2 log2 xy = 4 ------------ , quy ñổng và rút gon ta ñươc : (log2 xy - 2) = 0

CẤ

log2xy

A

Suy ra log2 xy = 2 f '( t ) = 2l ỉn 2 + 1 > 0, Vt e M Vậy f (t) là hàm ñơn ñiệu tăng trên R ,m à f(x ) = f(y ) nên X = y .

Với X= y , phương trình thứ 2 trở thành: (x2 - 3 x ) \ /x 2 - 3 x - 2 > 0

1I32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1x 2 - 3 x > 0

1 Ci>X< —— V x = 2 V x > 3 j xX< < —— _ ỉ "V V xX> 2 2 2 I |x < 0 v x > 3

? 2« - 4 8y2* L 3( 2 ^ - ^ ) 2 ^^ 4 y ^? 2

= = .1

.Q UY

jV x 2- 3 x - 2 > 0 ^

(1) (2)

2

TP

»

NH ƠN

x=2vx=-

Vx2 - 3 x - 2 = 0

ĐẠ O

ðiều kiện : X> 0,y > 0

X éthàm số: f ( t ) = 2r +1+3V t

( t > 0 ) ,t a c ó :

HƯ NG

Phương trình ( l ) viết lạ i: 2X +1 +3%/x = 2^4y^ +1 + 3 y ịĩ ỹ (3)

ẦN

f'(t) = 2t.2t +1ln2 + —^=>0 với V t> 0 , suy ra hàm số f ( t ) ñồng biên trên

TR

nửa khoảng [0;+oo), khi ñó phương trình (3) o x.= 4y ( 4 )

00

B

ðặt u = X+ y , phương trình ( 2 ) trở thành : 2U +1 + 3-s/ũ = 7 ( 5 )

+3

10

Xét hàm SỐ f (u) = 2U +1 + 3Vũ ñổng biên với mọi u > 0.

P2

Hàm số f(u ) cắt g (u ) = 7 tại giao ñiểm có hoành ñộ u = l , suy ra phương

CẤ

trình ( 5 ) có nghiệm duy nhâ't u = 1 tức X+ y = 1 (6). 4 1 f 4 1^ Từ ( 4 ) và (6 ) suy ra X = —,y = —. Vây, hê cho có nghiêm —

5



v5 s )



A

5

.

"2y(4y2 + 3 x 2) = x 4(x 2 + 3) ( 1 )

Í-

3.

-L

2012x( V 2 y - 2 x + 5 - x + l ) = 4024 ( 2 )

TO ÁN

Nêu X = 0 thay vào ( 1 ) thây không thỏa mãn. 2y

2y

= x3 +3x

NG

Nếu x ^ O , chia cả 2 vê'của ( 1 ) cho X3, ta ñược:

ƯỠ

Xét hàm s ô 'f(t) = t + 3t, V te R .T a c ó f'(t) = 3t +3 >0, Vt e K do ñó f(t)

BỒ

ID

2y 2 ñồng biên trên R , từ ñây ta suy ñược — = X tức 2y = X X Khi ñó phương trình ( 2 ) viết lại: 2012X_1^-J(x —l ) 2 + 4 —(x —1 )^ = 2 (3).

133 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðặt u = X—1, khi ñó (3) trở thàn h : 2012“ Ịa/u2 + 4 - u j = 2.

.Q UY

Ta có: g'(u) = 2012u(Vu2 + 4 - u ) In2012— r 1 ' '• Vu2 + 4 ,

NH ƠN

Lại xét g(u ) = 2012u|V u2 + 4 - uj với u e M .

TP

Vì Vu2 + 4 > u và ỵ Ẳ — =r< l< I n 2 0 1 2 nên g '(u )> 0 với u e R . \/u 2+ 4

HƯ NG

1 nhâìt của phương trình (3). Từ ñó X= 1 và y = —.

ĐẠ O

Suy ra hàm số g(u ) ñổng biến trên jR và g(o) = 2 nên u = 0 ỉà nghiệm duy

Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = 1;— l 2/

ẦN

/I .,2 I ; 4. ðiều kiện: y + 2x ^> n0

TR

2(x3 + 2 x ) - 2 ( y + l ) = x2(y + l) Hệ phương trìrdi cho viết lạ i:

10

00

B

y 3 + 4 x + l + ln(y2 + 2 x ) = 0

+3

(x2 + 2 ) ( 2 x - y - l ) = 0 hay

y = 2 x -l tức là

y 3 + 4x + 1 + lnỊy2 + 2xỊ = 0

CẤ

P2

y 3 + 4 x + l + ln Ị y 2 + 2 x j = 0



A

Từ ñó suy ra (2x —l) 3 + 4x + 1 + ln (2x —l ) 2 + 2xỊ = 0

Í-

Xét hàm SỐ f (x) = (2x - 1)3 + 4x + 1 + In (2x - l ) 2 + 2x với Vx € R

-L

Dễ thấy f(x) luôn ñổng biên với Vx G M và f(0) = 0, suy ra phương trình

TO ÁN

f(x) = 0 có nghiệm duy nha't X= 0. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm duy nhâ't (x; y) = (o; —l ) .

BỒ

ID

ƯỠ

NG

5. ðiều kiện : X> 0,y > 0. Phương trình ( l)

ex —X= ey —y có dạng f (x) = f (y).

Xét hàm sô': f (t) = er —t với t > 0. Ta có : f ’(t) = e t —1 > 0 với t > 0 , suy ra hàm sô' f(t) luôn ñổng biên trên

khoảng (0;+oo) và f(x) = f ( y ) « x = y .

134 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Với X= y thì phương trình (2 ) trở thành ìogị X—3 log2X—2 =

0( 3 ).

NH ƠN

ðặt t = log2 X, phương trình (3 ) viết lại t2 —3t —2 = 0 , giải phương trình này ta ñược t = 1 hoặc t = 2. Với t = 1 tóc log2x = l < ^ x = 2. X

=4

.Q UY

Với t = 2 tức log2 X = 2

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là (2;2),(4;4).

TP

6. ðiều kiện : X > 0,y > 0.

ĐẠ O

Phương trình ( 1 ) tương ñương với

HƯ NG

ex3+x + ln x = Iny + ey3+y dạng f(x) = f(y ). Xét hàm s ố : f (t) = ln t + el +t vói t > 0.

ẦN

Ta có : f '( t ) > 0 với Vt > 0 , suy ra hàm sô' f(t) luôn ñồng biên trên khoảng

TR

(0;+oo) và f;(x) = f ( y ) - ^ x = y .

4

(3 ).

00

B

Với X= y thay vào phương trình (2 ) ta ñược X8 + 3 x 4 =

10

ðặt 11 = X4 với u > 0 , khi ñó phương trình (3 ) trở thành u2 + 3u —4 —0,

+3

phương trình này có nghiệm u = 1 thỏa ñiều kiện u > 0 .

CẤ

P2

Với u = 1 tức X4 = 1 hay X2 = 1 suy ra X = 1. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là ( l; l) •

1. -

v---------

TO ÁN

4

-L

Í-



A

Ví dụ 2.2.5 Giải các hệ phương trình:

ð ề dự bị ðH khối A - năm 2007

BỒ

ID

ƯỠ

NG

X+ Vx2 - 2x + 2 = 3y_1+ l 3. ■ ,___ __ __ _ y + A/y 2 - 2 y + 2 = 3 x- 1 + l

w

2xy 2 , y + ------ — ------ - y + x

ð ề dự bị ðH khối B - năm 2007

135

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giải. X3 + X+ log2X= 8y3 + 2y + log2(2y)

1. Phương trình ( l)

(3)

NH ƠN

Xét hàm sô': f (t ) = t 3 + 1 + log21 với t > 0 Ta có: f ( t ) = 3 t2 + 1-+— ỉ — > 0 với V t > 0 ,d o ñ ó f ( t ) luôn ñổng biên trong

í

y = — thỏa y > 0 .

TP

Với X = 2 y , phương trình (2) trở thành : y 2 = —

.Q UY

khoảng (0;+oo), phương trình (3)f(x) = f(2 y ) tức x = 2y

l ì

HƯ NG

ĐẠ O

Vậy, hệ cho có nghiệm: (x;y) = 1;— V 2/ 2. ðiều kiện: xy > 0.

ðặt t = log2 (xy) => xy = 2l , khi ñó phương trình ( l) trở thành: 9t - 3 = 2(2t )I°g23< *3 2t- 3 = 2.3t o 3 Zt- 2 .3 t - 3 = 0

ẦN

o

(3f + l ) ( 3 t - 3 ) = 0 , suy ra 3l = 3 tức x

TR

Phương trình (2) X2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0

00

B

(x + y ) 2 + 2 (x + y ) - 2 x y + l = 0 « ( x + y ) 2 + 2(x + y ) - 3 = 0 do (3),

10

phương trình này tương ñương ( x + y - l ) ( x + y + 3) = 0

CẤ

P2

+3

X+ y = -3 hoặc X+ y = 1 íx + y = -3 íx = —1 fx = - 2 T H 1: í ị hoặc w =2 [y=-2 [y= -i

fx + y = l

A

trường hợp này vô nghiệm.



TH 2: < ' [xy = 2

Í-

Vậy, hệ ñã cho có nghiệm

-L

3j. ð ặ t a = X —l , b = y —1

TO ÁN

Hệ phương trình

BỒ

ID

ƯỠ

NG

X + Vx2 —2x + 2 = 3y : + l ( l ) X—1 + J ịx —ì ỷ + 1 = 3 y 1 __________ v )

Ậ 2 + y 2 + 1 - - J x 2 - y 2 =3

u + v = 2V ũ v + 4 ( u > v )

,2 , „2 , 0 u2 + V2 + 2

í

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Ta có hệ:

y/x + y = 2 + y Ị x - y

-L

Í-



log2 ựx + y = 31og8 (2 + y/x- y

( u + v )2 - 2 ụ v í 2 _ v ^ j 3

141 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=>Vuv + 8Vũv + 9 - Vũv = 3 o u v + 8 Vũv + 9 = Ị3 + Vũv j uv = 0

Phương trình ñẩu ñưa vê' phương trình: 3x + 1 = 4 y ịĩ ỹ

.Q UY

Phương trình thứ hai viết lại: 2 ^ -4y + 2 = 10= >4y = x 2 —9

NH ƠN

5\ x > - - , y > 0 ,x z - 4 y > 0

6. ðặt t = 2log3'Xy^> 0 , phương trình ñầu suy ra t = 2=> log3(x y) = 1

ĐẠ O

TP

3 o x y = 3 -» y = — X

HƯ NG

36 í 9ì 9) log4| 4x2 + ^ f j = | + l o g 4x + Iog4 ( X+ — 4x "*— T' =2x X+ — X2 X2 = 3

TR

x = yỉẽ,y = ^ -

B

7. ðiều kiện: x + y > 0 v à x - y > 0

ẦN

« 2 x 2+ - ^ - 1 8 = 0 « x 4 - 9 x 2+18 = 0 o

x = \/3 ,y = V3

10

00

Phirơng trình ( 1 ) viết lại 5“(x_4y) = 5 2 tírc - ( x - 4y ) = ———, nghĩa là X = 3y .

+3

Thay X= 3y vào phương trình (2 ), ta ñược:

P2

log2(4 y ) + log2(2y) = 5 tức log2(8 y 2) = 5, nghĩa là y 2 = 4 suyra y = ±2.

CẤ

Kết hợp ñiểu kiện => y = 2 Kết luận: hệ phương trình có 1 nghiệm (x;y ) = (6 ;2 ).



A

8. ðiều kiện: 0 < X 1,0 < y ^ 1

Í6x + 4y = x 2 fx2 - 2 x - 8 = 0 fx = - 2 , íx = 4 _ _^ I _ 1 hoặc |x + y - 2 = 0 [y = 2 - x [y = 4 [y = - 2

ID BỒ

Í6x + 4y = xz Í6x + 4y = x2 , v Í6x + 4y = x2 i . ■ tức { ' hoặc ị 3_ ((x -y )(x + y -2 ) = 0 |x - y = 0 ịx + y - 2 = 0

Í6x + 4y = x2 íx 2 - 1 0 x = 0 fx = 0 fx = 10 * í ị 0 , ta có:

ĐẠ O

f'(t) = 3t2 + 1 H— -— > 0 với Vt > 0 , suy ra f (t) luôn ñồng biến trên khoảng

HƯ NG

(0;+°o)

Phương trình (*)f(x) = f(2y)x = 2y thay vào phương trình thứ 2 ta

ẦN

tìm ñược (x ;ỷ )= 1;— V

TR

2. ðặt t = log7(2x + 3y) suy ra 2x + 3y = 7t . Khi ñó phương trình ( l ) trở

10

00

B

í 7 í 1 thành 2t = log3(7t + 2 ) tóc 9* = 7 * + 2 o Ị ^ - J + 2 |^ J = 1 ( 3 )

j + 2^— , dễ thây hàm sô'này ỉuôn nghịch biến trên M

P2

+3

Xét hàm số f (t) =

CẤ

và f ( l ) = l do ñó phương trình ( 3 ) có nghiệm duy nhâ't t = l tức 2x + 3y = 7

A

hay 3 y = 7 - 2 x .



Thay 3y = 7 —2x vào phưong trình ( 2 ), ta ñược

-L

Í-

ln^4x2 + x + l ) + x 3 + 21 = 3 ( 7 - 2 x ) tức ln^4x2 + x + l ) + x3 + 6x = 0.

TO ÁN

Xét hàm sô' f(x ) = ln^4x2 + x + l j + x3 +6x với x e M .

ƯỠ

NG

c,r \ 8x + l _ 2 /- T 2 24x2 + 14x + 7 _ Ta có: f (x) = —V —----- + 3x +6 = 3x + ------ ——---- -— >0 vớiVx ễ e M nên 4x +X + 1 4x +X + 1 f(x ) luôn ñổng biến trên R và f(0 ) = 0 , do ñó phương trình ( 2 ) có nghiệm 7

BỒ

ID

x = 0= > y:

Vậy hệ ñã cho có nghiệm: (x;y) =

Vs°

i 143

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

B. BÀI TẬP Tự LUYỆN. Bài tậỆ 1: Giải các hệ phương trình sau: [x2 + y 2 = 29

Ịx + y = 5

l o g i ( y - x ) - l o g 4- = l 4 y

4.

ilo g 4 X - Iog4 y = 1

X2

+ y 2 =25

ỉog2(x2 + y 2) = l + log2(xy)

ĐẠ O

Ilogx xy - l o g y X 6.

^y21ogyx = 4 y + 3

HƯ NG

3 x 2-x y +y2 = 8 1

l o g i ( y - x ) - l o g 4ỉ = l 4 y

y / x - l + y Ị ĩ - y =1 8.

ẦN

3.1og9(9x2) - l o g 3y 3 = 3

+ y 2 =25

TR

X2

.Q UY

í xiog8y+ y>°S8^= 4

NH ƠN

Ịìgx + lgy = l

2.

TP

Í2X + 2 - 1 2

23x= 5 y 2 - 4 y

Ỉg(x2 + y 2) = l + 31g2

10.

B

9.

10

2X+2

=y

P2

+3

Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:

00

lg(x + y ) - l g ( x - y ) = ỉg3

4 X + 2 X+ 1

CẤ

ìogx ị x 3 + 2 x 2 - 3 x ~ 5 y j = 3 1.

" [4X+ log 2 y = 5



A

logy (y 3 + 2 y 2 - 3 y - 5 x ) = 3

2 Í2X+ ỉog2 y + 2Xlog2 y = 5

Í-

ịlo g ^ (x + y) = 2

4. <

8 (x 4 + y ) - 6 x4- y =:0

TO ÁN

-L

3.

(x 4 + y)).3y- x4= l

Í3'x.2y = 1 152

+ 71- ì

X3 - — 3x2 + 5x + 9 > 0 3

ƯỠ ID BỒ

xlog2 + log2 y = y + log2 ^

r 2 3x+l + 2 y - 2 = 3 _2 y+3x

7.

2 -6 =0

I g (3 x - y ) + Ig(y + x ) - 4 l g 2 = 0

NG

5.

y-2 x

\2 x -y

log 2 X - lo g 2X2 < 0

8.

V3x2 +1 + x y = Vx + 1

X Iog3 12

+ log3 X = y + log3

2y

144 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

9.

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

lo g 2 x + 3 J 5 - l o g 3 y = 5

10. 4 y x = 32 Ịjog3(x + y ) = l - l o g 3(x + y)

3ựlog2x - l - l o g 3y = - l

NH ƠN

Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:

X

ỉog4 (xy + 1 ) - Iog4 (4 y 2 + 2y - 2x + 4 ) = log4 - - 1

TP

1.

.Q UY

Ịlog4 (x 2 + y 2) - Iog4 (2 x )+1 = ỉog4 ( x + 3y)

2x2y + l + x(y + 2)

21o g 3x+1 ( 2 x + 1 ) - 1 = l o g 3x+1 =

0

ẦN

2y_5 + 22x+1 - 1 6

6x 2+ 5x + 1

HƯ NG

log3^ (2Zx+y + 22x-y - 2 ) = 4(2y + l)lo g 9 2 V2 V

3.

ĐẠ O

V2y + 3 - V 2 x - 3 = 2 2.

TR

2x2+y2.4x+y =32

00

B

j ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 ( x 3 + y 3 ) + 4 ( x 2 + y 2 ) = i 3 + 2 x 2y 2

+3

10

Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:

P2

Ị e x - e y =(Iog2y - l o g 2x)(xy + 1 ) ( 1 ) (2)

CẤ

ix 2 + y 2 = l

A

2Iog3_x (6 - 3 y + xy - 2x) + log2_y ị x z - 6x + 9} = 6

X2

- l ó x + 64

>0

(x + 2) = 1

TO ÁN

3.

+4

Io ỗ 2-y

Í-

X2

(5 - y) -

-L

l o § 3 -x



2.

ỉgVx + 7 > l g ( x - 5 ) - 2 1 g 2

4.

NG

2 (x ~ y )2 + ( 2 x - l) 2 = 3 y ( x - l) + x

x - y = ln (x + 2 ) - ỉ n ( y + 2)

ƯỠ

3

ID

■(1 + 4 2«-,)5 w » , = 1 + 2 2 l,y > 1

HƯ NG

ey = 2 0 1 1 -

Vx2 - : 2. Chứng minh rằng với a > 0 hệ phưong trình sau có nghiệm duy nhâ't:

ẦN

j e x - e y = ln ( l + x ) - l n ( l + y)

B

TR

Ịy - X = a 3. Tìm tâ't cả các giá trị tham sô' m ñể hệ phương trình : có hai nghiêm phân biêt. (2)

P2

c. HƯỚNG DẪN GIẢI.

(1)

+3

10

00

'lo g ^ x + l j - i o g ^ x - l ^ l o g g i , „ . Iogz(x 2 - 2 X+ 5 ) -m lo g i2_2iiíS2 = 5

CẤ

Bài tập 1: 1. Từ x + y = 5= > x = 5 - y thay vào phương trình thứnhâ'tcủa hệ, ta ñược:

A

2y = 4

= 1 2 o 2 2 y - 1 2 . 2 y + 3 2 = 0



+ 2 y

y = 2=>x=3 y = 3=>x = 2

Í-

2y =8



-L

Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (2;3), (3;2).

TO ÁN

5. ðiều kiện: 0 < x,y ^ 1.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

iogxy = 21ogy ^iogy x Ịli + ỉogxy 21ogy x = logy (4y + 3)

r í x =y X -4

flogxy = l

Ịx2 = 4y + 3 flogxy = - 2 lx2 = 4 y + 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Jlog‘ y ++ loị [log^y logx y - 2 = 0 Ị x 2 = 4y + 3

x -3 = 0

x =y =2

+ yỈ7

X - 2



1 4y + 3 y - l = 0

y

4

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

(

'

6. ðiều kiện: xy > 0

X2 -

xy

+y 2 =

4

íx2 + y 2 = 2xy

Jx = y

jx2-x y + y2= 4

|x z =4

.Q UY

log2(x2 + y 2) = log2(2xy)

Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = ( -2 ; -2 ) ,( 2 ;2 ) .

TP

[x -y >0

9. ðiều kiện : -Ị Ix

NH ƠN

Vậy h ệ dã cho có hai cặp nghiệm: ( x ;y ) = ^2 + V ỹ;2 + \/7 j, Ị 2; —

ĐẠ O

+y>0

Ig(x2 + y 2) = l + 31g2 = lg l0 + lg23 = lg80

HƯ NG

Hệ

x + y

l g ^ = lg3 x -y

[x -y

[x = 2y

=3

[x = ±8

ẦN

[x 2 + y 2 = 8 0

^ l y 2 = 1 6 ° j y = ±4'

TR

^ | x = 2y

X2 + y 2 = 8 0

00

B

Kết hợp với ñiều kiện, ta thấy hệ có một cặp nghiệm: (x;y) = ( 4 V3 ;2 \/3).

10

Bải tập 2: 1. ðiều kiện:

+3

0 0

A

y 3 + 2y2 - 3 y - 5 x > 0 Í2x2 - 3 x - 5 y = 0

Í-



j|x x 3 + 2 x 2 - 3 x - 5 y = xx3 Khi ñó hệ .Ị y 3 + 2 y 2 - 3 ỵ - 5 x = y 3

-L

2x - 3 x - 5 y = 0 9

X -y

NG

TO ÁN



7

+ x -y =0

(2y2 - 3 y - 5 x = 0 2x - 3 x - 5 y = 0 w

_

,

[(x -y )(x + y + l) = 0

(do x,y > 0 )

x =y x = y = 4 . ■ [2x 2 - 8 x = 0

ƯỠ

ðôí chiếu ñiệu kiện, ta thây: X = y = 4 là nghiệm của hệ ñã cho.

BỒ

ID

2. ðặt a = 2X;b = ỉog2 y . ía + b + ab = 5 fa + b + ab = 5 Ta có hệ: „, < 9 >ệ: i , (a + b = 5 [(a + b) -2 a b = 5 147

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ja + b - - 5 fab = 5 - ( a + b) • I(a + b)2 + 2(a + b )~ 15 = 0

jab = 10

(VN0)

NH ƠN

ja + b = 3 jab = 2

\ab = 2

[b = 2

'/ \ =>(x;y).

[b = l

v

;

.Q UY

fa + b = 3 ja = 1„ J p - 2 1 i _ hoặtf ị

TP

Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (0 ;4 ),(l;2 ).

ĐẠ O

Bài tập 3: 1. ðiều kiện: x ,y > 0 2(x2 + y 2) - = log4 (x + 3y)

HƯ NG

log4

i.

Hệ ñã cho



_

P2

+3

4x2 + 2 y - 2 x + 4

- 3 x y + 2y2 = 0

(l)

4y

Ta có: ( l) < = > ( x - y )( x -2 y ) = 0

x=y x = 2y

A

CẤ

X2

4 y (x y + l ) = x^4x2 + 2 y - 2 x + 2j (2)

X

10

x ý ịl

B

= x + 3y

X

00

2(x2 + y 2)

TR

ẦN

xy + 1 , _ X — -------= log4 — l0S4 „_.2 4x + 2y - 2x + 4 4y



• x = y thay vào (2),ta ñượcí 4 xỊx2 + l j = x^4x2 + 2 j o X - 0 (loại)

TO ÁN

-L

Í-

• x = 2y thay vào (2), ta ñược: 4y^2y2 + ì j = 2 y (r 6 y 2 - 2 ỹ + 2^ 4 y 2 - y = 0

1 1 y = —■=> X = —.

NG

2. Phương trình thứ hai của hệ 3 log3 Ị 22x+y + 22x y —2 j = 3 log3 22y+1

BỒ

ID

ƯỠ

22x+y + 22x_y - 2 = 2.2Zy ọ 22x-y (22y + l ) - 2 ( 2 Zy + ì)|= 0

^22y + 1 j |2 2x~y —2 j = 0 2Zx-y = 2 y = 2x —1 thế vào phương trình thứ

nhất của hệ, ta ñược: v 4 x + l - v 2 x - 3 = 2 V4x + 1 = 2 + V 2 x -3 4x + i = 4 + 4 \/2 x - 3 + 2 x - 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X = 2 => y = 3

2

x = 6=>y = 11

X - 8 x + 12 = 0

NH ƠN

x = 2 s/? x -3

Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x;y) = (2;3), ( 6 ; l l ) .

.Q UY

_ Í0 < 3 x + l * l 1 3. ðiểu kiên : í —— 0 3

ĐẠ O

xy(2x + l ) + 2x + l

=

HƯ NG

. ,2 « l o g s„ , ( 2 X + l )

TP

/ \ 2x2y + l + x (y + 2) Ta có: 2 log3x+1 (2x + 1) - 1 = log3x+1---- ^ ----6x +5X + 1

(xy + 1)

B

l o g3x+l ( 2 x + 1 ) Z = 1 ° g 3x+l

TR

y = 8

P2

2

+3

Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta ñược:

CẤ

2 X 2 +y2+2(x+y) _ 3 2

4. Hệ ñã cho

A

y 4 + 4-(x3 + y 3Ị + 4-Ịx2 + y ^ = 13



X4 +

X2 + y 2 + 2(x + y ) = 5

Í-



(x2 + 2x) + (y 2 + 2y} = 5 ( x 2 + 2x ) + ( y 2 + 2 y ) = 13

TO ÁN

-L

( x 2 + 2 x ) 2 + ( y 2 + 2 y ) 2 = 13

ðặt a = x 2 +2x;b = y z + 2 y = > a , b > - l .

NG

Ta có h ệ :

fa + b = 5

a = 2;b = 3 fa + b = 5 1 => a = 3;b = 2 ab = 6 [a + b = 13

ID

ƯỠ

Tá có: t 2 + 2t = 3 t 2 + 2t - 3 = 0 Í=>V T (3)>0>V P (3)=Í>(3) vô nghiệm. VT(3) < 0 < v>p(3) => (3) ñúng



Nêu X < 1

Í-

=>(3) có nghiệm - 1 < X< 1.

TO ÁN

-L

Suy ra hệ có nghiệm «■ ( 2 ) có nghiệm - 1 < X < 1.

X2 - 2 x + 3 T a c ó :(2 )o m = -.. - = f(x ).

■.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Xét hàm sô' f ( x ) v ớ i - l < x < l ,c ó : f'(x ) = —— —~2~■=>f'(x) = 0x = 2--\/3 . (x -2 )

Dựa vào bảng biến thiên

hệ có nghiệm - 2 < m < 2 - 2 V3 .

Bài tập 6: 1. Trừ hai phương trình của hệ, ta ñược: ex — J=x= = -= cy ey —

Vx2-1

y

yỊy2-1

150

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

( l ) . Trong ñó, hàm số f(t) = et — , t Vt2 - 1

t > 1 có:

.Q UY

NH ƠN

f(x ) = f(y )

TP

Thay vào hệ, ta có phương trình: ex + --1-. - 2 0 1 1 = 0 (2). Vx2 - 1

1

=>g"(x) = ex H—

HƯ NG

g'(x) = g*-

ĐẠ O

Xét hàm số g(x) = e* + -7 = = = r-2 -2 0 1 1 , X> >1 1 có: VX2- 1

> 0 V x > :1.

ẦN

CHUYÊN ðỀ III____________________________

00

B

TR

CÁC VẤN ðỀ LIÊN QUAN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHẢN VÀ ỨNG DỤNG.

P2

+3

10

Trong chuyên ñề này cung câp kiên thức về phép tính tích phân. Nắm vững phương pháp tính tích phân biến số và tích phân từng phần. Vận dụng tích phân trong một số bài toán tính diện tích các hình phẳng và tính thể tích các các vật thể.

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

Bài toán nguyên hàm của hàm sô' là bài toán ngược với bài toán tìm ñạo hàm nhưng khó hơn nhiều. Trong bối cảnh hiện nay, máy tính ñược phổ biến rộng rãi, do vậy tác giả biên soạn những bài toán cơ bản. Những bài tập khó, phức tạp, mang tính chất mẹo mực, tiểu xảo ñược loại bỏ. Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Nguyên hàm. 2. Tích phân. 3. ứ ng dụng tích phân.

NGUYÊN HÀM

NG

§ 1 .

ƯỠ

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:

ID

- Nắm ñược nguyên hàm của một sô'hàm sô' thường gặp.

BỒ

- Nắm ñược phương pháp biên số và nguyên hàm từng phần.

2. Kĩ năng: - Vận ñụng thành thạo tính châ't cơ bản của nguyên hàm. 151

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA. 1.ð ịnh nghĩa:

2.

Các tính chất:

NH ƠN

Cho hàm số f xác ñịnh trên K. Hàm sô' F ñược gọi là nguyên hàm cửa f trên K nếu F'(x) = f(x ) V x eK . x

.Q UY

ðịnh lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K ñều có dạng F (x)+C , C eM . Do vậy F(x) + C gọi là họ nguyên

ĐẠ O

TP

hàm của hàm f trên K và ñược kí hiệu: Jf(x)dx = F(x) + C.

ðịnh lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K

+ j[f(x )± g (x )]d x = Jf(x)dx± jg(x)dx.

HƯ NG

ðịnh lí 3. Nếu f,g là hai hàm liên tục trên K thì:

TR

ð ịn h líể . Nếu Jf(x)dx = F(x) + C thì

ẦN

+ Jk.f(x)dx = k J"f(x)dx với mọi sô' thực k ^ 0.

00

B

Jf(u(x)).u'(x)dx=Jf(u(x)).d(u(x)) = F (u (x)) + C. Nguyên hàm mở rộng 1 = —In|ax + b| + C

ax + b

a

dx

1

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

P2

+3

Các hàm sơ câp thường gặp

10

3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

—— - = tanx + c J cos X

1

BỒ

ID

ƯỠ

+

152 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

, r ax + b , C húý: I---------Ĩ--------- rdx

•'( c x - a )( d x - p )

'

l

ì

cx-a

' + cỉ

1

ld x - p

.Q UY

, , ax + b • Lây nghiệm của cx —a thay vào ------ - ta ñược p , J o , . ax + b . Lây nghiệm của d x -p thay vào —---- ta ñược q

TP



NH ƠN

Tách phân thức trong tích phân trở thành: p

ĐẠ O

cx-a c. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ.

HƯ NG

1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích. 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biên s ố .

ẦN

3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần .

TR

o CHỦ ð Ể 1 ___________ _____________

10

00

B

TÌM NGUYÊN HÀM BANG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

+3

□ Các ví dụ minh hoạ:

CẤ

P2

Ví dụ 1.1.1

71 ,

16

A

■;" 22x 1. Tìm nguyên hàm của hàm sô' F(x), biết f(x ) = sin 2x và fFÍ 8

Í-



2. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x ) = sin2x.tanx thỏa mãn

-L

ì ị . ã .TW ^ ÃU f W ) .. U. 3J) 4 U ;

TO ÁN

3. Xác ñịnh a,b,c sao cho F(x) = Ịax2 +bx + (cj> /2x -4 là 1 nguyên hàm của

■ rr,

,

ƯỠ

NG

,, x _ 2 0 x 22 -2 9 x +. 7n , V hàm sô f(x ) = ------ —---------- trong (2;+oo). _ _ V 2X-4 _____ Lời giải .

1-C0S4X , ,

2n

X

BỒ

ID

1 .Tacó: f(x j = sin 2x = ---- —----- ,h àm sô f(x ) có nguyên hàm là F ( x ) = —X - —s i n 4 x + c

2

8

153 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Vậy, F(x) = —X - —sin4x + —. 2

8

8

.Q UY

2. F (x )= [sin2x.tanxdx= [2sin J4.co sx .^ i-d x = 2 fsin2xdx J J cosx J

TP

F (x )= | ( l - c o s 2 x ) d x - x - Sin^- + C

7t

4y

4

1

2

3

>/3

f 7 ti

71

a /3 -1

sin2 — + — - —= 2 23

7C

212

ẦN

^ 71 ^

n

HƯ NG

„ / \ sin2x V3 F(x) = x -----+ w 2

ĐẠ O

c f Jti a/3 n 1 . 2n r _ ' Ỉ 3 _ ^ r _ y Ỉ 3 n F — = — « ^ - - - s i n — + c = — =>C =Jr - —r l3 i 4 3 2 3 4 2 3

B

TR

, . 5ax2 + (3 b -8 a )x + c - 4 b 3. Ta CÓ: F'(x) = -------------- v-.... ’ ------------------v ’ V 2X -4 a=4

10

00

5a = 20

+3

Ta luôn có: F'(x) = f ( x ) , Vx > 2 khi và chỉ khi 3 b -8 a = - 2 9 b = l c= ll

P2

c - 4b = 7

CẤ

Vậy, F(x) = ^4x2 + x + l l j V 2 x - 4 .

Í-

l~ lfx



A

Ví dụ 2.1.1 Tìm nguyên hàm:

Jl

^ )

TO ÁN

-L

1

„3

\2

dx

Ỉ2 = í~----~dx 2

J x + 1

I3 = ---- - —r-dx 3

J(x + 1 )5

P h â n tí c h t ì m lờ i g iả i:

3 ì = X2-6V r rr. ^ T~^ ’ ' rvxdx /T7j = -~ 2xVx + c„ X— ~ X+ — .ð ểý: I X 7 J 3

BỒ

ID

ƯỠ

NG

f

=> J-v/ax + bdx= jVax + b —d(ax + b) = — (ax + b)Vax + b + C. 3 3â £ * = In|x| + C ^ J ^ x - J ^ . ỉ . d ( a * + b) = iln |a x + b| + C Trường hợp x > 0 = > j—dx = lnx + c .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

( f + l ) - 2 J x 3+ l)

'■ x + 1

x+1

2

x+1

x+1

x+1

NH ƠN

g 3 -i

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðểý: a3 +jb3 = (a + b )(a2- a b + b2Ị. X

x+ l - l

1

1

.Q UY

(x + l) 5 ~~ (x + l) 5 ~ (x + l ) 4 (x + l) !

'

v

1 -n

r

( n -l)(x + l)

ĐẠ O

JV

TP

f— - — dx = f(x + l) nd(x + l) = f c ^ — + c = ---------- ----- =r + c.

J(x + l ) n

HƯ NG

=> [----- —— d x= [(ax + b)~n.—.d(ax + b) = ------------- -------- -T + C (ax + t ) n JV ' a v 1 a ( n - l ) ( a x + b) Lời giải

ẦN

dx = j x 2- 6 a/ x + — dx = —x3-4xV x+91n|x| + C.

TR

1. Ij = j Ị x - ụ L

10

00

B

rx3 + l - 2 , / 2 1 2 V X3 X2 . I „ 2. I2 = I— — — dx = J X - x + 1 -----— dx = - — - + x -2 1 n |x + l| + c X+ 1 X4' ly 3 2

A

CẤ

P2

+3

3. I3 = f- - 5 dx= / ---- -----------3 J(x + 1)5 \ ( (X x ++1) l ) 4 (x ( * ++ :i y \ 1 1 ------ — T"*--------- — Ĩ-+ c. 3(x + l ) 4 (x + ,l)



Ví dụ 3.1.1 Tìm nguyên hàm:

l2 = j - ^ — 1 2 In -f J

e2x +

.Q UY

. h2 = Jh grX- dt = u '(x )d x . Khi ñó: 1= jg (t)d t = G(t) + C = G (u(x)) + C

HƯ NG

Chú ý: Sau khi ta tìm ñược họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u (x ) □ Các ví dụ minh hoạ:

/

I3 = í

A\201Q 2012

(3x + l )

dx

00

B

\ị = jW x + ld x J

TR

21 12 = x X10 (x + 3)

ẦN

Ví dụ 1.2.1 Tìm nguyên hàm:

10

Phân tích tìm lời giải:

P2

+3

1. xVx + 1 = (x + l - l ) V x + l = (x + l)Vx + l - V fx + l

CẤ

= j(x + l)V x + l d x - JVx + ld x = J(x + l ) 7 x T ĩd ( x + l ) - jVx + ld (x + l )

A

Vì thế gợi ý ta ñặt ẩn phụ: t = x + l= > d t = d(x + l ) = l.dx



Khi gặp tích phân dạng: I = JfỊVaxk + b,xkjxk_1dx ta ñặt t = axk +b.

-L

Í-

2. ðặt t = X+ 3 3.

x + 1) 2012 (3x + l )

TO ÁN

\2010

3x + l

(3x + l )

ƯỠ

NG

x+1 Dễ thây ( * + ^ 1' = ----- — r- do ñó ñặt t = 3x + l V3X + 1J (3X + 1)2 Lời giải

BỒ

ID

1. Ij = JWx + I d x . Cách 1:ðặt t = x + l = > x = t - l v à d x = dt

Khi ñó Ij = J ( t - l ) Vtdt = JtVtdt - JVtdt

157 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

= - t 2Vt — t^ft + c = 2 tVt 5 3 5

+ C = 2(x + l)V x + l | 3 I

= J(x + l)Vx + ld(x + l ) - JVx + ld(x + l) 2 (x + l) V x + I

5

3,

+c

l"l n _ ní .X /---- - Í 3 x - 2 + C = 2(x + l)V x + l ỉ —----- + c 3.

TP

x+1

= 2(x + l)\/x + l |

5

.Q UY

2(x + l ) 2 Vx + 1

1

NH ƠN

Cách 2: Ij = J(x + l)V x + l d x - jVx+Tdx

x+1

ĐẠ O

V 5

2Vx+l

HƯ NG

Bạn ñọc xem cách giải sau có ñúng không?. •1 _____ ðăt t = Vx + 1 => dt = — , - dx hay ñx = 2Vx + ld t = 2 td t.



/ t 4. t2>>

Khi ñó Ỉ! = j (t 2 - l)2 td t = 2 | ( t 3 - t)dt = 2 2\

t2

I

/

xf x + l

ì

r

x2 - l

00

B

----- 1 ++cc ==(x (x++ll ) í--------x + 1 1 + c —----------f-C. V2 J \ 2 ) 2

10

=t

TR

ẦN

+c

CẤ

P2

+3

f x 2dx 2 _ J/ o\10 (x + 3)

A

ðặt t = x + 3=>x = t - 3 và dx = dt. 2

1_________ 3________ 1___

7(x + 3)7

4(x + 3)8

(x + 3)9

TO ÁN

-L

Í-



Khi ñ óI 2 = jÍ ! ^ - ' l t = | t ^ - 6 t ^ + 9 t-1» ) d t = - i . + Ặ - ì + C

X+1 , -2d -2dx x dx _ 1 , ðặt t = — -— =>dt = — ——-T=>— ——TT= - - d t

_„

3x + l

(3x + l ) 2 ^ (3x + l ) 2 ~

BỒ

ID

ƯỠ

NG

I3 = jf 010 JV3x + l J (3x (3x++ll))

Khi ñó I3 = - - Jt2010dt = -

158 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

t 2011 4022

2

x+1

\2 0 1 1

-+ c = — 4022 ,3 x + l ,

+c

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Phân tích tìm lời giải:

ĐẠ O

TP

3. Trong tích phân chứa X và X2 gợi ý (x2)' = X,

HƯ NG

do ñó ñặt t = Vx2 + 1 hoặc t -=x2 + 1 . Khi ñặt biến t ta cũng cẩn ñể ý cả 2 v ế của ñẳng thức có cùng tập xác ñịnh, ví

_______ xdx_______

tdt

_

V l + x2.\/l W l + X 2

dt

V ĩ+ t

TR

4. ðặt::: t - y Ị l + x 2

ẦN

dụ tính tích phân |%/xdx nếu ñặt t = Ẩ/x là sai, mà ta phải ñặt t3 = X.

.

, r t5dt

= 6 11 t 2- t + l — — dt t+1

P2

+3

dx

10

00

1. ðặt t = \ / l + x = > t 6 = l + x = > 6 t5dt = dx

B

Lời g iả i

CẤ

= 2t3 - 3t2 + 6t - 6 ln |t + 1| + c



A

= 2VI+X - 3^/ĩ+x + 6V ĩ+ X - 6 ln I^ĨTx +lị +c t2 - 9

2 .ðặt Vx2 + 9 = x - t = > x :

-L

Í-

2t

TO ÁN

t + 9 1í - t - 9 ,:2 =1V — 2t 2t /

ƯỠ

NG

/

(t2- 9 )

(t4 - 8 l )



4t

16J

t5

3 162 6561 6561 +t dt = — — £ - 1 6 2 1 n |t |+c 16 4t 4

Ịx -V x 2+ 9 j

ID BỒ

. t2 + 9 , •dx = — 7T-dt 2t

16

-1621n

:->íX

+9

6561

+c

tỊx -V x 2 +9 j4

159

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. ðặt: t = Vxz + 1 => t2 = X2 +1 => tdt = xdx _ r

x>/x2 + l ~ _ f dt

xdx

tdt

x2Vxz + 1 ~ (t2 - l ) t

1 /

^t2 - l

_ f

1_____ 1 'W

2 ^ t-l

lí,

t+lj

t-1

a [ n t+l

NH ƠN

dx

+c

.Q UY

'_ f

TP

V ậ y l3 = ì l n í ^ I ^ ỉ | + C . 2 (^Vx + 1 + 1,

V i + x2.a/i + V ì + x2 _

ĐẠ O

4. ðặt: t = V l + x2 =>t 2 = X2 +1 => tdt = xdx xdx _ tdt _ dt

HƯ NG

~

ẦN

I4 = í- 7ẩ L = = 2 V Ĩ + t + C = 2 V l W l + x2 +c. ■JV ĩ + t

U = [—V -dx

J

2

X

I, = f— -— dx

r 5sin x + 2sin2x , ị2 = I — ■ ' „ r dx Jcos2x + 6 c o s x + 5

+3

10

f 3 , Ji = Jtan xdx J

cos

B

1

00

L = ftan2xdx

TR

Ví dụ 3.2.1 Tìm nguyên hàm:

Jl + sinx

ftanx, Ỉ3 " I 3^ x Jcos X

P2

p/xán fic/z tìm lời giải:

CẤ

.2 1 1. tan X = — =5------ 1

A

COS X



1 1 Vì (tanx)' = — -T— => d(tan x) = —

cos

X

dx

X

Í-

COS

NG

TO ÁN

-L

Nên í — -r—dx = ị ñ(t anx) =t anx + c Jcos X J 1 1 r 1 d x = J—d[tan(ax + b)] = -ta n (a x + b)+c 3 L â •'cos2(ax + b) -*a 4

V COS4 X

~

2



2

r* r\c V /-'n c V COS2X COS2X

—Ị l + tan x j .

'\

'' rCOS2X n c

BỒ

ID

ƯỠ

rn c

1 1 Mối liên hệ giữa tanx và — -r— là gì?, ñó là (tanx)' = — -ỹ—, từ ñó gợi mở COS X COS X

ý tưởng I2 = I"— d x = í(l + tan2x). — dx ñặt t = tan x. Jcos X JV 7 COS X

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

h ú

ỷ :

\ z

-

Ị—

dx = j Ị l + t a n 2 x ) . —

COS X

d x = J Ị l + ta n 2 x j d ( t a n x )

^ Y ~

COS X

1 3 = tanx + rtan x + c. 3 Jcos

X

d x = ftan2x ( l + tan2x )—

COS X

J

v

J

' COS

— dx = fỵ ---------------

Jl + sin x

____ 2 í

2cos

n

X

4~2

HƯ NG

i ñó: I3 = í

71

X = 2 co sz

ĐẠ O

sinx = cos ^ - - x = > l + sinx = l + cos u J U

TP

3. sinx = cosỊ^—- x j , l + cos2x = 2coszx

dx X

.Q UY

Mởrộng: 1= f— ~ ^ dx = 'ftan2x —

NH ƠN

C

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

--r u 2

ẦN

4. In = Jtannxdx,n>2.

B

TR

tan" X= tan2 x.tan"-2 X= I — \ — 1 )tann~2X= — .tan"-2 X- tan"-2 V COS X ) cos X

10

00

In = [tannxdx= í— .tann~2x d x - ftann-2xdx J Jcos X J

tann-1x - jtann~2xdx.

P2

+3

= jtann_2xd(tanx)- Jtann_2xdx = —

CẤ

Bài to á n trên th a y n = 3.

5sinx + 2sin2x _ 5sinx + 4sinx.cosx _ (4co sx + 5)sinx

Í-



A

cos2x + 6cosx + 5 cos2x + 6cosx + 5 COS X+3COSX + 2 Dễ thây (cosx)' = - s i n x do ñó ðặt t = cosx=>dt = -sin x d x .

-L

6. Dễ thấy (cosx) = - s in x = > d ( c o s x ) = -sin x d x

NG

TO ÁN

A' ĩI3 =, _ rj—-j-dx tanx^ = _ - Jv r(~sinxdx) _ fd(cosx) 1 Do ñó: - ; > = - j- ^ p - = — ■ +c Jcos X J COS X COS X 3.COS X Lời g iải

1. Ij = ftan2xdx= I] — \ — l]d x = f—

ƯỠ

J

ID

2. \z = ■[—

Jv COS X

)

d x = |*(l + tan2x).— ’

J

dx.ð ặt t = tanx=>dt = — \r —dx

COS X

cos X

BỒ

Jcos X

d x - |dx = t a n x - x + c.

J COS X

K hi ñ ó I2 = J ( l + t 2 jdt = t + - t 3 + C = t a n x + —t a n 3 x + c .

161 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

x'l

-2d [ —I = f— - i — d x = f--------- J -------- x d x = J--------Y

J l + sinx

~2

\

J2cos2 r - _ x i 2cos2i — 1 2) 2)

u

u

.Q UY

= - J d t a „ ( 2 - | ] = - t a n ( i - | ] + C.

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Jj = |tan3xdx= |tanx.tan2xdx = Itanx — -----1 dx J

Vc o s X

1

)

TP

J

1

ĐẠ O

= I— -r— t a n x d x - | t a n x d x = f— ị r — t a n x d x - f t a n x d x Jcos X J Jcos X J A = f— -r— t a n x d x

HƯ NG

Jcos X

1

2

1

J

cosx

+3

10

Jcosx

00

B

J

B= ftan xd x -

J

2

TR

cos X

ẦN

1 ðặt t = tanx=>dt = — dx cos X 1 X 1 A = f—Ịr—tanxdx= ftdt = - t 2+ C, =-rtan2x + C,

= ~ J ~ = ~ lnlal+ C2 = -»n|cosx| + c2

CẤ

P2

B= - J-

A

Vậy ]a = A - B = - t a n 2x + ln|cosx| + C.

-L

Í-



1 p(4cosx + 5)sinx.dx 5. J2 = — -------------- ----------- .ðặt t = cosx=>dt = -sin x d x 2 J COS X+ 3COSX + 2 7

^ ,

BỒ

r 4t + 5 J f3(t + l ) + (t + 2) -----dt = - 1- ; ,, . dt Jt2 + 3t + 2 J (t + l ) ( t + 2)

= ~

j ( ^

+ ^

)

d t : = ~ 3 1 n ỉt + 2 H

n ỉt + 1 l + C

= -31n|cosx + 2 |-ln |c o sx + l| + C.

6 . j3 =

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

Khi ñó 2 = -

f tanx , (• sinx , , —-rr-dx= ■ dx.ðặt t = cosx:=>dt = -sinxdx=>sinxdx = -d t

J cos X

J cos X

= j~4~ =— ~T+C =------V - + c Jt 3.t 3.cos3x

162 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ 4.2.1 Tìm nguyên hàm:

1.

:

cosxsin

1

_

cosxsin2x

Ỉ2 ~ L{. sin2x -5 s in x + 6

X

p/21nx + 3 , *3g J— V dx

dx

NH ƠN

W

cosx

-dx

Phân tích tìm lời giải: _ cosx

cosx cos2xsinz x

.Q UY

1

( l - s i n 2x]sin2x

1 (t + l ) - ( t - l )



1_____

(t -l)(ịt + l) - 2 ( t - l ) ( t + l) " 2 ^ - 1

t +1

1

A

B

HƯ NG

Hoặc:

ĐẠ O

1

TP

Vì ( s i n x ) ' = c o s x n ê n g ợ i ý ñ ặ t t = s i n x : = > d t = c o s x d x .

( A - B ) t + A + B _ IA - B = 0

( t - l) ( t + l ) “ t^ T - t + ĩ = ( t - l) ( t + l)

o A = B= :

ẦN

Áp dụng cồng thức:

=>-| a + B = 1

_

P2

(A + B ) t - 2 A - 3 B ^ [A + B = 0

A

B

t-2

t-3

_ fA = l

^ Ị-2 A - 3B = 1 ^ |

CẤ

(t-2 )(t-3 )

1

t 2- 5 t + 6 - ( t - 2 ) ( t - 3 )

+3

:- 5 s in x + 6 sin2x-

1

10

1

00

B

TR

J-^dx = ln|x| + C=> J—- — dx= j —- — .d(ax + b) = ỉlnjax + b| + c X ! ax 4"b ax 4"b cl 3 2. Vì (sinx)' = c osx= >d (sin x) = cosx.dx . ðặt t = sinx.

b

= -1 i

1

Lời giải

Í-



A

2 _ _ 2 3. Vì (21nx + 3)' = —, g ơiý ñăt t = 21nx + 3=>dt = —dx=>—dt = —dx. X X 2 X

TO ÁN

-L

■, t _ r 1 J _ f cosx J L *1= Jcosxsỉn J— ~ 2 ~Xdx = JỊ J7------— r"dx l - s i n xjsirrx ðặt t = sinx=>dt = cosxdx

NG

Ị dt _ rt2 “ (1 _ t 2 L _ i f i í ( i - t 2) t 2 í ( i - t 2)t2 V

1 L t2- J

BỒ

ID

ƯỠ

, 1

1 1,

t-l .„ 1 1 , sin x -l --In + c =— sinx 2 sinx + 1



163 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

cosx

4

I2 = j~2— ------dt = {j— Ặ ---------------------------- rdt = idt -W- 2 J t 2- 5 t + 6 J( t- 2 ) ( t- 3 ) J (t-2 )(t-3 )

= J—Ỉ—dt —J— —dt —lnịt—3| —Ịnịt—2ị+c =In —

2

1 2 / 7

r ,

tJ t

2 3

3

3

----------- + c

P H

Á P

B A N G

T Ừ N G

P H Ạ N

00

liên tục trên [a;b] và có ñạo hàm liên tục trên [a;b].

Judv = u v - jv d u (* ) b

10

V

+3

□ Phương pháp: Cho hai hàm sô' u và

N G

H À M

B

P H Ư Ơ

N G U Y È N

TR

T Ì M

ẦN

CHỦðỂ3

Khi ñó:

(21nx + 3)k/21nx + 3

P2

o

J2

+c.

HƯ NG

1

+ c =

ĐẠ O

fl

X

K hi ñ ó L = f - V t d t = - . - t V t + C = —

sin x -2

TP

____ 2 1 1 3 . ðặt t = 2lnx + 3=>dt = —dx=>-xdt = —dx. X

sin x -3

.Q UY

+c = ln

NH ƠN

-dx 2->2 = J', sin2x -5 sin x + 6 ðặt t = sin x=> dt = cosx.dx.

CẤ

ð ể tính tích phân I = jf (x)dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a



A

Bước 1: Chọn u,v sao cho f(x),dx = udv (chúý:dv = v '(x )dx ).

Í-

Tính v = Jdv và du^u'.dx.

TO ÁN

-L

Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính Jvdu. Cẩn phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng' tìm ñược

V

và tích

ƯỠ

NG

phân jvdu dễ tính hơn j u d v . Ta thường gặp các dạng sau

BỒ

ID

Dạng 1:1= Jp(x)

sinx cosx

d x , trong ñ ó p ( x ) là ña thức

V ớ i d ạ n g n ày, ta ñặt u = p ( x ) , d v =

sinx cosx

dx.

164 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

D ạng 2 : 1= Jp(x)eax+bdx

|u = p(x) với dạng này, ta ñặt í

, trong ñó p(xì là ña thức

dx

v '

NH ƠN

[dv = e Dạng 3: 1= jp(x)ln(mx + n)dx

TP

sinx

dv = p(x)dx

exdx

cosx

ĐẠ O

Dạng 4: 1= ị

.Q UY

íu = ln(mx + n)

Với dạng này, ta ñặt

HƯ NG

■ sinx u= cosx ñể tính jvdu Với dạng này, ta ñặt * dv ==exdx Ví dụ: Tìm nguyên hàm: X

-dx cos2x

I3 = J(2x + 1) ln2 xdx

00

B

ỉ2 = jcos 2x.e3ỉídx

TR

ẦN

□ Ví dụ minh hoạ:

10

Lời giải u -X

+3

-co tx

sin2x .

I,

P2

dv =

ídu = dx

dx -

1

x c o tx + - jcotxdx

CẤ

1. ðặt

—X-dx,

Í-

ð ể ý: A = [cotxdx=



A

1 1 fd(sinx) 1 1 , 1 = — x c o t x - - —- ----- - = — x c o t x - —In sinx + c . 2 2 J sinx 2 2

J

TO ÁN

-L

J

u = cos2x

(

c ín Y

vì (sinx)' = cosx => d(s in x )= (sin x )'d x = cosxdx

du = -2sin2xdx

v = - e 3x 3 dux = =2cos2x f U l= sin 2 X fdUj 2cos2x ðặt < => I

ƯỠ

NG

dv = e dx

ID

Ịdv!=e

BỒ

1 ~ 2 •I2 = - e 3x c o s 2 x + - Jsin2x.e3íídx. 33

dx

V j= -e3

=> I"sin2x.e3xdx = —e3x. s i n 2 x - — fcos2x.e3xdx = —e3x. s i n 2 x - —12

J

3

3J

3

3 2 165

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2 1, 4 e3x c o s 2 x + - e \ s i n 2 x —-I2 =>IZ= — (3cos2x + 2sin2x)+C

v

du = 2 - ^ d x X

NH ƠN

fu = ln2x 3. ðặt i dv = (2x + l)d x

2

VV = X + X



.Q UY

1 ,

=>I2 = - e

I3 = (x2 + x ) ln 2x - 2 jỊx2 + x j-^ -d x iu1 = ln x ðăt: { , . [dvt = (x + l)d x

TP

dx

HƯ NG

ĐẠ O

x Vi = i x; + x

Khiñó J(x + l)lnxdx = - | x 2 + 2 x j ln x -—J(x + 2)dx

10

Các hoạt ñộng cơ bản:

00

B

TR

ẦN

= ỉ ( x 2 + 2 x ) l n x - — - X + C’ 2' ' 4 2 Vậy I3 = ^x2 + x)ln2x - Ị x 2 + 2xjlnx + — +2x + c .

P2

+3

□ Hoạt ñộng 1: Tính nguyên hàm F(x) của f(x ) biết 3. f(x) = sin2x.cos3x và F -—ìh o . V2/

2. f(x) = và F (l) = 2. x ( l + lnx)

4. f(x) = sin4x + cos4x và F



A

CẤ

1. f(x) = 3x2 - 2 x + l và F(2) = l

và F(-3) = 10.

-L

5. f(x) = - -

2

Í-

3

v2y

TO ÁN

6. f(x ) = 2cos2x + 2sin3x + xz và F —j = - 3 .

NG

/

8. Tìm hàm sô' f ( x ) , biết

BỒ

ID

ƯỠ

f(x) = 6 s in 3 x -1 2 m c o s3 x + 24 thỏa ñiều kiện F(0) = 20 và F \

ƠN I a

7. Tìm m ñể nguyên hàm F(x) của hàm số ■N -

f ( x ) = 4(x + l ) e Ịf(x)dx = (ax + b)e2x + c

với a ,b e K

166

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

0 Hoạt ñộng 2: Tìm nguyên hàm: V3

I2 = JỊ3x2 - 3 x + ^ - l ) d x

— dx

'l i x - 1 f2x2 + 3x - 1 , 1 = ----- ——— dx ■3 x+ 2

f2x3 - x \ / x + 3 x + l , I4 = J -----------ñx

c 2x 4-1 , I, = - 5— — r-dx 5 •'x - 3 x + 2

I = f------- ỉ --- - cosx= > dt = (cosx)'dx ícosxVdx = -sin x d x hav íc o sx ì = -sin xd xdx Tathấy, hay d d(cosx)

l-c o s2 x — —------ +

+c

TP

- + COS COS X

i~~

x - 2 dx = t a n x - - x + ỉ s i n 2 x + c 2 4

ĐẠ O

2 ~~ ■*COS2 X

1

dx =

3

1

, ,dx = — lí l - c o s 2 x + — %— |dx 2 Jl COS X, 2 cos X J

HƯ NG

_ ị-sĩn X

cos4 X

sin3 X

I1 = j ( l - s i n 2x ) d ( s i n x ) - jcos3xd(cosx) = sinx-

.Q UY

t = sinx=í>dt = (sinx)'dx = cosxñx hay d(sinx) = cosxdx

NH ƠN

h = I c o s x d x = jcos3x ( l + sinx)dx = j j ^ l - s i n 2xjcosx + cos3xsinxJdx

ẦN

x - ^ s i n 2 x + tanx +c. 2

TR

Hoạt ñộng 5:

2 .• 1 . _ . 1 rt2+ 2 , 1 f| l.ðăt t = x + l= > x d x = - d t =>1. = — — dt = — • 2 1 2 J t3 2J

10

00

B

dt

= —ỉnltl— ^Y+ C = —ln|x2 + l | -------- — 7 + C 2 t2

2

I

I 2ị

+3

11

x

z

+ lj

P2

2

CẤ

2. ðặt t = X + Vx2 +2x + 4 => (t - x)2 = X2 + 2x + 4

Í-



A

• 2x(t + l ) = t 2 - 4 = > x =

t 2- 4

_ t2 + 2t + 4

2(t + l ) -

2(t + l )

1 (^ + 21 + 4 /

Ị J (t + lf + 3 '

4 J

4 J

(t + ự

(t+ ự

-dt

NG

*

TO ÁN

-L

Và Vx2 + 2 x + 4 = t - x = t -

t2 - 4 , t 2 + 2t + 4 , — -Y=> dx = -------——at 2(t + l ) 2(t + l ) ‘

ID

ƯỠ

1 , 6 9 —— I t + ln---------1--------- Ị dt = - — + t + 61n|t + l | ------- — r +.C 4 2 4 t + 1 (t + 1) 1 1 2(t + l)

BỒ

3. Vì X 7*0 nên chia cả tử và mẫu cho X2 (Nếu không có ñiều kiện X 9É0 thì không ñược phép chia cả tử v à mẫu cho X2 ). 169

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

*!+í +1

K )

NH ƠN

.Khi ñó I3 = í-------- ^ ----- d x =■ f-----------^2----- d x - 1

3 I, = L *

1 r i ± H M d t4

Jt2- 1

2 J ( t - l ) ( t + l)

11

— Idt

2J rt

I

3

X2)

TP

{

ĐẠ O

X

.Q UY

1 r n ðặt t = x + - = > d t = 1 — -7 dx. i

—ỉ l rn

+ C = ỈJn

t+l

2

X2 + X + 1

+c.

HƯ NG

2

x2 - x + l

J ( x 2- 4 ( x 2- 4 W x 2- 4 4. ðặt t = x 2- 4 = > J = -B--------- — + C = - ----- -------------+ c.

3

3

ẦN

1

TR

Ị—---- (x2 - 6 Ì 5. ðăt t ==X +3 => JL= Vx2 + 3 -—-— - + C. 3

t 2+ 4 J

B

t 2 —4

rr-

. dt



A

Ị Z

+ C v ớ i t = x + Vx + 4 .

Í-



A

CẤ

■2 o l í +4'2 — — 81n|t| — 4. Hoạt ñộng 6:

Vx 2 + 4

f £ ^ ± Í Ế d t - ỉ / t - l + * ìd , 4 J t3 4 Jl t t3 J

P2

«1, . ư ^ Ỵ í U 3 t ) t

t

dx

+3

10

00

6 . ðặt t = x + V x + 4 = > x = — — = > d x = -— 2 d t và 2t 2t

3^/(2x + l ) 5

-L

2. ðặt t = 2 x + 1 => I2

3^/(2x + Ự

20

8

TO ÁN

/

3. ðặt t = X + V x 2 + 4 => d t

NG

•dt

= — =>I3 =

ƯỠ

- ^ =

Vx2+ 4

dx = 1+Vx2 + 4v

I“

dx

'x2+4 ìnịtị + C =

ln x +

Vx2+

4 Ỉ+ C .

t 2 —2 t

4. ðặtt t = l + V2x V 2 x + ll==> > 22x ++ l = = ( t - l ) 2=>x 2=>x = =— — — ^ = > d x = (t-l)d t

BỒ

ID

+e.

1 r( t 2 —2 t)(t —l) d t • l . ^

r

T

1 f/ , ;

l

!



)

t3

3t2

1

7

t l t C

170

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

fl + V2x+I)3 3Íl + V2x + l ) 2 ~

4

+ (i + > /ã ^ ĩ) + c .

NH ƠN

6

____

5. ðặt t = x + ^/x2 + l = > t - x = 7 x 2 + l ^ t 2- 2 x t + x2 = x 2 + l

t2+ l

1 f t2+ l

) = 7 T I + e " t = > l ! = 2 l n |t + 1 l ' t ' ln |t|+ c

ĐẠ O

T‘ c ,S :? ^

=^*2 = 2 i t = ( l + t )

.Q UY

^ x =l ^ d x = ^ d t

.

TP

t2- l

ðặt t = —j J L = Vx2 + 1 Hoạt ñộng 7:

7.ð ătt = ^ x + ĩ ’

8. ðăt t = X

ẦN

6.

HƯ NG

Hay J2 =21n 1 + X+Vx 2 + 1 + x - V x 2 + 1 - l n x + 7 x 2 + 1 + c .

B

TR

1. Ij = jsin5x ( l - s i n 2x)cosx.dx .ðặt t = sinx=>dt =cosx.dx

+c .

10

00

=> It = jt s ( l - 1 2)dt = j(t 5 - 17 )dt

P2

+3

dx 2. I2 - J. ðặt t = tanx=>dt = cos2x cos 2 x(tanx + 2 )

1 -ta n X

Í-

1 + tan2 X

. ftan 4 x ( l + tan 2 x)dx _ I3 = J------------ —4 — -— .ðặt t = tanx -tan X

-L

3. cos2x =



A

CẤ

I = [— tít ------------- + c = -+ c. J(t + 2)3 2(t + 2) 2 (tanx + 2 )

dt_^

NG

1 ri* r1

~ ,

1f 1

+ Jj

TO ÁN

^ Ỉ3~ h - t 2

1

-r-i +

2 ^ 1 -t

+

1

1

1+ t)

dt

t3 1 1+ t dt = - - — 1+ —ỉn +c 3

2

1 -t

ID

ƯỠ

tari3x 1 . 1 + tanx _ = ----- -V------ tanx + —l n ----- ----- + c . 3 2 1-ta n x

BỒ

„ . rtan4x , f tan4x . r tan4x Cách 2: L = — — dx= ---- — - dx = ---- —7 —------ 7-rdx Jcos2x Jcos x - s i n X Jcos x í l - t a n x)

ðặt t = tanx. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hoạt ñộng 8:

1 + lnx

+c.

.Q UY

= ln |x |- ỉn |l + Inxị + C= ln

NH ƠN

ị. ðặt t = lnx:=>ñt= — =>1, = f - ^ - = ( f l — — ìñ t = t - l n | t + l| + c f X 1 Jt + 1 \ t+l) 1 1

2. ðặt t = l + vT+7nx = > ( t - l ) 2 = l + lnx=>Inx = t 2- 2 t

ĐẠ O

TP

Lấy vi phân hai vê'ta ñược: — = ( 2 t - 2 ) d t

HƯ NG

=> I,2 =2 Jf(t4 - 5 t 3 + 8 t 2 - 4 t ) d t = -Ct 5 - -ot 4 + — t3 - 4 t 2 + c o Với t = 1 + Vlnx + 1 .

ẦN

3. ðặt t = In(lnx) + l j^t - 2 +

dt = 1

ídu = 2dx

[dv = co s x d x

Ị v = s in x

=>l1 = j ( 2 x - l ) c o s x d x

+3

10

[u = 2 x - l

00

B

Hoạt ñộng 9: 1. ðặt

ln X-) - 2 ln (ln x) ■+ỉn |ln (ln x)Ị+ c ■

TR

xlnx

u=x+ l



[ d u = dx

[dv = sin x d x

Ịv = - c o s x



A

2. ðặt

CẤ

P2

= (2x - l)sin 2x - 2 jsin xdx = (2x - l)sin 2x + 2 COSX+ c

+ l)cosx+ Jcosxdx = - ( x + l)cosx+sinx + C.

Í-

= > ì2 = - ( x

TO ÁN

3. I3 = fr

-L

xlnịx W x 2+ 1 1 h Jx

4'.x2 + l

.

= |ìn(x + v x 2 + l ) -= = — dx. J 1 'V ? 7 ĩ

NG

u = ln(x + Vx2 + l )

ð ặt: •

X

dv = - p = = d x Vx2 + 1

J

== >‘

1 X 1 + —7 »

vx 2+ 1 1

ñx

du = -----:-/ì = ĩ - - .dx = 7 ==== x + Vx2 + l Vx2 +1 v = Vx2 + 1

BỒ

ID

ƯỠ

!

____

172 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

u=X

u=X

4. ðặt dv = -

5. ðặt •

rdx

dv = -

NH ƠN

-dx

ỊỊoạt ñộng 10:

[dv = sin2xdx

v = --cos2x 2

u = 2x + l

fdu = 2dx

^dv = e-xdx

[v = -e~x

ẦN

I2 = - ( 2 x + l)e ~ x + 2 je“xd x = —(2x + 3)e-x + c .

[dv = exdx

TR

[u = x2 + x + l ^ [du = (2x + l)dx v = ex

B

3. ðặt

10 +3 P2

ÍUj=2x u, = ZX + l1 fdUj=2dx au, = zax 1 =>{ [dv1 = e xdx [v^ e*

00

=> J2 = (x 2 + X+ l ) e x - J(2x + l ) e xdx ðặt

HƯ NG

2. ðặt

ĐẠ O

1 1 1 1 = - —xsin2x + — fcos2xdx = -4-xsin2x + —sin2x + c. 1 7 ■ 7 A 2 2? J

TP

1. ðặt

.Q UY

du = dx

fu = x

CẤ

Khi ñó J ( 2 x + l ) e * d x = ( 2 x + l ) e x - 2 j e xd x = ( 2 x - l ) e x + C'



A

Vậy }2 = (x2 + x + l)e* - ( 2 x - l ) e x + c = (x2- x + 2)e* + c .

fu = ln(x + l) 4. ðặt < _

du = - ^ X

Í-

=><

• x+1

TO ÁN

-L

dv = (2x + l)dx 2 v ’ (v = x +x

=> J2 = (oc2 + x ) l n ( x + l ) - J x - + x dx = ( x 2 + x ) l n ( x + l ) - — x 2 + c

"2t

NG

U= ln(x + Vx2+ l ) du = - ^ L r \ /= >j Vx2 + 1 dv = dx v=x

ID

ƯỠ

5. ðặt

' X Ỷ1

BỒ

K1 = x ln Ịx + Vx2 + 1 j - J ^ Ể Ì= - - x l n Ị x + 7 x 2 + l j - V x 2 + l + C . 'w + l 6. ðặt u = ln(x + l ) , d v = (2x + l) d x .

173 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

D. BÀĨ TẬP T ự LUYỆN. Bài tập 1:

Vx

-2 x + 3

X

W

Vx

;

dx

(x -2 )2

3x + 2

-x)d>

-dx

3x2 + 1

I10 =

f X3 +2 x 2- 3 , -----dx

'3x - 4 x +1 X4 + x 2 + 1

ẦN

2x3 + 5 x 2 - 7

f2x + 3x —1 ,

w‘ = -J

ĐẠ O

,

dx

3x2 + 3x + 3 dx 's = í -3x + 2 X+ 2

4-Vx-3%/x- 1

dx

00

B

Bài tập 2:

dx

xịlx

TR

,

-dx -2x - 5 x + 6

'» = í ;

HƯ NG

> . = í X2 + 2x +1

TP

X2 + 6 x + 9

3x2 + X + 2 dx x+3

.Q UY

_1__

I, =

NH ƠN

* Tính nguyên hàm:

Ij = J(tanx + cotx)2dx

J _ |-sin2x^

. I = í ------ Ẻĩ ____ 2 Jsin2xcos2x c sinx I3 = ■ dx

+3

10

Tính nguyên hàm:

5 ~ *cos6x x . 3 í = f-sin x dx cos5 x

COSX+

P2 CẤ

A



•W x

, rsinx-s/l+cosx , I8 = J-------- -----------dx

2cosx - 5

3

J = f

rsin3 xVcosx ,

I9 = J—:———

COS X

dx

7=íj(“ s * - l ) s i n x

dx

r cosxVsinx , *10 = 7 —— — ------ dx J( s i n x - l ) s i n x

Í-

W ; -Jx—y/x

yfxdx I = r , dx , 3 Jx (x 2 + l)

I? = J-

x3

Ig = I 7 —dx W 2x z + 1

*10- J:2 + v3x + l dx dx *11=

xVx2 + X + 1

174 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=dx I*=f W 2x 2 + 1

X

8

_ r

l + \/2x"+T x _ f

113 = Ị ^ 3 x - x 3ảx

xdx

12 -*x 4 - 3 x 2 + 2

xdx

I _ r

dx +ự

.Q UY

ls_ J ^

Bài tập 4:

TP

Tính nguyên hàm:

Sin2x J2 + co sx

00

B

Tính nguyên hàm: J = Jsin36x.cos6xdx

10

Jj = j V l + cos2xsin2xdx

1-sin x

P2 CẤ

dx

-L

TO ÁN

J5 =

NG

r sinx . 2 1 J , = I——J — sin XH— -— dx Jcos XV COSXJ

h=

]dx

ID

ƯỠ

7= f I tan3x + — J cos XV cos x j

BỒ

J = if

8

3 J

u =

sinx dx 1+5 - ị Jcos4xl, C0S2X/ X|f

J, = f ta r W x - l.

Í-

x xJ = sin 5 -rcos^dx

I* xdx h - J ___ 2 2 COS X

1

\ 5 + 4 cosx

—- dx

Vx —1

A

14 + cos2 2x



cos2x

+3

Ix + cosxLdx

'Sin

dx

TR

Bài tập 5:

3

cosx.sin

h = Ị% /l-sin4x

ẦN

6 sin r - - s i n X 2

dx

J5 = j*.

On Ia

I3 = jV l + cos2 xsin2xdx

HƯ NG

Ị _ f_____ 1 ______dx (sinx + cosx)

ĐẠ O

I2 = jỊtan3x + cos(5x + 3)]dx

Ij = j Ịc o tx -3 sin (2 x + l ) ] d x

fe-f

NH ƠN

, _ f

X



dx : +cos2x l + sin2x

sin

X

cos

dx X

sin2x cos2x -----— —---- + ——--------- jclx 1 + sin xcosx l + co s2 x j

fSinVx +cosV x , I7 = J------~ ~ dx Vxsin2Vx

id

V x c o s 2Vx J

J8 = jỊtanx +

V2x + 1 + V2 x - l

dx

175

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 6:

(ex - 3 j 5dx

NH ƠN

,2x

Px

dx

e2x + 4 e x + 5.exdx

h

xỉn5x

dx

(1 + Vlnx + 2 jx

ĐẠ O

r ln(ex) '3 + xlnx

1„2 X „ ln Is =

=dx V ĩ + e 2x ,][ = f----- i ----- dx 6 Jex - 4 e - x

;

HƯ NG

I, =■

Inx

!;

TP

x.lnx.ln(lnx)

.Q UY

=dx 2 + \/iex +1

h~

r2 + V31nx + 5jx

ẦN

J6 = í-' - Ễ - t e e +1

TR

Bài tập 7:

= J(x2 +5jsinx dx

Jj = J(3x2 +5xj.exdx

K1 = J"x3lnxdx

P2

+3

*1

10

00

B

Tính nguyên hàm:

CẤ

Jcos X



+ ĩ

-L

ìỉx

Í-

. rCOS^/x + 1 I4 = j r r = = dx

TO ÁN

-dx h = Ị— ị Js i n x - c o s x

x

Ve2x + 1

A

I3 = jxtan 2xdx

rlnxñx

ex + 1 u = ỉ

dx I3 “ I'

xln(lx + v x 2 +1

KS =

J-

dx

V2ex + 3

. _ (2 e x + 1 ls = J f ^ i d x % ex + 1

0 -7 Vx2 + 1

dx.

K4 = fxln^—- dx 4 J 1+x

NG

D. HƯỚNG DẪN GIẢI

ƯỠ

Các bà

BỒ

ID

Bàii tập 3:

13. ðặt t

f 3!x —X

14. ðặt t = \/x + l

15. ðặt t : X +1

176 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TÍCH PHẦN

TP

.Q UY

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. J Kiến thức: - Hiểu và nhớ các tính chất cơ bản của tích phân. 2 . Kĩ năng: - Vận dụng thành thạo tính châ't cơ bản của tích phân ñể tính tích phân. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOÁ.

NH ƠN

§2.

ĐẠ O

1.ðịnh nghĩa: Cho hàm sô' y = f(x ) liên tục trên K; a,b là hai phần tử bâ't kì thuộc K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu sô' F (b ) -F (a ) gọi

ẦN

2.

TR

Jf(x)dx = F ( x Ệ = F (b )- F ( a ). a Các tính chất của tích phân:

HƯ NG

là tích phân của của f(x ) tà a ñên b và ñược kí hiệu:

B

+ Jf(x)dx = 0 b

10

a

00

a

a

b

P2

b

+3

+ jf(x)dx = -Jf(x)dx b

a

CẤ

+ jk.f(x)dx = k.Jf(x)dx a b

A

b

b



+ J[f(x)±g(x)]dx= jf(x)dx± Jg(x)dx a

c

b

-L

b

a

Í-

a

+ Jf(x)dx= Jf(x)dx+Jf(x)dx a

TO ÁN

a

c b

b

NG

+ N ế u f ( x ) > g ( x ) V x e [ a ; b ] thì J f ( x ) d x > J g ( x ) d x . a

a

BỒ

ID

ƯỠ

c. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ. 1. Tìm tích phân bằng phương pháp phân tích. 2. Tìm tích phân bằng phương pháp ñổi biên sô' 3. Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần. 4. Tích phân ñặc biệt. 177 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ð Ể 1 _______________ ____________________ T Í N H P H Ư Ơ

T Í C H

N G

P H Ầ N

P H Á P

B A N G

P H Â N

NH ƠN

o

T Í C H

□ Các ví dụ minh hoạ:

.Q UY

Ví dụ 1 .1.2

5

2 . Cho jf(x )d x = - 4 , 1

5

Jf (x)dx = 6 , Jg(x)dx = 8 . 1

5

1

5 1

TR

2

ẦN

i Hãy tinh: jf(x)d x , j [ 4 f ( x ) - g ( x ) ] d x

HƯ NG

2

ĐẠ O

TP

1. Tìm các hằng sô' A và B ñ ể h à m số f(x) = A sin 7tx + B thỏa mãn ñổng thời các 2 ñiều kiện f ' ( l ) = 2 và jf(x)dx = 4 0

f '( l) = 2 2

I—7ĩ A = 2 < =4 [2B = 4

- —cosnx + Bx %

2

P2

LO 5

5

s

5

7Ĩ .

B= 2

2

1

CẤ

jf(x)d X 4- Jf(x)dx= jf(x)dx Jf(x)dx= jf(x)d x- Jf(x)dx 2

1

o

2

1

5



5

A

2.

00



+3

Jf(x)dx = 4

(1) = 2

10

1.

j ĩA c o s t c

B

Lời giải.

1 5

5

jf(x)d x = 10=> j [ 4 f ( x ) - g ( x ) ] d x = 4 j f ( x ) d x - J g ( x ) d x = 16. 1

1

1

Í-

2

NG

TO ÁN

-L

Ví dụ 2 .1.2 Tính tích phân: 1 J 1 dx A = [ - 5—— ----B= Ị dx , X + 3x + 2 X 5 x + 6 0

dx

X —4x + 4

dx

= 1f(x + 2) ~ ( x + 1) d J

= (lnịx + l|-ln |x + 2|)|1=]n

BỒ

2 + x + 2

Lời giải.

■ A = J ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0J ( x + 1 ) ( x + 2 )

ID

ƯỠ

!. A = f.

x

i

x+1

X+2J

In—- I n — = ln3 2J 3

178 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

_

a

b _ a (x -3 ) + b (x -2 )

2,TaC0: ( x - 3 ) ( x - 2 ) ~ x - 3

x-2~

(x -3)(x-2 )

fa = 3 |b = 2

NH ƠN

5x-13

B= j ( “ ^ +i~ ^ ) dx = (31nlx ~ 2l + 21nlx ~ 3l i = _ l n 1 8 -

TP

fA = 5

ĐẠ O

X

5x-2 5 x —2 A B A (x-2) + B ------ = --------- —_ ---- —H----------—= ---------- t—— - 4x + 4 (x -2 ) x -2 (x -2) (x -2 )

[B =

8

HƯ NG

Ja c0: —

.Q UY

5x-2 x 2 + x + '2 d x = f| 1 + c= j: \ -4x +4 X —4 x + 4 y 0J’xz

3.

00

B

TR

ẦN

d x = 5 ]n |x -2 ||x

4x -2

A

Bx + C

x2(A + B) + x(2B + C) + 2C +A

+3

1. Ta CÓ:

10

Lòị giải.

(x + 2)(x2 + l )

CẤ

P2

(x + 2)(x2 + l ) ~ x + 2 + x2 + l ”

A = -2

2B + C = 4

B= 2

2C + A = 0

c =0

Í-



A

ðổng nhất thức 2 vê' ta ñược:

A + B= 0

Vây, 1= f7 - 4 - v- 2----- d x = |f o(x + l ) ( x + 2) 0l

TO ÁN

-L

x+ 2

=ị^-2ln|x + 2|-t-ln x2 + l

X

+1.

dx

1

8 = -21n3 + ln2 + 2 1 n 2 - ln l = ln— 0 9

l ‘f dt

l ‘f

dt

3 0Jt2 - 9

3 j(t-3 )(t+ 3 )

= á > M

H nM

1 ‘f( t + 3 ) - ( t - 3 ) 18j (t-3)(t+ 3 )

= _Ị_V -Ỉ lsẶ t- 3

t + 3,

dt

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2. ðặt t = X3 => dt = 3x2dx

) ỉ ô ~ ta

= — In—- I n l = — I n 18 2 18 V 2 179

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ 4.1.2 Tính tích phân: Jt

ị ĩ

0

2 0

.Q UY

2

jcos2xcos2xdx = -J(l+cos2x)cos2xdx

TP

1.

Lời giải. *

í.

K

NH ƠN

V 1 N 1= fcos2xcos2xdx J= dx I = II sin2x - s in x + l 1 + sinx 0_________________________ A

HƯ NG

ĐẠ O

7t 2 _ 71 1^ 1 = — J(l + 2cos2x + cos4x)dx = — x-t-sin2x + —sin4x 4' 4 4 ■„ 8

-

-s in x + 1 - -

TR

l-c o s2 x

ẦN

2. } - (ị sin2x - s in x + l - ~ ——— |d>

ñx

71

-sinx + 1 - -

+3

í

10

ir/ l - c o s 2 x

00

B

1 + cos — - X 2

2 COS2



dx

X

CẤ

P2

4~2 71 1 r3 xM —X — sin2x + cosx + tan í 71 4 2 u 2)\

3n

3t ĩ 1 -1 -2 = — - 4 J 2



A

2

-L

Í-

Ví dụ 5.1.2 Tính tích phân: 2 lx = J|x2 - 3 x + 2 dx 0

TO ÁN

l2= J ( M - I M ) dx -1

2 I3 = jm in |3 x, 4 - x | d x 0

Lời giải.

1. Cách 1:

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Bảng xét dâu 0

X x2-3 x

+2

1 +

0

2 0

+

1 2 ỉt = j(x2 - 3 x + 2 jd x - x2 - 3 x + 2jdx 0 ỉ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f

X3

o 2 3x

+ 2x

5 f 1'

-r— - r - + 2 x 3 2

NH ƠN

'0

Cách 2: -áX -3 x + 2Z= UC5> 0

x = le [0 ;2 ] X x

=2

1

2

1

.Q UY

X X2

= 1.

2

HƯ NG

ĐẠ O

TP

Ix = | x 2 -3 x + 2|dx + Jjx2 -3 x + 2|dx = j(x2 - 3 x + 2j dx + J(x2 -3 x + 2)dx 0 1 0 1 2 1 { 3 5 1 f x 3 3x2 ■ ì 3x2 0 ì X = + = 1. + - —— 2x - — ——+ 2x T 2 6 6 3 2 V V y 1

0

2. Cách 1. 2

2

ẦN

2

l2= J(|x|-|x-l|,)dx= J|x|dx- J|x-l|dx -1 2

1

2

B

0

-1

TR

-1

1

f 2 A X ' ---- X V

-1

2

,

Cách 2. 1

= 0.

2

A

0

CẤ

1 ,= --

10

-1

+3

0

P2

-1

00

= - Jxdx+ Jxdx + J ( x - l ) d x - J(x-l)d x



I2 = J ( - x + x - l ) d x + j(x + x - l ) d x + J(x-x + l)dx 0

1

TO ÁN

-L

Í-

-1

3. ðặt h(x) = 3x - ( 4 - x ) = 3x + x - 4 .

NG

Bảng xét dâu

0

ƯỠ

X"

-

ID

h(x)

1'

2

BỒ

3X I3 = J3xdx+ J (4 -x )d x = .+ 4 x - : ln3 0 1

1 0

2 +

2 5 ln3 + 2 181

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Ví dụ 6.1.2

NH ƠN

r ( nì x 1 1 .Tìm x e Ọ;— thỏamãn: f(2sin2t - l ì d t = — I 2J ị\ I 4

.Q UY

n'i* 1 2

2. Giải bâ't phương trình f'(x)

—2 (3 -x )

ĐẠ O

Với f'(x) ñạo hàm của hàm sô' f(x) = ln

TP

x+2

HƯ NG

71 3n ) Xf cos2t 3. Tìm X s — thỏa — -dt = c o s 2 x -V 2 » .4 4 ) ị ssin i t + cost 4

sin2t

2

0

(

00

B

0

TR

1. Ta có: J^2sin2 1 - 1 jdt = |- c o s 2 td t =

ẦN

Lời giải.

P2

CẤ



2x = —+ k2n 6

+3

10

Do ñó: |Ĩ2sin2 t - l ) d t = - —c ỉ > - ị s i n 2 x = - ỉ o s i n 2 x = — 0JV ' 4 2 4 2



12. 5tc .

(k eZ )

x = —r + k7ĩ 12



A

2x = — + k2n 6

í 7Ĩ 571

nên ta chọn x e — [12 12 '* i'

-L

Í-

Do x e

x = — +k 7i

>0ox 3 - x x + 2 x< 3;x*-2 2x -l

x < -2

( x - 3 ) ( x + 2)

° 1

< 3; X * - 2

< x -

5-fsin! í d t 2

71 „

HƯ NG

ĐẠ O

3. J—7 —-——— t dt = cos 2x - V 2 hay sinx + cosx —V2 = cos 2x —V2 (*) sint + cost 7C 3tĩ Vì x e | —— I nên sinx + cosx^O , khi ñó 4 4

B

|=>x = 0 thỏa bài toán.

10 +3

CHỦ ð Ể 2

P2

o

4 4 '

00

Với x e |

TR

ẦN

3 tt (*) s i n x - c o s x + l = 0 tương ñương với X = k27i hoặc x = — + k2n.

Ơ

N G

P H Â N

P H Á P

ð Ổ I

B A N G B I Ế N

s ố

A

P H Ư

T Í C H

CẤ

T Í N H



ữ Phương pháp:

TO ÁN

-L

Í-

1. Phương pháp ñổi biên số loại 1 b Giả sử cần tính I = | f (x)dx ta thực hiện các bước sau a

Bước 1: ðặt x = u (t) (với u (t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [oc;Ị3],

xải

NG

ñịnh trẽn [op;P] rà u (a ) = a, u(p) = b) và xác ñịnh a ,p .

ID

ƯỠ

p p Bước 2: Thay vào ta có: I = jf(u (t)).u '(t)d t = Jg(t)dt = G(t)|„ = G (p ) -G ( a ). a

a

BỒ

Một số dạng thường dùng phương pháp ñổi biến số dạng 1 * Hàm sô' dưới dấu tích phân chứa Va2 - b 2x2 ta thường ñặt

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

X = —sint

b

183 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

* Hàm sô'dưới dâu tích phân chứa Vb2x 2 - a 2 ta thường ñặt X = — - — bsint * Hàm sô' dưới dấu tích phân chứa a 2 + bzxz ta thường ñặt X = —tan t

.Q UY

* Hàm số dưới dâu tích phân chú(a ^x(a —bx) ta thường ñặt X = —sin2 1

HƯ NG

ĐẠ O

TP

2. Phương pháp ñổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp ñổi biên sô' (ta gọi là loại 2) như sau. b ðể tính tích phân I = j f(x )d x , nêu f(x ) = g [u (x )J.u '(x ), ta có thể thực hiện a

phép ñổi biên như sau

ẦN

Bướcl: ðặt t = u (x )= > d t = u'(x)dx.

ðổicận x = a = > t = u(a), x = b=>t = u(b)

B

TR

u(b) Bước 2: Thay vào ta CÓ 1= J g ( t) d t = G(t) 3 .

_

I

Jx2 +1

2

_ f

10J x

r

Ị í + yfx -ĩ x

r

dx

3 ~~ / x - 2 V x - ĩ

Í-

_J8 x V r õ <



A

1

f xdx

CẤ

í

P2

Ví dụ 1.2.2 Tính tích phân: 1 . 2

+3

10

□ Các ví dụ minh hoạ:

00

u(a)

TO ÁN

-L

4r 4x —1 , L = I .: = . -—-d x 0 V2x + 1 + 2

2j 2x + 1 + V 4 x + I

0X+ Vx2 + 1

ðề thi ðại học Khối D - năm 2011 Lời giải.

BỒ

ID

ƯỠ

NG

1. ðặt t = X2 + 1 => dt = 2xdx hay í xdx = 4^ 2 ðổi cận: X == 0 => t = 1, X = =:1 => t = 2. 2 I = ] - Í Ẻ L = ỉ j Ể £ = ỉ ỉ n Ịt' = - l n 2 J X +1 2 /t 2 ' 2

ðặt t = V x - 1 x X = t 2 + 1l « d x = 2tdt 2 .ðặt TN sỷ’ 1 - A/ . /s ðổi biên: x = l = > t = 0, x = 2= >t = l

184

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy, I = P - t Ỉ 2 t d t = 2 p—^ d t = 2 1 t 2 - 1 + 2 ---- — ìd t ị l +t J t +1 0ị t + 1J 11 = — -4 1 n 2 3

.Q UY

— —— + 2 t —21nịt + lịJ = 2

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

3.ðặt t = V x - 1 o x = t2 + l o d x = 2tdt

dt

HƯ NG

Khi ñó I = ị ----------------= 2 j t = 3

= 2 >n|t -1 ] - ^ è l ]

= 2[(ln 2 - 1 ] - (0 - 1 )

B 00

10

4. ðặt t = 4 1 - x => -2 td t = dx ðổi cận: X = —8 => t = 3, X = -3= > t = 2

TR

ẦN

< ỉì , „ , _,2 = 2 ln2 + ln e2 =21n^2-s/ej = ln^2Vej = ln 4 e )

P2

+3

dt Vậy, 1; ■ j - f t - d , - - 2 U * - 2 t e - % + ix V i^ r i ( i - t ‘) t ị t 2- i 3 ( t - i ) ( t + i )

CẤ

1 1 2 = ln ± -ln - = ln 3 2 3



A

= ( l n | t - l ị - l n | t + lỊ)Ị^ =ln'

-L

Í-

5. ðặt t = y[ĩx + ĩ => t 2 = 4x + 1 => dx = Ậtdt 2 ðổi cận: x = 2 = > t = 3, x = 6 = > t = 5

TO ÁN

6f dx 5f tdt 1 1 Do ñó: 1= -------= — --------- i 2 2x + 1 + v4 x + l 3 (t + l ) 3 t+1

NG

/

.

I

xS -I

1

ID

ƯỠ

= ln t + l + — -— 5-

1

dt (t + :

,

3

5

1

.

=ln—— —

I (t + 1) J3 2 144 x3( x - V x 2 +1)

-------

.

BỒ

6. I6 = f7------ = L = . t ?----- pL=rrdx = íx3 Vx2 + l - x ) d x 0J( x +

7? T Ĩ ) ( x - V ? T Ĩ )

0

1

'

Hnr

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

5 1

1

1

=' jx3Vx2 + l d x - J x 4dx = J - — 0 0 5 0

,----------

với J= jx3v x 2+ ldx 5 0

NH ƠN

1

ðặt t = Vx2 + 1 => t 2 = X2 +1 => 2tdt = 2xdx => tdt = xdx ðổi cận: X = 0 => t = 1, x = l = > t = Vz.

J9 *

_____

, V2 Khi ñó J= jx2Vx2 + lx d x = J (t2- l) t.t d t = J (t4 - t 2)dt = o i l

l

Vậy, ... I6„ =

2V 2]

5

3

J

.Q UY

r

,5

3,

_2_ 15 + 15

TP

2V2

"1

ĐẠ O

ị 4V 2

J2

HƯ NG

1

2V2 - I 15

ẦN

7iðặt t = V2x + 1 + 2 = > ( t - 2 ) d t = dx

00

B

TR

s (2 t2 - 8 t + 5 Ì ( t - 2 ) V o K 34 3 I7 = j l --------- — i l l ------- d t = Jl 2t2- 1 2 t + 2 1 - - dt = — +101n— 3 5 3 * 3^ *• 2V5

l2 - Ị

xdx

dx

(x2+ i )4.X2 +5

x+x

CẤ

dx 3.Vx + l + X + 3

+3

x-3

P2

3

10

Ví dụ 2.2.2 Tính tích phân:

. _ 2f V x - X 3 +2011X , I4 = J ------- dx



A

I, - ụ X2 - 9

1+

dx

-L

Í-

Lời giải.

TO ÁN

1. ðặt t = Vx + 1 => t 2 - 1 = X ==>2tdt = dx ðổi cận: X = 0 => t = 1, 2 3

X = 3 => t

=2

2

2

ƯỠ

NG

2t3 - 8 t Khi ñó: 1= J- 2 8t d t = J(2t-6)dt + 6 j —! - d t = (t2 - 6 t ) | 2 +61n|t + lị|2 ^ t "ỉ*3t “ỉ”2 ^ 2 1 ^

BỒ

ID

„ , ____ 3 Hay Ix = - 3 + 61n—

2. ðặt t = Vx2 + 5 = > t 2 = x2 +5=>xdx = tdt ðổi biên: X = 2 => t = 3, X = 2VẼ => t = 5 186

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 => t = 2,

X = >/3 => t

= 4.

_ 1 4r dt _ l4 rt _ ( t _ 1 ) ^ „ 1 V 1 3 _ 2 / t ( t —1 ) _ 2 / t ( t - l ) t ~ 2 t - 1

1 dt t

TP

.

X=

.Q UY

ðổi cận:

NH ƠN

3.ðặt t = l + x =>dt = 2xdx.

'h i. h Ạ l. ít a i 2 2

ự x - x 3 +2011X . _ 2f Vx2 1 , 2f 2011 , X ------J ^ ^ dX+ J ^ dX 1 1

ẦN

. _ 2f 4 .u = f 1

HƯ NG

ĐẠ O

= A ( ln |t - l|- ln |t |)£ = in

X

VX

X

2 X

o

X = 2 V2

> /7 => .t = -----2

J

128 2V2

2x

14077 16

Í-

X3



M 2011 2f on^ „ - 3 ^dx r..:= — 2011 N= 2f — 5—d x = 2011x

J

21ĨỈ7

P2

A

1

II 2 - 1 -3 2 — dx = — J t3dt = x 2 0

CẤ

iã Khi ñó M = j

+3

10

T-.A-. ðổi cận: x = lt = 0,

00

B

J

TR

n 1 2V2 ỉ h ị - 1 M= J— dx.ð ặt t = ?/ 2 - l =>t3 = JY ~ l= ỉ> 3 t2dt = —y d x

TO ÁN

-L

r « NT _ 1 4 0 7 7 & Vậy, I4 =M +N = — —-------2 1—— ' * 16 128

5. L = f\/x 2 - 9

1+

l

NG

3

- X— - d x - |íVx2- 9 +x)dx VX2 - 9 J 3'

ID

ƯỠ

t 2 +-— 9 =>dx y = t2 - , 9 dt ðăt t = vnx ~- ã9 + x = > x = — 2t 2t ðni rân: x=3:r>t 3. X x = 5= ðổi cận: X =3 t = 3, =>>tt = 99

BỒ

(a l 9ri Khi ñó I = ft ---- — dt = — ị t — dt = J 2t2 / 2 3\ J ty 3 V 3 9 Y t2- 9 Ì

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

' 3

= 1 8 - —ln3 2

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

V í d ụ 3.2.2 T ín h tích p h ân :

h -

0 ỰJex + 2 j

"

Ỉ3= í -1

[■

Ì xa / x 2+ 4

Vx3 + x 2 dx x+4

,ịe * " * 1 . I5 = ---- r—dx

.Q UY

V l + 31nxlnx, dx

2

dx

NH ƠN

2\Ỉ3

dx

TP

J COS X

1

Lòi giải. X

ĐẠ O

X

1. ðặt u = e 3 => 3du = e 3dx

HƯ NG

ðổi cận: X-0=>U = 1, X = 31n2=>u = 2 Khi ñó: 1= J- — d~~ T = 3 2{ ~ —— 7~~— ; ------- —

lV4(u + 2) 2( u + 2)

ẦN

iu ( u + 2)

X2

TR

/

.

1 . (3 ^ = —In 2)

1 24

00

B

—lnlul ——ln|u + 2| + ——— T 4 11 4 1 1 2(u + 2)

du

10

2. Cách 1: ðặt t = Vx2 + 4 => X2 = t2 - 4,xdx = tdt

P2

+3

ðôìcận: x = V 5= >t = 3, x = 2V5=>t = 4.

A

CẤ

Khi ñó: I = / — ^ — = I?— = It— r — T 75 x2Vx2 + 4 3 (t 2 - 4 ) t 3 (t + 2 ) ( t - 2 )

-L

Í-



= Ỉ j(t + 2 ) - ( t - 2 ) dt = 1 Y _ 1 _____ 1

TO ÁN

= i ( l n | t - 2 | - I n | t + 2|)

ĨIV

= M'Xn—- In—I= —l n 41

3

5)

4

3

BỒ

ID

ƯỠ

NG

~ 1 1 Cách 2: ðặt t = —=> dt = — ^-dx

X

X

1

2n/3

,

________

1= f - = = = = . ðặt U = ln(2t + v 4 t 2 + l I /4 t 2+ l \ /

Gách 3: ðặt X = 2 tan V

18:8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

3. Dễ thấy:

I

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

°f-xVx + l ~ “4

I3 = j

, 2rx V x + I

d x+ J'

/

n

o

\ "^3

■ã 1 + 24 f V — dt Ỉ t2 +3 /1

TP

( t13 ^ t 4- t 2 Xét: A = 2 f - 5 - ^ dt = 2 X J t +3

.Q UY

.Fi A

NH ƠN

____ 1t 4 - t 2 ^ t 4- t 2 ðăt t = v x + 1 , khi ñó I = - 2 f— — —dt + 2 f dt = A + B J t + 3 J t z + 3 0 1 to 1

1 -1 V r t3 N1 B = _ 2 f ^ d-dt t = - 2 j f t 2 - 4 + - ^ - dt = - 2 J _ _ 4 t - 2 4 I V — dt 0 t +3 ịdt = V3^1 + tan2vjdv

TR

4 4 - 1 8 ^ - 2 V 3 tc

00

B

Vậy, 1=

ẦN

1 1 .>/3 ( 1 + tan v) Khiay, | V — d t = I- / — - . ;dv = - ^ v + c t +3 J 3 ( 1 + tan2 V s

HƯ NG

ĐẠ O



+3

10

4.ðăt t = V l + 3 1 n x = > t 2 = l+ 3 1nx= > 2td t = ^^ — = -? ^ X X 3

P2

ð ổ i c ậ n : X = 0 => t = 1 , X = 1 =ỉ> t = 0 .

1



5 /0

3

-L

3

,N 1

Í-

/ ,

2

TO ÁN

5. ðặt t = tanx + l=í>dt =

0

A

0

CẤ

Khi ñó: I = Jx2> / l - x 2xdx= J | l - t 2)t(-td t) = j | t 2- t 4)dt

5 _ 15

1

cos2x

dx

2

NG

Khiñó I= j e udu = ell| = e 2 - e __________ Ị__________ _

sin2x

ID

L

ƯỠ

Ví dụ 4.2.2 Tính tích phân:

BỒ

' . - - í : (2 + sinx)

rdx

, _ 2fsin2x + sinx A 2 " J V l + 3cosx

x

189 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

71

h 4

sin3 X. cos5 X

dx 3 c o sx -4 sin x + 5

n 4/.xsinx + (x + l)c o s x

( x + c o s x )d x

' - J 4cos2x + 3sin2x

*

xsin x + cosx

NH ƠN

w -

dx

dx

.Q UY

Ó_

TP

ðề thi ðại học Khối A - năm 2011

Lòi giải. sin2x

o(2

Ịix -ĩ)-

+ sinx)

sin Xcos X

dx.

0ố \(2 + sin x )

HƯ NG

. _ 2r 1. ij - J

ĐẠ O

n

TR

ðổi biên: x = 0 = > t = 2, x = —=>t = 3 2

ẦN

ðặt t = 2 + sin X=> dt = COSxdx

10

00

B

2N K M d6:, = 2 j ^ d dt t = 2 j ——% ( l - i r) dt = 2 l n t + — _= o2i 1 n3 - - 22 3 t/

+3

2. ðặt t = V l + 3cosx => 2tdt = - 3 sinxdx => sinxdx =

3

2

CẤ

P2

ðổi cận: X= 0 => t = 2, x = —=>t = l ĩ.

ĩ.



A

, 2r 2 s in x c o s x + s in x , 2r (2cosx+ l)sin x d x Vậy, I2 = ------j= ======— dx = p — -7= = 4 = , ----V1 + 3COSX vl + 3 c o s x 0

0

V 2tdt^

Í-

f t2- l

-L

..4 1

2 / 2t2 + l

TO ÁN

■f 2

~3

16

ID BỒ

’• ' 3 4

2

2

f +í

1

34

19 + 3

27

, 3

2t^ _t 9 +3

71

ƯỠ

NG

_2

- l i1\

t

dt-2

3



-Ị

-dx= [--=====■.— -ỹ—àx

í Jsin X •COS8X. ĩ* COS3X

i vtan X cos X

190

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðặt t = ta n x = > d t =

cos2x

dx

3

•J3

NH ƠN

ðổicận: x = —=>t = l, x = ^ - = ỳ t = yỈ3 4 3 1 ^

2cos2 * = 2 V 2

1 -t2 1+t 2 •

2dt dt

TR

dt ___L . 1 - ! ■=2 h ~ \ J3 - 3 t 3- 8t + 5 + 5t2-“hf ( t - 2 ) 2 ” t - 2 0 ~ 2

00 10 ĩ.

xdx

P2

\

+3



]r(x + cosx)dx 5. 1= p ----+ ' 4 -sin X

;4 -sin X

* . « * * * «

JJ

2

*

° * 4*

~2

\ cosxdx ---- ^ - -= A + B Jn4 - s i n X 71

■J A i i

' n

, . 2r xdx °r xdx ~ + Tính A = — ^ 5- ; 4 - s i n X ' 4 -sin X ~2 ~2

2r

xdx

2

‘ 4 -sin X

-L

Í-



-°-



A

n

CẤ

71

B

1= o T ĩ ^ l l _ ; 2t { l + t 2j 1 + t 2 —

ẦN

ðổi cận: X = 0 =ỉ> t = 0, X = - ^ => t = 1 2 1 + t2

dx

2y

_ J 2dt 2t =>dx = ------ , sinx = — -7T, cosx l + tz l + tz

1

1 + t"

TP

i í 1 + tan2- dx =

ĐẠ O

dx

dt =

HƯ NG

4. ðặt t = t an— 2

.Q UY

Khi ñó I - 11 M t = 4t^ = 4 Ị ^ :- l | = 4 (ậ/3 - l ) í 1

TO ÁN

71

■ xdx I 0J4 - s i n 2x

ƯỠ

NG

Trong f — — xðặt X = - t . Dễ thây í — xtì—- = { 4 -sin X { 4 -sin X 2 ~2 Suy ra A = 0 7Ĩ

BỒ

ID

tTlnh

B = 5r - 2 £ i 1 Ì 4 -S Ĩ 1 ~ĩ

. ðặt t = sinx.

191 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

í !. = —In

_J 4 —t

u

2 - t / -1

= —ln3 2

+ Vậy: I = —ln3

.Q UY

4fxsinx + (x + l ) c o s x \ n 4f xcosx 6. J= I---------- — — '------- dx = [dx + p — dx = J1 +J2 ' x sin x + cosx ' j xsinx j x s i + cosx

TP

71

HƯ NG

ĐẠ O

Trongñó: J1= Jdx = x |« = j 0 4 ft 4f

xcosx

K l n | j + l } ^ . V ậ y J ^ + ln |^ + l

B

Y = ln |t f

00

/

TR

ðặt t = xsin x + cosx => dt = x c o sx d x .

_1_ Vz

+3

10

Ví ñụ 5.2.2 Giải phương trình:

„ Xfl + lnt , .0 2. j——— dt = 18 í * • e

P2

1. Jsin2tVl + cos2 tdt = 0 (x>0)

CẤ

0

ẦN

J2 = I - ^ -----dx ' x s i n x + cosx

Khi ñó J2 =

NH ƠN

B=

\ 1

2+ t



A

Lời giải.

Í-

1. ðặt u = V1 + cos21 => 2udu = - s i n 2tdt.

-L

n/ i

TO ÁN

Khi ñó: jsin 2t V l + COS2 tdt = - 2 0

NG ƯỠ

V2

=0

(V 2 ) 3 = 0COS x = l o s i n x = 0x = k7r(keZ)

BỒ

ID

u2du = - 2

|V l + cos2xj

Kết hợp giả thiết, ta có —2 ỊV l + cos2xỊ

J 4z

+c o s ^ j

192 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

T Xfl + lnt .

^

,

dt

2. ðặt I - ———dt.ð ặ t u = l + lnt=>du = — ị t t

NH ƠN

e 1+Inx

.Q UY

™ - ‘T f. , udu J„ -=ĩ — l M“ - ( l+ I " * ) 2 Khiñó: I1= i 2 Giả thiết suy ra:

T Í N H P H Ư Ơ

T Í C H

N G

P H Â N

P H Á P

II

TP

x=e



ĐẠ I O

CHỦ ðỂ 3



3 X

l + lnx = - 6

lnx = 5

X= -

B A N G

T Ừ N G

P H A N

ẦN

o

= 18 (! + In x)2 =36 o

[ l + ỉnx = 6

HƯ NG

( l + lnx)2

TR

□ Phương pháp:

B

Cho hai hàm số u và V liên tục trên [a;bj và có ñạó hàm ỉiên tục trên [a;bj.

10

a

+3

a

00

b b Khi ñó: judv = uv|a - jvdu

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

P2

□ Các ví dụ minh hoạ:

ID

1. Dễ thây, A = Ị

Lời giải.

íe x + \

X

J

e lnxdx = ị 2xexdx + | 2— = I + lnịxịị2 = ln2 + 1 X

BỒ

V fu = x ídu = dx Với I = r xe d x . ðặt ị => { * lñ v = ex Iv = ex

193 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Khi ñó I = x.exỊ - | 2exdx = 2e2- e - e x 2=2e2- e - Ị e 2- e j = e2

NH ƠN

* Vâv, *J A = e +In2 2. ðặt t = -X3 =>. dt = - 3 x 2dx

= -~31' với I= j f tetdt

íu = t ídu = dt |1 ri ðặt ặt < =>ị I = e .t Ịdv = e d t [v = e *° ■b

TP

Jd t = ~ 3 í

f

=1 '°

B

u = lnx dv = x5dx

du = —dx X „6

+3

10

Ij = jxs lnxdx.ðặt Ị

TR

ẦN

jx5 (In X+ x)dx = jx 5 ln xdx + jx6dx 1 1 1

00

3. c =

.1

HƯ NG

Vậy, B = - |

e dt = e - e

ĐẠ O

B= f

.Q UY

ðổi cận: X = —1 => t = 1, X = 0=> t = 0

dx =

A

X

5e6 -t-1

36

36

e7- 1

5e6 +1 = ------ — 36

-L

_

c

TO ÁN

Vậy, y

Í-



I2 = [x6dx = — ì 7

CẤ

J 1 ĩ

X6 lnx

P2

ec _„ 53

x6 lnx

e7 - 1

+ —- —

7

0 x + \/ex- e 3x °c x ^ r °f • D= J ------ ằ r ~ dx= J . i dx+ J ~ >

BỒ

ID

ƯỠ

NG

-ln3

e

0

-ln3e -ln3

fu=x

e

dx = lx + 12

fdu = dx

= í i -li)3

dx • ðặt dv = - i - d x e 0 0 + E = —ln3 + —ln2 + —^7= 2 4 12V3

-L

u = ln(x + V l + x2 i ; dv=^rdx X3 Khi ñó:

' J

^1+ x v = __ L_ I 2x2

NG

TO ÁN

6. ðặt

du = - j = i = d x

BỒ

ID

ƯỠ

F = — Ị r t a ( x W l + x 2 ) 3 + ỉ I— ^ L _ = ỉ |n ( l + N / 2 ) - ỉ l n ( 2 + V 3 ) + ỉ |

2x2

V

/,

I U 4 Ĩ Ĩ Ĩ

-^3

J

'/j





v

* ^ + l x

2

'

/

6

I

;

2J

J

195

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

■1

J



. J.

______ j[

ðãt t = —=> - d t = —^ , khi ñó J = f - ;- i = = V t2 + l , =V2 ■

x

ị^ ĩ

x

i

NH ƠN

V3

Ị(x+ 1) e

c= ì

B B == f - !2 2 = d x

dx

VX + I

-Ạ™

j v x v l + lnx

+ 3x lnx dx

ĐẠ O

3

TP

A = , f— l n —

.Q UY

Vậy, F = i l n ( l + V 2 ) - i l n ( 2 + V3) + ^ - ^ --------------------------------- 5---------- -----------------Ví dụ 2.3.2 Tính tích phân:

n 2

_ 4|-ln (5-x) + x3.V 5 - x dx E= f X2

HƯ NG

D= Jsin2xln(l + sinx)dx 0. • ,7Ĩ

ẦN

■■■r 3f l + x sin x . I = nJ COS2T X dx

TR

ð ề th i ð ạ i học K hốị B - năm 2011

dv = -

dx

=>.

X -1

00

dx

+3

1. ðặt

du =

10

u = lnx

B

Lời giải.

P2

(x + l ỹ 8

CẤ

X+ 1

-L

,= L í* /x ( x + l)

TO ÁN

e

NG

ln

ƯỠ

Í-



A

K h iñ ó 'A = f — ! - . l n x l + f d* - = - 1 + 1 's.X+ 1) l fX^X + l ) e e

x+1

ị x(x + l)

dx. ¥ 1 - J j \ x X + 1J

e

ì

d

11

*

!|

+ill

e

1

e

_

= ln— — ln—^—==lne-l. ỉ

e +1

1 +1

BỒ

ID

Vậy, A = 0

2. ðặt:

u = lnx dv =

du =

dx

dx => V = 2\ỉx + ĩ Vx + 1

196 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

8 k /x + 1

Với I = J-

NH ƠN

Khi ñó: B = (2 > /ĩ+ ĩln x )|8 - 2 8jp ^ ĩ ĩ d x = 61n8-41n3- •21

d x . ðặt t = Vx + 1

.Q UY

3

t-1

. \n 3

2t + ln t+1/ V

HƯ NG

Vậy, B = 2 0 1 n 2 - 6 1 n 3 - 4

= 2 + ln 3 - l n 2

ĐẠ O

//

TP

3 t 3 t2 3/ 1 1 ^ =>I= [-T-— .2tdt = 2 f ~ — dt = fl2 + — ------- — dt 2 t —1 2J t2 - l ị{t - 1 t + l )

/nx

TR

ẦN

3. c = Ị — +3x2lnx dx = f— — dx + 3 fx2Inxdx jVxVl + lnx J j x v l + lnx ị

ðổi cận:

1 => t

=

1,

X=

e => t =

y ỉĩ

+3

10

X=

00

B

Với L = f— / nx — dx.ðặt: t = V l + lnx = > t2 = l + lnx; 2tdt = —dx j x v l + lnx X

,

ft 3

Khi ñó: It = p -.2tdt = 2 J(t - l j d t = 2 - — t

P2

1

1

CẤ

1

fu = lnx



Với I2 = Jx2 In xdx. ðặt:

Idv = x2dx

2Í2 - V 2 )

/

dx

V= -

-L

Í-

1

l 3

du =

A

e

^\ _tt

TO ÁN

Khi ñó: I7 =-^-.lnx 2 3 1 3Ị

3 3

1

2e3 +1

_ 3

9'

9

9

5 - 2 V2 + 2e3

ƯỠ

NG

Vậy, C = IX+3I2 =

3

_e^_e^

ID

4 . ðặt t = sin X => dt = COSxñx X = 0 =>

t = 0,

X=^

BỒ

ðổi cận:

2

t=1

Do ñó D= ị 2 t ln ( l + t)dt

197 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1 V

= j lt_

t2

t + ĩ /

1 I

+ | x7_ 1

4fIn(S -x) Í ~2 1 x

x

1

„ iu = ln ( 5 - x ) 1J

_ dx

^

dv=5

dx

2

■1



v = -i

X

l r , fr , 5 l - ’ " p - * ) ] i +h

ẦN

\ dx , , - / ĩ ( 5 = ĩ ) ' l n4

3 ,_ 4 : = f> " 4

|4

TR

ln (5 -x )4

1

[d u = ~

1

^ c

2

HƯ NG

^ ~

X

_

=l n 2 - —=>D = —.

[ V ” ĩ + 1 It + 1

5 E = j l n ( 5 - x ) + x ^ dx ^ 1

1

li

.Q UY

ly rf

TP

1-t2dt rt dt f4-1 0/ t + i

ĐẠ O

[dv = 2tdt

NH ƠN

du = — —dt , li Vt2d t \■t2dt 1+ t =>D = t ln (l + t)| - J———= ln2 —j 0 ot + l 0t + 1 V= t ỉ

fu = In(l + t)

ðặt

4

10

00

B

H = j x V 5 - x . d x . ðặt t = V5-X =>2tdt = -d x 1 r"\ A___ *ị ___ • 1 __, M ðổi cận: X = 1 => t = 2, X = 4 => t = 1

+3

1 5 3 tb H= J ( 5 - t 2)t(-2 t)d t = 2 - t - — 3 5 2

CẤ

P2

164 15



A

3 164 Vậy, E = K+ H = —ln4 + —— 1 5 15 n

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-

li 3rxsinxdx /r 3r:xsinxdx r _ r dx -Ịxsinxdx J--2~V + 0»J' cos2x =ta,,xi« + 0J ' 3 Ar = V 3 + 0J cos2x rn c 4 O 'cos2x u= x du = dx ðặt , sinx , : 1 dv = ■■ Ỷ dx cosx COS X 7[

71

K hiñ 6I = V3 + 3p H Ỉ Í = V 3 + COS2 X

1 -s in x 1 + sinx

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x cosx

3

3ị-

ux 271 3f cosxdx Qcosx 3 ' 1 - sĩn2x

=V 3+^ + ln (2 -7 3 )

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHỦ ð Ể 4 T Í N H

T Í C H

P H Â N

ð Ặ C

B I Ệ T

NH ƠN

o

□ Phương pháp:

.Q UY

ðây là dạng toán hiếm xuâ't hiện trong kì thi tuyên sinh ðại học, tác giả giới thiệu ñên bạn ñọc bài toán cơ bản. □ Các ví dụ minh hoạ:

a

1

í

ĐẠ O

TP

Ví dụ 1.4.2 Chứng minh rằng nêu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn Ị—a;a] l-2x

1

Lời giải. 0

a

0

1= j f ( x ) d x = j f ( x ) d x + jf(x )d x -a

— a

(l).X é t | f ( x ) d x .

ẦN

a

HƯ NG

thì: 1= Jf(x)dx = 0 . Từ ñó tính J= Jìn — .dx + 2x -a -1 ^

0

-a

00

B

TR

ðặt t = - X => dt = - d x => dx = - d t ðổi cận: x = - a = > t = a, x = 0=> t = 0

0

0

0

+3

• -a

10

Vậy, Jf(x)dx= Jf(-t)dt = -Jf(t)dt = -Jf(x)dx.

P2

Thế vào ( l ) ta ñược I = 0

CẤ

Tương tự: Nêu f (x) là hàm chẵn và liên tục trên ñoạn [-a;a]



A

thì 1= jf(x)dx = 2 Jf(x)dx

TO ÁN

-L

Í-

ðặt t = - x = > d x = - d t ðổi cận: X - —1 => t = 1,

0

1 ==> t = - 1

l + 2t )dx=] ln(ĩr|)- d t = -d x = > dx = - d t ðổi cận: X = 0 => t = 71, X = 7Ĩ => t = 0

TP

Vậy: Jx.f(sinx)dx= J(7t-t).f[sin(7r-t)]ñt = J(n-t).f(sint)dt 0 0 0

0 71

71

71

ĐẠ O

71

_

71

0

7T

HƯ NG

==>2 jx.f (sinx)dx = 71jf(sinx)dx => Jx.f (sin x)dx = —jf(sin x)dx 0 0 0 ^0

ẦN

Tương tự: Nếu hàm sô' f(x) liên tục trên [a;b] và f(a + b —x) = f(x). 1 71 0

B

a

TR

Thì ta luôn có: Jx.f(x)dx = - ---- jf(x)dx

00

Các hoạt ñộng cơ bản:

10

3

3

P2

+3

□ Hoạt ñộng 1: Cho Jf (x)dx = - 2 và Jg(x)dx = 3. 1 1 3

3

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

Hãy tính J^3f(x)-g(x)]dx, J|^5-4f(x)Jdx . 1 1 □ Hoạt ñộng 2: Tính tích phân:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt ñộng 3: Tính tích phân: Jx2(x + 1)

X2 - 2 x - 3

dx

dx

u =ị ' x 2(x + l )

12 - Í - 7xz - 4 x + 3

(x2 + 3x + 2j

□ Hoạt ñộng 4: Tính tích phân: n n 2

7U

3

L = fcot2xdx ị

J

2

Ji = f— Ị s in xcos X

4

0J

6

71

.Q UY

dx

dx

71

71

TP

3

NH ƠN

15x2 - 3 x - 2 0

u = ị J ặ z L . dx

, Kj=

Ịsin2 xdx

ĐẠ O

5 ( x - l ) dx 1 xX X—6

C(?t —dx

K2 = jsin2x.sin7xdx ít ~2

]2 = [tanxdx

COS X

_Jn

4

4

ẦN

J

□ Hoạt ñộng 5: Tính tích phân: 1 n

I2 = Jcosx|Vsinxdx 0

00

0

B

1= j*x|x-aịdx,a >0

TR

I2 =

HƯ NG

2

10

□ Hoạt ñộng 6: Tính tích phân: 1 6 1

+3

_____

I3 = JVl + sinxdx 0

^ /------I3 = j v x 3 + l.x 5dx 0

I6 = Jx8V l - x 3dx 0

dx

TO ÁN

1 xx -- 5

-L

VFĨ

,

Í-



A

CẤ

P2

1} = j^2xVx- l j -Ịxàx I2 = jx 3.Vx2 +3dx 0 0 1 _____ 1 _____ I4 = Jx5v l - x 2dx I5 = | x 3Vx^ + l dx 0 0 □ Hoạt ñộng 7 Tính tích phân:

2n

ID

ƯỠ

NG

^ xsdx *4= ỉ 0 2 2- v ^ ĩ dx *7- Í x - 5 Ị - 6f

BỒ

i x + a/ x 2 - 1 7

,

_ 7f X + 2

x+1

^ /x + ĩ

4 x -3 >» = J:2 + \'3x +1

dx

10 _ '2 x + l + V4x + l

2f V x+1 I3 = J----- ^ = d x

1 = ídx 2 íx (l + ^ )

W ; Ẳ/3x + l

dx

x -3

dx

_{3vx + l + X + 3

dx

1 7^ 11 “ J 3 ^ 0J X3 + 1

J12- J

dx

201

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt ñộng 8: Tính tích phân: dx

.J _= 33rxV f x V xx - ĩldx dx 16 ^ “ J

5 == Ị f 4x 1 dx I5 0JV2x + li + 2 L

7 - 0J VX 1,2 —Z X+1-

„=

dx

dx

f________ 1 j 2x +1 + V-ỊxTĨ

_ 2fVx2 - 1 J ^ -J X dx T

TP

, _ 2f 2x 3 - 3 x 2 + x

Iu - jx2-\/4 -3x 2dx 0

□ Hoạt ñộng 9: Tính tích phân: 4 73 dx 2 dx J2= J V7XVx2 +9 0 ,5 X V l-X 2 03 4 x2dx dx o V l+ .W x X2 + 2 x + 4 u ~ ì

.

er lnx\/41nx+5 , --------— ------ dx J V l/e

2fX3 + 2 x 2 + 4 x + 9 ,

!3 = J 0

x

--------- dx

2+ 4

1 —X

P2

+ lJ

7------- T7— dx (x3 + l ) ^ 7 ĩ

CẤ

5]Ịx2ị3x23x 0,5 Y

dx

+3

10

00

B

TR

W

‘12

HƯ NG

ol( l + 3x2)

x _7

ĐẠ O

Ị - ) dx 4 J .. / 7 ~ T ^xV T+x3

^10 - J'

NH ƠN

11 + X + 7 x 2 + 1 -1

-x+ 1

ẦN

Vx

0

I _ 4f x3ñx 3 ” 2J^ p 7 ĩ )

.Q UY

, - j



A

□ Hoạt ñộng 10: Tính tích phân: ln5 In? e3x dx dx I2 = í I l = 0/ e2x - 9 ln3 ex +2e l-e x

,nr3

TO ÁN

In2

-L

Í-

i3 = ' " M ^ ĩ d x 0J ex +3

0 l + ex

NG

vs

dx

ln4

sx( l - e x) '« ° J - 7 ; (

Ố(ex + 2 ) Ị ef dx JX(1 + 1„ 2X) .

*10= J V ^-3dx J

BỒ

ID

ƯỠ

I7 = [ —•/•• ax = ĩ x V l - l n 2x18 Inl2 _____

ex

11

r f 3-21nx , In = — 7 dx I xV l + 21nx

f e2X.lnxrin x + l A

~ f dx )

I

X,

dx

J _ 6|-_______ Inxdx_______ 12

! x(V2 + lnx + V 2 - l n x )

20 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

□ Hoạt ñộng 11: Tính tích phân: 1 1 . 2P COs3x , 2r cosx I = ——--- dx L = — — — dx "Sinx + 1 ‘ 5 - 2 s in x

TP

2rsinx-cQsx ,

ỉ4 = I.I . dx „ Vl + sin2x

.Q UY

K fsin3 x - s i n 33x . _ 6rsin3: * 5 - J - TL+ cos3x 0 x

71

71

H -

2r COS2x 7 ~ Jt ~ .._ ^ 3 dx o ( sin x - c o s x - f 3)

ĐẠ O

,

HƯ NG

sinxdx

,

NH ƠN

, I = r— cos2x dx ' l + 2sin2x

71

cosx

y 2r s in x -c o s x , Ig = - 7--... ^dx ; V l+ s in 2 x

8 _ />/2 + cos2x x 71

sin2x Ị dx 0 Vcos2x + 4sin2x

’( ■ xsinx ’V

\

CẤ

Ij = Jsin2xỊl + sin2xj dx .0

A

71

13



_ 3f xsin2xdx

*5- J— 0

~ ~ ĩ

(sinx + l)

ID

ƯỠ

NG

7T 2 1 -dx I7 = f ' 4 s i n x + 3cosx + 5 7t

7T

2 I2 = Jsinxsin2xdx 0 7Ĩ

2r c o s x + s i n x c o s x .

I4 = j ------—— ----------d-x 2 + sinx 0

-L

TO ÁN

, _ 2f cosxdx

Í-

sin2xcos X

BỒ

, _ 2fC0t xẲlsin3 X- sin xdx 9- I m ỉ sin X

dx

10

00

L ?

□ Hoạt ñộng 12: Tính tích phân: K 2 \3

.

B

I' 12 —- I— “4 0 + sin X

---------------------- !-----------------------------

+3

I

cosx

P2



2f

TR

4

111

,

I10 = ------- — ------ dx 'sin x + 2cosx

ẦN

(•

sin2x - }

dx

0 Vcos2x + 4sin2x

dx 4 + 5sinx 71

3

{10= j~

cotx

:dx

ísinx.sin 6 203

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f tanf X - —i r

*

12 = .J ~pT~. dx Jc o s x - v 3 s i n x

cos2x

NH ƠN

41

cos2x

□ Hoạt ñộng 13: Tính tích phân: 3f sin3x K = — ------ dx 'C O S X + 2

— dx ______ , 4r ‘T Ỉ Ocosx.sin :.sin (^ + x j

TP

.Q UY

r •'Vcosx + sinx , ỉ7 V3 + sin2x Ịt7T 2

71 . 3r J3 = j -

:_ 4

sin , 2fr sin4xX , Ì2 = J - 4 — dx 2 ~ J gSin s i n 4 xx++cos4x cos X

sin2x

ĐẠ O

_ p

.

1 ~ I (2 + sin x)2 2 ỊỊ

HƯ NG

0

Ịt

4r x J 3f tanx , K, = -----------------------dx K2 = I------- ------- dx J ta n x + co tx

ỊT ,

6

= 0JJ------xe X + 1ĩ —

sin

6r sinx , L7 = — , -- rdx 2 i í ^

dx

71

71

B

6ftan4x , Lj = — — dx 1 'Cos2x

X -dx

00

,

TR

6 n71

,a e :

^1 + tan X

f3xex + e x + 2 J K3

ẦN

' l + cos2x + sin 2 x

dx •

onsisin x + M^3cosx

+3

10

°sin fx + - j

I3 = Jxln[l + X2)dx

0

ó



A

0

I2 = JỊx + cos3x)sinxdx

CẤ

Ix = JxỊe2x + ^ /x-l)dx

P2

□ Hoạt ñộng 14: Tính tích phân:

I6

= jx 3ln2xdx *

TO ÁN

-L

Í-

I4 = I — +-~*~ lnxdx Is - | ( 4 x - l ) l n x d x ll x / 1 □ Hoạt ñộng 15: Tính tích phân: ^ = ỵ n ( t a n x ) dx

NG

1, = j ị \ f c + j j = Ị d x

.

BỒ

ID

ƯỠ

u = 7 -7 ~ d *

ix l n Ị x + V l + x2 j 7Ĩ77

.

.

erl n x + l n ( l n x ) ^ e

°r xln(xH-2)

,

0 (x + 2) dx

I, „ Ịx.sinxco5,2xdx

X

I9 = Jsin 2 xln (l+ sin x)d x 0

204 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

pịỊoạt ñộng 16: Tính tích phân: 2 o ,,2

í -2 2X+ 1

_ V x4dx

dx

3~

Jt

X7

%

4

, - f—----- dx

Ịfs J x w + 1

Is !

sin4x + cos4x 3X+ 1

71

I6 = Jxsinxcos2xdx 0

dx

dx

TP

V

1 + 2X

.Q UY

1

[2 _

NH ƠN

2x +1

L .lĩ^ ià x h’ } e-

ĐẠ O

Í7=i ( e x + l ) ( x 2 + l )

HƯ NG

HƯỞNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ðỘNG. __■ ■ Hoạt ñộng 1: 3

3

3

3

3

1

3

I

3

1

TR

1

ẦN

1= j [3 f ( x ) -g ( x )] d x = |3 f( x )d x - Jg(x)dx = 3 j f (x )d x - Jg(x)dx = - 9 3

1

10

00

B

J= j^ 5 -4 f(x )]d x = j5 d x -4 Jf(x)dx = 5x 1 + 8 = 23. 1 1 1

+3

Hoạt ñộng 2 :

P2

1

Í-

ị J(1 + 3 x ) f d ( 1 + 3x) -

TO ÁN

3. I3 =

-L

2. I2 = jỊx3 + 2x2 +x)dx 0

X4 „ X3 X2 \ ' _ 34 —- + 2.— + — 4 3 2 " 3 -'ó



^

13 3 ■

A

2

+ 2x2 + X

CẤ

1. Ix = |^4x2 + 4x + ljdx = 0

A ( J . .+

3x)f

■4 Ì - . 1

15

d (2 5-3 x)

-2

2

ID

’r i í ị 1 í-3 v

3

BỒ

,

ƯỠ

NG

7_ 1 6 '4.1.4 = JVx^3d(x-3) = |ị-(x -3 )7 x ^ 3 " 3—3 3 3

1fdíx2 + x + l ) 6.Ĩ2= J.....L= ỉn x2+x + l X2 + X +

1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= ln3.

205

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7’ 3 = “ 2 0J( l - x 2)3

2‘

-2

1

2 _ 35

0 = 4 - ( ! _ x2)2 0 = 3 6-

NH ƠN

5 2rd( l - x 2) _ _ 5 í 1 - *2) 2 2 _ 5

1 —XA Bx + C (A + B)x 2+(B + C)x + A + C 8. Ta co: ------- - 7 - ------------------ r —------ —-I— ~------------------- —---

X-hd í X +1

(x + l)(x2+ l)

.Q UY

(x + l)(x2+l )

r-

TP

= > A = 1 ,B = - 1 , C = 0



HƯ NG

= -J d x -2 j— 2

d ( l- x ) = - x g - 2 1 n |l- x g = - 3 - 4 I n 2 .

2

ðặt t = x + l = > x = t - l = > d x = dt

ẦN

1 U. \_acn 1 :

x = l= > t = 2

Khid6 K

U

00

ị ị - ị y

^

- l ^



10

Ị ^

B

TR

ðổicận: x = 0=>t = l, ^

ĐẠ O

9‘ l5 = 5( " 1+ĩ ^ ) dX= ~ ídX+ 2f e dX

P2

+3

1I f . lY l 1 —, 2 -----1----- —1 H— = —. |_ 2 8 i 2 Jj 4

CẤ

Cách 2:

Í-



A

Ki = f — - 3 dx = j-2(-.X+ 1-)::2 dx = J2 f — ? _ _ — 1 - id x o(x + l ) 0J (x + 1) 0 [ (x + l ) (x + l ) 3J 1

-L

= *___1 _

TO ÁN

x+1

BỒ

ID

ƯỠ

NG

u - K 2= / 7

2(x + l ) 2

^

-

~ 4'

d x = 0f e ' i r j ) x = (lnlx - 3l - lnlx - 2i i

x -3 1 , 3 4 = l n —— = ln 2 - I n —= ln—. x-2 0 2 3

™ t, _ 5f 3 x - 7 12. K3 = - -

, sf2 ( x - 2 ) + ( x - 3 ) V 2 1 V . dx = |- 4 — — -A ỉx = fl —=— h—=^— dx

4 X -5x +6

'

(x-2)(x-3)

Ặ x -3

x-2 ;

206

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

= (2 1 n |x -3 | + ln |x - 2 |) |5 =21n2 + I n 3 - l n 2 = ln 6

y

2

3 'l dx = 41n2-31n3

1. L — [-7—— —dx = I 1 1 /x 2- x - 6 J \ X- 3 ,

2r 2 x - i

V

X + 2J

1

3'I

3

1

.Q UY

2f 5(x^-l)

NH ƠN

Ịỉoạt ñ ộ n g 3:

4

íl2tdt = COSxdx

Í-

1

2

4

4

1

3'

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Khi ñó: I2 = 2 j t 2dt - 2 Jt2dt = 4 j t 2dt = - t 0 1 0 ^ 2jt 2it / \ 3 .13 = j V l + sinxdx = JV 2 COS — dx 0 0 ^ X 7Ĩ X ðặt u = ^ - - - => du = -rdx =3- dx = 2du 2 4 2

1

3ĩt

ðổi cận: x=0==> u = ——, 4

4: x = 2ft=>u = — : I3 = 2V2 J|cosu|du 4 71 ~i\

208

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

Nếu

4

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

< u < — thì COSU>0 2

ĩ.

NH ƠN

Nếu —< u < — thì COSU dt = COSxdx cosxax 7Ĩ V| 3 cosx , _ 2r dt

dd t == --.^ -ssin a I8 ĩ-^ ~ J — i nuudd uu ,s , suuyy rra Ig = —

TP

9 .I g - ln V 2 71

2

HƯ NG

ĐẠ O

cosx , -dx 10. I10 = J— 0'sin sir x + 2cosx Ta xác ñịnh a,b sao cho:

ẦN

2 1 cọsx = a(sin x + 2 c o s x )+ b (c o s x -2 s in x ) ==>a=—,b = — n 2

TR

2ị Í 2 l c o s x - 2 s i n x V (2 1,1 „ A —+ --------------------ñ x = —x + —In sinx + 2cosx \5 5 0A 5 5 s in x + 2ẹosxJ 7ĩ-ln2

+3

10

00

B

^ ^10 =

P2

11. ðặt: t = vc os2x + 4sin2x t2 = l + 3 s i n ?x

2tdt

——

„2

n 2_ 4 _ z _ 2



2

A

CẤ

:=> 2tdt = ổsin xcosxd x - 3sin2xdx sin2xdx =

~3

3

3

-L

Í-

■ n -H -.-fil.-f.

TO ÁN

I *r x sin x , 12. I12 = J— 1" dx jj4+ sin X ðặt X = n - 1 ta có

NG

V r c - t is in t —

ƯỠ

*12 =

4 + s ir r t

y

d t = 7t ■

sint.

-

.

*f ts in t

,

d t- f - dt g 4 + s in t 5 4 + sin t

ID

0

2,

'12

n r sinx , 71 r d (cosx) 71 , T i + c o s x I12 = -Z — —V - d x = ^ ::- v / = — H n. 2 ' 4 + sin X 2 ^ 5 - c o s X 4v5 Vs- CO.SX

BỒ

.

213 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

. >/5-1

. Vb + 1

Hoạt’ñộng 12: 15 2 1 .1 . 1,! = — 2. I2 = 1 ■ 44 2 3 71 Jt -1* ' J Ị _ 2fCosx + sin x co sx ^ _ 2|-(l + sinx)cosx

=ụ

7 5. ðặt t = sinx + 1 , suy ra I5 = 24 Ị õ ộ 2 6. ðặt t = VCOS X+ 4sin X, suy ra I6 = —

.Q UY

4

dx.ðặt t = 2 + sinx

TP

2 + sinx

'

3

ĐẠ O

2 + sinx



3

HƯ NG

4

3.13 = í - ^

NH ƠN

l n - p --------I n - p - — 4^5 V5 + 1 V 5-1

ẦN

7. ðặt t = tan—=^>dt = tan2 —+ l ìd x = > d x = 2 J 2 t2 + l

TR

dt

00

B

t+2

(t + l f

+3

10

8. L = —ln2



A

CẤ

P2

\/9 9. ðặt t = cotx=> Iq = - — 9 24 7T Jt 3 3 cotx cotx -dx = V 2 I— dx. ðặt t = l + cotx 10. Ijo = V2 [^ c CỈY 'sin x (sm x + cosx)1 *sin?x ( l + cotx) 6

-L

Í-

6



TO ÁN

+ 1=-dx, ñặt t = tanx 11. Biến ñôi 1.11 = - ^rtan2x ------- ----0 (tanx+l) _ TC r co s2x , ỉ cos2x rdx.ðặt t = x + — 12 = J------- - 7 = ; - dx=J• cc oo ssxx--vv3sin 3 s i n xx 2cos[ X+ —I { 3) Hoạt ñộng 13: 7T Tí -7T „ . 3r sin3x , 3fsinxsin2x , 3f . (. V, 1. L = — ------ dx = ----- — ----- dx = s in x ( l - c o s x ) d x "COSX+ 1 ị cosx + 1 ị

BỒ

ID

ƯỠ

NG

,

214 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðặt t = cosx=>dt = -sinxdx=>sinxdx = -dt

ỊỊ



X = —=> t

3

!

1 =^ . 2

NH ƠN

I ðổi cận: X = 0 :=> t = 1,

1_

3

2

1

I

1

/ i

1 ^

2

^

1

- l + ỉ2 J= ỉ8 .

TP

0

.Q UY

= Jsinx(l-cosx)dx = J (l-t ) (- d t ) = - t + —t

4

ĐẠ O

7U cpsx + sinx

HƯ NG

^dx 0 ^ 4 -(s in x -c o s x )2

Z I2 = J-

ðổi cận: X - 0 => t = -1 ,

X = —=> t

=0

TR

4

ẦN

ðặt t = s in x -c o s x = > d t = (cosx + sinx)dx

10

00

B

0 , 71 7Ĩ Khi ñó ỉ2 = / - ? = = = .ðặt t = 2sin v ,—r < v < -r = ì> d t = 2cosvdv. 2 2 -1 V4 - 12

P2

f d v = v |° _ = — .

L*

6 6

A

J _£ 6

Í-



2

CẤ

K h iñ ó l2 =

t = —1 => V= -

+3

ðổi cận: t = 0 => V= 0,

TO ÁN

u

-L

3.I s 4 ------- 4 ^ 1 õcosx.sin —+ x

*



COS

)

-— l í+ 71x

71 + x ì * _ If—



-X

ị COS

-X

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Cách ĩ: I3 = jh/2-----Y ' — Jd x = s \ ------------'— Ỹ 0 cosx.sin —+ x 0 cosx.sin —+ x

u

n (K _ 4 COS ^ + X

=^

u

J

dx

J

Tĩ Ị

f .- ị ± - ị d x + p ^ d x . 0sini—+ x I ocosx

.

u

J

215 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7 COS —+ x

X=

1

0 => t = —7=r, V2

X

71

= —==>£ = 1 . 4 J‘

1 t

J2

ĐẠ O

V2

n

Tt

4r s i n x , 4r d ( s i n x ) , ứl 1 r..— -dx = - v ■ = - l n cosxU = - ln - J = = lrw 2 .

'COsx '

sin x

110

HƯ NG

B=

TP

==>A = J"——= In tỊ^ = l n l - l n - Ị = = lnV 2 .

NH ƠN

ðổi cận:

,4 j J

.Q UY

0 sin^—+ x j

'n >dt = cos - + x dx

dx. ðặt t = sin —+ x 4

V2

7T

00

B

- . =^ ]'cos x(tanx + l ) —+ x 0 u J

10

0 * 2 = 1 3 = 1— ^ °cosx.sin

TR

7T

ẦN

I3 = V 2 (A + B) = V2(lnV2 + l n ^ ) = V2.21nV2=72In2.

ðặt t = tanx + l= > d t =

+3

dx

X=

—=> t = 2. 4

A

CẤ

ðổi cận: x = 0= > t = l ,

P2

co s2 X

X

= 0 => t = 0,

i(2 +tf

X

= ——=> t = —1 2

_{ (2 + t f

i

2 + 1 (2 + t)Z

d(2 + t)

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

ðổi cận

-L

Í-



=> I3 = V2 J— = 72 ln|t||2 = 4 Ĩ ln 2 . 1t 4. ðặt: t = sin x= >d t = cosxdx

Jx = 2 ln(2 + t) + = 2 1 n 2 -2 . 2 + t -1 V 71

5. ðăt x = ——t=>dx = —d t. 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ðổi cân x = 0= > t = — ; X= —=> t = 0. 2 2

. 4 /7 1

f

J2

J

^

u

/



t

J

\

{

\

^

r

71

cos4t

J .4

| sin^ * _ t J + cos^ _ t J

NH ƠN 7t

__ 4

2

2

4

21

_ _ 4

^_r

oJ sin t + cos t

71

.Q UY

sin ị ~

*2 4 f co st I .4 4 0 sin t + cos t

cos x dx. 1. 4 4

TP

0

- r -S\ t I r V2 J Ỉ2 — J / \ / \ i s i n 4 i —- t i + c o s 4 i —- t ì 2 u J {2 )

0 sin x + cos X

ĐẠ O

• sin

HƯ NG

0

ẦN

OI 2f sin4 x , 2f C0S4X , 2r, _ 7C . n ^ 2 ]2 = I— ----- ĨTdx+ J— — r -dx = Jdx = -r=> I = -J 'sin x + cos X ^sin x + cos X ố 2 4 6. ð ă t t = - ^ - - x = > d x = - d t . ð ổ i cân: x = — = > t = — ; x = —- = > t = — .

3

7T

71

6

3

B

71

6

TR

2

^ - 3f tang t-dt _ 3ftana x.dx J l + cota t _ J l + tana t - J l+ ta n a x 6

6

21

P2



. . I 3r dx 3ftana x.dx 3r, 71 71 3 ' 3 + 3 _ / 1 + tana X + | l + tan X ” I x ~ 6 ^ l ĩ ~12'

CẤ

=>



10

6

+3

^

00

1 - 3f

6

6



A

6

-L

Í-

7. .ðặt x = - - t 4

, k24

TO ÁN

tanx + c o tx - c o tx tanx + cotx

7T

cotx

-ñx

< J x = * 4 tanx + cotx 6 I

ƯỠ

NG

ðặt X = 7 7 - u . Ta tính ñược I = . 2 12

BỒ

ID

10. ðặt t = tanx=> ðổi cận: X= 0

dt

=d x . Kh i ñó: c o s 2 x :

1 + t2

1 -V l + t2

71

1

6

V3

t = 0; X= —=> t = —/=.

217 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

.Q UY

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

6.

I

TP

sinx 2 = jdx 0 sin X+ —

3y

ĐẠ O

11. l

71

x= t--

TC

3 , ñổi cận:

dx = ñt

2 n

HƯ NG

ðặt t = X+

71

x = —=>t 6

x = 0= > t = V

L* : 2 (1 3

71 ^ V 3

I

}

Ilf

00

_ i f 71

7t

3 a /3

n \Ỉ3 2rCOStdt 2 J Sint 3

V3

+3

r

3

10

3

B

TR

ẦN

7T 1 71'ij*. ĩ l 2 Sin wt - o— dt 22— -M s i nill-------t — - c oLUSL st Z-"“ -2 L2 = f -A 3 j . = J2, ,l ~ 2 . , d t =dt1 =] —2fdt 2 - Sint ịTt Sint ị 2ị 2,J

CẤ

P2

ĨI 7Ĩ . ( It ] 71 ft ^sin x + - - n u ý:t l 2 = _ J— r p sinx ^ = _ Jf V— — 3J— 3- 4dx Chú ~ —^-dx

°sin x+r-

■ 0



- B

)

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

F t)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

; f x+— = sin

V

3 ;j (

L

V

Tl'i

ĨI

.

T

s i n x - —

V

3

)

71

r V 4 J ... - J— I 7= dx 0 sin x -W 3 c o sx

12.

3 /J

NH ƠN

L

71Ìcdx dx = cos f x + —

r

1 f c o s x -s in x , J— 7= dx v2 0 sinx + v 3 c o sx

.Q UY

a \ sin ; f j.x + ộịú ý: ủ

ẦN

1 ị d ( s in x + ^ c o s x )

>/2 nSinx + V3c0Sx

sinx + \/3cosx

-J li

2^3 V2 n 3

00

0

10

J ,- -

-dx = J1 +}2 sinx + >/3cosx

TR

1 ịco sx -V ã sin x

sinx + >/3cosx

sinx

HƯ NG

sinx + ^ c o s x

ĐẠ O

0 sinx + Vấcosx n n 1 6rGOSX->/3sinx , 1 —s/3 6r

B

"

TP

ị i j c o s x - V 3 s in x j + ( S - i ) sinx

+3

1 -7 3 sinx l - ^ 6f sinx d _ lz A \ •L, k !x = 7 2 pSinx + V 3cosx 2 V2 0 . 0 s in |x + - j 2yfc

CẤ

P2

2

A

c/ió ý:



d(sinx + V 3cosxj = (sinx + V 3c o sx j’dx = (co sx-A /3 sin x jd x

Í-

1 , 2 V3 1-V 3 f n Vã, V3Ì L, = — 7=ln—— + - — — + — In— 3 4Ĩ 3 2 V2 ,1 2 2

-L

2 I

TO ÁN

CM ý:

. f K I 11 • Ití ft 6 sinl X I 6 L3 — J v /- 4 ; :d x = ‘[• sil\ x 4, 0Jsinx + V 3cosx 0 2cos X—

sin f

ƯỠ

0

Jt

71^

I r i

NG

n

12

dx

2 c o s(x - —

I

6,

BỒ

ID

Hoạt ñộng 14:

1

4

14

2

4

219 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

,

3. I, = l n 2 - — ? 2 5. Ig = 6 In 2 —2

26*

11

4. L = ------1----4 9 18 5e - 1

NH ƠN

6. L

32

Hoạt ñộng 15:

.Q UY

dv = dx

dx 2Vlnx =>Ij = 3 e9 - e

2. I , = — In2 3 2 16 Tt

ĐẠ O

TP

v=x

21

22

2

HƯ NG

1.

du =

fu = Vlnx

3 . 13 - jx.sinxcos2xdx = —jx .(sin 3 x -sin x )d x

20

0

u = In(x + l )

00

B

TR

ẦN

r .. Ídu . = -rdx 1 , u=2 2 :=> ðặt 1 dv = (sin3x -sin x )d x V = —rC0s3x + cosx 3 du = .

CẤ

P2

+3

10

-dx X+ 1 5. ðặt , dx => • dv = — — T J_ (x + 2) v =x+2 u = lnỊx + V l + x2 j

A HÓ

,

xdx dv= T = = =

V l + X2

^

V= v 1 + x2

-L

Í-

'7. ðặt

NG

TO ÁN

8. ðặt t = In X, sau ñó ñặt

ƯỠ

9. ðặt t = sin x , sau ñó ñặt

dx

du =

, _dt du= — t v=t

[u = lnt-; Idv = dt

[u = ln (l + fr): Idv = 2tdt

BỒ

ID

Hoạt ñộng 16 In2

ln2

/

* \ ln2 !n2+l

1. \ = | e x+1d x+ J e - Xdx = ex+1 0

0

V

6 y

1T - 6 + 1 - = 6 H—1 . 5 , 2 -7

2 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

, , br f ( * ) , .. °r f(x) 2. Tacó: 1= I -■ dx+ I—; d x . ðặt t = - X 0V + 1 _ịa x +1 a x

4 -1

J

^

dx = - d t .

j . 1

.Q UY

NH ƠN

ðổi cận: x = 0 = > t = 0;x = -b = > t = b

ĐẠ O

TP

(do f ( - t ) = f ( t ) ) .

HƯ NG

Á p dụng:

TR

ẦN

Vì hàm sô' f (x) = 2x2 + 1 là hàm số chẵn nên theo công thức trên, ta có:

00

B

D. BÀI TẬP T ự LUYỆN.

10

Bài tập 1:

P2

+3

Tính tích phân:

Ị - f

dx

3 0J( x + 3)2(x + 1)2

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



A

CẤ

-1 X2 - 4 x + 3

221 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 2:

X4

o

ñx M .4 0 'X +X + 1

K1 = 0JX3+1

* 1 - f - f r * 1* ì *ẵ - 1

1f

J.if,1

l

f ldx 2 —I 2 g 4x + 4x + 2

.Q UY

2r

1

NH ƠN

Tính tích phân: 1

ĐẠ O

= J - 7 T ^ x V l-x ; 2 2V3 dx

+3

0

‘s = / -

x

TR

Í3ài tập 8: Tỉnh tích phân:

lnS

-

rdx

ẦN

Ó' Ỉ 3 + 2x

3,

TP

J1 = j W l - x 2dx 0

Ỉ 7 T - T dx 0 Ve + 1

ĐẠ O

m2

.Q UY

Bài tập 7: Tính tích phân:

BỒ

ID

ƯỠ

Bàị tập 9: Tính tích phân: ĩ = r_^ 1 J l + X2

0

dx

- i( x 2 + 2 x + 2)

Kì =

rdx 1+X3

094

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2^3

-----------

1

J2 = j x V x 2 + 4dx 2

X + X+1

„2

K2 = j - ^ — dx 0x

Bài ỉập 10: Tính tích phân: .

^sin X

e3

6

4

n

0

-Jẽ dx Kị = fíi = J 'T 3 7 11dxxĨ3 V l-ln 2x

Tĩ 2 dx >2 ~ J /7 J» - Ì*si , s5i n x v l + cosx

COS X

1

K2 =



l = [ _ — JL -T = ------------ 0i _ X +1 1 + tan t

—--------= —T— dt = ——7t 3 / 7 \ 3 •* I —( l + ta n t | I

1

>

4 V

6

P2

6

Bài tập 4:

í X2 \ -1 ^ X2 A + — +x + l ) d x = ------ X 2 y -1 V / -2 V. 2

CẤ

-1

2

-1

2

Í-

1



-2

'x 2 ' -— X = 1 . V2 A

X—

-L

= J (l-x )d x + J (x -l)d x =

1

TO ÁN

0

X3 + (— - x )

ĩ3 = J ( l - x 2)dx+ J(x2-l)dx = X— 0

= 5.

A

X+ J(x

h

9

+3

J

10

M, =

00

B

TR

= — ( l + t a n 2t)dt J— —t a m = > d x == ad J n t— - - = —--------a -i d=t — 22 ' ' Ị^V 4 2J 2 COS t t

1 4-

NG

3

=2.

3

ƯỠ

I4 = J ( - x 2 + x + 6 j d x + j ( x z - x - 6 j d x

BỒ

ID

0

í

3 % X *

V ^ 3

/ _3

z x

, - + 6x

í

2

X3

+

/ ''o

-—

v 3 ^

X2 ,

2^

_— 6 x 2

^3

49

3 229

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f

-1

i

*

1 -x

. j M

4 1 -x

3

dx . 1 —

j[l-x

1

dx=x£ -

Ls

3

I6 = jV x|x-l|dx = jV x (l-x )d x + jV x(x-l)d x 0

0

1

_8_ 8 V3 15+ 5

.Q UY

h' tập 5:

NH ƠN

J, . j

*

7T

ĐẠ O

TP

Thi: |a| = |b |^ I = j|.js in x d (s in x ) = Ặ ĩ Th2 : |a| * |b|. t = a2 COS2 X+ b2sin2 X

ẦN

|b|+|a|

TR

1 bf dt _ 1 n: 2(b2 - a 2) J V F = b2 - a 2Vt a 1

B

■_* ^

HƯ NG

=> dt = ị- 2 a 2 cos X sin X + 2b2 sin xcos X Jdx = 2 ^b2 - a 2 jsinxcosxdx

00

v ậ y ,= R ^M -

10

3ĩi 4

+3

M= ||sin2x|dx

P2

71

CẤ

4

-L

Í-



A

Nếu: —< X < ——< 2x < ft => sin2x > 0 4 2 2 TC *^TĨ ^7Ĩ Nếu: - < x < — « 7 t < 2 x < — = > sin 2x< 0 2 4 2 3n It 4

2

4

NG

TO ÁN

Khi ñó: M= ||sin2x|dx = jsin 2 x d x - Jsin2xdx '

4

2 1 = —^cos2x + ^-cos2x 2 1 2

ƯỠ



2L

4

2

= -ỉ(-l-0 )+

4

ID BỒ

£

71

2f

"f

0

It



Ix = Jcosxdx+ J (-co sx )d x = sin x |2 -s in x |£ = 2 2

2

230 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

f 71

2tc \ 13 =^2 J|sinx|dx = -v/2 jsinxdx-Jsinxdx = W 2. 2\n 0

V O

7E

/

It

0

Bài tập 6:

.Q UY

0

NH ƠN

71 Tt 2 * 14 = j|ccjs x| dx = Jcos xdx - Jcos xdx = 2 .



X=

0 => t = 0,

X = —=> t

4

ĐẠ O

ðổi cận:

TP

1. ðặt t = tạnx=>dt = (tan2x + l)d x =1

HƯ NG

71

3

15

ý0 0

TR

13_7t

-Jd „

4

sinx 1+ ' l + cosx ( l + cosx)

dx=

P2

dx

0 2cos2^ 2

It

2r

sinx

------:

o (l + cosx)

11 3

CẤ

Bài tập 7:

\

10

-1 -—

+3

2

2. 12 = f—

00



B

5

ẦN

V 1 'V I1 = Jtan6 x d x = u ^ - = | t 4 - t 2 + i - — !— dt t2+ i 0 ol +1 0

0 =3-1 = V2 ,

X=

ln2 => t = V3 .

-L

Í-

^ f 2 -1 ^ I1= j - ----- 2tdt = 2 | ( t z - l ) d t ầ ^ Jz

TO ÁN

K hiñó

X=



ðổi cận:

A

1. ðặt t = Vex + 1 => t 2 = ex + 1 o ex = t2 - 1 => exdx = 2 td t.

2V2

= 2

ã

ƯỠ

NG

2. ðătt = x2 +1=>X2 = t - l= > 2 x d x = dt => xdx = —t . 2 ðổi cận: X = 0 => t = 1, X = 1 => t = 2.

BỒ

ID

Khi ñó: I2 = jf e z l ) , l d t . = - JtZ~ 2 t + l dt = ỉ I f t - 2 + - dt 2 J t 2 2.J t 2X \ t.

231 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

X

= %/ỹ => t = 4,

Khi ñó: ỉ3 = 3 4Jt2 - 9

X=

4

t = 5. = - j f — -------— ìdt 6 Ặ t - 3 t+ 3 j

6 ' (t-3)(tH *3)

.Q UY

ðổi cận:

NH ƠN

3. ðặt t - v x 2 + 9 = > d t = - 7= ỊL = dx và x2 = t2 - 9 . 77+9

ĐẠ O

TP

_1 Ị 7 = i ( l n |t - 3 |- ln |t + 3 l) f = - ln — = —f in —- I n ỉ = —In—. 6V 1 1 1 ■ 6 t + 3 4 6ị\ 4 7J 6 4

ðổi cận: Với ZL 2

X = 0 => t

= 0;

X

= 1 ==> t =

2

ĨL 2

I-----------

HƯ NG

4. ðặt x = sin t= > d x = cost.dt.

ĩ. 2

J

0

ẦN

Jt = j s in t v l- s in 2t.cost.dt= |cos2t.sin td t= -|cos2t.d(cost) = - .

=> t = 0;

X=

B

1 => t = —. 3

10

X= 0

+3

ðổi cân: Với

3

00

2 ^ 22 __ . 5. ðăt x = - 7 = sint=>dx = - 7 ^cost.dt V3 V3

0

TR

0

TC £ ^ . 2 4 . 1 , —sin t .- 7=xost.dt 2 j3 73 = —jsin2 t.dt = —J (l-c o s2 t)d t Khi ñó: J2 = 4 r JV 4 - 4 s in 2t ^ 0 90 9 0J



A

CẤ

P2

71

TO ÁN

6. Ta có: J3 =

-L

Í-

x --r s in 2 t 2

3 _ 4ti

1/3

n~ 2 7 ~ T '

= ■

3 ỉ

NG

ðặt x - l = 2sin t= > d x = 2cost.dt X

= 0 =í> t =

6

; X=

. 13=

BỒ

ID

ƯỠ

ðổi cận:

H ~6

v 4 -4 s ìn z t

1 =>

t =

0

J ( l+ 2 s m t ) d t = ( t - 2 c o s t ) f ,= ,g - 2 + I 6 6

_JỊ 6

232

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2.d (e x +2Ì , ,|2 2. I2 = f- - - ■'■=ln(2+ex)

J

e

Ịn x

|,e2 Me

.Q UY

3. J = f - V - - = ln lnx

2e+l

=ln2. 5 e

%, ,4 . , íln x ) 4. J2 = j(ln x ) d (ln x) = - — — 5

TP

I

'1-1

ĐẠ O

ef d ( l n x )

v

7 p 4- p 3

1 ,, , = —. Ngoài ra, ta có thê ñặt t = ln x.

1

5

t+ ij2 2

2

+3

u

10

00

B

TR

ẦN

5. ðặt: t = Vx2 + l =^dt = ụ=^==rdx = ^ ^ = > d x = —

HƯ NG

2 _{ 2+ex

NH ƠN

Bài tập 8:

CẤ

P2

„_ 1 , cost , , 2' 1 „ COS2t 6. ðặt X = —-— => dx = — —— dt và X - 1 - —-T— 1 = ——ĩ— sin t sin t sin t sin t

TO ÁN

-L

Í-



A

ðổi cận: X= 1 :=> sin t = 1 => t = —; X= V2 => sin t = —7= => t = — 2 V2 4 __ 2 71 COS t £ 21 4rVsin2t - c o s t , 2rC0S2t , 2f/ _ 2 , rc =>K 4 = v - ■- ~ -d t= — -5—d t= |( cot t + 1 —1 )dt = 1 —— ! _JL sin t Ị s in 2t 7 4 2 sin t 4 4

NG

, ðặt x = 2sin2t, t e 0;— =>dx = 4sin tcostd t

ƯỠ

.. I 7C á . V3 ðổi cận: x = l= > s in t = —7==>t = —; X= r-=> sin t = ——=í> t = V2 4 2 2

BỒ

ID

- / \ 3_(2sin2t + l)4 s in tc o s td t 3 =>Kr= [-— == = = == =— = 2 f|2sin t + l)d t it J 2sin2 t Í 2 - 2 s in 2t) £ 7 V ' \ ) í 233

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

71

3

= 2 j(2 -c o s 2 t)d t = 2 2 t - —sin2t 2

It

6

NH ƠN

7T

3 _ 271 + 6 - 3 7 3

4

Bài tập 9:

2.

ĩ

_

ĐẠ O

= jd t= ~ . 0 4

HƯ NG

0

— , ■ 1 + tan t

TP

ĩ ( l + tan2t)d t = > Ii = ] —

.Q UY

1.ðặt x = tant, t e 0;—j=>dx = Ịí+tan2t)dt.

Ta có: I2 = 4 J--— -----. o(2x + l ) +3

00

Ia

B

ðổi cận: x = 0=> tant = --==> t = —; X = 1 => tant = V3 => t : V3 6

10

71

2 ^ 3 ^1*1+ t a n 2 1 J

00

TR

ẦN

ðặt 2x + l = V3tant, t e 0;— I =í> dx = — ( l + tan21j dt 2)

£

ĩt-\/3

2^/3



-1

A

CẤ

P2

+3

=>I2 = —— -----dt = —— dt = — — . 2 3 ị l + tan t 3 £ 9 6 6 0 dx 3. Ta có: ]ị = J

[(x+1)2+1

TO ÁN

-L

Í-

\ ðặt x + l = tant, t e 0;— =>dx = ( l + tan2tjd t X = —1 => t

11

= 0;

X = 0 => t

n

= —. 4 n

, 4f l + tan2 t , 4f 2 J ~ >}Ị = ị -------— — ^ -d t= jcos tdt = - J ( l + cos2t)dt ' 0 ^0 ỉ (1l' + tan2t)2

BỒ

ID

ƯỠ

NG

ðổi cận:

4 t + - s in 2 t 2 / 0

ĩt + 2

8

234

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. ðặt x = i2 tant=>dx = 2^1+tan2tjd t.

2 => tan t = 1 => t = —; x = 2-\/3 ==>t = —. 4 3 n

Jt 1

J2 = fetant.—— .2 (l + tan2t)d t = 8 f310^ = ——^r— ỉ co st ' ' ị COS t 3 COS t

8 ị 8 - 2ĩJz)



4

TP

4

NH ƠN

X=

.Q UY

ðổi cận:

ĐẠ O

c Ta T có: ' Kj[ I/ = - f-j= 5. 0 yl

2dt

= 2 | dt = 2 \ d (sin t) 3 0 cost

3 0 i - s i n 2t

B

TR

ó3.cos2 tV l + tan2t

ẦN

K =\

HƯ NG

Ficif /V = - fonf' ðặt xVx tan t =ỉ> —Vxdx = ( l + tan2 tìd t => Jx ảx = 2 3cos t

10

00

=ỉin ỉ± § li O l n ^ +l l 3 1 -sin t 0 3 ' '

+3

Bài tập 11:

A

X



1

CẤ

P2

1. t = ln(x W x 2 + ĩ)= > d t = -------L===fx + Vx^~+lVdx 1 ' X+ V ^ 7 Ĩ ' ;

Vx2 + l + x

=í> dt = --- ^jL J= k dx = —

x + vx2 + l

-L

Í-

x + vx 2 + 1

TO ÁN

ðổi cận: X = 0 => t = 0,

ƯỠ

NG

Khi ñó: Ij =

1 = -dx.

Vx2 + 1

x = l= > t = ln Ịl + A/2^.

.J ■dt = t|‘n(lW^ = ỉn (l + V2 ) . 0

ídu = dx

X

,

=>

-Ị

,----------

BỒ

ID

2. ðặt 4

í - y ^dx = -

Khi ñó: I2 = x V l + x2 - |V ĩ + x2d x - y Ị Ĩ - \ z . 0 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

235 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Xem cách giải bài toán I3 dưới ñây:

X

dx

NH ƠN

du:

Ịu = V i+ x2 3. Cách 1: dv = dx v

[V = x x! ~ ầx = 4 Ĩ -

lo Ỉ 4 Ĩ ^

^ dx = V 2 - L + L

.Q UY

ó I ^ x V l + x2!1- f Khiiññó

ỉ V Ĩ77

ĐẠ O

TP

=>I = ỉ ( V 2 + I 1) = ì [ V 2 + ln ( V 2 + l ) ] .

=> X=

2t

và dx = -

2t2

HƯ NG

Cách2: t = x W l + x2 := > t-x = V l + x 2 =í>(t--x)2 = l + x 2

dt 2t2

00

B

TR

ẦN

ðổi cận: X = 0 r=> t = 1, X = 1 t = > /2 + 1 . Khi ñó: +l .. -J2+1 / n ^\ ^ ^ ^ N\ -sV/22+I 2 1 ,. t + - + 4 - kit = Ậ t2 + 21nt— — r-) = ĩ [ 7 ỉ + m ( ^ + i)] 4V t tJ 2t

CẤ

P2

+3

10

Cách 3: x = ta n t,- ^ < x < ^ - = > d x = — %—dx. 2 2 cos X n ðổi cận: X = 0t = 0, X= 1 => t = 4



A

COStdt Khi ñó I3 = J- "3~ = J " ~ T ~ = J~ q COS t ' COS t o( >( 1 —s í n 2 1)

-L

Í-

ðăt v = sin t= > d v = costdt.ð ổicân: t = 0= > v = 0,

17Ĩ 1 t = —=>v = —ị= 4 V2

1

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

V? Khi ñó I3 = f — = f ° ( l - v 2) J = ỉ 1 f _ l ____ 1 Tdv 4 J U -I V+ l J

i f 1 'í „J |_ ( v - l ) 2

dv

( v - l ) ( v + l)i

(v + ự

1 dv

= ...= ỉ[V Ĩ + ln ( V 2 + l )

236

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

■ft

IT

4 4rsin21

cos"' t

-

0

0

.Q UY TP

dv = — — r dt COSt

- d t = V2 - I 3 +M

COS t

MJ j _ i _ d t= ij[_ E 2 £ 'c o s t 2 ' { l - s sin i t

ĐẠ O

ðặt

f, sint , du-at COS t sint v = ta n t= cost

1 + sin ty

'

HƯ NG

1 u = —- — cost co st

NH ƠN

, . 4r dt 4f 1 dt ðể ý: I3 = —- j - = — - 2 pCos t 'Cost cos t

'

J +6 1J , 2 I Cách4: ðặt x = — —— =>dx = — — -d t và 1 + x = — —

\2

TR

ẦN

e 1 —6 1

10

00

B

Khi x = 0:=>t = 0 g1 —e_t Khi X= 1 , ta C Ó ---------— = l o ( e t )2 - 2 e t - l - 0

t

t

P2

f f „J

1 -2t



I f 1 2t

e

:(l+v5) = i [ 7 2 + l n ( l + V2)

+ 2t

Í-

4 l2 e

/0

-L

Bài tập 12:

ln(lW 2)

e + e e '+ e -1 1 v ------ —.------ — d t = — j ^e2t + e 2t + 2jdt 2 2 4

CẤ

I n ( l+ ^ )

A

■ , Khi ñó: I, = 3

+3

ec = l + V 2=>t = ln (l + >/2).

NG

TO ÁN

du = dx _ fu = x => 1. ðặt [dv = sin2xdx v = —-c o s 2 x 2 X

1

*

ID

ƯỠ

=>I, = - - x .c o s 2 x 2 + —[cos2xdx=—+ —sin2x 12 = —. 0 4 4 >0 4 0 2^ 00J

BỒ

2. ðặt

[u = x -2

dv = e 2 x+ l

d u= d x

v = —e2x+1 2 237

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2

=> ỉ2 = ệ ( x - 2 ) e 2x+1 - - Je2x+1dx = e - - e 2x+1 > 2 0 20 4

fdu = -sinx

1

2x

2

„ 2x J , +l -í ; sinx.e d x = ~1r +1 H 7 ^7. 0 ^ 20 J ^

TP

,

=>1, = -c o s x .e

.Q UY

v -_^ 1- e 2 x 2

dv = e dx

ĐẠ O

ð ặt: 4

3.

5

NH ƠN

r,______ u = cosx



5 e-e

71

HƯ NG

2 TínhJ= Jsinx.e2xdx : 0

TR

£

B



ẦN

íu = sin x ídu = cosxdx •ð ặ t r , =H 1 , ìdv = e dx |v = - e 2

10

00

=> J= ì e 2xsin x | - — [cosx.e2xdx = - e ,t - - I 2 0 -2 Ị 2 2

iu = In(x + 2)

du = ——- dx x+2

A

4. ðặt

CẤ

P2

+3

_ . 1 lfl , 1, ì 5 ,e * -2 =>I3 = - - + - - e 71- - ! , =>—I, = — — : •I3 = e * - 2 3 2 2 ,2 2 3J 4 3 4

Ịdv = ^2x2 + x + ljd x



_ 2

Í-

-L

. J (2 3 1 2 \ / =>Ji = + ệ x + X ln(x + 2)

TO ÁN

\3

2

NG ƯỠ ID BỒ

1

2

1 °r4x3 + 3x2 + 6x ,

J

= - Ậ °ff4x2 - 5x +16 - — 64V

3

v = —X + -X + x 3 2

Idx =

X + 2J

6 '

x+ 2

f----------=2-------dx

- X 3 - - X 2 + 16x -3 2 1 n (x + 2)

6{3

2

K



16, 119 = —- l n 2 - — 3 36

5. ðặt

iu = ln (l + sin x) dv = sinxdx

, cosx , du = — —— dx 1 + sinx v = -co sx

238 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7T

£

2x

dx

x2 + l

f x 2~ | ln ( x 2 + l) )

= ln 2 ~ —. 2

HƯ NG

= - \n 2 2

ĐẠ O

1 X3 dx dx = —l n 2 - lí X - x •I3 =ệ^x2in (x 2 + l ) - J x2 + l L 0 o'

Bài tệp 13:

ẦN 00

B

dv = dx

TR

ðặt

2 x -l du = 2 dx X -X v=x

[u = InỊ'x2 - x Ị

.Q UY

1 X2 V= — 2

dv = xdx

TP

6. ðặt

[u = l„ (x 2 + l ) ^

, _ du=

NH ƠN

L = -c o s x .ín ( l + sinx)Ĩ2 + f C- .S — -dx= f ( l-s in x ) d x = —- 1 . 12 v 'lo J l + sinx 0JV ’ 2

+3

10

dx =>IX= x ln (x 2 - x j I — —dx = 3 I n 6 - 2 I n 2 - jT2 -fX — 1 '2 2 X -X 2V

21nx , du == — —adx --------x

A

[u = ln2x

x 1 4 — v = —X 4

TO ÁN

Íu1 =Inx

[dVi = x 3dx

du.

4

1

dx

V1=-

NG

ðặt

-L

Í-

dv = x3dx

e

=>I, = —x4ln2x — fx3lnxdx = --------- J 2 4 li 2.J 4 2 A



ðặt

CẤ

P2

= 31n3 + ln 2 -( 2 x + l n |x - lị) I = 3 ln 3 - 2 .

5e4 - 1 ? _ _ ee4 _ 1 3e +1 4 , „ e l ef 31 _ e4 =>!•> = =>J = —X lnx x3dx = - — — + 32 44 16 + 16 _ 16 4 1 4jJ TE

BỒ

ID

ƯỠ

_ ,1

u=x

Ta có : Jj = — í— ^ —dx .ðặt ■ 1 2 * cos X

du = dx v = tanx 239

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

1

I- 4r

n 1

44

71

1

_

u = 3 + lnx 2 I (* + l ) 2

.

=>\

x —1 ■"

'

v= — x+l

u = lnx Bài tập 17: Ij = jx 2 lnxdx . ðặt: < . 1 Id v = X dx

HƯ NG

V

V= -

1 3 3 1J

1

330

9

e3 e3 - 1 _ 2eJ + 1 3 9 '

9

10

00

B

I2 = jx 2exdx 0

TR

03

ẦN

I _ ef 2 , , X3., e l ef 2^ _ e 3 X3 =>Ii = X lnxdx= — lnx “ X dx = - r - -

1J

, 3 2

, dx du = —

rf

e

3 -In 3 4

— — + ln -

ĐẠ O

3 + lnx 3 3f dx 3 + ln3 3 , X + / T= -----—— + - + In—— x + 1 ! 'x ( x + l ) 4 2 x+ 1

.Q UY

dv = —

du = —

TP

ðặt

NH ƠN

=ỉ> Ji = —xtan x |4 - Jtanxdx = —+ —In I cosx I = — l n 2 . 2 0 ® 2 0 8 4

CẤ

P2

+3

„ fu = x2 idu = 2xdx V7 V 7 V1 V V ðặt < =>•{ =>I2 = fx e dx=x e - 2 |xe dx = e-2 C (dv = exdx [v = ex 0J 0 0J 1 c = j x e xd x

A

0

v=e

X

,,

^

h

~

e

~

2

1

x - fexdx = - e + 2eJ - 0 . - 2 lo J 0

-L

Í-

dv = exdx



du = dx

4

TO ÁN

Jj = Jx4lnxdx 1

Í

NG ƯỠ ID BỒ

, u = lnx

ñu = ỉ d x V

À ^ 1 dv = x dx

c X

X l n x ' 5- ) ^ À á x *5 X V5 / 1 1 Ji =

V = —-

5

1 5|* 1 Y5 = 6 2 5 1 n 5 -- fx4dx = 6 2 5 I n 5 - i— 5ị 5 5 240

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= 6251n5-

3124 25

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

71

2 J2 = Jxsinxdx 0

dv = sinxdx

v = -co sx

.Q UY

ðặt:

7C. 2 •J2 = -x co sx ịz - j(-c o sx )d x 0

|du = dx

u=x

7t

£

ĐẠ O

0 = J xe~xdx 0 = -x e

v = -e~ x

_ v ln2

1112

- 0J K ‘ )d*

00

B

TR

ẦN

dv = e“xdx

=><

du = dx

HƯ NG

In 2

ðặt:

TP

2

= jcosxdx = sinx|2 =1.

u=X

NH ƠN

71

+3

10

K2 = |x l n ( l + x2)dx 0

u _ l+ x 2

'=><

CẤ

(u = l n ( l + x 2 )

ðặt: i ' (dv = xdx

_ 2xdx

P2

f

Í-



A

v _ . i x2 2

l r 2 1_ / atll1 r X3 =>K2 = — X .In (l+ x ) — j-dx 2 0 ^+ x

= —l n 2 - ỉ + —In (l + X2i = ỉ l n 2 - ỉ + ỉ l n 2 = l n 2 - ỉ 2 2 2 1 /„ 2 2 2 2

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

= ỉ ] n 2 - [xd x + J ——y d x = - i n 2 - —x2 + l j d(1 - * .) , 2 0J 0 1+ X 2 2 0 2 0 1+*

241 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:

.Q UY

- Nắm và hiểu ñược công thức tính diện tích, thể tích vật thể.

NH ƠN

§ 3.

2. Kĩ năng:

TP

- Vận dụng thành thạo các công thức nêu trong bài vào việc giải các bài toán

ĐẠ O

cụ thể. 1. Tính diện tích hinh phẳng:

HƯ NG

B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

ðịnh lí 1. Cho hàm sô' y = f (x) liên tục, không âm trên [a;b].

là:

/'

10

00

B

TR

x = a,x = b

Ậ y

0

+3

và hai ñường thẳng: b s = Jf(x)d x. a

ẦN

Khi ñó diện tích s của hành thang cong giới hạn bởi ñổ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành

P2

Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x ) liên tục trên[a;b]. Khi ñó diện tích s của hình

CẤ

phẳng (D) giới hạn bởi: ðồ thị hàm sô' y = f(x ); trục Ox: (y = 0 ) và hai

a

Í-



A

b ñường thẳng X = a;x = b là: s = j|f (x )|d x .

-L

Bài toán 2.

TO ÁN

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñổ thị: (C1) :y = f(x ),(C 2) :y = g(x ) và hai ñường ñường thẳng X = a,x = b . ðược xác

NG

ñịnh bởi công thức: s = j^|f(x)-g(x)ịdx.

BỒ

ID

ƯỠ

Chú ý: 1) ðể phá bỏ dâu giá trị tuyệt ñối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: f(x ) = g(x ) tìm nghiệm x1,x 2,...,xn e(a;b ) (x 1 < x 2 < ...< x n).

242 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Tính: s = ịXlj|f(x)-g(x)|dx + J[X2|f(x)-g(x)|dx+...+ £ |f(x)-g(x)|dx

= | ‘ii(f(x)-g(x))dx+... + | £ (f(x)-g(x))dx|.

.Q UY

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào ñồ thị ñể bỏ dâu giá trị tuyệt ñôí. 2)

Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cẩu tính diện tích hình phẳng giới

TP

hạn bởi hai ñổ thị (c i ):y = f( x ) / (C2):y = g (x ). Khi ñó, ta có công thức tính xn

ĐẠ O

như sau: s = J|í(x)-g(x)|d x. xĩ

HƯ NG

Trong ñó: xx,xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhâ't của phương trình:

f(x) = g(x). Tính thể tích của vật thể

TR

a.

ẦN

2. Tính thể tích khối tròn xoay:

(a

00

a,x = b (a < b ) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại ñiểm

< X < b ) cắt

c

th eo m ộ t thiết d iện c ó d iện tích

s(x ) . Giả s ử s(x )

là h à m liên

+3

X

X=

10

lượt tại

B

ðịnh l í 2. Cắt mệt vật thể c bởi hai mặt phẳng (p) và (Q) vuông góc với trục Ox lần

P2

tục trên [a;b]. Khi ñó thể tích của vật thể c giới hạn bởi hai mp (p) và (Q) ñược

CẤ

b



A

tính theo công thức: V = j"s(x)dx. a » Pfir_I .1 A?, r 1 _A_«_ì _ _ _ b. Tính thể tích vậy tròn xoay

Í-

Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D ñược giới hạn bởi các

-L

ñường y = f(x );y = 0;x = a;x = b quanh trục Ox

TO ÁN

Thiết diện của khôĩ tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại ñiểm có hoành ñộ bằng X ỉà một hình tròn có bán kính



y

NG

R = Ịf(x)| nên diện tích thiêí diện bằng

ƯỠ

s (x ) = TtR2 = 7ĩf2 ( x ) . Vậy thể tích khôĩ

ID

tròn 'ÌI xoay ñược tính theo công thức: thứ

BỒ

b b V = js(x )d x = 7ijf2(x )d x . a

a

243

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Chú ý: Nêu hình phẳng D ñược giới hạn bởi các ñương y = f(x ),y = g(x),

NH ƠN

x = a, x = b (Với f(x ).g (x )> 0 V x€[a;b]) thỉ thể tích khối tròn xoay sinh bởi

.Q UY

khi quay D quanh trục Ox ñược tính bởi công thức:

ĐẠ O

TP

Bài toán 2. Tính thể tích khôi tròh xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các ñường x = g (y ), y = a, y - b , 0 y quanh trục Oy ñược tính theo công b thức: v = 7tjg2( y ) ñ y .

HƯ NG

a

c . CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ. . 1. Diện tích hình phẳng giới hạn.

1 __________________ ____

B

CHỦ ð Ể

TR

o

ẦN

2. Thể tích hình phẳng giới hạn.

Phương pháp:

+3



10

00

DIỆN TÍCH HÌNH PHANG g i ớ i h ạ n

P2

Cho hàm sô' y = f(x ) liên tục trên[a;b]. Khi ñó diện tích s của hình pKẳng



a

A

CẤ

(D) giới hạn bởi: ðổ thị hàm số y = f ( x ) ; trục Ox: (y = 0 ) và hai ñường thẳng b x - a ; x = b là: s = |f(x )|d x

-L

Í-

b b J|f(x)|dx= CÔI thức này chỉ ñúng khi f(x) không ñổi dâu trên J f(x )|d x = Jf(x)dx công a

a

TO ÁN

khoảng (a;b).

b

b

NG

Nếu: f(x )> 0 ,V x e [a ; b] thì Jf(x)|dx= Jf(x)dx a

'

a

BỒ

ID

ƯỠ

b b Nếu f ( x ) < 0 ,V x e Ịa;b ] thì j]f(x)ịdx = - Jf(x)dx a

a

CM ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt xj,x2,...,xktren (a;b)thì trên mỗi khoảng (a;x1),(x 1;x2)...(xk;b) biểuứìức f(x) khÔỊTig ñổi ãau. 244

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

b

Khi ñó tích phân s = jjf (x)|dx ñược tính như sau: a b

*2

X1

NH ƠN

b

s = j]f(x)Ịdx= J f(x)dx + J f(x)dx + . . . + Jf(x)dx

% *1 Công thức tính diệp tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:

.Q UY

a

a

TP

y = f(x) và y = g(x)và hai ñường thẳng x = a,x = b (a< b):

ĐẠ O

s = J f(x )-g (x )|d x . a

HƯ NG

□ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1.1.3 Tính diện tích s của hình phẳng H giới hạn b ở i:

ẦN

2. ðồ thị hàm sô': y = (e + l ) x và y = Ịex + l j x .

Si ______________________________ ____ /

1. ðổ thị hàm số: y = - V x , trục hoành và ñưòng thẳng y = 2 - X.

TR

ð ể th i ð ại học k h ối A, năm 2007.

00

B

Lời giải.

+3

10

1. Hoành ñộ giao ñiểm của ñổ thị hàm số: y = -yfx và ñường thẳng y = 2 - X là nghiệm của phượng trình: íx > 2

íx > 2 , x = 4 [x —5x + 4 = 0

P2

/r -V x -2 -x » V x = x -2

CẤ

Ịx = x - 4 x + 4 2

4

TO ÁN

3

'

2

3

;te I co 1

ĩ

& 4-

+ '2x : ± + -2 4 2 3 0

II

-L

Í-



A

Diện tích hình phẳng H giới hạn: s = jVxdx + 2 —X+ Vx jdx 0 2 2

V3

10

3 J“ 3

2. Phương trình hoành ñộ giạọ ñiểm: x=0

;x = 0

ex = e

X= 1

ƯỠ

NG

(e + l) x = ( l + e xỊx x(ex -e)f= 0 « •

BỒ

ID

Diện tích hình phẳng H giới hạn: s = jj(e.+ l) x —Ịl + ex ỊxỊdx = j|xỊe—exj|dx 0 0

Với V x e[ũ ;l], ta.luôncó: x Ịe—exj > 0 245

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ex

- j ( e x - e x jdx = 0 0

i



-

Ví dụ 2.1.3

H

i-‘

'

.Q UY

s = £x| ex~ex

NH ƠN

u~x ídu = dx V Vậy, s = l^xỊe-e*) dx.ð ặt i dv = ^ e -e Idx Ịv = e x - e x 0

TP

1. Qho hàm sô' y = X4 - ( m + l ) x 2 + m có ñồ thị (Cm) . Xác ñịnh m > 1 ñể ñổ thị

ĐẠ O

(Cm) cắt trục Ox íại 4 ñiểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phẩn phía dưói trục O x.

HƯ NG

2. Tìm các giá trị tham sô' m e l sao cho: y = X4 - ịm 2 + 2}x2 + m z + 1 , có ñổ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm)

TR

ẦN

5, 96 với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích băng ——.

B

Lời giả i.

10

00

1. ðổ thị hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phần biệt X4 - (m + l ) x 2 + m = 0 ( l )

+3

( l) c ó 4 nghiệm phân biệt t2 - ( m + l ) t + m = 0 (2) có 2 nghiệm dương

P2

A = (m + l ) 2 - 4 m > 0

CẤ

phân biệt « • 0

o 00

Í-

Với 0 < m ^ l thì phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm là t = l , t = m , vì m > l ,-v/rn

-L

nên 4 nghiệm phân biệt của ( 1 ) theo thứ tự tăng là:

TO ÁN

Theo bài toán, ta có:

0

Vĩn o £ x 4 - ( m + l ) x 2 + m ] d x = - j Ị V - ( m + l ) x 2 + mJdx 0

1

i/m

BỒ

1

1

ID

ƯỠ

NG

Vĩrĩ SHl = S H2 jjx4 - ( m + l ) x 2 + m|dx = j | x 4 - ( m + l ) x z + m dx 1

°

/

5

3

Vm

^

JỊ^x4—(m-í-l)x2-ỉ-m^Ịdx = 0 —— (m + l ) — +mx 0

15

3

=0

J

246

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

m, m + 1 „ — _ — + l = 0rn = 5 5 3 Vậy, m = 5 thỏa bài toán.

1 ðổ thị hàm sô' cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt X4 - Ị m 2 +2^x2 + m 2 + 1 = 0 (*) 0.

.Q UY

hay Ịx2 —1 jỊx2 —m2 —1 j = 0 có 4 nghiệm phân biệt, tức m

TP

Với m ?^0 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ±1;± Vm2 + 1

ĐẠ O

Diện tích phầri hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành 1C h o à n h là:

HƯ NG

..9 6 20m +16 96 _ _ s = 2 J[x4 ~ (m 2 + 2)x2 + m2 +1 dx = — ------:------- = — ■m = ±2 15 15 15 0 CH Ư ð Ể 2 _____________ '______________________________________

ẦN

o

TR

THỂ TÍCH HÌNH PHANG g i ớ i h ạ n

10

00

B

□ Phương pháp: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D ñược giới hạn bởi các ñường y = f(x );y =0;x = a;x = b quanh trục Ox

+3

i

hy

P2

Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông goc với Ox tại ñiểm có hoành ñộ

y '

CẤ

V

bằng xlà một hình tròn có bán kính R = ịf(x)Ị

A



b

X

Í-

S(x) = nR2 =7tfz ( x ) .

(ill \ 1 0



nên diện tích thiết diện bằng

-L

Vậy thể tích khối tròn xoay ñược tính theo công thức: b

= Js(x)dx = 7t jf2(x)ñx.

a

TO ÁN

V

b a

□ Các ví dụ minh hoạ:

NG

Ví dụ 1.2.3 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các ñường: y = xlnx, y = 0, X = e .

BỒ

ID

ƯỠ

Tính thể tích của khối tròn xoạy tạo thành khi quay hình H quanh trục Q x. ð ể thi ðại học khối B , nắm 2007.

Lời giải.

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: xln x = 0

X=

1.

247

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

e

e

Vậy, v 0x =71 j(x in x ) dx = 7ĩ jx 2ln2xdx = 7ĩl1 1 1

V

=

f x 2d x - —

J

.Q UY

„ fu = ln2x ðặt: j => dv = x dx

NH ƠN

, 21nx, du = — — dx X

3

e

ðặt:

TP

|x z lnxdx = 3 1

X

ĐẠ O

-In

dx du = —-

fu = lnx

X

dv = x2dx

HƯ NG

3

X3

V= —

9

00

3

„3

e3

l j _ ,2ed + l

9

9 r 1 9

7t(5e3 - 2 )

2 2e3 + 1

10

e3 Vậy, V0 =71 J 0 3

¥

TR

x2dx = Ặ -

f

B

-lnx

'x 3 '

ẦN

3

27

( ñ vtt).

P2

+3

Các hoạt ñộng cơ bản :

CẤ

sồ

1. y = 5xVx2 + 9 và y = X3 + 9x.

A

1 :(x3 + l )



v à X = 1, X = 2, trục Ox

Í-

2. y = -

TO ÁN

-L

xln (x + 2) 3. y = — F = = ■- và trục hoành. 4. y = X2, trục Ox và tiêp tuyên tại ñiểm M có hoành ñộ bằng 3.

NG

so

ƯỠ

1. y = - x + 4 x - 3 , x = 0, x = 3 và Ox.

BỒ

ID

2. y = x3 + l l x - 6 , y = 6 x 2, x = 0, x = 2.

3. y = X2 - 4-ỊxỊ +.3 và trục hoành.

4. y = x - 4 x + 3 và y = x + 3. 248

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

5. y = xln x,x = evà Ox

NH ƠN

6. y = x2 - 3 x + 2 và y = x - l lnx 7. x = l,x = e,y = 0,y = - - - ^ . 2 -s lx

.Q UY

8. x = 0,x = 7i,y = cosx,y = sinx □ Hoạt ñộng 3:

TP

1. Cho parabol ( p ) :y = 3x2 và ñường thẳng d qua M (l;5) có hệ sô' góc là k .

ĐẠ O

Tìm k ñể hình phẳng giới hạn bởi (p) và d có diện tích nhỏ nhâ't.

HƯ NG

2. Tìm m ñ ể (Cm): y = x2Ị m - l - x 2j + 2 có 3 ñiểm cực trị. Khi ñó gọi ( a ) là tiếp tuyến của (Cm)tại ñiểm cực tiểu, tìm m ñể diện tích miền phẳng giới hạn 4

ẦN

bởi (c m) và (A) bằng

TR

3. Tìm các giá trị tham sô' m eM sao cho: y = x3 - 3 x + 2 và y = m (x + 2) giới

00

B

hạn hai hình phẳng có cùng diện tích.

10

4. Cho parabol ( p ) : y = -X2 + 2 x , có ñỉnh s và A là giao ñiểm khác 0 của (p) và

+3

trục hoành. M là ñiểm di ñộng ữên SA, tiếp tuyên của (p) tại M cắt Ox, Oy tại

P2

E, F . Tìm giá trị nhỏ nhâ't của tổng diện tích 2 tam giác cong MOE và MAF.

CẤ

□ Hoạt ñộng 4:

A

1. Tìm m ñể ñổ thị ( c ) : y = X4 - 2mx2 + m + 2 cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt và



ñiện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (c ) và Ox bằng diện tích hình

-L

Í-

phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi (G) và Ox.

TO ÁN

„ ( 5Ì 2. Tìm m thuôc khoảng 0;— sao cho hình phang giới han bởi ñổ thi của hàm V 6J ' ' . .

NG

số y = —X3 + mx2 —2x —2m —— và các ñường X = 0, X - 2 , y = 0 có diện tích 3 3 bằng 4.

ƯỠ

3. Cho hàm số y = x3 - 2 x 2 - ( m - l ) x + m ( l ) . Trong trường hợp hàm số ( l)

BỒ

ID

ñồng biên trong tập số thực M, tìm m ñể diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số ( l) và hai trục Ox,Oy GÓdiện tích bằng 1.

□ Hoạt ñộng 5:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

249

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giớịhạn bởi các ñường:

NH ƠN

1. ý = V x, Ox và ñường thẳng X+ y - 2 = 0 2. y = Vx sinx ( 0 x Vx 2 + 9 . Ị 5 - V x 2 + 9 j = 0 o x = 0 , x = ± 4

Hơn nữa hàm sô' y = 5 xa / x 2 + 9 - (x3 + 9xỊ liên tục trên [-4 ;0 ], [C;4], do ñó

diện tích cần tính là: s = j|5xVx2+ 9 - (x3+ 9x)|dx = j|5x>/x2+ 9 - (x3+ 9x)|dx + jỈ5xVx2+9 - (x3+ 9x) dx -4

-4

0

250 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

0r

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

_______

4j-

j 5>fVx2 + 9 - Ị x 3 +9xỊ dx + j Sx-Jx2 + 9 - Ị x 3 +9x) dx -4 "

0

164

3

2r(x3+1)~ dx = 2^ 1 ! x(x3 X^X3 + l j]

/x^ x3 + l j 2/ l

ừ í- ií^

Ị X 3 X +1 xv y

u

ln |x |- - ln |x 3 + l|

1

/

V

ẦN

1 ^ ( 1 I n 2 - - l-ln9 n9 — - - -ị l n 2 1 . Vậy, S = - l n 2 - - l n 9 7 3 3 3 , , 3 J, 3

xln(x + 2)

in h : — - ., ■X — . = J - =0«> 3. Ta có phương trình

TR

(

X2 ' dx x3 + l

1 3x2 N 3 x 3 + 1.

>0

.Q UY

c(x3 + l )

' / x p + l)

TP

1

dx, với V x e [l;2 ] =5“

NH ƠN

82

ĐẠ O

’3

+

HƯ NG

82

x= 0



A

CẤ

P2

+3

10

00

B

X= —1 V 4-X Suy ra hình phẳng cần tính diện tích chính là hình phang giói hạn bởi các ñơờng xlri(x + 2) -,y = 0, x = —1, x = 0. y =l 4 —X 0 xIn(x + 2) ñ x = °J- x ln ( x 4 2 ) dx Diện tích của hình phẳng là s = I -ì -1

TO ÁN

-L

Í-

x d x . Khỉñó du = - ^ - , v = ì/ 4 - x 2 . ðặt u = ln (x+ 2), dv= -J^L= x+2 V4 - x 2 Theo công thức tích phân từng phần ta có 00L 2 - [ — x dx = 2 In 2 - [ J x+2 x +2 •[J x+2 1 -1 x + z -1

dx.

NG

Ị——7 S = v 4 -X ln(x + 2)

BỒ

ID

ƯỠ

ðăt x = 2sint=>dx = 2costdt.K hi x = - l= > t = - —; khi x = 0=>t = 0. 6 0 ỉ= J — —— dx= J ~^C0S — dt=2 Ị (l-s in t)d t= 2 ( t + cost) = l +ĩ ~ £ . x+2 2sint + 2 1 3 —1 7t 71 6 ~6 ~6

251 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. Phương trình tiếp tuyến tại M : y = 6x - 9

y 2 , 9y 12 6

_ 27 4

24y3 3

Hoạt ñộng 2 :

HƯ NG

1. Bảng xét dâu X

3

ẦN

1

= - j ( - x 2 + 4 x -3 )d x + j( -x 2 + 4x-3 )d x 0 1

00

= - J(-X2 + 4x -3 )d x + j( -x 2 + 4x -3)dx 0 1 / 3 \1/ 3 ^ =+2x2 + 3x + +2 x 2 +3 x , = - . 3 3 3 V Jq V Jị

CẤ

P2

+3

10

s

3

B

1

TR

s

27_18=9 2 ~4

ĐẠ O

S = Ị ỉ± 2 -7 ỹ )d y =

.Q UY

6

d y . Với Vy s=

NH ƠN

|> j = i rx = ± l [t= l t-3 >1 = 3 . x = ±3

~x2-4|x|+'3 = 0 o t 2- 4 t + 3 = 0, t = |x|>0 ọ

0 1

3

v3

'0

00

|x2 - 4 x + 3| = x + 3 • x2 - 4 x + 3 = x + 3

x=0 x=5

+3 3



0

0

+

5

A

1

P2

+

+3

3

1

CẤ

x

3

10

-4 x +3 = -x - 3

0

4

1

16

ẦN B

x + 3>0

x2-

3

TR

ễ. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

X

\

_ —— 2x2 + 3x 3 V )

Vậy s = — (ñvdt).

X2

ĐẠ O

- — 2x +3x

3

HƯ NG

=2

f

/V

TP

= 2 jỊx2- 4 x + 3jdx + |Ịx2- 4 x + 3^dx 0 1



=>s = J^x2 -5x)dx+ j |- x 2 +3x-6)d x+ Ị^x2 -5x)dx 1

Í-

0

109

NG

Vậy s ■

2

3

—— + —-— 6x

TO ÁN

3

-L

r- x 3 3x2 , '

3

+ 1

3 xá

5x 2 Ì

V3

2 /

í

109

(ñvdt).

ƯỠ

5. Giao ñiểm của ñổ thị hàm sỗ' với trục hoành:

ID

xlnx = 0 0 ,V x € [ l ; e ]

253 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

e

e

G ọi s ỉà d iện tích cẩn t ì m : s = | x l n x | d x = J x l n x d x

1 [u = lnx ðăt: ị =>4 Ịdv = xdx

dx u_ X _x^

t

.Q UY

,

1

NH ƠN

^

X2

1 2X2e fxdx = —- lnx - —X 2J 4 2

6

l er

e2 + 1

ĐẠ O

ef

s = |xlnxdx = — lnx 2

TP

V _T

(ñvdt)

x 2- 3 x

HƯ NG

6. Hoành ñộ giao ñiểm của hai ñổ thị ỉà nghiệm của phương trình: + 2 = x -1 x 2 - 4 x +3 = 0 X= 1 |_x = 3

3

ẦN

3

B

TR

G ọiSlà diện tích cần tìm: s= j Ị x 2 - 3 x + 2 j - ( x - l ) p x = J|x2 - 4 x + 3|d 1 1 Cách 1. (Dựa vào ñồ thị)

f

4

• 'V

+3

3

10

00

X2 - 3x + 2 < X- 1 « X2 - 4x + 3 < 0, Vx e [l;3] s = | ( - x 2 + 4 x -3 )d x = ^ - — + 2 x 2- 3 x

CẤ

P2

= 1 (ñvdt)

A

Cách 2. (Không dựa vào ñổ thị)

(

3

4

Í-



4x + 3Ỉdx = f i x 3 - 4 x + 3Ìñx — - — 2x2 +3x JV / 1 1 V4

'N

3

1

— 4 ~3

4 3

TO ÁN

-L

lnx dx 7. Gọi s là diện tích cẩn tìm và s = j 2Vx 1

[u = ]nx ðăt

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Vì trên ñoạn [ l; e ] : lri X > 0 =>

Inx 2-Jx

Inx „ - efln x , :-~-f= nên s = — 7 = d x . 2Vx j2 v x

I, 1 , du = —dx

, 1 .= > X dv = —-prdx Ị2Vx [v = Vx e Ị

Khi ñó s = \/xInx|e - j — dx = ịyfxln x -2yfx | e = 2 ~ \ [ ẽ ( ñ vd t).

254 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

= J (co sx -sin x )d x + J (c o sx -sín x )d x 0 n (sinx + cosx)|4

.Q UY

s = ì c o s x -s in x |dx

NH ƠN

‘8. Ta có fj (x) - f2 ( x ) = 0 COSX- sin X= 0 X = —e [0; 71] ' 4 Vậy diện tich cẩn tính là

ĐẠ O

TP

(sinx + cosx)|n = 2 ^ 2 - 2 .

HƯ NG

Hoạt ñộng 3: 1, d :y = k x - k + 5 Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: 3x2 - k x + k - 5 = 0

Vì A = k2 —12k + 6 0 > 0 ,V k e R nên d luôn cắt (p) tại A và B có hoành ñộ ỉà

6

B

6

XB K h iñóS = |ị^ k ( x - l) + 5 -3 x 2Jdx XA

B

00

10

> w

/r-

XA

+3

- x ^ ) + ( 5 - k ) ( x B- x A) - ( x | - x ^ ) xa

) ệ ( x B+ xA) + 5 - k - ( x ^ +XAXB+ x |)

VÃ k k 2 3

, r k2 +5 -k -

k -5 54

(k2 - 1 2 k + 60)

Í-

3

\

+(5 -k )x -x 3

P2

= (x b -

7

XB

CẤ

7

A

k /



=

kx

TR

A

ẦN

k-yfK , „ k + VÃ x a = -------— hoặc XR= -------—

TO ÁN

-L

Vậy, minSk = 6 2. m > 1 hàm sô'có cực ñại, cực tiểu và (à ) : y = 2

NG

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: x2( m - l - x 2j + 2 = 2

x=0 x = ± V m -l

BỒ

ID

ƯỠ

Diện tích hình phẳng giới hạn: Vm-l f X5 ( m - l ) x 3) J |- x 4 + ( m - l ) x : dx = 2 -------- -— 5 3 -Vm-l V /

•Jm-1

4 ( m - l ) V m -1 15

Giả thiết suy ra (m —l ) 'Jm —1 = 1 (m —l ) = 1 m = 2. 255

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: '

+ 2 = m (x + 2) X = - 2 hoặc

1 ± Vm, m > 0. ðiều kiện d và ( c ) giới hạn 2 hình phẳng : 0 < m ^ 9.

NH ƠN

X=

X3 - 3 x

Gọi Sj và S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận ñược theo thứ tự tít trái sang phải, d qua A khi m = 1 ( tức là d qua ñiểm u ố n ). Khi ñó, Sx = S2 = 4.

.Q UY

Nếu: 0 < m < 1: s x > 4 > S2

TP

Nếu: l < m < 9 : S1 < 4 < S 2

ĐẠ O

Nếu: m > 9 => 1 - Vm < -2; 1 + Vm > 4 . -2 1+%/m Khi ñó: Sj = I |x3 - 3 x + 2 - m ( x + 2)|dx; s 2 = J |x3 - 3 x + 2 - m ( x + 2)|dx —2



HƯ NG

1-Jm

Suy ra S2 - S j = 2mVm > 0

ẦN

Vậy, m = l thỏa yêu cầu bài toán.

TR

4. Tiếp tuyêh tại M|m;2m —m2j, 1 < m < 2 có phương trình:

00

B

y = (2 - 2m )(x - m) + 2m - m2 « • y = (2 - 2m) X + m2

+3

10

Ta có: EÍ0;m2); Fị —52?—;0 với 1 < m < 2 v > I 2 m -2

P2

Gọi s là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và trục hoành: s = J j - x 2 + 2x

m

2 m -2

A

0

m

CẤ

2

Í-



Ta thây, SM0E+SMAF- S 0EF s , (SM0E + SMAF)min (SoEp)min 4 28 , , . _ 4 -r = — khi m = —. 3 27 3

=

-L

(^MOE + S MAF )mín

TO ÁN

Hoạt ñộng 4:

Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (c) và Ox: X4 —2mx2 + m + 2 = o (l)

BỒ

ID

ƯỠ

NG

ðặt t =

X2 ,

t > 0, ta có phương trình: t 2 —2mt + m + 2 = 0 ( 2 ).

Yêu cầu bài toán

(2 ) có hai nghiệm t > 0 phân biệt

A ’ = m2 —m —2 > 0 0 P= m + 2> 0

m > 2. 1

'À56

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Gọi t 1(t2 (0 < t x < t2) là hai nghiệm của ( 2 ). Khi ñó (1) có bốn nghiệm theo .

NH ƠN

thứ tự tăng dần ỉà: xx = -x/t^ ;x2 = - - ^ ; x 3 = ựtj";x4 = ^ Do tính ñối xứng của (c)nên yêu cầưbài toán x4

J(x4 -2 m x z + m + 2)dx= JỊ-X4 + 2mx2 - m -2Jdx 0 X3

X4 - 2 m x l + m + 2 = 0 3 X4 - lOmx^ + 15(m + 2 ) = 0

HƯ NG

=£■x4 là nghiệm của hệ:

+ 2)x4 = 0 -» - 3 x í- 1 0 m x ị + 15(m + 2) = 0

TP

9n _____ ịvịv3^ i -L- í^ - ( m

ĐẠ O

„ 5^

.Q UY

x3 *3

- 6 (m + 2) + m + 2 = 04=>9(m + 2 ) -5 m 2 = 0 (do m > 2 )

TR

(m + 2)2

ẦN

3(m + 2) => Amxị —12(m + 2 ) = 0 => X4 = — —- thay vào hệ ta có ñược m

m

00

B

x4 = VẼ.

10

x= ± l

X=

± > /5

P2

+3

Với m = 3 => (1 ) X4 —6x2 + 5 = 0

CẤ

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Hoạt ñộng 5:



A

1. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm là X= 1 .

Íxdx = — 71

0

2

TO ÁN

-L

Í-

Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi y = -v/x , trục Ox và X= 1 1

Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giói hạn bởi y = 2 - X, trục Ox và X= 1

ƯỠ

NG

2 thì thể tích khối tròn sinh ra là: V2 = %J(2 - x) dx = —. 1 3

ID

5u Vây, thể tich khối tròn xoay cần tìm là V = Vj + V2 = — . 6

BỒ

2. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: -v/x sinx = 0 X= 0 hoặc X= n

257 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

71

dx

v 0x = 7t j ^ V x s i n x j d x = 7i j x s i n z x d x = 7t j x 0

71

0

%J _ n ĨĨ J ~2 ~ ~ ĩ ~ 2

7t

= —Jxdx - —jx CO s 2xdx = 20 20

TP

du = dx' _ u=x ðăt: •{ => 1 V = ^sin2x dv = cos2xdx 2

=0

HƯ NG

1 51 —- Jsin2xdx = 0 ~ —cos2x 4 0^ 0

1 = —sin2x

ĐẠ O

0

NH ƠN

n

"r l - c o s 2 x

.Q UY

2

n

3. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:

x2 - x - 2 = 0 o x = - l h o ặ c x = 2

TR

5 -x2 = 3-x

ẦN

V ạ y ,v 0 x = T

00

B

V0x =71 J ( s - *2) ~ ( 3 ~ x)2 dx = 7t 1 ^ 2 5 -lO x 2 + x 4) - ^ 9 - 6 x + x2|dx -1

-1

A

CẤ

P2

+3

10

2 = 71 Jịx4 - l l x 2 + 6x + 16|dx/ với V x e [-1 ;2 ], x4 - l l x 2 + 6 x + 16>0 -1 2 X llx* Vqx =71 J (x 4 - l l x 2 + 6 x + 16)dx = 7t + 3x2 + 16x -1

32 88 1 11 - — + 44 - - —+ ——- 1 3 5 3 J 1, 5 3



Ì53ti

Í-

= 71

TO ÁN

-L

4. Ta có thể tích khối tròn xoay cẩn tính là: 7C

71

7T



2

2

2

2

BỒ

0

0

0

71

n

2

2

0 /

Ta có: Jsin2xñx = - J (i-c o s2 x )d x = - x -r S in 2 x 2 _ 71 n ~ 4* 0 20 2 '' 2 — E 2 1 2 _ íu = x ídu = dx ðặt ị => < => Jxcosxdx = xsin x |2 - Jsinxdx = dv = cosxdx v = s in x 0 0

tỉ I

ID

ƯỠ

NG

v = 7t j y 2dx = 7i jỊxcosx + sĩn2xjdx = n Jxcosxdx-h7ĩ Jsin2xdx.

258 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7Ĩ 7ĩ (3t h -4)

71 — = - - — —

4

NH ƠN

/ in N Vậy V = Jt I- + 1 + v2

4

1

.Q UY

5 Thể tích khôi tròn xoay cẩn tính là: V = Jx2e2xdx 0

du = dx

u=x

dv = e dx

■=$

1 2xJ v = ~ e dx 2

fxe2ỉídx = —xe2x ị1 - - íe2xdx = e lo

7

-,_e‘

2 15

e +1

ẹ -1

4

4

TR

=> v = - ---------- -— = - ------2

e +1

e

ẦN

J

HƯ NG

ðăt ị

ĐẠ O

TP

du = 2x 1 .,1 Ko2 1 _ _ u=x 1 => V = -X 2e2x - fxeZxdx = - — fxeZxdx ðặt -ị =>ị ~•3e 2x 2 b 0 2 0y dv = e2xdx 2

00

B

6. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường

10

y = x^ln^l + x2j và y = 0: x Ạ n ị l + x2) = 0x = 0.

CẤ

P2

+3

1 Thể tích cần tính: V = 71Jx2ỉn^l + xz jdx . 0



A

2\ du = dx u = ln 1 + x 1+x2 ðặt ' ^=>4 3 dv = x2dx v = —• 3

-L

Í-

l

TO ÁN

=> jxz ln íl + x2ìñx = ~ I n Ị l + x2j ~ —Ị—^—j d x 0 30 3 0 1 + x Ìn2 2 1/ 7 „ 1 Ỵ. in2 2 í V .V 2 f dx = —- - X - 1 + —— dx = —- - - - — X - - ■ -

NG

3^1. 3Ặ

ln2

4

2

ƯỠ

3

3

9

3 4

71

1 + X2

J

1 + x^

3

3^3

Jo

3 '1 + x

121n2 + 16-6-jĩ 4 = --------- -----------(ñvtt). 36

ID

Hoạt ñộng 6:

BỒ

1. Hoành ñộ giao ñiểm —4'4 —X2 = —— 43>x2 = 3x = i:\ls 259

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy v = ~— — (ñvtt). 5

ĐẠ O

TP

.Q UY

I y= -l 2. Tung ñộ giao ñiểm: —y 2 + 5 = 3 —y V = 7Ĩ J ( - y 2 + 5 ) - ( 3 - y ) 2 dy = 7i J (y 4 - l l y 2 + ộy + 16)dy -1

NH ƠN

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

vậy V:

2

HƯ NG

~ ^ +3y2+i6yỊ

153*

2

(ñvtt).

2

ẦN

3. Gọi V là thể tích cần tìm: V =71 jỊxex Ị dx = 71Ịx2e2xdx

=>■

1

2

2

+3

2

71 Jxe2xdx

-

0

= 27te4 -

71 Jxe2xdx

0

CẤ

0

P2

v=

7tx2e2x

v = o eX

10

dv = e2xdx

B

ðăt:

fdu = 2xdx

2 u= X

00

_

0

TR

0

dv = e Xdx



ðặt:

A

du = dx _ 1

V= ^ e 2

2x

2

Í-

_ , _ 2x 2

TO ÁN

-L

V = 27ie4 -

n f xe 2ỉtd x =

2 ĩte4 -

0

= 2-rre — Ite 4

4‘t

e

2

2

fe2xd x 0

2 J 0

= 2-rce4 - Tre4 + —(e4 —l ) = —Í5e4 - 1) (ñvtt). 4 ' ' 4' 1

|0 j

NG



^ _2x

. race

BỒ

ID

ƯỠ

4. Gọi Vi ỉà thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = X2 —4,y = 2x —4,x = 0,x = 2 quay quanh trục Ox 2

2

( 4*3

I

= 7t J(2x - 4)2dx = TCJỊ4x 2 - 16x + 16']dx = 71 — - 8 x 2 +16x 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32 t ĩ

0

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi

2

2

/ 5

0

l

v 2 = n ị ị x 2 - 4 ) dx = 7rjỊx4-8 x 2 + 16)dx = 7i 0

Goi V là thể tích cần tìm: V = V - V 1 = 2 1

15

— 5

- — = — 3 5

(ñvtt)

TP

Hoạt ñộng 7:

.Q UY

2

NH ƠN

các ñường: y = X2 —4,y = 2x —4,x = 0,x = 2 quay quanh trụcOx

ĐẠ O

1. Hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường y = X2 - 4x + 3 và Ox là X = 1 hoặc X = 3 .

HƯ NG

Ta có: y = x2 - 4 x + 3< =>(x-2)2 = y + l= > x = 2±-y/y + l với y > - l Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi Xị - 2 - y j y + l , Oy, y = —l, 0

J(xi) dy

ẦN

= 0 s in h ra k h ô i trò n x o a y c ó t h ể tíc h là V1 = 71 -1

TR

y

B

Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi x2 = 2 + yjy + 1 , Oy, y = -1 ,

P2

+3

10

00

0 y = 0 sinh ra khối tròn xoay có thể tích là v 2 = 71 | ( x 2 ) dy -1

= ịẾĨ. _

CẤ

Vậy, thể tích cần tìm là V = v2 -



A

2. Tiếp tuyến (d) qua 0 có dạng y = kx, k > 0. (d) tiêp xúc với (p) tại ñiểm có

Í-

, » , Xn + m = kxn , , , , 2 hoành ñộ x0 khi nệ 0

TO ÁN

có nghiệm x0 > 0 hay Xq = Vm và m > 0 suy ra k = 2%/m . Phương trình ( d ) : y = 2Vmx

NG

2m / '

h ỉ

O

]

2m

d

y

~

n

_; 2

i ( y - m f dy = ~ =IY m

ID

ƯỠ

V ^ n

X

BỒ

Mà V = 671 => m = ±6 mà m > 0 suy ra m = 6 .

261 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bài tập l{

.Q UY

TP

Bài tập 2:

ĐẠ O

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

1 1 y = —J5 - ; y = — V sin X COS X TT TV X = —;x = — 6 3

x = (y + l)

y = sin2 x.cos3x

TR

6.

X= 1

B

0

2. y = sin2x + x

x= 0 X X 10) 0) II II

y= x

ẦN

x = 0;x = TT

HƯ NG

5. y = sinx

00

*< II

y = sinx —2cosx 3.

y 2 = 6x

X2 + y 2 = 16

1!

= 1

3.

0

— 2;x

'C

X=

y=x+3+1 X

2.

0

1.

NH ƠN

CO

X

^5 'C II II

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

10

00

x = 0,x = — 2

+3

Bài tập 3:

P2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :

2 Ịy = xz +2x

CẤ

1 | y = x2 + 2

y =x+2

jy=x

Ịy = -X2 + 2x ly = -3 x

x = -y 2



A

[y = 4 - x

3.

Í-

y = 2x2 - 2 x

6. - y

_

4 _ :

X2 Vx2 - x 6 .7--

x = 0;x = l

TO ÁN

x = 0;x = 4

-L

5. • y = x2 + 3 x - 6

í

8.

y=

fy = (x + l ) 2 Ix = sin7ty

4 V2

Bài ỉập 4:

|y 2 = |x - l|

BỒ

ID

ƯỠ

1.

NG

Tứih diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:

4.

[x = 2

2.

3.

jy = - 3 x 2 - |x | + 2 [y==0

|y = |'{2 -4 :; + 3|

[y = |x2 - 5 x + 6| l y =6

x = y 2- l

5- [y. = 3

6.

y = |x2 - 1 y = |x|+5

262 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

[ y = | x 2 - 4 x + 3|

fy = |x2 - l |

11.

10.

y =x 12.

y = - x 2 +7

ỉy = 3 - x

+3

y=

| x 2 - 3 x + 2|

.y =

- x

.2

l - 2 s i n 2^

y y = IM

Ịy =sin|x|

14.

13.

15. • y = i+

y = 0

12x 7Ĩ

y = 1x 1-71 x = — ,x = 10

x = 0,x =

Bài tập 5:

TR

y =1

00 CẤ

II w í X

'X II o

y = 2xz

A

y 2 =2x 8. • 2x + 2y +1 = 0

'C II co



y = x2 - 4 x - 4

y = (x + l ) 5 x

9. ■y = x=

TO ÁN

-L

Í-

y=0

=- x 2 + 4 x - 3

y = x2 - 2 x + 2 6. ■y = X2 + 4 x + 5

P2

+3

y =0

10

íy = x;y = -1 5. • X y = 0;x = e

=- x 2 + 6 x - 5

=3 x - 1 5

B

y =2

y = 5X_2

10 .

3. •

T—1

-

y = 4 x -ll

7.

1 X CN] 1 CM X II

2.

1. y = -2 x + 4

ẦN

y = 2x2

y = x2 -4 x + ;5

7t

HƯ NG

10

4.

NH ƠN

[y = x + l

.Q UY

^y=2

ị y = X - 4 x + 3Ị

TP

| y = |x2- 5 x + 6|

ĐẠ O

Ịy = ịx2 - 3 x + 2|

[y2 = (4 -x )f

x = 0;x =

12.

11.

■;y = 0

y

X ~8~ 8

y=X

ƯỠ

NG

ly2 =4x

y=X

BỒ

13.

ID

y =x y =

14. 27

-2x

Ị 27y2 = 8 ( x - l ) 2

27 X

263

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. y = x

y = Vx

3.

y=ĩ? ĩĩ

ly = 1 0 - 3 x

6.

Ịy2 = ( 4 - x ) 3

ĐẠ O

5.

TP

y = tanx;y = 0

y = Vcos4 x + sin4 x

|y = 4 x

4.

. I

.Q UY

jy = x

NH ƠN

Bài tập 6: Thể tích khối tròn xoay ñược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường sau quay quanh trục Ox

y = 0;x = -f;x = 7i 2

=—

HƯ NG

Bài tập 7:

X = 0;x

2.

|y = 2 x - x

TR

fy = ( x - 2 ) 2

00

5.

[y = 4

6.

y=^ 4

A

8.

y - x 2(x > 0 ) 9.

y

= -3 x + iọ

y =l

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

-L

Í-



x = 0;x = 2

y =0 x = l;x = e

y = 2

x = 0;y = 0

y = x.lnx

4

n)

y = V x -ĩ

P2

y = 0,x = 0,x = 1

10

4.

|y = x2,y = 4x2

+3

1

Ịy = V2 sin x(0 < X < ly =0

B

[y = 0

[y= 4

CẤ

1.

ẦN

Thể tích khối tròn xoay ñược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường sau quay quanh trục 1. Ox 2. O y

264 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHUYÊN ðỀ IV ____________

NH ƠN

SÓ PHỨC

Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Các phép tính về số phức và các bài toán ñịnh tính.

HƯ NG

2. Biểu diễn hình học của số và ứng dụng.

ĐẠ O

TP

.Q UY

Trong chuyên ñề này giúp học sinh hiểu ñược dạng ñại số, biểu diễn hình học sô'phức, phép cộng, trừ, nhân, chia sô' phức dưới dạng ñại số, môñun của số phức, sô' phức liên hợp, căn bậc hai của sô' phức. Dạng lượng giác, acgumen của sô' phức, phép nhân, chiạ hai số phức dưới dạng lượng giác, công thức Moa-vrơ.

3. Căn bậc hai của sô' phức và phương trình bậc hai. 4. Phương trình quy về bậc hai.

ẦN

5. Cực trị trong sô' phức.

10

00

SỐ PHỨC

+3

§1.

B

7. ứng dụng sô' phức giải hệ phương trình.

TR

6. Dạng lượng giác của sô' phức.

P2

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT.

A

CẤ

1. Kiến thức: - Nắm ñược mở rộng tập họp số thực thành tập họp số phức. Nắm ñược số phức liên hợp củá tổng, tích và môñun của sô' phứ c.



- Nắm ñược ñịnh nghĩa sô' phức nghịch ñảo và phép chia cho số phức khác 0.

Í-

2. Kĩ năng:

-L

- Vận dụng cách biểu diễn số phức bởi ñiểm và bởi vectơ trong mặt phang phức.

TO ÁN

- Vận dụng thành thạo phép công, trừ, nhân, chia hai sô' phức. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

NG

1. ðịnh nghĩa số phức.

ƯỠ

Xét M2 = M.R = Ị(x;y)ịx;y € k Ị

BỒ

ID

Hai phần tử (x 1;y1) và (x2;y2) bằng nhau V (x1;y1),(x 2;y2) e K 2:

Phép cộng: z x + z2 = (Xi ;y!) + (x 2;y2) = (Xj-+ x 2;y! + y 2) € M2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

265 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Phép nhân: z x.z2 = (x ^Y j).(x2;y2) = (xr x2 - y ^ í X ^ + x2y 1) 6 R 2

NH ƠN

ðịnh nghĩa: Tập R2, cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập sổ phức c . Phần tử (x;y) e c gọi là một số phức. * Giao hoán: z1 + z 2 = z 2 + z 1, (Vzjjiz^eC)

TP

* Kết hợp: (Z j+ z2) + z3 = Z j+ (z 2 + z 3), (VZ1(Z2,Z3 € c )

.Q UY

2. Tính chất phép cộng.

ĐẠ O

* Tổn tại phần tử không: 30 = (0;0)€ 0 (ñpcm ).

Í-

* Zj -fz2 =z^ + z 2

-L

Thật vậy, Zl + Z2 = ( x 1 + x 2 ) + { y l + y 2) ỉ = ( x 1 + x 2 ) - { y 1 + y 2)i

TO ÁN

= (x1 - y 1i) + (x2 - y 2i) = z1 + z 2 (ñpcm ).

* Z1-Z2 =Z1-Z2

ƯỠ

NG

Thật vậy, z„.z2 = (XiX2 - yxy2) + ( x t f z + x2yj)i = ( x xx2 - y i y 2) - ( x i y 2 + x 2y í ) M xi - y ! i) .( x 2 - y 2i) = zr z2 (ñpcm).

BỒ

ID

* Z_1 = ( z )

Thật vậy,

, ze€*

= l= > z .Ị^ ỉj = ĩ= > z ^ - j = l tức là z_1= (z) 1 (ñpcm ). 267

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

=

If

1<

'I

Z j.—

I

— 1_ _ - l — = z 1. = = =Z i(,,,ap cm ) z = a - b i

-L

Í-

Dễ thấy, z3 = (a + bi)3 = a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i

TO ÁN

3 Ịa3 - 3 a b 2 = a Do ñó z = z< = > í Ì3a2b - b 3 = - b

(1)

ðặt a = tb, (t e K ). Hệ (*) trở thành:

(( tth'3 b ) —3 ( t b ) b z

=(tt»)

3(tb)2b - b 3 = - b

BỒ

ID

ƯỠ

NG

(*)

(2 )

Suy ra t^t2 —l j = 0 t = 0, t = - l hoặc t = l .

THI: Khi t = 0 => a = 0 thay vào ( 2 ) ta ñược

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

-b 3= -b

b = 0

hoặc

b

= —1 hoặc

b = 1.

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

TH2: Khi t = ±1 => a = ±b thay vào ( 2 ) ta ñược 2b3 = - b b = 0

4. Cách 1: Giả thiết z2 là số thuần ảo nên z2 + z2 = 0 => (z + Z)2 —2|z|2 = 0 . Mặt khác cũng từ z2 + z2 = 0 => (z - Z)2 + 2|z|2 - 0

.Q UY

_

NH ƠN

Vậy, số phức thỏa mãn bài toán: z = 0, z = - i, z = i

=>Z -Z =:2i h o ặ c z - z = - 2 i .

Cách 2: ðặt z = a + bi=>z2 = a 2 - b 2 + 2abi và ịzị = Va2 + b 2 2- b 2 =0

Ịa2 = 1

HƯ NG

Từ giầ thiết suy ra

ĐẠ O

TP

Do ñó ta có các sô' phức thỏa mãn là: z = i + l , z = - l + i,z = l —i,z = - l - i .

2+b2=2°Ịbz= l z —1 z -i

= 1 và

z -3 i z+i

TR

Ví dụ 5.1.1 Tìm sổ phức z thỏa mãn:

ẦN

Vậy các sô'phức cần tìm: z = i + l , z = - l + i,z = l - i , z = - l - i . =1

00

B

Lời giải.

+3

z —i

= 1 Ịz —lị = Ịz —íỊ | ( a - l ) + bi| = |a + ( b - l ) i | hay

P2

Z -1

10

Cáchl: Giả sử z = a + bi, ( a ,b e R ).

z-3i

z+i

= 1 ịz-3i| = Ịz + i||a + ( b - 3 ) i | = Ịa + (b + l)i| hay



Lại có:

A

CẤ

( a - l ) 2 + b2 = a2 + ( b - l ) 2 tức a = b

.2

-L

Í-

a2 + ( b - 3 ) 2 = a 2 + (b + l ) 2 b = l= > a = l

TO ÁN

Vậy, số phức cẩn tìm là z = 1 + i Cách 2: Với 2 sô'phức z và z'

NG

z —1

A

z

=1 ịz —lị = |z —ij.

ƯỠ

Ta có:

ta luôn có:

ID

Gọi A và B là 2 ñiêm biểu diễn các số 1 và i tức là A (l;0 ), B (0 ;l).

BỒ

Với giả thiết: |z - lị = ịz - i| « • MA = MB, ở ñây M = M(z) là ñiểm biêu diễn số

phức z . 273 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

NH ƠN

Như vậy, M nằm trên ñường trung trực của AB o M nằm trên ñường thẳng y = x (a) z —'3i

Lại có:

= 1 |z - 3i| = |z + i| o MC = MB tức là M nằm trên trung trực

z+i

.Q UY

của CB với C(0;3); B(0;-1), nghĩa là ñiểm lyi nằm trên ñường thẳng y = 1 ( b ) .

=>z = l + i .

ĐẠ O

TP

Từ (a) và (b) suy ra M nằm trên ñường thẳng y = X và y = 1 tức

Ví dụ 6.1.1

HƯ NG

1. Nêu |zx1= |z2| = 1, zxz2 5*- 1 thì T = — + -Z-2 là sô' thực. X-ỉ- ZjZ2

(z, + z 2A 7)fz7 ,) ( z 3, + Z,1) K tl,ì T VI 2 + z3A * *Z1Z2Z3

ẦN

, I, , U,I , U, I 1WA'.. L 1"1| |"2I —1"3|

00

B

TR

+Z3Z1 = r với Zj + z2 + z3 0. là số thực và zlz2 z1+ z 2+ z 3

+3

10

3. SỐphức w = - —- là số thuần ảo 1z| = l .

P2

— 1 =|Zj ị =l=>Zj = i = l,2 1;

CẤ

— Zj.Zj

_

Z1 + => T = Zl + zz 2

_

_

1



_____

A

1. Ta có

Lời giải.

l + zr z2

Í-

1 + ZjZ2

Z1 + z 2 _ Z1

]_ z 2 _ Z1 + z 2 _

1+ _ ỉ_

2^2

-L

Z1Z2

TO ÁN

Vậy T là số thực.

NG

2. Ta có:

(z

i

+

z

2)(z 2 +

z

3)(z 3 +

z i

BỒ

r

r

r

)_ 2

2

r r r

Zl - Z2-Z3

II

£1

vz3

Zl y

2

Zj z 2 z 3

ID

ƯỠ

T=

r

(z, + z 7) ( z ? + z , ) ( z , + Z ,)

z 1z2z3

---------— = T=>T là sô thực.

274

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

„4

r

ð ă t ^ _ z l z 2 + Z 2Z3 + Z 3Z1 ^

r

-+ ----- + -

A = z lz2

Z3Z1

r2 r r2 _ +_ +_ Z1



4

r 2i f z ! + z ? + Z o )



z2

z3

.Q UY

1 Z1 +Z 7 +Z3

Z2Z3

r

NH ƠN

_4

,

7

TP

=» A = IZjZ ~2 +Z- 2Z3 +Z3Zj=» A-A = r =1A I =»lA l= r •

ĐẠ O

3. Ta thây vơi z = 0 bài toán không thỏa mãn Với z * 0 => Z.Z = |z|2. z —1

1 —Z

z+1

Z+1

HƯ NG



Ta có w là sô' thuần ảo w = —w

—= =——

ẦN

o ( z - l ) ( z + l) = ( l-z )( z + l ) o z . z = l « | z ị 2 = l o | z | = l.

CHỦ ðỂ 2 ___________________________ ___________________

TR

o

00

B

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA

+3

10

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

P2

□ Các ví dụ minh hoạ:

CẤ

Ví dụ 1.2.1 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức z



A

thỏa mãn ñiều kiện: z2 là sô' ảo.

Lời giải.

Í-

ðặt z = a + bi, (a,b e R) là số phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của

-L

z trong mặt phẳng phức.

TO ÁN

z2 = (x + yi)z = x 2 - y 2 +2yi Vì z2 là sô'ảo nên X2 - y 2 = 0 o y = ±x

=

± x

ƯỠ

y

NG

Vậy, tập hợp các ñiểm biểu diễn của sô'phức là ñường thẳng có phưong trình:

ID

Ví dụ 2.2.1 Trọng mặt phẳng phức, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn của sô' phức z thỏa mãn ñiều kiện:

BỒ

1. Ịz + 2| = |i - z |

3. |z - i | = |(l + ỉ)z|

2. |z —2| + |z + 2| —5 ðỂ'thi ðại học Khối B - năm 2010

275

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Lời giải. 1. Cách 1: ðặt z = a + bí, ( a ,b e ẵ ) là số phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu

NH ƠN

diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: |z + 2ị = |i -z j |(x + 2 ) + yiị = |x + (y - l)i|

.Q UY

Ậ x + J2 ý + y 2 = ^ x 2 + ( y - l ) 2 » 4 x + 2 y + 3 = 0.

TP

Vậy, tập hợp ñiểm M cần tìm là ñường thẳng 4x + 2 y + 3 = 0.

ĐẠ O

Cách 2: |z + 2| = |i-z |< = > |z -(-2 )| = ịz - i| (*)

ðặt z = a + bi, (a,b eM ) là sô'phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của

HƯ NG

z trong mặt phẳng phức, ñiểm A biểu diễn số - 2 tức A (-2 ;0 ) và ñiểm B biểu diễn sô'phức 1 tức B (0;l)

ẦN

Khi ñó (*) MA = MB

TR

Vậy, tập hợp ñiểm M cần tìm là ñường trung trực của A B : 4x + 2y + 3 = 0.

B

2. ðặt z = a + bi, (a,b e K) là sô' phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của z

00

trong mặt phang phức.

+3

10

Ta có: | z - 2 | + |z + 2 | = 5 < = > Ị ( a ~ 2 ) + b i | + | ( a + 2 ) + bi| = 5

P2

hay Ậ a - 2 ) z + b 2 + Ậ a + 2)2 + b2 = 5 ( 1 )

A

CẤ

(a-2)2 + b2 +(a + 2)2 + b2 = 5 ^ ( a - 2 ) 2 + b2 -I^(a + 2)z + b2 j

-L

Í-



>/(a —2 ) + b 2 - yj(a + 2 ) + b 2 - —— ( 2 ) ^ /(a -2 )2 + b2 + ự (a + 2)2 + b2 =5

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

Từ ( l ) , ( 2 ) ta có hê- -

276

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Vậy, tậ p h ợ p các ñ iể m b iểu d iễ n của sô' p h ứ c là elip có p h ư ơ n g trìn h

4

NH ƠN

25 + 9 4

.Q UY

Cách 2: ðặt z = a + bi, (a,b e R) là sô' phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễi của z trong mặt phang phức.

=

+ĩ =|z - 2|

HƯ NG

MFi = Ặ2^ãf+(-bf

ĐẠ O

Ta có: MFx = ^ ( - 2 - a ) + ( - b ) 2 = Ậ a + 2)2 + b2 =|z + 2|

TP

Trong mặt phẳng phức, xét các ñiểm Fị (-2;0 ),F 2 (2)0)

Giả thiết |z - 2 | + ịz + 2j = 5MF1 + MF2 = 5

Í4a2 =25

, , X2

y2

=*(E):-£=- + ~ - = 1 [ 4 b2 = 9 25 9

TR

Í2a =5

Ta có: •; [2c = 4

ẦN

Vì MFj + MF2 > Fj Fj , nên tập hợp ñiểm M là 1 eỉip.

4

B

4

(x,y e R)

10

00

3. Gọi M (x;y) là ñiểm biểu diễn của sô'phức z = X+ y.i

P2

+3

S u y ra Ị z - i | = ^ x 2 + ( y - l )2

CẤ

1(1 + i)z| = 1(1 + i)(x + yi)Ị = Ậ x - y ý + (x + y ý

A

Nên |z - i | = |(l + i)z|x2 + ( y - l ) 2 = ( x - y ) 2 + (x + y )2 x2 + (y + l ) 2 - 2 .

TO ÁN

2~

-L

Í-



Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn: X2 + (y + 1)2 = 2.

CĂN BẬC HAI CỦA s ố PHỨC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

NG

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT.

ƯỠ

1. Kiến thức: - Nắm ñược ñịnh nghĩa căn bậc hai của sô' phức.

BỒ

ID

- Biết cách ñưa việc căn bậc hai của sô' phức về việc giải một hệ hai phương trình ẩn thực. - Biết cách giải một phưang trình bậc hai. 277

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. Kĩ năng: —Tính ñược căn bậc hai của sô' phức.

NH ƠN

*- Giải ñược phương trình bậc hai với hệ sô' phức.

.Q UY

B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA. 1. ðịnh nghĩa:

Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa z2 = w gọi là căn bậc hai của w .

ĐẠ O

Nếu a > 0 thì a có hai căn bậc hai là —Vã và Vã .

TP

• Xét số thực w = a Ỷ 0 (vì 0 có căn bậc hai là 0).

Nếu a < 0 thì a có hai căn bậc hai là iyỊịãị và -i-y/ỊãỊ •

HƯ NG

ðặc biệt: - 1 có hai căn bậc hai là ±i và - a 2 (a là sô' thực khác 0) có hai căn bậc hại là ± ia . 2. Cách tìm căn bậc hai của số phức

ẦN

Với w = a + bi.

+3

Giải hệ này, ta ñược x,y .

10

00

B

TR

ð ể tìm căn bậc hai của w ta gọi z = X + iy

P2

3. Phương trình bậc hai với hệ số phức

CẤ

Là phương trình c ó dạng: az2 + bz + c = 0 , trong ñó a, b, c là các số phức a ^ 0 .

A

a. Cách giải:



Xét biệt thức A = b2 - 4ac và s là một căn bậc hai của A

NG

TO ÁN

-L

Í-

• Nếu A = 0 phương trình có nghiệm kép: z = —2a • Nếu A * 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt -b -5

,z2 là hai nghiệm của phương trình: az2 + bz + c = 0 .

BỒ

ID

ƯỠ

Gọi

-b + 5

b Z1 + z2 = ---Khi ñó, ta có hệ thức sau:

c Z 1Z2 -

a

278

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

o

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHU ð Ể 3

NH ƠN

CẨN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. □ Các ví dụ minh hoạ:

3.

4. z = - 5 + 12i

z = - 1 + 4iV3

TP

2. z = 3 3 —56i

ĐẠ O

1.z = 8 + 6i

.Q UY

Ví dụ 1.3.2 Tìm căn bậc hai của số phức:

Lời giải.

HƯ NG

1. Xét số phức: © = X+ iy ( x , y € l ) ,

co là căn bậc hai của số phức z = 8 + 6ì khi và chỉ khi co2 = 8 + 6i

ẦN

fx2 - y 2 = 8 fx2 - y 2 = 8 fx2 = 9 fx = - 3 fx = 3 ^ =>4 < => í hoặc [2xy = 6 Ịx2 + y 2 = 10 Ịy 2 = l l y - -1 ly = 1

TR

Vậy, z = 8 + 6i có 2 căn bậc 2 là co = —3 —i hoặc 0)-=3 + i

00

B

2. Xét số phức: co = X + iy (x,y € R ),

|x 2 = 4 9 [x = 7 [x = - 7 o< ^>SS => < nhoăc oạc ^ í [X2 + y 2 = 65 [y2 =16 ly = - 4 ■ [y = 4

= —^J ?í

CẤ

[2xy = - 5 6

íx 2 - y 2 = 33

+3

-V2 = 3 3

P2

í

10

co là căn bậc hai của sô'phức z = 3 3 —56i khi và chỉ khi co2 = 3 3 —56i

Vậy, z = 3 3 —56i có 2 căn bậc 2 là z = - + —i a=— 5 5 3 I I— 2-v/ĨÕ

ĐẠ O



HƯ NG

2. Gọi z = a + bi, (a,b € R) là sô' phức cần tìm.

ẦN

Giả thiết -L---------- 1— = —o | z —3 + 4iị = 5|(a—3) + 3 |z - 3 + 4 i|-3 2 1 1 IV ' V

thoảmãn là ñường tròn tâm

B

TR

Do ñó tập hợp ñiểm biểu diễn của sô' phức z l(3 ;-4 ) bán kírth R = 5.

(b + 4)i| = 5 ; I

N

+3

10

00

_ f | z - 3 + 4i| + l Khi ñó số: phức z thoả mãn log, "4---------- 4---- :1 là SÔ' phức có môñun lớn UB^ 3 | Z- 3 + 4 i |- 3 /

P2

nhất thì ñiểm biểu diễn của z là ñiểm ñô'i xứng với 0(0;0) qua l(3 ;-4 )

CẤ

N ñôi xứng với 0 qua ỉ có to ạñ ộ là N(6;—8)



A

Vậy, số phức z cẩn tìm là z = 6 —8i

1 — 2

-L

-

Z.Z =

TO ÁN

1. Tìm m ñể

Í-

Ví dụ 2.5.2 Gho số phức z —----- 1 . m— -r, m € M . 1 —mím —2ij

BỒ

ID

ƯỠ

1. z =

NG

2. Tìm giá trị nhỏ nhâ't của sò' thực k sao cho tổn tại m ñ ể |z —lị < k

Z.Z

—m + i

Lời giải.

_

(—m + i)[(l —m2)—2mi]

_

m

1 - m(m - 2i) ~ [(í _ m2 )+ 2m i][(i- m2) - 2m i]_ m2 + 1

_

m

ì2

m2 + l j

1 1

ì2

(m 2 + l )

_

(

i__ m2 + 1

11 m2 + l 283

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

- 1 1 1 2 Mà z.z-■=— tức ——— = — hay m + 1 = 2 m = ± 1 . 2 rn 2 m +1 —1

_ „ = > z -l:

1 —m + i

NH ƠN

i-m 2. Ta có: z = —i + 2 m i —m

m -i

i-m

.Q UY

k>0

m —2m + 2

ĐẠ O

Xét hàm sô' f (m ):

TP

|z —11 = ■ —1— —■■= J -------— ------ => z —1 ỉ (m ==0 — —-— 2

ẦN

3 -V 5

2

, /3 - V 5 _ V 5 - 1 k > i ---------= — -----V 2 2

10

00

=> Yêu cẩu bài toán

ị l + Js} 2

TR

Lập bảng biến thiên ta có m inf(m ) = f

2

P2

+3

17fi , V5 - 1 ^ Vạy R -- ---------là giá trị phái tìm.

CẤ

Bài toán còn có thể mở rộng:.

2. Tìm số phức z có môñun lớn nhất.



A

1. Tìm m ñế ịz - i| < —

Ví dụ 3.5.2 Cho số phức z thỏa mãn |z —3 + 4iỊ = 4 . Tìm giả trị lờn nhất và giá

Lời giải.

TO ÁN

-L

Í-

trị nhỏ nhâ't của z .

Cãch 1: áp dụng bất ñẳng thức tam giác, ta có

NG

|| z I — 13 — 4i ị| < |z —(3 — 4i)ị = 4 =» —44- ị 3 — 4 i Ị< |zị < 4 + 13 — 4 i I =ỉ> 1 < Ịz| < 9 .

BỒ

ID

ƯỠ

• |z| = l4=>z = ———i =s>min|z| = l



II _ 27 36 |_ n z = 9z = —- —— i= » m a x z = 9 . 1 1 5 5 11

Cách 2: ðặt z = X + iy => z - 3 + 4i = (x —3 ) + (y + 4)1

I

284 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

N ên từ giả thiê't=ỉ> (x - 3 )2 + (y + 4 ) 2 = 1 6

X2 + y 2 - 2(3x - 4 y ) + 9 = 0 (*)

Nên từ (*) ta có:

TP

.Q UY

X + y 2 -lO -ự x2 + y 2 + 9 < 0 r~2 2^ II ______ = > 1 < V X + y < 9 => i < | z |< 9 . x2 + y2 +10V x2 + y 2 + 9 > 0

NH ƠN

Do (3x - 4y )2 < 2 5 |x 2 + y 2Ị =►s Ặ 2 + y 2 < 3x - 4y < 5 Ặ 2 + y 2

ĐẠ O

Tương tự như trên: min|z| = l và max|z| = 9 .

Từ (x —3)2 + (y + 4)2 = 16 => 3 a G[0;2t ĩ] sao cho: X = 3 + 4 sin a ;y = - 4 + 4 co sct. Khi ñó:

HƯ NG

Chú ý: Ta có thể giậi bài toán theo cách sau

ẦN

|z|2 = ( 3 + 4 s in a )2 + ( —4 + 4 c o sa )2 = 41 + 8 (3 sin a —4 c o sa )

TR

Do —5 < 3 s in a —4 c o s a < 5 = ^ l< |z ị2 < 8 1 = ^ 1 < Ị z |< 9 .

10

00

B

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA s ố PHỨC P2

+3

_______________ VÂ ỨNG DỤNG___________ CẤ

A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:



A

- Nắm ñược khái niệm acgumen của số phức, biết công thức Moa - vrơ và ứng dụng vào lượng giác.

Í-

- Nắm ñược công thức nhân, chia sô' phức dưới dạng lượng giác.

-L

2. Kĩ năng:

TO ÁN

- Vận dụng thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia dưới dạng lượng giác. - Vận dụng linh hoạt biến ñổi từ dạng ñại sô' sang dạng lượng giác. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.

NG

1. ðịnh nghĩa: Cho số phức z = a + bi, z VÉ0 . SỐ ño (radian) của mỗi góc lượng giác (Ox,OM) ñược gọi là một acgumen

ID

i)

ƯỠ

Gọi M là ñiểm biểu diễn của sô"phức z .

BỒ

của z .

• Nếu ip là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ip + k2ĩĩ, k Gz . Nên acgumen của z

0 xác ñịnh sai khác k2ir. 285

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

• Hai số phức z và kz (k là số thực dương) có acgumen sai khác k2iĩ, k € %

tp là một acgumen của z .

.Q UY

NH ƠN

ii) Gọi r là modun và

sô' phức z

TP

Dạng z = r(cosip + isinip), trong ñó r > 0 , ñược gọi là dạng lượng giác của 0 . Còn dạng z = a + bi ñược gọi là dạng ñại sô'

ĐẠ O

ð ể tìm dạng lượng giác của số phức z ta tìm r,ip theo hệ (1). 2. Phép toán số phức với dạng lượng giác.

HƯ NG

Cho hai số phức z = r(coscp + isinip); z' = r'(cosip'+isiriip').Tacó:

ẦN

i) Z.Z ’= r r 'Ịcos (ip + ip') + i sin (ip + ip')j,

B

TR

ii) — = —Ịcos(tp —ip') + isin(tp —ip')Ị (với r'> 0). z r 3. Công thức Moa - vrơ

10

00

Cho sổ phức z = r(costp + i sirup) và n là số nguyên dưong. Ta có:

6_______________ P2

CHỦ ðỂ

CẤ

o

+3

zn =Ịr(cosip + isirnp)]n = rn (cosmp + isinntp).



A

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA s ố PHỨC

TO ÁN

-L

Í-

□ Phương pháp: Công thức De-Moivre: Có thể nói công thức De - Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Công thức 1: (cosx + isin x).(cosy + isiny ) = cos(x + y ) + is in (x + y )

Số phức z = a + bi ta có: z = a + bi = v a 2 + b2

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Công thức 2: (cosx + isinx)" = c o sn x + isinnx

\ Va2 + b 2

Va2 + b2 y

= |z|(cos(p + isin(p) = r(coscp + isincp) Với r = Ịzị và góc (p ñược gọi là argument của z, ký hiệu là a r g (z ). Ngược vói phép Iuỹ thừa ta có phép khai căn.

286 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

0 Các v í dụ m in h hoạ:

NH ƠN

Ví dụ 1.6.3 1. Tí nh A = ( l + i )12 + ( l - i )12

.Q UY

1 + W3 Tìm phần thực và phần ảo của sô' phức z = 1+ i

2.

TP

ðê' thi ðại học Khối B - năm 2011

\4

S ^4 z2 + — 3. Cho số phức z 1(z2 thỏa mãn \zị -Z 2 I= |zi| = |z2 Ị> 0 . Tính A = ỉ í l z2 / VZ1

HƯ NG

ĐẠ O

f

4. Cho sô' phức z thỏa mãn z = 7 -^-. Tìm môñun của sô' phírc z + iz

ẦN

ð ểế' í/zi í/ỉi ðại £)«/■ học Khối A - năm 2010

1

1 ■ ^ 2

c o s —+ i s i n —\ l - i = V 2 ÍCOS—- i s i n — V 4 4y V 4 4,

r.

v2 A = ( l + i )1Z + ( l - i )12 = >/2

IT 1

4J

^

4

4J

CẤ A = >/8-

cos 7T+ isin^ __ 371 . . 3 7 1

COS— + i s i n —

4

4

-L

Í-

V 2 r COS—+ i s i n — V 4 4



2. z =

4

. .

P2

V

= 64(2cos37t) = - 1 2 8

" + i-s i•n n 2 COS— —f1 1 3 3y

\12 / \12 í ___ 7t %\ COS—+ isin — + COS—- i s i n — 7t

10

/rl2

00

B

=

+3

1 . l + i = V2

TR

Lời giải.

S t ĩ '! n . . n ( 3;rì = 2 ~ ã cos—+ isin— = 2 + 2i i COS 71----- + i s i n 714 4 |V 4 V

TO ÁN

■l 4

J

‘T j_

NG

Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.

ƯỠ

3 .ð ặ t— = w và w = a + bi (a, b e R ), khi ñó ịĩị —z21= [zJ [= ịz2 Ị> 0 z2

ID

•£>Ịz2W - z 2| = Ịz2w| = |z2 Ị> 0 tương ñương với Ị w - l| = |w| = l

BỒ

1 x /ĩ tức ( a - l ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 = 1 hay a = —,b = ± — .

287

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4n

, ^JL_

. . 4n

__ 4 k . . 4 tt = cos-— —i sin 3 3 vW ;

Taco w = c o s —- + isin — và 4 tt Do ñó A = 2 c o s— = - 1 . 3

v

.Q UY

, 4

NH ƠN

1 v 5 . __ n . . n *.VỚi w = —+ —-i = co s—+ isin—. ; 2 2 3 3

TP

1 73 * Với w = ————-i, tương tự ta cũng có A = —1.

ĐẠ O

4. Cách 1:

HƯ NG

Ta có: z - - ( l - v^i)3 (1 + i) = - ị l - 3 y / 3 i + 3.1.3Ĩ2 - 3yỈ3Ử) ( l + i)

= i( l- 3 > / 3 i-9 .+ 3>/3i)(l + i) = - 4 ( l + i)=>iz = - 4 - 4 i .

l

71 ' COS —— + i s i n

1 3J

/ \

B

\

TR

(

\\

n )

3-JJ

00

Cách 2: Ta có ( l - ^ i ) = 2

ẦN

D o ñ ó ị z + iz| = | - 4 - 4 i - 4 i - 4 | = 8 | l + i| = 8-\/2 .

10

= > Ị l - V 3 ij = 8 ( c o s ( - 7r) + is in ( - 7t)) = - 8

- 4i + i( - 4 + 4i) = -8 (1 + i) => |z + izj = 8 V2 .

CẤ

=> z + iz = - 4

P2

+3

-8 —8 ( l + i) => z = —— = — ------ - = - 4 - 4 i 1 -ỉ 2



A

Ví dụ 2.6.3 Tìm sô' phức z thỏa mãn: z + V 21 có một acgumen bằng một acgumen

Í-

của z + \Ỉ2 cộng vói —. Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức T = Ịz + 1| + ịz + i|.

-L

Lờỉ giải.

TO ÁN

ðặt z = a + bi (a, b e M ). Khi ñó z + y/ĩi có một acgumen bằng một acgumen ,

của

Z+

/r

n



Z + V 21

&

4

Z+ V2

l

4

4J

a + (b + -v/2ji

a(a + ^ ) + b(b + ^ )

(a + V 2)(b + V 2 )-a b

+ n/ 2

a + V2 + bi

Ịa + ^ j 2 + b 2

Ịa + V 2 ]2 + b 2

NG

Z+ V21

ƯỠ ID BỒ

ô

V2 cộng với — n ê n ----- COS—+ isin — với rị> 0.

z

a ía + V 2 Ì + b(b + V 2 )

(a + V 2 ) ( b + >/2 ) - a b

ịa + y / ĩ j + b 2

^a + V 2 j + b 2

Suy ra ——------ ^

i

=

— í------ > 0

288 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

a2 + b2 = 2 ị a

+

j + b 2 * 0 ( *)

\ Ỉ 2

NH ƠN

1

â + b + >/2"> 0

.Q UY

Ta c ó : T = |z + l | + |z + i| = |a + l + bi| + |a + ( b + l ) i |

TP

= ìỊịã + í ị + b2 + ^ a2 + (b + 1 } = V3 + 2a 4- V3 + 2b do

ĐẠ O

Áp dụng bâ't ñằng thức trung bình cộng - trung bình nhân, ta ñược:

Suy ra T < 2 V5 , ñẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Vậy, giá trị lớn nhất của T là 2 ^ , ñạt khi z = 1 + i

ẦN

Ví dụ 3.6.3

HƯ NG

T 2 < 2(6 + 2a + 2 b ) —— hoặc z * + l > 1 . 1

< 2. Chứng minh:

z

Tìm sô' phức z s.ao cho | z - l | = |z —3| và một acgumen của Z -3 bằng với

acgumen của z + 3 cộng vói —.

TR

□ Hoạt ñộng 18: Tính giá trị biểu thức C _I I  __________________________________ -J^

ẦN

1.

2k

,

, o l 0 0 4 p 2 0 0 8 _q 1 0 0 6 ^ 2 0 1 0

L 2 0 1 0 + - + -á

L2Õ Ĩ0~ á

L 2010

00

^ — ^2010 —

3.

5

+3 P2

Vỹ = 6

A

y+3x

y + 42x

17 103

y + 42x

17

-J sx = 2 1+x + y 2. \ / 1 f i y =4^2 1 ]x + y y L\ x+

3 x -y X2 + y 2

3

. X + y

TO ÁN

3+

12



3-

Vx = 2

Í-

1+

y+3x

-L

1.

12

CẤ

1~

10

□ Hoạt ñộng 19: Giải hệ phương trình:

□ Hoạt ñộng 20: Tính tích phân 7t

4

BỒ

ID

ƯỠ

NG

(•cos5x 1. 1= l ^ ^ d x cosx 0 □ Hoạt ñộng 21:

r 2- J= 0JV sinx ; ) dx

Cho'dãy số (u n ) xác ñịnh bởi ux =1, u2 =0, u n+2 = un+1- u n V n eN * . Chứng minh (u n) bị chặn. 296

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

HƯỚNG DẰN GIẢI CÁC HOẠT ðỒNG. 1. ðặt

NH ƠN

Hoạt ñộng 1: = a x +1^2, z2 = a 2 + b2i 0 =^2 ( a ib i+ a 2b2) = l (a i + a2j + ( b i + b 2) —3

Í2x —3 = 2y + 1fx —y = 2

fx = 2

TP

Từ giả thiết ta có hệ:

.Q UY

aị + b ị = a ị + bị = l

ĐẠ O

ỡ Ị - ( 3 y 4 = 3 x - 7 W Ị x + y = 2 W ị y = 0 v i y x = 2 ’y = 0 -

HƯ NG

b. Ta có: ( 4 - i)3 = 5 2 -4 7 .i nên suy ra:

(x + 2 y ) ( 4 - i) 3 + ( 3 x - y ) ( x + 2i) = (x + 2 y )(5 2 -4 7 i) + ( 3 x - y ) ( x + 2i)

TR

=> (x + 2 y ) ( 4 - i) 3 + ( 3 x - y ) ( x + 2i) = 4 7 - 2 0 i

ẦN

= (3x2 - xy + 52x + 1 0 4 y ) - (41x + 96y )i

2 0 -4 1 X

B

Í3x2 - x y + 52x + 104y = 47

00

96

|4 1 x + 96y = 20

+3

10

329x2 + 7 0 8 x -2 4 3 2 = 0

608 x=-

V3 + yi

V 3. 2

L

TO ÁN NG ƯỠ ID BỒ

1 Ị—>/3si j(V 3+yi)

2

Í-

x + yi1

-L

c.



A

CẤ

P2

x = -4 329 hoặc 231529 y= 12 y =2632

2

x + yi: _-\/3

-\/3 [ /5 2 y o |x = y ( l - y )

2 y

y 2

3 + xyi _ x + ỵ - 2 i

+|H )

3 2

ly =3

l y =3

3 + xyi, _ x + y + 2i

’ ( l + 2t)3 ” (1 —2i)3 ( l + 2i)3 ~ ( l + 2i)3

[x = -V 3 •

[x + y = 3

° w

=2



x = l,y = 2 x = 2,y = 1

297 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. Dễ thấy cos72° = COS( 90 ° -1 8 ° ) = s in 18°.

2 1

V2 ,

TP

2

/■ ~\2 ('Vi, =1

ĐẠ O

(i )3=ĩ(i )2“

1 4 -Vỉ,ì — -_ i 1Í1?

.Q UY

1 ^/3" — 2 “sfs 5. z = H— —i nên |z| = 1 , số phức liên hiệp: z = ----------—i . 2 2 1 2 22

NH ƠN

z = cos 18° + cos72° i = cos 18° + s in 18° i => |z| = ẶCOS18° j2 + (s in l8 ° j2 = 1

6. a. A = ( l - i ) 9 4-(l + i)10

HƯ NG

( 1 - i)2 = 1 - 2i + i2 - -2 i

ẦN

■ = > ( l- 0 9 = [ ( l - i ) 2] 4( l - i ) = (-2 i) 4( l - i ) = 1 6 ( i 2)2 ( 1 - 0 = 1 6 (1 -1 )'

TR

(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2Ỉ => (1 + i)10 = (1 + i)2"5 = (2i)5 = 3 2 ( i 2 )2 i = 32i

00

B

Vậy A = 16(1 —i) +321 = 16 +161 = 16(1 + 1).

P2

+3

10

^ 1 N b. B = ( l - i ) 8 + i13- — V i13 \ V 1 VI K )

(1 - i)2 4 = ( - 2 i ) 4 = 1 6 ( i 2)2 = 1 6 ( - 1 ) 2 = 16



A

=> ( 1 - i ) 8 =

CẤ

( 1 - i)2 = 1 - 2i + i2 = - 2 i

1

-L

•13

Í-

i13- = i12.i = (i2)6.i = ( - l ) 6i = i i

- W- 2

i

-I ^

I /

1

i

—2

i

TO ÁN

r*

1

2Ĩ + i2 Ỉ2 _ . (1 ( l + i)2 iỶ _ l1 + 2i 2i ĩ ^ ĩ _ ( l- i) ( l + i) _ 1 -i2 ~ l - ( - l )

BỒ

ID

ƯỠ

NG

1l + i _

^

f l + n 21 / ;\21 /;2\10 • / ^ 1 0 . . iZ i = ( 0 = 0 ) - M " 1) -i= i u -u v ’

f-2 \ Vậy B = 16 + i — i = 14. c.

M = i5 +

i6 + i7 +. . . + i 18 = i5 ( l + i + i2 + i3 + ... + i 13j

298 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

M = 1, 5. 1, .1------------- 1 " = 1f H * 1— M = i* . U >i —- q- — •— —^ 1- i

1- i

= ,5.(1 ĩ+

v

u t . ;7C7Z 1 ' ! :r 1)’ , r- — ( l - i ) ( l + i)

i+1% —|4( 5— -z 1- i 2

.Q UY

1 1- q

NH ƠN

De thấy;1 + i + i2 + i3 +... + i13 là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong ñó sô"hạng ñẩu tiên Uj = 1, công bội q = i .

TP

M

ĐẠ O

d. N = l + ( l + i) + ( l + i)z + ( l + i)'+ ... + ( l + i)"ulu.

•\2011

N = u.

l - ( 1 + i)

ẦN

1-q

HƯ NG

DÌ thây tổng trên là tổng của câp sô' nhân có 2011 số hạng, trong ñó số hạng ñẩu tiên Uj = 1, công bội q = 1 + i .

B

TR

(1 + i)2 - 1 + 2i + i2 = 2i => (1 + i)2011 = [(1 + i)2] 1005 (1 + i) = (2i)1005 (1. + i)

l - 2 1005( i - l )

1-q

l - ( l + i)

1 —2

(i —l )

10

1 - q 2011

00

=> (1 + i)2011 = 2 1005 (i2 )502 i ( l + i) = 2 1005 (i + i2) = 2 1005 (i - 1 ) .

—i

P2

i_2lp05/ị2

L r — L= 21005 + (21005+ i) i

CẤ

=—

+3

N = Uj —4—ỉ------------------------------------------------ = 1.------- = l ------ 1--------- L



A

Hoạt ñộng 2:

8+ i =2 - 3 ỉ l + 2i _ 2 _ ị _ J 2. Dễ dàng chứng minh ñ#ợc Zj -Zj = |zJ = 1, Zị = — , z2 = — Z1 z2 1 1 -+ T 1 z2 _ Z1 ~*~z2 là số thực. A -- Zl1 +Z2 2

NG

TO ÁN

-L

Í-

1. Biên ñổi về dạng: z :

ƯỠ

1 + Zj ,z2

ị + 4

-

_ l + Z l Z2

Z1 z2

BỒ

ID

3. z = a + bi j]z -2 + i | - l

V ( a - 2 ) z + (b + l ) 2 = l suyra íb2 + (b + l f = l

Ib = a —2

b= a -2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

[b = a - 2 299 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

‘2a + b - 2 = 0

(1).

| z - l | = -\/5 - J ( a - l )2 + b 2 = > / 5

( 2) .

NH ƠN

4. ( z - l ) ( z + 2ij = a2 + b 2 - a - 2 b + (2a + b - 2 ) i là số thực, suy ra

.Q UY

Từ (1) và (2) suy ra(a;b) = (0;^)a(2 ;-2)

ĐẠ O

TP

f a2 + b2 = 5 6b = —6

= 7i + 2 ( - l ) + 3 = l + 7i Vậy z có phần thực a = 1, phẩn ảo b = 7 . 3-4Ỉ _ (3-4i)(4 + i)_ l2 -1 3 i-4 i2 ~~ ( 4 - i ) ( 4 + i ) ~~

1 6 —i2

ẦN

4 -i

HƯ NG

9. a. z = i ( 2 - i ) ( 3 + i) = ( 2 i - i 2 ) ( 3 + i) = ( 2i + l ) ( 3 + i) = 7i + 2 i2 + 3

TR

1 2 - 1 3 i - 4 ( - l ) _ 16-131

_

00

B

1 6 -(-l)

13.

~~ 17

17*

13 —.

+3

10

16 Vậy z có phần thực a = — , phần ảo b =

17

16

P2

c. (1 + i)2 = 2i => ( l + i)2 (2 - i) = 2i(2 - i) = 2 + 4i

CẤ

Giả thiết (2 + 4i)z = 8 + i + ( l + 2i)z

( l + 2i)z = 8 + iz = -^ -^ 7 = 2 —3i



A

Vậy z có phẩn thực là a = 2 và phẩn ảo b = - 3 .

Í-

10. a. ðặt z = a + bi (a, b eM ). Khi ñó |z -3 i| = | l - i z | [email protected]ơng ñ#ơng với

TO ÁN

-L

Ịa + (b —3)i| = ịl —i(a —bi)Ị ịa + (b—3)í| = Ịl —b—aij a2 + ( b - 3 ) 2 = ( l - b ) 2 + ( - a i) 2 o b = 2.

NG

9 9 9 ( a - 2 ỉ) a3 - 5 a + Í2a2 + 26)i Khi ñó z - —= a + 2 i ----- -— = a + 2 i ---- ^ ----- - = ----------- 5------------ — và là số z a + 2i a +4 a +4

ƯỠ

thuần ảo khi và chỉ khi a3 - 5a = 0 hay a = 0, a = ±-Js .

ID

Vậy các SỐphức cần tìm là z = 2 i , z - \ f s + 2 i , z = —JE + 2 i.

BỒ

c. ð ặ tz = a + bi (a, b e K ). Khi ñó |z| = Ịz —2 —2iị [email protected]ơng ñ@ơng với |a + bi| = |( a - 2 ) + ( b - 2 ) i | tức a2 + b2 = ( a - 2 ) 2 + ( b - 2 ) 2 b = 2 - a ( l )

300

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

z -2 i _ a + (b -2 )i

[ a + (b - 2 ) i][( a - 2 ) -b i]

a C0: z - 2 ~ (a - 2 ) + bi “

( a —2) + b2

.Q UY

a (a -2 ) + b (b -2 ) (a -2 )(b -2 )-a b = ----------- -=------------1----------- -------------i là sô ảo khi và chỉ khi ( a - 2 ) +b ( a - 2 ) +b a (a -2 ) + b (b -2 )

TP

(a - 2)2 + b2

d. ðẳng thức cho : 2 + z2 - ( z ) -

= ( l + 4i) z2 + z.z + (zỊ2

HƯ NG

•,

z 2 +z.z + ị z j

ĐẠ O

T ừ ( l ) và (2) suy ra a = 0,b - 2 tức ta tìm ñ@ợc z = 2i

.

NH ƠN

T

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

/ —\2

zz - ( z ) = 4 a b i, z2 +z.z + (z) = 3a2 - b 2

ẦN

Khi ñó: 2 + (3a2 - b 2 j4abi = ( l + 4i)(3a2 - b 2):=>z = - l - i , z = l + i

TR

11. a. Ta có: z = ( l + 2 V 2 i)(l-V 2 i) = l - V 2 i + 2 V 2 i-4 i2 = 5 + V ã

00

B

=> z = 5 - V 2i. Vậy phẩn ảo của z bằng —y / ĩ . 1-i

+3

l + 3i + 3i + i

10

1 + 31^3+ 9i2 + 3 7 3 í3 4 b. z = --------—— -— T------ = — —= 2 + 2i

CẤ

P2

Vậy phần thực của z là 2 và phẩn ảo của z là 2. Hoạt ñộng 3: z = 3 —3i hoặc z = 3 + 3 i

A

z2 —6z + 18 = 0 (z —3)2 = 9i2



Trong mặt phẳng tọa ñộ sô' phức z = 3 - 3 i có biểu diễn là A(3 ;-3 ), số phức

Í-

z = 3 + 3i có biểu diễn là B(3;3).

|zị4

=

|z|4.z2 Ịzj4 -J

-J

200

2=z2 v à _

z 2.z2 jz|

^

= 4 + 28ỉ

1-7Ỉ

NG

z

TO ÁN

-L

AOAB có OA = OB = 3-\/2 và OA.OB = 0 , suy ra ñpcm. Hoạt ñộng 4:

ID

ƯỠ

Ph®ơng trình cho t©ơng ñ®ơng : z2 + z + 4 + 28i = 0 có A—( 7 - 8 i ) 2 z = 3 + 4i hoặc z = - 4 - 2 i

BỒ

2. Gọi z = X4- yi với x,y 6 K z _ 5 ± ^ _ i = 0 o z i - 5 - i V 3 - z = 0 o x 2+ y 2- ,x - 5 - ( V 3 + y ) i = 0

301 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(x2 + y 2 - x - 5 = 0

tte -y -o

(x = - l '

fx = 2

i y = W | hay|y = - ^

NH ƠN

Vậy z = - 1 - >/§1 hay z = 2 - \/3 i.

Khiñó z - ( 2 + 3 i ) = l- 9 i o a + b r-Ỉ2 + 3 i)(a -b ỉ) = l - 9 i

.Q UY

3. Giảsử z = a + bij(a,beM )

TP

- ( a + 3b) + (3 b -3 a )i = l-9 i< = > j a |a v ' [3 b -3 a = - 9 \b = - l

ĐẠ O

Vậy z = 2 - i

HƯ 0 N G

4. Giả sử z = a + bi (a.belR )

ẦN



1X a=— I 2



0

1

*

10 +3

1 1

P2

CẤ

A

2|a + ( b - l ) i |- |( 2 b + 2)i|



1. Hệ cho trở thành:

a=- : <

1 a=— 2

Vậy có 3 sô'phức thỏa bài toán là : z = 0, z = Hoạt ñộng 5:

[a = 0 17 Il b = 0

4b2 = 1 °

00

B

I-b = 2ab

G II Xi

|a 2 + b2 +a = a2 - b 2

TR

a = -2 b 2

n

cr CD II II

= |z|2 + z • » (a + ib)2 = a2 + b2 + a - ib a2 - b2 + 2abi = a2 + b2 + a - bi

1 1 z = - ———i

Í4b = a2 > 0 ||á.4b| = 8

Í-

|4abi| = 2 V2

b= ± ỉ 2

-L

2 .G ọ iz = x + yi ( x , y s l ) .

BỒ

ID

ƯỠ

NG

TO ÁN

í|z - 2 i| = |z| Ta có V

«•

x + ( y - 2 ) i| = |x + yi| x + ( y - l ) i | = | x - l + yỉ| ; + ( y - 2ỵ = x 2 + y 2 x2 + ( y - l ) 2 = ( x - l ) 2 + y 2

y =l

z = l + i.

|x - l

3. ðặt z = x + i.y ==>z-(2 + i) = ( x - 2 ) + ( y - l ) i

=>|z-(2 + i)|=-^(x-2)2 + ( y - l ) 2 và z.z = x2+ y 2 302

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

(x - 2 ) + (y - 1)2 = 10

f 2x + y = 10 IX2 + y 2 = 25

[x2 + y 2 = 25

NH ƠN

Từ giả thiết, ta có:

íy = 1 0 -2 x íx = 3 fx = 5 , _ 1 hoăc < [x - 8 x + 15 [y = 4 ly = 0

+2

z + 2i

:+ 2|

TP

Z

= 1 I ——Ị - 1 « |z + 2| = |z + 2ii |x + 2 + yi| = |x + (y+ 2)i|

ĐẠ O

Ta có:

.Q UY

Vậy z = 3 + 4i và z = 5 là các số cẩn tìm. 4. Gọi z = X + yi.

'Mặt khác:

HƯ NG

^ Ậ x + 2)2 + y 2 = ^/x2 + (y + 2)2 x = y . |(z + l ) ( z - i)ị = 5 • » |z + l||z - i| = 5 |x + 1 + yiịịx - yi - i| ==5 Ậ

x

+

l ) 2

+

y

2 Ậ

2 +

( y

+

ì

f

=5

ẦN

o

TR

Mà x = y nên x + 1 = y + 1 , do ñó ta cỏ: (x + l ) 2 + x 2 = 5 = > x = -2 ;x = l.

2z + i

2z + i

1 + Z:

00

1+z

10

5. Giả sử z = x + yi,(x,y eM )=>z = x - y i

B

Vậy: z = - 2 -2 i; z = l + i.

( l + i) = i ( 2 z + i) = 2 i z - l < = > 2 + z - 2 i z = 0

CẤ

P2

+3

1+ỉ 1 -ỉ 1 -i «=>2 + (x + y i ) - 2 i ( x - y i ) = 0 » 2 + x - 2 y + ( y - 2 x ) i = 0 _ 2

X=

Í-



A

Í2 + x - 2 y = 0 < o [y -2 x = 0

TO ÁN

-L

6. Giả sử z = x + yi,(x ,y e K)=ỉ>z = x - y i . f|x + y ỉ - i | = l [ |x - y i + i - l ị = 2

NG

|z - i | = l II z + i- 1 =2

x2 + ( y - l ) 2 = l

ƯỠ



BỒ

ID

( x - l ) 2+ ( y - l ) 2=4

[x2 + ( y - l ) 2 = l x=-l

z = - l + i.

303

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

7. Gọi z = X + yi => z 2 = X2 - y 2 + 2 x y .i,

z2 + |z| + 8z = 44x2 - y 2 + 8 x + ^ x2 + y z + (2 x y -8 y ).i = 44

j x 2- y 2 + 8x + 7 x 2+ y 2 =4 4

ị x 2 - y 2 + 8x + yjx2 + y 2 = 44



| x z + 8 x + |x |= 4 4

x = -ll;x = - - - ^ ĩ ^

|x = 4

fx = 4

.Q UY

h °

ĐẠ O

TH2:

Jy=o

HƯ NG

THI:

"( 2 y ( x - 4 ) =0

TP

|2xy-8y = 0

NH ƠN

Iz 1= yỊx +ỹ* và z - X- y.i . N ê n :

'T y2 + 1 6 = y 2 - 4 ° l y = ± 3

ẦN

V- 1 1 _ - 9 + V2 5 7 Vậy z = - l l ; z = — — ----- ;z = 4 ± 3 i.

TR

8. Cách 1: Giả sử z = x + yi,(x,y eM )=>z = x - y i .

00

B

z3 = Z (x + yi )3 = X - yi X3 - 3xy2 + (3x2y - y 3) i = X - yi [x 3- 3 xy2 = x

j x ( x 2 - 3 y 2) = x

+3

A

y =0

CẤ

x2 - 3 y 2 - l = 0





Ịy (3 x 2 - y 2) = - y

P2

x=0

10

[3x2y - y 3 = - y

3x2 - y 2 + l = 0

x = 0,y = 0=>z = 0

x = 0,y2 = l:=>z = ±i X

= l,y = 0 => z = ±1

-L

Í-

Vậy [email protected]ơng trình cho có 5 nghiệm z = 0, z = ±i, z = ± l .

TO ÁN

Cách 2: z3 = z Cỉ- Z.Z3 = Z.Z = |z|2 ■£>|z|4 = |zỊ2 « |z|2 (|zp - 1 ] = 0 -SS

|zf = 0

|z f-l = 0

NG

Khi Ịz|2 = 0 thì z = 0 , do ñó z = 0 là một nghiệm của ph®ơng trình z3 = Z.

BỒ

ID

ƯỠ

Khi ị z |- l = 0=í>z^0 nênph#ơngtrình z3 = z o Z.Z3 = Z.Z hay z 4 = Z.Z = 1 Ịz2 - l ) ( z 2 + 1 j = 0

z -1 = 0

z =±l

z2 +1 = 0

z = ±i

Vậy [email protected]ơng trình cho có 5 n gh iệm z = 0, z = ± i, z = ± 1 .

304

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Hoạt ñộng 6:

2. X2 = 4y

NH ƠN

1. X= 0 hoặc y = 0 Hoạt ñộng 7: í

(l-V 3i)z'

r \

1_ K ị

.Q UY

1. z ' = Ị l + V 3 i j z + 2 = > z = - ----------- -------------------

TP

Từ |z - l | = 2 « ( l-V 3 i) z '- 6 + 2V3i =8

ĐẠ O

ðặt z ’= a + bi, (a ,b e K ), khi ây ta tìm ñ®ợc ( a - 3 ) 2 +^b —yỈ3 j = 1 6

HƯ NG

Vậy, tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức lậ ñoờng tròn có ph©ơng trình (x -3 )2 + (y -V 3 )2 =16.

ẦN

2. ja + ( b - l ) i | + |a + ( b + l ) i | = 4 .

10

00

B

Tập hợp ñiểm M là elip (E): — + — = 1

TR

ðặt F^.O j-l), F2(0 ;i), MF1 + MF2 =2F1Fz

+3

3. Tập hợp ñiểm M là elip (E): — + — = 1

P2

Hoạt ñộng 8:

CẤ

1. Gọi A,B lần [email protected]ợt là biểu diễn của các số phức

A

Zj = i, z2 = —2 —3i => A (0 ;l), B (-2 ;-3 )



Khi ñó: Ịz —i| = |z + 2 + 3i| jz —ZjỊ= |z —z2Ị^ MA = MB

-L

Í-

Vậy quỹ tích của M là ñ®ờng trung trực ñoạn AB . 3 5

E

TO ÁN

2. Gọi E ỉà ñiểm biểu diên của số phức z, = " + -ri r 12 2 Khi ñó: |2z + 3 - 5i| < 2 |2z - 2zxI< 2 |z - zxI< 1

(

3 5^

{

2 2J

EM < 1

ƯỠ

NG

Vậy quỹ tích của M là hình gồm ñ@ờng tròn tâm E bán kính R = 1 và miền trong của nó.

ID

3. ðặt z = x + y i( x ,y e R ) ; z - 3 + 4i = ( x - 3 ) + (y + 4 ) i .

BỒ

Từ giả thiết ta có: ^ ( x - 3 ) 2 + (y + 4)2 = 2 (x - 3)2 + (y + 4)2 = 4.

Tập hợp ñiểm biêu diễn các sô'phức z là (teờng tròn tâm 1(3; - 4) bán kính R = 2.

305 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

4. Gọi E,F lẩn [email protected]ợt là biểu diễn hình học của các số phức Zj = - 4 - 3 i,

NH ƠN

?z = 3 - 2 i= > E ( - 4 ;-3 ), F(3;-2)=>EF = 5 ^ . Khi ñó: |z + 4 + 3i| + |z - 3 + 2i| = 1 0 « M E + MF = 10

.Q UY

Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu ñiểm E, F và ñộ dài trục lớn bằng 5. Hoạt ñộng 9: „ V

- y 2 + 2xy.i =

y =—

2x

9 x ---- 2 4x

+ 3i

4

c

4

X = ±1



4-x4 + 5x2 - 9 = 0

TR

4x

5

2xy =3 3 y = f2x

2x



2

4

- A

HƯ NG

X2

y

ẦN

=> z2 = - —+ 3 i« 4

2

ĐẠ O

2

x

TP

ĩ. Gỉa sử z = X + yi,x,y e M là căn bậc hai của số phức ——+3i 4

3

y-±ỉ2

3

10

00

B

Vậy ——+ 3i có hai căn bậc hai là : 1 + ^ i và —1 —-ri. 7 4 2 2

+3

-3 .- Ệ7—= - = 7 -—i.G i . Gi ỉa a s ử z = x + yi,x,y e K là căn bậc hai của sô'phức 7 —i 2 .T a c 3: ó : í------

2

3

2x

- 4

4x

x =±l

2x

5

-L

X -

9 4x 2



o

T 2x

Í-

y

A

CẤ

P2

2 2 2 íx2- y 2=7 =>z - 7 - i o x - y +2xy.i = 7 - i < » - J I^2xy = - 1

2 -

4

4x 4 + 5 x 2 - 9 = 0

y=±ỉ' 2

TO ÁN

3 3 Vậy 7 - i có hai căn bậc hai là: l + T'i và - l - f - i . 7 2 2

NG

3. Ta có: ( l - 2 i ) 5 = 41 + 38.i.

BỒ

ID

ƯỠ

Gia sử z = x + yi,x,y e l là căn bậc hai của sô'phức 41 + 38.Ĩ =>z2 = 4 1 + 38.i

: íx 2- y 2 = 41 8 = 3 + 4i ỉà một căn bậc hai của A.

TR

5. Ta có: A = (2i + 1)2 - 4(1 - 5i) = - 7 + 24i = (3 + 4i)2

00

B

Vậy [email protected]ơng trình có hai nghiệm: zx = i +1; z2 = - 2 - 3 i.

4. z = 3 + 4i, z = 3 - 4 i, z = 9

CẤ

Hoạt ñộng 12:

P2

3. z = —3i, z = 3 - i , z = 3 + i

2. z = 5i, z = - 2 - 5 i , z = - 2 + 5i

+3

1. z = 2i, z = —1 —2i, z = - l + 2i

10

Hoạt ñộng 11:



A

1. t 2- ( 2 - i ) t - 2 i = 0 / (t = z2) t = 2 hoặc t = - i :=>z = ±iV2,z = ± — -(-1 + i) trình.Chia cả hai vế

Í-

2. Nhận thầy z = 0 không phải là nghiệm của ph#ơng

TO ÁN

-L

ph® ong trình cho z2 ta ñ@ợc: 2 z2 + -^ -j-7 Z+—1+ 9= 0 V zV - V z

NG

=^2t2 - 7 t + 5 = 0, í t = z + —ìt = lhoặc t = — =>z = 1 ± l ^ , Z z -2 , z -- 21 .

BỒ

ID

ƯỠ

3. 4-íz2 + - ^ -ì- ( 6 + 1 0 i ) í z - ỉ + 1 5 i- 8 = 0=>z = 2,z = - - , z = 2i,z = - i

5. Ph©ơng trình (25z2 + lo ) —(50iz + 12i)2 = 0 Ó (2 5 z 2 + 5 0 iz + 1 0 + 1 2 i)(2 5 z 2 - 5 0 i z + 1 0 - 12 i) = 0 3 07

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

25z2 + 50iz + 10 + 12i = 0

(5z + 5i)2 = - 3 5 - 1 2 i = ( l - 6 i ) 2

25z2 -5 0 iz + 1 0 -1 2 i = 0

(5z - 5 i ) 2 = -3 5 + 12Ỉ = (1 + 6i)2

Zj



-

NH ƠN



WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

l-lli_ -1 + i ;z2 - 5 5

:Z4_

.Q UY

1+ l l i - 1 - i

5

TP

Hoạt ñộng 13:

ĐẠ O

1. t 4 + 6 t2 - 4 0 = 0, |^t = z + ^ - = z + 5

HƯ NG

t2 = 4 hoặc t2 = ±iVĨÕ => z = -3 ,z = -7 ,z = - 5 ± iVĨÕ 2..(z2 + l ) 2 = i2(z + 3)2

ẦN

'3. z = ± l,z = 2i - l,z = -2 i + l,z = - 3

B

TR

4. ^z2 + 2z)Ịz2 + 2z - 3) = 0

00

Hoạt ñộng 14:

+3

10

Ta có [email protected]ơng trình f(z) = ( 2 z - i ) 4 - ( z - l ) 4 = 0

CẤ

P2

f(z) = 1 5 ( z - z 1) ( z - z 2) ( z - z 3) ( z - z 4) + 1 = ( z a - i ) ( Zl + i) => p =

A



Í-



Mà f(i) = i4 - ( i - l ) 4 =5; f ( - i ) = (-3 i) 4 - ( i + l ) 4 = 8 5 . Vậy p = — .. 9

-L

Hoạt ñộng 15:

TO ÁN

4. ð ặ tz = a + bi (a, b e R ) . Khi ñó |z - 4 + 3i| = 3«|(a-4)+:j(b+ 3)i| = 3 (a-4)2 +(b+3)2 = 9 . Do ñó các ñiểm M biểu diễn sô'phức z thoả mãn bài

NG

toán nằm trên ñoàng tròn (c) tâm 1(4;-3) và bán kính R = 3

BỒ

ID

ƯỠ

|z| ñạt giá trị nhỏ nhâ't khi và chỉ khi ñiểm M s (c) và gần lo nhất.

Khi ñó M .là giao ñiểm của (c ) và ñ@òng thẳng 01, với M là giao ñiểm gần 0

hơn và 0I = ^ 4 2 + ( - 3 ) 2 =5 K ẻM H XOx. 308

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

, MH OM O I-R 5-3 2 WI, 6 Theo ñịnh lí talet, ta có: ——= — ‘= ——-— = ------- = — MH = — 3 OI 5 5 5 5 r , OH^OM nu _4 Lại có: - - — => OH = — 2 OI 5 4 6. Vậy, số phức cần tìm là z = —+ —i

.Q UY

NH ƠN

_

5. ðặt z = a + bi (a, b e K ). Khi ñó | z - l - 2 i | = 2 o ( a - l ) 2 + ( b - 2 ) 2 = 4

TP

Vậy, tập họp ñiểm M là cN>òng tròn: ( x - l ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 có tâm I(l'2)

ĐẠ O

ð@ờng thẳng OI có phsong trình: y = 2 x . chỉ là 1 trong 2 giao ñiểm ñ@ờng thẳng 01 với (c ).

ẦN

z = 1 — 7=1 + . V5

HƯ NG

|z| ñạt giá trị nhỏ nhâ't khi và chỉ khi ñiểm M e (c) và gần 0 nhâ't, ñiểm ñó

TR

6. Giả thiết suy ra: b = - a + 4

00

B

Tập hợp ñiểm M biểu diễn các số phức z là ñ®ờng thẳng b = - a + 4 Mặt khác |z| = Vã^~+Ĩ? =

10

> 2 V2 .

P2

+3

|z| . = 2 ^ 2 khi (x;y) = (2;-2)=> z = 2 - 2 i .

CẤ

Hoạt ñộng 16:

-L

Í-

Do z =1=> 1 -Z < 1 + z = 22à à 1 + Z3

IV o



A

1. Ta có: 1 + Z + 1 + z + z" < 1 + z 3 + 1 + z + z 2 = 5

NG

TO ÁN

l + z3H-|l + z + z2| = |l + z3 +

ịl-z |

> ỉ | l + z3 + ỉ l - z 3

2

2

> ỉ l + z3 + l - z 3 = 1 . 2 Z.Z

= |z|2

ID

ƯỠ

2. Dễ dàng chứng minh ñ@ợc:

1-Z 3

1+Z3Ị > -Ị i+ Z 3 1 2'

BỒ

K + z 2|2 +Iz l - z 2|2 = ( z l + z 2 ) ( z i + z 2 ) + ( z l - z z ) ( z i - z 2)

= |z jf + Z ị Z 2 + Z2Z! + |z2|2 + ịZl|2 - ZlZ2 -ZjZ! + ịz2ị2 =

+ ịz.

309

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

J2 ' ‘ và z2 + l 0 ,y > 0

TO ÁN

Nhân phương trình ñẩu cho \Ỉ3, phaơng trình sau cho sô' ảo i , rồi cộng 2 vế ta ñ®ợc 'J3x + J ỹ i -----^ — ịy f 3 x - J ỹ i ) = 2yỈ3+6i (*) y + 3x' '

12

Z - —

z

= 2>/3+6i, phoơng

ƯỠ

NG

ðặt Z = yj3x + j ỹ i , ph®ơng trình (*) trở thành:

BỒ

ID

trình này [email protected]ơng ñ@ơng với z2 - ( 2 V3 + 6 ijz -1 2 = 0 z = 3 + -v/3 + Ị3 +V3ij Ị

I—

\

V ớ iz = 3 + V 3+ 3 + V3Ĩw v '

ÍV3x = 3 + 7 3

[V y = 3 + V3

íx = 4 + 2^3

1.!_\_ (y = 12 + 6 ^

310 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

H o ạ tñ ộ n g l Q : ð ể ý c o s5 x + is in 5 x = (c o sx + is i n x ) 5

1. Suy ra cos5x = coss x - 1 0 c o s 3xsìn 2x + 5 co sx sin 4x

NH ƠN

2. Suy ra sin5x = 5sinx.cos4 x - 1 0 s in 3xcos2x + sin5x Hoạt ñộng 22: ft

..

K

u

.Q UY

Ph© ong trìn h ñ ặ c [email protected] c ủa d ã y s ố ñ ã cho X2 - X + 1 = 0 có 2 n g h iệ m p h ứ c là

. . n

_

A



A

2lĩ u n = 0 = A.COS—- + B .sin — 0 3 3 n

tức

b V3

2+

2

A = 1

HƯ NG

ít



-A+ỉ â =o 2 2

3

ẦN

. _

u, = 1 = A.cos-r- + B.sin — 1 3 3

ĐẠ O

TP

X, =cos—‐ i s i n —, X, = cos— + isin^‐,nên 1 3 3 2 3 3 ĨÌK rm u = l n A.COS-— + B.sin , Vn e F f . Vì ux = 1, u2 = 0 nên c ó 1 3 3

TR

n71 V3 . ntt w ... Suy ra un = cos——+ ——.sin— , V n e N V3

00

P2

+3

10

nn COS— +

B

. n7ĩ .sin— < . 1 + , V neN * tức (u n) bị chặn. 1 3 3 3 I3J í D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bàỉ tập 1: Xác ñịnh phần thực và phần ảo của các sô' phức: Vậy, |u^

33

2. z = -^ 1 4 + 5i

A

1+ 1

CẤ

1. z = (3 + 5 i) ( 4 - 6 i)

1. z = ( 2 - 3 i)( 3 + 2i)

3. z = ( l + i)2 - ( l - i ) 2

TO ÁN

-L

Í-



+ ( l - i ) 10 + (2 + 3 i)(2 -3 i) + T 1 -iy Bài tập 2: Xác ñịnh phẩn thực và phần ảo của các số phức:

3. Z -

M M

NG

1 —2i 4 . z = 2. z = 3 + 21 4 + 3i Bài tập 3: Tìm các sô' thực x,y sao cho z = z ', biết rằng:

ƯỠ

z = (4x + 5) + (2 y + 7 )i, z ’ = ( 4 y - 5 ) - ( 7 x + 2 ) i .

BỒ

ID

Bài tập 4: Cho z = 2x2 - 3 x + l + ( x - l ) ( y - 3 ) i với x,y là các sô'thực. Tìm x,y sao cho: 1. z là sô'thực.

2. z là thuần ảo và |z| = 4

3. z = 6 + 5i 311

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 5: Cho z = 3y2 —5y + 2 - ( x + l ) ' ( ý - l ) i với x,y là các sô'thực. Tìm x,y sao cho: 2. z là thuần ảo

3. z = 2 + 3i

Bài tập 6: Tính |z| biết: 2. —

3.

=»2i M-3

/

-

(V3i + l )

\2 0 0 9

+ (v 3 i-l)

là số thuần ảo.

iV sj là sô’thực.

HƯ NG

3. z = ^2 + i\/5 j

i-1

ĐẠ O

2.

\2 0 0 9

f—

3z + 2

TP

Bài tập 7: Chứng minh rằng: /- .\2010 .\2010 A 1 1 .( l- i) + ( l + i) ỉà một số thực /

z - 1 _ 3i + 2

.Q UY

Z+1

1. ( 3 i - l ) z = ( 2 i + l )

NH ƠN

1. z là sô' thực.

í 19 + 7 iY f2 0 +5 iY ỉà số thuần ảo. \ 9 —i ) { 7 + 6i ) Bài tập 8: Tìm sô' phức z thỏa mãn: I. z - 5 + 7i = 2 - i 2. 2 + 3i + z = - 5 - i z 3. z(2 + 3i) = 4 + 5i 4. -= 3 + 2i - l + 3i 2+i —1 + 3i 6. 2 z (l —i) = 2 iz(l 5. ——z = 1 -i 2+ i Bài tập 9: Thực hiện các phép tính: Z-

P2

+3

10

00

B

TR

ẦN

4.

CẤ

(2 + i)S+ ( 2 - i ) 3 A=-

B=



•\2010

D = ( l + i) + ( l + i) + ...+ ( l + i)

Í-

c = i+i2+...+i2009

N.2009

2 - Vã

A

,\3

1 + 3731

-L

Bài tập 10: Thực hiện phép tính: ( l + 2i)2 - ( l - i f

( 3 - 2 i ) [ ( 4 + 3 i) - ( H - 2 i) l

TO ÁN

1.

5 -4 i

(3 + 2i)3 - ( 2 + i)2

ƯỠ

NG

3. 3|z + i| = |z + z - 3 i|

BỒ

ID

5. V 2^cosl8°+ isin l8 ° j 7. 2 —i1 + i2 + ... + Ĩ2011

8. z =

i + 2i + 3i + ... + 2 0 1 1 i

312

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 11: Thực hiện phép tính: A _ 1 f;7 • A = — V - 41

i7 J

B=

NH ƠN

2il

ì

.Q UY

+ ( l - i ) 10+(2 + 3i)(2-3i) + y

A

+Ấi)

+ ( 1 -_ ii)2009 ) 2 0 0 9_- /(i105 i105+ 23+ 2 0 -_ + (1 + ii23 + ii20

i34)

ĐẠ O

D=

TP

+ ( l - i ) + ( l - i ) 2 + ( l - i ) 3+... + ( l - i ) 20

HƯ NG

Bài tập 12: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn ñiều kiện: 2. z - z + 1 - i = 2

1. l < | z - l | < 2

4. 2 | z - i | = | z - z + 2 i |

ẦN

3. l < | z + l - i | < 2

TR

Bài tập 13: Tìm tập hợp các ñiểm M biểu diễn các số phức z = X+ yi thỏa mãn

B

[0 < x + y < l

ñiều kiện:

10

00

[y < -x 2+ l

+3

Bài tập 14: Cho ũ, V là biểu diễn của hai sô' phức 1 + 3i và 3 —2i

P2

1. 3u + 2v ; 5u - 3v biểu diễn những số phức nào? Gọi A1(A2 ,A3,A4 lẩn [email protected]ợt là biểu diễn hình học của các sô' phức

A

Bài tập 15:

CẤ

2. Gọi X là biểu diễn của số phức 6 + 4 i. Hãy phân tíqh X qua u, V.



zx = l + 3i, z2 - - 3 + 2Ĩ, z3 = 5 -1 , z4 = 4 + 5i.

Í-

1. Tính ñộ dài các ñoạn kỵh. 2, h-ih-3, AXA4

-L

2. Tìm SỐphức có biểu diễn là ñiềm M sao cho A1A2A4M là hình bình hành.

TO ÁN

Bài tập 16: Cho hai s ố phức Zj ,z2 . Chứng minh rằng: \ z xI- |z21| < ịz1 + z21< |zj I+ \z21.

ƯỠ

NG

Bài tập 17: 1. Hãy giải các [email protected]ơng trình sau trong tập c b. Ịz2 + ij(z2 - 2 i z - l ) = 0

ID

a. X2 - ( 3 - i ) x + 4 - 3 i = 0

BỒ

2. Giải các phơng trình sau với ẩn là z a. z + z = 0

b. [ ( 2 - i ) z + 3 + ijỊte + -Vj = 0 313

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

3. Giải các hệ phương trình sau: ị z 1+ z2 = 4 + i \z ị + z ị = 5-2í

Z -1 2

5

z2009 + z2010 + 1 = 0

, Z -4

= r và ----- - =1 z-8i 3 Z -8

.Q UY

c. —

+ 2z2 + 2z + 1 —0

b.

NH ƠN

,

Bài tập 18:

TP

1. Cho các sô' phức zj;z2 thỏa mãn ñiều kiện

HƯ NG

ĐẠ O

Ịzt Ị= ịz2j = 10 và |5zt - 5 z 2Ị= V2 0 1 2 . Hãy tính Q = |4z1+3z2Ị.

ẦN

2



Tìm sô'phức z có phẩn thực lớn nhất thỏa mãn: jz| + 20 ——-—- = 3v5 . z+2+ i

2.

Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời thỏa 2 ñiều kiện: |z| = |z + 4 —3i| và biểu

00

B

TR

1.

+3

= i; ( l - i ) 2 = -2 i =>z = i33+ ( -2 i) 5+ 1 3 - Ĩ = 1 3 -3 2 Ĩ

CẤ

3. Ta có: —

P2

E. HƯỚNG DẪN GIẢI. Bài tập 1:

10

thức A = ịz +1 - i| + |z - 2 + 3i| có giá trị nhỏ nhất.



A

=> Phần thực của z bằng 13, phần ảo của z bằng - 3 2 . CM ý. Khi gặp các bài toán yêu cẩu tính Zn với n là số tự nhiên khá lớn thì ta ñi

Ta có z

BỒ

ID

ƯỠ

NG

2

TO ÁN

-L

Í-

tính các lũy thừa nhỏ hơn ñể tìm quy luật của zn. Bài tập 2: 1. Ta có z = 6 + 4 i - 9 i + 6 = 1 2 - 5 i phần thực của z bằng 12, phần ảo của z bằng —5. íĩ- ĩK ! z ĩ)

(3 + 2 i ) ( 3 - 2 i )

- 1 + 81 - 1 + 8i 1 I 8 | 32 - ( 2 i ) 2 13 13

13

1 => Phẩn thực của z bằng ——, phần ảo của z bằng — .

8

3. Ta CÓI z = 1 + 2Ỉ + —1 + 2Ỉ — = 4i Phẩn thực của z bằng 0 , phần ảo của z bằng 4. 4.

Ta có:

(2

+ i )3 = 2 3 + 3 . 2 2.i + 3.2.i 2 + i 3= 2 + l l i

314

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

« ( 2 + !)s ( l - i ) = 13 + 9 i « z = Í H Ị ! ^ í ^ = Z ! - i . i (4 + 3 i)(4 -3 i)

25

25

® • Với V U I y = 3= >z == 2x2 - 3 x + l

- M

+

I

HƯ NG

í 2x2 - 3x + 1 = 0 X= Ậ 2. Ta có z là thuần ảo 4 s, s 2

Ị(x-l)(y-3)*0

ẦN

TR

í =-

2 hoặc •

là những những cặp cặp cẩn cẩn tìm tìm .. 22 là

B

=-

00

' Vậy ■

ịy / 3

(y - 3 ) i => jz| = —ịy—3j => ịz| = 4 o |y -3 ị = 8 y = 1 l;y = - 5 .

liy y -= - 3

ỵ =l l

10

Khi ñó: z =

ĐẠ O

ì 79 « 3 => Phân thực của z bang — , phần ảo của z bằng — —■. 25 25 Bài tập 4: X= 1 1. Ta có z làsốthự c o ( x - l ) ( y - 3 ) = 0 y=3‘ • Với X = 1 => z = 0

NH ƠN

'

.Q UY

; v

TP

v

+3

Í2 x 2 - 3 x + 1 = 6 3. Ta có: z = 6 + 5ií

t(x - l ) ( y - 3) = 5

Í-



A

CẤ

P2

j(x - l) ( y - 3) = 5

Í2x 2 - 3 x - 5 = 0

TO ÁN

-L

Bài tập 6:

NG

2. Tacó: ^ - i i = 2i + 3z + l = (2i + 3 ) ( z - 2 ) o ( 2 + 2 i)z = 7 + 4i

2 + 2i

4 4

114

ID

ƯỠ

7 + 4i 11 3 . VĨ3Õ => z = ' —_ - = —i => z = —— .

BỒ

Bài tập 7: 1. ðặt z = l + i = » z = 1 - i và Zj = ( l + i)2010 = z 2010 =>Zị = z 2010 = ( z j 0 /„

.\2010

/„

.\2010

+ ( l + i)

_

— ,,

„ ,

= z 1+ z 1 là số thực

= (l-i)

ñpcm. 315

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

Bài tập 9:

*

NH ƠN

Ta có: ( 2 + i)3 = 2 + l l i ; ( 2 - i )3 = 2 - l l i

, 2 + 11Í + 2 - 1 U _ 4 2 . A = ---:---- -- ------ = ----------------- —i.

2 +llí-(2 -lli)

2.

22i

11

ð ă t z = 1 + 3 ^ - = - l + V 3 i = > a 2 f c - 2 ( l + V 3 i)

2 - v3i

v

.Q UY

1 .

'

ĐẠ O

TP

^>z3 = z2.z = - 2 ( 1 - V3ĩ)(l-f-V3í) = —8 =>B = z2009 = (z3)

,z2- (-8)669 - 2(1 + Vãi)" = 22008(1 + Vãi).

HƯ NG

3. Áp dụng công thức tính tổng của câ'p sô' nhân, tạ có:

c = i— - — = I-— = :i. 1 -i 1 -ỉ 4. Áp dụng công thức tính tổng của câp số nhân, ta có: (. .>.2010 /. .\2010 „ D. ( l t l ) ĩ d ^ r _ 1 , i = ( l + i ) í í ± j£ ! z í _ 1. i . v ’ l - ( i + l) 1 ’ i

B

TR

ẦN

r _ ; l - i 2009 _ : l - i

10

1 ) ( 2 1005 i -

1 ) - 1 - i = 2 100S i + 2 1005 - 2 .

+3

= > D = - i (ỉ +

00

Mà (1 + i)2 = 2i => (1 + i)2010 - (2i)1005 = 21005.i1004.i = 21005.i

1. Tacó:

= (l;3 ), v = {3;-2)

CẤ

ũ

P2

Bài tập 14:

Suy ra: 3u + 2v = (9;3) ỉà biểu diễn cửa sô'phức 9 + 3i



A

5u —3v = ( - 4 ; 2 l) là biểu diễn của sô'phức - 4 + 2ỈỈ.

TO ÁN

-L

Í-

« -T. ' ^ fm + 3n = 6 2. Ta có: X= (6 ;4 ). Giả sử x = m.u + n.v => ■/2

BỒ

AxA4 = |z 1- z 4ị = VĨ3

316,

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

2. Gọi z là sô'phức cẩn tìm. Ki ñó: AjM và A2A4 lẩn [email protected]ợt là biểu diễn của các

NH ƠN

p h ứ c z - Z1 v à z 4 - z 2

í

TP

.Q UY

Aj A2A4M là hình bình hành A ]^ = A2A4 z —z x = z4 - z2

=>OM = |z1|,ON =ịz2| và PO = Ịz1 + z 2|

HƯ NG

ĐẠ O

Ta có: |zt + z 2| = OP A = ^(x + 1)2 + (y - 1)2 + Ậ x - Z ) 2 + ( y + 3)2

ƯỠ

Xét E ( - l; l ) , F (2;-3) và M(x;y^

BỒ

ID

Bài toán trở thành: Tìm ñiểm M ( 1UỌC ñ@ờng íhẳng 8x + 6y + 25 = 0 sao cho ME + MF nhỏ nhâ't.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

ẳự >

CHUYÊN ðỀ II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM s ố LOGARIT.

Jt I

.Q UY

Bài 1: LOy thừa, Iogarit

NH ƠN

* y (tu G

Chủ ñê' 1: Tính giá trị biếu thức, rút gọn ................................................................................ 8

TP

Chủ ñề 2: Chứng minh dẳng thức, bâ't dẳng thức ............................................................... 10

ĐẠ O

Bài 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chủ ñê' 1: Tập xác ñịnh của hàm số........................................................................................23

HƯ NG

Chủ ñê' 2: Tính giới hạn và ñạo hàm .....................................................................................24 Chủ ñê' 3: ứ n g dụng, chứng minh ñang thức - bất ñẳng thức.........................................26 Bài 3: Phương trình, bất phương trình mũ

ẦN

Chủ ñề 1: Biến ñổi, quy vể cùng cơ s ố ...................................................................................43 ......................................................................................................... 44

TR

.-’Chú ñê'2: ðặt ân phụ

Chủ ñê' 3: Logarit h ó a ............... ..............................................................................................47

00

B

Chủ ñê' 4: Biến ñổi phương trình vê' dạng tíc h .....................................................................49

10

Chú ñ ề 5: Phương pháp ñổ t h ị ...............................................................................................49

+3

Chủ ñề 6: Sử dụng tính dơn ñiệu cùa hàm s ố ......................................................................50

P2

Chú ñề 7: Phương pháp lượng giác hóa ...............................................................................53

CẤ

Chủ ñê' 8: Tìm tham số thực m thóa mãn ñiểu kiện / cho trước ................................... 53 Chủ ñ ể 9: Giải bất phương tr ìn h ............................................................................................54



A

Bài 4: Phương trình, bất phương trình Iogarit Chủ ñ ẽ 1: Biến ñối, quy vê' cùng cơ s ố ...................................................................................77

Í-

Chù ñê' 2: ðặt ẩn phụ .............................................................................................................. 82

-L

Chủ ñề 3: Logarit h ó a .............................................................................................................. 85

TO ÁN

Chù ñê' 4: Biến ñổi phương trình vê' dạng tíc h .....................................................................85 Chủ ñề 5: Phương pháp ñổ t h ị .................. !..................................................... ......................86

NG

Chủ ñề 6: Sừ dụng tính ñơn ñiệu của hàm s ố ......................................................................87 Chủ ñê' 7: Dùng hàm số logarit làm ẩn s ố ............................................................................88

BỒ

ID

ƯỠ

Chủ ñ ề 8: Tìm tham số thực m thỏa mãn ñiểu kiện l cho trước ................................... 89 Chủ ñê' 9: Giái bât phương tr ìn h ............................................................................................ 91

Bài 5: Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit Chù ñề 1: Phương pháp thế, biến ñổi vê'hệ ñại số.............................................................126 Chủ ñề 2: Phương pháp hàm sô'...........................................................................................132

318 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

CHUYÊN ðỀ III:

NH ƠN

CÁC VẤtỊl ðỀ LIỀN QUAN NGUYÊN HÀM, TÍCII PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Nguyên hàm

Chủ ñê' 1: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tí c h ...............................................153

.Q UY

Chủ ñ ể 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp ñối bicn sô’.............................................ĩ 57

Chủ ñề 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lừng phần .............................................164

TP

Bài 2: Tích phân

ĐẠ O

Chủ ñê' 1: Tìlm tích phân bằng phương pháp phân tích ................................................... 178 Chủ ñ ề 2: Tìm tích phân bằng phương pháp ñổi biến sô '......... ........................................ 183

HƯ NG

Chủ ñề 3: TìỊm tích phân bằng phương pháp từng p h ầ n ...................................................193 Chù ñ ề 4: Tích phân ñặc b iệ t................................................................................................. 199 Bài 3: ứ n g dụrig tích phân

ẦN

Chủ ñề 1: Diện tích hình phẳng giới h ạ n .............................................................................244

TR

Chủ ñ ề 2: Thể tích hình phẳng giới hạn ..............................................................................247

00

B

CHUYÊN ðỂ IV:

10

SỐ PHỨC

+3

Bài 1: Số phức

P2

Chủ ñề 1: Phép tính sô' phức và các bài toán ñịnh tính .................................................... 268

CẤ

Chủ ñê' 2: Biểu diễn hình học cúa số phức và ứng d ụ n g .................................................. 275 Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai



A

Chủ ñê' 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc h a i........................................... 279 Chủ ñ ề 4: Phương trình quy vê' phương trình bậc h a i...................................................... 282

-L

Í-

Chù ñ ể 5: Cực trị của số phức ............................................................................. .................282 Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng ñụng

TO ÁN

Chủ ñê' 6: Dạng lượng giác của số phức ............................................................................;286

BỒ

ID

ƯỠ

NG

Chú ñ ề 7: ứ n g dụng số phức giải hệ phương trìn h ...........................................................290

319

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

SÁCH PHÁT HÀNH TẠI

NH ƠN

* H Ệ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊ U T H Ị CỦA CÔNGTICữPHẤNVÃHhóa bu lịch EIALAITRẼNTOÁNquốc * H Ệ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊ U T H Ị CỦA

NS M INH TKÍ - 103 Lý Thái Tổ

QUÀNG NGÀI: NS TRẦ N QUỐC TUẤ N - 526 Quang Trung

TP

ðÀ NẴNG:

.Q UY

CÕNGTIcắ PHẨNVÃNHÓAPHIÍtiNCNAMTRẼNTOADQUỐC

CÔNG TY C P P H S - 34 - 36 Thống N hất - Nha Trang

ĐẠ O

NHA TRANG:

S IÊ U T H Ị TÂN T IẾ N - 11 Lê Thành Phương

BÌNH THUẬN: NS HƯNG ðẠO - 328 T rần Hưng Dạo - TP. Phan T hiết NS KIM NGẤN - 88 Cách Mạng Tháng Tám - TP. Biên Hòa

VỮNG TÀU:

NS ðÔNG HẨỊ - 38 Lý Thường Kiệt

HƯ NG

ðỔNG NAI:

NS ABC - 204 Bình Giã

CÔNG TY SÁCH T BTH - 40B Hùng. Vương

DAKLAK:

NS GIÁO DỰC - 19 Trường Chinh

ẦN

GIA LAI:

TR

NS LÝ THƯỜNG K IỆ T - 55 - 57 Lý Thường Kiộtì CỐNG TY C P SÁ CH TBTH - 129 Phan ðình Phùng

LÂM ðỒNG:

CÔNG TY CP SÁ CH TBTH - 09 Nguyễn Văn Cừ - ðà Lạt

DĂK NÔNG:

NS GIÁO DỤC - 30 T rần Hưug ðạo - Gia Nghĩa

TÂY NINH:

NS VÃN NGHỆ - 295 ðường 30 tháng 4

LONG AN:

CÔNG TY PH S - 04 Võ Văn Tần - TX. Tân An

TIỀN GIANG:

CÔNG TY C P SÁ CH TBTH -.2 2 Ilùng Vương - TP. Mỹ Tho

CÂN THƠ:

CÔNG TY C P SÁCH TBTH - 132 Dường 30 tháng 4

CẤ

P2

+3

10

00

B

KONTUM:

NS HỒNG ÂN - 94 Xô Viết Nghệ Tĩnh CÔNG TY SÁCH TBTH - 50 Nguyền Thái Học - TX Vị T hanh

ðỔNG THÁP:

NS V IỆ T HƯNG - 200 Nguyễn Huệ - TP. Cao Lãnh

BẾN TRE:

CÔNG TY CP SÁ CH TBTH - 03 Dồng Khởi



Í-

NS T R Ẻ - 41 Trần Hưng ðạo

-L

SÓC TRẢNG:

A

HẬU GIANG:

NS TRANG - 112 Nguyền Thị Minh Khai

TO ÁN

BẠC LIÊU:

NG

KIÊN GIANG:

BỒ

ID

ƯỠ

CÀ MAU:

CÔNG TY C P SÁCH TBTH - 59 Lý Thường Kiột - Phường 3 TRUNG TÂM P H S - 57 Hoàng Văn Thụ NS ðỔNG H ồ I - 98B T rần Phú - Iỉạch Giá NS ðÔNG H ồ II - 989 Nguyền Trung Trực - Rạch Giá CÔNG TY C P SÁ CH TBTH - 26 - 28 Lô Lợi - Phường 2

BÌNH DƯƠNG: NHÀ SÁCH 277 - 518 Cách Mạng T háng Tám - Thủ Dầu Một AN GIANG: ■NS TH Ư QUÁN - 3/5 Tôn ðức Thắng - TP. Long Xuyên NS THANH K IÊN - 496 Võ Thị Sáu - Tl>. Long Xuyên TT VÃN HÓA TỔN G H Ợ P - 1 5 - 1 7 Iíai Bà Trưng SÁCH CÓ BÁN LỄ TẠI CÁC CỬA HÀNG SÁCH T R Ê N TOÀN QUỐC

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

Xem thêm...

Bình luận

Bản quyền © 2017 SLIDEVN.COM Inc.