Download PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH 12 TẬP 2 HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC - NGUYỄN...
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
HƯ NG
ĐẠ O
TP
.Q UY
NH ƠN
NGUYEN PHÚ KHÁNH
ẦN
PHÂN DẠNG VÀ PHƯdNG PHÂP GIẢI
00
B
TR
C Á C C H U Y Ê N ðỂ
CẤ
P2
+3
10
GIẢI TÍCH 12 A
- BIỄN SOẠN THEO CHƯỜNG TRÌNH MỚI
-L
Í-
HÓ
- LUYỆN THI CÁC KỶ THI ouử c GIA
2: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC ;•••[THỰ VIỆN BÌNHẼĨNK ị
ƯỠ
NG
TO ÁN
o TẬP ID
1 'PMỒỸ^y- M Ư Ơ N I ...
BỒ
i. V V .
!
NHÀ XUẤT BẰN ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NHÒ XUấT SỒN ðỌI HỌC QUỐC GIA HÒ NỘI
NH ƠN
16 H àng Chuối - Hai Bà T Irưng - Hà Nội ðiên thoai: Biên tâ p-C hế bản: (04) 39714896: Hành chinh: (04V 39714899: Tổng biên tập: (04) 39 714897
ĐẠ O
TP
.Q UY
Fax: (04) 39714899
HƯ NG
C hịu trá c h nhiệm, x u ấ t bản
PHÙNG Quốc BẢO
Tổng biên tập:
PHẠM THỊ TRÂM
Biên tập:
NGỌC LẨM
Trình bày bìa:
VÕ THỊ THỪA
CẤ
P2
+3
10
00
B
TR
ẦN
Giám dốc:
NHÀ SÁCH HỒNG ÂN
SÁCH LIÊN KẾT
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
ðổi tác liên kết xuất bản:
ƯỠ
PHẦNỊ DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ðỂ GIẢI TÍCH 12 - TẬP 2 Mã số; 1L-107ðH2012
BỒ
ID
In 2.0Ó0 cuốn, Khổ 17 X 24cm tại Công ti Cổ phần Văn hóa Văn Lang. S ố xuạt bản: 3 7 7 - 2 0 1 2/CXB/04-58/ðHQGHN, ngày 30/3/201.2, Quyết Ịdịnh xuất bàn số: 1 11LK-TN/Qð-NXBðHQGHN. In xong vả nộp lưu chiểu quý II năm 2012.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
ỉ M ỏ i Ỡ ÍỈÙ Các em học sinh thần mên!
.Q UY
Trong chựơng trình môn toán lớp 12, nội dung kiên thức chiêm một ti trọng
rất lớn trong ñề thi. ð ể giúp các em học sinh nắm ñưọc các phần kiến thức trọng
TP
tâm, các dạng toán từ cơ bản ñên nâng cao. Tác giả bịên soạn bộ sách tham khảo
ĐẠ O
Phân dạng vặ phương pháp giải các chuyên ñề lớp 12 gồm Hình học 12 "1 tập" và Giải tích 12 "2 tập".
HƯ NG
Bộ sách này ñược biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kĩ năng. Trong sách ñược trình bày từng vân ñề, tương ứng từng chương, bài gần giôítg sách giáo khoa và cẩu trúc ñẽ thi của Bộ ỊỊÌắo ñục và ðào tạo ñể bạn ñọc tiện tham khảo. Mỗi
TR
Tóm tắt các kiên thức lí thuyết cơ bản.
ẦN
vân ñể sẽ có:
Các bài tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn chi tiết hoặc ñáp sô'.
10
-
00
B
Lời giải chi tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.
+3
Tác giả chủ trương tránh ñưa vào sách những phần lý thuyết nặng nề và ít sử
P2
dụng. Mỗi ví dụ, lời giải lại cỏ nhận ñịnh sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người
CẤ
ñọc tậm ñắc và sẽ có tư duy sảng tạo riêng của mình khi gặp những câu hòi khó,
A
bài toán khó lạ khác.
HÓ
Phần hoạt ñộng ñược tác giả biên soạn tất công phu và tập hợp nhiều dạng
Í-
toán háy, mới mẻ. Giúp người học không chi có thể thử sức những bài toán rèn
-L
luyện tư duy, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tường chừng ’
TO ÁN
không thệ nào giải nổi. Một số bài tập có thể khó nhưng cách giải ñược dựa trên nền tảng kiến thức và kĩ năng cơ bản. Tác giả hi vọng, khi gặp một ñề thi khó, lạ người học sẽ không còn rigại ngùng trong việc ñưa ra lời giải cho mỗi bài toán.
NG
Cuối mỗi b.àí học là phẩn bài tập tự luyện, ña sô' là những bài toán ñã xuầ't
ƯỠ
hiện trong kì thi ðại học và kì thi học sinh giỏi. Cuôn sách là sự k ế thừa những
ID
hiểu biết chuyên môn vâ kinh nghiệm của chính tác giả trong quá trình trực tiếp
BỒ
ñựng lớp bổi dưỡng.Tác giả hi vọng, người học cẩn phải nắm kĩ kiên thức căn
bản trựớc khi tham gia bài tập tự luyện.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Thầỹ cô sẽ có thêm nhiều ñề tài ñể tham khảo.
I
NH ƠN
em học sinh sẽ vững tín bước vào kỳ thi ðại học sắp tơi. Sinh viên sư phạm và
.Q UY
PHAN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC CHUYÊN ðỀ GIẢI TÍCH 12 chia thành hai tập:
ĐẠ O
Tệp 2: HÀM SỐ MŨ - LOGARIT - TÍCH PHÂN - SỐ PHỨC. Tập 2: Sách chia làm 11 phẩn: Lũy thừa, logarit.
2.
Hàm SỐlũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
3.
Phương trình, bâ't phương trình mũ.
4.
Phương trình, bất phương trình logarit.
5.
Hệ phương trình, bâ't phưcmg trình mũ, logarit.
6.
Nguyên hàm.
7.
Tích phân.
8.
ứng dụng tích phân.
9.
Sô' phức.
!
P2
+3
10
00
B
TR
ẦN
HƯ NG
1.
10. Căn bậc hai cùa sô' phức và phương trình bậc hai.
CẤ
1
TP
Tập 1: ỨNG DỰNG ðẠO HÀM ðỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ðỒ THỊ HÀM SỐ.
11. Dạng lượng giác của sô' phức và ứng dụng.
HÓ
A
Trong sách, tác giả không chỉ ñề cập phần khảp sát - vẽ ñồ thị hàm sô' và vân Tất
chú trọng ñên ứng dụng ñạo hàm trong việc giải
Í-
ñề liên quan hàm số, mà còn
-L
phương trình, hệ phương trình, bâ't phưcmg trình, hệ bất phương trình và những
TO ÁN
bài toán khó như: tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhâ't, chứng minh bâìt ñẳng thức. ðây là ñiểm nhấn mà các sách tham khảo cùng loại chưa ñề cập nhiều. Tác giả cũng trích những dạng toán thường gặp qua các kì kiểm tra của trường THPT và ñề thi
NG
ðại học những hăm vừa qua ñể bạn ñọc tham khảo.
ƯỠ
Mặc dù tác giả ñã dành nhiều tâm huyết cho cuôh sách, song sự sai sót là ñiều
ID
khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong nhận ñược sự phản biện và góp ý quý báu
BỒ
của quý ñộc giả ñể những lẩn tái bản sau cuôln sách ñược hoàn thiện hơn. Tác giả NGUYỄN PHÚ KHÁNH
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
CHUYÊN ðỂ II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT.
HƯ NG
ĐẠ O
TP
.Q UY
Trong chuyên ñề này cung câ'p kiên thức cơ bản về hàm sô' mũ và logarit. Giúp học sinh nắm ñược phép tính lũy thừa, logarit, tính chất của hàm số lũy thừa, hàm sô' mũ và hàm số logarit. Tác giả chú trọng phương pháp giải phương trình mũ, phương trình logạrit, giải hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Tác giả chú trọng ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, hệ phương trình mũ và logarit. Một số lun ý khi sử dụng chuyên ñề:
Không xét các phương trình và bất phương trình chứa tham số.
2.
Không xẹt các phương trình và bất phương trình mũ màẩn có mặt ñổng thời cả cơ số lẫn sô' mũ.
TR
ẦN
1.
10
00
B
3. Không xét các phương trình và bâỊt phương trình logarit mà ẩn có mặt ñổng thời cả cơ sô' lẫn trọng biểu thức lây logarit.
Í-
HÓ
A
CẤ
P2
+3
Nội dung của chuyên ñề gổm: 1. Lũy thừa, logarit. 2. Hàm sô' lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. 3. Phương trình, bất phương trình mũ. 4. Phương trình, bâ't phương trinh logarit. 5. Hệ phương trình, hệ bất phương trinh mũ và logarit.
TO ÁN
-L
LŨY THỪA - LOGARIT A. CHUẨN KIẾN THỨC, k ĩ NĂNG CẦN ðẠT.
NG
1. Kiến thức:
ƯỠ
- Nắm ñược lũy thừa từ một sô' từ số, mũ nguyên dương ñêh sô' mũ nguyên và số mũ hữu tỉ thong qua căn số. phép toán nâng lên lũy thừa và
BỒ
ID
- Nắm ñược Iogarit theo cơ số dương khác ñổi cơ số của Iogarit . ■ ■ ■ ■ ■ . 2. Kĩ năng:
- Vận dụng thành thạo ñịnh nghĩa, tính châ't của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
5 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
(tíchn sô a).
* a° = 1
với mọi a & 0 .
1 * a " = —— an
vói mọi a ^ O .
.Q UY
* a"=a.a...a
NH ƠN
B. Lí THUYẾT GIÁO KHOA. 1. Lũy thừa với số mũ nguyên: a. Bịnh nghĩa: c ho n là số nguyên dưong và số thực a . Khi ñó:
0
ĐẠ O
* Với n < 0 thì an có nghĩa • » a
TP
Gfei cfeú:
HƯ NG
* Với Va?*0 thì a n =-— a 'n b. Các tính chất v ề ñằng thức: Với hai sô'thực a ,b * 0 và m,n là các số nguyên ta luôn có:
lb -0 )
B
ị? ị’ . ỉ '
00
4. (ab)” =a"b"
3, (a” )" = a™
ẦN
2. — = a ”-"
TR
1. a” a” = a ” *"
+3
10
c. Các tính chất v ẽ b ấ t dẳng thức * Cho m,n là các sô' nguyên dương, ta có:
P2
+ Với a > l thì am > a n o m > n
CẤ
+ V ớ iO < a < l thì am> a n « m < n
2. a m > b m m < 0
Í-
1. ám < b m m > 0
HÓ
A
Nhận xét: Với a > 0 thì am = a" o m = n * Cho 0 < a < b và sốnguyên m ,tacó:
-L
Nhận x é t: Với 0 < a < b thì am = bm m = 0 .
TO ÁN
* Nếu n là sò' tự nhiên lẻ thì a n < bn o a < b 2. Căn bậc n fl. ðịkih nghĩa: Với n là số nguyên dương, căxi bậc n của a là số thực b thỏa
NG
mãn: bn = a .
BỒ
ID
ƯỠ
b. Tíĩìh chất: Cho a ,b > 0 , hai sô'nguyên dương m,n và hai sô'nguyên tùy ý p,q. Ta có: ì.Ậ - ĩlĩ.a lb
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
2.
(b > 0 )
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
3. ^
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4.
= ($ ĩ)p
N êu P = í t h ì ^ = ^ ( a > 0 ) n m 3. Lũy thừa với sọ mũ hữii t i.
NH ƠN
5.
HƯ NG
ĐẠ O
TP
.Q UY
a. ðịnh nghĩa: Cho sô'thực a > 0 và sô'hữu tì r = — (m ,n là hai số nguyên ’ n — I— : ■ n > 0 ).K h iñ ó a r = a n = ự a m . Chú ý : Lũy thừa sô' mũ hữu tỉ chi ñược ñịnh nghĩa cho sô' thực dương. b. Tính chãi: Lủy thừa với số mũ hữu ti cỏ ñầy ñủ các tính châ't như lũy thừa với số mũ nguyên. 4. Lũy thừạ với số mũ thực à. ðịnh nghĩa: Cho sô' thực dương a và a là số vô tỉ. Khi ñó tổn tại dãy số
+3
10
00
B
TR
ẦN
hữu ti (rn) có giới hạn á và aa = lim a1” . n-»-K» b. Tính chãt: Lũy thừa với số mũ thực có ñây ñủ các tính châ't như lũy thừa với sô' mũ nguyên. Lưu ý : • Lũy thừa với sô' mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không • Lũy thừa với số mũ hữu ti và số thực thì cơ sô' dương. 5. Logarit.
CẤ A
logaa = l
-L
NG
lo g a - ^ lo g ^ - lo g - .b b iị
atogatt= a lógaa“ = a
loga^ = Ioga x 1 - lo g a x2
■ , i' ■ ■ • ' ■
TO ÁN
ðặc biệt:
lnb = a o e “ = b
Ỉ0 ga(x 1x2) = l0 gaxi + l0gax2
Í-
• Iogab ° = a lo g ab • logaab = - l o g a b
lgb = a o l O a = b
HÓ
ðặc biệt: loga b = a o aa = b b) Tính chất:. • logal = 0
P2
a) ðịnh nghĩa: Cho a > 0,a * l,b > 0 thì loga b = a o a“ = b .
Xz ỉoga >/b = —loga b n
logab = ^ ^ logc a
ƯỠ
• a > 1 => loga b > loga c o b > c > 0
ID
• 0 < a < 1 = > lo g ab > logac o f l < b < c .
BỒ
G. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ð Ể . 1. Tính giá trị biểu thức, rút gọn. 2. Chứng minh ñẳng thức, bất ñẳng thức.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
CHỦ ð Ề 1
TÍNH GIÁ TRỊ B lỂ ư TH Ứ C-RÚ T GỌN.
-s/ã-Vb
Va + %/ab
yfa-yfb
t f a +t f b
TP
A=
.Q UY
□ Các ví dụ minh h o ạ : Ví dụ 1.1.1 Rút gọn biểu thức sau:
NH ƠN
o
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
HƯ NG
tíã -tỉb
ĐẠ O
Lời giải.
yíã + yỊb
'lj:
ẦN
B = ( ^ / ? - & b + Vbĩ - & b ) : ( ^ - 3 / b ) 2
B
Ví dụ 2.1.1 Tính giá trị của biểu thức :
TR
B = Ị ^ ĩ - 2 ^ b + Vbĩ ) : ( ^ - l / b ) 2 = ( ^ - ^ ) 2 : ( ^ - ^ / b ) 2 =;l.
B = logi (log 38 . 1.og23 ) - io g 251 0 + i o g ỉ ~ + v2f 2 Lời giải.
P2
+3
10
00
A = ^ i Ị 3^ _ loggS logls 3 log405 5
CẤ
A = toga.135 _ Ị ° ẵ l L = iog3135.]0g3 15 _ ]0g3 5,iogs 405 logls 3 log405 5
HÓ
A
Á = log3(5.2 7).log315 - log3 5.1og3 (27.15)
Í-
= (log3 5 + 3) log315 - log35(3 + log315)
TO ÁN
-L
A = 3(log3 15 - log3 5) = 3.1og3Y = 3 B = log r 2 (31og3 2.1og23 ) - lo g 5210 + ìlo g ^ ! I
NG
5 = ” log33 - ^ logs 10 + logs^ = 2 2
1 2
1,
2 *°8 s ^ ‘
3 2
ƯỠ
Ví dụ 3.1.1
BỒ
ID
1. Tính log36 2 4 , biết log12 27 = a .
2. Tính log2415 theo a,b, biết log25 = a, logs 3 = b. 3. Tính log2S24 theo a,b ,b iết log6 15 = a, log121 8 - b . 4 .Tính log126150 theo a,b,c,biê't log23 = a, log35 = b, logs 7 = c.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3
3
NH ƠN
1. a = log1227 = 31og123 =
Lời giải. 3
log31 2 _ log3(22.3) ~ 21og32 + l
.Q UY
3 —a , , _ 2a Suy ra log32 = — — và ■og2 log23 = -, 3= 2a 3~ - a
TP
Ta CÓ: log36 24 = log36 (23.3) - 31og36 2+ log36 3
i 3_a Hơn nữa logo,; 2 = —— ——= --------- —------------------------— =Ì -- — va log236 21og26 2 ( l+ lo g 23) 6 + 2a _
_
1
1
1
1
1
1
2a
log336
2 Iog3 0
2 ( l + log32)
6 + 2a
Vậy, log36 24 = 3 log36 2 + log36 3 =
6 + 2a
1
1
.l o g 2415 = log24 3 + log24 5 = — ~ log324 logs 24
TR
2
B
1 1 — —------ ------- h —------——............■ 1
00
31og52 + log53
10
31og3 2 + l
ĐẠ O
,
o
HƯ NG
,
ẦN
________ . . .
1
1
CẤ
A
a ( l + b) Vậy, log2415 = - — ■£ ■ 3 + ab
P2
+3
Hơn nữa log3 2 = log3s.logg 2 = —— .7 - ^ - = -7 ; logs 3 log25 ab
HÓ
3. log25 24 = ^ (3 log5 2 + log5 3) = ỉ ( 3 x + y ) với x = logs 2, y = 1° g s 3
Í-
1 y +1 1 + 1 ^ 5 2 + logs 2 + log53 _ X+ y logs 3 1 1 _ x + 2y b = log1218 = log 12 2 + 21og12 3 =
1
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
a = log6 15 = log63 + logé 5 =
ID
Suy ra
X
2 + l o g s 3 + i I 2 l0 g s2 ~ 2 x + y lo g s 2
lo S s 3
b -2 1—2b = ------------------. y = - — -------- ----2 b -a -a b -l 2 b -a -a b -l
BỒ
Vây, log 25 24 = --------— ^ ------. &25 4 b -2 a-2 ab -2
4. log126150 = log126 2 + log126 3 + log1265
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1
1
1
1
log2 126
log3126
logs 126
log22 + 2log23 + log27
1
1
= .. — - — ----- ị------------------- 1-------- as
+
......... . _+ — ............. .. Iog3 2 + 21og33 + log 3 7 log52 + 21og53 + Iog57 1
1
NH ƠN
+
■ ...... ■ ’■ '
1
1
2____
HƯ NG
CHỦ ð Ề
ĐẠ O
1 - rn 1 + a+ab Vậy- logi26150=7-r 1 + 2a + abc
o
1
e = u '■loê s 2 = loểs 3-logs 2 = 5 b ■ 3D
TP
lữg3 7 = log3 5.1ogs 7 = b e, logs3 = 7
.Q UY
Từ giả thiết suy ra: log32 = —— — = —, logz7 = log23.1og35.1ogs 7 = ab c . log23 a
ẦN
CHỨNG MINH ðẲNG THỨC - BẤT ðẢ n G t h ứ c . □ Các ví dụ minh hoạ:
. ,
2
00
v à lo§ 2 | -
2. log2 3 và log3 4
.
1
.
1
1
-ĩ
,
1 2 2 1 1 > - => log2 - < log2 —j= = log, 2 2 = - i 4Ĩ 3 23 62 V2 2 2
1 2 = > l'> g 3 -p > l0 g !Ì V2 3
HÓ
A
M
1
Lời giải.
CẤ
1
P2
+3
10
1- l o S 3 ^
B
1
TR
Ví dụ 1.2.1 So sánh:
-L
Í-
2. A/]og32.1og34 < i ( l o g 3 2 + log34 ) = ì l o g 3 8 < ỉ l o g 3 9 = 1 ( theo Cô Si)
NG
TO ÁN
=> log3 2.Iog3 4 < 1 log3 4 < —Ị — = log2 3 ________ Iog32 Ví dụi 2.2.1 Chứng minh rằng:
2. Với mọi sô' thực X, ta có: logj
BỒ
ID
ƯỠ
1. Với x2 + 4 y 2 =12xy ta luôn có: ln(x + 2 y )-2 I n 2 = —(ln x + ln y ).
2
1
1 •+ ' l- x 2 2X —
m
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Lời giải. Giả thiết có X2 + 4y 2 = 12xy o X2 + 4y 2 + 4xy = 16 2 I— , - ^ j = 2 , —^-2 9- x 2
V 2
? -* 2
V
2
ĐẠ O
-
TP
x-x 2 -21 X-X2
z .
2 2
. 1
8 ^
8
2
o
X= — 2 => không xây ra.
10
ðẳng thức xảy ra khi
7
i
x = t:
ẦN
_7
1 X —— .2 ;
1
B
1
00
Hay logj
x -x -2
ÍIÌ
TR
,
HƯ NG
x - x2 -2
'i : "'ì N h ư vậy, l o g i í 1 2 X % ~ Z *2 ) 2V
NH ƠN
1. ðiểu kiện: x,y > 0
X= —1
+3
x = -x 2
CẤ
P2
Ví dụ 3.2.1 Cho —< a,b,c,d < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
HÓ
A
F » l o g ^ b - Ỉ Ị + IogbỊc - ỉ ) + logt (d - ì } + lo g ^ a - ỉ j
Í-
\2
Lời giải.
-L
7 1 9 1 Ta có: a - — > 0 o a - a + - > 0 o a > a - -
TO ÁN
1
1
Tương t ư : b2 > b - —,c2 > c ——,d2 > d - — 4 4 A
(K
ƯỠ
NG
a,b,c,d €
BỒ
ID
Tương t ự : logb
(
C
V
=>logab < lo g aỊ b - ị | = > l o g a b - — >21ogab 4 lY f IV - J >21ogbc,logc d - f >21ogcd,
4y
V
4/
logd a - — > 2 logd a => F > 2(loga b + logbc + logc d + logd a ) > 8
n
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
=> MinF = 8 a = b = c = d = — 2
Các hoạt ñộng cơ bản : A=W b ±
23.2_1 + 5-3.54
B=
yã +slb
D=
_ỉ
X3 - X 3
X 3 -^x3
4
2 - 1
x3 _ x3
x3 + x 3
X +3x+2 yỊx2 + 2x + l
1-«-—( 2 X- 2 ~ x ) 2 - 1
B
1
F= | ^ ( x2- l ) ( x + l) 3
ẦN
1
5
G=
+3
10
l + i ( 2 x -2 " x)z + l
00
E=
7
TR
I
a 3 la 3 + a 3 j
HƯ NG
c = ] j ị x n + y nj2 - ị ^ x y )
li
ĐẠ O
lí 4
TP
10"3 :10“2 -(0 ,2 5 )°
.Q UY
□ Hoạt ñộng ỉ: Rút gọn biểu thức sau:
^
.
A __
P2
□ Hoạt ñộng 2: Thực hiện các phép tính sau: \-0 ,2 S í
CẤ
A = (32) v '
A
1,64 J
Í-
B=U J
HÓ
, 2 x (75+2 ) ^ - 2 ) 4 ~ u J
-L
_1
_
/ . 4
ì
íI - — + —\2 7 J
/ 25.ỵ i | +U J 2
TO ÁN
c = 0,001 ? - ( -2 ) 2.643 - 8
■2
3 +(9°)
-625°'25-Ị^2-j Ì + 19(-3)'3
ƯỠ
NG
D =[ - - ]
/ 2 n 8ì 2
ID
□ Hoạt ñộng 3: Tính giá trị của biểu thức: B = log
(0,2) + l o 1"’83 - 3
BỒ
A = Ụ ĩ )l0g79 - logg 270 + log9 10 c = alga + a2 lo g ,1 0 — --------- — lga loga 10 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
D=
NH ƠN
lg (5 -2 V ẽ ) 20 +lg(V 49 + 20V6 j 41nVe + 51n(e3Js/e) 1 3^27 27
,,
p
128 ^ 3^2 ;
log72.1og67 + log113.1og6l l | log23.1og98
.Q UY
C_I ~
25logs6 + 49log?8 - 3
27
ĐẠ O
6i0t4^
TP
G = g l+ lo g 9 4 + < ị 2-lo g 2 3 + giog12s 27
HƯ NG
H = ta g ^ 8 - 9 ( to g » 2 f + 1 -
2
ẦN
3 g lo8 6 5 + 5 l- 1 ° S 5 2 _ 3 * ° 8 ? 3 6
r+ 10l+lg2
B
log3^ V l 2 5
00
J= log7^ ^ / 4 9 - -
TR
log2.og2 V W
A = log36 -
+3
10
□ Hoạt ñộng 4: Tính giá trị của biểu thức: log361og6 21og89
^ 4 log2 3 4- 4 9 * ° B 7 4
D=
31og2(]og4 16) + logi 2
Í-
HÓ
A
+ 2 5 ,0S 1 2 5 8
CẤ
log9 4 ì-ìlog. B = V814 2
(
log34 0 5 -Io g 3V75 log21 4 - lo g 2 >/98
P2
l0 g 2 3 y
V
c
+ 5
TO ÁN
~ ( 3^ )
- Zlog, 2 7 « + ^
’l5 2
NG
F = log2
-L
E = 16
ƯỠ
G = 8 1 logs3 + 2 7 log3&+ 3 3l°889 - e ln2 + Ị0 3lg2 42+log23
r—
BỒ
ID
H = log2 4 ^ 1 6 - 2 ^&!1 27^/3 + &2
1=
3
log92- l o g i 5
3
2
71n(3 + 2V 2)-641n(>/2 + l ) - 5 0 1 n ( V 2 - l) + 2 Ig l2 5 '1- lg 0 .8 + 6 1 g^ 04 + 41g 50
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
□ Hoạt ñộng 5:
. Tính ]ogab
2Ĩã
, biết Iogaba = 4.
NH ƠN
1
2 3 biết loga (a2b3) = 1. a âb v ' 3. Tính log301350 theo a ,b . Biết log303 = a,log 305 = b .
■
4 V2
ĐẠ O
TP
4 .Tính log5-y=== thẹo a,b.B iết logs 2 = a,logs 3 = b. 5.
.Q UY
2. Tính log
Biết log6 15 = a; log1218 = b. Tính log2S24 theo a,b
ẦN
□ Hoạt ñộng 6: 1. ðặt a = log2 5; b = log35, Tứih theo a ,b , biết:
HƯ NG
6. Biết a = log23; b = log37.T ính log2414 theo a ,b .
TR
A = log13,8 1 - 3 1 o g ” J L vĩõõ 125
log8 27
ử ẫ i
10
A = ] o g V ỗ ^ b ĩ - 4 1 o g 0.125^ £ =
00
B
2. ðặt Iog2 a = m ,log2b = n. Tính giá trị các biểu thừcsạu theo m,n:
CẤ
P2
+3
\í aáb
Í-
HÓ
A
3. Tìm m ,n ñể các biêu thức sau không phụ thuộc vàọ a,b > 0
TO ÁN
-L
í h2 V B = m log7 Ị49a6.\/b Ị ~ 3n log7^ỹ —- - + lo g 7yỉãb 4. Với giá trị nào của x,y thì các biểu thức sau không ñổi với a,b > 0 .
ƯỠ
NG
A = 2xlog2( ^ . ự ^ ) - 3 y l o g 32- Ì IL - l o g 2a
ID
Bị=y Iog3^ (a>/b^)- 4xlog 27 (81/\/ãb* )-6 1 og 3 Vãb ..
BỒ
□ Hoạt ñộng 7: So sánh 1. logr l 2 + log2| + 4 và log37 + log73
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
ị
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. logn+1(n + 2) và logn(n + l ) , n > 2 .
NH ƠN
□ Hoạt ñộng 8: 1. Cho a = yjx2 + ^ /x ỹ ^ + yịy2 +y j y 4x 2 . Chứng minh rằng:
.Q UY
2. Chó các số thực a,b,c > 2. Chứng minh bâ't ñẳng thức: log^c a2 + Iogc+a b2 + loga+b c2 > 3
HƯ NG
ĐẠ O
TP
□ Hoạt ñộng 9: 1. Gọi c là cạnh huyên, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, trọng ñó c ± b # 1, a 9* 1. Chứng minh rằng: logc+b a + logc_ba = 21ogc+b a.logc_ba . 2. Cho a,b > 0 thỏa mãri a2 + b2 = 7 a b . Chứng mữiỊ\ rằng:
= 2 0°g2012 a + loỗ2012 b) •
ẦN
log2012
3. Cho logabc2012 = loga 2Q12 + logb20 1 2 + lo g c2012. Chứng minh rằng: trong
TR
ba sô' a,b,c luôn tổn tại một sốnhỏ hcm 1.
= 2 0 O&2012 a + ^°S2012 b) •
10
*°S2012 4
00
B
4. Cho a,b > 0 thỏa mãn a2 + b2 = 14ab . Chứng minh rằng:
+3
□ Hoạt ñộng 10:
CẤ
P2
Cho các sô' thực X, y thaỵ ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhâ't của biểu thức:
HÓ
V4x+Zy + 4 y+Zx
A
8X+ 8y + 7(2x+2y +
-L
Í-
HƯỚNG DẪN GIẢI CẨC HOẠT ðỘNG. ■________ ■
TO ÁN
Hoạt ñộng 1:
c = ■J\2n + y 2n + 2x"yn - 4 x ny n = y]x2* + y z* - 2 x 'ty* = Ậ x * - y nf = Ịx* - y"I 4
1
4
2
NG
_ _ a 3.a 3 + a 3.a^ _ a 1 + ạ 2 _ a ( a + l ) _
BỒ
ID
ƯỠ
" - -ỉ a+ 1 a+ 1 a4.a4 + a 4.a 4 Hoạt ñộng 3: 1 2 A = 72 l0S73 - (log9 270 - log9 10) = 7log73 - log32 33 = 3 - 1 = I
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
■i.
c = alga + -^— - ^ - - a l g a = 0 lga lga
! ; I
lg(5 -2 v /6 )20 +lg(5 + 2V6)20 — 4Ine2 +51ne 5
l g [ ( 5 - 2 ^ ) ( 5 + 2>/6)]20 =
2 + 16
■—
18
HƯ NG
E4 ( _ 3 ) - 2 . i . S U - Z ” . 8 ' 3 3 72 Iog72 | logn 3 _ log7 6 logn 6 2(log6 2 + log6 3) 21og6 6 3
3
2
3'
ẦN
3, _ ■ , ~ ~log2 3.1og32
~ ~ ~ =
TP
J
lg l
ĐẠ O
D=
.Q UY
B = log 1 5 '1 + - ^ j - - . 5 ' logs3 = - 2 + — - - 3*1 = — ị 10lg3 5 3 5 15
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
TR
Hoạt ñộng 5:
2. 7
15
10
00
B
6 )ể ý : 13 50 = 32.5.30
log301350 = log30 32.5.30 = log30 32 + log30 5 + log30 30 = 2a + b + 1 . ( ỉ -I
2 ị 3 *'5 _ i f
0gs
l 0 g s 2 i + l 0 g s 3 "2 + l 0 g s 5 5
CẤ
0 g s V Ĩ5
M5J 1
+3
R
P2
4
-L
Í-
HÓ
A
5 1, 1 5 a - b - l = - a - - b - - = ------ — . 2 2 2 2 , ^ lo g ,24 3 + log23 5. Ta CÓ: log 25 24 = —— — = ----------------------------------------—------625 log225 21og25
TO ÁN
Từ giả thiet 6
flog215 = alog26 < , [log218 = blog212
[(l - a )log2 3 + log2 5 = a ( (2 -b )lo g 23 + l = 2b
Í, o 2b - 1 log23 = - e —1 r_u 2 b =>log 24 = ____ J 5 a b + a -2 b -fl 25 2 ( a b + a - 2 b + l) gz 2 -b
6 . T a c ó : l o g 241 4 = Ị H ẵ ỉ 2 i = Ì i M
log2 24
BỒ
ID
ƯỠ
NG
=>
■=>
Z
3 + log23
Mặt khác: ab = log2 3.1og37 = log2 7 => log2414 = 1 ^-ab 3+a
16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3. A = 3m(logs a5 + log5b*) + ^ ( ĩ o g 5a-10 - log5b*)+ logsa " ỉo8sb
.Q UY
= 3m( f logsa + f loSs b j + Y -101og5 a - | l o g 5 bj + logs a - log5 b
NH ƠN
Hoạt ñộng 6:
TP
_ ( 9m . A f3 m 12n A , = | ^ i _ 4 n + lJlog5a + ^ i - ^ - l J l o g 5b
ẦN
HƯ NG
ĐẠ O
-4 n + l = 0 m=— => A không phụ thuộc vậo a,b't> '| _■* . _ »• ^
TR
V5
6m + 12 n + —= 0 m =— 2 33 29 m 1 — - 4n + —= 0 n=D 5 i.2 264
+3
10
=> B không phụ thuộc vào a,b o
00
B
2)
P2
Hoạt ñộng 8:
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
2. Bẩt ñẳng thức ñã cho trở thành: —--°^2 3— + —Ì2ẵ2-k— + — -°^2 c— _ > 3 (*\ log2(b + c ) log2(c + a) Iog2(a + b) 1 1 Vì a ,b ,c> 2 nên —+ — 3 ; x , y , z > l . y + z Z+X x + y
BỒ
1 Thật vậy, - - - - + +.— z - > 3 o ( 2 x + 2y + 2z) y + z z + x X+y x+y
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
1 1 >9. y + z Z+ X
THƯ VIỆN BÌNH ðỊNH
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho v ế trái, ta ñược ñiều phải chứng minh. f x ,y ,z ằ l ðăng thức xảy ra khi í tức a = b = c = 2. [x = y = 2 Hoạt ñộng 9: => loga a2 = loga (c + b)(c - b)
2 = loga (c + b) + Ioga (c - b)
.Q UY
I. Từ giả thiết, ta c ó : a2 + b2 = c2 a2 = (c + b ) ( c - b )
l o Sí(c í c-b - b)2 = -— - — - + -— -----og20iz >/ãb = |( l o g 20i 2 a + log20i 2 b)
ẦN
^ l°g 20i 2 ^
( a > 0 ,b > 0 )
TR
3. Giả sử cả ba số ñều lónhơn 1=> log2012a,log2012b,log2012C>0
= a b ^ l o g 2012^ p = ỉ( l o g 2012a + log2012b).
P2
4 .T a c ó : Ị ^ ~
+3
10
00
B
1 1 1 9 =>logabc2012 = — - -------+ ——^--- + — ----- > —— - — ■^Oê 2012a ^°§2012^ ^OỄ2012C ^82012 a^*c ^ l o g abc2012>91ogabc2012Ịogabc2 0 1 2 < 0 = > a b c < l vô lí.
CẤ
Hoạt ñộng 10:
-L
Í-
HÓ
A
a3 + b3 + 7(ab2 + ba2) ðặt a =2*,b = 2y với a > 0 ,b > 0 . Khi ñ ó : p = ----- ------ T=L==----- íabva + b Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cả tử và mẫu
TO ÁN
a3 + b 3 + 7^ab2 -t-ba2Ị = (a + b)Z a + b + - ^ - j > 4 ( a + b)2>/ãb. a b V ^ T b 5"= ^ y ^ 2 a b ( a 2 + b2) <
NG
Suy ra p > 8 ^ 2 . Vậy, min p = 8 ^ 2 , khi a = b tức X = y .
BỒ
ID
ƯỠ
D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bài tập 1:
1. Gho a,b,x>0; b ,x * l thỏa mãn: lòg„ — Ị . 3
= logvVã + — -—- . logbx2
18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
„ 2a2 + 3ab+ b 2 , Tính giá trị của biểu thức: p = ------- ---—ì— khi a > b. (a + 2b) Bài tập 2: 1. Tìm các sô' thực a,b thỏa mãn ñổng thời hai ñiều kiện sau: Í2az + 5ab+2b2 —3 = 0
a‘ [2 1 g (a - 3 b ) -lg 4 = lga + lgb
.Q UY
Í2a+3b = 21
■|l o g 3(a + 2b) + 21og3(b + 2 a ) = 5
ĐẠ O
TP
Bài tập 3: Chứng minh các ñẳng thức sau vói ñiều kiện các biểu thức luôn tổn tại.
„ 21og2 2az + 2log2^log2Zil^ .lo g 2 a + log* a* - 2
6
a
Iog2 2a ,
1
1
2 1
/
TR
ẦN
3. ----------4--————K..H----- ---- = 1, log2 n! log3 n! log„n!
HƯ NG
1. (log£ a ị 2 log* a + logba )(loga b - logabb) - logba = 1
10
P2
CẤ
Bài tập 4: Chứng minh rằng: 1. Vói a,b,c > 0,abc * 0 luôn có :
+3
, , ■> . „ n (n -l) 5. logjja + log a +... + log an ^ — L 21ogax
00
B
„ , \ logab + log X 4. log (bx) = - ; a - 63 l + loga X
A
lo g a d .Io g b d + lo g b d .lo g c d + lp g c d lo g a d .= -° g-? d -l0 g fr dj lo g c d
HÓ
ỉo g a b c d
Í-
2. Với 0 < x1>x2,...xn 5*1 luôn có :
TO ÁN
-L
a. logXl x2 logX2 x3 logX3x4....logXn l xn logXn Xj = 1
Bài tập 5:
Ị
~J
l°g xaa
ỉogX2a
l
“
logXna
NG
b - l ° S x 1X2~xn a -
ƯỠ
1. Cho a,b,c > 0 theo thứ tự là ba số hạng liên tiêp của một câp số nhân. Chứng
ID
minh rằng: 31og2a + 2 log^- c = l o g b3.
BỒ
2. Cho a, b, c , x > 0 ; x * l . Chứng minh rằng: logx a, logx b, logxc theo thứ tự lập thành cấp SỐcộng khi và chỉ khi a,b,c theo thứ tự là cap số nhân.
19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ta luôn có: iogby = 2lQgạx-lo8ẹz_ b logax + logcz
NH ƠN
3. Chứng minh rằng: nếu logx a.logy b,logz c theo thứ tự lập thành cấp sô' nhân, 0 < a .b ,c ,x ,y ,z * l.
TP
.Q UY
4. Chứng minh rằng: nêìi 0 < N * 1 và a,b,c theo thứ tự lập thành cấp sp nhân, log, N lo g ,N -lo g hN „ , ta luôn có : 7 - " - = 7 " 7 V M’ 0 < a .b. c * l . logc N logbN -lo g c N
HƯ NG
Bài tập 6: Cho các số thực à,b > 1 . Chứng minh rằng:
1. V t a l + V t a b ^ l n —
2. alogbC+ blt>8ca + cl08ab > 3\/ãbc
00
_ u =ab
+3
10
a + 2b . /—r~ r a "*■ l-lo g x- ^ = l o g xV a b o | ^ p
B
TR
E. HƯỚNG DẪN GIẢI. Bài tập 1:
ẦN
- r.------n-----r [, a+ b 3. > g 2a + > g 2 b < 2J lo g
29 36'
HÓ
A
CẤ
P2
az -5ab + 4b z = 0 o a = 4 b (dọ a > b ) =>p = Bài tập 2: 1.a. a > 3 b > 0 . Ta có:
ĐẠ O
5. Gho a,b,c là ñộ dài ba cạnh tam giác AABC với 0 < c - b * l và c + b ^ l . Chứng minh logc+b.a + logc_ba = 21ogc+balogc_ba AABC vuông tại c .
( a - 3 b ) 2 = 4ab
Í-
2 lg ( a - 3 b ) - lg 4 = lga+ logb lg (a -3b )2 = lg(4ab)
TO ÁN
-L
Í2a + 3b = 21 Í2a+3b = 21 Ja = 9 Ta có hệ ẹ: | a 2 - lOab+ 9b2 = 0 ° Ị ( a - b )(a - 9 b )= 0 ^ \ b ==1' a + 2b - 3
o
2a + b = 3
ii tập 3:
ID
ƯỠ
NG
b. r
4373 81 2185 b=81 a=
BỒ
(log* a + 21ogba + l ) ( l - l o g ba.logabb) -lo g ba' , =(logba + l )
^
1-
1 'ì 2 -lo g ba = ( lo g ba + l) 1 — -logba !ogaab, l + loga b
20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
= (logba + 1)2.[ 1 - - i 0i .ba- i - logba = logba +1 - logba =1 ^ logba + i ; =6j
a
■"
g2
n(n
1)
Ỉ
.Q UY
2 2 i 41ogza + 2( 1liggzgjjggi.a + 41o§2a - 2 log’ 2a
I
l + logax
5. logx a + Iogx a2 +... + logx an 2
n1 + 2 + .., + n
logax
logax
---------- ----- = -----:----—------- = — ---------
logax
logax
Bài tập 5:
21ogax
ẦN
1.Ta có:31og2a + 21og^c = lo g^ b 3
HƯ NG
1
= ---------+ ---- +
ĐẠ O
logaax
TP
3. Iogn! 2 + Iogn! 3 +... + Iogn! n - logn! (2.3...n) = 1 4.
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
TR
Iog2a3 + log2 c3 = log2b6 c> a3c3 = b6 •» ac = b2.
B
logx a + logx c = 21ogx b logx ac = logx b2 ac = b2.
1
2___________
loga(c -b )~ lo g ,(c + b ).lo g a( c -b )
P2
loga(b + c)
+3
1
10
5. iogc+ba + logc_ba =2 iogc+ba logc_ba
00
2.
CẤ
o lga (b + c) + loga ( c - b ) = 2 0 log, (c2 - b2) = 2
Í-
HÓ
A
o c2 - b2 = a2 o c2 = a2 + b2 o AABC vuông tại c . Bài tập 6: + > / ĩ ^ á • y / Ì Ợ n ã ĩĩ ĩ ^ = >/ 2 Ĩ r ^<
j = 2 1j ì r ĩ ^
TO ÁN
-L
1.
ðẳng thức xảy ra o a - b . 2. Ta có: alogbC = clogba =>a‘°8bC+ clogab = clogba + clogab > 2Vclogba+,ogab > 2c
NG
Tương tự: alogbC + bIogca > 2a; blogca + clogab > 2b
ƯỠ
Cộng ba BðT trên lại với nhau, ta có:
BỒ
ID
alogbC+ blogca + clogab > a + b + c > 3 ^ . ðẳng thức xảy ra khi a = b = c
21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
HÀM số LŨY THỪA - HÀM s ố MŨ - HÀM SỔ LOGARIT
NH ƠN
§ 2-
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẨN ðẠT.
.Q UY
1! Kiến thức:
HƯ NG
ĐẠ O
TP
- Nắm ñược tính châ't của hàm số mũ, hàm số logarit, công thức ñạo hàm của hai hàm số trên. 2. Kĩ năng: - Vận dụng công thức tính ñạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit. Bí LÝ THUYET GIÁO KHOA. 1. Hàm số lũy thừa
TR
ẦN
a j ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng: y = xa , a e ® b. Tính chất: I* Tập xác ñịnh: • Nếu a là số nguyên dương thì tập xác ñịnh là M • Nếu a nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác ñịnh là R \ {o}
00
B
• Nếu a không là sô'nguyên thì tập xác ñịnh là (0;+oo)
P2
và (í/u (x )\' = — J x=::r - . [SI K n -^ Õ Õ
CẤ
ðặc biệt:(\ZxV = —- i = 1 ’ n .^
+3
10
* ðạo hàm : Ịx“ j' = a.xa_1 từ ñó suy ra:Ị(u(x))a j' = a u '(x ).(u (x ))a 1
Í-
2. Hàm số mũ
HÓ
(Oi+oo) nếu a < 0 .
A
* Tứih ñơn ñiệu: Hàm ñổng biên trên (0;+oo) nếu a > 0 và nghịch biên trên
TO ÁN
-L
a. ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng y - ax, trong ñó a > 0 gọi là cơ số. b. Tính chất: * Tập xác ñịnh: K * Giới hạn - ñạo hàm
*->0^
X)
x->0 X
ƯỠ
NG
f lỴ ex - 1 * Giới hạn: lim 1 + — = e và lim -----— = 1.
BỒ
ID
® ðạohàm: Ịax)' = ax ln a . Từ ñó suy ra: (auỊ'=-u'aulna ðặc biệt: (exỊ' = ex và ^euj ’ = u'.eu.
* ỊTính ñơn ñiệu: a > 1 thi hàm ñổng biên, nếu 0 < a < 1 hàm nghịch bíêh.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3. Hẩm số ỉogarit
a. ðịnh nghĩa: Là hàm số có dạng: y = loga X, trong ñó 0 < a * 1.
NH ƠN
b. Tính chất: * Tập xác ñịnh là tập (0;+co)
.Q UY
* Giói h ạ n -ð ạ o hàm:
, ln (l + x) x-»0 X
■.
ĐẠ O
i u* * ðao hàm: (log, x)' = —- — . Từ ñó, suy ra: (logau)' = —- — ' xlna 7 ulna
TP
* G iớ i h ạ n : lim — -— —^ = 1
HƯ NG
ðặcbiệt: (lnx)' = — vậ (lnu)' = — . ■ X u
* Tính ñơn ñiệu: Hàm ñổng biên khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1.
ẦN
c. CÁC DẠNG BÀI TẬPTHEÒ CHỦ ðỀ.
TR
1. Tập xác ñịnh của hàm số.
B
2. Tính giới hạn và ñạo hậm.
C H Ủ ð Ể 1 --- —
- - — ---- ---------- -----------------------
P2
o
+3
10
00
3. ứng dụng, chứng minh ñẳng thức - bất ñẳng thức.
CẤ
TÌM TẬP XÁC ðỊNH CỦA *ÀM s ố
HÓ
A
□ Phương pháp:
-L
Í-
* Hàm số y = loga f(x ) xác ñịnh
TO ÁN
* Hàm số y = logg(x) f (x) xác ñịnh o
f (x )> 0 0 < g (x )* l'
NG
* Hàm số y = ( f( x ) )g^ xác ñịnh o f ( x ) > 0 .
ƯỠ
□ Các ví dụ minh h o ạ :
ID
Ví dụ: Tìm tập xác ñịnh các hàm sô' sau:
BỒ
Ịog2 loga ty = v - {-''.'ĩ-
( 2 .V X +1
U 2+ 3J.
V x -1 ln (-2 x + V x + 3 j - ln 3
23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
L ờ ig iải.
NH ƠN
1. Hàm số xác ñịnh khi và chi k h i:
x2 + l
X +1-.-1 _ I I ... > 1 = > 0 < - r ~ - < - < = > X 0 o lo g ! 2 V x2 + s; + 3 J_
log2 i o g 1 ( 4 ± f | Vậy: D = [ - l ; l ] .
TP
2. Hàm sô' xác ñịnh khi và chi k h i:
TR
ỉ
2
00
B
4 ;4,
10
o
Vx *0,y/x
ẦN
ln (-2 x + Vx + 3 j ^ ln3 * 0
9 0 D = 1 X* — 4
x£0
j —s/x - 3 < ọ •
•
HƯ NG
-2x + V x + 3 > 0
ĐẠ O
x>0
x>0
o CHỦ ðỂ 2
.
_
_ ■ "■■■
.
P2
+3
5 _______________ _
CẤ
TÍNH GIỚI HẠN VÀ ðẠO HÀM.
A
□ Phương pháp:
HÓ
* Sử dụng các giói hạn ñặc biệt: lim—-——- = 1 yằ lim——- = 1. x-*0
X
x->0
X.
-L
Í-
eu(x)- i ln ( l + u(x)) Hệquả: lim u(x) = 0=> lim — J—7—= lim - — - : — = 1. x-»x0 v ' x-»x0 u(x) x->x0 u(x)
TO ÁN
* Sử dụng các công thức ñạo hàm
NG
Lưu ý: ðể tính ñạo hàm hàm sô' y —Ịf (x )]8-*^ ta lây loganepe hai về rồi lây ñạo
BỒ
ID
ƯỠ
hàm. Cụ thể: lny = g(x).ln f(x)= > — = [ g ( x ) .ln f( x )] \
□ Các vi dụ minh hoạ : _____ _ Ví dụ 1.2.2 Tìm các giới hạn sau : e V 2x+ l-l _ e ^ l - 3 x - l
A = lim x->0
ln(>/3x+l + l)-ln (V x + l + l ) B= lim— ---------- — ' - ' V- — ■x->0
____________ X
_ _ _
24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
e-V2X+1-1 * V2X + 1 - 1 ,._ J /l- 3 x - l A = Lim—J====—-.lim —7—4— ----- lim~, ■ .lim"->0 l / i - 3 x - 1 x-i.0 X V2x + 1 - 1 x-*õ 1
=
.Q UY
, , „ _V2X S Ĩ+ 1 - 1 Mà lim—;'— -—- = lim - --- - -------= l;lim - — m 0 V2X + 1 - 1 x->o 3/i _ 3 x _ 1 x-io X
TP
Và lim— — *— ■= -1 ■Nên A = 1 + 1 - 2 ■ X
ĐẠ O
x-*0
NH ƠN
Lời giải.
HƯ NG
ln(^/3x+ĩ + lỊ -ln íV x + l + l ) B = lim— — ------------, / * — ---------x->0 X
ln (l + ^ /l+ 3 x )-ln 2 ln (l + V Ĩ + x V ln 2 = lim > ] ------- lim— ------- — ì ------X
x-*0
X
ẦN
x-»0
x-»0
X
X
B
x -*0
TR
ln íl + ì ( ^ l + 3 x - l) ' lnílH-—( V ĩ + l c - l ) ì = lim—-— — —— ■ - / -lim — ----------------------- ^ = 1
x
+3
i( ỉ/ĩĩ3 x -i)
2
2
P2
2"°
10
00
In íl + -f^ /l + 3 x - l ử iA I 2' > ) v l+ 3 x -1 1„, 1 Mà 1= —lim— ^-z-------- — —-------—.----------------------------- —------ = 3.1.1 = ^-.
ln [ l + i ( J Ĩ + ĩ - l ) V c —
CẤ
.
HÓ
1
*
1
TO ÁN
-L
Vậy B = - - - = - . 7 2 4 4 Ví dụ 2.2.2
2 4
Í-
1
i( T ĩĩx - l)
A
2“ “
khi X> 0
có ñạo hàm tại X = 0 .
khi x < 0
NG
í(x + l ) e “x 1. Tìm a ñê’hàm số y = _ ~ (y/l + a x - y / c o s x /X 0
BỒ
Lời giải.
,ín+\ y (x )-y (0 ) (x + l ) e ' x - l . y (0 )= lim ± ì - L - ỉ ± - L = -ịim*— — ------- = lim v
'
x->0+
X
x_>0+
X
x->0+
e x-
e_x - 1 -X
25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
y (x )-y (0 ) -x 2 - a x + l - l — — = l i m -----------—------- -
'
x-»0_
X
x->0~
/ X ' lim ( - x - a ) = - a
X
x-»0“
NH ƠN
,r~-\
y (0 ) = lim
Hàm số có ñạo hàm tại x = 0 « y ' Ị o +Ị = y'Ị(r)a = 0 .
v
..
>/1+aAx- ự c õ s Ãx _ a
,■
= l i m ------------— --------— = - và
J x-»0~
Ax
y (0 -]= ' ’ x“ó+
3
TP
,(n- \
ĐẠ O
,, ,
M ăt k h ác : V (0
.Q UY
2. Hàm sô' có ñạo hàm tại X = 0 khi nó liên tục tại X = 0 . Khíñỏ lim y ( x )= lim y ( x ) = y ( 0 ) o b = l x->0_ x-»0+
Ax
HƯ NG
Hàm số có ñạo hàm tại x = 0y'Ịo_ j = y 'Ịo+j o a = 6
ẦN
Vậy a = 6,b = l thoả yêu cầu bài toán. C H Ủ ð Ể 3 __ _______ _________
- _________
TR
o
B
ỨNG DỤNG - CHỨNG MINH ðANG THỨC - BẤT
00
ðANG
+3
10
□ Các ví dụ minh hoạ :
.
t h ứ c
P2
Ví dụ 1.3.2 Chứng minh rằng hàm số :
A
CẤ
'l.y = ln—-— thỏa mãn phương trình: y ' ( l - x ) 2.ey = 1 , V x e ( 0 ; l ) . 1 *“ X
HÓ
2.y = x[3 co s(ln x ) + 4 sin (ln x )] thỏa mãn: x2y " -x y '+ 2 y = 0
Í-
Lời giải.
-L
I
TO ÁN
1. V x e (0 ; l),ta c ó
^
}
=
_JL 1 —X
= — -—?•—■-—=
(1 -x )2
X
x (l-x )
:•
BỒ
ID
ƯỠ
NG
./1\2 V 1 - x lnirr 1 - x X . Suy ra y (1 —X) ey = ------ e 1-x .= -------- .--------= 1. . v ' X X 1 —X
r 3 4 2 , Ta có: y' = 3cos(lnx) + 4sin(Inx)+x - - s in ( ln x ) + —cos(lnx) j
X
X
7 y' 7cos(lnx) sin(lnx) =>y"=—-sin(lnx) X =
+
+
1 cos(lnx) X
—
2f3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
Doñó: x2y" -xy'+ 2y = x2 sin (ln x )+ ỉc o s{ln x ) L X X ' . -x [7 c ò s (ln x ) + sin (ln x )] + 2x[3cos(Inx) + 4 sin (ln x )] = -7 x sin (ln x )+ x c o s (]n x )-7 x c o s (ln x )-x s in (I n x ) +
.Q UY
+ 6xco s(ln x )+ 8 x sin (Ịn x) = 0.
(x >0,x
* l) . Giải bất phương trình: y ‘/x2 + l j . Giải phương trình: 2 x y '-l = 0 .
ẦN
Lời giải.
TR
1. X>0,X *1
=>y ' = ln2.r——V——1 ^ In X )
00
lnx
B
Ta'có: ý = xlògx2 = x .- ^ - '= lnx
^ Ị < 0 l n x - 1 < 0 o l n x < 1 « • 0 < x < e V In X ) Vậy bât phương trình cò nghiệm : 0 < x ^ e v à x & l .
+3
10
y '< ọ = > ln2.
P2
.
HƯ NG
2. y = é"*2+x. Giải phương trình: y ”+ y '+ 2 y = 0.
CẤ
2. y ' = (~ 2 x + i)e" x2+x, y ” = [ a x * - 4 x - l)e" xỉ+x
HÓ
A
y ”+ y '+ 2y = 0 » (4x2 - 6 x + 2)e~*2+x = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 » X=—,x = 1 (x + Vx2 + l j ’
1
Khi ñó: 2 x . y 1 = 0 o
>/x2 + l
-L
x+V x2+ l
Í-
3 .y ' =
TO ÁN
f X>U x>0 1 2x = ỵjl + xz • 7 : 7 ^ X= 7=r . 4x = l + x V3
ƯỠ
NG
Ví dụ 3.3,2 Xét tính ñơn ñiệu của hàm s ố : y = ln ( - x 4 - 3x2 + 4 j Lời giải.
ID
Hàm số ñã cho xác ñịnh khi và chi k h i : -X4 - 3x2 + 4 > 0 « - 1 < x < 1 .
BỒ
^ -4 x 3 - 6 x _ 2 x (2 x 2 +3) Ta có : y = — —-— r— - = -y- —5— -X - 3 x + 4 X +3x - 4
27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Trên khoảng ( - l ; l ) : y ' = 0x = 0
NH ƠN
Lập bảng biến thiên, ta thấy: hàm số ñổng biên trến khoảng! (—1;0) và nghịch biên trên khoảng ( 0 ; l ) .
.Q UY
Ví dụ 4.3.2 Chứng minh rằng:
ĐẠ O
2. Với mọi số thực X ta luôn có: ln Ị l + V l + e2x Ị< e~x + X .
TP
1. Phương trình In(x + l ) —In(x + 2)n— - — —0 không có nghiệm thực.
HƯ NG
Lời giải.
1. Xét hàm sô': f(x ) = ln(x + l ) - l n ( x + 2) + ———, xác ñịnh và liên tục trên khoảng
rr-
' cư
1
\
1
ẦN
(-l;+oo). 1
1
TR
Ta có f (x) = — ------- ----- ---- — T= 7 X+ 1 x + 2 (x + 2)(x + l)( x + 2)
1
n \_ ,
.
W------- r-------- —T5->0,Vx>-l (x + 2)2
B
=> f(x ) liên tục và ñổng biên trên khoảng (—l;+oo) yà lim f (x) ——00,
10
00
x - + -i+ : ■
lim y (x )= lím (ln(x + l) - ln ( x + 2))= lim ln ^ - ii = ln— - l .
x->+eo
+3
X->+°0
CẤ
Vậy phương trình cho không có nghiệm thực
A
2. ðặt t = ex bài toán trở thành " Chứng minh rằng Vt > 0 luôn có
Í-
HÓ
l n Ị l + V l + t 2 j < ì + lnt".
-L
Xét hàm số f(t) = ln Ịl + Vl + t2 j - —- ln t với Vt >0 , rtf \
2t
TO ÁN
_
s
1
Vl + t2 - t
u
y
„
x (t)
NG
T acó f
1
BỒ
ID
ƯỠ
ñổng biên trên khoảng (0;+oo) I-
l + Vl + t2
. ..
. l + Vl + t2
Mặtkhác l i m — —---------= 1=> lim ln----- — —
t-»+co
Suy ra lim ln
t
1 + V ĩ+ t
t
n
J
=0
lim —=0 ñiều này chứng tỏ hàm số y = f(t)
nhận Ox làm một tiệm cận ngang Đóng góp PDF bởi28 GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ta thây y = f(t) ñổng biêh trên (0;+oo) và hàm sô'có tiệm cận ngang là ý = 0 Vt>0
ị
Ví dụ 5.3.2 Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn
X+y
NH ƠN
khi t ->+00 nên f ( t ) < 0
+ z = 3. Tìm giá trị
I
.Q UY
nhỏ nhất của: p = ---- y --------- r---- + —■ y ■——+ ----------7----- r—4 + 21n(l + x ) - y 4 + 21n(l + y ) - z 4 + 21n(l + z ) - x t ờ i giải.
TP
Giả thiết 0 < x,y,z ẩ 3
ĐẠ O
Suy ra 4 + 21n(l + x ) - y > 0, 4 + 21n(l + y ) - z > 0 và 4 + 21n(l + z ) - x > '0 .
HƯ NG
Theo bất ñẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có: 4 + 21n(l + x ) - y + 4 + 21n(l + y ) - z - 4 + 2 1 n ( l + z ) - x ' bieu
TR
ẦN
d ạ n 8 : P ì12 + f ( x H < y ) + f Ị »
thưc CO
B
Xéthàm Số f( t ) = 21n(l + t ) - t , t e[0;3], CÓ f'(t) = Ị
10
00
Lập bảng biến thiên hàm f ( t ) , với t e [0; 3] suy ra 0 < f ( t ) < 2 1 n 2 - l .
P2
+3
Do ñó P ì 1 2 + f ( x ) +9f (y ) * f (z) a 3 + 21n 2 ■
CẤ
VS>'m in P = 3 Ĩ 2 Ĩ S 2 - khi X=J,“ 2 = 1 -
HÓ
A
Các hoạt ñộng cơ bản :
Í-
□ Hoạt ñộng 1: Tìm tập xác ñịnh các hàm số sau: 2. y = ^lnỊx + Vx2- 4 j
-L
=
\l3x-2
TO ÁN
_____
,
NG
3 .y = ( > / 7 T Ĩ - 2 V " H V /
4. y -
f
Ạ.
» -Ị -Ỵ
VX +6x + 8y
6.y = V 4 -x 2 +log2^ ỉ X4* i
I
ID
ƯỠ
5. y = log2(4x - l ) - l o g i ( 4 - 4 x) *5 . 1
'
BỒ
7. y = Vx2 - 4 x + 3 - l o g x( x - - 4 ) 8. y = l n ị ' J x * + ĩ - x j Ặ o g 2^ ~ 9. y = (x2 + 2f 0gxH v '
Jx +2x 3))
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
10. y = >/5x-2x2 - 2 + ln—2^— X -1 29
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
11. y = a/x2 - 4 x +3 log2( 2 5 - 4x2j
NH ƠN
12. y = log2x+i (3x + 1 ) - 21og3x+1 (2x + 1 ) ; 13 . y = l o g ^ ( l - V l ^ 4 7 )
^3
^ -m ~ x~ +Tl x2
3
v2
x2 - x + l
2. y ~ l o g z (2x2 +3x + 2 m - l )
TP
2a
3. y = log3
ln ( l + x3ì A = li m - 7 4 = — X-*0'Vv Ẵx ++1l — - 11
e 3*
G = Iim - -
f e 3lỉ_ e 2x
^V x+4-2 4
ĩỊ x
-2 7 + 3
“ sin3x
c = l im ------ 7— --------- -Y -
10
x~*° ln(x - X + 1]
+3
g2x+l _ g 3 x + l
P2
D = lim
e^ ĩ ĩ _ j ỉ ĩ = ĩ í
E = Iim
HÓ
n
A
x->0
CẤ
x->0
, :„ e 2x2- x - í ^ m
F = lim
—~ị—ị=
= = — r
Í-
x^° ln|v3x + 4 - l j
-L
-
X
ex - 1
H = lim
TR
x-*0
e 4- 3* . - ^
_ ebx
*“ Ò V x + ĩ - l
B
B = lim
ẦN
x-*0
00
1
x2 +3
HƯ NG
□ Hoạt ñộng 3: Tìm các giới hạn sau:
xz + 2 m x + m + 2
ĐẠ O
mx +l , I'^x2A 1. ỵ = ln -~2 X —X+ 1
.Q UY
□ Hoạt ñộng 2: Tim m ñể hàm số sau xác ñịnh ýới Vx e K
I = lirrif —
—
x-*°\sin X
1 ì l n í l + ta n 2 x ì
)
'
'
J = i i m ^ X£ - ~-1 ,(a>Q ) x->0
X
ax - x a K = lim ----- — x-»a x - a
_2
/
^ \C 0t X
L = lim (l+ X ) X-VÕV
/
TO ÁN
2X+1
M = lim
V - X + l V 3*
x-»0
^X2 +X + l J
NG
□ Hoạt ñộng 4:
a- y H
BỒ
ID
ƯỠ
1. Tính ñạo hàm của hàm số tại X= 0 1 với X= 0 1 -co sx
với X* 0
ln(cosx) b. y =
với x * 0 với x = 0
301 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
X2
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
X2
a. y = V2x3 + l
ì;
b. y = \/ĩn x
ị. y = ln(3x2 - 2 x + l Ị + 2 x
c. y = 1\/sin3x sysmáx
k. y = >/e2x+1- e x + 3
Ị. y = log2^2x2+ 3j+log37 x + 1
ẦN
?
e. y = log3(3x2 + 2x + lj
X
TR
m. y = ^/ln(x+ 1 ) + logx ( x + 3 )
, _ oì (X - 2 x + 3 f. = 21nJ-^— f-yy =21n\ Ễ ^—— ặ— V X +2x+3
00
B
o .y = 3 — ~ * Vx-1
p. y = (x + l ) x+z
10
x +33x- 1
+3
g .y = e ^
ĐẠ O
HƯ NG
_ 2X- 1 i y
y = ^ n l . i o g Í - - x- -ì X {x - 4 j
TP
3. Túứi ñạo ham các hàm số sau:
.Q UY
fex khi x > 0 2. Tim a ñê ham so y = < c ó ñ ạ o h à m tạ i,x = 0 . (X + ax +1 khỉ x < 0
NH ƠN
— In x -— nếux>0 c. y = 2 4 0 nếu x - 0
CẤ
□ Hoạt ñộng 5: Chứng minh rằng:
P2
h. y -^ I n (2 x 3) - l
A
1. Nếu y = esi"x thì y'cosx - y .s in x -y " = 0.
HÓ
2.Nêu y = ln(cosx) thì y 'ta n x -y " - l = 0.
Í-
3. Nếu y = xex thì y 2 y ’+ y = 0.
-L
4.N êu y = exsin x thì y " -2 y '+ 2 y = 0 . Nêu y = xl nx thì x2y " -x y '+ y = 0 .
TO ÁN
5.
6. Nêu y = e x cosx thì
+ 4y = 0
NG
7. Nếu y = e 2xsin5x thì y " - 4 y ’+ 2 9 y =0 y +y y y
" > 0, Vx e R .
ƯỠ
8. Nếu y = X.e“x thì x y ( l - x )y = 0;
BỒ
ID
9 .Nêu y = — 1------ thì x y ’ = y ( y l n x - l ) 1+x+lnx 3 u } 10.
Nêu y = — + —x\!xz + l + ìn'Jx + yjx2 + 1 thì 2y = x y '+ Iny ’
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
11. Nêu y = (x 2 + l ) ( e x + 2 0 1 2 ) thì y ' = 4 ^ - + ex (x 2 + 1 )
NH ƠN
12.. Nếu Nếu y = yl =* “77^~-7 ' = 2x2y 12 r ~ ~thì T 2x2y thì 2x y' =2 + 1 x(l-ln x)
3
□ Hoạt ñộng 6:
số y = ln£ex ị x 2 + 1 ) j .
.Q UY
1 . Cho hàm
TP
a.. Giải phương trình yy'+ '+ Ịx íx 2 + llỊy " = 0.
ĐẠ O
b. Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhât của y '.
2. Cho hàm số y = In2 X. Giải bâ't phương trình y + x y x 2y " < 3:
HƯ NG
3. Gho hàm số y = e~x (x + 1)2 . Tìm các giá trị của X sao cho:
ẦN
2y+y,+y"+y' - 1 = 0 ’ 4. Q io hàm số y = ln(x + 1 ). Túih ñạp hàm câp; n cua hăm số.
B
TR
5. Cho f(x) = — + —xylX2 +1 + —lnỊx + Vx2 + 1 j . ðặt g (x }= ln |f(x )|
10
00
Chứng minh rằng: g (x) = - ----xf(x) \ X ñổng biến trên khoảng (0;+co).
123 +3a —2a—2ị
CẤ
P2
+3
□ Hoạt ñộng 7: 1. Xác ñịnh a ñể hàm số y = log/ 3 2
2 . Xét tính ñơn ñiệu của các hàm số sau:
b. y = 5x ỊVx2 + l - x j
HÓ
A
a. y = 2 x - - l n ( l + x2)
d. y - e3*2-2*-1
-L
Í-
c. y = x + l n ( l - 2 x )
TO ÁN
□ Hoạt ñộng 8: _ , ì lnx 1 1. Cho 0 < X 1. Chứng minh răng: ———< —f=
x -1
VX
BỒ
ID
ƯỠ
NG
' ■ V ' ■ X2 ' 2. Chứng minh rang: 1 —X < e x < 1 - X+ — luôn ñúng Vx e [O; 1 ]. Từ ñó suy r, -X 2
4
rằng: - x < ------< l - x + —7 --— - luôn ñúng V x e Ĩ 0 ; l l . 6
X + 1
2(1 + x)
„
X—V
3. Cho 2 sô thực x ,y thỏa mãn X > y . Chứng m inh:---- —>
ex —ey ex + e y
32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
□ Hoạt ñộng 9: 15 5X- 1
4 V5X+ 5 “x + 2 ,
+ 6 . Tìm giá trị lớn nhâ'tỊ và nhỏ
5X+ 1
NH ƠN
9 5X+ 5~x - 2
1 . Cho hàm sô': y = —
nhâ't của hàm số trên ñoạn [ - l ; l j . + Ị 2 - V 3 Ị —8 Ị 2 + V3 j + ^2 —-s/3 ^
nhỏ nhất của hàm số.
.Tìmgiátrị
.Q UY
2. Chohàmsô': y = ^2 + \/3 j
2
^ 7 -2 x 2j + log
2 (2x2-. 1
) Tìm các giá trị của X
ĐẠ O
3.Chohàmsõ': y.= Ịog
TP
Ị
ñểhàm số ñã cho ñạỉ giá trị nhỏ nhâ't.
HƯ NG
HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ðỘNG.
.*
______________-_______ •____ ___ ______ _______ ;_______ m_________■___________1
X—1 X> i
c=> 1< X < 2=> D = (l;2]
TR
ln— >0 X—1 . x - 1 >0
ẦN
Hoạt ñộng 1:
00
B
x>2 .2
--
x>2 '2
|x 2 - 4 > ( l - x )
CẤ
7 x2+1 - 2 > 0
3x-2>0
Jx 0 X+ Vx2- 4 > Ị o
« - x > > / 3 = > D = £-\/3;+co).
f-2 x 2 + 5 x - 2 > 0
TO ÁN
X2 - 1 > 0
ị x2- 4 x + 3 > 0 o NG
11.
BỒ
ID
ƯỠ
2 5 - 4 x 2 >0
12.
Í0 D = (l;2l. X < —1 v J X>1
x>3 X- 1
o --< x < l= > D =
5 5 ——< X < — 2 2
2
■ f:1
[x> -i 1 "l 3 =>D = -±;+00 . 3 ) x*0
33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2 X> - — 3
Í 0< 3 x + 2 * 1 13/---- —T «1 1 [ l - v l - 4 x >0 x * ~ ; X 5*0 3
NH ƠN
D=
2 ...
1. Hàm sô' xảc ñịnh với Vx e M r
3
,,:!C - 1 i í
- X2 - X+ 1
[X2 - (3m - 2)x +1 > 0
(!)
VxeM. (2)
2
TP
X —X+ 1
ĐẠ O
X -m x + 1
.Q UY
Hoạt ñộng 2:
ÍA, = 9m2-1 2 m < 0
VxeR j 1 ' [x + ( 2 m - 3 ) x + l > 0 [a 2 = 4 m 2 - 1 2 m + 5 < 0
HƯ NG
,
4 " . . 3 1 4 1 4 —< m < —. Vậy -r < m < —là những 2 Ìả trị cần tìm _■ 5 2 3 ■2 3 66
i2
■
2
-
-
10
00
Hoạt ñộng 3 :
TR
1
B
<
ẦN
0
CẤ
P2
*->°V x + l - l
A
H = lim -— -lim (V x + l + l ) = 1.2 = 2. Vì lim - — - = 1 X— >0 X x->0V / x-»0 X
Í-
HÓ
I = limí —\ --- 1 )ln ( l + tan? x ì = lim cot2 XIn f 1 + tan2 x ì x-^vsin X / ' x->0 '
ln (l + u(x)) -ị =1. x-»x0 u(x)
-L
ln (l + tan2x)
'
I = l im— -— — ----- £ = 1 . V Ì lim - -i-
tan X
TO ÁN
x-*°
BỒ
ID
ƯỠ
NG
* (1 + x)“ - 1 = ealn(1^ - 1 - ( 1 + x )a ~ 1 _„ealn(Ux)- l a l n ( l + x) X a l n ( l + x) ’ X ealn(l+x ) _ 1 a l n (1 + x )
J= ]im x->0 a l n ( l + x)
= a.
X
* ạ x - x a = a a(ax' a - l ) - a 3
x _ a I 1+- — I -1 ..
34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
a x- x a -= aa a - - a„ a - l x -a x -a
x-a \a x -a \a
l +í z i K = aa lim -------- - - a a_1 lim
-1 - = a3 l n a - a a 1a = a a In-
TP
X—a
x-»a
a
:
3 a
(2x3+ i ) ’
6x2
5.^(2 x 3 + i )4
5.^(2 x 3 + i )4 '
ẦN
HƯ NG
ĐẠ O
Hoai ñộng 4
;
B
TR
~3xẩÕ ™ f 3cos 3x
10
(3x2 + 2x + l)ln3
HÓ
^3xz + 2x + ljln 3
6x + 2
CẤ
^
A
(3x2 + 2x + l)'
+3
5
1 _ ln2 xln5 - x l n 5 ( l n 2 - l n 5 )
P2
1 1 ^y' =XỊn;2 v5y
00
lO.v^siĩv^Ix d .y = |j
.Q UY
/
Ji->a x - a
-1
NH ƠN
1+
TO ÁN
2x -2
-L
Í-
f. y = ln -^2 — — —ì = ln(x2 -2 x + 3 ) - ln Ị x 2 +2x+3^ X "I"2x "t"3 J ^ ~ x2- 2 x + 3
ƯỠ
ID
.
4 x 2 -1 2
X2 +2x + 3 ~ X4 +2x2 +9
Ịựx2 + l - x j + 33x' 1( 3 x - l ) ' l n 3
NG
g. y' =
2x + 2
2x
i ì + 3 3x l n 3 _
3^/(x2 + l )
BỒ
Hoạt ñộng 5 :
1. Ta có y' = cosx.esinx =>y" = -sin x .esinx +cos2x e sinx => y " = - s in x.y + cosx.y' =í>y 'COSX- y.sin X- y " = 0 (ñpcm).
35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Hoạt ñộng 7 :
« (a - l)( 2 a 2 + 5a + 3 ) > 0
2a3 + 3a2 - 2a - 2 > 1
(a - l) ( a + l)(2 a + 3 ) > 0
x=2 1• X= —
HƯ NG
, „ 5x 2x - 5 x + 2 , r, 2a. y = 2 - - j —- = ..- 2 ; - ^ y ' = 0 o X +1 X +1
ĐẠ O
TP
o - T < a < - 1 hoặc a > 1, 2
.Q UY
1. Hàm sô' ñồng biên trên khoảng (0;+oo)
NH ƠN
2. Ta có: y' = —t anx=>y" = —1 —tan X = - l + y'.tanx = > y '.t a n x - y " - l = 0.
Lập bảng biên thiên, ta có ñược :
V
TR
\
ẦN
và (2;+ 00 )
Hàm ñổng biện trên mỗi khoảng
10
= - 1 =5XỤ x 2 +1 - x j ln5V’vX^ +1 7 77+1
P2
+3
2b. y' = 5x]n5ỊVx2 + l - x j + 5
00
B
Hàm nghịch biên trên khoảng
Ta có:
ln5 > 1 >
CẤ
>/x2 + l - x > V x ^ - x > 0
1
■ln5-
_ => y ' > 0 Vx e M
HÓ
A
X +1
1
==>0 x^ + 1
-L
Hoạt ñộng 8 :
Í-
Vậy hàm sô' ñổng biên trên M .
TO ÁN
1. X > 1, bất phương trình cho tương ñương lnx <
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Xét hàmsô' f(x) = Inx -----pí: v ợ i x > l . ■■Vx
+ 2 V Ĩ - 2V Ĩ n , Ta có : f (xj = -------------- — - < — -— j = — = 0 (do cô si) khi X > 1. 2XVX 2XVX f(x) nghịch biến trên khoảng (l;+oo), suy ra f ( x ) < f ( l ) = 0 khi X> 1 , bất
ñẳng thức ñã cho ñúng. X—1 0 < X < 1, bâ't phương trình cho tương ñương In X > —J = - . VX
Đóng góp PDF bởi 3fì GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Xét hàm số f( x) = I n x - " V
với 0 < X< 1. Tưang tự trên, hàm số f Ị(x) nghịch X
NH ƠN
biên trên khoảng (0 ;l), suy ra f (x) > f ( l ) = 0 , bất ñằng thức ñã cho ñúng. Hoạt ñộng 9 :
.Q UY
1. m iny = y ( - l ) = 2, maxy = y ( l ) = 12
TP
2. miny = y ( ± l) = -1 8
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
|> . —■ với X>0 và y > Ọ. X / . 2x+y ~
TR
2. ỉnf I
ẦN
1 . a^ . d * > a Ì . c ‘ .b - v ớ iỊ “ ^ S C íd ( bc ln a -ln b với 0 < a < b < l . b f . 4 . | 2 a + ^ | < 2b +-4r I với a > b > 0 . 2b Bài tập 2: Chứng minh rằng:
A
1. ex > l + x, V x e M
HÓ
Y2
X2 2x3 4. ln ( l + x ) < x ~ — + ——,V x>0
Í-
2. ex > l + x + — , V x > 0 .
3. l n ( l + x ) > x - - x 2 V x > 0
TO ÁN
-L
Bài tập 3: 1. Cho 0 < k < 1 và a,b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng : + c kA f a k + b k K r bư'k +c" K ( r„k+ ,a „k " ' 1K _ , “— + — ;— + — :— - 0 thỏa a + b = 1 và 1 < k < 2. chứng irunh rằng:
ID
akbk(ak + b k) < 2 3(1 k).
BỒ
3. Chứng minh rằn g: lnỊl + Vl + x2 j < —+ lnx, x > 0
4. Chứngmữứirằng : - x
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
< ln (l + x ) < X, V x > 0
37
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
5. Cho x,a,b > 0,a
\x+b
b . Chứng minh rằng: Ị ——g I
/
\b
> I -g
NH ƠN
t
6. Chứng minh rằng: ị2 x + 3XỊ < ị2 y + 3y ) , X > y > 0 .
.Q UY
D. HƯỚNG DẪN GIẢI.
TP
Bài tập 1:
ĐẠ O
L ab.bc.cd.da > a d.dc.cb.ba « l n ( a b.bc.cd.da)> ln (a ñ.dc.cb.ba) blna + clnb + d In c+a l n d > d In a + c In d + b In e + a In b (l)
HƯ NG
o(d-b)(ln c-ln a)> (c-a)(lnd -lnb)
a ': - l b d ỉ I va ) ) > ~ rí \ lnx . A /, N , ri/ 'v x - l - x l n x Xét hàm số: f( x ) = ———trên (ỉ;+oo) tacó:f (x) = --------- 2 . x -l x(x-l)
+3
10
00
B
rt~ b
TR
ẦN
Nêu c = a hoặc b = d Thì bất ñẳng thức luôn ñúng Xét X é tcc*^aa vvàà bb^* d . c . d ìnc-ìna ^ ]nd-]nb na nb
nghịch biến trên
CẤ
P2
ðặt:g(x) = x - l - x l n x = > g ' ( x ) = - l n x < 0 , V x > l = > g ( x ) ( l ; + o o ) ^ g ( x ) < g ( l ) = 0.
HÓ
A
f'( x)f(x) nghịch biêh trên (l;+°o) . c . d InIn— _a_> _ u
-L
Í-
í c =*f f c> > f f d> vi 1 < { a ,t>,
TO ÁN
£ -1 a
, c
L -1 b
, d d \ ñpcm. bi ị - 1
t-1 Bài toán trở thành chứng minh: In t > 2 -—— với mọi t > 1.
BỒ
ID
ƯỠ
NG
2 .ðặt: t = tx = x + y y = x ( t - l ) - ' ■ X V. X . ■ ■ 2y 2x(t-l) t-1 Do ñó: —- — = ------- — ^-r = 2 — - . 2x + y 2x + x ( t - l ) t +1
Xét hàm sô': f (t ) = l n t ---- -------t > l
w
t+1
38
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
f ( t ) = —- — i - T = - Í L _ l l _ ằ o v t > i t (t+ 1 ) t (t + 1 ) ■
NH ƠN
I
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
=> f (t) > f ( l ) = 0 Vt > 1 hay In t > 2-—- với Vt > 1 ñpcm. -4
_ ,,
»
, ,
. ,
lnb 1+b
lna 1+a
.Q UY
3. Bat dang thức can chứng minh —— r- > ———
Do 0 < t < l = > l n t < 0 = > f ' ( t ) > 0 V t e ( 0 ; l )
HƯ NG
Tn.-': f-rti 7 ( 1 + t2) _ 2 tln t l + t2- 2 t 2lnt Tac0: f (t)= r n\2 t \2 ( l + t 2) t ( l + t 2)
ĐẠ O
TP
Xét hậm sô' f (t) t ) = J— s— ĩ2 -~, o0 b > a > 0 thì ta có
TR
ct \ ỉnb lna . ' — > — — — (ñpcm). w w 1+ b 1+ a 4..Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với
B
f(b) > f ( a )
~ ( 4* + 1 ) ' s (4'’ + 1 )‘
P2
+3
10
00
*+ểjK ẳ'+Ặ ) A
CẤ
/ \ t u \ lnÍ4a + l ) lnÍ4b + l ) blnỊ4a + l j < a l n ^ 4 +lj ———■ —- < — —------L ( ì )
HÓ
l n / V + l)
Í-
Xét hàm số: f ( t ) = ------------te(0;+oo)
-L
4 l ln 4 f - ( V + l ) l n ( 4 t + l ) Ta có : f ( t ) = ----------------------- r----------- < 0 , V t > 0 n ê n hàm số nglìich biến
t^ + l)
TO ÁN
w
-
6
1
NG
trên (0;+co)
BỒ
ID
ƯỠ
lnÍ4a + l ) lnÍ4b + l ) V ậy: a> b>0 := >f(a)< f(b)< = >——------— -=3>(l)ñúng. ã b Bài tập 2: l.Xét hàm sô'y(x) = ex- X- 1 . Ta có: f'(x) = ex - 1 => f'(x) = 0 X= 0. Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x) > f(o) = 0 Vx 6 K .
) 39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
X2 2. Xét hàm số f(x ) = ex - 1 - X - — v ớ i x > 0 , t a c ó :
NH ƠN
X> 0 Vx e M (theo kết quả câu 1) =>f (x ) > f (o) = 0 Vx > 0 ñpcm.
-
.Q UY
3. Xét hàm số f( x ) = ln ( l + x ) - x + - x 2 với x > 0
1 X2 Có f'(x) = — -------1 + X = —— — > 0 V x > 0 = > f ( x ) > f ( 0 ) = 0 Vx >0 = > ñpcm.
TP
Bài tập 3 :
HƯ NG
Xét hàm số y(x) = x“ - a x + a - 1 Ta cỏ f(x) là hàm liên tục trên D = (0;+oo) và
ĐẠ O
1. Trước hết, tạ chựng minh: x“ > a x —a +1 với Vx > 0. Thật vậy:
f ,(x) = a.x ot' 1 - a = a Ị x “_1- l j , V x > 0 = > f ( x ) = 0 o x = l .
ẦN
Vì f ( x ) ñổi dâu từ - sang + khi X qua X = 1 nên f ( x ) > f ( l ) = 0 Vx > 0
a+b
,
V
(*)
+3
10
00
Tiếp theo, ta chứng m inh:
B
ỉ v + b k
TR
Hay xa > (XX- a + 1, Vx > 0. ðẳng thức xảy ra o X = 1.
1
A
I
CẤ
P2
ak+bk> a b .k k 2ak 2bk E}ặt m = ---- ----,x = — , y = — =>xK+ y = , 7-4- , ■ =2 2 ) m m a +b a +b (*) trở thành: x + y > 2 .
Í-
HÓ
Ta có: x = Ịxk) k > 1 + —(xk - l ) ( l )
-L
y = ( y k) è a l + ỉ ( y k - l )
(2)
TO ÁN
Cọng ( l ) và (2) theo v ế ta ñước X+ y > 2 suy ra (*) ñược chứng minh
NG
Áp dụng (*) ta ñược :
í a------k +bk> — { 2 )
+
fb k + ck> ------------{ 2 )
f c k +ak> { 2 J
-ị- -------------
a + bb 2
b+c 2
< -----------1— _
c+ a , — =a + b+c.
ID
ƯỠ
I
BỒ
2. Ta có: akbk(ak + b k) = ak( l - a ) k[a k + ( l - a ) k] = f(a) X éthàm số: f(a) = ak( l - a ) kị~ak + ( l - a ) kJ, a e ( 0 ; l ) ỉ
40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
+ak ( l - a ) k [ka k_1 - k ( l - a ) k-1]
.Q UY
ñược ñpcm. =$ ff'(a) '(a) = 0 < » aa = —. Lập bảng biến thiên ta ñược
NH ƠN
f'(a) = kak 1 ( l - a ) k[ a k + ( l - a ) k] - k a k( l - a ) k 1 [ a k + ( l - a ) k]
TP
3. Xét hàm số: f(x) = lnỊl + \ / l + x2 j - —- ln x , x > 0
TR
ẦN
HƯ NG
ĐẠ O
; (V x 2 + l ) t -, 7 2" TooXt ó f'/vY-Ầ___ # Ị ^ ■ Ĩ/ .4 Ị _= ^ VX ĩ 4-Ịị (, ị . Ị . ; . Vx2 + 1 + 1 X2 X Vx2+1 + 1 X2 X 1 1 X > 0 =í> f ( x )làh àm tăng trên ( 0 ;+õo) f'(x) = x + - y - —— 7= x x Vx2 + 1 . ' r : [ 2 --\ Mặt khác: lim ln— —x t —_ A = 0 = > f ( x ) < 0 , V x > 0 . x-»+co X X V ... . ./ . ■■■• ■ . 4. Xét hai hậm SỐ f ( x ) = l n ( Ị + x ) - x và g( x) = l n ( l + x ) ~ -X
B
/
\x + b
í x+ạ )
, r/ \
/
với x > 0
\
T_\„JX + a )
f '( x ) _ f x + a^ b - a = ln — — + -----f(x ) vx + by x + a
—~
P2
u + b, I x + a (b -a )2
> g '« = -
A
vx + by
"x+a^
CẤ
/ _ \ »_ ' x + a ] b-a x+a
HÓ
ðặt g( x ) = ln
■f(x) = ]n
•I (ữ I _a ị
+3
10
~ ci \
00
V- , ì_
X4" 1
f(x).
- g (x ) > 0, Vx > 0 => f '(x) > 0.
y
U íỉT 1 < 2xy Fi^riYl
ƯỠ
NG
6. Ta có: (2X+3 XỴ < (2y +3y Ỵ 2xy
ID BỒ
1+lf
1+11
ln (l + a x) < —ln í l + ay) X
v
y
/
1+lf
12 ;
W
1+1 f
( 1 ). T rorigñóa = —. w
2
41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Vậy f (t ) nghịch biến trên (0;+oo)mà
X > y
0
NH ƠN
a ^ n a ^ Ị l + a ^ l n Ị l + a*}
> 0 = > f ( x ) < f ( y ) vậy ( l ) ñúng
.Q UY
nên bất ñẳng thức ñược chứng minh.
PHƯƠNG TRÌNH - BÍT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
TP
§3.
ĐẠ O
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:
HƯ NG
- Nắm ñược phựơng pháp giải phương trình, bâVphưọrig trình mũ.
2. Kĩ năng:
ẦN
- Vận dụng thành thạo các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.
afM = b = alogab o f ( x ) = loga b .
00
B
2.
TR
1 .a f(x)= a gWo f ( x ) = g ( x ) .
(1)
+3
4. afW > a gW
10
3.af^ = b g^ • » f (x) = g( x)l ogab.
P2
• Nêu a > l t h ì (l )f (x)>g( x)
Í-
HÓ
A
CẤ
• Nếu 0 < a < l thì ( l )f (x )0,VxeIR
* b > 0 : phương trình ñã cho có nghiệm X= loga b ( 0 < a *1 , b > 0 )
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Phương pháp 1: biên ñô’i, quy về cùng cơ số. 2. Phương pháp 2: ñặt ẩn phụ. 3. Phương pháp 3: logarit hóa. 4. Phương pháp 4: biến ñổi phương trình về dạng tích f ( x) . g ( x) . 5. Phương pháp 5: phương pháp ñổ thị. 6. Phương pháp 6: sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ.
42
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
'
__________ ______________________
BIỂN ðỔI, QUY VỂ CÙNG c ơ s ố .
TP
□ Phương pháp: Ta sử dụng phép biến ñổi tương ñương sạu:
ĐẠ O
|0 < a * r
afM = ag^ a = 1 hoặc
.Q UY
CHỦ ð Ể 1
o
NH ƠN
7. Phương pháp 7: phương pháp lượng giác hóa. 8. Phương pháp 8: tìm tham số thực m thỏa mãn ñiều kiện I. 9. Phương pháp 9: bất phương trình mũ.
[f(x) = g(x)
HƯ NG
Logarít hóa và ñưa về cùng C ơ s ố .
ẦN
rtxì Í0< a*l,b > p Dattợ 1: Phương trình: a w = b o ■, ; Ịf ( x ) = logab
TR
Dạng 2: Phương trình: •
B
áfM = bg^ loga af^ = loga b8^ o f (x) = g(x).logj b
10
00
hoặc logbaf(x) = logbbg(x) x=2 t =X2 —X= —1 2* x = 2_1 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm X = —1, X= 2. Chú ý: ð ể ý bài toần cho không có tham sô' nên ta sử dụng ñiều kiện cho ẩn phụ
TP
chỉ là t > 0 v à ta thâỵ t = —vô righiệm. Nêu bài toán có chứa tham số thì ñiều
2. Phưong trình cho viết lai:
ĐẠ O
1 1 2 Ị : 1 - i > - - « 2 x ‘x > 24 o t > -4 =. $2 . 8 1 18 = (*)
ẦN
ðặt: u = 2X 1 + 1, V = 21 x + 1 ( u , v > l )
HƯ NG
-
kiện ñúng của t: X - x =
B
TR
Phương trình (*) trở thành:
„ í u + 8v = 18 o _ 9 u V u + v| u = v = 2 hoặc u = 9;v =— u + V= uv 8 u + V = ụv
TX-1 + 1 = 2
A
CẤ
P2
Với u = V = 2, ta ñược
+3
10
00
- +- = —
21-x + 1 = 2 2X_1 + 1 = 9
HÓ
Với u = 9;V = 4 , ta ñược 8 2
Í-
X= 1
9 9 o
+1 = — 8
x=4
TO ÁN
-L
Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 1, X = 4 fx>0 x>[ x 2 - 3 > 0 [ỊxỊ> V ã
BỒ
ID
ƯỠ
NG
3. ðiểu kiện ñể phương trình có .nghĩa:
fx>0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Vx =3
/ 2-3, gvx - 3 ^ - 6 =0
x=9
X= 9
Jx2-3
Vx2 - 3 = 1
\2
3
~3 - 6
=
0
NH ƠN
Vx-3 =0
x=9 JC= ±2
.Q UY
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Từ (*), (* *) suy ra nghiệm phưong trình là X = 9,x = 2.
TP
Lờii bình:
= ’(yị3 + ỵl2 )*
+
/ I—
r—\ x
00
B
(V3 + ^ ) X( ^ - V ^ ) X
TR
(5 + 2Vó)X= (Vs + V2)2j = |j>/3 + V2)Xj
ẦN
4. Nhận xét (9 + >/3 + U y / ĩ Ỵ = (>/3 + V2)3
HƯ NG
ĐẠ O
Nêu chứng ta không có ñiều kiện X>\Ỉ3 thi phương trình ñã chd xuâ't hiện nghiệm ngòại lai X =-2!!!
( Ị—
r~\x
1
+3
10
ðặt t = (V3 + V2) , t > 0 = > ( V 3 - V 2 ) = -
CẤ
P2
Phương trình cho trở thành: t3 + 2t2 - 2—= 1 o t 4 + 2t3 - 1 - 2 = 1
HÓ
A
o ( t - l ) ( t + 2 )Ịt2 + t + l j = 0 » t = -2 ( không thỏa t > 0 ) hoặc t = 1 Với t = 1 tức (V3 + V2 )X= 1 = ( ^ + V2 )° , suy ra X = 0 .
TO ÁN
-L
Í-
Vậy, phương trình cho có nghiệm X = 0
o
CHỦ ðỂ 3 ____________ •
LOGARIT HÓA.
ƯỠ
NG
□ Phương pháp: (0 0 |f [g(x) = loga f(x)
Dạng 2: af(x) = bg^ (0 < a,b * 1 ) o loga af^ = loga bg^ « f ( x ) = g(x).loga b
47 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ví dụ Giải phương trình: 3. 8x.5xZ_1=2"3
2. 49.2*2 = 16.7X
NH ƠN
1. X6.5",0gx5=5-S
Lời g iả i.
■
log5(x6.5_logx5Ị = log55_5 hay 61ogs x - ỉo g x5 = - 5
ỉ ị
TP
o 6 ( l o g s x)2 +51ogs x - l = 0 (*)
.Q UY
1. ðiều kiện: 0 < X ^ 1 Lây Iogarit co số 5 cả 2 vê'phương trình cho ta ñựợc:
\
.
'
Với t = —1 tức iog5 X= - 1 o X= 5_1 = ỉ .
...í
1
-
■
■
I
í ■'
'
' '
'Ị
B
í
I.
10
00
Vậy, phưong trìxứi cho có 2 nghiệm: Xe
j
;■ • •
TR
1
Vói t = — tức log5x = —o x - 5 6:=\Ỉ5 6 6
-V
ẦN
5
HƯ NG
1
có 2 nghiệm t = —1 hoặc t = —.
ĐẠ O
ðặt t = logs X, phương trình (*) trở thành 6 t2 + 5t - 1 = 0, phượng trình này
+3
2. Phương trinh cho tương ñương 2* ~4 = 7X~2 (*) I
CẤ
P2
Lây logaritcơsố 2 hai vếphưcmg trình (*) ta ñược:
I
A
log^2x2-4 =log27x-2 x2 - 4 = ( x - 2 ) lo g 27(x-2)(x + 2 - l o g 27) = 0
HÓ
x = 2 hoặc x = iog27 - 2
Í-
Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X = log2 7 - 2, X = 2.
-L
3. Lây logarit hai vế với cơ số 8 , ta ñược
TO ÁN
logg 8 x.5*2_1 = logg ỉ o logg 8 X+ logg 5*2"1 = log8 8"1
NG
X+ (x2 - l)log8 5 = -1 X+1 + (x2 - l)lo g 85 = 0
ƯỠ
|x + 1) + (x + l)(x - l)lo g 8 5 = 0 (x + l ) [ l + (x - l)lo g 8 5 ] = 0
X+ 1 = 0
BỒ
ID
^
X = —1
l + (x - l) lo g 85 = 0 x.log85 = log85 - l
"x = —1
'
■
x = l-lo g s8
Vậy Iphương trình có nghiệm: X = - l , x = 1 - log5 8 .
48 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
o
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHỦ ðỂ 4
NH ƠN
BIẾN ðỔI PHƯƠNG TRÌNH VE DẠNG TÍCH. □ Phương pháp:
_________
TP
Ví dụ Giải phương trình: 4 *2-3x+2 + 42x2+6x+5 = 4 3x2+3x+7 + 1
.Q UY
f(x). g(x) = 0 o f ( x ) = 0 hoặc g(x) = 0
ĐẠ O
Lời giải.
Phương trình chọ 4x2' 3x+2:+ 4 2x2+6x+5 = 4x2-3x+2.42x2+6x+5 + l 4 X2 -3 x+ 2 _
^ 2 x 2 i-6x+5 _
jịX^-3x+2 ^ 2 x 2+6x+5 _ Q
TR
4x2_3ỉi+2 - 1 => X2-3 x + 2 = 0 o X= 1 hoặc X= 2
ẦN
|4 x2-3x+? _ l j | 4 2x2+6x+s —l j = 0
HƯ NG
^
CHỦ ð Ể 5
•
-
■
+3
o
10
00
B
42x +6x+s =1=> 2x 2 + 6x + 5 = 0 , phương trình nàỹ vô nghiệm. Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm X= 1, x = 2. ■ . •.
_ _
___
,
P2
PHƯƠNG PHÁP ðỒ THỊ.
CẤ
□ Phương pháp:
HÓ
A
Giải phương trình:ax = f(x) Ị O o ^ l ) (*) l ) và
Í-
(*) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của 2 ñổ thị y = ax (o 0 .
BỒ
ID
Phương trình cho trở thành: t2 - 2 ( x + 5 )t + 9(2x + l ) = 0 (*) , phương trình này có biệt số A' = (x + 5)2 - 9 ( 2 x + l ) = ( x - 4 ) 2 Vì A '>0 nên phương trình (*) CÓ 2 nghiệm t = 9 hoặc t = 2 x + l
49 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Với t = 2x +1 tức 3X= 2x +1 Xét f ( x) = 3x và g( x) = 2x + l là hàm sô'ñổng biên trên K .
NH ƠN
Với t = 9 tức 3X= 9 => X= 2
Do ñó, ñổ thị của 2 hàm sô' f (x) và g(x) cắt nhau tại hai giao ñiểm có hoành
CHỦ ðỂ 6
_ _
__ _ _ _
_
_ .
■ ■
ĐẠ O
Ò
TP
.Q UY
ñộ X= 0 và X= 1. Như vậy, X= 0 và X= 1 là nghiệm phương trình. Vậy, phương trình cho có 3 nghiệm: x = 0 , x = l , x = 2 :
SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM s ố . • ••
HƯ NG
□ Phương pháp:
ðoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy nhất.
ẦN
Chuyển phương trình ñã cho về dạng f (x) = k
TR
Nhẩm Ị nghiệm X= x0, ta chựng minh X= x0 là righiệin duy nhất.
B
Với X= x0 => f (x) = f (x0) = k , suy ra X= x0 là nghiệm phương trình.
10
00
Với x > x0 ^ f (x) > f (x0) = k , suy ra phưcmg trình vô nghiệm.
+3
Với X < x0 => f (x) < f (x0 ) = k , suy ra phương trình vô nghiệm.
P2
Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x)luôn ñổng biên (hoặc luôn nghịch biên) trên
CẤ
(a;b) thì số .nghiệm của phương trình : f(x) = k (trên (a;b)) không nhiều hơn
A
một và f(u) = f ( v ) < » u = v V u, ve(a ;b).
HÓ
Chứng minh: Ta giả sử f là hàm ñồng biến trên (a;b)
Í-
• Nếu u > v = > f ( u ) > f ( v )
-L
• Nêu u < v = > f ( u ) < f ( v )
TO ÁN
Tính chất 2: Nếu hàm sô' y = f (x) liên tục và luôn ñổng biên (hoặc luôn nghịch biến); hàm sô' y - g(x)liên tục và luôn righịch biêín (hoặc luôn ñổng biến) trên D
NG
thì sô'nghiệm trên D của phườrig trình: f (x) = g( x) không nhiều hơn một.
ID
ƯỠ
Chứng minh: Giả sử f ñổng biêh còn g nghịch biêh trên D và 3x0 e D: f( x0) = g ( x 0).
BỒ
* Nêu X> x0 => f ( x0) > f (x0 ) = g (x 0) > g( x) => PT:f (x) = g(x ) vô nghiệm * Nếu x < x 0 = > f ( x ) < f ( x 0) = g(x 0)P T: f(x ) = g(x ) vô nghiệm Vậy x = x0 là nghiệm duy nhâ't của phương trình f(x) = g ( x ).
50 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Tính chất 3: Nếu hàm sô' y = f (x) luôn ñồng biêh( hoặc luôn nghịch biến) trên D Vu,veD.
NH ƠN
thì f ( u ) > f (v ) < = > u > v ( u < v )
Tính chất 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]và cỏ ñạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f (a ) = f(b) thì phương trình f'(x) = 0 cỏ ít nhất một ngHiệm thuộc
.Q UY
khoảng ( a; b ) .
'
HƯ NG
Suy ra f ( b ) > f ( a ) (hoặc f ( b ) < f ( a ) ) .
ĐẠ O
Khi ñó f ' ( x ) > 0 V xe(ả ;b ) (hoặc f’( x ) < 0 Vx€(a; b)) .
TP
Chứng minh: Giả sử phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm trên (a ;b).
ðiều riàỵ trái với giả thiết f(a) = f(b).
Vậy phương trình f ’(x) = 0 có ít nhât một nghiệm trên (a;b).
TR
ẦN
Từ ñịnh Ịí này, ta có ñược hai hệ quả sau: Hệ quả 1: Nêu phương trình f(x) = 0 CÓm nghiệm thì phương trình f'jx) = 0 có
B
m - 1 nghiệm.
10
00
Hệ quả 2: Cho hàm Số ỹ = f(x) có ñạo hàm ñến câp k Ịiên tục trên (ả ;b ). Nếu = 0 có
+3
phương trình f ^ ( x ) = 0 CÓ ñúng m nghiệm thì phương trình
P2
nhiều nhất là m + 1 nghiệm.
CẤ
Thật vậy: Giả sử phương trình f^k_1^(x) = 0 có nhiều han m + 1 rỊghiệm thì
A
phương trình f'(x ) = 0 có nhiều hơn m nghiệm, ñiều này tó i với giả thiết bài toán.
HÓ
Từhệquả2 => nêu f'(x) = 0 có một nghiệm thì f ( x) = 0 có nhiều nhât hai nghiệm.
TO ÁN
1. 2 x = 1 + J ¥
-L
Í-
Ví dụ 1.6.3 Giải phương trình: 2 . x + Vx 2 + 1 = 3 x Lời giải.
ƯỠ
NG
f 3 ) ĩ í 1) 2 1. Biêh ñổi phương trình cho về dang: 4 2 = 1 + 3 2 hay — + — - 1 {4J {4J ;
BỒ
ID
Nhận thây, X = 2 là một nghiệm phương trình. Í3)l
Hơn nữa, f ( x ) = —+ị^—J có f' ( x) 0 , V t*Ó ,teM nên hàm số I
CẤ
g ( t ) ñ ổ n g biến trế n các khoảng (-°o;0) vậ (0;+oo), do ñó (*)
HÓ
A
^ ^ = g(x-l) — = x - l tương ñương 2x2 - 2 x - l = 0 2x) 2x l-V ã , H
1 + yỊỈ
X = — T-— ho ặc X = — —— .
2
-L
Í-
2
TO ÁN
Vậy, tập nghiệm của phương trình là s =
l S
1 + sỊĨ
Chú ý: Cẩn tìm a,b,c e M sao cho
2x2 - 2x - 1
1
,
V
ị 2x 2 - 2
x
-1
bx2 + ( - b + c)x + a
:
NG
--------—— - = a—+ M x - 1 ) + C hay ———- — —= -------------------------—-- ----------, 2x X 2x X ■
ƯỠ
ñổng nhất thức hai vế ta tìm ñược
Ị
BỒ
ID
1 u 1 r> W. , ~ 2x2 - 2 x - l ỉ \ ■ a = - - , b = - l , c = 0. Vì t h ê ------- ------ = — -— ( l - x ) . 2 2x 2x í ðểịhiêu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạnñọc tìm ñọc cuốn:"Phương pháp giải toán ; chuyên ñ ề Phương trình, Bãi phương trình,hệ phương trình - Bất ñẳng thức " nhóm tác i giả: Nguyễn Phú Khánh-Nguyễn Tất Thu.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
o CHỦ ðỂ 7 ____________________ _______________ NH ƠN
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA. □ Phương pháp:
.Q UY
Chọn thích hợp ñể ñặt ax = sin t họặc ax = COS t , (0 < a * l )
TP
Ví dụ Giải phương trình: y l + y l l - 2 2x = ( l + 2-\/l—22x ).2X
ĐẠ O
- Lời giả i. ðiều kiện: 1 - 2 2x > 0 22x < 1 O X < 0
HƯ NG
Với X < ồ = > 0 < 2 x < 1 , ñăt 2X=sin t; t e 0;— , 2J V L
ẦN
Phương trình chp trở thành: V 1 + -\/l - sin 2 1 - s i n t Ị l + 2 V1 —sin 2 1 j
B
TR
V l+ c o s t = ( l + 2 co st)sin t o V2 COS- = sin t + sin 2t
10
00
V2 cos—= 2 s ỉn ặ c o s Ậ V2 COS—I '1 - yíĩs in ^2 2 2 2\ 2,
: 3t V2 sin —- =
t=2
2
2 X= — 2Ó
2X=1
X= —1 x=ữ
A
2
6
+3
2
71
P2
t= -
CẤ
cos-r = 0
CHỦ ðỂ 8 ________________________ __
-L
o
Í-
HÓ
Vậy; phương trình cho có 2 nghiệm^X= - 1 hoặc X= 0 .
TO ÁN
TÌM THAM SỐ THỰC M THỎA MÃN ðIÊU KIỆN I CHO TRƯỚC.
n l+ V l-x 2
(m + 2)3 +
ID
ƯỠ
NG
Ví dụ: Tìm m ñể phương trình x + 2 m + l = 0 có nghiệm thực.
Lời giả i.
BỒ
ðiểu kiện: —1 < X< 1 / 2 ðặt t = 3 1_* , với - l < x < l = > t e[3;9]
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
53 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Phương trình cho trở thành: t 2 - ( m + 2 ) t + 2m + l = 0 , với t e [3 ;9 ], tương t2- 2 t + l
ñương với m = -
NH ƠN
t -2
Xét hàm SỐ: f (t) = - — — — với t e [3;9] L J ; V t-2
.Q UY
t2_4t + 3
2 > 0 với mọi t e (3;9), do ñó hàm số f ( t ) ñổng biến
TP
Ta có: f'(t) = -----
o CHỦ ðỂ 9 _ _ _ _ _ _ .
ĐẠ O
trên ñoạn [3;9] và f ( 3 ) < f ( t ) < f ( 9 ) suy ra 4 < m < — .
.
-
■
HƯ NG
.
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
TR
ẦN
Ví dụ Giải bất phương trình:
2. ( ^ + l f 2+X+ 2-x2+X+1< 3 . ( V 5 - l f 2+X
00
B
1. ( ^ + . 1 ) ^ < ( ^ - l ) ' X
+3 P2
Lời giải.
X 9*- 1
CẤ
1. ðiều kiện:
4. ịy/x + 1j5 + yfx2*~1 > 1
10
3. 3x2"4 + (x2- 4 ) 3 x+2 >1
Bâ't phương trình cho viết lại: ị-^2 + l j X+1 <
HÓ
A
tương ñương vói
Í-
-1 < X < 2
-L
x +l
x+1
TO ÁN
Vậy, bâ't phương trình cho có nghiệm - 1 < X < 2 hoặc
X>
3 -x2 +x
+ i V x2+x /
+ 2.
/5 -1
3
í 2 ì { ỵ Ị i- l)
-3 < 0
BỒ
:Ị- x 2 + x j
+2
54 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2
\ —X +x
, t >0
-V 5 -1 ,
Khi ñó bâ't phưong trình (*) trở thành t 2 + 2t - 3 < 0 o - 3 < t < 1 x 2 thì x 2 - 4 > 0 , x - 2 > 0 = > 3 x2~4 >3° = l= > V T > V P .
NH ƠN
ð ặt: t =
HƯ NG
Bâ't phương trình không có nghiệm trong khoảng trên.
Nếu |x |< 2 thì X2 - 4 < 0 ,x - 2 < 0 = > 3 x2"4 —.
ẦN
HƯỜNG DẪN GIẢI CÂC HOẠT ðỘNG. TR
Hoạt ñộng 1:
10
00
« - X2 + 5x + 6 = ỔX= -2,x = -3.
B
1. 2x2_x+8 = 41-ầx 2*2~x+8 = 22(1_3x) x2 - x + 8 = 2(1 -3 x )
4
UJ
2
64
> / 5 .5 x - 9 X = —9 X - -7=-5 x I -v/s + - i
Í-
9
' '
=— « 27
V5
I
-
4 Ỹ ______3
= - c X = UJ 2
Ị.5* = f 1 + -
l
9
-L
6. «
HÓ
A
5. < » 81.4 2x=64.3.32x»
10 5 = - = - X = 1
P2
I—
CẤ
4 .5 * = 1 0 . 2 X
+3
2 . 5X+1 —5X= 2 X+1+ 2 X+3 0 5 5 —5* = 2.2X+ 2 3.2X
TO ÁN
« Ậ . 5 X= — 9 x « 2 7 . 5 x = 5 V 5 .9 x « i - l # 9 I 9 /
4X+10
3 jitL
-Ị**10
_ẺL
= f - f v9y
Y , in
fin
NG
9. 2 x~10 = 2 _32 X- 1S 0-2' x- 10 = 2X-1S 4.—— = — x-10
BỒ
ID
ƯỠ
: ^ s ( x + s ) 7ÍX + 17) 1 0 . p > 2 x~7 = 2 .2 x~3 --v - _ ; = _ 1- 2 x -7
x-1 5
:
x -3
11. 4 x 2.2x_1 - 2 x_1 = 4x 2J x-3I+2 -2^x_3I+2 0 .
-L
Í-
7 25 Ta có phương trinh : 9t —34t + 25 = 0 t = l;t = ——.
TO ÁN
^ 2 x -x = l - » 2x - x = 0 o x = ũ;x = 2 .
BỒ
ID
ƯỠ
NG
t = l
_ X2 x - x 2
25 * t* =_ — » ,9
r~ \-2
= ( SJ
o x 2 - 2 x - 2 = 0 o x = l± V 3 .
Vậy phương trình ñã cho cỏ các nghiệm: x = 0;x = 2;x = l± V 3 Hoạt ñộng 3 : 1. ðặt
U=
3X> 0,
V
= 2X> 0.
Phương trình cho trở thành: uv + 4v - 4u -
62
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
V2
= 0 » (u - v )(v - 4 ) = 0
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðặt
u
NH ƠN
2. Phương trình cho viết lại: ^Ịs^~~ĩ + 5* - 3 = ^2^5x - 3 j + 2 ( 5 * - l Ị = a/5x - 1 > 0 , v = 5x - 3
.QNJ uoo UY
3. 16X= (4 Z]X= ( 4 X)2. Nên ta ñặt: t = 4x,t> 0 = > 1 6 x = ( 4 X)2 = t z .
- 1 2 = 0.
ĐẠ O
4. 0 4 “ + 4.4
TP
Phương trình trở thành: 2tz —15t - 8 = 0 o t = 8 » 22x= 2 3 o x =
ðặt t = 4 cos x,t > 1 , ta có phương trình: t z + 4 t - 1 2 = 0 o t = 2
,
x
2-2
x
x
2-2
x
Y 2 N\_ 2 ' - 6 = 0 ðặt t = — , t > 0 ta có
ẦN
(2 } 2 +7 — \3 y _ 7
TR
2
í 2) ■ 5 .0 3 — V.3 /
HƯ NG
o 2ĨC0S x = 2 «■ 2cos2 X= 1 Còs2x = 0 X= —+ k — ' 4 2
2
1\
00
B
phương trinh :31 + 71 - 6 = 0 t = — (nhận); t = - 3 (loại)
+3
= —« x 2- 2 x - 2 = 0 » x = 1±>/3 3
6. ðặt t = 2X, t > 0 ta có:
8 V 6r ^ v 1= t 3) { t)
ð
'2+r r r i
\2
t--
+ 6 = y ( y 2 + ó)
-L
= > i '—
8 t 33- =
2 t
Í-
3
HÓ
A
CẤ
t 3 _ 6 t 8 + ỉ 2 = l o r t3 t3 t {
P2
t = —[ —I 2 3
10
x^-2x
TO ÁN
Nên ta có phương trình :y - l = 0 o y = l o t - - = l
«> t 2 - 1 —2 = 0 t - 2 « X= 1.
ƯỠ
NG
8. Nhận x ẻ t: 7 + 4 ^ = (2 + V3 ) 2,(2 + V ã)(2- V3 ) = 1
ID
ðặt t = (2 + V3 )x, t > 0(2 - >/3 )x = - và (7 + 4 V3 Ỵ = t 2
BỒ
Khi ñó phương trình cho viết lại:
tz
+2 = 0t3 + 2 t - 3 = 0 < = > (t-l)(t2 + t + 3) = 0 (*)
63 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Vì t2 + t + 3 > 0 ,V t e M nên ( * ) « t = l o ^ 2 + -\/3j = l o x = ũ
NH ƠN
Vậy phương trình có nghiệm: X = 0 Hoạt ñộng 4: 2. Với ñiểu kiện X > 0 , lây logarit cơ sô' 4 cả 2 v ế rổi ñưa phương trình về dạng:
.Q UY
(log4x —ì ỷ = ọ , ta tìm ñược x = 4
3. Với ñiều kỉện x ^ l , lấy logarit cơ sô' 2 cả 2 v ế phương trinh ta ñược: 3x ■
= 2 + 2 log2 3, quy ñồng rổi ñưa phương trình về dạng:
ĐẠ O
TP
X. log23 +
x2.log23 + ( l - l o g 23 ) x - 2 - 2 1 o g 23 = 0 , phương trình nằy cỏ 2 nghiệm
HƯ NG
X=: - 1 - log3 2 hoặc X= 2.
4. Với ñiều kiện X> 0 , Ịấy lògarit Cơ sô' 5 cả 2 vệ'rồi ñừa phượng trình về dạng:
ẦN
[lo g 2 s ( 5 x )- l] .lo g 57 = log57.1og5x o ĩog52X -21og5 X- 3 = 0 .
TR
5. log3 ^3X.2X j = ỉog31 log3 ^3x.2xZ1 = 0
=0
X
=0—
10
X
00
B
o l o g 33x + lo g 32x2 =0x + x2log32 = 0x(l + xlog32) = 0 "x = 0
o
-1 1 x = 7 —r r = - lo g 23 = log2^ log32 3 X— 1 ,x-l x-3 6. Cách 1: 5X.8 8 = 5 0 0 o 5 x.2 * = 5 3.22 0 .
NH ƠN
ð ặ t u = 3 x2+x, u > 0 v à
Phương trình (*) trở thành (25u - v )(-2 u + v) = 0
.Q UY
ðáp sô': phưcmg trình cho vô nghiệm.
.
ĐẠ O
ðặt u = 2xZ+x,u > 0 và v = 2xZ-x, v > 0 ^ 2 2x = —. •• ■ ■ ■ V
TP
7. Nhậnthấy ( x 2 + x ) - ( x 2- x ) = 2x .
HƯ NG
Phưcmg trình ñã cho trở thành: U-4-V - —+ 4 = 0 V < » u v - 4 v 2.- u + 4v = 0 < = > (u -4 v )( v -l) = 0. u
= 4 v ^ 2 x2+x - 4 .2 ^ _x • » x 2 + x = x z -
x
+ 2 - » x = 1.
ẦN
*
TR
* v = l=?-2x2_x= l < ^ x 2 - x = 0x = 0 hoặc x = l . Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm X = 0 hoặc X= 1.
00
B
Hoạt ñộng 7:
10
2. ðặt t = 5X~2, t > 0 . ðưa phương trình cho về dạng:
P2
+3
( 3 t - l ) ( t + x - 3 ) = 0 suy ra x = 2 hoặc X = 2 - log53 là nghiệm.
CẤ
3. x.2x = x ( 3 - x ) + 2(2x - l )
A
X.2x - x(3 - x) - 2(2X- 1 ) = 0 « X.2x - 2.2X+ X2 - 3x + 2 = 0
-L
Í-
HÓ
( x - l ),( x - 2 ) = 0 c ^ ( x - 2 ) ( 2 x + x - l ) = 0 « 1.( x - 2 ),.2 x + V x -2 = 0 ^ x=2 2X= 1 - X (*) 2X+ X - 1 = 0
TO ÁN
Dễ thây X = 0 thỏa mãn (*) nên là nghiệm của (*)
ðặt f(x ) = 2x,g (x ) = l - x xác ñịnh trên !R .
NG
Rõ ràng f(x)ỉu ôn ñồng biên trên R và g (x) luôn nghịch biên trên M ,do ñó
f (x) '= g(x) có nghiệm duy nhất. Do ñó X= 0 là nghiệm duy nhâ't của (*)
BỒ
ID
ƯỠ
hàm SỐ f (x) và g (x) có ñúng 1 giao ñiểm, hay nói khác hon là phtrong trình
Vậy, phương trình ñã cho có hai nghiệm X! = 0,x2 = 2
66 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4. 9xZ+ ( x 2 -3 )3 x2 - 2 x 2+2 = 0 X2
> 0 3*2 > 3° = 1
NH ƠN
ðặt t = 3*2 ñiều kiện t > 1 vì
Khi ñó phương trình viết lại: t 2 + Ịx2 - 3 j t - 2x2 + 2 = 0
TP
t = 1 —X
Với t = 2 3xZ =2x2 = iog3 2 X = ±ựlog3 2
ĐẠ O
+
.Q UY
t=2
A = (x2 - 3)2 - 4 ( - 2 x 2 + 2 ) = (x2 + l f
+ Với t = 1 —X2 3X = l - x 2 tacónhậnxét:
X-
±^/log3 2,x = 0
ẦN
Vậy phương trình có 3 nghiệm
HƯ NG
ÍVT>1 ÍVT = 1 Í3xZ= l x = 0. ì _ -'=>■< _ -! Ị^------vp>l |v p = l 1” ~ Ị^l-x = 1
TR
Hoạtñộìigà:
00
B
1 . t 2- ( 2 x + 9 )t + 9.2x = 0;A = ( 2 * +.9)2 -4.9.2* = (2 X+ 9 )2
t=9 t = 2x
10
j2x
P2
+3
2. 81.32x + 45.6 x - 3 2 .2 ‘:x = 0 o 8 1 . V + 4 5 . ~ - 3 2 = 0 ^ ' 2 4X „Í3 + 4 5 .1 -1 - 3 2 = 0
CẤ
0 81 'U
HÓ
+ 3 il f - 2 “ °
Í-
3. 0 5. 2
A
n 2.ỉ
2
-L
4
TO ÁN
4. 2.
2
x _ 9 r I4 ''x +7=0«2.
2Ịx2+3x-5|
+3 x - 5
+ 4.
Ã
ƯỠ
NG
S . J i 15.
+7= 0
-2 = 0 / *V{-x \2Ị
BỒ
ID
6. o 8.3'/* .3 ^ + 9 .9 ^ ‘ - ( 3 ' /*)2 = 0 » 8 . ^ \ ì
9. « 5 3x + 9.5 x + — + -^ - = 6 4 o 5X 5
3^ J +9=0
Kí=
43 o 5 x + Ậ = 4
67
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
2X
.Q UY
ðăt t = 2X—— t2 = 22x + - ị — 4
2x
7X
TP
Ậ Ì + 3.2Xf 2*
ĐẠ O
V
')_ 4 .2 x2+1 + 1l - ðặt t = 2x2+1
HƯ NG
13. 0 , V teM nên f ( t ) ñổng biến trên M. Phương trình cho
NG
tương ñương 2x3 - X+ 2 = X3 + 2x phương trình này có nghiệm X - - 2 , X = 1
ƯỠ
2. ðặt u = x - l , v = x2 - X , phương trình cho viết về dạng: 2u + ụ = 2v + v
ID
Hàm sô' f ( t ) = 2l +.t luôn ñồng biến trên R , do ñó f(u ) = f( v ) xảy ra khi
BỒ
u = V tức X= 1 thỏa bài toán.
68 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
21n4.4x
1
O o ^ 2 + 4 xj - 6 ln 4 .4 x = 0 , ñây là phương trinh
TP
f'(x) = 0 «
.Q UY
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
ĐẠ O
bậc hai theo ẩn là 4 X nện phương trình này có nhiều nhất là 2 nghiệm, suy ra phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất 3 nghiệm, mà ta thây
HƯ NG
1 ■ / ■■ x = 0,x = —,x = l là các nghiệm của của nó
ẦN
4. ðặt a = sin X, b = COSX=> a,b.e [-l;l].T ừ phương trình ta thây a.b > 0
10
00
B
TR
Ta có phương
+3
Trong ñó f ( t ) = ^— , t e [ - l ; i j \ { 0 } , c ó f'(t) = —— — 3 -
0 ta suy ra f (a) = f(b ) o a = b
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
sinx = cosx tanx = 1 o X = —+ kĩi, k 6 z . 4 5 ðặt t = 2X, t > 0 , ta có phương trình : 3t2 + ( 3 x - 1 0 ) t + 3 - x = 0 ( l )
BỒ
ID
ƯỠ
1 _ 1 * t = -2x =-x = - lo g ,3 3 3 62 * t = - x + 3 « > 2X+ x = 3 o X= 1 (ðo VT là một hàm ñổng biên) Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= - lo g 2 3; X = 1.
7. Xét hàm số f(x ) = 3x + 2*- 3 x - 2 , ta có: f '(x) = 3x In3 + 2Xln 2 - 3 Vì f '(x) là hàm ñồng biên, nên f '(x) = 0 có nhiều nhâ't một nghiệm
69 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Suy ra f (x) = 0 có nhiều nhất là hai nghiệm.
NH ƠN
Mà ta thây: f ( l ) = f(0 ) = 0=>x = 0;x = l là nghiệm của phương trình.
.Q UY
Hoạt ñộng 12: Viết lại phương trình ( l) dưới dạng:
m.2x2_5x+6 + 21-*2 = 27~5x + m o m.2ỵ2~5x+6 + 2l~*2 = 2(x2-5x+6)+(i-x2) + m
ðặt:
ĐẠ O
■ —2-^+6-
u= 2
,u,V > 0 . Khi ñỏ phương trình (2) viết lại:
ẦN
TR
x =2
21- x2=m (*)
B
< II 3
x=3
~2x‘2-5x+6 _ ^ - Ó ol-x^ L =m
HƯ NG
v = 2
'u = l
TP
• o m.2x2-5x+6 + 21-*2 = 2 x2_5x+6.21' x2 +m (2)
10
00
Vậy vỏim ọi m phương trìrih luôn có 2 nghiệm x = 2,x = 3 .
+3
1. Với m = 1, phương trình (*)21-x = l . o l - x 2 = 0 ó x 2 = l t > x = í l
P2
Vậy với m = 1, phương trình có 4 nghiệm phân biệt: X= ±1, X= 2,x = 3
CẤ
fm > 0
ím > 0
A
1 ( *) O l l - x ^ l 0 g 2m ° i 7 = l - l 0 g 2m
HÓ
ðể ( l ) có 4 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.
Í-
m >0
m >0
-L
m 0
TO ÁN
l - l o g 2m * 4
NG
l - l o g 2m ^ 9
— 8
1 256
o m e (0 ;2 )\j—
v
...
— Ị
[8 2561
V
BỒ
ID
ƯỠ
Hoạt ñộng 13: 31 1. T + 7X+1 + 7X+2 = T ( l + 7 + 72) = 57.7Xo X < log7 — 1.
2. Chia hai v ế cho 4 X, ta nhận ñược bất phương trình:
70
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1 6.
-13.1 I
+ 6 2 . 21_x _ 2x +1
Xét phương trình f (x) - 0 «> g (x ) = 21“x - 2x + 1 = 0 . Có g (x ) xác ñịnh, liên tục V x ^ 0 :g '(x ) = - 2 1_x.l n 2 - 2 < 0 với V x^O nên g (x ) nghịch biến V x^ o
TR
ẦN
g(x) = g(l)x = l= > f ( x ) = 0x = l
B
Do f(x ) liên tục trên Vx * 0 và f ( - l ) = - 1 4 < 0 ,f ỉ j = 2 + ạ/ 2 > 0, f(2) 0 nên ta có các trường họp sau
X2 + ỉ > 1
NH ƠN
o x
.Q UY
2.
>6x - 2
x
TP
1.2x > 2 6x 2 o
P2
+3
2x + 2 x < 0
— 7 = < x < 0 . 42 1 /
u
;+0 0
V2
A
CẤ
Vậy nghiệm của bất phương trình là: Xe (—go;—l ] u
Í-
HÓ
5. B P T « - 2 ^ — ^= -< l.ð ăt t = 2'/\ t > l , t a c ó : 2
TO ÁN
-L
t - - < l < = > t 2 -t-2 < 0 < = > l< t< 2 < = > 2 'y,* < 2 < = > 0 < x < l t 6. B I T 3 . 9 ^ 2*-* _ 7 . 3 ^ - 2 * - * < 6 . /~2
NG
x- x ðặt t = 3j 7 xx2-2 _2x_x ,t > 0 , ta có bất phương trình:
BỒ
ID
ƯỠ
3f2 - 7 t - 6 < 0 « tVx2 - 2 x ầ x + 1
! X2 - 2x > 0
• X+ 1 > 0 ị X2 - 2 x < ( x + l ) 2
x < 0 u x>2 X > -1 x ,-i 4
«
4 x>2
.
72 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðặt t = 3 ^ ~ ^ ,t> 0 ,ta c 0 B P T : S t ^ t - l ^ O o t ỉ ì i ^ S 4'*-7* > 3 _1 "
^/x-Vx £-l< = > V x - \ / x - l < 0 o ^ / x ^ ^ ^ o 0 < x < - - —^ 2 2 8. Chia hai vếBPT cho 9 ^
ị
ta ñược: 32(x_^ ) _ 8 . 3 * - ^ - 9 > 0
■ íx > -2 < ox>0. [x + 3 x > 0
; ; ■
2 ír Ị
^
2 x -2
ầ ĩil
3x + 4
f
10
00
B
« - 2 X+1 < 2 *-2 -í— ^ < —— 1 X +1 x - 2 ^ (2 x - 2 ) ( x - 2 ) - ( 3 x ^ ) ( , + 1 ) ^ 0 q ^ m (x + l ) ( x - 2 )
ì0
( x + l) (x -2 )
+3
Ị ị
iị-2
2 X+1 < 2X_2
TR
9. Bất phương trình cho viết lại: (22jx+1 < 2-2.^25jx-2
ẦN
I;':
HƯ NG
. /----- r . ■ /— íx + 2 > 0 ' ■-7-v' o x - V x + 4 > 2 o x + 2 > \ |x + 4 o [(x + 2) > x + 4
ị
ĐẠ O
ðặt t = 3x-'/*ĩ ĩ ,t> Ọ ,ta có : t2 - 8 t - 9 > 0 < » t > 9 « . 3 x"VĨĨĨ > 3 2
TP
i
.Q UY
3
NH ƠN
7. Chia hai vếBPT cho 9 ^ ta ñược: 2 .3 ^ " ^ + 3 . 9 ^ '^ > 1.
P2
o X < - 1 3 hoặc - 1 < x < 0 hóặc x > 2 .
Ị
A
HÓ
Í-
I
* 0 < u < 1 thì bâ't phưong trình (*) V3ƠU + 1 > U..+1
o 3 0 u + l > ( u + l ) 2 o u 2 - 2 8 U < 0 O 0 < U < 2 8 , kết hợp ñiều kiện suy
-L
f
Bâ't phương trình cho viết lại: V30u + 1 > Ịu - lị + 2u (*)
U 0 o { 1 X -4x + 3
x>3 .
-^ -> 0
lx -3 Vậy nghiệm của bất phương trình là X> 3 .
ĐẠ O
TP
•
.Q UY
Do ñó theo nhận xét trên thì f(x ) = f ( x ) - f ( l ) sẽừáidâuvói x - 1 (do x?*l).
2. Ta có: 4X- 2X+Z- X2 + 2x + 3 = (2X- 2)2 - (x - 1)2 = (2X+ X- 3 ) ( 2 X- X- 1) Nên BPT v
' >0 v 3 x - l + V2x + 1
(1) ’ .
HƯ NG
Í2X+X-3)Í2X- x - ì )
ẦN
Ta có: kj = \j3 x - 1 + yỈ2x f ĩ = ịyl3 \ - 1 + 1 ) + (-v/2x+ Ị - 1 ) nên kj cùng dâu
TR
hoặc cùng triệt tiêu với X.
B
k2 = 2X+X - 3 = ^ 2 X- 2 1j + ( x - l ) = > k 2 cùng dâu hoặc cung triệt tiêu với
10
00
: (x -l)Í 2 x- x - l ) ( x - l ) .D o ñ ó : ( l ) « — — -------—^ > 0 X
(2)
P2
+3
Hàm số f (x) = 2X- X - 1 có ñúng hai nghiệm X = 0;x = 1 và
CẤ
f ( x ) < 0 o x e ( 0 ; l ) = > f ( x ) cùng dâu với x ( x - l ) - ,( x - l ) x ( x - l ) X
íx * l [x * 0
HÓ
v '
„
- -------- ----------------- - > 0
A
=>(2) 0
Í-
Vậy tập nghiệm của bâ't phương trình ñã cho là: T = R \ {0;l} .
-L
Hoạt ñộng 18:
TO ÁN
1. ðặt t = 3X, t > 0 . Bất phương trình trở thành:
NG
+1 t 2 + mt +1 < 0 ------- < -m
( l ) . Bất phựơng trình ñã cho có nghiệm
(l) có nghiệm t>0 m in f ( t)< -m ( 2 ).
ID
ƯỠ
+1 Xéthàm s ô 'f(t) = — — với t > 0.
BỒ
t 2- l Ta c ó f = —
f ( t ) = 0 o t = 1.
Từ ñây suy ra : min f (t) = f ( 1 ) = 2 => ( 2 ) -m > 2 m < - 2 .
74
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3 + V5 V
/
ðặt t =
z'rz\x |3 + n/5
,0 < t < l V x —= t V /
\x .và bất phương trình trở J
TP
V
3 -V 5
.Q UY
NH ƠN
2 .BFT- 0 2a.2x + (2a + l ) ( 3 - max f í t ) a < - 4 . (0:1] K ' 2
/
\ 2x —X
P2
+3
2 í3 1 3. Chia hai v ế bất phương trình cho 42x ~x và ñặt t = Ị — I ( 1 ).
CẤ
trLnh:m.t2 -(2 m + l ) t + m < 0 o t > m Ị t 2 - 2 t + lỊ
ta có bâ't phương
HÓ
A
1 Xéthàmsô' u(x) = 2xz - x với |x|> —, có
-L
Í-
u ’(x) = 4 x - l= > u ( x ) > u — = 0 v|x|> —= > t > l v|x|> —. \2 J 2 2 Với t = 1 ta thây ( 1 ) ñúng.
TO ÁN
*
Với t > 1 => (1) f (t) = - 5—f ->m ( 2) w t - 2t .+1
ƯỠ
NG
Ta có f ( t W
- t 2 +1
1 =>f( t ) nghịchbiêh trên (l;+oo)
(t-ự
t-»+0O
ĨĨ1 f ( t ) > 0 Vt >1 Suy ra ( 2 ) ñúng Vt> 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
75
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHtíơNG TRÌNH LOGARIT
NH ƠN
§4.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẨN ðẠT.
.Q UY
1. Kiến thức:
- Nắm ñược phương pháp giải phương trình, bâ't phương trình logarit.
TP
2. Kĩ năng: B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.
.
* l0g*f W = l 0 g - g W o K
HƯ NG
íf( x ) = g (x )
ĐẠ O
-Vận dụng thành thạo các phưang pháp giải phương trinh, bâ't phương trình logạrit.
> 0 (g (x )> 0)
* logaf ( x ) > lo g ag (x ) (*)
00
B
TR
, . , íf ( x ) > g ( x ) • Nếu a > l thì (*) i ' w Ịg (x )> 0
ẦN
* lògaf(x ) = bf(x) = ab
V
P2
+3
10
íf ( x ) < g ( x ) • Nêu 0 < a < l thì.(*)«►.{ ,
CẤ
/X íf(x )> 0 Chú ý: loga f (xj có nghĩa .
HÓ
Cách 2:
-L
Í-
THĩ: Nếu 0 < X < —: hàm số ñồng biên trên khoảng
0;-7 . hơn nữa f
3 1
3
=0
TO ÁN
1 nên phương trình cho có nghiệm X = —. THI: Nếu
5
X > —: hàm
sô' ñong biên trên khòảng
ƯỠ
NG
3 phương trình cho có nghiệm X = 3 .
(5 ' V . —;+oò , hơn nữa f(3 ) = 0 nên \3 )
BỒ
ID
i l l Vậy phương trình có 3 nghiệm X€.
SA Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
o CHỦ ðỀ 3 NH ƠN
LOGARIT HÓA. □ Phương pháp: g ( x )> 0 ( 0 .< a * l)
.Q UY
logag (x ) = f(x )
g (x ) =
TP
□ Ví dụ minh hoạ:
ĐẠ O
Ví dụ 1.3.4
ẦN
ðiều kiện X > - Ị . Phương trình cho tương ñương:
HƯ NG
Giải phương trình: log3 Ị(x + 1)3 + 3(x + 1)2 +3x + 4 j = 2 og2(x + l )
32t = ;9 ,- 8 '= l
+3
x + l = 23t
00
=
10
ị X+ 2
B
ðặt 31og3 (x + 2) = 21og2 (x + 1) = 6t suy ra
TR
log 3 (x + 2)3 =21og2 (x + l ) hay 31og3 (x + 2) =21og2 (x + l )
CẤ
P2
Ý iY / 8 V Xét hàm f ( t ) = — + — , ta thây hàm f ( t ) nghịch biên , lại có f ( l ) = 1 \9J y9J
A
nên t = 1 là nghiệm duy nhất của (*)
HÓ
Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm duy nha't X = 7.
-L
Í-
o CHỦ ðỂ 4 ___ _________________________ TO ÁN
BIỂN ðỔI PHƯƠNG TRÌNH VỂ DẠNG TÍCH. □ Phương pháp:
NG
f(x ).g (x ) = 0 < ^ f(x ) = 0 h oặcg (x) = 0
ƯỠ
□ Ví dụ minh hoạ:
ID
Ví dụ 1.4.4: Giải phương trình:
BỒ
X.21_x + 2.1og2 ( l + x) = x.log2 ( l + x) + log2(x + 1)2 Lời giải.
ðiều kiện: X > - 1 85 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Phương trình cho viết lại: X.21-x + 2.1ogz ( l + x) - x.log2 ( l + x) - 21og2 ( l + x) = 0
NH ƠN
X.ị^21_x - lo g 2( l + x )j = 0 o x = 0 hoặc 21-x - lo g 2( l + x) = 0
.Q UY
Xét hàm số: f(x ) = 21-x-Io g 2( l + x) vói X > -1
Ta có: f'(x) = - 2 1_ỉíl n 2 - - ------------ < 0 , V x > -1 suy ra f(x ) là hàm số w (x + l)ln 2 7 v ’
TP
nghịch biến trên khoảng (-l;+ oo), hơn nữa lim f (x ) > 0 , ■
lim f ( x ) < 0 từ ñó
x ->-h o
ĐẠ O
*_> _!+
HƯ NG
suy rã ñổ thị hàm sô' cắt trục hoành tại 1 ñiểm có hoành ñộ X= 1. Do ñó phương trình f(x ) = 0 có nghiệm duy nha't X = 1. Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 0, x = 1 CHỦ ðỂ 5
_ _ _ _
__ _
ẦN
o
-
_ _ .
_ _
_
.
TR
PHƯƠNG PHÁP ðỒ THỊ.
00
B
□ Phương pháp:
10
Giảiphưangtrình:logaX= f(x ) ( 0 < a * l ) (*)
+3
(*) là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của 2 ñổ thị y = loga X (0 < a ¥ l)
P2
và y = f ( x ) . Khi ñó ta thực hiện 2 bước:
CẤ
Bước 1: Vẽ ñổ thị các hàm số: y = loga X (0 < a 5*l ) và y = f ( x ) .
HÓ
A
Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình ñã cho là số giao ñiểm của 2 ñổ thị. □ Ví dụ minh hoạ:
-L
Í-
Ví dụ Giải phương trình: 2 2logs(x+3) = X
TO ÁN
1. logs x + 2 x - l l = 0 Lời giải.
NG
1. ðiều kiện X > 0 , phương trình cho viết lại log5 X = - 2 x + 11
BỒ
ID
ƯỠ
Xét f(x ) = log5x trênkhoảng (0;+oo) và g (x ) = -2 x + l l trên M
Dễthấy, f ( x ) > 0 , V x> 0 suy ra hàm số f(x ) ñổng biến trên khoảng (0;+oo)
và g ’(x) 0, V t> 0 suy ra g (t) là tln7
ƯỠ
hàm ñổng biền, khi ñó g^7x_1 j = g (6x-5)< = >7x_1 = 6 x - 5 hay 7u = 6u + l với
ID
U -X -1.
BỒ
Tiêp tục xét hàm g(u ) = 7u- 6 u - l có g'(u) = 7uln 7 -6 = > g '(u ) = ọ khi và
chỉ khi U = log76 - l o g 7(ln7) = uo
87 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
Bảng biến thiên: Vì hàm sô' g (u ) ñổng biến trên khoảng ( - 00;u0) và nghịch biến trên khoảng (u0;+oo) nên hàm g(u ) = 0 có không quá hai nghiệm.
M ặt kh ác g ( 0 ) = g ( l ) = 0 , ch o n ê n u = 0 ho ặc u = 1 là 2 n g h iệ m của p h ư ơ n g
TP ĐẠ O
Khi u = 0 tức X- 1 = 0 háy X= 1 ' Khi U = 1 tức x - l = l hay x = 2 Vậy phương trình ñã cho có tập nghiệm s = {l;?}
.Q UY
trìn h g ( u ) = 0 .
Chú ý: Cần tìm a ,p e K saocho l = a ( x - l ) + p ( 6 x -5 ) tương ñương với = ( a + 6 p ) x - a - 5 p . ðổng nhất hai vếta ñược oe = - 6 và p = 1.
HƯ NG
1
Vì thế 7 X_1 —61og7 (6 x - 5 ) = —6 ( x - l ) + 6 x —.5 tức ta có phương trình '
ẦN
7X 1 + 6 ( x - l ) = 6 x - 5 + 6Iog7( 6 x - 5 ) .
10
00
B
TR
. ðể hiểu hơn kĩ thuật phân tích trên, bạn ñọc tìmñọc cuôh: "Phương pháp giải toán chuyên ñề Phương trình, Bất phương trình,hệphương trình - Bat ñằng thức ,ầ-nhóm tác giả: Nguyễn Phú Khánh- Nguyễn Tất Thu. 2. Phương trình cho tương ñương
P2
+3
log3( 2 x - l ) + ( 2 x - l ) = log33 ( x - l ) 2 + 3 ( x - l ) 2 (*). 1 Xét hàm số: f (t ) = Jog3 t + t, t > 0 và f ( t ) = —— + 1>Ữ với V t> 0 nên hàm
CẤ
f(t) ñồng biến trên khoảng (0;+oo)
A
có dạng
f ( 2 x - l ) = f|^ 3 (x - l) 2 o 2 x - 1 = 3 ( x - l ) 2,
HÓ
Phương trình (*)
Í-
2 , phương trình này có nghiệm X= — hoặc X = 2 .
TO ÁN
-L
2 Vậy, phương trình cho có 2 nghiệm X = — hoặc X= 2. CHỦ ð Ể 7
NG
o
_ _ _ , _ _ _ _ ■ _____
__
_
■; . .
DÙNG HÀM SỐ LOGRIT LÀM ẨN SỐ.
ƯỠ
□ Ví dụ minh hoạ:
I
BỒ
ID
Ví dụ Giải phương trình: lg2 x -lg x .lo g 2(4x) + 21og2x = 0 Lời giải. Biến ñ ổ i p h ư ơ iìg trìn h v ẽ d ạn g : lg 2 X -
{2+ lo g 2 j i g X + 2 lg 2 X -
0 (*)
88 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Với t = lg x , phương trình (*) trở thành: t 2- ( 2 + Iog2x).t + 21og2x = 0
NH ƠN
Phương trình này có biệt sô' A = ( 2 - l o g z x )2 nên có nghiệm t = log2 x hoặc t =2
.Q UY
Với t = log2x tức lgx = Iog2x = - ^ hay lgx = 0x = l lg2 .
TP
Với t = 2 tức lgx = 2 X= 100
CH Ủ ð Ể 8
HƯ NG
o
ĐẠ O
Vậy, phương trình ñã cho có nghiệm X= 1, X= 100.
TÌM THAM SỐ THỰC M THỎA MÃN ðlỂU KIỆN I
ẦN
CHO TRƯỚC. □ v í dụ minh hoạ:
TR
Ví dụ Tìm m ñệ’phương trình:
10
00
B
1 . Ĩog^2 ^ m x - 6 x3j + 2log1^-14x2 + 2 9 x - 2 j = 0 có 3 nghiệm phân Hệt.
P2
+3
2. log 3 X+ *J\ogị X+1 - 2m - 1 = 0 có nghiệm trên ñoạn £ l;3 ^
CẤ
3. m.92x -x - (2m + l ) 6 2x2_x + m.42x2_x = 0 nghiệm ñúng .Vx: ỊxỊ > —.
A
Lời giải.
HÓ
1. Phương trình log2Ịm x - 6x3j = log2(-1 4 x 2 + 29x -
( 1 5»
ƯỠ
vũ *,
NG
TO ÁN
-L
Í-
- < x 0 14 Ịmx - 6x3 = -1 4 x 2 + 29x - 2 = 6x -14X + 2 9 - — (*) ■A X Phương trình ñã cho có ba nghiệm phân biệt o (*) có ba nghiệm phân biệt
BỒ
ID
2 1 Xét hàm số f(x ) = 6x2 -14X + 2 9 - —, —- < x < 2 X 14 . T ■ JL " í ^ 2 12x3 -1 4 x z +2 Ta có: f (x ) = 1 2 x - 1 4 + - y = --------- -----------
«p
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
x =— 1 2 (d o — < x < 2 ). 14 X= *1
NH ƠN
=> f ’(x) = 0 l < t < 2 .
10
00
Phương trình ñã cho trở thành: t 2 + 1 = 2m + 2 ( l)
+3
Phương trình ñã cho có nghiệm trên^l;3^ J o ( l ) có nghiệm 1 < t < 2.
P2
Xét hàm SỐ f(t ) = t2 + t với l < t < 2 , ta thây f ( t ) là hàm ñổng biên trên
CẤ
ñoạn [1;2]. Suy ra 2 = f (1) < f (t) < f (2) = 5 Vt e [l; 2 ] .
HÓ
A
3 Vậy phương trình có nghiệm o 2 < 2m + 2 < 5 o 0 < m < —.
-L
Í-
3.ðặtu = 2x2 -x = > u '(x ) = 4 x - l .
TO ÁN
Lập bảng biêh thiên của u (x) ta :=> u > 0
ị V x: |x| > —.
Phương trình trở thành: m9u —(2m + l ) 6 u + m4u = 0
BỒ
ID
ƯỠ
NG
(3 Ỷ U ' ■ Y 3Ỷ m -(2 m + l ) + m = 0 o f n t 2 -(2 m + l ) t + m = 0 (1) \2 )
(trong ñó ta ñặtt
j
V u>0)
(l)mỊt2 - 2 t + l ) = tm = —— ----- = f ( t ) (2) (do t = 1 không là nghiệm phương trình).
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
IT Ị*fc; -■ .
Yêu cầu bài toán ( 2 ) có nghiệm t > 1.
1 -t2 f'(t) = --------- ------- < 0 (t 2 - 2 t + l ) 2
V t> l
NH ƠN
Xét hàm số f (t) với t > 1, có và lim f (t ) = 0
C H Ủ ð Ể 9 ■" _ _ _ _
_
.
_________
ĐẠ O
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Ví dụ: Giải các bất phưorvg trình: 1. log2 ( V3x +T + 6 j - 1 > log2 {7 —J10 - X)
5
1
TR
3
ẦN
2. Iogj ỉog5( 7 x ^ + 1 + x )> Io g 3log! (Vx2+ l - x ) 3
log2^4x2 - 4 x + l j - 2 x > 2 - ( x + 2 ) l o g 1^—-x 'l
P2 CẤ
Í-
1 0 -x > 0
-L
1. ðiều kiện:
Lời' £Ĩảí.
HÓ
3x + l > 0
A
c . 5-12X , 5. log? _ - _ + lo g 1x < 0 1 2 x -8 J
+3
10
4.
4
2
00
4
B
3 . - lo g 2x lo g 3 x + 3 > - l o g 2x + log3 X 2
HƯ NG
□ Ví dụ minh hoạ:
;
TP
o
.Q UY
Lập bảng biến thiên suy ra m > 0 là những giá trị cần tìm.
TO ÁN
7 - v l O - x >0 irinn tương iưung ñương uưung với vựi log2 iug2 —— ---- —> log2 Ị7 —V10 —XỊ Bâ't puưung phương trinh
NG
V3X + 1 + 6 > 2 ( 7 - V lO -x ) o V 3 x + 1 + 2 V1 0 - X > 8
BỒ
ID
ƯỠ
9 . .3 6 9 . . , _ o 4 9 x - 418x + 369 < 0 1 < X < : (thoả ñiểu kiện). 49 2. ðiều kiện X > 0 Bất phương trình cho tương ñương:
log3 log! ỊVx2 + 1 - Xj + log3 log5ỊVx2 + 1 + xỊ < 0
91 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
« l o g 3 logJ ỊVx2 +1 - x j .lo g 5|V x2 +1 + x j
NH ƠN
J
o lo g lỊ V : X +1 + x j < 1 O Ũ< log5|V x 2 +1 +xj < 1
.Q UY
* 0 < lo g 5|-\/x2 + l + x j o x > 0
ĐẠ O
TP
* logs(V x2 + 1 + x ) < 1 « Vx2 + 1 + X < 5 « Vx2 + 1 < 5 - XX< —
HƯ NG
■ ( 12\ ■ Vậy, bất phương trình cho có nghiệm X6 0;— . V SJ -3. Bất phương trình cho tương ñương: Iog2 Xlog 3 X4- 6 - 3 log2 X+ 2 log 3 X> 0 log2 X- 2 < 0
lo g 2 x - 2 > 0
ẦN
(
« ( l o g 2x - 2 ) lòg£X —3 >0 l o g 3 x - 3 > 0 V 4 J 4
TR
log 3 x - 3 < 0
B
x 4
h°ặc
10
27 hoặc
HÓ
4. ðiều kiện:
1 —- x > 0 2
A
CẤ
P2
+3
•^ x< ,ỉ 4/
00
~ 27 . 27 " ^ — < x < 4 —— 64 x > 4 J 64 64 / 27 0-7 '\ ;4 Vậy, bâ't phương trình cho có nghiệm: X6
Í-
4x2 - 4x +1 > 0
-L
1 X< — 2 . 2 0
1 2 X -8
5 12
X> -
2
— S22x_xlog26.= 2 i 3 Iog24 x 2
^
10
5.
B
4.(2 + ^ ) ,0g2X+ x ( 2 - 7 2 ) I082X= l + x2 (4)
+3
Bài tập 5:
P2
Giải phương trình:
A
CẤ
1. ( 2 - lo g 3x)log9x3 - — ------ = 1 l - l o g 3X
HÓ
2. logx2+,2Iog2x4 = l o g ^ 8 4. 2(log2x + l) lo g 4 x + log2ỉ = 0
-L
Í-
3. 161og27 3 x -3 I o g 3xx2 = 0
TO ÁN
5. l g 4 ( x - l ) 2 + l g 2 ( x - l ) 3 = 2 5
6. Iog3x+7 (9 + 12x + 4x2) + log 2x+3 (6x2 + 23x + 2 lỊ = 4
ƯỠ
NG
7. logx 2 (2 + x) + l o g ^ x = 2
ID
8. logs (5x - l ) . l o g 25(5x+1- 5 ) = l
BỒ
9. logx X2 - 14Iog16x X3 + 401og4x yf\ =0 2
10. log 2 2 + log2 4x = 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
11. 4 iogz2x - xIog26 = 2.3logz4x2
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. ( x + l ) . l o g i x + ( 2 x + 5 ) . l o g 1 x + 6 = 0 2
2
Bài tập 7: Giải phương trình:
3. 7X-1 = l + 21og7( 6 x - 5 ) 3
lo g 2
1X1
ị
- = 1 + X-2*
TP
2.
ĐẠ O
• 1. log7x = log3(V x+2j
4. lo g j(3x + l ) + 3 - x = 0
HƯ NG
2
5. log3(x + l ) + log5(2x + l ) = 2
6. x + lgỊx2 - x - r 6 ) = 4 + lg (x + 2)
Bàiị tập 8:
+3
ì
2xz + 4x + 5 J
B 00
10
+3
..2
x 2+ x
= 7x2 +21X + 14
P2
2 o > X +X + 3
= X2 +3x + 2
CẤ
3- log3
= x2 - 3 x + 2
2x2 - 4 x + 3
\ 2x2 + 4x + 5 y (
TR
x2 - x + l
( 2. Iog3
ẦN
Giải phương trình 1. log3
.Q UY
1. I o g 3 ( 2 x + l ) + x = 2
NH ƠN
Bài tập 6: Giải phương trình:
HÓ
A
4. Iog3(x2 + x + l j - l o g 3x = 2 x - x 2
Í-
5. (x + 2)log32 (x + 1) + 4 (x + l)lo g 3 (x + 1 )- 1 6 = 0
TO ÁN
-L
6. log2( l + V x) = log3 x 7. log2(x + 3lũgsx) = log6 x
8. 2log3(x+1)= x
NG
9. log^rịx2 - 2 x - 3 j = Iog2Ịx2 - 2 x - 4 j
BỒ
ID
ƯỠ
'llí 3X= 1 + X+ log3 ( l + 2x)
l i . 2003x + 2005* = 4 0 06 x + 2
«
1™
2012
12. log5 Ị3 + V3X+ 1 j-= log4 ( 3 * + 1 )
f _ i í ! ± Í L Ì = v6 - 3 y 2 - 1 6 2 ì
^X° + X + 1 J
108
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1+ị / x - x 3 Ịn
xlnl 1 + -
N1+-1.2 X
= 1 —X
.Q UY
X
NH ƠN
^ Bài tập 9 R- 1. Tìm nghiệm dương của phương trình:
2. Chứng minh rằng phương trình:xx+1 = (x + l ) x có một nghiệm dương duy nhất.
m
X
ĐẠ O
Tim tâ't cả các giá trị tham số m ñể: 1. Phương trình: logxin + lo g ^ m + lo g ^ m = 0 có nghiệm.
TP
- Bài tập 10.
2
2
HƯ NG
2. Phương trình: (m - 1)logi (x - 2 ) - (m - 5)lòg1 (x - 2 ) + m - 1 = 0
CÓhai nghiệm thoả mãn ñiều kiện: 2 < Xị < x2 < 4 . ° § 2
X+ log! X2 - 3 = m Ịlog4 X2 - 3 )
ẦN
3. Phương trình ^
TR
I
B
có nghiệm thuộc khoảng [32;+ 00) .
+3
10
00
Ị; 4. Bất phương trình log2 Vx2 - 2 x + m + 4^1og4(x2- 2 x + mj 1 .
Í-
HÓ
lg(m x) 6. Phương trình: ——— r = 2 có nghiêm duy nhâ't. lg(x + l )
-L
7. Phương trình lo g ^ +2 Ịx2 + mx 4- m + 1) + log^ _ 2 X = 0 có nghiệm duy nhất.
TO ÁN
8. log2(m 2x3 - 5 m 2x2 + V 6 - x ) = log
2 ^ 3 - V x - l j thỏa mãn V m eR
9. Iog2(m 2x2 - 5rax + 3 + V 5 - x j = log
2 ( 5 - V x - l ) thỏa mãn V m eR
NG
I 10. Tìm k ñể phưong trình sau có ba nghiệm phân biệt:
ID
r
ƯỠ
4 -lx~kl Ịog jĩ (x 2 - 2x + 3) + 2-ỉ1
2. log
+x
3. log0 7 log,
2 + lg
X2 + i
00 10 +3
CẤ
7.
2x x^+1 >2 2x
6. logx 2.1ogZx 2.1ogz 4x > 1
P2
2
B
2 5. 2l0g2x + x l0B2X< 4 4 + lg
> ỉ 2
4. log2 X+ log2x 8 < 4
2^
Í-
1.
HÓ
A
Bài tập 14: Giải bâ't phương trình:
-L
X2 -3x + 2
n
TO ÁN
’• '" V ?
l o g ,( l o g ,( 9 - - 7 2 ) ) < l
BỒ
ID
ƯỠ
7. l o g ^ + ^ Ị ĩ l o g ^ 2^ 1^ * ) 2
2x4-3^
6.log! X+ 21ogj ( x - l ) + log26 < 0 2 4
NG
5. logx+1( -2 x ) > 2
.
2
8. logj V2x2- 3x +1 + —log2(x - 1)2> 2
2
2
, l„ „ , 1 I 9. log5^4x + 1 4 4 j-4 lo g 52 í 0
( n
2 V
+ 91og2^ f < 4 1 og ịx /
A
2
TP
4 .1 o g * x -lo g |
.Q UY
3. yjlog4 (2x2 + 3x + 2 j + 1 > 21og2 V2x2 +3x + 2
ĐẠ O
Bài tập 16: Giải bâ't phương trình:
HƯ NG
1. 4 x + (x 3 - x j l n ( x 2 + x + 2 ) > 4 ^
ẦN
2* log2+./5 (x 2 - 2 x - 1 1 )- Iog2^ - ^ ( x 2 - 2 x - l l ) > 0
10
00
B
4. ^ lo g |x + log1 x2 - 3 > V 5 (log4 x2 - 3 Ị
TR
3. Vlog9[3x2 + 4x + 2) +1 > log3^3x2 + 4x + 2j
P2
+3
1 2 5. ------- !----- h—---------- 1. 111
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 1: 1. X > 1
NH ƠN
D. HƯỚNG DẪN GIẢI.
1 f1 ^ P t o l o g 22log2X+ log2log22x = 2 o ^ l o g 2log2X+ log2 ^ lo g 2X 1= 2
.Q UY
1 1 3 (x + 2 ) ( x - 2 ) = 16.
[(x + 3 ) ( x - l ) = 4x 23. (x + 3 ) |x - l | = 4x
Í0 /3 -3
ẦN
|( x + 3 ) ( l - x ) = 4x
TR
Bài tập 2:
00
B
1. ( l ) ^ l o g 2(2x + l).lo g 22(2x + l ) = 2 o log2 (2X+ l ) .[ l+ lo g 2 ( 2 * + 1)] = 2 (*)
+3
10
ðặt t = Iog2 ^2X+ l j khi ñó phương trình t = -2
CẤ
P2
(*) => t ( l + 1) = 2 t2 + 1 - 2 = 0
A
'log2(2x + l ) = - 2
HÓ
log2(2x + l ) = l
t=l
2X+1 = 2~
o
2X + 1 = 2
2X= - —< 0 4 o x = 0. 2^ = 1 =
-L
Í-
2. ðiều kiện: X > 0 ðặt t = lnx
x=e 2
X II (T>OJ
lnx = 3
I
ƯỠ
lnx = - 2
t = 2 '■'=> lnx = 2 X= e2
íx + 2 > 0 fx> -2 3. ðiều kiện: ện: 4 _ 4 [x + 2 * l [x * -l
ID BỒ
t = -2
CO II 4->
NG
TO ÁN
Phương trình (2) viêVlặi t 3 - 3 t 2 - 4 t + 12 = 0 ( t + 2 ) ( t —2 ) ( t - 3 ) = 0
■ (*) v’
ðe ý: loga °ểab b= =r^— logba
112 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
( 3 ) < s l + l o g x+25 = I o g s ( x + 2 ) o l + -------- J-—-r = =log5(x 1
_ l + -2 = t
+ 2)
NH ƠN
logg(x + 2)
2 112 —ft — 2=0
-)-2
"
x + 2 = 52
thỏa ñiều kiện (*).
x = 23
HƯ NG
4. Ta có: logj (x + 2)2 = 21og1 |x + 2| 4
X= —
ĐẠ O
L , ( x ,+: ?2))* » o0 t =. ilog5(x
•»
TP
o
O' I un
x + 2 = 5-1
i o g 5(x + 2) = - l
.Q UY
t = lo g s (x + 2 ) * o H t = loS5(x + 2) * 0
4
4
4
4
4
\-6 < x < -2
- 2 < X< 4
10
00
6 + x>0
B
ðiều kiện: 0
TR
Ịx + 2ị > 0 .
ẦN
l o g i ( 4 - x ) 3 =31ogỉ Ị4-xỊ,log1 (x + 6)3 =31og1ịx + 6ị
+3
Phương trình ( 4 ) o 3 1 o g 1 |x + 2 ị-3 = 31og1 (^ -x J + Slogj (x + 6) 4
4
P2
4
CẤ
/3 3
4
HÓ
A
Bài tập 3:
x=2
-L
Í-
1. e » l + ỈOg2( x - l ) = — l0Ì 2 4 - o l + log2( x - l ) = ------£ ---- 2V 7 log2( x - l ) 621 > log2( x - l )
TO ÁN
l o g x_12 = - .
ID
Phương trình ñã cho trỏ thành
t=l
x=2
BỒ
l + t = -t2 + t - 2 = 0 1• t t=-2 X= — 4
113 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Phương trình
X + logj X = 1 o
logs 5x
l - l o g 5X+ lo g |x = l l + log5X
iogs X= 0
rx = i
o l o g 5x(log 5 x + logs x - 2 ) = 0 Ạ o g ị X+1 = 2 o logg X= 3 log3 x = ±yỈ3 X= 3 ^ .
Í-
HÓ
A
trình:t2 Ta có ñược phương trình: t2 + 1 - 6 = 0 o t = 2 (do t > 1)
TO ÁN
-L
tã cho có hai nghiêm: Vậy phương trình ñã nghiệm: X= 3± 3 %^ . Bài tập 4: 1. Phương trình 4.4lgx - 6 lgx -1 8 .9 lgx = 0
BỒ
ID
ƯỠ
NG
_ '2 Ì ðặt t = | -
lgx
u
/ 2 vg*
UJ
> 0 , 'ta có ñược phương trình: 4 t2 - t - 1 8 = 0 o t - 2 1
1
lg X= - 2 X= —— là nghiệm phương trình ñã cho.
6
100
6
2. Phương trình Ịl + log2Ị4x + l^ jlog2Ị4x + l ) = 2 ðặt t = log2 ^4X+ 1 j > 1.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ta có: ( l + t ) t - 2 = 0t = l
1 x>-_ 2.
.Q UY
3. ðiều kiện:
NH ƠN
=> Ìog2 ị ý x + l j = lx = 0 là nghiệm của phương trình ñã cho;
ĐẠ O
log2x_1(x + l ) + 21ogx+1( 2 x - l ) - 3 = 0
TP
Phương trình log2x_1 (x + l)(2 x - 1) + 21ogx+1(2x - 1) = 4
ðặt t = 10Ỗ2X-1 (x + 1) => ỉ = logx+1 (2x - 1 ) .
HƯ NG
2 rt = 1 Ta ñược phương trình: t + - - 3 = 0 o t2 - 3 t + 2 = 0
ẦN
• t = l< ^ lo g 2X_1(x + l ) = l » x + l = 2 x -l< = > x = 2 (thỏa ñiều kiện).
TR
• t = 2x + ì = (2 x —l ) 2 c ^ 4 x 2 —5x = 0x = —(doñiềukiện)
00
B
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm X= 2;x= —.
+3
10
4. ðật t = log2 X=> X= 2( .
P2
Phương trình ñã cho trở thành: (2 + V2 ) + 2* (2 - V2 ) =1 + 4* (*).
CẤ
Do (2 + V2 ) ( 2 —-»/2 ) = 2t dẫn tới: nêu ta ñặt
A
a = (2 + V2 ) ,b = ( 2 - V 2 ) =>ab = 2l và a ,b > 0
a=l ab.b = 1
"(2 + V2)t = l t = 0X = 1.
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
Khi ñó (*) trở thành: a + ab2 = 1 + a2b2 o (a - l ) ( l - ab2) = 0
NG
Lưu ý: Việc thực hiện hai lần ñặt như trên với mục ñích giúp chúng ta làm ñơn giản hình thức bài tơán, từ ñó ta dễ nhìn ra hướng giải bài toán hơn. 5. ðiều kiện: x > 0 .
BỒ
ID
ƯỠ
Phương trình » 4 1+I°Í2X - 6 log2X = 2.32+21og2x log2 X
0 4.4'«* - 6 log2X -18.9log2X =0 o 4 | - J / 2 \ log2 x
ðặt t = — I 3/
/2Y°S2 x -Ị ± J
18 = 0(*)
_
9
, t > 0 , phương trình (*)=> 4 t2- t - 1 8 = 0 o t = — 4 115
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
f2 W
3J
logo X= - 2 X= —. 2 4
3J
NH ƠN
^2Vog2X_ 9 Bài ỉập 6:
.Q UY
1. Xét hàm sô' f (x) = log3 (2x + 1 ) + X, X> Ta có f (x) là hàm ñổng biêh và f ( 1 ) = 2
* N ế u - —< X< 1 => f (x) < f ( 1 ) = 2 => ( 1 ) vô nghiệm
ĐẠ O
TP
'* Nếu X > 1 => f (x ) > f ( 1 ) = 2 => ( 1 ) vô nghiệm
HƯ NG
Vậy X= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. 2. ðiều kiện: X> 0 .
( l) -
ẦN
ðặt t = log2 X, ta có phương trình: (x + l ) t 2 - ( 2 x + 5 ) t + 6 = 0
TR
Phương trình ( 1 ) có A = (2x + 5)2 - 24(x + 1 ) = 4x2 —4x + 1 = (2x —l ) z
+3
( 2) V
P2
3 3 • t = —— log2 X: X+1 x+l
10
00
B
3 Nên ( 1 ) có hai nghiệm: tx = 2; t 2 = x+1 • t = 2Iog2x = 2 o x = 4.
CẤ
Vì V T (l) là một hàm ñổng biên, còn v p (l) là một hàm nghịch biên và X
A
là một nghiệm của phương trình (2) nên ñó là nghiệm duy nhất của (2).
Í-
-L
Bài tập 7: 1. ðiều kiện: x > 0
HÓ
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= 4 và X= 2.
TO ÁN
ðạt t = log7 X => X = T và phương trình ñã cho trở thành: t = log3
í
t f ^ ÍV?Ỵ 7 2 + 2 72 +2 = 3*
NG
V
) + 2.
BỒ
ID
ƯỠ
Vì hàm sô' f(t ) = V3 /
v3,
là hàm nghịch biên và f ( 2 ) - 1
Nên ( 1 ) có nghiệm duy nhất t = 2x = 7z = 4 9 . Vậy phương trình ñã cho có một nghiệm:
X
= 49.
116
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
(x * 0 2. ðiều kiện: í X> 0 . [2X- 1 >0
Khi ñó, phương trình ñã cho log2ị2x - l j + 2x - 'l = log2X+ X
.Q UY
x = y .
HÓ
Thay vào ( 3 ) và biến ñổi ta ñược PT: 7X_1 - 6(x - 1 ) - 1 = 0 ( 5 )
-L
Í-
Hàm số g (t) = 7f - 6 t - l , có g ,(t) = 7t l n 7 - 6
TO ÁN
=>g'(t) = 7t l n 7 - 6 = 0 o t 0 = lo g 76 - l o g 7ln7 Hàm sô' g(t) nghịch biến trên khoảng ( - 00;t 0) và ñọng biêh trên ( t 0;+oo) nên
ƯỠ
NG
trên mỗi khoảng ñó g(t) cồ nhiều nhất một nghiệm nên phương trình g(t)=0 có nhiều nhâ't 2 nghiệm. Ta thây t 1 = l , t 2 = 2 là hai nghiệm của g(t) suy ra phương trình (5) có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 2 . Hai nghiệm này thỏa mãn ñiều kiện.
ID
Bài tập 8:
BỒ
3. Ta thấy: ị ĩ x 2 + 4x + 5 ) - ịx2 + X+ 3 ) = X2 + 3x + 2 Do ñó, ta ñặt: a = X2 + X+ 3; b = 2x2 + 5x + 4 thì ta có ñược phương trình 117 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
log3a + a = log3b + b o f ( a ) = f(b) ( l ) Trong ñó, hàm f ( t ) = log31 + 1 là hàm số ñổng biến
.Q UY
Vậy phương trình ñã cho có hai nghiệm: X= -2; X= - 1 . 6+x^+ 4x2 + 2 2012x6+x2+1 13. ( l ) o , . X + x + 1i 2012 4x^+2
NH ƠN
Do vậy: ( l ) o a = b o b - a = 0 o x 2+ 3 x + 2 = 0 o x = - l ; x = - 2
Ta có hàm số f (x) = X.2012* tăng trên R nên
(3)
HƯ NG
(2) « • 4x2 + 2 = X6 + X2 +1 o X6 -3 x 2 - 1 = 0
ĐẠ O
TP
(4x2 + 2).20124x2+2 = ( x 6 + X2 + l).2 0 1 2 x6+x2+1 (2)
ðặt u = X2 > 0, phương trình (3) viết lại ú3 - 3u - 1 = 0 (4)
ẦN
Xét f(u ) = u ^ - 3 u - l liên tục trên riửa khoảng [0;+oo).
TR
Dễ thây f(0 ).f(2 )< 0 = > f(u ) = ọ chi có nghiệm trong khoảng (0;2)nên ñặt 7t u = 2cost 0 < t < —■ .
)
B
2
00
I
10
khi ñó phương trình ( 4 ) viết lại
P2
+3
o ' 1 1 7Ĩ _ n 4 COS t - 3 co st = —cos3t = —o ' t = —=>u = 2cos— 2 2 9 9
CẤ
Suy ra phương trình có nghiệm X= ± J 2 COS—
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
Bài tập 9:
o x
(x + l)ln
l
xj
-1
= x2 (x2 + l ) l n í l + - ị ì - l (vì X> 0) ( 1 ) . • V x J -
BỒ
(t + l ) I n | l + ệ - 1
với t> 0 th ì ( 1 ) có dạng: f(x ) = f^x2Ị
118 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
g '(t) =
2t + l -1
4
, có:
_____________ 1
t (t + l ) + (2t + l ) 2 ~
-< 0,V t> 0
t ( t + l)(2 t + l ) 2
.Q UY
Xét hàm: g (t) = ln
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
TP
Do ñó g (t) nghịch biên trên (0;+oo) mà lim g (t) = 0
ĐẠ O
suy ra g ( t)> 0 ;V t> 0 = > f '(t) = (2t + l) g ( t ) > 0 ,V t > 0 hên f ( t ) ñổng biến
Tóm lại PT có nghiệm duy nhâtx = 1.
HƯ NG
trên(0;+oo). v i vậy f (x) = f Ịx2) • » X= X2 « • X= 1.
2. Tacó: Xx+1 = (x + l ) x o ( x + l ) l n x - x ln ( x + l ) = 0.
=ỉn
1 1 X X+1
00
B
, lì 1 1 = -In 1 + - + - + — — x) X x-t-1
X x+l
TR
f'(x) = In x + — i - I n ( x + l ) - —
ẦN
Xéthàm sô f(x ) = (x + l) l n x - x ln ( x + l ) , x > 0
+ -
+3
1
10
\
>0
CẤ
P2
\ xy => f ’(x) > 0 Vx >0=> f (k) là hàm ñổng biên
A
=> f(x ) = 0 có nhiều nhâ't một nghiệm.
Í-
HÓ
Mặt khác: f(2 ) = 31n2-21n3 = ln—0 64 Nên phương trình ñã cho có nghiệm duy nhâ't e (2;3) .
2 x2_2x+1 log2 (x2 - 2x + 3 ) = 22|x_k| Iog2(2|x - k| + 2 ) (*)
ðặt:u = x2 - 2 x + l > 0 ,v = 2 |x - k |> 0 , f ( t ) = 2t logz(t + 2) thì ta có: (*) f(u ) = f(v)u = v (d o f( t) ñổng biên trên [0; +co))
119 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Do ñó phưong trình ñã cho tương ñương với phương trình: -2 x + l = 2 (x -k )
x 2 - 2 x + l = 2 |x - k | o
Jx - 4 x + 2k + l = 0 (1) (x2 = 2 k - l (2)
NH ƠN
X -2 x + l = -2 (x -k )
.Q UY
Phương trình ñã cho có 3 nghiệm phân biệt thì có 3 trường hợp: ® (1) có hai nghiệm phân biệt, (2) có nghiệm kép không là nghiệm của (1) 1 ■ ■ = > 2 k - l = 0 o k = — thử lại ta thây (1) có hai nghiệm phân biệt.
TP
® (2) có hai nghiệm phân biệt, (1) có nghiệm kép không là nghiệm của A i = 3 - 2k = 0 k = —, thử lại ñúng
ĐẠ O
(2)
ẦN
HƯ NG
«» (1) có hai nghiệm phân biệt, (2) có hai nghiệm phân biệt và chủng có ñúng một nghiệm chung => k = 1, thử lại ñúng. 1 3 Vậy k = —;k = —;k = 1 là những giá trị cần tìm.
0 — — + 21og4 X P lo g 22x >0 vlog8x J2
00
>
10
(logx 8 + log4 X2)log2y ỉ ĩ x .
B
TR
Bài lập 11: 1. ðiều kiện: 0 0
HÓ
log2X
>0»
A
log2X+ l
CẤ
P2
+3
-+ log X (log2X+ 1) > 0 «> (log| X + 3)1 log2x + l >0 . lo g 2 X |lo g ,X 0 1
-L
Í-
2. Bât phương trình log3 X < ( l + log3 x)log5 X = log3 3x.log5 X
NG
TO ÁN
• Nếu X > 1 => ( l )
Ị0 g
x.logx 3x > 1
-° ^x > 1 » Iogs 3x logx5 55
3
(1) ñúng
ƯỠ
• Nếu X= 1
XJ°§3_^X > ị ^ log3x
( l)
BỒ
ID
• Nếu 0 < X < 1 rí> ( l ) log5 3x < 1 o 0 < X < 1
Vậìy nghiệm của bâ't phương trình là
3 0 X 1
ĐẠ O
|x e ( - « ; - l ) Ư(2;-H»)hệnàyVÔnShÌệm2 „ 18
x2 + x
NH ƠN
3. Bất phương trình log6
lgx+7
lg x < l
0 2
ĐẠ O
1. o l g 2x - 3 I g x + 2 > 0
.Q UY
phương trình ñã. cho. Bài tập 15:
lg2x + 3 1 g x - 4 < 0 o - 4 < l g x < l —-7 -< x < 1 0 . 10’
TR
ẦN
3. ðặt t = ^ log4 (2x2 +3x + 2), t > 0.
Khi ñó: 21og2 V2x2 + 3x + 2 =21og4^2x2 +3x + 2^ = 2t2
00
Nên bâ't phương trình ñã cho trở thành:
B
.
+3
10
t + l > 2 t 2 2t2 - t - l < 0 < = > 0 < t < l
CẤ
P2
Iog4(2x2 + 3x + 2 )> 0 Í2x 2 + 3 x + 1 > 0 1 / « _ _ < = > -- < x < 2 log4^2x2 + 3x + 2 j < l [2x 2 + 3 x - 2 < 0 2
HÓ
A
Vậy nghiệm bâ't phương trình ñã cho là: ——< X < 2 . X3
-L
Í-
4.ðặt t = log2 x . Ta có: logj — = -31og2x + 3 = - 3 t + 3 ỉ 8
TO ÁN
32 log2 —1= 5 -2 1 o g 2x = 5 - 2 t nên bâ't phương trình ñã cho trở thành: X
ƯỠ
NG
t 4 - 9 ( 1 - 1)2 + 9(5 - 2t) < 4 t2 » t 4 - 13t2 + 36 < 0 » 4 < t 2 < 9
2 < t 0 (do (*)) ’ x(2x - 3 x j v
-L
X >5
1 < X< :
NG
TO ÁN
0 < X < — (kết hợp với (*)) Ịà nghiệm bấl phướng trình ñã cho.
ƯỠ
Bải tập 17:
ID
1. Bâ't phương trình o
/ 0 \sin^x
+3 V■
BỒ
\t
/ 1 \sin 2 x
ìm « (|
\£ +3
t e 124
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
(2V lY Xét hàm sô' f ( t ) = — +3 — , ta thây f ( t ) là hàm nghịch biên. [0:1]
NH ƠN
=> m axf(t) = f(0) = 4. w
Bất phương trình nghiệm ñúng Vx E l o m > max f ( t) = 4
.Q UY
Vậy m > 4 là những giá trị cần tìm . 4. ðặtt = lgx => t > 0 Vx > 1.
TP
Khi ñố bất phương trình ñã cho trở thành:
t2+
(2).
HƯ NG
*t(l)----- - > m
ĐẠ O
t 2- m t + m + 3 > 0 < í> t2 + 3 < m ( t - l ) ( l) .
ẦN
X éthàm số f ( t ) = ^—1— v ớ it e ( 0 ; l) , có f ( t ) = - ---- ~-~ 2~ (2 )có nghiệm 1 6 (0;l) m < f(0 ) = - 3 .
00 10
Ta có bảng biên thiêh f(t) 1
3 0
+3
t r(t)
+00 + +00
HÓ
A
CẤ
+00
P2
-
f( t)
B
• t > l = > ( l ) o m ^ = f(t) (3).
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
(3) có nghiệm t > 1 m > 6. "m 6
125 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
5.
NH ƠN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
o
.Q UY
A. CÁC DANG BÀI TÂP THEO CHỦ ð Ể . C H Ủ ð Ể 1 _______________________
ĐẠ O
TP
PHƯƠNG PHÁP THẾ - BIẾN ð ổ i VỂ HỆ ðẠI s ố . □ Các ví dụ minh h o ạ :
Ị 3 2x+2 + 2 2 y + 2 = 1 7
2.
1.
[2X+ 4 y = 32 [xy = 8
ẦN
(2.3X+1 +3.2y = 8
HƯ NG
Ví dụ 1.1.5 Giải các hệ phương trình:
4 2x2-2 _ 22*2+y + 4 ^ = 1
TR
í 23x+1 + 2y_2 = 3.2y+3x [ v3x2 4-1 + xy = Vx + 1
10
00
B
22y+2 - 3 .2 2x2+y = 1 6
Lời giải.
P2
+3
fu = 3x 1. ðặt < , ñiều kiện u > 0, V > 0 . [v = 2y
A
CẤ
Hệ phương trình ñã cho biến ñổi về dạng:
HÓ
Í9 u 2+ 4 v 2 = 17
8 -6 u
\
9u 2- 6 u + 1 = 0
-17
o
Í-
|6u + 3v = 8
ro
9u2 + 4
8 -6 u
8 -6 u
-L
V= -
fx = - l *-y “ 1
NG
TO ÁN
1 u = — , 3X= — 3
0.
8 li Thay y = — vào phương trình ñầu ta ñược: 2X+ 2 x = 32 . X
126 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
16
Xét hàm số f ( x ) = 2x + 2 x v ớ i x > 0 .
!
X
NH ƠN
16 £ Ta có: f'(x ) = 2x l n 2 - - y 2 x ln2;
•
16 16 Với V x > 0 : f'(x ) = 0 « > x -2 x = — -2 X , x > 0 o x = — ,x > 0
0 và
4 ta có cặp sô' duy nhâ't thỏa mãn bài toán là:
X
(x ;y ) = (4 ;2 ) .
HƯ NG
ð ể ý: Chứng minh f (x) > 32 với X> 0 một cách dễ dàng:
ĐẠ O
Vì vậy với mọi
TP
f(4 ) = 32 vì f '( 4 )> 0 nên x = 4 là ñiểm cực tiểu của f (x ).
.Q UY
—
/ " JẾ 1+ìíx+MÌ 16 f(x )> 2 V 2 x - 2 x = 2 x hcm nữa X+ — > 8 , từ ñây ta có ñpcm
ẦN
X
TR
Cách 2: Ta có x ,y là 2 sô'ñưong, vì nêu x ,y âm thì 2X+ 4y < 2 2 ^ 2 xA y > 2 ^ 2 2J ỹ =32 ðẳng thức xảy ra khi X= 2y suy ra X= 4,y = 2.
CẤ
P2
22y - 3 .4 x2-1.2y = 4
HÓ
A
ðặt u = 4x2_1 ' u > ỉ j , v = 2y (v > 0 ) í u2 -4 u v +V2 =1 (1) -Ị Ị v 2- 3 u v = 4 (2)
Khi ñó hệ (*) viết về dạng:
Í-
'
-L
.
TO ÁN
Cách 1: Từ phương trình ( l ) và
(2) suy ra 4u2 - 13uv + 3v2 = 0 o ( u - 3 v ) ( 4 u - v ) = 0 - » u = 3 v hoặc v = 4u
NG
Thay u = 3v vào phương trình (2), ta thây phương trình vô nghiệm.
ƯỠ
Thay v = 4u vào phương trình (2), ta ñược U= 1
fu = l
BỒ
ID
=> ì
[v = 4
ịV*-1 =1
1
[2y = 4
Íx2- 1 = 0 _ |x = ± l
■1
_ ly = 2
1
ly = 2
Vậy, hệ phương trình có nghiệm (- l;2 ),( l;2 )
127
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Cách 2: V ì
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
V
= 0 k hôn g là nghiệm của hệ, từ phương trình ( 2 ) su y ra
(3). 3v v ' Thay ( 3 ) vào ( l) , ta ñược 2v4 —31v2 —16 = 0 ^v2 —16^ 2v2 + l j = 0 :=> V2 = 16 => V = 4
NH ƠN
* u=
.Q UY
„ 1
/
Íx+1>0
HƯ NG
23x+1 + 2 y_2 =3.2y+3x (1) ,----- --------------•v/3x2 + l + xy = VX + 1 ( 2 )
4.
ĐẠ O
Vậy, hệ phương trình có nghiệm (-l;2 ),(l;2 )
fx = ± l
TP
T. , í u = 1 ^ Í4 x2^ = 1 _ fx 2 - l = C) Ta có: •! o í < 0 4 ịv = 4 [2 ^ = 4 ly = 2 [y = 2
Í x > -1
« Ị ; (3 x ; y _ 1 ) = 0
ẦN
„ PhuonS t ì n h ( 2 ) « | 3“x; “ + x y = x + i
TR
fx > -l
<
B
lx = 0 V y = l - 3 x
10
00
Với X = 0 thay vào phương trình ( 1 )/ ta ñược:
11
211
P2
+3
2 + 2y~2 = 3.2y 8 + 2y = 12.2y 2y = — ■» y = log, —
thay vào phương trình ( l) , ta ñược: 23x+1 + 2~3x_1 = 3.2 ( 3)
CẤ
Với I
HÓ
A
ðặt t = 23x+\ vì X > -1 nên t > - ị 4
Í-
Phương tình ( 3) trở thành: t + —= 6 o t 2~ 6 t + l = 0cí>
t = 3 —2a/2
-L
t = 3 + 2 V2
TO ÁN
ðối chiếu ñiểu kiên t > —— ta chon t = 3 + 2V2 . 4
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Ta có : 23x+1 - 3 + 2 V2 ó X= ~ [lo g 2 (3 + 2V2 ) - 1 ]
=>y = l - 3 x = 2-Iog2(3 -t-2V2 j x=0
x = i [ l o g 2(3 + 2 7 2 ) - l ]
Vậy, hệ cho có nghiệm : y=
Szu
y = 2 - I o g 2(3 + 2>yp)
128
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ví dụ 2.1.5 Giải các hệ phương trình: ìo g 8 xy = 3ỉog8 xlog8y
[ ( ^ r ĩ ) y = ^ E i (!) 2 <
X 3 log 2 - = 7 log y X
y
4
y + log3x = l
y
NH ƠN
1.
(2)
.Q UY
2 logi-x (-x y - 2x + y + 2) + log2+y ( x2 - 2 x + l ) = 6
3.
TP
.logi-x(y +5H ° g 2+y(x + 4 ) = l
x - y = ln x + 2 3 y+2
(2) w
HƯ NG
4. •
ĐẠ O
6x2 + y 2 - 5 x y - 7 x + 3y + 2 = 0 ( 1 )
2x3 - y 3 = (2 y 2 - x 2) ( 2 y - x ) ( l ) 5. J 1 2 (2) Lời giải. 1. ðiều kiện: X> 0,y > 0,y
00
B
1
log2x + log2y = log2xlog2y
10
'log8xy = 31og8xlog8y
X
TR
ẦN
log2 x + logxy1 6 - 4
3,
, ■ 3 log2 X lo g2 x - I o g 2 y = y P ^
41og2y
P2
+3
: - - j lo g y x y 4 y
A
u (v -l) = v 3
HÓ
2u = u v + 4v
" \( v * 0 ) (*)
Í-
u + V= uv 3u (v * o ) « u —V= 4v
CẤ
ðặt: u = ]og2 X ; V = log2 y hệ phương trình trở thành:
TO ÁN
-L
Nêu u = 0 thì V = 0 trái với ñiều kiện, do ñó u ^ 0
V V—1
u=-
Khi ñó hệ (*) ñưa về hệ :
4v2 - 8 v + 3 = 0
NG
2= v+4v
u=V—1
(u ,v * 0 )
BỒ
ID
ƯỠ
f 3a f I s) Hệ này có 2 nghiệm : (u ;v )= -1 ; — hoặc (u;v) = 3 - 2 V 2/ Vậy, nghiệm của hệ phương trình ñã cho là ( x ; y ) = Ỉ ;V 2
, (x ;y ) = ( 8 ; 2 V2 ]
129 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. ðiều kiện: 0 < X < 4
NH ƠN
. Phương trình (2) suy ra y = 1 - Iog3 X 3y = 31-log3X = |og~—= — (3) Thế ( 3 ) vào ( 1 ), ta ñược ị\íx + ĩ —l j —= ----------
'X
X
.Q UY
x 2 + 2x = 0 o x = 0= > y = - l hoặc X = -2 = > y = 1 . x+4 Kiểm tra lại với ñiều kiện (*), ta thấy (x;y) = ( - 2 ; l) thỏa mãn.
TO ÁN
o
NG
Vậy, hệ cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( - 2 ; l ) .
BỒ
ID
ƯỠ
4. ðiểu kiện: X> —2,y > - 2 . Phương trình ( l ) viết lại ( y - 3 x + 2 ) ( y - 2 x + l ) = 0y = 3 x - 2 hoặc y = 2x - 1 Phương trình ( 2 ) viết lại: x -3 1 n (x + 2) = y - 3 I n ( y + 2) Xét hàm sô' f(t) = t-3 1 n (t + 2) với t > - 2
130 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
t —1 Ta có: f'(tị) = - — trên khoảng (-2;+oo): f'(t) = 0t = l
!
NH ƠN
Lập bảng biêh thiên, nhận thây hàm f(t ) nghịch biên trên khoảng ( - 2 ; l) và ñổng biến trẽn khoảng (l;+oo)
.Q UY
Với X= 1 => y = 1 thỏa mãn hệ phương trình.
Với x,y e(-2;+co) và khác 1 =>f(y)>f(x)
TP
Thật vậy, vì y = 3x - 2 hoặc y = 2x —1
ĐẠ O
Suy ra y —X= 2(x —l ) hoặc y - X = X- 1. Nhận thây:
Với x < l = > y < x = > f ( y ) > f ( x ) , do hàm sô' nghịch biến trên ( - 2 ; l)
HƯ NG
Với x > l = > y > x = > f (y ) > f (x ), do hàm sô' ñổng biên trên (l;+oo) Vậy, hệ phương trình cho có nghiêm ( l ; l )
Ịo < xy
ẦN
Ịx > 0 ;0 < y * l 5. ðiều kiên: < 1
I o g 24 x y
00
B
TR
£ Phương trình (2) tương ñương với log, X+ ----- ---- = 4 - log, y , tức 1
4
log2xy
n g h ĩa là
+3
logz4xy
10
lo g 2 x + lo g 2 y = 4 -------- ------= 4 ----------—
P2
4 2 log2 xy = 4 ------------ , quy ñổng và rút gon ta ñươc : (log2 xy - 2) = 0
CẤ
log2xy
A
Suy ra log2 xy = 2 f '( t ) = 2l ỉn 2 + 1 > 0, Vt e M Vậy f (t) là hàm ñơn ñiệu tăng trên R ,m à f(x ) = f(y ) nên X = y .
Với X= y , phương trình thứ 2 trở thành: (x2 - 3 x ) \ /x 2 - 3 x - 2 > 0
1I32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1x 2 - 3 x > 0
1 Ci>X< —— V x = 2 V x > 3 j xX< < —— _ ỉ "V V xX> 2 2 2 I |x < 0 v x > 3
? 2« - 4 8y2* L 3( 2 ^ - ^ ) 2 ^^ 4 y ^? 2
= = .1
.Q UY
jV x 2- 3 x - 2 > 0 ^
(1) (2)
2
TP
»
NH ƠN
x=2vx=-
Vx2 - 3 x - 2 = 0
ĐẠ O
ðiều kiện : X> 0,y > 0
X éthàm số: f ( t ) = 2r +1+3V t
( t > 0 ) ,t a c ó :
HƯ NG
Phương trình ( l ) viết lạ i: 2X +1 +3%/x = 2^4y^ +1 + 3 y ịĩ ỹ (3)
ẦN
f'(t) = 2t.2t +1ln2 + —^=>0 với V t> 0 , suy ra hàm số f ( t ) ñồng biên trên
TR
nửa khoảng [0;+oo), khi ñó phương trình (3) o x.= 4y ( 4 )
00
B
ðặt u = X+ y , phương trình ( 2 ) trở thành : 2U +1 + 3-s/ũ = 7 ( 5 )
+3
10
Xét hàm SỐ f (u) = 2U +1 + 3Vũ ñổng biên với mọi u > 0.
P2
Hàm số f(u ) cắt g (u ) = 7 tại giao ñiểm có hoành ñộ u = l , suy ra phương
CẤ
trình ( 5 ) có nghiệm duy nhâ't u = 1 tức X+ y = 1 (6). 4 1 f 4 1^ Từ ( 4 ) và (6 ) suy ra X = —,y = —. Vây, hê cho có nghiêm —
5
‘
v5 s )
HÓ
A
5
.
"2y(4y2 + 3 x 2) = x 4(x 2 + 3) ( 1 )
Í-
3.
-L
2012x( V 2 y - 2 x + 5 - x + l ) = 4024 ( 2 )
TO ÁN
Nêu X = 0 thay vào ( 1 ) thây không thỏa mãn. 2y
2y
= x3 +3x
NG
Nếu x ^ O , chia cả 2 vê'của ( 1 ) cho X3, ta ñược:
ƯỠ
Xét hàm s ô 'f(t) = t + 3t, V te R .T a c ó f'(t) = 3t +3 >0, Vt e K do ñó f(t)
BỒ
ID
2y 2 ñồng biên trên R , từ ñây ta suy ñược — = X tức 2y = X X Khi ñó phương trình ( 2 ) viết lại: 2012X_1^-J(x —l ) 2 + 4 —(x —1 )^ = 2 (3).
133 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðặt u = X—1, khi ñó (3) trở thàn h : 2012“ Ịa/u2 + 4 - u j = 2.
.Q UY
Ta có: g'(u) = 2012u(Vu2 + 4 - u ) In2012— r 1 ' '• Vu2 + 4 ,
NH ƠN
Lại xét g(u ) = 2012u|V u2 + 4 - uj với u e M .
TP
Vì Vu2 + 4 > u và ỵ Ẳ — =r< l< I n 2 0 1 2 nên g '(u )> 0 với u e R . \/u 2+ 4
HƯ NG
1 nhâìt của phương trình (3). Từ ñó X= 1 và y = —.
ĐẠ O
Suy ra hàm số g(u ) ñổng biến trên jR và g(o) = 2 nên u = 0 ỉà nghiệm duy
Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = 1;— l 2/
ẦN
/I .,2 I ; 4. ðiều kiện: y + 2x ^> n0
TR
2(x3 + 2 x ) - 2 ( y + l ) = x2(y + l) Hệ phương trìrdi cho viết lạ i:
10
00
B
y 3 + 4 x + l + ln(y2 + 2 x ) = 0
+3
(x2 + 2 ) ( 2 x - y - l ) = 0 hay
y = 2 x -l tức là
y 3 + 4x + 1 + lnỊy2 + 2xỊ = 0
CẤ
P2
y 3 + 4 x + l + ln Ị y 2 + 2 x j = 0
HÓ
A
Từ ñó suy ra (2x —l) 3 + 4x + 1 + ln (2x —l ) 2 + 2xỊ = 0
Í-
Xét hàm SỐ f (x) = (2x - 1)3 + 4x + 1 + In (2x - l ) 2 + 2x với Vx € R
-L
Dễ thấy f(x) luôn ñổng biên với Vx G M và f(0) = 0, suy ra phương trình
TO ÁN
f(x) = 0 có nghiệm duy nha't X= 0. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm duy nhâ't (x; y) = (o; —l ) .
BỒ
ID
ƯỠ
NG
5. ðiều kiện : X> 0,y > 0. Phương trình ( l)
ex —X= ey —y có dạng f (x) = f (y).
Xét hàm sô': f (t) = er —t với t > 0. Ta có : f ’(t) = e t —1 > 0 với t > 0 , suy ra hàm sô' f(t) luôn ñổng biên trên
khoảng (0;+oo) và f(x) = f ( y ) « x = y .
134 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Với X= y thì phương trình (2 ) trở thành ìogị X—3 log2X—2 =
0( 3 ).
NH ƠN
ðặt t = log2 X, phương trình (3 ) viết lại t2 —3t —2 = 0 , giải phương trình này ta ñược t = 1 hoặc t = 2. Với t = 1 tóc log2x = l < ^ x = 2. X
=4
.Q UY
Với t = 2 tức log2 X = 2
Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là (2;2),(4;4).
TP
6. ðiều kiện : X > 0,y > 0.
ĐẠ O
Phương trình ( 1 ) tương ñương với
HƯ NG
ex3+x + ln x = Iny + ey3+y dạng f(x) = f(y ). Xét hàm s ố : f (t) = ln t + el +t vói t > 0.
ẦN
Ta có : f '( t ) > 0 với Vt > 0 , suy ra hàm sô' f(t) luôn ñồng biên trên khoảng
TR
(0;+oo) và f;(x) = f ( y ) - ^ x = y .
4
(3 ).
00
B
Với X= y thay vào phương trình (2 ) ta ñược X8 + 3 x 4 =
10
ðặt 11 = X4 với u > 0 , khi ñó phương trình (3 ) trở thành u2 + 3u —4 —0,
+3
phương trình này có nghiệm u = 1 thỏa ñiều kiện u > 0 .
CẤ
P2
Với u = 1 tức X4 = 1 hay X2 = 1 suy ra X = 1. Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) là ( l; l) •
1. -
v---------
TO ÁN
4
-L
Í-
HÓ
A
Ví dụ 2.2.5 Giải các hệ phương trình:
ð ề dự bị ðH khối A - năm 2007
BỒ
ID
ƯỠ
NG
X+ Vx2 - 2x + 2 = 3y_1+ l 3. ■ ,___ __ __ _ y + A/y 2 - 2 y + 2 = 3 x- 1 + l
w
2xy 2 , y + ------ — ------ - y + x
ð ề dự bị ðH khối B - năm 2007
135
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Lời giải. X3 + X+ log2X= 8y3 + 2y + log2(2y)
1. Phương trình ( l)
(3)
NH ƠN
Xét hàm sô': f (t ) = t 3 + 1 + log21 với t > 0 Ta có: f ( t ) = 3 t2 + 1-+— ỉ — > 0 với V t > 0 ,d o ñ ó f ( t ) luôn ñổng biên trong
í
y = — thỏa y > 0 .
TP
Với X = 2 y , phương trình (2) trở thành : y 2 = —
.Q UY
khoảng (0;+oo), phương trình (3)f(x) = f(2 y ) tức x = 2y
l ì
HƯ NG
ĐẠ O
Vậy, hệ cho có nghiệm: (x;y) = 1;— V 2/ 2. ðiều kiện: xy > 0.
ðặt t = log2 (xy) => xy = 2l , khi ñó phương trình ( l) trở thành: 9t - 3 = 2(2t )I°g23< *3 2t- 3 = 2.3t o 3 Zt- 2 .3 t - 3 = 0
ẦN
o
(3f + l ) ( 3 t - 3 ) = 0 , suy ra 3l = 3 tức x
TR
Phương trình (2) X2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0
00
B
(x + y ) 2 + 2 (x + y ) - 2 x y + l = 0 « ( x + y ) 2 + 2(x + y ) - 3 = 0 do (3),
10
phương trình này tương ñương ( x + y - l ) ( x + y + 3) = 0
CẤ
P2
+3
X+ y = -3 hoặc X+ y = 1 íx + y = -3 íx = —1 fx = - 2 T H 1: í ị hoặc w =2 [y=-2 [y= -i
fx + y = l
A
trường hợp này vô nghiệm.
HÓ
TH 2: < ' [xy = 2
Í-
Vậy, hệ ñã cho có nghiệm
-L
3j. ð ặ t a = X —l , b = y —1
TO ÁN
Hệ phương trình
BỒ
ID
ƯỠ
NG
X + Vx2 —2x + 2 = 3y : + l ( l ) X—1 + J ịx —ì ỷ + 1 = 3 y 1 __________ v )
Ậ 2 + y 2 + 1 - - J x 2 - y 2 =3
u + v = 2V ũ v + 4 ( u > v )
,2 , „2 , 0 u2 + V2 + 2
í
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Ta có hệ:
y/x + y = 2 + y Ị x - y
-L
Í-
HÓ
log2 ựx + y = 31og8 (2 + y/x- y
( u + v )2 - 2 ụ v í 2 _ v ^ j 3
141 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
=>Vuv + 8Vũv + 9 - Vũv = 3 o u v + 8 Vũv + 9 = Ị3 + Vũv j uv = 0
Phương trình ñẩu ñưa vê' phương trình: 3x + 1 = 4 y ịĩ ỹ
.Q UY
Phương trình thứ hai viết lại: 2 ^ -4y + 2 = 10= >4y = x 2 —9
NH ƠN
5\ x > - - , y > 0 ,x z - 4 y > 0
6. ðặt t = 2log3'Xy^> 0 , phương trình ñầu suy ra t = 2=> log3(x y) = 1
ĐẠ O
TP
3 o x y = 3 -» y = — X
HƯ NG
36 í 9ì 9) log4| 4x2 + ^ f j = | + l o g 4x + Iog4 ( X+ — 4x "*— T' =2x X+ — X2 X2 = 3
TR
x = yỉẽ,y = ^ -
B
7. ðiều kiện: x + y > 0 v à x - y > 0
ẦN
« 2 x 2+ - ^ - 1 8 = 0 « x 4 - 9 x 2+18 = 0 o
x = \/3 ,y = V3
10
00
Phirơng trình ( 1 ) viết lại 5“(x_4y) = 5 2 tírc - ( x - 4y ) = ———, nghĩa là X = 3y .
+3
Thay X= 3y vào phương trình (2 ), ta ñược:
P2
log2(4 y ) + log2(2y) = 5 tức log2(8 y 2) = 5, nghĩa là y 2 = 4 suyra y = ±2.
CẤ
Kết hợp ñiểu kiện => y = 2 Kết luận: hệ phương trình có 1 nghiệm (x;y ) = (6 ;2 ).
HÓ
A
8. ðiều kiện: 0 < X 1,0 < y ^ 1
Í6x + 4y = x 2 fx2 - 2 x - 8 = 0 fx = - 2 , íx = 4 _ _^ I _ 1 hoặc |x + y - 2 = 0 [y = 2 - x [y = 4 [y = - 2
ID BỒ
Í6x + 4y = xz Í6x + 4y = x2 , v Í6x + 4y = x2 i . ■ tức { ' hoặc ị 3_ ((x -y )(x + y -2 ) = 0 |x - y = 0 ịx + y - 2 = 0
Í6x + 4y = x2 íx 2 - 1 0 x = 0 fx = 0 fx = 10 * í ị 0 , ta có:
ĐẠ O
f'(t) = 3t2 + 1 H— -— > 0 với Vt > 0 , suy ra f (t) luôn ñồng biến trên khoảng
HƯ NG
(0;+°o)
Phương trình (*)f(x) = f(2y)x = 2y thay vào phương trình thứ 2 ta
ẦN
tìm ñược (x ;ỷ )= 1;— V
TR
2. ðặt t = log7(2x + 3y) suy ra 2x + 3y = 7t . Khi ñó phương trình ( l ) trở
10
00
B
í 7 í 1 thành 2t = log3(7t + 2 ) tóc 9* = 7 * + 2 o Ị ^ - J + 2 |^ J = 1 ( 3 )
j + 2^— , dễ thây hàm sô'này ỉuôn nghịch biến trên M
P2
+3
Xét hàm số f (t) =
CẤ
và f ( l ) = l do ñó phương trình ( 3 ) có nghiệm duy nhâ't t = l tức 2x + 3y = 7
A
hay 3 y = 7 - 2 x .
HÓ
Thay 3y = 7 —2x vào phưong trình ( 2 ), ta ñược
-L
Í-
ln^4x2 + x + l ) + x 3 + 21 = 3 ( 7 - 2 x ) tức ln^4x2 + x + l ) + x3 + 6x = 0.
TO ÁN
Xét hàm sô' f(x ) = ln^4x2 + x + l j + x3 +6x với x e M .
ƯỠ
NG
c,r \ 8x + l _ 2 /- T 2 24x2 + 14x + 7 _ Ta có: f (x) = —V —----- + 3x +6 = 3x + ------ ——---- -— >0 vớiVx ễ e M nên 4x +X + 1 4x +X + 1 f(x ) luôn ñổng biến trên R và f(0 ) = 0 , do ñó phương trình ( 2 ) có nghiệm 7
BỒ
ID
x = 0= > y:
Vậy hệ ñã cho có nghiệm: (x;y) =
Vs°
i 143
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
B. BÀI TẬP Tự LUYỆN. Bài tậỆ 1: Giải các hệ phương trình sau: [x2 + y 2 = 29
Ịx + y = 5
l o g i ( y - x ) - l o g 4- = l 4 y
4.
ilo g 4 X - Iog4 y = 1
X2
+ y 2 =25
ỉog2(x2 + y 2) = l + log2(xy)
ĐẠ O
Ilogx xy - l o g y X 6.
^y21ogyx = 4 y + 3
HƯ NG
3 x 2-x y +y2 = 8 1
l o g i ( y - x ) - l o g 4ỉ = l 4 y
y / x - l + y Ị ĩ - y =1 8.
ẦN
3.1og9(9x2) - l o g 3y 3 = 3
+ y 2 =25
TR
X2
.Q UY
í xiog8y+ y>°S8^= 4
NH ƠN
Ịìgx + lgy = l
2.
TP
Í2X + 2 - 1 2
23x= 5 y 2 - 4 y
Ỉg(x2 + y 2) = l + 31g2
10.
B
9.
10
2X+2
=y
P2
+3
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
00
lg(x + y ) - l g ( x - y ) = ỉg3
4 X + 2 X+ 1
CẤ
ìogx ị x 3 + 2 x 2 - 3 x ~ 5 y j = 3 1.
" [4X+ log 2 y = 5
HÓ
A
logy (y 3 + 2 y 2 - 3 y - 5 x ) = 3
2 Í2X+ ỉog2 y + 2Xlog2 y = 5
Í-
ịlo g ^ (x + y) = 2
4. <
8 (x 4 + y ) - 6 x4- y =:0
TO ÁN
-L
3.
(x 4 + y)).3y- x4= l
Í3'x.2y = 1 152
+ 71- ì
X3 - — 3x2 + 5x + 9 > 0 3
ƯỠ ID BỒ
xlog2 + log2 y = y + log2 ^
r 2 3x+l + 2 y - 2 = 3 _2 y+3x
7.
2 -6 =0
I g (3 x - y ) + Ig(y + x ) - 4 l g 2 = 0
NG
5.
y-2 x
\2 x -y
log 2 X - lo g 2X2 < 0
8.
V3x2 +1 + x y = Vx + 1
X Iog3 12
+ log3 X = y + log3
2y
144 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
9.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
lo g 2 x + 3 J 5 - l o g 3 y = 5
10. 4 y x = 32 Ịjog3(x + y ) = l - l o g 3(x + y)
3ựlog2x - l - l o g 3y = - l
NH ƠN
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
X
ỉog4 (xy + 1 ) - Iog4 (4 y 2 + 2y - 2x + 4 ) = log4 - - 1
TP
1.
.Q UY
Ịlog4 (x 2 + y 2) - Iog4 (2 x )+1 = ỉog4 ( x + 3y)
2x2y + l + x(y + 2)
21o g 3x+1 ( 2 x + 1 ) - 1 = l o g 3x+1 =
0
ẦN
2y_5 + 22x+1 - 1 6
6x 2+ 5x + 1
HƯ NG
log3^ (2Zx+y + 22x-y - 2 ) = 4(2y + l)lo g 9 2 V2 V
3.
ĐẠ O
V2y + 3 - V 2 x - 3 = 2 2.
TR
2x2+y2.4x+y =32
00
B
j ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 ( x 3 + y 3 ) + 4 ( x 2 + y 2 ) = i 3 + 2 x 2y 2
+3
10
Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:
P2
Ị e x - e y =(Iog2y - l o g 2x)(xy + 1 ) ( 1 ) (2)
CẤ
ix 2 + y 2 = l
A
2Iog3_x (6 - 3 y + xy - 2x) + log2_y ị x z - 6x + 9} = 6
X2
- l ó x + 64
>0
(x + 2) = 1
TO ÁN
3.
+4
Io ỗ 2-y
Í-
X2
(5 - y) -
-L
l o § 3 -x
HÓ
2.
ỉgVx + 7 > l g ( x - 5 ) - 2 1 g 2
4.
NG
2 (x ~ y )2 + ( 2 x - l) 2 = 3 y ( x - l) + x
x - y = ln (x + 2 ) - ỉ n ( y + 2)
ƯỠ
3
ID
■(1 + 4 2«-,)5 w » , = 1 + 2 2 l,y > 1
HƯ NG
ey = 2 0 1 1 -
Vx2 - : 2. Chứng minh rằng với a > 0 hệ phưong trình sau có nghiệm duy nhâ't:
ẦN
j e x - e y = ln ( l + x ) - l n ( l + y)
B
TR
Ịy - X = a 3. Tìm tâ't cả các giá trị tham sô' m ñể hệ phương trình : có hai nghiêm phân biêt. (2)
P2
c. HƯỚNG DẪN GIẢI.
(1)
+3
10
00
'lo g ^ x + l j - i o g ^ x - l ^ l o g g i , „ . Iogz(x 2 - 2 X+ 5 ) -m lo g i2_2iiíS2 = 5
CẤ
Bài tập 1: 1. Từ x + y = 5= > x = 5 - y thay vào phương trình thứnhâ'tcủa hệ, ta ñược:
A
2y = 4
= 1 2 o 2 2 y - 1 2 . 2 y + 3 2 = 0
HÓ
+ 2 y
y = 2=>x=3 y = 3=>x = 2
Í-
2y =8
-L
Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (2;3), (3;2).
TO ÁN
5. ðiều kiện: 0 < x,y ^ 1.
BỒ
ID
ƯỠ
NG
iogxy = 21ogy ^iogy x Ịli + ỉogxy 21ogy x = logy (4y + 3)
r í x =y X -4
flogxy = l
Ịx2 = 4y + 3 flogxy = - 2 lx2 = 4 y + 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
Jlog‘ y ++ loị [log^y logx y - 2 = 0 Ị x 2 = 4y + 3
x -3 = 0
x =y =2
+ yỈ7
X - 2
1 4y + 3 y - l = 0
y
4
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1
(
'
6. ðiều kiện: xy > 0
X2 -
xy
+y 2 =
4
íx2 + y 2 = 2xy
Jx = y
jx2-x y + y2= 4
|x z =4
.Q UY
log2(x2 + y 2) = log2(2xy)
Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = ( -2 ; -2 ) ,( 2 ;2 ) .
TP
[x -y >0
9. ðiều kiện : -Ị Ix
NH ƠN
Vậy h ệ dã cho có hai cặp nghiệm: ( x ;y ) = ^2 + V ỹ;2 + \/7 j, Ị 2; —
ĐẠ O
+y>0
Ig(x2 + y 2) = l + 31g2 = lg l0 + lg23 = lg80
HƯ NG
Hệ
x + y
l g ^ = lg3 x -y
[x -y
[x = 2y
=3
[x = ±8
ẦN
[x 2 + y 2 = 8 0
^ l y 2 = 1 6 ° j y = ±4'
TR
^ | x = 2y
X2 + y 2 = 8 0
00
B
Kết hợp với ñiều kiện, ta thấy hệ có một cặp nghiệm: (x;y) = ( 4 V3 ;2 \/3).
10
Bải tập 2: 1. ðiều kiện:
+3
0 0
A
y 3 + 2y2 - 3 y - 5 x > 0 Í2x2 - 3 x - 5 y = 0
Í-
HÓ
j|x x 3 + 2 x 2 - 3 x - 5 y = xx3 Khi ñó hệ .Ị y 3 + 2 y 2 - 3 ỵ - 5 x = y 3
-L
2x - 3 x - 5 y = 0 9
X -y
NG
TO ÁN
■
7
+ x -y =0
(2y2 - 3 y - 5 x = 0 2x - 3 x - 5 y = 0 w
_
,
[(x -y )(x + y + l) = 0
(do x,y > 0 )
x =y x = y = 4 . ■ [2x 2 - 8 x = 0
ƯỠ
ðôí chiếu ñiệu kiện, ta thây: X = y = 4 là nghiệm của hệ ñã cho.
BỒ
ID
2. ðặt a = 2X;b = ỉog2 y . ía + b + ab = 5 fa + b + ab = 5 Ta có hệ: „, < 9 >ệ: i , (a + b = 5 [(a + b) -2 a b = 5 147
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ja + b - - 5 fab = 5 - ( a + b) • I(a + b)2 + 2(a + b )~ 15 = 0
jab = 10
(VN0)
NH ƠN
ja + b = 3 jab = 2
\ab = 2
[b = 2
'/ \ =>(x;y).
[b = l
v
;
.Q UY
fa + b = 3 ja = 1„ J p - 2 1 i _ hoặtf ị
TP
Vậy hệ ñã cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (0 ;4 ),(l;2 ).
ĐẠ O
Bài tập 3: 1. ðiều kiện: x ,y > 0 2(x2 + y 2) - = log4 (x + 3y)
HƯ NG
log4
i.
Hệ ñã cho
_
P2
+3
4x2 + 2 y - 2 x + 4
- 3 x y + 2y2 = 0
(l)
4y
Ta có: ( l) < = > ( x - y )( x -2 y ) = 0
x=y x = 2y
A
CẤ
X2
4 y (x y + l ) = x^4x2 + 2 y - 2 x + 2j (2)
X
10
x ý ịl
B
= x + 3y
X
00
2(x2 + y 2)
TR
ẦN
xy + 1 , _ X — -------= log4 — l0S4 „_.2 4x + 2y - 2x + 4 4y
HÓ
• x = y thay vào (2),ta ñượcí 4 xỊx2 + l j = x^4x2 + 2 j o X - 0 (loại)
TO ÁN
-L
Í-
• x = 2y thay vào (2), ta ñược: 4y^2y2 + ì j = 2 y (r 6 y 2 - 2 ỹ + 2^ 4 y 2 - y = 0
1 1 y = —■=> X = —.
NG
2. Phương trình thứ hai của hệ 3 log3 Ị 22x+y + 22x y —2 j = 3 log3 22y+1
BỒ
ID
ƯỠ
22x+y + 22x_y - 2 = 2.2Zy ọ 22x-y (22y + l ) - 2 ( 2 Zy + ì)|= 0
^22y + 1 j |2 2x~y —2 j = 0 2Zx-y = 2 y = 2x —1 thế vào phương trình thứ
nhất của hệ, ta ñược: v 4 x + l - v 2 x - 3 = 2 V4x + 1 = 2 + V 2 x -3 4x + i = 4 + 4 \/2 x - 3 + 2 x - 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
X = 2 => y = 3
2
x = 6=>y = 11
X - 8 x + 12 = 0
NH ƠN
x = 2 s/? x -3
Vậy hệ có hai cặp nghiệm: (x;y) = (2;3), ( 6 ; l l ) .
.Q UY
_ Í0 < 3 x + l * l 1 3. ðiểu kiên : í —— 0 3
ĐẠ O
xy(2x + l ) + 2x + l
=
HƯ NG
. ,2 « l o g s„ , ( 2 X + l )
TP
/ \ 2x2y + l + x (y + 2) Ta có: 2 log3x+1 (2x + 1) - 1 = log3x+1---- ^ ----6x +5X + 1
(xy + 1)
B
l o g3x+l ( 2 x + 1 ) Z = 1 ° g 3x+l
TR
y = 8
P2
2
+3
Thay vào phương trình thứ hai của hệ, ta ñược:
CẤ
2 X 2 +y2+2(x+y) _ 3 2
4. Hệ ñã cho
A
y 4 + 4-(x3 + y 3Ị + 4-Ịx2 + y ^ = 13
HÓ
X4 +
X2 + y 2 + 2(x + y ) = 5
Í-
(x2 + 2x) + (y 2 + 2y} = 5 ( x 2 + 2x ) + ( y 2 + 2 y ) = 13
TO ÁN
-L
( x 2 + 2 x ) 2 + ( y 2 + 2 y ) 2 = 13
ðặt a = x 2 +2x;b = y z + 2 y = > a , b > - l .
NG
Ta có h ệ :
fa + b = 5
a = 2;b = 3 fa + b = 5 1 => a = 3;b = 2 ab = 6 [a + b = 13
ID
ƯỠ
Tá có: t 2 + 2t = 3 t 2 + 2t - 3 = 0 Í=>V T (3)>0>V P (3)=Í>(3) vô nghiệm. VT(3) < 0 < v>p(3) => (3) ñúng
HÓ
Nêu X < 1
Í-
=>(3) có nghiệm - 1 < X< 1.
TO ÁN
-L
Suy ra hệ có nghiệm «■ ( 2 ) có nghiệm - 1 < X < 1.
X2 - 2 x + 3 T a c ó :(2 )o m = -.. - = f(x ).
■.
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Xét hàm sô' f ( x ) v ớ i - l < x < l ,c ó : f'(x ) = —— —~2~■=>f'(x) = 0x = 2--\/3 . (x -2 )
Dựa vào bảng biến thiên
hệ có nghiệm - 2 < m < 2 - 2 V3 .
Bài tập 6: 1. Trừ hai phương trình của hệ, ta ñược: ex — J=x= = -= cy ey —
Vx2-1
y
yỊy2-1
150
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
( l ) . Trong ñó, hàm số f(t) = et — , t Vt2 - 1
t > 1 có:
.Q UY
NH ƠN
f(x ) = f(y )
TP
Thay vào hệ, ta có phương trình: ex + --1-. - 2 0 1 1 = 0 (2). Vx2 - 1
1
=>g"(x) = ex H—
HƯ NG
g'(x) = g*-
ĐẠ O
Xét hàm số g(x) = e* + -7 = = = r-2 -2 0 1 1 , X> >1 1 có: VX2- 1
> 0 V x > :1.
ẦN
CHUYÊN ðỀ III____________________________
00
B
TR
CÁC VẤN ðỀ LIÊN QUAN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHẢN VÀ ỨNG DỤNG.
P2
+3
10
Trong chuyên ñề này cung câp kiên thức về phép tính tích phân. Nắm vững phương pháp tính tích phân biến số và tích phân từng phần. Vận dụng tích phân trong một số bài toán tính diện tích các hình phẳng và tính thể tích các các vật thể.
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
Bài toán nguyên hàm của hàm sô' là bài toán ngược với bài toán tìm ñạo hàm nhưng khó hơn nhiều. Trong bối cảnh hiện nay, máy tính ñược phổ biến rộng rãi, do vậy tác giả biên soạn những bài toán cơ bản. Những bài tập khó, phức tạp, mang tính chất mẹo mực, tiểu xảo ñược loại bỏ. Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Nguyên hàm. 2. Tích phân. 3. ứ ng dụng tích phân.
NGUYÊN HÀM
NG
§ 1 .
ƯỠ
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:
ID
- Nắm ñược nguyên hàm của một sô'hàm sô' thường gặp.
BỒ
- Nắm ñược phương pháp biên số và nguyên hàm từng phần.
2. Kĩ năng: - Vận ñụng thành thạo tính châ't cơ bản của nguyên hàm. 151
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA. 1.ð ịnh nghĩa:
2.
Các tính chất:
NH ƠN
Cho hàm số f xác ñịnh trên K. Hàm sô' F ñược gọi là nguyên hàm cửa f trên K nếu F'(x) = f(x ) V x eK . x
.Q UY
ðịnh lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K ñều có dạng F (x)+C , C eM . Do vậy F(x) + C gọi là họ nguyên
ĐẠ O
TP
hàm của hàm f trên K và ñược kí hiệu: Jf(x)dx = F(x) + C.
ðịnh lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K ñều có nguyên hàm trên K
+ j[f(x )± g (x )]d x = Jf(x)dx± jg(x)dx.
HƯ NG
ðịnh lí 3. Nếu f,g là hai hàm liên tục trên K thì:
TR
ð ịn h líể . Nếu Jf(x)dx = F(x) + C thì
ẦN
+ Jk.f(x)dx = k J"f(x)dx với mọi sô' thực k ^ 0.
00
B
Jf(u(x)).u'(x)dx=Jf(u(x)).d(u(x)) = F (u (x)) + C. Nguyên hàm mở rộng 1 = —In|ax + b| + C
ax + b
a
dx
1
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
P2
+3
Các hàm sơ câp thường gặp
10
3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
—— - = tanx + c J cos X
1
BỒ
ID
ƯỠ
+
152 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
, r ax + b , C húý: I---------Ĩ--------- rdx
•'( c x - a )( d x - p )
'
l
ì
cx-a
' + cỉ
1
ld x - p
.Q UY
, , ax + b • Lây nghiệm của cx —a thay vào ------ - ta ñược p , J o , . ax + b . Lây nghiệm của d x -p thay vào —---- ta ñược q
TP
•
NH ƠN
Tách phân thức trong tích phân trở thành: p
ĐẠ O
cx-a c. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ.
HƯ NG
1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích. 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp ñổi biên s ố .
ẦN
3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần .
TR
o CHỦ ð Ể 1 ___________ _____________
10
00
B
TÌM NGUYÊN HÀM BANG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
+3
□ Các ví dụ minh hoạ:
CẤ
P2
Ví dụ 1.1.1
71 ,
16
A
■;" 22x 1. Tìm nguyên hàm của hàm sô' F(x), biết f(x ) = sin 2x và fFÍ 8
Í-
HÓ
2. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x ) = sin2x.tanx thỏa mãn
-L
ì ị . ã .TW ^ ÃU f W ) .. U. 3J) 4 U ;
TO ÁN
3. Xác ñịnh a,b,c sao cho F(x) = Ịax2 +bx + (cj> /2x -4 là 1 nguyên hàm của
■ rr,
,
ƯỠ
NG
,, x _ 2 0 x 22 -2 9 x +. 7n , V hàm sô f(x ) = ------ —---------- trong (2;+oo). _ _ V 2X-4 _____ Lời giải .
1-C0S4X , ,
2n
X
BỒ
ID
1 .Tacó: f(x j = sin 2x = ---- —----- ,h àm sô f(x ) có nguyên hàm là F ( x ) = —X - —s i n 4 x + c
2
8
153 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Vậy, F(x) = —X - —sin4x + —. 2
8
8
.Q UY
2. F (x )= [sin2x.tanxdx= [2sin J4.co sx .^ i-d x = 2 fsin2xdx J J cosx J
TP
F (x )= | ( l - c o s 2 x ) d x - x - Sin^- + C
7t
4y
4
1
2
3
>/3
f 7 ti
71
a /3 -1
sin2 — + — - —= 2 23
7C
212
ẦN
^ 71 ^
n
HƯ NG
„ / \ sin2x V3 F(x) = x -----+ w 2
ĐẠ O
c f Jti a/3 n 1 . 2n r _ ' Ỉ 3 _ ^ r _ y Ỉ 3 n F — = — « ^ - - - s i n — + c = — =>C =Jr - —r l3 i 4 3 2 3 4 2 3
B
TR
, . 5ax2 + (3 b -8 a )x + c - 4 b 3. Ta CÓ: F'(x) = -------------- v-.... ’ ------------------v ’ V 2X -4 a=4
10
00
5a = 20
+3
Ta luôn có: F'(x) = f ( x ) , Vx > 2 khi và chỉ khi 3 b -8 a = - 2 9 b = l c= ll
P2
c - 4b = 7
CẤ
Vậy, F(x) = ^4x2 + x + l l j V 2 x - 4 .
Í-
l~ lfx
HÓ
A
Ví dụ 2.1.1 Tìm nguyên hàm:
Jl
^ )
TO ÁN
-L
1
„3
\2
dx
Ỉ2 = í~----~dx 2
J x + 1
I3 = ---- - —r-dx 3
J(x + 1 )5
P h â n tí c h t ì m lờ i g iả i:
3 ì = X2-6V r rr. ^ T~^ ’ ' rvxdx /T7j = -~ 2xVx + c„ X— ~ X+ — .ð ểý: I X 7 J 3
BỒ
ID
ƯỠ
NG
f
=> J-v/ax + bdx= jVax + b —d(ax + b) = — (ax + b)Vax + b + C. 3 3â £ * = In|x| + C ^ J ^ x - J ^ . ỉ . d ( a * + b) = iln |a x + b| + C Trường hợp x > 0 = > j—dx = lnx + c .
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
( f + l ) - 2 J x 3+ l)
'■ x + 1
x+1
2
x+1
x+1
x+1
NH ƠN
g 3 -i
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðểý: a3 +jb3 = (a + b )(a2- a b + b2Ị. X
x+ l - l
1
1
.Q UY
(x + l) 5 ~~ (x + l) 5 ~ (x + l ) 4 (x + l) !
'
v
1 -n
r
( n -l)(x + l)
ĐẠ O
JV
TP
f— - — dx = f(x + l) nd(x + l) = f c ^ — + c = ---------- ----- =r + c.
J(x + l ) n
HƯ NG
=> [----- —— d x= [(ax + b)~n.—.d(ax + b) = ------------- -------- -T + C (ax + t ) n JV ' a v 1 a ( n - l ) ( a x + b) Lời giải
ẦN
dx = j x 2- 6 a/ x + — dx = —x3-4xV x+91n|x| + C.
TR
1. Ij = j Ị x - ụ L
10
00
B
rx3 + l - 2 , / 2 1 2 V X3 X2 . I „ 2. I2 = I— — — dx = J X - x + 1 -----— dx = - — - + x -2 1 n |x + l| + c X+ 1 X4' ly 3 2
A
CẤ
P2
+3
3. I3 = f- - 5 dx= / ---- -----------3 J(x + 1)5 \ ( (X x ++1) l ) 4 (x ( * ++ :i y \ 1 1 ------ — T"*--------- — Ĩ-+ c. 3(x + l ) 4 (x + ,l)
HÓ
Ví dụ 3.1.1 Tìm nguyên hàm:
l2 = j - ^ — 1 2 In -f J
e2x +
.Q UY
. h2 = Jh grX- dt = u '(x )d x . Khi ñó: 1= jg (t)d t = G(t) + C = G (u(x)) + C
HƯ NG
Chú ý: Sau khi ta tìm ñược họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u (x ) □ Các ví dụ minh hoạ:
/
I3 = í
A\201Q 2012
(3x + l )
dx
00
B
\ị = jW x + ld x J
TR
21 12 = x X10 (x + 3)
ẦN
Ví dụ 1.2.1 Tìm nguyên hàm:
10
Phân tích tìm lời giải:
P2
+3
1. xVx + 1 = (x + l - l ) V x + l = (x + l)Vx + l - V fx + l
CẤ
= j(x + l)V x + l d x - JVx + ld x = J(x + l ) 7 x T ĩd ( x + l ) - jVx + ld (x + l )
A
Vì thế gợi ý ta ñặt ẩn phụ: t = x + l= > d t = d(x + l ) = l.dx
HÓ
Khi gặp tích phân dạng: I = JfỊVaxk + b,xkjxk_1dx ta ñặt t = axk +b.
-L
Í-
2. ðặt t = X+ 3 3.
x + 1) 2012 (3x + l )
TO ÁN
\2010
3x + l
(3x + l )
ƯỠ
NG
x+1 Dễ thây ( * + ^ 1' = ----- — r- do ñó ñặt t = 3x + l V3X + 1J (3X + 1)2 Lời giải
BỒ
ID
1. Ij = JWx + I d x . Cách 1:ðặt t = x + l = > x = t - l v à d x = dt
Khi ñó Ij = J ( t - l ) Vtdt = JtVtdt - JVtdt
157 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
= - t 2Vt — t^ft + c = 2 tVt 5 3 5
+ C = 2(x + l)V x + l | 3 I
= J(x + l)Vx + ld(x + l ) - JVx + ld(x + l) 2 (x + l) V x + I
5
3,
+c
l"l n _ ní .X /---- - Í 3 x - 2 + C = 2(x + l)V x + l ỉ —----- + c 3.
TP
x+1
= 2(x + l)\/x + l |
5
.Q UY
2(x + l ) 2 Vx + 1
1
NH ƠN
Cách 2: Ij = J(x + l)V x + l d x - jVx+Tdx
x+1
ĐẠ O
V 5
2Vx+l
HƯ NG
Bạn ñọc xem cách giải sau có ñúng không?. •1 _____ ðăt t = Vx + 1 => dt = — , - dx hay ñx = 2Vx + ld t = 2 td t.
•
/ t 4. t2>>
Khi ñó Ỉ! = j (t 2 - l)2 td t = 2 | ( t 3 - t)dt = 2 2\
t2
I
/
xf x + l
ì
r
x2 - l
00
B
----- 1 ++cc ==(x (x++ll ) í--------x + 1 1 + c —----------f-C. V2 J \ 2 ) 2
10
=t
TR
ẦN
+c
CẤ
P2
+3
f x 2dx 2 _ J/ o\10 (x + 3)
A
ðặt t = x + 3=>x = t - 3 và dx = dt. 2
1_________ 3________ 1___
7(x + 3)7
4(x + 3)8
(x + 3)9
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
Khi ñ óI 2 = jÍ ! ^ - ' l t = | t ^ - 6 t ^ + 9 t-1» ) d t = - i . + Ặ - ì + C
X+1 , -2d -2dx x dx _ 1 , ðặt t = — -— =>dt = — ——-T=>— ——TT= - - d t
_„
3x + l
(3x + l ) 2 ^ (3x + l ) 2 ~
BỒ
ID
ƯỠ
NG
I3 = jf 010 JV3x + l J (3x (3x++ll))
Khi ñó I3 = - - Jt2010dt = -
158 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
t 2011 4022
2
x+1
\2 0 1 1
-+ c = — 4022 ,3 x + l ,
+c
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
.Q UY
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Phân tích tìm lời giải:
ĐẠ O
TP
3. Trong tích phân chứa X và X2 gợi ý (x2)' = X,
HƯ NG
do ñó ñặt t = Vx2 + 1 hoặc t -=x2 + 1 . Khi ñặt biến t ta cũng cẩn ñể ý cả 2 v ế của ñẳng thức có cùng tập xác ñịnh, ví
_______ xdx_______
tdt
_
V l + x2.\/l W l + X 2
dt
V ĩ+ t
TR
4. ðặt::: t - y Ị l + x 2
ẦN
dụ tính tích phân |%/xdx nếu ñặt t = Ẩ/x là sai, mà ta phải ñặt t3 = X.
.
, r t5dt
= 6 11 t 2- t + l — — dt t+1
P2
+3
dx
10
00
1. ðặt t = \ / l + x = > t 6 = l + x = > 6 t5dt = dx
B
Lời g iả i
CẤ
= 2t3 - 3t2 + 6t - 6 ln |t + 1| + c
HÓ
A
= 2VI+X - 3^/ĩ+x + 6V ĩ+ X - 6 ln I^ĨTx +lị +c t2 - 9
2 .ðặt Vx2 + 9 = x - t = > x :
-L
Í-
2t
TO ÁN
t + 9 1í - t - 9 ,:2 =1V — 2t 2t /
ƯỠ
NG
/
(t2- 9 )
(t4 - 8 l )
ị
4t
16J
t5
3 162 6561 6561 +t dt = — — £ - 1 6 2 1 n |t |+c 16 4t 4
Ịx -V x 2+ 9 j
ID BỒ
. t2 + 9 , •dx = — 7T-dt 2t
16
-1621n
:->íX
+9
6561
+c
tỊx -V x 2 +9 j4
159
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3. ðặt: t = Vxz + 1 => t2 = X2 +1 => tdt = xdx _ r
x>/x2 + l ~ _ f dt
xdx
tdt
x2Vxz + 1 ~ (t2 - l ) t
1 /
^t2 - l
_ f
1_____ 1 'W
2 ^ t-l
lí,
t+lj
t-1
a [ n t+l
NH ƠN
dx
+c
.Q UY
'_ f
TP
V ậ y l3 = ì l n í ^ I ^ ỉ | + C . 2 (^Vx + 1 + 1,
V i + x2.a/i + V ì + x2 _
ĐẠ O
4. ðặt: t = V l + x2 =>t 2 = X2 +1 => tdt = xdx xdx _ tdt _ dt
HƯ NG
~
ẦN
I4 = í- 7ẩ L = = 2 V Ĩ + t + C = 2 V l W l + x2 +c. ■JV ĩ + t
U = [—V -dx
J
2
X
I, = f— -— dx
r 5sin x + 2sin2x , ị2 = I — ■ ' „ r dx Jcos2x + 6 c o s x + 5
+3
10
f 3 , Ji = Jtan xdx J
cos
B
1
00
L = ftan2xdx
TR
Ví dụ 3.2.1 Tìm nguyên hàm:
Jl + sinx
ftanx, Ỉ3 " I 3^ x Jcos X
P2
p/xán fic/z tìm lời giải:
CẤ
.2 1 1. tan X = — =5------ 1
A
COS X
HÓ
1 1 Vì (tanx)' = — -T— => d(tan x) = —
cos
X
dx
X
Í-
COS
NG
TO ÁN
-L
Nên í — -r—dx = ị ñ(t anx) =t anx + c Jcos X J 1 1 r 1 d x = J—d[tan(ax + b)] = -ta n (a x + b)+c 3 L â •'cos2(ax + b) -*a 4
V COS4 X
~
2
■
2
r* r\c V /-'n c V COS2X COS2X
—Ị l + tan x j .
'\
'' rCOS2X n c
BỒ
ID
ƯỠ
rn c
1 1 Mối liên hệ giữa tanx và — -r— là gì?, ñó là (tanx)' = — -ỹ—, từ ñó gợi mở COS X COS X
ý tưởng I2 = I"— d x = í(l + tan2x). — dx ñặt t = tan x. Jcos X JV 7 COS X
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
h ú
ỷ :
\ z
-
Ị—
dx = j Ị l + t a n 2 x ) . —
COS X
d x = J Ị l + ta n 2 x j d ( t a n x )
^ Y ~
COS X
1 3 = tanx + rtan x + c. 3 Jcos
X
d x = ftan2x ( l + tan2x )—
COS X
J
v
J
' COS
— dx = fỵ ---------------
Jl + sin x
____ 2 í
2cos
n
X
4~2
HƯ NG
i ñó: I3 = í
71
X = 2 co sz
ĐẠ O
sinx = cos ^ - - x = > l + sinx = l + cos u J U
TP
3. sinx = cosỊ^—- x j , l + cos2x = 2coszx
dx X
.Q UY
Mởrộng: 1= f— ~ ^ dx = 'ftan2x —
NH ƠN
C
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
X
--r u 2
ẦN
4. In = Jtannxdx,n>2.
B
TR
tan" X= tan2 x.tan"-2 X= I — \ — 1 )tann~2X= — .tan"-2 X- tan"-2 V COS X ) cos X
10
00
In = [tannxdx= í— .tann~2x d x - ftann-2xdx J Jcos X J
tann-1x - jtann~2xdx.
P2
+3
= jtann_2xd(tanx)- Jtann_2xdx = —
CẤ
Bài to á n trên th a y n = 3.
5sinx + 2sin2x _ 5sinx + 4sinx.cosx _ (4co sx + 5)sinx
Í-
HÓ
A
cos2x + 6cosx + 5 cos2x + 6cosx + 5 COS X+3COSX + 2 Dễ thây (cosx)' = - s i n x do ñó ðặt t = cosx=>dt = -sin x d x .
-L
6. Dễ thấy (cosx) = - s in x = > d ( c o s x ) = -sin x d x
NG
TO ÁN
A' ĩI3 =, _ rj—-j-dx tanx^ = _ - Jv r(~sinxdx) _ fd(cosx) 1 Do ñó: - ; > = - j- ^ p - = — ■ +c Jcos X J COS X COS X 3.COS X Lời g iải
1. Ij = ftan2xdx= I] — \ — l]d x = f—
ƯỠ
J
ID
2. \z = ■[—
Jv COS X
)
d x = |*(l + tan2x).— ’
J
dx.ð ặt t = tanx=>dt = — \r —dx
COS X
cos X
BỒ
Jcos X
d x - |dx = t a n x - x + c.
J COS X
K hi ñ ó I2 = J ( l + t 2 jdt = t + - t 3 + C = t a n x + —t a n 3 x + c .
161 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
x'l
-2d [ —I = f— - i — d x = f--------- J -------- x d x = J--------Y
J l + sinx
~2
\
J2cos2 r - _ x i 2cos2i — 1 2) 2)
u
u
.Q UY
= - J d t a „ ( 2 - | ] = - t a n ( i - | ] + C.
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Jj = |tan3xdx= |tanx.tan2xdx = Itanx — -----1 dx J
Vc o s X
1
)
TP
J
1
ĐẠ O
= I— -r— t a n x d x - | t a n x d x = f— ị r — t a n x d x - f t a n x d x Jcos X J Jcos X J A = f— -r— t a n x d x
HƯ NG
Jcos X
1
2
1
J
cosx
+3
10
Jcosx
00
B
J
B= ftan xd x -
J
2
TR
cos X
ẦN
1 ðặt t = tanx=>dt = — dx cos X 1 X 1 A = f—Ịr—tanxdx= ftdt = - t 2+ C, =-rtan2x + C,
= ~ J ~ = ~ lnlal+ C2 = -»n|cosx| + c2
CẤ
P2
B= - J-
A
Vậy ]a = A - B = - t a n 2x + ln|cosx| + C.
-L
Í-
HÓ
1 p(4cosx + 5)sinx.dx 5. J2 = — -------------- ----------- .ðặt t = cosx=>dt = -sin x d x 2 J COS X+ 3COSX + 2 7
^ ,
BỒ
r 4t + 5 J f3(t + l ) + (t + 2) -----dt = - 1- ; ,, . dt Jt2 + 3t + 2 J (t + l ) ( t + 2)
= ~
j ( ^
+ ^
)
d t : = ~ 3 1 n ỉt + 2 H
n ỉt + 1 l + C
= -31n|cosx + 2 |-ln |c o sx + l| + C.
6 . j3 =
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
Khi ñó 2 = -
f tanx , (• sinx , , —-rr-dx= ■ dx.ðặt t = cosx:=>dt = -sinxdx=>sinxdx = -d t
J cos X
J cos X
= j~4~ =— ~T+C =------V - + c Jt 3.t 3.cos3x
162 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ví dụ 4.2.1 Tìm nguyên hàm:
1.
:
cosxsin
1
_
cosxsin2x
Ỉ2 ~ L{. sin2x -5 s in x + 6
X
p/21nx + 3 , *3g J— V dx
dx
NH ƠN
W
cosx
-dx
Phân tích tìm lời giải: _ cosx
cosx cos2xsinz x
.Q UY
1
( l - s i n 2x]sin2x
1 (t + l ) - ( t - l )
lí
1_____
(t -l)(ịt + l) - 2 ( t - l ) ( t + l) " 2 ^ - 1
t +1
1
A
B
HƯ NG
Hoặc:
ĐẠ O
1
TP
Vì ( s i n x ) ' = c o s x n ê n g ợ i ý ñ ặ t t = s i n x : = > d t = c o s x d x .
( A - B ) t + A + B _ IA - B = 0
( t - l) ( t + l ) “ t^ T - t + ĩ = ( t - l) ( t + l)
o A = B= :
ẦN
Áp dụng cồng thức:
=>-| a + B = 1
_
P2
(A + B ) t - 2 A - 3 B ^ [A + B = 0
A
B
t-2
t-3
_ fA = l
^ Ị-2 A - 3B = 1 ^ |
CẤ
(t-2 )(t-3 )
1
t 2- 5 t + 6 - ( t - 2 ) ( t - 3 )
+3
:- 5 s in x + 6 sin2x-
1
10
1
00
B
TR
J-^dx = ln|x| + C=> J—- — dx= j —- — .d(ax + b) = ỉlnjax + b| + c X ! ax 4"b ax 4"b cl 3 2. Vì (sinx)' = c osx= >d (sin x) = cosx.dx . ðặt t = sinx.
b
= -1 i
1
Lời giải
Í-
HÓ
A
2 _ _ 2 3. Vì (21nx + 3)' = —, g ơiý ñăt t = 21nx + 3=>dt = —dx=>—dt = —dx. X X 2 X
TO ÁN
-L
■, t _ r 1 J _ f cosx J L *1= Jcosxsỉn J— ~ 2 ~Xdx = JỊ J7------— r"dx l - s i n xjsirrx ðặt t = sinx=>dt = cosxdx
NG
Ị dt _ rt2 “ (1 _ t 2 L _ i f i í ( i - t 2) t 2 í ( i - t 2)t2 V
1 L t2- J
BỒ
ID
ƯỠ
, 1
1 1,
t-l .„ 1 1 , sin x -l --In + c =— sinx 2 sinx + 1
„
163 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
cosx
4
I2 = j~2— ------dt = {j— Ặ ---------------------------- rdt = idt -W- 2 J t 2- 5 t + 6 J( t- 2 ) ( t- 3 ) J (t-2 )(t-3 )
= J—Ỉ—dt —J— —dt —lnịt—3| —Ịnịt—2ị+c =In —
2
1 2 / 7
r ,
tJ t
2 3
3
3
----------- + c
P H
Á P
B A N G
T Ừ N G
P H Ạ N
00
liên tục trên [a;b] và có ñạo hàm liên tục trên [a;b].
Judv = u v - jv d u (* ) b
10
V
+3
□ Phương pháp: Cho hai hàm sô' u và
N G
H À M
B
P H Ư Ơ
N G U Y È N
TR
T Ì M
ẦN
CHỦðỂ3
Khi ñó:
(21nx + 3)k/21nx + 3
P2
o
J2
+c.
HƯ NG
1
+ c =
ĐẠ O
fl
X
K hi ñ ó L = f - V t d t = - . - t V t + C = —
sin x -2
TP
____ 2 1 1 3 . ðặt t = 2lnx + 3=>dt = —dx=>-xdt = —dx. X
sin x -3
.Q UY
+c = ln
NH ƠN
-dx 2->2 = J', sin2x -5 sin x + 6 ðặt t = sin x=> dt = cosx.dx.
CẤ
ð ể tính tích phân I = jf (x)dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: a
HÓ
A
Bước 1: Chọn u,v sao cho f(x),dx = udv (chúý:dv = v '(x )dx ).
Í-
Tính v = Jdv và du^u'.dx.
TO ÁN
-L
Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính Jvdu. Cẩn phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng' tìm ñược
V
và tích
ƯỠ
NG
phân jvdu dễ tính hơn j u d v . Ta thường gặp các dạng sau
BỒ
ID
Dạng 1:1= Jp(x)
sinx cosx
d x , trong ñ ó p ( x ) là ña thức
V ớ i d ạ n g n ày, ta ñặt u = p ( x ) , d v =
sinx cosx
dx.
164 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
D ạng 2 : 1= Jp(x)eax+bdx
|u = p(x) với dạng này, ta ñặt í
, trong ñó p(xì là ña thức
dx
v '
NH ƠN
[dv = e Dạng 3: 1= jp(x)ln(mx + n)dx
TP
sinx
dv = p(x)dx
exdx
cosx
ĐẠ O
Dạng 4: 1= ị
.Q UY
íu = ln(mx + n)
Với dạng này, ta ñặt
HƯ NG
■ sinx u= cosx ñể tính jvdu Với dạng này, ta ñặt * dv ==exdx Ví dụ: Tìm nguyên hàm: X
-dx cos2x
I3 = J(2x + 1) ln2 xdx
00
B
ỉ2 = jcos 2x.e3ỉídx
TR
ẦN
□ Ví dụ minh hoạ:
10
Lời giải u -X
+3
-co tx
sin2x .
I,
P2
dv =
ídu = dx
dx -
1
x c o tx + - jcotxdx
CẤ
1. ðặt
—X-dx,
Í-
ð ể ý: A = [cotxdx=
HÓ
A
1 1 fd(sinx) 1 1 , 1 = — x c o t x - - —- ----- - = — x c o t x - —In sinx + c . 2 2 J sinx 2 2
J
TO ÁN
-L
J
u = cos2x
(
c ín Y
vì (sinx)' = cosx => d(s in x )= (sin x )'d x = cosxdx
du = -2sin2xdx
v = - e 3x 3 dux = =2cos2x f U l= sin 2 X fdUj 2cos2x ðặt < => I
ƯỠ
NG
dv = e dx
ID
Ịdv!=e
BỒ
1 ~ 2 •I2 = - e 3x c o s 2 x + - Jsin2x.e3íídx. 33
dx
V j= -e3
=> I"sin2x.e3xdx = —e3x. s i n 2 x - — fcos2x.e3xdx = —e3x. s i n 2 x - —12
J
3
3J
3
3 2 165
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2 1, 4 e3x c o s 2 x + - e \ s i n 2 x —-I2 =>IZ= — (3cos2x + 2sin2x)+C
v
du = 2 - ^ d x X
NH ƠN
fu = ln2x 3. ðặt i dv = (2x + l)d x
2
VV = X + X
’
.Q UY
1 ,
=>I2 = - e
I3 = (x2 + x ) ln 2x - 2 jỊx2 + x j-^ -d x iu1 = ln x ðăt: { , . [dvt = (x + l)d x
TP
dx
HƯ NG
ĐẠ O
x Vi = i x; + x
Khiñó J(x + l)lnxdx = - | x 2 + 2 x j ln x -—J(x + 2)dx
10
Các hoạt ñộng cơ bản:
00
B
TR
ẦN
= ỉ ( x 2 + 2 x ) l n x - — - X + C’ 2' ' 4 2 Vậy I3 = ^x2 + x)ln2x - Ị x 2 + 2xjlnx + — +2x + c .
P2
+3
□ Hoạt ñộng 1: Tính nguyên hàm F(x) của f(x ) biết 3. f(x) = sin2x.cos3x và F -—ìh o . V2/
2. f(x) = và F (l) = 2. x ( l + lnx)
4. f(x) = sin4x + cos4x và F
HÓ
A
CẤ
1. f(x) = 3x2 - 2 x + l và F(2) = l
và F(-3) = 10.
-L
5. f(x) = - -
2
Í-
3
v2y
TO ÁN
6. f(x ) = 2cos2x + 2sin3x + xz và F —j = - 3 .
NG
/
8. Tìm hàm sô' f ( x ) , biết
BỒ
ID
ƯỠ
f(x) = 6 s in 3 x -1 2 m c o s3 x + 24 thỏa ñiều kiện F(0) = 20 và F \
ƠN I a
7. Tìm m ñể nguyên hàm F(x) của hàm số ■N -
f ( x ) = 4(x + l ) e Ịf(x)dx = (ax + b)e2x + c
với a ,b e K
166
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
0 Hoạt ñộng 2: Tìm nguyên hàm: V3
I2 = JỊ3x2 - 3 x + ^ - l ) d x
— dx
'l i x - 1 f2x2 + 3x - 1 , 1 = ----- ——— dx ■3 x+ 2
f2x3 - x \ / x + 3 x + l , I4 = J -----------ñx
c 2x 4-1 , I, = - 5— — r-dx 5 •'x - 3 x + 2
I = f------- ỉ --- - cosx= > dt = (cosx)'dx ícosxVdx = -sin x d x hav íc o sx ì = -sin xd xdx Tathấy, hay d d(cosx)
l-c o s2 x — —------ +
+c
TP
- + COS COS X
i~~
x - 2 dx = t a n x - - x + ỉ s i n 2 x + c 2 4
ĐẠ O
2 ~~ ■*COS2 X
1
dx =
3
1
, ,dx = — lí l - c o s 2 x + — %— |dx 2 Jl COS X, 2 cos X J
HƯ NG
_ ị-sĩn X
cos4 X
sin3 X
I1 = j ( l - s i n 2x ) d ( s i n x ) - jcos3xd(cosx) = sinx-
.Q UY
t = sinx=í>dt = (sinx)'dx = cosxñx hay d(sinx) = cosxdx
NH ƠN
h = I c o s x d x = jcos3x ( l + sinx)dx = j j ^ l - s i n 2xjcosx + cos3xsinxJdx
ẦN
x - ^ s i n 2 x + tanx +c. 2
TR
Hoạt ñộng 5:
2 .• 1 . _ . 1 rt2+ 2 , 1 f| l.ðăt t = x + l= > x d x = - d t =>1. = — — dt = — • 2 1 2 J t3 2J
10
00
B
dt
= —ỉnltl— ^Y+ C = —ln|x2 + l | -------- — 7 + C 2 t2
2
I
I 2ị
+3
11
x
z
+ lj
P2
2
CẤ
2. ðặt t = X + Vx2 +2x + 4 => (t - x)2 = X2 + 2x + 4
Í-
HÓ
A
• 2x(t + l ) = t 2 - 4 = > x =
t 2- 4
_ t2 + 2t + 4
2(t + l ) -
2(t + l )
1 (^ + 21 + 4 /
Ị J (t + lf + 3 '
4 J
4 J
(t + ự
(t+ ự
-dt
NG
*
TO ÁN
-L
Và Vx2 + 2 x + 4 = t - x = t -
t2 - 4 , t 2 + 2t + 4 , — -Y=> dx = -------——at 2(t + l ) 2(t + l ) ‘
ID
ƯỠ
1 , 6 9 —— I t + ln---------1--------- Ị dt = - — + t + 61n|t + l | ------- — r +.C 4 2 4 t + 1 (t + 1) 1 1 2(t + l)
BỒ
3. Vì X 7*0 nên chia cả tử và mẫu cho X2 (Nếu không có ñiều kiện X 9É0 thì không ñược phép chia cả tử v à mẫu cho X2 ). 169
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
*!+í +1
K )
NH ƠN
.Khi ñó I3 = í-------- ^ ----- d x =■ f-----------^2----- d x - 1
3 I, = L *
1 r i ± H M d t4
Jt2- 1
2 J ( t - l ) ( t + l)
11
— Idt
2J rt
I
3
X2)
TP
{
ĐẠ O
X
.Q UY
1 r n ðặt t = x + - = > d t = 1 — -7 dx. i
—ỉ l rn
+ C = ỈJn
t+l
2
X2 + X + 1
+c.
HƯ NG
2
x2 - x + l
J ( x 2- 4 ( x 2- 4 W x 2- 4 4. ðặt t = x 2- 4 = > J = -B--------- — + C = - ----- -------------+ c.
3
3
ẦN
1
TR
Ị—---- (x2 - 6 Ì 5. ðăt t ==X +3 => JL= Vx2 + 3 -—-— - + C. 3
t 2+ 4 J
B
t 2 —4
rr-
. dt
Ỉ
A
Ị Z
+ C v ớ i t = x + Vx + 4 .
Í-
HÓ
A
CẤ
■2 o l í +4'2 — — 81n|t| — 4. Hoạt ñộng 6:
Vx 2 + 4
f £ ^ ± Í Ế d t - ỉ / t - l + * ìd , 4 J t3 4 Jl t t3 J
P2
«1, . ư ^ Ỵ í U 3 t ) t
t
dx
+3
10
00
6 . ðặt t = x + V x + 4 = > x = — — = > d x = -— 2 d t và 2t 2t
3^/(2x + l ) 5
-L
2. ðặt t = 2 x + 1 => I2
3^/(2x + Ự
20
8
TO ÁN
/
3. ðặt t = X + V x 2 + 4 => d t
NG
•dt
= — =>I3 =
ƯỠ
- ^ =
Vx2+ 4
dx = 1+Vx2 + 4v
I“
dx
'x2+4 ìnịtị + C =
ln x +
Vx2+
4 Ỉ+ C .
t 2 —2 t
4. ðặtt t = l + V2x V 2 x + ll==> > 22x ++ l = = ( t - l ) 2=>x 2=>x = =— — — ^ = > d x = (t-l)d t
BỒ
ID
+e.
1 r( t 2 —2 t)(t —l) d t • l . ^
r
T
1 f/ , ;
l
!
”
)
t3
3t2
1
7
t l t C
170
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
fl + V2x+I)3 3Íl + V2x + l ) 2 ~
4
+ (i + > /ã ^ ĩ) + c .
NH ƠN
6
____
5. ðặt t = x + ^/x2 + l = > t - x = 7 x 2 + l ^ t 2- 2 x t + x2 = x 2 + l
t2+ l
1 f t2+ l
) = 7 T I + e " t = > l ! = 2 l n |t + 1 l ' t ' ln |t|+ c
ĐẠ O
T‘ c ,S :? ^
=^*2 = 2 i t = ( l + t )
.Q UY
^ x =l ^ d x = ^ d t
.
TP
t2- l
ðặt t = —j J L = Vx2 + 1 Hoạt ñộng 7:
7.ð ătt = ^ x + ĩ ’
8. ðăt t = X
ẦN
6.
HƯ NG
Hay J2 =21n 1 + X+Vx 2 + 1 + x - V x 2 + 1 - l n x + 7 x 2 + 1 + c .
B
TR
1. Ij = jsin5x ( l - s i n 2x)cosx.dx .ðặt t = sinx=>dt =cosx.dx
+c .
10
00
=> It = jt s ( l - 1 2)dt = j(t 5 - 17 )dt
P2
+3
dx 2. I2 - J. ðặt t = tanx=>dt = cos2x cos 2 x(tanx + 2 )
1 -ta n X
Í-
1 + tan2 X
. ftan 4 x ( l + tan 2 x)dx _ I3 = J------------ —4 — -— .ðặt t = tanx -tan X
-L
3. cos2x =
HÓ
A
CẤ
I = [— tít ------------- + c = -+ c. J(t + 2)3 2(t + 2) 2 (tanx + 2 )
dt_^
NG
1 ri* r1
~ ,
1f 1
+ Jj
TO ÁN
^ Ỉ3~ h - t 2
1
-r-i +
2 ^ 1 -t
+
1
1
1+ t)
dt
t3 1 1+ t dt = - - — 1+ —ỉn +c 3
2
1 -t
ID
ƯỠ
tari3x 1 . 1 + tanx _ = ----- -V------ tanx + —l n ----- ----- + c . 3 2 1-ta n x
BỒ
„ . rtan4x , f tan4x . r tan4x Cách 2: L = — — dx= ---- — - dx = ---- —7 —------ 7-rdx Jcos2x Jcos x - s i n X Jcos x í l - t a n x)
ðặt t = tanx. Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Hoạt ñộng 8:
1 + lnx
+c.
.Q UY
= ln |x |- ỉn |l + Inxị + C= ln
NH ƠN
ị. ðặt t = lnx:=>ñt= — =>1, = f - ^ - = ( f l — — ìñ t = t - l n | t + l| + c f X 1 Jt + 1 \ t+l) 1 1
2. ðặt t = l + vT+7nx = > ( t - l ) 2 = l + lnx=>Inx = t 2- 2 t
ĐẠ O
TP
Lấy vi phân hai vê'ta ñược: — = ( 2 t - 2 ) d t
HƯ NG
=> I,2 =2 Jf(t4 - 5 t 3 + 8 t 2 - 4 t ) d t = -Ct 5 - -ot 4 + — t3 - 4 t 2 + c o Với t = 1 + Vlnx + 1 .
ẦN
3. ðặt t = In(lnx) + l j^t - 2 +
dt = 1
ídu = 2dx
[dv = co s x d x
Ị v = s in x
=>l1 = j ( 2 x - l ) c o s x d x
+3
10
[u = 2 x - l
00
B
Hoạt ñộng 9: 1. ðặt
ln X-) - 2 ln (ln x) ■+ỉn |ln (ln x)Ị+ c ■
TR
xlnx
u=x+ l
Ị
[ d u = dx
[dv = sin x d x
Ịv = - c o s x
HÓ
A
2. ðặt
CẤ
P2
= (2x - l)sin 2x - 2 jsin xdx = (2x - l)sin 2x + 2 COSX+ c
+ l)cosx+ Jcosxdx = - ( x + l)cosx+sinx + C.
Í-
= > ì2 = - ( x
TO ÁN
3. I3 = fr
-L
xlnịx W x 2+ 1 1 h Jx
4'.x2 + l
.
= |ìn(x + v x 2 + l ) -= = — dx. J 1 'V ? 7 ĩ
NG
u = ln(x + Vx2 + l )
ð ặt: •
X
dv = - p = = d x Vx2 + 1
J
== >‘
1 X 1 + —7 »
vx 2+ 1 1
ñx
du = -----:-/ì = ĩ - - .dx = 7 ==== x + Vx2 + l Vx2 +1 v = Vx2 + 1
BỒ
ID
ƯỠ
!
____
172 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
u=X
u=X
4. ðặt dv = -
5. ðặt •
rdx
dv = -
NH ƠN
-dx
ỊỊoạt ñộng 10:
[dv = sin2xdx
v = --cos2x 2
u = 2x + l
fdu = 2dx
^dv = e-xdx
[v = -e~x
ẦN
I2 = - ( 2 x + l)e ~ x + 2 je“xd x = —(2x + 3)e-x + c .
[dv = exdx
TR
[u = x2 + x + l ^ [du = (2x + l)dx v = ex
B
3. ðặt
10 +3 P2
ÍUj=2x u, = ZX + l1 fdUj=2dx au, = zax 1 =>{ [dv1 = e xdx [v^ e*
00
=> J2 = (x 2 + X+ l ) e x - J(2x + l ) e xdx ðặt
HƯ NG
2. ðặt
ĐẠ O
1 1 1 1 = - —xsin2x + — fcos2xdx = -4-xsin2x + —sin2x + c. 1 7 ■ 7 A 2 2? J
TP
1. ðặt
.Q UY
du = dx
fu = x
CẤ
Khi ñó J ( 2 x + l ) e * d x = ( 2 x + l ) e x - 2 j e xd x = ( 2 x - l ) e x + C'
HÓ
A
Vậy }2 = (x2 + x + l)e* - ( 2 x - l ) e x + c = (x2- x + 2)e* + c .
fu = ln(x + l) 4. ðặt < _
du = - ^ X
Í-
=><
• x+1
TO ÁN
-L
dv = (2x + l)dx 2 v ’ (v = x +x
=> J2 = (oc2 + x ) l n ( x + l ) - J x - + x dx = ( x 2 + x ) l n ( x + l ) - — x 2 + c
"2t
NG
U= ln(x + Vx2+ l ) du = - ^ L r \ /= >j Vx2 + 1 dv = dx v=x
ID
ƯỠ
5. ðặt
' X Ỷ1
BỒ
K1 = x ln Ịx + Vx2 + 1 j - J ^ Ể Ì= - - x l n Ị x + 7 x 2 + l j - V x 2 + l + C . 'w + l 6. ðặt u = ln(x + l ) , d v = (2x + l) d x .
173 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
D. BÀĨ TẬP T ự LUYỆN. Bài tập 1:
Vx
-2 x + 3
X
W
Vx
;
dx
(x -2 )2
3x + 2
-x)d>
-dx
3x2 + 1
I10 =
f X3 +2 x 2- 3 , -----dx
'3x - 4 x +1 X4 + x 2 + 1
ẦN
2x3 + 5 x 2 - 7
f2x + 3x —1 ,
w‘ = -J
ĐẠ O
,
dx
3x2 + 3x + 3 dx 's = í -3x + 2 X+ 2
4-Vx-3%/x- 1
dx
00
B
Bài tập 2:
dx
xịlx
TR
,
-dx -2x - 5 x + 6
'» = í ;
HƯ NG
> . = í X2 + 2x +1
TP
X2 + 6 x + 9
3x2 + X + 2 dx x+3
.Q UY
_1__
I, =
NH ƠN
* Tính nguyên hàm:
Ij = J(tanx + cotx)2dx
J _ |-sin2x^
. I = í ------ Ẻĩ ____ 2 Jsin2xcos2x c sinx I3 = ■ dx
+3
10
Tính nguyên hàm:
5 ~ *cos6x x . 3 í = f-sin x dx cos5 x
COSX+
P2 CẤ
A
HÓ
•W x
, rsinx-s/l+cosx , I8 = J-------- -----------dx
2cosx - 5
3
J = f
rsin3 xVcosx ,
I9 = J—:———
COS X
dx
7=íj(“ s * - l ) s i n x
dx
r cosxVsinx , *10 = 7 —— — ------ dx J( s i n x - l ) s i n x
Í-
W ; -Jx—y/x
yfxdx I = r , dx , 3 Jx (x 2 + l)
I? = J-
x3
Ig = I 7 —dx W 2x z + 1
*10- J:2 + v3x + l dx dx *11=
xVx2 + X + 1
174 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
=dx I*=f W 2x 2 + 1
X
8
_ r
l + \/2x"+T x _ f
113 = Ị ^ 3 x - x 3ảx
xdx
12 -*x 4 - 3 x 2 + 2
xdx
I _ r
dx +ự
.Q UY
ls_ J ^
Bài tập 4:
TP
Tính nguyên hàm:
Sin2x J2 + co sx
00
B
Tính nguyên hàm: J = Jsin36x.cos6xdx
10
Jj = j V l + cos2xsin2xdx
1-sin x
P2 CẤ
dx
-L
TO ÁN
J5 =
NG
r sinx . 2 1 J , = I——J — sin XH— -— dx Jcos XV COSXJ
h=
]dx
ID
ƯỠ
7= f I tan3x + — J cos XV cos x j
BỒ
J = if
8
3 J
u =
sinx dx 1+5 - ị Jcos4xl, C0S2X/ X|f
J, = f ta r W x - l.
Í-
x xJ = sin 5 -rcos^dx
I* xdx h - J ___ 2 2 COS X
1
\ 5 + 4 cosx
—- dx
Vx —1
A
14 + cos2 2x
HÓ
cos2x
+3
Ix + cosxLdx
'Sin
dx
TR
Bài tập 5:
3
cosx.sin
h = Ị% /l-sin4x
ẦN
6 sin r - - s i n X 2
dx
J5 = j*.
On Ia
I3 = jV l + cos2 xsin2xdx
HƯ NG
Ị _ f_____ 1 ______dx (sinx + cosx)
ĐẠ O
I2 = jỊtan3x + cos(5x + 3)]dx
Ij = j Ịc o tx -3 sin (2 x + l ) ] d x
fe-f
NH ƠN
, _ f
X
Ẵ
dx : +cos2x l + sin2x
sin
X
cos
dx X
sin2x cos2x -----— —---- + ——--------- jclx 1 + sin xcosx l + co s2 x j
fSinVx +cosV x , I7 = J------~ ~ dx Vxsin2Vx
id
V x c o s 2Vx J
J8 = jỊtanx +
V2x + 1 + V2 x - l
dx
175
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 6:
(ex - 3 j 5dx
NH ƠN
,2x
Px
dx
e2x + 4 e x + 5.exdx
h
xỉn5x
dx
(1 + Vlnx + 2 jx
ĐẠ O
r ln(ex) '3 + xlnx
1„2 X „ ln Is =
=dx V ĩ + e 2x ,][ = f----- i ----- dx 6 Jex - 4 e - x
;
HƯ NG
I, =■
Inx
!;
TP
x.lnx.ln(lnx)
.Q UY
=dx 2 + \/iex +1
h~
r2 + V31nx + 5jx
ẦN
J6 = í-' - Ễ - t e e +1
TR
Bài tập 7:
= J(x2 +5jsinx dx
Jj = J(3x2 +5xj.exdx
K1 = J"x3lnxdx
P2
+3
*1
10
00
B
Tính nguyên hàm:
CẤ
Jcos X
HÓ
+ ĩ
-L
ìỉx
Í-
. rCOS^/x + 1 I4 = j r r = = dx
TO ÁN
-dx h = Ị— ị Js i n x - c o s x
x
Ve2x + 1
A
I3 = jxtan 2xdx
rlnxñx
ex + 1 u = ỉ
dx I3 “ I'
xln(lx + v x 2 +1
KS =
J-
dx
V2ex + 3
. _ (2 e x + 1 ls = J f ^ i d x % ex + 1
0 -7 Vx2 + 1
dx.
K4 = fxln^—- dx 4 J 1+x
NG
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
ƯỠ
Các bà
BỒ
ID
Bàii tập 3:
13. ðặt t
f 3!x —X
14. ðặt t = \/x + l
15. ðặt t : X +1
176 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
TÍCH PHẦN
TP
.Q UY
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. J Kiến thức: - Hiểu và nhớ các tính chất cơ bản của tích phân. 2 . Kĩ năng: - Vận dụng thành thạo tính châ't cơ bản của tích phân ñể tính tích phân. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOÁ.
NH ƠN
§2.
ĐẠ O
1.ðịnh nghĩa: Cho hàm sô' y = f(x ) liên tục trên K; a,b là hai phần tử bâ't kì thuộc K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu sô' F (b ) -F (a ) gọi
ẦN
2.
TR
Jf(x)dx = F ( x Ệ = F (b )- F ( a ). a Các tính chất của tích phân:
HƯ NG
là tích phân của của f(x ) tà a ñên b và ñược kí hiệu:
B
+ Jf(x)dx = 0 b
10
a
00
a
a
b
P2
b
+3
+ jf(x)dx = -Jf(x)dx b
a
CẤ
+ jk.f(x)dx = k.Jf(x)dx a b
A
b
b
HÓ
+ J[f(x)±g(x)]dx= jf(x)dx± Jg(x)dx a
c
b
-L
b
a
Í-
a
+ Jf(x)dx= Jf(x)dx+Jf(x)dx a
TO ÁN
a
c b
b
NG
+ N ế u f ( x ) > g ( x ) V x e [ a ; b ] thì J f ( x ) d x > J g ( x ) d x . a
a
BỒ
ID
ƯỠ
c. CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ. 1. Tìm tích phân bằng phương pháp phân tích. 2. Tìm tích phân bằng phương pháp ñổi biên sô' 3. Tìm tích phân bằng phương pháp từng phần. 4. Tích phân ñặc biệt. 177 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHỦ ð Ể 1 _______________ ____________________ T Í N H P H Ư Ơ
T Í C H
N G
P H Ầ N
P H Á P
B A N G
P H Â N
NH ƠN
o
T Í C H
□ Các ví dụ minh hoạ:
.Q UY
Ví dụ 1 .1.2
5
2 . Cho jf(x )d x = - 4 , 1
5
Jf (x)dx = 6 , Jg(x)dx = 8 . 1
5
1
5 1
TR
2
ẦN
i Hãy tinh: jf(x)d x , j [ 4 f ( x ) - g ( x ) ] d x
HƯ NG
2
ĐẠ O
TP
1. Tìm các hằng sô' A và B ñ ể h à m số f(x) = A sin 7tx + B thỏa mãn ñổng thời các 2 ñiều kiện f ' ( l ) = 2 và jf(x)dx = 4 0
f '( l) = 2 2
I—7ĩ A = 2 < =4 [2B = 4
- —cosnx + Bx %
2
P2
LO 5
5
s
5
7Ĩ .
B= 2
2
1
CẤ
jf(x)d X 4- Jf(x)dx= jf(x)dx Jf(x)dx= jf(x)d x- Jf(x)dx 2
1
o
2
1
5
HÓ
5
A
2.
00
+3
Jf(x)dx = 4
(1) = 2
10
1.
j ĩA c o s t c
B
Lời giải.
1 5
5
jf(x)d x = 10=> j [ 4 f ( x ) - g ( x ) ] d x = 4 j f ( x ) d x - J g ( x ) d x = 16. 1
1
1
Í-
2
NG
TO ÁN
-L
Ví dụ 2 .1.2 Tính tích phân: 1 J 1 dx A = [ - 5—— ----B= Ị dx , X + 3x + 2 X 5 x + 6 0
dx
X —4x + 4
dx
= 1f(x + 2) ~ ( x + 1) d J
= (lnịx + l|-ln |x + 2|)|1=]n
BỒ
2 + x + 2
Lời giải.
■ A = J ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0J ( x + 1 ) ( x + 2 )
ID
ƯỠ
!. A = f.
x
i
x+1
X+2J
In—- I n — = ln3 2J 3
178 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
_
a
b _ a (x -3 ) + b (x -2 )
2,TaC0: ( x - 3 ) ( x - 2 ) ~ x - 3
x-2~
(x -3)(x-2 )
fa = 3 |b = 2
NH ƠN
5x-13
B= j ( “ ^ +i~ ^ ) dx = (31nlx ~ 2l + 21nlx ~ 3l i = _ l n 1 8 -
TP
fA = 5
ĐẠ O
X
5x-2 5 x —2 A B A (x-2) + B ------ = --------- —_ ---- —H----------—= ---------- t—— - 4x + 4 (x -2 ) x -2 (x -2) (x -2 )
[B =
8
HƯ NG
Ja c0: —
.Q UY
5x-2 x 2 + x + '2 d x = f| 1 + c= j: \ -4x +4 X —4 x + 4 y 0J’xz
3.
00
B
TR
ẦN
d x = 5 ]n |x -2 ||x
4x -2
A
Bx + C
x2(A + B) + x(2B + C) + 2C +A
+3
1. Ta CÓ:
10
Lòị giải.
(x + 2)(x2 + l )
CẤ
P2
(x + 2)(x2 + l ) ~ x + 2 + x2 + l ”
A = -2
2B + C = 4
B= 2
2C + A = 0
c =0
Í-
HÓ
A
ðổng nhất thức 2 vê' ta ñược:
A + B= 0
Vây, 1= f7 - 4 - v- 2----- d x = |f o(x + l ) ( x + 2) 0l
TO ÁN
-L
x+ 2
=ị^-2ln|x + 2|-t-ln x2 + l
X
+1.
dx
1
8 = -21n3 + ln2 + 2 1 n 2 - ln l = ln— 0 9
l ‘f dt
l ‘f
dt
3 0Jt2 - 9
3 j(t-3 )(t+ 3 )
= á > M
H nM
1 ‘f( t + 3 ) - ( t - 3 ) 18j (t-3)(t+ 3 )
= _Ị_V -Ỉ lsẶ t- 3
t + 3,
dt
BỒ
ID
ƯỠ
NG
2. ðặt t = X3 => dt = 3x2dx
) ỉ ô ~ ta
= — In—- I n l = — I n 18 2 18 V 2 179
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ví dụ 4.1.2 Tính tích phân: Jt
ị ĩ
0
2 0
.Q UY
2
jcos2xcos2xdx = -J(l+cos2x)cos2xdx
TP
1.
Lời giải. *
í.
K
NH ƠN
V 1 N 1= fcos2xcos2xdx J= dx I = II sin2x - s in x + l 1 + sinx 0_________________________ A
HƯ NG
ĐẠ O
7t 2 _ 71 1^ 1 = — J(l + 2cos2x + cos4x)dx = — x-t-sin2x + —sin4x 4' 4 4 ■„ 8
-
-s in x + 1 - -
TR
l-c o s2 x
ẦN
2. } - (ị sin2x - s in x + l - ~ ——— |d>
ñx
71
-sinx + 1 - -
+3
í
10
ir/ l - c o s 2 x
00
B
1 + cos — - X 2
2 COS2
7Ĩ
dx
X
CẤ
P2
4~2 71 1 r3 xM —X — sin2x + cosx + tan í 71 4 2 u 2)\
3n
3t ĩ 1 -1 -2 = — - 4 J 2
HÓ
A
2
-L
Í-
Ví dụ 5.1.2 Tính tích phân: 2 lx = J|x2 - 3 x + 2 dx 0
TO ÁN
l2= J ( M - I M ) dx -1
2 I3 = jm in |3 x, 4 - x | d x 0
Lời giải.
1. Cách 1:
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Bảng xét dâu 0
X x2-3 x
+2
1 +
0
2 0
+
1 2 ỉt = j(x2 - 3 x + 2 jd x - x2 - 3 x + 2jdx 0 ỉ
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
f
X3
o 2 3x
+ 2x
5 f 1'
-r— - r - + 2 x 3 2
NH ƠN
'0
Cách 2: -áX -3 x + 2Z= UC5> 0
x = le [0 ;2 ] X x
=2
1
2
1
.Q UY
X X2
= 1.
2
HƯ NG
ĐẠ O
TP
Ix = | x 2 -3 x + 2|dx + Jjx2 -3 x + 2|dx = j(x2 - 3 x + 2j dx + J(x2 -3 x + 2)dx 0 1 0 1 2 1 { 3 5 1 f x 3 3x2 ■ ì 3x2 0 ì X = + = 1. + - —— 2x - — ——+ 2x T 2 6 6 3 2 V V y 1
0
2. Cách 1. 2
2
ẦN
2
l2= J(|x|-|x-l|,)dx= J|x|dx- J|x-l|dx -1 2
1
2
B
0
-1
TR
-1
1
f 2 A X ' ---- X V
-1
2
,
Cách 2. 1
= 0.
2
A
0
CẤ
1 ,= --
10
-1
+3
0
P2
-1
00
= - Jxdx+ Jxdx + J ( x - l ) d x - J(x-l)d x
HÓ
I2 = J ( - x + x - l ) d x + j(x + x - l ) d x + J(x-x + l)dx 0
1
TO ÁN
-L
Í-
-1
3. ðặt h(x) = 3x - ( 4 - x ) = 3x + x - 4 .
NG
Bảng xét dâu
0
ƯỠ
X"
-
ID
h(x)
1'
2
BỒ
3X I3 = J3xdx+ J (4 -x )d x = .+ 4 x - : ln3 0 1
1 0
2 +
2 5 ln3 + 2 181
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Ví dụ 6.1.2
NH ƠN
r ( nì x 1 1 .Tìm x e Ọ;— thỏamãn: f(2sin2t - l ì d t = — I 2J ị\ I 4
.Q UY
n'i* 1 2
2. Giải bâ't phương trình f'(x)
—2 (3 -x )
ĐẠ O
Với f'(x) ñạo hàm của hàm sô' f(x) = ln
TP
x+2
HƯ NG
71 3n ) Xf cos2t 3. Tìm X s — thỏa — -dt = c o s 2 x -V 2 » .4 4 ) ị ssin i t + cost 4
sin2t
2
0
(
00
B
0
TR
1. Ta có: J^2sin2 1 - 1 jdt = |- c o s 2 td t =
ẦN
Lời giải.
P2
CẤ
2x = —+ k2n 6
+3
10
Do ñó: |Ĩ2sin2 t - l ) d t = - —c ỉ > - ị s i n 2 x = - ỉ o s i n 2 x = — 0JV ' 4 2 4 2
12. 5tc .
(k eZ )
x = —r + k7ĩ 12
HÓ
A
2x = — + k2n 6
í 7Ĩ 571
nên ta chọn x e — [12 12 '* i'
-L
Í-
Do x e
x = — +k 7i
>0ox 3 - x x + 2 x< 3;x*-2 2x -l
x < -2
( x - 3 ) ( x + 2)
° 1
< 3; X * - 2
< x -
5-fsin! í d t 2
71 „
HƯ NG
ĐẠ O
3. J—7 —-——— t dt = cos 2x - V 2 hay sinx + cosx —V2 = cos 2x —V2 (*) sint + cost 7C 3tĩ Vì x e | —— I nên sinx + cosx^O , khi ñó 4 4
B
|=>x = 0 thỏa bài toán.
10 +3
CHỦ ð Ể 2
P2
o
4 4 '
00
Với x e |
TR
ẦN
3 tt (*) s i n x - c o s x + l = 0 tương ñương với X = k27i hoặc x = — + k2n.
Ơ
N G
P H Â N
P H Á P
ð Ổ I
B A N G B I Ế N
s ố
A
P H Ư
T Í C H
CẤ
T Í N H
HÓ
ữ Phương pháp:
TO ÁN
-L
Í-
1. Phương pháp ñổi biên số loại 1 b Giả sử cần tính I = | f (x)dx ta thực hiện các bước sau a
Bước 1: ðặt x = u (t) (với u (t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [oc;Ị3],
xải
NG
ñịnh trẽn [op;P] rà u (a ) = a, u(p) = b) và xác ñịnh a ,p .
ID
ƯỠ
p p Bước 2: Thay vào ta có: I = jf(u (t)).u '(t)d t = Jg(t)dt = G(t)|„ = G (p ) -G ( a ). a
a
BỒ
Một số dạng thường dùng phương pháp ñổi biến số dạng 1 * Hàm sô' dưới dấu tích phân chứa Va2 - b 2x2 ta thường ñặt
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
X = —sint
b
183 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
* Hàm sô'dưới dâu tích phân chứa Vb2x 2 - a 2 ta thường ñặt X = — - — bsint * Hàm sô' dưới dấu tích phân chứa a 2 + bzxz ta thường ñặt X = —tan t
.Q UY
* Hàm số dưới dâu tích phân chú(a ^x(a —bx) ta thường ñặt X = —sin2 1
HƯ NG
ĐẠ O
TP
2. Phương pháp ñổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp ñổi biên sô' (ta gọi là loại 2) như sau. b ðể tính tích phân I = j f(x )d x , nêu f(x ) = g [u (x )J.u '(x ), ta có thể thực hiện a
phép ñổi biên như sau
ẦN
Bướcl: ðặt t = u (x )= > d t = u'(x)dx.
ðổicận x = a = > t = u(a), x = b=>t = u(b)
B
TR
u(b) Bước 2: Thay vào ta CÓ 1= J g ( t) d t = G(t) 3 .
_
I
Jx2 +1
2
_ f
10J x
r
Ị í + yfx -ĩ x
r
dx
3 ~~ / x - 2 V x - ĩ
Í-
_J8 x V r õ <
HÓ
A
1
f xdx
CẤ
í
P2
Ví dụ 1.2.2 Tính tích phân: 1 . 2
+3
10
□ Các ví dụ minh hoạ:
00
u(a)
TO ÁN
-L
4r 4x —1 , L = I .: = . -—-d x 0 V2x + 1 + 2
2j 2x + 1 + V 4 x + I
0X+ Vx2 + 1
ðề thi ðại học Khối D - năm 2011 Lời giải.
BỒ
ID
ƯỠ
NG
1. ðặt t = X2 + 1 => dt = 2xdx hay í xdx = 4^ 2 ðổi cận: X == 0 => t = 1, X = =:1 => t = 2. 2 I = ] - Í Ẻ L = ỉ j Ể £ = ỉ ỉ n Ịt' = - l n 2 J X +1 2 /t 2 ' 2
ðặt t = V x - 1 x X = t 2 + 1l « d x = 2tdt 2 .ðặt TN sỷ’ 1 - A/ . /s ðổi biên: x = l = > t = 0, x = 2= >t = l
184
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Vậy, I = P - t Ỉ 2 t d t = 2 p—^ d t = 2 1 t 2 - 1 + 2 ---- — ìd t ị l +t J t +1 0ị t + 1J 11 = — -4 1 n 2 3
.Q UY
— —— + 2 t —21nịt + lịJ = 2
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
3.ðặt t = V x - 1 o x = t2 + l o d x = 2tdt
dt
HƯ NG
Khi ñó I = ị ----------------= 2 j t = 3
= 2 >n|t -1 ] - ^ è l ]
= 2[(ln 2 - 1 ] - (0 - 1 )
B 00
10
4. ðặt t = 4 1 - x => -2 td t = dx ðổi cận: X = —8 => t = 3, X = -3= > t = 2
TR
ẦN
< ỉì , „ , _,2 = 2 ln2 + ln e2 =21n^2-s/ej = ln^2Vej = ln 4 e )
P2
+3
dt Vậy, 1; ■ j - f t - d , - - 2 U * - 2 t e - % + ix V i^ r i ( i - t ‘) t ị t 2- i 3 ( t - i ) ( t + i )
CẤ
1 1 2 = ln ± -ln - = ln 3 2 3
HÓ
A
= ( l n | t - l ị - l n | t + lỊ)Ị^ =ln'
-L
Í-
5. ðặt t = y[ĩx + ĩ => t 2 = 4x + 1 => dx = Ậtdt 2 ðổi cận: x = 2 = > t = 3, x = 6 = > t = 5
TO ÁN
6f dx 5f tdt 1 1 Do ñó: 1= -------= — --------- i 2 2x + 1 + v4 x + l 3 (t + l ) 3 t+1
NG
/
.
I
xS -I
1
ID
ƯỠ
= ln t + l + — -— 5-
1
dt (t + :
,
3
5
1
.
=ln—— —
I (t + 1) J3 2 144 x3( x - V x 2 +1)
-------
.
BỒ
6. I6 = f7------ = L = . t ?----- pL=rrdx = íx3 Vx2 + l - x ) d x 0J( x +
7? T Ĩ ) ( x - V ? T Ĩ )
0
1
'
Hnr
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1
5 1
1
1
=' jx3Vx2 + l d x - J x 4dx = J - — 0 0 5 0
,----------
với J= jx3v x 2+ ldx 5 0
NH ƠN
1
ðặt t = Vx2 + 1 => t 2 = X2 +1 => 2tdt = 2xdx => tdt = xdx ðổi cận: X = 0 => t = 1, x = l = > t = Vz.
J9 *
_____
, V2 Khi ñó J= jx2Vx2 + lx d x = J (t2- l) t.t d t = J (t4 - t 2)dt = o i l
l
Vậy, ... I6„ =
2V 2]
5
3
J
.Q UY
r
,5
3,
_2_ 15 + 15
TP
2V2
"1
ĐẠ O
ị 4V 2
J2
HƯ NG
1
2V2 - I 15
ẦN
7iðặt t = V2x + 1 + 2 = > ( t - 2 ) d t = dx
00
B
TR
s (2 t2 - 8 t + 5 Ì ( t - 2 ) V o K 34 3 I7 = j l --------- — i l l ------- d t = Jl 2t2- 1 2 t + 2 1 - - dt = — +101n— 3 5 3 * 3^ *• 2V5
l2 - Ị
xdx
dx
(x2+ i )4.X2 +5
x+x
CẤ
dx 3.Vx + l + X + 3
+3
x-3
P2
3
10
Ví dụ 2.2.2 Tính tích phân:
. _ 2f V x - X 3 +2011X , I4 = J ------- dx
HÓ
A
I, - ụ X2 - 9
1+
dx
-L
Í-
Lời giải.
TO ÁN
1. ðặt t = Vx + 1 => t 2 - 1 = X ==>2tdt = dx ðổi cận: X = 0 => t = 1, 2 3
X = 3 => t
=2
2
2
ƯỠ
NG
2t3 - 8 t Khi ñó: 1= J- 2 8t d t = J(2t-6)dt + 6 j —! - d t = (t2 - 6 t ) | 2 +61n|t + lị|2 ^ t "ỉ*3t “ỉ”2 ^ 2 1 ^
BỒ
ID
„ , ____ 3 Hay Ix = - 3 + 61n—
2. ðặt t = Vx2 + 5 = > t 2 = x2 +5=>xdx = tdt ðổi biên: X = 2 => t = 3, X = 2VẼ => t = 5 186
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1 => t = 2,
X = >/3 => t
= 4.
_ 1 4r dt _ l4 rt _ ( t _ 1 ) ^ „ 1 V 1 3 _ 2 / t ( t —1 ) _ 2 / t ( t - l ) t ~ 2 t - 1
1 dt t
TP
.
X=
.Q UY
ðổi cận:
NH ƠN
3.ðặt t = l + x =>dt = 2xdx.
'h i. h Ạ l. ít a i 2 2
ự x - x 3 +2011X . _ 2f Vx2 1 , 2f 2011 , X ------J ^ ^ dX+ J ^ dX 1 1
ẦN
. _ 2f 4 .u = f 1
HƯ NG
ĐẠ O
= A ( ln |t - l|- ln |t |)£ = in
X
VX
X
2 X
o
X = 2 V2
> /7 => .t = -----2
J
128 2V2
2x
14077 16
Í-
X3
HÓ
M 2011 2f on^ „ - 3 ^dx r..:= — 2011 N= 2f — 5—d x = 2011x
J
21ĨỈ7
P2
A
1
II 2 - 1 -3 2 — dx = — J t3dt = x 2 0
CẤ
iã Khi ñó M = j
+3
10
T-.A-. ðổi cận: x = lt = 0,
00
B
J
TR
n 1 2V2 ỉ h ị - 1 M= J— dx.ð ặt t = ?/ 2 - l =>t3 = JY ~ l= ỉ> 3 t2dt = —y d x
TO ÁN
-L
r « NT _ 1 4 0 7 7 & Vậy, I4 =M +N = — —-------2 1—— ' * 16 128
5. L = f\/x 2 - 9
1+
l
NG
3
- X— - d x - |íVx2- 9 +x)dx VX2 - 9 J 3'
ID
ƯỠ
t 2 +-— 9 =>dx y = t2 - , 9 dt ðăt t = vnx ~- ã9 + x = > x = — 2t 2t ðni rân: x=3:r>t 3. X x = 5= ðổi cận: X =3 t = 3, =>>tt = 99
BỒ
(a l 9ri Khi ñó I = ft ---- — dt = — ị t — dt = J 2t2 / 2 3\ J ty 3 V 3 9 Y t2- 9 Ì
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
' 3
= 1 8 - —ln3 2
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
V í d ụ 3.2.2 T ín h tích p h ân :
h -
0 ỰJex + 2 j
"
Ỉ3= í -1
[■
Ì xa / x 2+ 4
Vx3 + x 2 dx x+4
,ịe * " * 1 . I5 = ---- r—dx
.Q UY
V l + 31nxlnx, dx
2
dx
NH ƠN
2\Ỉ3
dx
TP
J COS X
1
Lòi giải. X
ĐẠ O
X
1. ðặt u = e 3 => 3du = e 3dx
HƯ NG
ðổi cận: X-0=>U = 1, X = 31n2=>u = 2 Khi ñó: 1= J- — d~~ T = 3 2{ ~ —— 7~~— ; ------- —
lV4(u + 2) 2( u + 2)
ẦN
iu ( u + 2)
X2
TR
/
.
1 . (3 ^ = —In 2)
1 24
00
B
—lnlul ——ln|u + 2| + ——— T 4 11 4 1 1 2(u + 2)
du
10
2. Cách 1: ðặt t = Vx2 + 4 => X2 = t2 - 4,xdx = tdt
P2
+3
ðôìcận: x = V 5= >t = 3, x = 2V5=>t = 4.
A
CẤ
Khi ñó: I = / — ^ — = I?— = It— r — T 75 x2Vx2 + 4 3 (t 2 - 4 ) t 3 (t + 2 ) ( t - 2 )
-L
Í-
HÓ
= Ỉ j(t + 2 ) - ( t - 2 ) dt = 1 Y _ 1 _____ 1
TO ÁN
= i ( l n | t - 2 | - I n | t + 2|)
ĨIV
= M'Xn—- In—I= —l n 41
3
5)
4
3
BỒ
ID
ƯỠ
NG
~ 1 1 Cách 2: ðặt t = —=> dt = — ^-dx
X
X
1
2n/3
,
________
1= f - = = = = . ðặt U = ln(2t + v 4 t 2 + l I /4 t 2+ l \ /
Gách 3: ðặt X = 2 tan V
18:8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
3. Dễ thấy:
I
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
°f-xVx + l ~ “4
I3 = j
, 2rx V x + I
d x+ J'
/
n
o
\ "^3
■ã 1 + 24 f V — dt Ỉ t2 +3 /1
TP
( t13 ^ t 4- t 2 Xét: A = 2 f - 5 - ^ dt = 2 X J t +3
.Q UY
.Fi A
NH ƠN
____ 1t 4 - t 2 ^ t 4- t 2 ðăt t = v x + 1 , khi ñó I = - 2 f— — —dt + 2 f dt = A + B J t + 3 J t z + 3 0 1 to 1
1 -1 V r t3 N1 B = _ 2 f ^ d-dt t = - 2 j f t 2 - 4 + - ^ - dt = - 2 J _ _ 4 t - 2 4 I V — dt 0 t +3 ịdt = V3^1 + tan2vjdv
TR
4 4 - 1 8 ^ - 2 V 3 tc
00
B
Vậy, 1=
ẦN
1 1 .>/3 ( 1 + tan v) Khiay, | V — d t = I- / — - . ;dv = - ^ v + c t +3 J 3 ( 1 + tan2 V s
HƯ NG
ĐẠ O
2Í
+3
10
4.ðăt t = V l + 3 1 n x = > t 2 = l+ 3 1nx= > 2td t = ^^ — = -? ^ X X 3
P2
ð ổ i c ậ n : X = 0 => t = 1 , X = 1 =ỉ> t = 0 .
1
HÓ
5 /0
3
-L
3
,N 1
Í-
/ ,
2
TO ÁN
5. ðặt t = tanx + l=í>dt =
0
A
0
CẤ
Khi ñó: I = Jx2> / l - x 2xdx= J | l - t 2)t(-td t) = j | t 2- t 4)dt
5 _ 15
1
cos2x
dx
2
NG
Khiñó I= j e udu = ell| = e 2 - e __________ Ị__________ _
sin2x
ID
L
ƯỠ
Ví dụ 4.2.2 Tính tích phân:
BỒ
' . - - í : (2 + sinx)
rdx
, _ 2fsin2x + sinx A 2 " J V l + 3cosx
x
189 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
71
h 4
sin3 X. cos5 X
dx 3 c o sx -4 sin x + 5
n 4/.xsinx + (x + l)c o s x
( x + c o s x )d x
' - J 4cos2x + 3sin2x
*
xsin x + cosx
NH ƠN
w -
dx
dx
.Q UY
Ó_
TP
ðề thi ðại học Khối A - năm 2011
Lòi giải. sin2x
o(2
Ịix -ĩ)-
+ sinx)
sin Xcos X
dx.
0ố \(2 + sin x )
HƯ NG
. _ 2r 1. ij - J
ĐẠ O
n
TR
ðổi biên: x = 0 = > t = 2, x = —=>t = 3 2
ẦN
ðặt t = 2 + sin X=> dt = COSxdx
10
00
B
2N K M d6:, = 2 j ^ d dt t = 2 j ——% ( l - i r) dt = 2 l n t + — _= o2i 1 n3 - - 22 3 t/
+3
2. ðặt t = V l + 3cosx => 2tdt = - 3 sinxdx => sinxdx =
3
2
CẤ
P2
ðổi cận: X= 0 => t = 2, x = —=>t = l ĩ.
ĩ.
HÓ
A
, 2r 2 s in x c o s x + s in x , 2r (2cosx+ l)sin x d x Vậy, I2 = ------j= ======— dx = p — -7= = 4 = , ----V1 + 3COSX vl + 3 c o s x 0
0
V 2tdt^
Í-
f t2- l
-L
..4 1
2 / 2t2 + l
TO ÁN
■f 2
~3
16
ID BỒ
’• ' 3 4
2
2
f +í
1
34
19 + 3
27
, 3
2t^ _t 9 +3
71
ƯỠ
NG
_2
- l i1\
t
dt-2
3
-í
-Ị
-dx= [--=====■.— -ỹ—àx
í Jsin X •COS8X. ĩ* COS3X
i vtan X cos X
190
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðặt t = ta n x = > d t =
cos2x
dx
3
•J3
NH ƠN
ðổicận: x = —=>t = l, x = ^ - = ỳ t = yỈ3 4 3 1 ^
2cos2 * = 2 V 2
1 -t2 1+t 2 •
2dt dt
TR
dt ___L . 1 - ! ■=2 h ~ \ J3 - 3 t 3- 8t + 5 + 5t2-“hf ( t - 2 ) 2 ” t - 2 0 ~ 2
00 10 ĩ.
xdx
P2
\
+3
—
]r(x + cosx)dx 5. 1= p ----+ ' 4 -sin X
;4 -sin X
* . « * * * «
JJ
2
*
° * 4*
~2
\ cosxdx ---- ^ - -= A + B Jn4 - s i n X 71
■J A i i
' n
, . 2r xdx °r xdx ~ + Tính A = — ^ 5- ; 4 - s i n X ' 4 -sin X ~2 ~2
2r
xdx
2
‘ 4 -sin X
-L
Í-
HÓ
-°-
~ĩ
A
n
CẤ
71
B
1= o T ĩ ^ l l _ ; 2t { l + t 2j 1 + t 2 —
ẦN
ðổi cận: X = 0 =ỉ> t = 0, X = - ^ => t = 1 2 1 + t2
dx
2y
_ J 2dt 2t =>dx = ------ , sinx = — -7T, cosx l + tz l + tz
1
1 + t"
TP
i í 1 + tan2- dx =
ĐẠ O
dx
dt =
HƯ NG
4. ðặt t = t an— 2
.Q UY
Khi ñó I - 11 M t = 4t^ = 4 Ị ^ :- l | = 4 (ậ/3 - l ) í 1
TO ÁN
71
■ xdx I 0J4 - s i n 2x
ƯỠ
NG
Trong f — — xðặt X = - t . Dễ thây í — xtì—- = { 4 -sin X { 4 -sin X 2 ~2 Suy ra A = 0 7Ĩ
BỒ
ID
tTlnh
B = 5r - 2 £ i 1 Ì 4 -S Ĩ 1 ~ĩ
. ðặt t = sinx.
191 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
í !. = —In
_J 4 —t
u
2 - t / -1
= —ln3 2
+ Vậy: I = —ln3
.Q UY
4fxsinx + (x + l ) c o s x \ n 4f xcosx 6. J= I---------- — — '------- dx = [dx + p — dx = J1 +J2 ' x sin x + cosx ' j xsinx j x s i + cosx
TP
71
HƯ NG
ĐẠ O
Trongñó: J1= Jdx = x |« = j 0 4 ft 4f
xcosx
K l n | j + l } ^ . V ậ y J ^ + ln |^ + l
B
Y = ln |t f
00
/
TR
ðặt t = xsin x + cosx => dt = x c o sx d x .
_1_ Vz
+3
10
Ví ñụ 5.2.2 Giải phương trình:
„ Xfl + lnt , .0 2. j——— dt = 18 í * • e
P2
1. Jsin2tVl + cos2 tdt = 0 (x>0)
CẤ
0
ẦN
J2 = I - ^ -----dx ' x s i n x + cosx
Khi ñó J2 =
NH ƠN
B=
\ 1
2+ t
HÓ
A
Lời giải.
Í-
1. ðặt u = V1 + cos21 => 2udu = - s i n 2tdt.
-L
n/ i
TO ÁN
Khi ñó: jsin 2t V l + COS2 tdt = - 2 0
NG ƯỠ
V2
=0
(V 2 ) 3 = 0COS x = l o s i n x = 0x = k7r(keZ)
BỒ
ID
u2du = - 2
|V l + cos2xj
Kết hợp giả thiết, ta có —2 ỊV l + cos2xỊ
J 4z
+c o s ^ j
192 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
T Xfl + lnt .
^
,
dt
2. ðặt I - ———dt.ð ặ t u = l + lnt=>du = — ị t t
NH ƠN
e 1+Inx
.Q UY
™ - ‘T f. , udu J„ -=ĩ — l M“ - ( l+ I " * ) 2 Khiñó: I1= i 2 Giả thiết suy ra:
T Í N H P H Ư Ơ
T Í C H
N G
P H Â N
P H Á P
II
TP
x=e
ĐẠ I O
CHỦ ðỂ 3
3 X
l + lnx = - 6
lnx = 5
X= -
B A N G
T Ừ N G
P H A N
ẦN
o
= 18 (! + In x)2 =36 o
[ l + ỉnx = 6
HƯ NG
( l + lnx)2
TR
□ Phương pháp:
B
Cho hai hàm số u và V liên tục trên [a;bj và có ñạó hàm ỉiên tục trên [a;bj.
10
a
+3
a
00
b b Khi ñó: judv = uv|a - jvdu
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
P2
□ Các ví dụ minh hoạ:
ID
1. Dễ thây, A = Ị
Lời giải.
íe x + \
X
J
e lnxdx = ị 2xexdx + | 2— = I + lnịxịị2 = ln2 + 1 X
BỒ
V fu = x ídu = dx Với I = r xe d x . ðặt ị => { * lñ v = ex Iv = ex
193 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Khi ñó I = x.exỊ - | 2exdx = 2e2- e - e x 2=2e2- e - Ị e 2- e j = e2
NH ƠN
* Vâv, *J A = e +In2 2. ðặt t = -X3 =>. dt = - 3 x 2dx
= -~31' với I= j f tetdt
íu = t ídu = dt |1 ri ðặt ặt < =>ị I = e .t Ịdv = e d t [v = e *° ■b
TP
Jd t = ~ 3 í
f
=1 '°
B
u = lnx dv = x5dx
du = —dx X „6
+3
10
Ij = jxs lnxdx.ðặt Ị
TR
ẦN
jx5 (In X+ x)dx = jx 5 ln xdx + jx6dx 1 1 1
00
3. c =
.1
HƯ NG
Vậy, B = - |
e dt = e - e
ĐẠ O
B= f
.Q UY
ðổi cận: X = —1 => t = 1, X = 0=> t = 0
dx =
A
X
5e6 -t-1
36
36
e7- 1
5e6 +1 = ------ — 36
-L
_
c
TO ÁN
Vậy, y
Í-
HÓ
I2 = [x6dx = — ì 7
CẤ
J 1 ĩ
X6 lnx
P2
ec _„ 53
x6 lnx
e7 - 1
+ —- —
7
0 x + \/ex- e 3x °c x ^ r °f • D= J ------ ằ r ~ dx= J . i dx+ J ~ >
BỒ
ID
ƯỠ
NG
-ln3
e
0
-ln3e -ln3
fu=x
e
dx = lx + 12
fdu = dx
= í i -li)3
dx • ðặt dv = - i - d x e 0 0 + E = —ln3 + —ln2 + —^7= 2 4 12V3
-L
u = ln(x + V l + x2 i ; dv=^rdx X3 Khi ñó:
' J
^1+ x v = __ L_ I 2x2
NG
TO ÁN
6. ðặt
du = - j = i = d x
BỒ
ID
ƯỠ
F = — Ị r t a ( x W l + x 2 ) 3 + ỉ I— ^ L _ = ỉ |n ( l + N / 2 ) - ỉ l n ( 2 + V 3 ) + ỉ |
2x2
V
/,
I U 4 Ĩ Ĩ Ĩ
-^3
J
'/j
—
’
v
* ^ + l x
2
'
/
6
I
;
2J
J
195
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
■1
J
ỉ
. J.
______ j[
ðãt t = —=> - d t = —^ , khi ñó J = f - ;- i = = V t2 + l , =V2 ■
x
ị^ ĩ
x
i
NH ƠN
V3
Ị(x+ 1) e
c= ì
B B == f - !2 2 = d x
dx
VX + I
-Ạ™
j v x v l + lnx
+ 3x lnx dx
ĐẠ O
3
TP
A = , f— l n —
.Q UY
Vậy, F = i l n ( l + V 2 ) - i l n ( 2 + V3) + ^ - ^ --------------------------------- 5---------- -----------------Ví dụ 2.3.2 Tính tích phân:
n 2
_ 4|-ln (5-x) + x3.V 5 - x dx E= f X2
HƯ NG
D= Jsin2xln(l + sinx)dx 0. • ,7Ĩ
ẦN
■■■r 3f l + x sin x . I = nJ COS2T X dx
TR
ð ề th i ð ạ i học K hốị B - năm 2011
dv = -
dx
=>.
X -1
00
dx
+3
1. ðặt
du =
10
u = lnx
B
Lời giải.
P2
(x + l ỹ 8
CẤ
X+ 1
-L
,= L í* /x ( x + l)
TO ÁN
e
NG
ln
ƯỠ
Í-
HÓ
A
K h iñ ó 'A = f — ! - . l n x l + f d* - = - 1 + 1 's.X+ 1) l fX^X + l ) e e
x+1
ị x(x + l)
dx. ¥ 1 - J j \ x X + 1J
e
ì
d
11
*
!|
+ill
e
1
e
_
= ln— — ln—^—==lne-l. ỉ
e +1
1 +1
BỒ
ID
Vậy, A = 0
2. ðặt:
u = lnx dv =
du =
dx
dx => V = 2\ỉx + ĩ Vx + 1
196 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
8 k /x + 1
Với I = J-
NH ƠN
Khi ñó: B = (2 > /ĩ+ ĩln x )|8 - 2 8jp ^ ĩ ĩ d x = 61n8-41n3- •21
d x . ðặt t = Vx + 1
.Q UY
3
t-1
. \n 3
2t + ln t+1/ V
HƯ NG
Vậy, B = 2 0 1 n 2 - 6 1 n 3 - 4
= 2 + ln 3 - l n 2
ĐẠ O
//
TP
3 t 3 t2 3/ 1 1 ^ =>I= [-T-— .2tdt = 2 f ~ — dt = fl2 + — ------- — dt 2 t —1 2J t2 - l ị{t - 1 t + l )
/nx
TR
ẦN
3. c = Ị — +3x2lnx dx = f— — dx + 3 fx2Inxdx jVxVl + lnx J j x v l + lnx ị
ðổi cận:
1 => t
=
1,
X=
e => t =
y ỉĩ
+3
10
X=
00
B
Với L = f— / nx — dx.ðặt: t = V l + lnx = > t2 = l + lnx; 2tdt = —dx j x v l + lnx X
,
ft 3
Khi ñó: It = p -.2tdt = 2 J(t - l j d t = 2 - — t
P2
1
1
CẤ
1
fu = lnx
HÓ
Với I2 = Jx2 In xdx. ðặt:
Idv = x2dx
2Í2 - V 2 )
/
dx
V= -
-L
Í-
1
l 3
du =
A
e
^\ _tt
TO ÁN
Khi ñó: I7 =-^-.lnx 2 3 1 3Ị
3 3
1
2e3 +1
_ 3
9'
9
9
5 - 2 V2 + 2e3
ƯỠ
NG
Vậy, C = IX+3I2 =
3
_e^_e^
ID
4 . ðặt t = sin X => dt = COSxñx X = 0 =>
t = 0,
X=^
BỒ
ðổi cận:
2
t=1
Do ñó D= ị 2 t ln ( l + t)dt
197 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1 V
= j lt_
t2
t + ĩ /
1 I
+ | x7_ 1
4fIn(S -x) Í ~2 1 x
x
1
„ iu = ln ( 5 - x ) 1J
_ dx
^
dv=5
dx
2
■1
■
v = -i
X
l r , fr , 5 l - ’ " p - * ) ] i +h
ẦN
\ dx , , - / ĩ ( 5 = ĩ ) ' l n4
3 ,_ 4 : = f> " 4
|4
TR
ln (5 -x )4
1
[d u = ~
1
^ c
2
HƯ NG
^ ~
X
_
=l n 2 - —=>D = —.
[ V ” ĩ + 1 It + 1
5 E = j l n ( 5 - x ) + x ^ dx ^ 1
1
li
.Q UY
ly rf
TP
1-t2dt rt dt f4-1 0/ t + i
ĐẠ O
[dv = 2tdt
NH ƠN
du = — —dt , li Vt2d t \■t2dt 1+ t =>D = t ln (l + t)| - J———= ln2 —j 0 ot + l 0t + 1 V= t ỉ
fu = In(l + t)
ðặt
4
10
00
B
H = j x V 5 - x . d x . ðặt t = V5-X =>2tdt = -d x 1 r"\ A___ *ị ___ • 1 __, M ðổi cận: X = 1 => t = 2, X = 4 => t = 1
+3
1 5 3 tb H= J ( 5 - t 2)t(-2 t)d t = 2 - t - — 3 5 2
CẤ
P2
164 15
HÓ
A
3 164 Vậy, E = K+ H = —ln4 + —— 1 5 15 n
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
li 3rxsinxdx /r 3r:xsinxdx r _ r dx -Ịxsinxdx J--2~V + 0»J' cos2x =ta,,xi« + 0J ' 3 Ar = V 3 + 0J cos2x rn c 4 O 'cos2x u= x du = dx ðặt , sinx , : 1 dv = ■■ Ỷ dx cosx COS X 7[
71
K hiñ 6I = V3 + 3p H Ỉ Í = V 3 + COS2 X
1 -s in x 1 + sinx
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
x cosx
3
3ị-
ux 271 3f cosxdx Qcosx 3 ' 1 - sĩn2x
=V 3+^ + ln (2 -7 3 )
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHỦ ð Ể 4 T Í N H
T Í C H
P H Â N
ð Ặ C
B I Ệ T
NH ƠN
o
□ Phương pháp:
.Q UY
ðây là dạng toán hiếm xuâ't hiện trong kì thi tuyên sinh ðại học, tác giả giới thiệu ñên bạn ñọc bài toán cơ bản. □ Các ví dụ minh hoạ:
a
1
í
ĐẠ O
TP
Ví dụ 1.4.2 Chứng minh rằng nêu f(x) là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn Ị—a;a] l-2x
1
Lời giải. 0
a
0
1= j f ( x ) d x = j f ( x ) d x + jf(x )d x -a
— a
(l).X é t | f ( x ) d x .
ẦN
a
HƯ NG
thì: 1= Jf(x)dx = 0 . Từ ñó tính J= Jìn — .dx + 2x -a -1 ^
0
-a
00
B
TR
ðặt t = - X => dt = - d x => dx = - d t ðổi cận: x = - a = > t = a, x = 0=> t = 0
0
0
0
+3
• -a
10
Vậy, Jf(x)dx= Jf(-t)dt = -Jf(t)dt = -Jf(x)dx.
P2
Thế vào ( l ) ta ñược I = 0
CẤ
Tương tự: Nêu f (x) là hàm chẵn và liên tục trên ñoạn [-a;a]
HÓ
A
thì 1= jf(x)dx = 2 Jf(x)dx
TO ÁN
-L
Í-
ðặt t = - x = > d x = - d t ðổi cận: X - —1 => t = 1,
0
1 ==> t = - 1
l + 2t )dx=] ln(ĩr|)- d t = -d x = > dx = - d t ðổi cận: X = 0 => t = 71, X = 7Ĩ => t = 0
TP
Vậy: Jx.f(sinx)dx= J(7t-t).f[sin(7r-t)]ñt = J(n-t).f(sint)dt 0 0 0
0 71
71
71
ĐẠ O
71
_
71
0
7T
HƯ NG
==>2 jx.f (sinx)dx = 71jf(sinx)dx => Jx.f (sin x)dx = —jf(sin x)dx 0 0 0 ^0
ẦN
Tương tự: Nếu hàm sô' f(x) liên tục trên [a;b] và f(a + b —x) = f(x). 1 71 0
B
a
TR
Thì ta luôn có: Jx.f(x)dx = - ---- jf(x)dx
00
Các hoạt ñộng cơ bản:
10
3
3
P2
+3
□ Hoạt ñộng 1: Cho Jf (x)dx = - 2 và Jg(x)dx = 3. 1 1 3
3
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
Hãy tính J^3f(x)-g(x)]dx, J|^5-4f(x)Jdx . 1 1 □ Hoạt ñộng 2: Tính tích phân:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
□ Hoạt ñộng 3: Tính tích phân: Jx2(x + 1)
X2 - 2 x - 3
dx
dx
u =ị ' x 2(x + l )
12 - Í - 7xz - 4 x + 3
(x2 + 3x + 2j
□ Hoạt ñộng 4: Tính tích phân: n n 2
7U
3
L = fcot2xdx ị
J
2
Ji = f— Ị s in xcos X
4
0J
6
71
.Q UY
dx
dx
71
71
TP
3
NH ƠN
15x2 - 3 x - 2 0
u = ị J ặ z L . dx
, Kj=
Ịsin2 xdx
ĐẠ O
5 ( x - l ) dx 1 xX X—6
C(?t —dx
K2 = jsin2x.sin7xdx ít ~2
]2 = [tanxdx
COS X
_Jn
4
4
ẦN
J
□ Hoạt ñộng 5: Tính tích phân: 1 n
I2 = Jcosx|Vsinxdx 0
00
0
B
1= j*x|x-aịdx,a >0
TR
I2 =
HƯ NG
2
10
□ Hoạt ñộng 6: Tính tích phân: 1 6 1
+3
_____
I3 = JVl + sinxdx 0
^ /------I3 = j v x 3 + l.x 5dx 0
I6 = Jx8V l - x 3dx 0
dx
TO ÁN
1 xx -- 5
-L
VFĨ
,
Í-
HÓ
A
CẤ
P2
1} = j^2xVx- l j -Ịxàx I2 = jx 3.Vx2 +3dx 0 0 1 _____ 1 _____ I4 = Jx5v l - x 2dx I5 = | x 3Vx^ + l dx 0 0 □ Hoạt ñộng 7 Tính tích phân:
2n
ID
ƯỠ
NG
^ xsdx *4= ỉ 0 2 2- v ^ ĩ dx *7- Í x - 5 Ị - 6f
BỒ
i x + a/ x 2 - 1 7
,
_ 7f X + 2
x+1
^ /x + ĩ
4 x -3 >» = J:2 + \'3x +1
dx
10 _ '2 x + l + V4x + l
2f V x+1 I3 = J----- ^ = d x
1 = ídx 2 íx (l + ^ )
W ; Ẳ/3x + l
dx
x -3
dx
_{3vx + l + X + 3
dx
1 7^ 11 “ J 3 ^ 0J X3 + 1
J12- J
dx
201
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
□ Hoạt ñộng 8: Tính tích phân: dx
.J _= 33rxV f x V xx - ĩldx dx 16 ^ “ J
5 == Ị f 4x 1 dx I5 0JV2x + li + 2 L
7 - 0J VX 1,2 —Z X+1-
„=
dx
dx
f________ 1 j 2x +1 + V-ỊxTĨ
_ 2fVx2 - 1 J ^ -J X dx T
TP
, _ 2f 2x 3 - 3 x 2 + x
Iu - jx2-\/4 -3x 2dx 0
□ Hoạt ñộng 9: Tính tích phân: 4 73 dx 2 dx J2= J V7XVx2 +9 0 ,5 X V l-X 2 03 4 x2dx dx o V l+ .W x X2 + 2 x + 4 u ~ ì
.
er lnx\/41nx+5 , --------— ------ dx J V l/e
2fX3 + 2 x 2 + 4 x + 9 ,
!3 = J 0
x
--------- dx
2+ 4
1 —X
P2
+ lJ
7------- T7— dx (x3 + l ) ^ 7 ĩ
CẤ
5]Ịx2ị3x23x 0,5 Y
dx
+3
10
00
B
TR
W
‘12
HƯ NG
ol( l + 3x2)
x _7
ĐẠ O
Ị - ) dx 4 J .. / 7 ~ T ^xV T+x3
^10 - J'
NH ƠN
11 + X + 7 x 2 + 1 -1
-x+ 1
ẦN
Vx
0
I _ 4f x3ñx 3 ” 2J^ p 7 ĩ )
.Q UY
, - j
HÓ
A
□ Hoạt ñộng 10: Tính tích phân: ln5 In? e3x dx dx I2 = í I l = 0/ e2x - 9 ln3 ex +2e l-e x
,nr3
TO ÁN
In2
-L
Í-
i3 = ' " M ^ ĩ d x 0J ex +3
0 l + ex
NG
vs
dx
ln4
sx( l - e x) '« ° J - 7 ; (
Ố(ex + 2 ) Ị ef dx JX(1 + 1„ 2X) .
*10= J V ^-3dx J
BỒ
ID
ƯỠ
I7 = [ —•/•• ax = ĩ x V l - l n 2x18 Inl2 _____
ex
11
r f 3-21nx , In = — 7 dx I xV l + 21nx
f e2X.lnxrin x + l A
~ f dx )
I
X,
dx
J _ 6|-_______ Inxdx_______ 12
! x(V2 + lnx + V 2 - l n x )
20 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
□ Hoạt ñộng 11: Tính tích phân: 1 1 . 2P COs3x , 2r cosx I = ——--- dx L = — — — dx "Sinx + 1 ‘ 5 - 2 s in x
TP
2rsinx-cQsx ,
ỉ4 = I.I . dx „ Vl + sin2x
.Q UY
K fsin3 x - s i n 33x . _ 6rsin3: * 5 - J - TL+ cos3x 0 x
71
71
H -
2r COS2x 7 ~ Jt ~ .._ ^ 3 dx o ( sin x - c o s x - f 3)
ĐẠ O
,
HƯ NG
sinxdx
,
NH ƠN
, I = r— cos2x dx ' l + 2sin2x
71
cosx
y 2r s in x -c o s x , Ig = - 7--... ^dx ; V l+ s in 2 x
8 _ />/2 + cos2x x 71
sin2x Ị dx 0 Vcos2x + 4sin2x
’( ■ xsinx ’V
\
CẤ
Ij = Jsin2xỊl + sin2xj dx .0
A
71
13
HÓ
_ 3f xsin2xdx
*5- J— 0
~ ~ ĩ
(sinx + l)
ID
ƯỠ
NG
7T 2 1 -dx I7 = f ' 4 s i n x + 3cosx + 5 7t
7T
2 I2 = Jsinxsin2xdx 0 7Ĩ
2r c o s x + s i n x c o s x .
I4 = j ------—— ----------d-x 2 + sinx 0
-L
TO ÁN
, _ 2f cosxdx
Í-
sin2xcos X
BỒ
, _ 2fC0t xẲlsin3 X- sin xdx 9- I m ỉ sin X
dx
10
00
L ?
□ Hoạt ñộng 12: Tính tích phân: K 2 \3
.
B
I' 12 —- I— “4 0 + sin X
---------------------- !-----------------------------
+3
I
cosx
P2
—
2f
TR
4
111
,
I10 = ------- — ------ dx 'sin x + 2cosx
ẦN
(•
sin2x - }
dx
0 Vcos2x + 4sin2x
dx 4 + 5sinx 71
3
{10= j~
cotx
:dx
ísinx.sin 6 203
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
f tanf X - —i r
*
12 = .J ~pT~. dx Jc o s x - v 3 s i n x
cos2x
NH ƠN
41
cos2x
□ Hoạt ñộng 13: Tính tích phân: 3f sin3x K = — ------ dx 'C O S X + 2
— dx ______ , 4r ‘T Ỉ Ocosx.sin :.sin (^ + x j
TP
.Q UY
r •'Vcosx + sinx , ỉ7 V3 + sin2x Ịt7T 2
71 . 3r J3 = j -
:_ 4
sin , 2fr sin4xX , Ì2 = J - 4 — dx 2 ~ J gSin s i n 4 xx++cos4x cos X
sin2x
ĐẠ O
_ p
.
1 ~ I (2 + sin x)2 2 ỊỊ
HƯ NG
0
Ịt
4r x J 3f tanx , K, = -----------------------dx K2 = I------- ------- dx J ta n x + co tx
ỊT ,
6
= 0JJ------xe X + 1ĩ —
sin
6r sinx , L7 = — , -- rdx 2 i í ^
dx
71
71
B
6ftan4x , Lj = — — dx 1 'Cos2x
X -dx
00
,
TR
6 n71
,a e :
^1 + tan X
f3xex + e x + 2 J K3
ẦN
' l + cos2x + sin 2 x
dx •
onsisin x + M^3cosx
+3
10
°sin fx + - j
I3 = Jxln[l + X2)dx
0
ó
HÓ
A
0
I2 = JỊx + cos3x)sinxdx
CẤ
Ix = JxỊe2x + ^ /x-l)dx
P2
□ Hoạt ñộng 14: Tính tích phân:
I6
= jx 3ln2xdx *
TO ÁN
-L
Í-
I4 = I — +-~*~ lnxdx Is - | ( 4 x - l ) l n x d x ll x / 1 □ Hoạt ñộng 15: Tính tích phân: ^ = ỵ n ( t a n x ) dx
NG
1, = j ị \ f c + j j = Ị d x
.
BỒ
ID
ƯỠ
u = 7 -7 ~ d *
ix l n Ị x + V l + x2 j 7Ĩ77
.
.
erl n x + l n ( l n x ) ^ e
°r xln(xH-2)
,
0 (x + 2) dx
I, „ Ịx.sinxco5,2xdx
X
I9 = Jsin 2 xln (l+ sin x)d x 0
204 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
pịỊoạt ñộng 16: Tính tích phân: 2 o ,,2
í -2 2X+ 1
_ V x4dx
dx
3~
Jt
X7
%
4
, - f—----- dx
Ịfs J x w + 1
Is !
sin4x + cos4x 3X+ 1
71
I6 = Jxsinxcos2xdx 0
dx
dx
TP
V
1 + 2X
.Q UY
1
[2 _
NH ƠN
2x +1
L .lĩ^ ià x h’ } e-
ĐẠ O
Í7=i ( e x + l ) ( x 2 + l )
HƯ NG
HƯỞNG DẪN GIẢI CÁC HOẠT ðỘNG. __■ ■ Hoạt ñộng 1: 3
3
3
3
3
1
3
I
3
1
TR
1
ẦN
1= j [3 f ( x ) -g ( x )] d x = |3 f( x )d x - Jg(x)dx = 3 j f (x )d x - Jg(x)dx = - 9 3
1
10
00
B
J= j^ 5 -4 f(x )]d x = j5 d x -4 Jf(x)dx = 5x 1 + 8 = 23. 1 1 1
+3
Hoạt ñộng 2 :
P2
1
Í-
ị J(1 + 3 x ) f d ( 1 + 3x) -
TO ÁN
3. I3 =
-L
2. I2 = jỊx3 + 2x2 +x)dx 0
X4 „ X3 X2 \ ' _ 34 —- + 2.— + — 4 3 2 " 3 -'ó
HÓ
^
13 3 ■
A
2
+ 2x2 + X
CẤ
1. Ix = |^4x2 + 4x + ljdx = 0
A ( J . .+
3x)f
■4 Ì - . 1
15
d (2 5-3 x)
-2
2
ID
’r i í ị 1 í-3 v
3
BỒ
,
ƯỠ
NG
7_ 1 6 '4.1.4 = JVx^3d(x-3) = |ị-(x -3 )7 x ^ 3 " 3—3 3 3
1fdíx2 + x + l ) 6.Ĩ2= J.....L= ỉn x2+x + l X2 + X +
1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
= ln3.
205
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
7’ 3 = “ 2 0J( l - x 2)3
2‘
-2
1
2 _ 35
0 = 4 - ( ! _ x2)2 0 = 3 6-
NH ƠN
5 2rd( l - x 2) _ _ 5 í 1 - *2) 2 2 _ 5
1 —XA Bx + C (A + B)x 2+(B + C)x + A + C 8. Ta co: ------- - 7 - ------------------ r —------ —-I— ~------------------- —---
X-hd í X +1
(x + l)(x2+ l)
.Q UY
(x + l)(x2+l )
r-
TP
= > A = 1 ,B = - 1 , C = 0
—
HƯ NG
= -J d x -2 j— 2
d ( l- x ) = - x g - 2 1 n |l- x g = - 3 - 4 I n 2 .
2
ðặt t = x + l = > x = t - l = > d x = dt
ẦN
1 U. \_acn 1 :
x = l= > t = 2
Khid6 K
U
00
ị ị - ị y
^
- l ^
Ị
10
Ị ^
B
TR
ðổicận: x = 0=>t = l, ^
ĐẠ O
9‘ l5 = 5( " 1+ĩ ^ ) dX= ~ ídX+ 2f e dX
P2
+3
1I f . lY l 1 —, 2 -----1----- —1 H— = —. |_ 2 8 i 2 Jj 4
CẤ
Cách 2:
Í-
HÓ
A
Ki = f — - 3 dx = j-2(-.X+ 1-)::2 dx = J2 f — ? _ _ — 1 - id x o(x + l ) 0J (x + 1) 0 [ (x + l ) (x + l ) 3J 1
-L
= *___1 _
TO ÁN
x+1
BỒ
ID
ƯỠ
NG
u - K 2= / 7
2(x + l ) 2
^
-
~ 4'
d x = 0f e ' i r j ) x = (lnlx - 3l - lnlx - 2i i
x -3 1 , 3 4 = l n —— = ln 2 - I n —= ln—. x-2 0 2 3
™ t, _ 5f 3 x - 7 12. K3 = - -
, sf2 ( x - 2 ) + ( x - 3 ) V 2 1 V . dx = |- 4 — — -A ỉx = fl —=— h—=^— dx
4 X -5x +6
'
(x-2)(x-3)
Ặ x -3
x-2 ;
206
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
= (2 1 n |x -3 | + ln |x - 2 |) |5 =21n2 + I n 3 - l n 2 = ln 6
y
2
3 'l dx = 41n2-31n3
1. L — [-7—— —dx = I 1 1 /x 2- x - 6 J \ X- 3 ,
2r 2 x - i
V
X + 2J
1
3'I
3
1
.Q UY
2f 5(x^-l)
NH ƠN
Ịỉoạt ñ ộ n g 3:
4
íl2tdt = COSxdx
Í-
1
2
4
4
1
3'
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Khi ñó: I2 = 2 j t 2dt - 2 Jt2dt = 4 j t 2dt = - t 0 1 0 ^ 2jt 2it / \ 3 .13 = j V l + sinxdx = JV 2 COS — dx 0 0 ^ X 7Ĩ X ðặt u = ^ - - - => du = -rdx =3- dx = 2du 2 4 2
1
3ĩt
ðổi cận: x=0==> u = ——, 4
4: x = 2ft=>u = — : I3 = 2V2 J|cosu|du 4 71 ~i\
208
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
Nếu
4
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
< u < — thì COSU>0 2
ĩ.
NH ƠN
Nếu —< u < — thì COSU dt = COSxdx cosxax 7Ĩ V| 3 cosx , _ 2r dt
dd t == --.^ -ssin a I8 ĩ-^ ~ J — i nuudd uu ,s , suuyy rra Ig = —
TP
9 .I g - ln V 2 71
2
HƯ NG
ĐẠ O
cosx , -dx 10. I10 = J— 0'sin sir x + 2cosx Ta xác ñịnh a,b sao cho:
ẦN
2 1 cọsx = a(sin x + 2 c o s x )+ b (c o s x -2 s in x ) ==>a=—,b = — n 2
TR
2ị Í 2 l c o s x - 2 s i n x V (2 1,1 „ A —+ --------------------ñ x = —x + —In sinx + 2cosx \5 5 0A 5 5 s in x + 2ẹosxJ 7ĩ-ln2
+3
10
00
B
^ ^10 =
P2
11. ðặt: t = vc os2x + 4sin2x t2 = l + 3 s i n ?x
2tdt
——
„2
n 2_ 4 _ z _ 2
HÓ
2
A
CẤ
:=> 2tdt = ổsin xcosxd x - 3sin2xdx sin2xdx =
~3
3
3
-L
Í-
■ n -H -.-fil.-f.
TO ÁN
I *r x sin x , 12. I12 = J— 1" dx jj4+ sin X ðặt X = n - 1 ta có
NG
V r c - t is in t —
ƯỠ
*12 =
4 + s ir r t
y
d t = 7t ■
sint.
-
.
*f ts in t
,
d t- f - dt g 4 + s in t 5 4 + sin t
ID
0
2,
'12
n r sinx , 71 r d (cosx) 71 , T i + c o s x I12 = -Z — —V - d x = ^ ::- v / = — H n. 2 ' 4 + sin X 2 ^ 5 - c o s X 4v5 Vs- CO.SX
BỒ
.
213 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
. >/5-1
. Vb + 1
Hoạt’ñộng 12: 15 2 1 .1 . 1,! = — 2. I2 = 1 ■ 44 2 3 71 Jt -1* ' J Ị _ 2fCosx + sin x co sx ^ _ 2|-(l + sinx)cosx
=ụ
7 5. ðặt t = sinx + 1 , suy ra I5 = 24 Ị õ ộ 2 6. ðặt t = VCOS X+ 4sin X, suy ra I6 = —
.Q UY
4
dx.ðặt t = 2 + sinx
TP
2 + sinx
'
3
ĐẠ O
2 + sinx
Ị
3
HƯ NG
4
3.13 = í - ^
NH ƠN
l n - p --------I n - p - — 4^5 V5 + 1 V 5-1
ẦN
7. ðặt t = tan—=^>dt = tan2 —+ l ìd x = > d x = 2 J 2 t2 + l
TR
dt
00
B
t+2
(t + l f
+3
10
8. L = —ln2
HÓ
A
CẤ
P2
\/9 9. ðặt t = cotx=> Iq = - — 9 24 7T Jt 3 3 cotx cotx -dx = V 2 I— dx. ðặt t = l + cotx 10. Ijo = V2 [^ c CỈY 'sin x (sm x + cosx)1 *sin?x ( l + cotx) 6
-L
Í-
6
Tí
TO ÁN
+ 1=-dx, ñặt t = tanx 11. Biến ñôi 1.11 = - ^rtan2x ------- ----0 (tanx+l) _ TC r co s2x , ỉ cos2x rdx.ðặt t = x + — 12 = J------- - 7 = ; - dx=J• cc oo ssxx--vv3sin 3 s i n xx 2cos[ X+ —I { 3) Hoạt ñộng 13: 7T Tí -7T „ . 3r sin3x , 3fsinxsin2x , 3f . (. V, 1. L = — ------ dx = ----- — ----- dx = s in x ( l - c o s x ) d x "COSX+ 1 ị cosx + 1 ị
BỒ
ID
ƯỠ
NG
,
214 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðặt t = cosx=>dt = -sinxdx=>sinxdx = -dt
ỊỊ
7Ĩ
X = —=> t
3
!
1 =^ . 2
NH ƠN
I ðổi cận: X = 0 :=> t = 1,
1_
3
2
1
I
1
/ i
1 ^
2
^
1
- l + ỉ2 J= ỉ8 .
TP
0
.Q UY
= Jsinx(l-cosx)dx = J (l-t ) (- d t ) = - t + —t
4
ĐẠ O
7U cpsx + sinx
HƯ NG
^dx 0 ^ 4 -(s in x -c o s x )2
Z I2 = J-
ðổi cận: X - 0 => t = -1 ,
X = —=> t
=0
TR
4
ẦN
ðặt t = s in x -c o s x = > d t = (cosx + sinx)dx
10
00
B
0 , 71 7Ĩ Khi ñó ỉ2 = / - ? = = = .ðặt t = 2sin v ,—r < v < -r = ì> d t = 2cosvdv. 2 2 -1 V4 - 12
P2
f d v = v |° _ = — .
L*
6 6
A
J _£ 6
Í-
HÓ
2
CẤ
K h iñ ó l2 =
t = —1 => V= -
+3
ðổi cận: t = 0 => V= 0,
TO ÁN
u
-L
3.I s 4 ------- 4 ^ 1 õcosx.sin —+ x
*
ị
COS
)
-— l í+ 71x
71 + x ì * _ If—
'ì
-X
ị COS
-X
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Cách ĩ: I3 = jh/2-----Y ' — Jd x = s \ ------------'— Ỹ 0 cosx.sin —+ x 0 cosx.sin —+ x
u
n (K _ 4 COS ^ + X
=^
u
J
dx
J
Tĩ Ị
f .- ị ± - ị d x + p ^ d x . 0sini—+ x I ocosx
.
u
J
215 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
7 COS —+ x
X=
1
0 => t = —7=r, V2
X
71
= —==>£ = 1 . 4 J‘
1 t
J2
ĐẠ O
V2
n
Tt
4r s i n x , 4r d ( s i n x ) , ứl 1 r..— -dx = - v ■ = - l n cosxU = - ln - J = = lrw 2 .
'COsx '
sin x
110
HƯ NG
B=
TP
==>A = J"——= In tỊ^ = l n l - l n - Ị = = lnV 2 .
NH ƠN
ðổi cận:
,4 j J
.Q UY
0 sin^—+ x j
'n >dt = cos - + x dx
dx. ðặt t = sin —+ x 4
V2
7T
00
B
- . =^ ]'cos x(tanx + l ) —+ x 0 u J
10
0 * 2 = 1 3 = 1— ^ °cosx.sin
TR
7T
ẦN
I3 = V 2 (A + B) = V2(lnV2 + l n ^ ) = V2.21nV2=72In2.
ðặt t = tanx + l= > d t =
+3
dx
X=
—=> t = 2. 4
A
CẤ
ðổi cận: x = 0= > t = l ,
P2
co s2 X
X
= 0 => t = 0,
i(2 +tf
X
= ——=> t = —1 2
_{ (2 + t f
i
2 + 1 (2 + t)Z
d(2 + t)
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
ðổi cận
-L
Í-
HÓ
=> I3 = V2 J— = 72 ln|t||2 = 4 Ĩ ln 2 . 1t 4. ðặt: t = sin x= >d t = cosxdx
Jx = 2 ln(2 + t) + = 2 1 n 2 -2 . 2 + t -1 V 71
5. ðăt x = ——t=>dx = —d t. 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ðổi cân x = 0= > t = — ; X= —=> t = 0. 2 2
. 4 /7 1
f
J2
J
^
u
/
lĩ
t
J
\
{
\
^
r
71
cos4t
J .4
| sin^ * _ t J + cos^ _ t J
NH ƠN 7t
__ 4
2
2
4
21
_ _ 4
^_r
oJ sin t + cos t
71
.Q UY
sin ị ~
*2 4 f co st I .4 4 0 sin t + cos t
cos x dx. 1. 4 4
TP
0
- r -S\ t I r V2 J Ỉ2 — J / \ / \ i s i n 4 i —- t i + c o s 4 i —- t ì 2 u J {2 )
0 sin x + cos X
ĐẠ O
• sin
HƯ NG
0
ẦN
OI 2f sin4 x , 2f C0S4X , 2r, _ 7C . n ^ 2 ]2 = I— ----- ĨTdx+ J— — r -dx = Jdx = -r=> I = -J 'sin x + cos X ^sin x + cos X ố 2 4 6. ð ă t t = - ^ - - x = > d x = - d t . ð ổ i cân: x = — = > t = — ; x = —- = > t = — .
3
7T
71
6
3
B
71
6
TR
2
^ - 3f tang t-dt _ 3ftana x.dx J l + cota t _ J l + tana t - J l+ ta n a x 6
6
21
P2
—
. . I 3r dx 3ftana x.dx 3r, 71 71 3 ' 3 + 3 _ / 1 + tana X + | l + tan X ” I x ~ 6 ^ l ĩ ~12'
CẤ
=>
—
10
6
+3
^
00
1 - 3f
6
6
HÓ
A
6
-L
Í-
7. .ðặt x = - - t 4
, k24
TO ÁN
tanx + c o tx - c o tx tanx + cotx
7T
cotx
-ñx
< J x = * 4 tanx + cotx 6 I
ƯỠ
NG
ðặt X = 7 7 - u . Ta tính ñược I = . 2 12
BỒ
ID
10. ðặt t = tanx=> ðổi cận: X= 0
dt
=d x . Kh i ñó: c o s 2 x :
1 + t2
1 -V l + t2
71
1
6
V3
t = 0; X= —=> t = —/=.
217 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
.Q UY
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
6.
I
TP
sinx 2 = jdx 0 sin X+ —
3y
ĐẠ O
11. l
71
x= t--
TC
3 , ñổi cận:
dx = ñt
2 n
HƯ NG
ðặt t = X+
71
x = —=>t 6
x = 0= > t = V
L* : 2 (1 3
71 ^ V 3
I
}
Ilf
00
_ i f 71
7t
3 a /3
n \Ỉ3 2rCOStdt 2 J Sint 3
V3
+3
r
3
10
3
B
TR
ẦN
7T 1 71'ij*. ĩ l 2 Sin wt - o— dt 22— -M s i nill-------t — - c oLUSL st Z-"“ -2 L2 = f -A 3 j . = J2, ,l ~ 2 . , d t =dt1 =] —2fdt 2 - Sint ịTt Sint ị 2ị 2,J
CẤ
P2
ĨI 7Ĩ . ( It ] 71 ft ^sin x + - - n u ý:t l 2 = _ J— r p sinx ^ = _ Jf V— — 3J— 3- 4dx Chú ~ —^-dx
°sin x+r-
■ 0
•
- B
)
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
F t)
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
; f x+— = sin
V
3 ;j (
L
V
Tl'i
ĨI
.
T
s i n x - —
V
3
)
71
r V 4 J ... - J— I 7= dx 0 sin x -W 3 c o sx
12.
3 /J
NH ƠN
L
71Ìcdx dx = cos f x + —
r
1 f c o s x -s in x , J— 7= dx v2 0 sinx + v 3 c o sx
.Q UY
a \ sin ; f j.x + ộịú ý: ủ
ẦN
1 ị d ( s in x + ^ c o s x )
>/2 nSinx + V3c0Sx
sinx + \/3cosx
-J li
2^3 V2 n 3
00
0
10
J ,- -
-dx = J1 +}2 sinx + >/3cosx
TR
1 ịco sx -V ã sin x
sinx + >/3cosx
sinx
HƯ NG
sinx + ^ c o s x
ĐẠ O
0 sinx + Vấcosx n n 1 6rGOSX->/3sinx , 1 —s/3 6r
B
"
TP
ị i j c o s x - V 3 s in x j + ( S - i ) sinx
+3
1 -7 3 sinx l - ^ 6f sinx d _ lz A \ •L, k !x = 7 2 pSinx + V 3cosx 2 V2 0 . 0 s in |x + - j 2yfc
CẤ
P2
2
A
c/ió ý:
HÓ
d(sinx + V 3cosxj = (sinx + V 3c o sx j’dx = (co sx-A /3 sin x jd x
Í-
1 , 2 V3 1-V 3 f n Vã, V3Ì L, = — 7=ln—— + - — — + — In— 3 4Ĩ 3 2 V2 ,1 2 2
-L
2 I
TO ÁN
CM ý:
. f K I 11 • Ití ft 6 sinl X I 6 L3 — J v /- 4 ; :d x = ‘[• sil\ x 4, 0Jsinx + V 3cosx 0 2cos X—
sin f
ƯỠ
0
Jt
71^
I r i
NG
n
12
dx
2 c o s(x - —
I
6,
BỒ
ID
Hoạt ñộng 14:
1
4
14
2
4
219 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
,
3. I, = l n 2 - — ? 2 5. Ig = 6 In 2 —2
26*
11
4. L = ------1----4 9 18 5e - 1
NH ƠN
6. L
32
Hoạt ñộng 15:
.Q UY
dv = dx
dx 2Vlnx =>Ij = 3 e9 - e
2. I , = — In2 3 2 16 Tt
ĐẠ O
TP
v=x
21
22
2
HƯ NG
1.
du =
fu = Vlnx
3 . 13 - jx.sinxcos2xdx = —jx .(sin 3 x -sin x )d x
20
0
u = In(x + l )
00
B
TR
ẦN
r .. Ídu . = -rdx 1 , u=2 2 :=> ðặt 1 dv = (sin3x -sin x )d x V = —rC0s3x + cosx 3 du = .
CẤ
P2
+3
10
-dx X+ 1 5. ðặt , dx => • dv = — — T J_ (x + 2) v =x+2 u = lnỊx + V l + x2 j
A HÓ
,
xdx dv= T = = =
V l + X2
^
V= v 1 + x2
-L
Í-
'7. ðặt
NG
TO ÁN
8. ðặt t = In X, sau ñó ñặt
ƯỠ
9. ðặt t = sin x , sau ñó ñặt
dx
du =
, _dt du= — t v=t
[u = lnt-; Idv = dt
[u = ln (l + fr): Idv = 2tdt
BỒ
ID
Hoạt ñộng 16 In2
ln2
/
* \ ln2 !n2+l
1. \ = | e x+1d x+ J e - Xdx = ex+1 0
0
V
6 y
1T - 6 + 1 - = 6 H—1 . 5 , 2 -7
2 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
, , br f ( * ) , .. °r f(x) 2. Tacó: 1= I -■ dx+ I—; d x . ðặt t = - X 0V + 1 _ịa x +1 a x
4 -1
J
^
dx = - d t .
j . 1
.Q UY
NH ƠN
ðổi cận: x = 0 = > t = 0;x = -b = > t = b
ĐẠ O
TP
(do f ( - t ) = f ( t ) ) .
HƯ NG
Á p dụng:
TR
ẦN
Vì hàm sô' f (x) = 2x2 + 1 là hàm số chẵn nên theo công thức trên, ta có:
00
B
D. BÀI TẬP T ự LUYỆN.
10
Bài tập 1:
P2
+3
Tính tích phân:
Ị - f
dx
3 0J( x + 3)2(x + 1)2
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
CẤ
-1 X2 - 4 x + 3
221 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 2:
X4
o
ñx M .4 0 'X +X + 1
K1 = 0JX3+1
* 1 - f - f r * 1* ì *ẵ - 1
1f
J.if,1
l
f ldx 2 —I 2 g 4x + 4x + 2
.Q UY
2r
1
NH ƠN
Tính tích phân: 1
ĐẠ O
= J - 7 T ^ x V l-x ; 2 2V3 dx
+3
0
‘s = / -
x
TR
Í3ài tập 8: Tỉnh tích phân:
lnS
-
rdx
ẦN
Ó' Ỉ 3 + 2x
3,
TP
J1 = j W l - x 2dx 0
Ỉ 7 T - T dx 0 Ve + 1
ĐẠ O
m2
.Q UY
Bài tập 7: Tính tích phân:
BỒ
ID
ƯỠ
Bàị tập 9: Tính tích phân: ĩ = r_^ 1 J l + X2
0
dx
- i( x 2 + 2 x + 2)
Kì =
rdx 1+X3
094
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2^3
-----------
1
J2 = j x V x 2 + 4dx 2
X + X+1
„2
K2 = j - ^ — dx 0x
Bài ỉập 10: Tính tích phân: .
^sin X
e3
6
4
n
0
-Jẽ dx Kị = fíi = J 'T 3 7 11dxxĨ3 V l-ln 2x
Tĩ 2 dx >2 ~ J /7 J» - Ì*si , s5i n x v l + cosx
COS X
1
K2 =
ị
l = [ _ — JL -T = ------------ 0i _ X +1 1 + tan t
—--------= —T— dt = ——7t 3 / 7 \ 3 •* I —( l + ta n t | I
1
>
4 V
6
P2
6
Bài tập 4:
í X2 \ -1 ^ X2 A + — +x + l ) d x = ------ X 2 y -1 V / -2 V. 2
CẤ
-1
2
-1
2
Í-
1
HÓ
-2
'x 2 ' -— X = 1 . V2 A
X—
-L
= J (l-x )d x + J (x -l)d x =
1
TO ÁN
0
X3 + (— - x )
ĩ3 = J ( l - x 2)dx+ J(x2-l)dx = X— 0
= 5.
A
X+ J(x
h
9
+3
J
10
M, =
00
B
TR
= — ( l + t a n 2t)dt J— —t a m = > d x == ad J n t— - - = —--------a -i d=t — 22 ' ' Ị^V 4 2J 2 COS t t
1 4-
NG
3
=2.
3
ƯỠ
I4 = J ( - x 2 + x + 6 j d x + j ( x z - x - 6 j d x
BỒ
ID
0
í
3 % X *
V ^ 3
/ _3
z x
, - + 6x
í
2
X3
+
/ ''o
-—
v 3 ^
X2 ,
2^
_— 6 x 2
^3
49
3 229
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
f
-1
i
*
1 -x
. j M
4 1 -x
3
dx . 1 —
j[l-x
1
dx=x£ -
Ls
3
I6 = jV x|x-l|dx = jV x (l-x )d x + jV x(x-l)d x 0
0
1
_8_ 8 V3 15+ 5
.Q UY
h' tập 5:
NH ƠN
J, . j
*
7T
ĐẠ O
TP
Thi: |a| = |b |^ I = j|.js in x d (s in x ) = Ặ ĩ Th2 : |a| * |b|. t = a2 COS2 X+ b2sin2 X
ẦN
|b|+|a|
TR
1 bf dt _ 1 n: 2(b2 - a 2) J V F = b2 - a 2Vt a 1
B
■_* ^
HƯ NG
=> dt = ị- 2 a 2 cos X sin X + 2b2 sin xcos X Jdx = 2 ^b2 - a 2 jsinxcosxdx
00
v ậ y ,= R ^M -
10
3ĩi 4
+3
M= ||sin2x|dx
P2
71
CẤ
4
-L
Í-
HÓ
A
Nếu: —< X < ——< 2x < ft => sin2x > 0 4 2 2 TC *^TĨ ^7Ĩ Nếu: - < x < — « 7 t < 2 x < — = > sin 2x< 0 2 4 2 3n It 4
2
4
NG
TO ÁN
Khi ñó: M= ||sin2x|dx = jsin 2 x d x - Jsin2xdx '
4
2 1 = —^cos2x + ^-cos2x 2 1 2
ƯỠ
—
2L
4
2
= -ỉ(-l-0 )+
4
ID BỒ
£
71
2f
"f
0
It
—
Ix = Jcosxdx+ J (-co sx )d x = sin x |2 -s in x |£ = 2 2
2
230 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
f 71
2tc \ 13 =^2 J|sinx|dx = -v/2 jsinxdx-Jsinxdx = W 2. 2\n 0
V O
7E
/
It
0
Bài tập 6:
.Q UY
0
NH ƠN
71 Tt 2 * 14 = j|ccjs x| dx = Jcos xdx - Jcos xdx = 2 .
■
X=
0 => t = 0,
X = —=> t
4
ĐẠ O
ðổi cận:
TP
1. ðặt t = tạnx=>dt = (tan2x + l)d x =1
HƯ NG
71
3
15
ý0 0
TR
13_7t
-Jd „
4
sinx 1+ ' l + cosx ( l + cosx)
dx=
P2
dx
0 2cos2^ 2
It
2r
sinx
------:
o (l + cosx)
11 3
CẤ
Bài tập 7:
\
10
-1 -—
+3
2
2. 12 = f—
00
7Ĩ
B
5
ẦN
V 1 'V I1 = Jtan6 x d x = u ^ - = | t 4 - t 2 + i - — !— dt t2+ i 0 ol +1 0
0 =3-1 = V2 ,
X=
ln2 => t = V3 .
-L
Í-
^ f 2 -1 ^ I1= j - ----- 2tdt = 2 | ( t z - l ) d t ầ ^ Jz
TO ÁN
K hiñó
X=
HÓ
ðổi cận:
A
1. ðặt t = Vex + 1 => t 2 = ex + 1 o ex = t2 - 1 => exdx = 2 td t.
2V2
= 2
ã
ƯỠ
NG
2. ðătt = x2 +1=>X2 = t - l= > 2 x d x = dt => xdx = —t . 2 ðổi cận: X = 0 => t = 1, X = 1 => t = 2.
BỒ
ID
Khi ñó: I2 = jf e z l ) , l d t . = - JtZ~ 2 t + l dt = ỉ I f t - 2 + - dt 2 J t 2 2.J t 2X \ t.
231 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
X
= %/ỹ => t = 4,
Khi ñó: ỉ3 = 3 4Jt2 - 9
X=
4
t = 5. = - j f — -------— ìdt 6 Ặ t - 3 t+ 3 j
6 ' (t-3)(tH *3)
.Q UY
ðổi cận:
NH ƠN
3. ðặt t - v x 2 + 9 = > d t = - 7= ỊL = dx và x2 = t2 - 9 . 77+9
ĐẠ O
TP
_1 Ị 7 = i ( l n |t - 3 |- ln |t + 3 l) f = - ln — = —f in —- I n ỉ = —In—. 6V 1 1 1 ■ 6 t + 3 4 6ị\ 4 7J 6 4
ðổi cận: Với ZL 2
X = 0 => t
= 0;
X
= 1 ==> t =
2
ĨL 2
I-----------
HƯ NG
4. ðặt x = sin t= > d x = cost.dt.
ĩ. 2
J
0
ẦN
Jt = j s in t v l- s in 2t.cost.dt= |cos2t.sin td t= -|cos2t.d(cost) = - .
=> t = 0;
X=
B
1 => t = —. 3
10
X= 0
+3
ðổi cân: Với
3
00
2 ^ 22 __ . 5. ðăt x = - 7 = sint=>dx = - 7 ^cost.dt V3 V3
0
TR
0
TC £ ^ . 2 4 . 1 , —sin t .- 7=xost.dt 2 j3 73 = —jsin2 t.dt = —J (l-c o s2 t)d t Khi ñó: J2 = 4 r JV 4 - 4 s in 2t ^ 0 90 9 0J
HÓ
A
CẤ
P2
71
TO ÁN
6. Ta có: J3 =
-L
Í-
x --r s in 2 t 2
3 _ 4ti
1/3
n~ 2 7 ~ T '
= ■
3 ỉ
NG
ðặt x - l = 2sin t= > d x = 2cost.dt X
= 0 =í> t =
6
; X=
. 13=
BỒ
ID
ƯỠ
ðổi cận:
H ~6
v 4 -4 s ìn z t
1 =>
t =
0
J ( l+ 2 s m t ) d t = ( t - 2 c o s t ) f ,= ,g - 2 + I 6 6
_JỊ 6
232
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2.d (e x +2Ì , ,|2 2. I2 = f- - - ■'■=ln(2+ex)
J
e
Ịn x
|,e2 Me
.Q UY
3. J = f - V - - = ln lnx
2e+l
=ln2. 5 e
%, ,4 . , íln x ) 4. J2 = j(ln x ) d (ln x) = - — — 5
TP
I
'1-1
ĐẠ O
ef d ( l n x )
v
7 p 4- p 3
1 ,, , = —. Ngoài ra, ta có thê ñặt t = ln x.
1
5
t+ ij2 2
2
+3
u
10
00
B
TR
ẦN
5. ðặt: t = Vx2 + l =^dt = ụ=^==rdx = ^ ^ = > d x = —
HƯ NG
2 _{ 2+ex
NH ƠN
Bài tập 8:
CẤ
P2
„_ 1 , cost , , 2' 1 „ COS2t 6. ðặt X = —-— => dx = — —— dt và X - 1 - —-T— 1 = ——ĩ— sin t sin t sin t sin t
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
A
ðổi cận: X= 1 :=> sin t = 1 => t = —; X= V2 => sin t = —7= => t = — 2 V2 4 __ 2 71 COS t £ 21 4rVsin2t - c o s t , 2rC0S2t , 2f/ _ 2 , rc =>K 4 = v - ■- ~ -d t= — -5—d t= |( cot t + 1 —1 )dt = 1 —— ! _JL sin t Ị s in 2t 7 4 2 sin t 4 4
NG
, ðặt x = 2sin2t, t e 0;— =>dx = 4sin tcostd t
ƯỠ
.. I 7C á . V3 ðổi cận: x = l= > s in t = —7==>t = —; X= r-=> sin t = ——=í> t = V2 4 2 2
BỒ
ID
- / \ 3_(2sin2t + l)4 s in tc o s td t 3 =>Kr= [-— == = = == =— = 2 f|2sin t + l)d t it J 2sin2 t Í 2 - 2 s in 2t) £ 7 V ' \ ) í 233
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
71
3
= 2 j(2 -c o s 2 t)d t = 2 2 t - —sin2t 2
It
6
NH ƠN
7T
3 _ 271 + 6 - 3 7 3
4
Bài tập 9:
2.
ĩ
_
ĐẠ O
= jd t= ~ . 0 4
HƯ NG
0
— , ■ 1 + tan t
TP
ĩ ( l + tan2t)d t = > Ii = ] —
.Q UY
1.ðặt x = tant, t e 0;—j=>dx = Ịí+tan2t)dt.
Ta có: I2 = 4 J--— -----. o(2x + l ) +3
00
Ia
B
ðổi cận: x = 0=> tant = --==> t = —; X = 1 => tant = V3 => t : V3 6
10
71
2 ^ 3 ^1*1+ t a n 2 1 J
00
TR
ẦN
ðặt 2x + l = V3tant, t e 0;— I =í> dx = — ( l + tan21j dt 2)
£
ĩt-\/3
2^/3
HÓ
-1
A
CẤ
P2
+3
=>I2 = —— -----dt = —— dt = — — . 2 3 ị l + tan t 3 £ 9 6 6 0 dx 3. Ta có: ]ị = J
[(x+1)2+1
TO ÁN
-L
Í-
\ ðặt x + l = tant, t e 0;— =>dx = ( l + tan2tjd t X = —1 => t
11
= 0;
X = 0 => t
n
= —. 4 n
, 4f l + tan2 t , 4f 2 J ~ >}Ị = ị -------— — ^ -d t= jcos tdt = - J ( l + cos2t)dt ' 0 ^0 ỉ (1l' + tan2t)2
BỒ
ID
ƯỠ
NG
ðổi cận:
4 t + - s in 2 t 2 / 0
ĩt + 2
8
234
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4. ðặt x = i2 tant=>dx = 2^1+tan2tjd t.
2 => tan t = 1 => t = —; x = 2-\/3 ==>t = —. 4 3 n
Jt 1
J2 = fetant.—— .2 (l + tan2t)d t = 8 f310^ = ——^r— ỉ co st ' ' ị COS t 3 COS t
8 ị 8 - 2ĩJz)
ỉ
4
TP
4
NH ƠN
X=
.Q UY
ðổi cận:
ĐẠ O
c Ta T có: ' Kj[ I/ = - f-j= 5. 0 yl
2dt
= 2 | dt = 2 \ d (sin t) 3 0 cost
3 0 i - s i n 2t
B
TR
ó3.cos2 tV l + tan2t
ẦN
K =\
HƯ NG
Ficif /V = - fonf' ðặt xVx tan t =ỉ> —Vxdx = ( l + tan2 tìd t => Jx ảx = 2 3cos t
10
00
=ỉin ỉ± § li O l n ^ +l l 3 1 -sin t 0 3 ' '
+3
Bài tập 11:
A
X
HÓ
1
CẤ
P2
1. t = ln(x W x 2 + ĩ)= > d t = -------L===fx + Vx^~+lVdx 1 ' X+ V ^ 7 Ĩ ' ;
Vx2 + l + x
=í> dt = --- ^jL J= k dx = —
x + vx2 + l
-L
Í-
x + vx 2 + 1
TO ÁN
ðổi cận: X = 0 => t = 0,
ƯỠ
NG
Khi ñó: Ij =
1 = -dx.
Vx2 + 1
x = l= > t = ln Ịl + A/2^.
.J ■dt = t|‘n(lW^ = ỉn (l + V2 ) . 0
ídu = dx
X
,
=>
-Ị
,----------
BỒ
ID
2. ðặt 4
í - y ^dx = -
Khi ñó: I2 = x V l + x2 - |V ĩ + x2d x - y Ị Ĩ - \ z . 0 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
235 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Xem cách giải bài toán I3 dưới ñây:
X
dx
NH ƠN
du:
Ịu = V i+ x2 3. Cách 1: dv = dx v
[V = x x! ~ ầx = 4 Ĩ -
lo Ỉ 4 Ĩ ^
^ dx = V 2 - L + L
.Q UY
ó I ^ x V l + x2!1- f Khiiññó
ỉ V Ĩ77
ĐẠ O
TP
=>I = ỉ ( V 2 + I 1) = ì [ V 2 + ln ( V 2 + l ) ] .
=> X=
2t
và dx = -
2t2
HƯ NG
Cách2: t = x W l + x2 := > t-x = V l + x 2 =í>(t--x)2 = l + x 2
dt 2t2
00
B
TR
ẦN
ðổi cận: X = 0 r=> t = 1, X = 1 t = > /2 + 1 . Khi ñó: +l .. -J2+1 / n ^\ ^ ^ ^ N\ -sV/22+I 2 1 ,. t + - + 4 - kit = Ậ t2 + 21nt— — r-) = ĩ [ 7 ỉ + m ( ^ + i)] 4V t tJ 2t
CẤ
P2
+3
10
Cách 3: x = ta n t,- ^ < x < ^ - = > d x = — %—dx. 2 2 cos X n ðổi cận: X = 0t = 0, X= 1 => t = 4
HÓ
A
COStdt Khi ñó I3 = J- "3~ = J " ~ T ~ = J~ q COS t ' COS t o( >( 1 —s í n 2 1)
-L
Í-
ðăt v = sin t= > d v = costdt.ð ổicân: t = 0= > v = 0,
17Ĩ 1 t = —=>v = —ị= 4 V2
1
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
V? Khi ñó I3 = f — = f ° ( l - v 2) J = ỉ 1 f _ l ____ 1 Tdv 4 J U -I V+ l J
i f 1 'í „J |_ ( v - l ) 2
dv
( v - l ) ( v + l)i
(v + ự
1 dv
= ...= ỉ[V Ĩ + ln ( V 2 + l )
236
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
■ft
IT
4 4rsin21
cos"' t
-
0
0
.Q UY TP
dv = — — r dt COSt
- d t = V2 - I 3 +M
COS t
MJ j _ i _ d t= ij[_ E 2 £ 'c o s t 2 ' { l - s sin i t
ĐẠ O
ðặt
f, sint , du-at COS t sint v = ta n t= cost
1 + sin ty
'
HƯ NG
1 u = —- — cost co st
NH ƠN
, . 4r dt 4f 1 dt ðể ý: I3 = —- j - = — - 2 pCos t 'Cost cos t
'
J +6 1J , 2 I Cách4: ðặt x = — —— =>dx = — — -d t và 1 + x = — —
\2
TR
ẦN
e 1 —6 1
10
00
B
Khi x = 0:=>t = 0 g1 —e_t Khi X= 1 , ta C Ó ---------— = l o ( e t )2 - 2 e t - l - 0
t
t
P2
f f „J
1 -2t
HÓ
I f 1 2t
e
:(l+v5) = i [ 7 2 + l n ( l + V2)
+ 2t
Í-
4 l2 e
/0
-L
Bài tập 12:
ln(lW 2)
e + e e '+ e -1 1 v ------ —.------ — d t = — j ^e2t + e 2t + 2jdt 2 2 4
CẤ
I n ( l+ ^ )
A
■ , Khi ñó: I, = 3
+3
ec = l + V 2=>t = ln (l + >/2).
NG
TO ÁN
du = dx _ fu = x => 1. ðặt [dv = sin2xdx v = —-c o s 2 x 2 X
1
*
ID
ƯỠ
=>I, = - - x .c o s 2 x 2 + —[cos2xdx=—+ —sin2x 12 = —. 0 4 4 >0 4 0 2^ 00J
BỒ
2. ðặt
[u = x -2
dv = e 2 x+ l
d u= d x
v = —e2x+1 2 237
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2
=> ỉ2 = ệ ( x - 2 ) e 2x+1 - - Je2x+1dx = e - - e 2x+1 > 2 0 20 4
fdu = -sinx
1
2x
2
„ 2x J , +l -í ; sinx.e d x = ~1r +1 H 7 ^7. 0 ^ 20 J ^
TP
,
=>1, = -c o s x .e
.Q UY
v -_^ 1- e 2 x 2
dv = e dx
ĐẠ O
ð ặt: 4
3.
5
NH ƠN
r,______ u = cosx
—
5 e-e
71
HƯ NG
2 TínhJ= Jsinx.e2xdx : 0
TR
£
B
7Ĩ
ẦN
íu = sin x ídu = cosxdx •ð ặ t r , =H 1 , ìdv = e dx |v = - e 2
10
00
=> J= ì e 2xsin x | - — [cosx.e2xdx = - e ,t - - I 2 0 -2 Ị 2 2
iu = In(x + 2)
du = ——- dx x+2
A
4. ðặt
CẤ
P2
+3
_ . 1 lfl , 1, ì 5 ,e * -2 =>I3 = - - + - - e 71- - ! , =>—I, = — — : •I3 = e * - 2 3 2 2 ,2 2 3J 4 3 4
Ịdv = ^2x2 + x + ljd x
HÓ
_ 2
Í-
-L
. J (2 3 1 2 \ / =>Ji = + ệ x + X ln(x + 2)
TO ÁN
\3
2
NG ƯỠ ID BỒ
1
2
1 °r4x3 + 3x2 + 6x ,
J
= - Ậ °ff4x2 - 5x +16 - — 64V
3
v = —X + -X + x 3 2
Idx =
X + 2J
6 '
x+ 2
f----------=2-------dx
- X 3 - - X 2 + 16x -3 2 1 n (x + 2)
6{3
2
K
’
16, 119 = —- l n 2 - — 3 36
5. ðặt
iu = ln (l + sin x) dv = sinxdx
, cosx , du = — —— dx 1 + sinx v = -co sx
238 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
7T
£
2x
dx
x2 + l
f x 2~ | ln ( x 2 + l) )
= ln 2 ~ —. 2
HƯ NG
= - \n 2 2
ĐẠ O
1 X3 dx dx = —l n 2 - lí X - x •I3 =ệ^x2in (x 2 + l ) - J x2 + l L 0 o'
Bài tệp 13:
ẦN 00
B
dv = dx
TR
ðặt
2 x -l du = 2 dx X -X v=x
[u = InỊ'x2 - x Ị
.Q UY
1 X2 V= — 2
dv = xdx
TP
6. ðặt
[u = l„ (x 2 + l ) ^
, _ du=
NH ƠN
L = -c o s x .ín ( l + sinx)Ĩ2 + f C- .S — -dx= f ( l-s in x ) d x = —- 1 . 12 v 'lo J l + sinx 0JV ’ 2
+3
10
dx =>IX= x ln (x 2 - x j I — —dx = 3 I n 6 - 2 I n 2 - jT2 -fX — 1 '2 2 X -X 2V
21nx , du == — —adx --------x
A
[u = ln2x
x 1 4 — v = —X 4
TO ÁN
Íu1 =Inx
[dVi = x 3dx
du.
4
1
dx
V1=-
NG
ðặt
-L
Í-
dv = x3dx
e
=>I, = —x4ln2x — fx3lnxdx = --------- J 2 4 li 2.J 4 2 A
HÓ
ðặt
CẤ
P2
= 31n3 + ln 2 -( 2 x + l n |x - lị) I = 3 ln 3 - 2 .
5e4 - 1 ? _ _ ee4 _ 1 3e +1 4 , „ e l ef 31 _ e4 =>!•> = =>J = —X lnx x3dx = - — — + 32 44 16 + 16 _ 16 4 1 4jJ TE
BỒ
ID
ƯỠ
_ ,1
u=x
Ta có : Jj = — í— ^ —dx .ðặt ■ 1 2 * cos X
du = dx v = tanx 239
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
1
I- 4r
n 1
44
71
1
_
u = 3 + lnx 2 I (* + l ) 2
.
=>\
x —1 ■"
'
v= — x+l
u = lnx Bài tập 17: Ij = jx 2 lnxdx . ðặt: < . 1 Id v = X dx
HƯ NG
V
V= -
1 3 3 1J
1
330
9
e3 e3 - 1 _ 2eJ + 1 3 9 '
9
10
00
B
I2 = jx 2exdx 0
TR
03
ẦN
I _ ef 2 , , X3., e l ef 2^ _ e 3 X3 =>Ii = X lnxdx= — lnx “ X dx = - r - -
1J
, 3 2
, dx du = —
rf
e
3 -In 3 4
— — + ln -
ĐẠ O
3 + lnx 3 3f dx 3 + ln3 3 , X + / T= -----—— + - + In—— x + 1 ! 'x ( x + l ) 4 2 x+ 1
.Q UY
dv = —
du = —
TP
ðặt
NH ƠN
=ỉ> Ji = —xtan x |4 - Jtanxdx = —+ —In I cosx I = — l n 2 . 2 0 ® 2 0 8 4
CẤ
P2
+3
„ fu = x2 idu = 2xdx V7 V 7 V1 V V ðặt < =>•{ =>I2 = fx e dx=x e - 2 |xe dx = e-2 C (dv = exdx [v = ex 0J 0 0J 1 c = j x e xd x
A
0
v=e
X
,,
^
h
~
e
~
2
1
x - fexdx = - e + 2eJ - 0 . - 2 lo J 0
-L
Í-
dv = exdx
HÓ
du = dx
4
TO ÁN
Jj = Jx4lnxdx 1
Í
NG ƯỠ ID BỒ
, u = lnx
ñu = ỉ d x V
À ^ 1 dv = x dx
c X
X l n x ' 5- ) ^ À á x *5 X V5 / 1 1 Ji =
V = —-
5
1 5|* 1 Y5 = 6 2 5 1 n 5 -- fx4dx = 6 2 5 I n 5 - i— 5ị 5 5 240
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
= 6251n5-
3124 25
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
71
2 J2 = Jxsinxdx 0
dv = sinxdx
v = -co sx
.Q UY
ðặt:
7C. 2 •J2 = -x co sx ịz - j(-c o sx )d x 0
|du = dx
u=x
7t
£
ĐẠ O
0 = J xe~xdx 0 = -x e
v = -e~ x
_ v ln2
1112
- 0J K ‘ )d*
00
B
TR
ẦN
dv = e“xdx
=><
du = dx
HƯ NG
In 2
ðặt:
TP
2
= jcosxdx = sinx|2 =1.
u=X
NH ƠN
71
+3
10
K2 = |x l n ( l + x2)dx 0
u _ l+ x 2
'=><
CẤ
(u = l n ( l + x 2 )
ðặt: i ' (dv = xdx
_ 2xdx
P2
f
Í-
HÓ
A
v _ . i x2 2
l r 2 1_ / atll1 r X3 =>K2 = — X .In (l+ x ) — j-dx 2 0 ^+ x
= —l n 2 - ỉ + —In (l + X2i = ỉ l n 2 - ỉ + ỉ l n 2 = l n 2 - ỉ 2 2 2 1 /„ 2 2 2 2
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
= ỉ ] n 2 - [xd x + J ——y d x = - i n 2 - —x2 + l j d(1 - * .) , 2 0J 0 1+ X 2 2 0 2 0 1+*
241 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:
.Q UY
- Nắm và hiểu ñược công thức tính diện tích, thể tích vật thể.
NH ƠN
§ 3.
2. Kĩ năng:
TP
- Vận dụng thành thạo các công thức nêu trong bài vào việc giải các bài toán
ĐẠ O
cụ thể. 1. Tính diện tích hinh phẳng:
HƯ NG
B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.
ðịnh lí 1. Cho hàm sô' y = f (x) liên tục, không âm trên [a;b].
là:
/'
10
00
B
TR
x = a,x = b
Ậ y
0
+3
và hai ñường thẳng: b s = Jf(x)d x. a
ẦN
Khi ñó diện tích s của hành thang cong giới hạn bởi ñổ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành
P2
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x ) liên tục trên[a;b]. Khi ñó diện tích s của hình
CẤ
phẳng (D) giới hạn bởi: ðồ thị hàm sô' y = f(x ); trục Ox: (y = 0 ) và hai
a
Í-
HÓ
A
b ñường thẳng X = a;x = b là: s = j|f (x )|d x .
-L
Bài toán 2.
TO ÁN
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai ñổ thị: (C1) :y = f(x ),(C 2) :y = g(x ) và hai ñường ñường thẳng X = a,x = b . ðược xác
NG
ñịnh bởi công thức: s = j^|f(x)-g(x)ịdx.
BỒ
ID
ƯỠ
Chú ý: 1) ðể phá bỏ dâu giá trị tuyệt ñối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: f(x ) = g(x ) tìm nghiệm x1,x 2,...,xn e(a;b ) (x 1 < x 2 < ...< x n).
242 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
Tính: s = ịXlj|f(x)-g(x)|dx + J[X2|f(x)-g(x)|dx+...+ £ |f(x)-g(x)|dx
= | ‘ii(f(x)-g(x))dx+... + | £ (f(x)-g(x))dx|.
.Q UY
Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào ñồ thị ñể bỏ dâu giá trị tuyệt ñôí. 2)
Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cẩu tính diện tích hình phẳng giới
TP
hạn bởi hai ñổ thị (c i ):y = f( x ) / (C2):y = g (x ). Khi ñó, ta có công thức tính xn
ĐẠ O
như sau: s = J|í(x)-g(x)|d x. xĩ
HƯ NG
Trong ñó: xx,xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhâ't của phương trình:
f(x) = g(x). Tính thể tích của vật thể
TR
a.
ẦN
2. Tính thể tích khối tròn xoay:
(a
00
a,x = b (a < b ) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại ñiểm
< X < b ) cắt
c
th eo m ộ t thiết d iện c ó d iện tích
s(x ) . Giả s ử s(x )
là h à m liên
+3
X
X=
10
lượt tại
B
ðịnh l í 2. Cắt mệt vật thể c bởi hai mặt phẳng (p) và (Q) vuông góc với trục Ox lần
P2
tục trên [a;b]. Khi ñó thể tích của vật thể c giới hạn bởi hai mp (p) và (Q) ñược
CẤ
b
HÓ
A
tính theo công thức: V = j"s(x)dx. a » Pfir_I .1 A?, r 1 _A_«_ì _ _ _ b. Tính thể tích vậy tròn xoay
Í-
Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D ñược giới hạn bởi các
-L
ñường y = f(x );y = 0;x = a;x = b quanh trục Ox
TO ÁN
Thiết diện của khôĩ tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại ñiểm có hoành ñộ bằng X ỉà một hình tròn có bán kính
Ặ
y
NG
R = Ịf(x)| nên diện tích thiêí diện bằng
ƯỠ
s (x ) = TtR2 = 7ĩf2 ( x ) . Vậy thể tích khôĩ
ID
tròn 'ÌI xoay ñược tính theo công thức: thứ
BỒ
b b V = js(x )d x = 7ijf2(x )d x . a
a
243
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Chú ý: Nêu hình phẳng D ñược giới hạn bởi các ñương y = f(x ),y = g(x),
NH ƠN
x = a, x = b (Với f(x ).g (x )> 0 V x€[a;b]) thỉ thể tích khối tròn xoay sinh bởi
.Q UY
khi quay D quanh trục Ox ñược tính bởi công thức:
ĐẠ O
TP
Bài toán 2. Tính thể tích khôi tròh xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các ñường x = g (y ), y = a, y - b , 0 y quanh trục Oy ñược tính theo công b thức: v = 7tjg2( y ) ñ y .
HƯ NG
a
c . CÁC DẠNG BÀI TẬP THEO CHỦ ðỀ. . 1. Diện tích hình phẳng giới hạn.
1 __________________ ____
B
CHỦ ð Ể
TR
o
ẦN
2. Thể tích hình phẳng giới hạn.
Phương pháp:
+3
□
10
00
DIỆN TÍCH HÌNH PHANG g i ớ i h ạ n
P2
Cho hàm sô' y = f(x ) liên tục trên[a;b]. Khi ñó diện tích s của hình pKẳng
HÓ
a
A
CẤ
(D) giới hạn bởi: ðổ thị hàm số y = f ( x ) ; trục Ox: (y = 0 ) và hai ñường thẳng b x - a ; x = b là: s = |f(x )|d x
-L
Í-
b b J|f(x)|dx= CÔI thức này chỉ ñúng khi f(x) không ñổi dâu trên J f(x )|d x = Jf(x)dx công a
a
TO ÁN
khoảng (a;b).
b
b
NG
Nếu: f(x )> 0 ,V x e [a ; b] thì Jf(x)|dx= Jf(x)dx a
'
a
BỒ
ID
ƯỠ
b b Nếu f ( x ) < 0 ,V x e Ịa;b ] thì j]f(x)ịdx = - Jf(x)dx a
a
CM ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt xj,x2,...,xktren (a;b)thì trên mỗi khoảng (a;x1),(x 1;x2)...(xk;b) biểuứìức f(x) khÔỊTig ñổi ãau. 244
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
b
Khi ñó tích phân s = jjf (x)|dx ñược tính như sau: a b
*2
X1
NH ƠN
b
s = j]f(x)Ịdx= J f(x)dx + J f(x)dx + . . . + Jf(x)dx
% *1 Công thức tính diệp tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
.Q UY
a
a
TP
y = f(x) và y = g(x)và hai ñường thẳng x = a,x = b (a< b):
ĐẠ O
s = J f(x )-g (x )|d x . a
HƯ NG
□ Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1.1.3 Tính diện tích s của hình phẳng H giới hạn b ở i:
ẦN
2. ðồ thị hàm sô': y = (e + l ) x và y = Ịex + l j x .
Si ______________________________ ____ /
1. ðổ thị hàm số: y = - V x , trục hoành và ñưòng thẳng y = 2 - X.
TR
ð ể th i ð ại học k h ối A, năm 2007.
00
B
Lời giải.
+3
10
1. Hoành ñộ giao ñiểm của ñổ thị hàm số: y = -yfx và ñường thẳng y = 2 - X là nghiệm của phượng trình: íx > 2
íx > 2 , x = 4 [x —5x + 4 = 0
P2
/r -V x -2 -x » V x = x -2
CẤ
Ịx = x - 4 x + 4 2
4
TO ÁN
3
'
2
3
;te I co 1
ĩ
& 4-
+ '2x : ± + -2 4 2 3 0
II
-L
Í-
HÓ
A
Diện tích hình phẳng H giới hạn: s = jVxdx + 2 —X+ Vx jdx 0 2 2
V3
10
3 J“ 3
2. Phương trình hoành ñộ giạọ ñiểm: x=0
;x = 0
ex = e
X= 1
ƯỠ
NG
(e + l) x = ( l + e xỊx x(ex -e)f= 0 « •
BỒ
ID
Diện tích hình phẳng H giới hạn: s = jj(e.+ l) x —Ịl + ex ỊxỊdx = j|xỊe—exj|dx 0 0
Với V x e[ũ ;l], ta.luôncó: x Ịe—exj > 0 245
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ex
- j ( e x - e x jdx = 0 0
i
~ã
-
Ví dụ 2.1.3
H
i-‘
'
.Q UY
s = £x| ex~ex
NH ƠN
u~x ídu = dx V Vậy, s = l^xỊe-e*) dx.ð ặt i dv = ^ e -e Idx Ịv = e x - e x 0
TP
1. Qho hàm sô' y = X4 - ( m + l ) x 2 + m có ñồ thị (Cm) . Xác ñịnh m > 1 ñể ñổ thị
ĐẠ O
(Cm) cắt trục Ox íại 4 ñiểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm) và trục Ox có diện tích phần phía trên trục Ox bằng diện tích phẩn phía dưói trục O x.
HƯ NG
2. Tìm các giá trị tham sô' m e l sao cho: y = X4 - ịm 2 + 2}x2 + m z + 1 , có ñổ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 ñiểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi (Cm)
TR
ẦN
5, 96 với trục hoành phần phía trên Ox có diện tích băng ——.
B
Lời giả i.
10
00
1. ðổ thị hàm số cắt Ox tại 4 ñiểm phần biệt X4 - (m + l ) x 2 + m = 0 ( l )
+3
( l) c ó 4 nghiệm phân biệt t2 - ( m + l ) t + m = 0 (2) có 2 nghiệm dương
P2
A = (m + l ) 2 - 4 m > 0
CẤ
phân biệt « • 0
o 00
Í-
Với 0 < m ^ l thì phương trình ( 2 ) có 2 nghiệm là t = l , t = m , vì m > l ,-v/rn
-L
nên 4 nghiệm phân biệt của ( 1 ) theo thứ tự tăng là:
TO ÁN
Theo bài toán, ta có:
0
Vĩn o £ x 4 - ( m + l ) x 2 + m ] d x = - j Ị V - ( m + l ) x 2 + mJdx 0
1
i/m
BỒ
1
1
ID
ƯỠ
NG
Vĩrĩ SHl = S H2 jjx4 - ( m + l ) x 2 + m|dx = j | x 4 - ( m + l ) x z + m dx 1
°
/
5
3
Vm
^
JỊ^x4—(m-í-l)x2-ỉ-m^Ịdx = 0 —— (m + l ) — +mx 0
15
3
=0
J
246
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
m, m + 1 „ — _ — + l = 0rn = 5 5 3 Vậy, m = 5 thỏa bài toán.
1 ðổ thị hàm sô' cắt Ox tại 4 ñiểm phân biệt X4 - Ị m 2 +2^x2 + m 2 + 1 = 0 (*) 0.
.Q UY
hay Ịx2 —1 jỊx2 —m2 —1 j = 0 có 4 nghiệm phân biệt, tức m
TP
Với m ?^0 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ±1;± Vm2 + 1
ĐẠ O
Diện tích phầri hình phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành phần phía trên trục hoành 1C h o à n h là:
HƯ NG
..9 6 20m +16 96 _ _ s = 2 J[x4 ~ (m 2 + 2)x2 + m2 +1 dx = — ------:------- = — ■m = ±2 15 15 15 0 CH Ư ð Ể 2 _____________ '______________________________________
ẦN
o
TR
THỂ TÍCH HÌNH PHANG g i ớ i h ạ n
10
00
B
□ Phương pháp: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D ñược giới hạn bởi các ñường y = f(x );y =0;x = a;x = b quanh trục Ox
+3
i
hy
P2
Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông goc với Ox tại ñiểm có hoành ñộ
y '
CẤ
V
bằng xlà một hình tròn có bán kính R = ịf(x)Ị
A
ỉ
b
X
Í-
S(x) = nR2 =7tfz ( x ) .
(ill \ 1 0
HÓ
nên diện tích thiết diện bằng
-L
Vậy thể tích khối tròn xoay ñược tính theo công thức: b
= Js(x)dx = 7t jf2(x)ñx.
a
TO ÁN
V
b a
□ Các ví dụ minh hoạ:
NG
Ví dụ 1.2.3 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các ñường: y = xlnx, y = 0, X = e .
BỒ
ID
ƯỠ
Tính thể tích của khối tròn xoạy tạo thành khi quay hình H quanh trục Q x. ð ể thi ðại học khối B , nắm 2007.
Lời giải.
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: xln x = 0
X=
1.
247
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
e
e
Vậy, v 0x =71 j(x in x ) dx = 7ĩ jx 2ln2xdx = 7ĩl1 1 1
V
=
f x 2d x - —
J
.Q UY
„ fu = ln2x ðặt: j => dv = x dx
NH ƠN
, 21nx, du = — — dx X
3
e
ðặt:
TP
|x z lnxdx = 3 1
X
ĐẠ O
-In
dx du = —-
fu = lnx
X
dv = x2dx
HƯ NG
3
X3
V= —
9
00
3
„3
e3
l j _ ,2ed + l
9
9 r 1 9
7t(5e3 - 2 )
2 2e3 + 1
10
e3 Vậy, V0 =71 J 0 3
¥
TR
x2dx = Ặ -
f
B
-lnx
'x 3 '
ẦN
3
27
( ñ vtt).
P2
+3
Các hoạt ñộng cơ bản :
CẤ
sồ
1. y = 5xVx2 + 9 và y = X3 + 9x.
A
1 :(x3 + l )
HÓ
v à X = 1, X = 2, trục Ox
Í-
2. y = -
TO ÁN
-L
xln (x + 2) 3. y = — F = = ■- và trục hoành. 4. y = X2, trục Ox và tiêp tuyên tại ñiểm M có hoành ñộ bằng 3.
NG
so
ƯỠ
1. y = - x + 4 x - 3 , x = 0, x = 3 và Ox.
BỒ
ID
2. y = x3 + l l x - 6 , y = 6 x 2, x = 0, x = 2.
3. y = X2 - 4-ỊxỊ +.3 và trục hoành.
4. y = x - 4 x + 3 và y = x + 3. 248
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
5. y = xln x,x = evà Ox
NH ƠN
6. y = x2 - 3 x + 2 và y = x - l lnx 7. x = l,x = e,y = 0,y = - - - ^ . 2 -s lx
.Q UY
8. x = 0,x = 7i,y = cosx,y = sinx □ Hoạt ñộng 3:
TP
1. Cho parabol ( p ) :y = 3x2 và ñường thẳng d qua M (l;5) có hệ sô' góc là k .
ĐẠ O
Tìm k ñể hình phẳng giới hạn bởi (p) và d có diện tích nhỏ nhâ't.
HƯ NG
2. Tìm m ñ ể (Cm): y = x2Ị m - l - x 2j + 2 có 3 ñiểm cực trị. Khi ñó gọi ( a ) là tiếp tuyến của (Cm)tại ñiểm cực tiểu, tìm m ñể diện tích miền phẳng giới hạn 4
ẦN
bởi (c m) và (A) bằng
TR
3. Tìm các giá trị tham sô' m eM sao cho: y = x3 - 3 x + 2 và y = m (x + 2) giới
00
B
hạn hai hình phẳng có cùng diện tích.
10
4. Cho parabol ( p ) : y = -X2 + 2 x , có ñỉnh s và A là giao ñiểm khác 0 của (p) và
+3
trục hoành. M là ñiểm di ñộng ữên SA, tiếp tuyên của (p) tại M cắt Ox, Oy tại
P2
E, F . Tìm giá trị nhỏ nhâ't của tổng diện tích 2 tam giác cong MOE và MAF.
CẤ
□ Hoạt ñộng 4:
A
1. Tìm m ñể ñổ thị ( c ) : y = X4 - 2mx2 + m + 2 cắt Ox tại bốn ñiểm phân biệt và
HÓ
ñiện tích hình phẳng nằm trên Ox giới hạn bởi (c ) và Ox bằng diện tích hình
-L
Í-
phẳng phía dưới trục Ox giới hạn bởi (G) và Ox.
TO ÁN
„ ( 5Ì 2. Tìm m thuôc khoảng 0;— sao cho hình phang giới han bởi ñổ thi của hàm V 6J ' ' . .
NG
số y = —X3 + mx2 —2x —2m —— và các ñường X = 0, X - 2 , y = 0 có diện tích 3 3 bằng 4.
ƯỠ
3. Cho hàm số y = x3 - 2 x 2 - ( m - l ) x + m ( l ) . Trong trường hợp hàm số ( l)
BỒ
ID
ñồng biên trong tập số thực M, tìm m ñể diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số ( l) và hai trục Ox,Oy GÓdiện tích bằng 1.
□ Hoạt ñộng 5:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
249
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giớịhạn bởi các ñường:
NH ƠN
1. ý = V x, Ox và ñường thẳng X+ y - 2 = 0 2. y = Vx sinx ( 0 x Vx 2 + 9 . Ị 5 - V x 2 + 9 j = 0 o x = 0 , x = ± 4
Hơn nữa hàm sô' y = 5 xa / x 2 + 9 - (x3 + 9xỊ liên tục trên [-4 ;0 ], [C;4], do ñó
diện tích cần tính là: s = j|5xVx2+ 9 - (x3+ 9x)|dx = j|5x>/x2+ 9 - (x3+ 9x)|dx + jỈ5xVx2+9 - (x3+ 9x) dx -4
-4
0
250 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
0r
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
_______
4j-
j 5>fVx2 + 9 - Ị x 3 +9xỊ dx + j Sx-Jx2 + 9 - Ị x 3 +9x) dx -4 "
0
164
3
2r(x3+1)~ dx = 2^ 1 ! x(x3 X^X3 + l j]
/x^ x3 + l j 2/ l
ừ í- ií^
Ị X 3 X +1 xv y
u
ln |x |- - ln |x 3 + l|
1
/
V
ẦN
1 ^ ( 1 I n 2 - - l-ln9 n9 — - - -ị l n 2 1 . Vậy, S = - l n 2 - - l n 9 7 3 3 3 , , 3 J, 3
xln(x + 2)
in h : — - ., ■X — . = J - =0«> 3. Ta có phương trình
TR
(
X2 ' dx x3 + l
1 3x2 N 3 x 3 + 1.
>0
.Q UY
c(x3 + l )
' / x p + l)
TP
1
dx, với V x e [l;2 ] =5“
NH ƠN
82
ĐẠ O
’3
+
HƯ NG
82
x= 0
HÓ
A
CẤ
P2
+3
10
00
B
X= —1 V 4-X Suy ra hình phẳng cần tính diện tích chính là hình phang giói hạn bởi các ñơờng xlri(x + 2) -,y = 0, x = —1, x = 0. y =l 4 —X 0 xIn(x + 2) ñ x = °J- x ln ( x 4 2 ) dx Diện tích của hình phẳng là s = I -ì -1
TO ÁN
-L
Í-
x d x . Khỉñó du = - ^ - , v = ì/ 4 - x 2 . ðặt u = ln (x+ 2), dv= -J^L= x+2 V4 - x 2 Theo công thức tích phân từng phần ta có 00L 2 - [ — x dx = 2 In 2 - [ J x+2 x +2 •[J x+2 1 -1 x + z -1
dx.
NG
Ị——7 S = v 4 -X ln(x + 2)
BỒ
ID
ƯỠ
ðăt x = 2sint=>dx = 2costdt.K hi x = - l= > t = - —; khi x = 0=>t = 0. 6 0 ỉ= J — —— dx= J ~^C0S — dt=2 Ị (l-s in t)d t= 2 ( t + cost) = l +ĩ ~ £ . x+2 2sint + 2 1 3 —1 7t 71 6 ~6 ~6
251 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4. Phương trình tiếp tuyến tại M : y = 6x - 9
y 2 , 9y 12 6
_ 27 4
24y3 3
Hoạt ñộng 2 :
HƯ NG
1. Bảng xét dâu X
3
ẦN
1
= - j ( - x 2 + 4 x -3 )d x + j( -x 2 + 4x-3 )d x 0 1
00
= - J(-X2 + 4x -3 )d x + j( -x 2 + 4x -3)dx 0 1 / 3 \1/ 3 ^ =+2x2 + 3x + +2 x 2 +3 x , = - . 3 3 3 V Jq V Jị
CẤ
P2
+3
10
s
3
B
1
TR
s
27_18=9 2 ~4
ĐẠ O
S = Ị ỉ± 2 -7 ỹ )d y =
.Q UY
6
d y . Với Vy s=
NH ƠN
|> j = i rx = ± l [t= l t-3 >1 = 3 . x = ±3
~x2-4|x|+'3 = 0 o t 2- 4 t + 3 = 0, t = |x|>0 ọ
0 1
3
v3
'0
00
|x2 - 4 x + 3| = x + 3 • x2 - 4 x + 3 = x + 3
x=0 x=5
+3 3
—
0
0
+
5
A
1
P2
+
+3
3
1
CẤ
x
3
10
-4 x +3 = -x - 3
0
4
1
16
ẦN B
x + 3>0
x2-
3
TR
ễ. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
X
\
_ —— 2x2 + 3x 3 V )
Vậy s = — (ñvdt).
X2
ĐẠ O
- — 2x +3x
3
HƯ NG
=2
f
/V
TP
= 2 jỊx2- 4 x + 3jdx + |Ịx2- 4 x + 3^dx 0 1
HÓ
=>s = J^x2 -5x)dx+ j |- x 2 +3x-6)d x+ Ị^x2 -5x)dx 1
Í-
0
109
NG
Vậy s ■
2
3
—— + —-— 6x
TO ÁN
3
-L
r- x 3 3x2 , '
3
+ 1
3 xá
5x 2 Ì
V3
2 /
í
109
(ñvdt).
ƯỠ
5. Giao ñiểm của ñổ thị hàm sỗ' với trục hoành:
ID
xlnx = 0 0 ,V x € [ l ; e ]
253 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
e
e
G ọi s ỉà d iện tích cẩn t ì m : s = | x l n x | d x = J x l n x d x
1 [u = lnx ðăt: ị =>4 Ịdv = xdx
dx u_ X _x^
t
.Q UY
,
1
NH ƠN
^
X2
1 2X2e fxdx = —- lnx - —X 2J 4 2
6
l er
e2 + 1
ĐẠ O
ef
s = |xlnxdx = — lnx 2
TP
V _T
(ñvdt)
x 2- 3 x
HƯ NG
6. Hoành ñộ giao ñiểm của hai ñổ thị ỉà nghiệm của phương trình: + 2 = x -1 x 2 - 4 x +3 = 0 X= 1 |_x = 3
3
ẦN
3
B
TR
G ọiSlà diện tích cần tìm: s= j Ị x 2 - 3 x + 2 j - ( x - l ) p x = J|x2 - 4 x + 3|d 1 1 Cách 1. (Dựa vào ñồ thị)
f
4
• 'V
+3
3
10
00
X2 - 3x + 2 < X- 1 « X2 - 4x + 3 < 0, Vx e [l;3] s = | ( - x 2 + 4 x -3 )d x = ^ - — + 2 x 2- 3 x
CẤ
P2
= 1 (ñvdt)
A
Cách 2. (Không dựa vào ñổ thị)
(
3
4
Í-
HÓ
4x + 3Ỉdx = f i x 3 - 4 x + 3Ìñx — - — 2x2 +3x JV / 1 1 V4
'N
3
1
— 4 ~3
4 3
TO ÁN
-L
lnx dx 7. Gọi s là diện tích cẩn tìm và s = j 2Vx 1
[u = ]nx ðăt
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Vì trên ñoạn [ l; e ] : lri X > 0 =>
Inx 2-Jx
Inx „ - efln x , :-~-f= nên s = — 7 = d x . 2Vx j2 v x
I, 1 , du = —dx
, 1 .= > X dv = —-prdx Ị2Vx [v = Vx e Ị
Khi ñó s = \/xInx|e - j — dx = ịyfxln x -2yfx | e = 2 ~ \ [ ẽ ( ñ vd t).
254 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
= J (co sx -sin x )d x + J (c o sx -sín x )d x 0 n (sinx + cosx)|4
.Q UY
s = ì c o s x -s in x |dx
NH ƠN
‘8. Ta có fj (x) - f2 ( x ) = 0 COSX- sin X= 0 X = —e [0; 71] ' 4 Vậy diện tich cẩn tính là
ĐẠ O
TP
(sinx + cosx)|n = 2 ^ 2 - 2 .
HƯ NG
Hoạt ñộng 3: 1, d :y = k x - k + 5 Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: 3x2 - k x + k - 5 = 0
Vì A = k2 —12k + 6 0 > 0 ,V k e R nên d luôn cắt (p) tại A và B có hoành ñộ ỉà
6
B
6
XB K h iñóS = |ị^ k ( x - l) + 5 -3 x 2Jdx XA
B
00
10
> w
/r-
XA
+3
- x ^ ) + ( 5 - k ) ( x B- x A) - ( x | - x ^ ) xa
) ệ ( x B+ xA) + 5 - k - ( x ^ +XAXB+ x |)
VÃ k k 2 3
, r k2 +5 -k -
k -5 54
(k2 - 1 2 k + 60)
Í-
3
\
+(5 -k )x -x 3
P2
= (x b -
7
XB
CẤ
7
A
k /
HÓ
=
kx
TR
A
ẦN
k-yfK , „ k + VÃ x a = -------— hoặc XR= -------—
TO ÁN
-L
Vậy, minSk = 6 2. m > 1 hàm sô'có cực ñại, cực tiểu và (à ) : y = 2
NG
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: x2( m - l - x 2j + 2 = 2
x=0 x = ± V m -l
BỒ
ID
ƯỠ
Diện tích hình phẳng giới hạn: Vm-l f X5 ( m - l ) x 3) J |- x 4 + ( m - l ) x : dx = 2 -------- -— 5 3 -Vm-l V /
•Jm-1
4 ( m - l ) V m -1 15
Giả thiết suy ra (m —l ) 'Jm —1 = 1 (m —l ) = 1 m = 2. 255
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: '
+ 2 = m (x + 2) X = - 2 hoặc
1 ± Vm, m > 0. ðiều kiện d và ( c ) giới hạn 2 hình phẳng : 0 < m ^ 9.
NH ƠN
X=
X3 - 3 x
Gọi Sj và S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận ñược theo thứ tự tít trái sang phải, d qua A khi m = 1 ( tức là d qua ñiểm u ố n ). Khi ñó, Sx = S2 = 4.
.Q UY
Nếu: 0 < m < 1: s x > 4 > S2
TP
Nếu: l < m < 9 : S1 < 4 < S 2
ĐẠ O
Nếu: m > 9 => 1 - Vm < -2; 1 + Vm > 4 . -2 1+%/m Khi ñó: Sj = I |x3 - 3 x + 2 - m ( x + 2)|dx; s 2 = J |x3 - 3 x + 2 - m ( x + 2)|dx —2
ị
HƯ NG
1-Jm
Suy ra S2 - S j = 2mVm > 0
ẦN
Vậy, m = l thỏa yêu cầu bài toán.
TR
4. Tiếp tuyêh tại M|m;2m —m2j, 1 < m < 2 có phương trình:
00
B
y = (2 - 2m )(x - m) + 2m - m2 « • y = (2 - 2m) X + m2
+3
10
Ta có: EÍ0;m2); Fị —52?—;0 với 1 < m < 2 v > I 2 m -2
P2
Gọi s là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và trục hoành: s = J j - x 2 + 2x
m
2 m -2
A
0
m
CẤ
2
Í-
HÓ
Ta thây, SM0E+SMAF- S 0EF s , (SM0E + SMAF)min (SoEp)min 4 28 , , . _ 4 -r = — khi m = —. 3 27 3
=
-L
(^MOE + S MAF )mín
TO ÁN
Hoạt ñộng 4:
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của (c) và Ox: X4 —2mx2 + m + 2 = o (l)
BỒ
ID
ƯỠ
NG
ðặt t =
X2 ,
t > 0, ta có phương trình: t 2 —2mt + m + 2 = 0 ( 2 ).
Yêu cầu bài toán
(2 ) có hai nghiệm t > 0 phân biệt
A ’ = m2 —m —2 > 0 0 P= m + 2> 0
m > 2. 1
'À56
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Gọi t 1(t2 (0 < t x < t2) là hai nghiệm của ( 2 ). Khi ñó (1) có bốn nghiệm theo .
NH ƠN
thứ tự tăng dần ỉà: xx = -x/t^ ;x2 = - - ^ ; x 3 = ựtj";x4 = ^ Do tính ñối xứng của (c)nên yêu cầưbài toán x4
J(x4 -2 m x z + m + 2)dx= JỊ-X4 + 2mx2 - m -2Jdx 0 X3
X4 - 2 m x l + m + 2 = 0 3 X4 - lOmx^ + 15(m + 2 ) = 0
HƯ NG
=£■x4 là nghiệm của hệ:
+ 2)x4 = 0 -» - 3 x í- 1 0 m x ị + 15(m + 2) = 0
TP
9n _____ ịvịv3^ i -L- í^ - ( m
ĐẠ O
„ 5^
.Q UY
x3 *3
- 6 (m + 2) + m + 2 = 04=>9(m + 2 ) -5 m 2 = 0 (do m > 2 )
TR
(m + 2)2
ẦN
3(m + 2) => Amxị —12(m + 2 ) = 0 => X4 = — —- thay vào hệ ta có ñược m
m
00
B
x4 = VẼ.
10
x= ± l
X=
± > /5
P2
+3
Với m = 3 => (1 ) X4 —6x2 + 5 = 0
CẤ
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Hoạt ñộng 5:
HÓ
A
1. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm là X= 1 .
Íxdx = — 71
0
2
TO ÁN
-L
Í-
Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi y = -v/x , trục Ox và X= 1 1
Khi quay quanh trục Ox, hình phẳng giói hạn bởi y = 2 - X, trục Ox và X= 1
ƯỠ
NG
2 thì thể tích khối tròn sinh ra là: V2 = %J(2 - x) dx = —. 1 3
ID
5u Vây, thể tich khối tròn xoay cần tìm là V = Vj + V2 = — . 6
BỒ
2. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm: -v/x sinx = 0 X= 0 hoặc X= n
257 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
71
dx
v 0x = 7t j ^ V x s i n x j d x = 7i j x s i n z x d x = 7t j x 0
71
0
%J _ n ĨĨ J ~2 ~ ~ ĩ ~ 2
7t
= —Jxdx - —jx CO s 2xdx = 20 20
TP
du = dx' _ u=x ðăt: •{ => 1 V = ^sin2x dv = cos2xdx 2
=0
HƯ NG
1 51 —- Jsin2xdx = 0 ~ —cos2x 4 0^ 0
1 = —sin2x
ĐẠ O
0
NH ƠN
n
"r l - c o s 2 x
.Q UY
2
n
3. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm:
x2 - x - 2 = 0 o x = - l h o ặ c x = 2
TR
5 -x2 = 3-x
ẦN
V ạ y ,v 0 x = T
00
B
V0x =71 J ( s - *2) ~ ( 3 ~ x)2 dx = 7t 1 ^ 2 5 -lO x 2 + x 4) - ^ 9 - 6 x + x2|dx -1
-1
A
CẤ
P2
+3
10
2 = 71 Jịx4 - l l x 2 + 6x + 16|dx/ với V x e [-1 ;2 ], x4 - l l x 2 + 6 x + 16>0 -1 2 X llx* Vqx =71 J (x 4 - l l x 2 + 6 x + 16)dx = 7t + 3x2 + 16x -1
32 88 1 11 - — + 44 - - —+ ——- 1 3 5 3 J 1, 5 3
HÓ
Ì53ti
Í-
= 71
TO ÁN
-L
4. Ta có thể tích khối tròn xoay cẩn tính là: 7C
71
7T
7Ĩ
2
2
2
2
BỒ
0
0
0
71
n
2
2
0 /
Ta có: Jsin2xñx = - J (i-c o s2 x )d x = - x -r S in 2 x 2 _ 71 n ~ 4* 0 20 2 '' 2 — E 2 1 2 _ íu = x ídu = dx ðặt ị => < => Jxcosxdx = xsin x |2 - Jsinxdx = dv = cosxdx v = s in x 0 0
tỉ I
ID
ƯỠ
NG
v = 7t j y 2dx = 7i jỊxcosx + sĩn2xjdx = n Jxcosxdx-h7ĩ Jsin2xdx.
258 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
7Ĩ 7ĩ (3t h -4)
71 — = - - — —
4
NH ƠN
/ in N Vậy V = Jt I- + 1 + v2
4
1
.Q UY
5 Thể tích khôi tròn xoay cẩn tính là: V = Jx2e2xdx 0
du = dx
u=x
dv = e dx
■=$
1 2xJ v = ~ e dx 2
fxe2ỉídx = —xe2x ị1 - - íe2xdx = e lo
7
-,_e‘
2 15
e +1
ẹ -1
4
4
TR
=> v = - ---------- -— = - ------2
e +1
e
ẦN
J
HƯ NG
ðăt ị
ĐẠ O
TP
du = 2x 1 .,1 Ko2 1 _ _ u=x 1 => V = -X 2e2x - fxeZxdx = - — fxeZxdx ðặt -ị =>ị ~•3e 2x 2 b 0 2 0y dv = e2xdx 2
00
B
6. Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường
10
y = x^ln^l + x2j và y = 0: x Ạ n ị l + x2) = 0x = 0.
CẤ
P2
+3
1 Thể tích cần tính: V = 71Jx2ỉn^l + xz jdx . 0
HÓ
A
2\ du = dx u = ln 1 + x 1+x2 ðặt ' ^=>4 3 dv = x2dx v = —• 3
-L
Í-
l
TO ÁN
=> jxz ln íl + x2ìñx = ~ I n Ị l + x2j ~ —Ị—^—j d x 0 30 3 0 1 + x Ìn2 2 1/ 7 „ 1 Ỵ. in2 2 í V .V 2 f dx = —- - X - 1 + —— dx = —- - - - — X - - ■ -
NG
3^1. 3Ặ
ln2
4
2
ƯỠ
3
3
9
3 4
71
1 + X2
J
1 + x^
3
3^3
Jo
3 '1 + x
121n2 + 16-6-jĩ 4 = --------- -----------(ñvtt). 36
ID
Hoạt ñộng 6:
BỒ
1. Hoành ñộ giao ñiểm —4'4 —X2 = —— 43>x2 = 3x = i:\ls 259
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Vậy v = ~— — (ñvtt). 5
ĐẠ O
TP
.Q UY
I y= -l 2. Tung ñộ giao ñiểm: —y 2 + 5 = 3 —y V = 7Ĩ J ( - y 2 + 5 ) - ( 3 - y ) 2 dy = 7i J (y 4 - l l y 2 + ộy + 16)dy -1
NH ƠN
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
vậy V:
2
HƯ NG
~ ^ +3y2+i6yỊ
153*
2
(ñvtt).
2
ẦN
3. Gọi V là thể tích cần tìm: V =71 jỊxex Ị dx = 71Ịx2e2xdx
=>■
1
2
2
+3
2
71 Jxe2xdx
-
0
= 27te4 -
71 Jxe2xdx
0
CẤ
0
P2
v=
7tx2e2x
v = o eX
10
dv = e2xdx
B
ðăt:
fdu = 2xdx
2 u= X
00
_
0
TR
0
dv = e Xdx
HÓ
ðặt:
A
du = dx _ 1
V= ^ e 2
2x
2
Í-
_ , _ 2x 2
TO ÁN
-L
V = 27ie4 -
n f xe 2ỉtd x =
2 ĩte4 -
0
= 2-rre — Ite 4
4‘t
e
2
2
fe2xd x 0
2 J 0
= 2-rce4 - Tre4 + —(e4 —l ) = —Í5e4 - 1) (ñvtt). 4 ' ' 4' 1
|0 j
NG
Ị
^ _2x
. race
BỒ
ID
ƯỠ
4. Gọi Vi ỉà thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường: y = X2 —4,y = 2x —4,x = 0,x = 2 quay quanh trục Ox 2
2
( 4*3
I
= 7t J(2x - 4)2dx = TCJỊ4x 2 - 16x + 16']dx = 71 — - 8 x 2 +16x 0
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
32 t ĩ
0
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi
2
2
/ 5
0
l
v 2 = n ị ị x 2 - 4 ) dx = 7rjỊx4-8 x 2 + 16)dx = 7i 0
Goi V là thể tích cần tìm: V = V - V 1 = 2 1
15
— 5
- — = — 3 5
(ñvtt)
TP
Hoạt ñộng 7:
.Q UY
2
NH ƠN
các ñường: y = X2 —4,y = 2x —4,x = 0,x = 2 quay quanh trụcOx
ĐẠ O
1. Hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường y = X2 - 4x + 3 và Ox là X = 1 hoặc X = 3 .
HƯ NG
Ta có: y = x2 - 4 x + 3< =>(x-2)2 = y + l= > x = 2±-y/y + l với y > - l Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi Xị - 2 - y j y + l , Oy, y = —l, 0
J(xi) dy
ẦN
= 0 s in h ra k h ô i trò n x o a y c ó t h ể tíc h là V1 = 71 -1
TR
y
B
Khi quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi x2 = 2 + yjy + 1 , Oy, y = -1 ,
P2
+3
10
00
0 y = 0 sinh ra khối tròn xoay có thể tích là v 2 = 71 | ( x 2 ) dy -1
= ịẾĨ. _
CẤ
Vậy, thể tích cần tìm là V = v2 -
HÓ
A
2. Tiếp tuyến (d) qua 0 có dạng y = kx, k > 0. (d) tiêp xúc với (p) tại ñiểm có
Í-
, » , Xn + m = kxn , , , , 2 hoành ñộ x0 khi nệ 0
TO ÁN
có nghiệm x0 > 0 hay Xq = Vm và m > 0 suy ra k = 2%/m . Phương trình ( d ) : y = 2Vmx
NG
2m / '
h ỉ
O
]
2m
d
y
~
n
_; 2
i ( y - m f dy = ~ =IY m
ID
ƯỠ
V ^ n
X
BỒ
Mà V = 671 => m = ±6 mà m > 0 suy ra m = 6 .
261 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bài tập l{
.Q UY
TP
Bài tập 2:
ĐẠ O
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
1 1 y = —J5 - ; y = — V sin X COS X TT TV X = —;x = — 6 3
x = (y + l)
y = sin2 x.cos3x
TR
6.
X= 1
B
0
2. y = sin2x + x
x= 0 X X 10) 0) II II
y= x
ẦN
x = 0;x = TT
HƯ NG
5. y = sinx
00
*< II
y = sinx —2cosx 3.
y 2 = 6x
X2 + y 2 = 16
1!
= 1
3.
0
— 2;x
'C
X=
y=x+3+1 X
2.
0
1.
NH ƠN
CO
X
^5 'C II II
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
10
00
x = 0,x = — 2
+3
Bài tập 3:
P2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
2 Ịy = xz +2x
CẤ
1 | y = x2 + 2
y =x+2
jy=x
Ịy = -X2 + 2x ly = -3 x
x = -y 2
HÓ
A
[y = 4 - x
3.
Í-
y = 2x2 - 2 x
6. - y
_
4 _ :
X2 Vx2 - x 6 .7--
x = 0;x = l
TO ÁN
x = 0;x = 4
-L
5. • y = x2 + 3 x - 6
í
8.
y=
fy = (x + l ) 2 Ix = sin7ty
4 V2
Bài ỉập 4:
|y 2 = |x - l|
BỒ
ID
ƯỠ
1.
NG
Tứih diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
4.
[x = 2
2.
3.
jy = - 3 x 2 - |x | + 2 [y==0
|y = |'{2 -4 :; + 3|
[y = |x2 - 5 x + 6| l y =6
x = y 2- l
5- [y. = 3
6.
y = |x2 - 1 y = |x|+5
262 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
[ y = | x 2 - 4 x + 3|
fy = |x2 - l |
11.
10.
y =x 12.
y = - x 2 +7
ỉy = 3 - x
+3
y=
| x 2 - 3 x + 2|
.y =
- x
.2
l - 2 s i n 2^
y y = IM
Ịy =sin|x|
14.
13.
15. • y = i+
y = 0
12x 7Ĩ
y = 1x 1-71 x = — ,x = 10
x = 0,x =
Bài tập 5:
TR
y =1
00 CẤ
II w í X
'X II o
y = 2xz
A
y 2 =2x 8. • 2x + 2y +1 = 0
'C II co
HÓ
y = x2 - 4 x - 4
y = (x + l ) 5 x
9. ■y = x=
TO ÁN
-L
Í-
y=0
=- x 2 + 4 x - 3
y = x2 - 2 x + 2 6. ■y = X2 + 4 x + 5
P2
+3
y =0
10
íy = x;y = -1 5. • X y = 0;x = e
=- x 2 + 6 x - 5
=3 x - 1 5
B
y =2
y = 5X_2
10 .
3. •
T—1
-
y = 4 x -ll
7.
1 X CN] 1 CM X II
2.
1. y = -2 x + 4
ẦN
y = 2x2
y = x2 -4 x + ;5
7t
HƯ NG
10
4.
NH ƠN
[y = x + l
.Q UY
^y=2
ị y = X - 4 x + 3Ị
TP
| y = |x2- 5 x + 6|
ĐẠ O
Ịy = ịx2 - 3 x + 2|
[y2 = (4 -x )f
x = 0;x =
12.
11.
■;y = 0
y
X ~8~ 8
y=X
ƯỠ
NG
ly2 =4x
y=X
BỒ
13.
ID
y =x y =
14. 27
-2x
Ị 27y2 = 8 ( x - l ) 2
27 X
263
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. y = x
y = Vx
3.
y=ĩ? ĩĩ
ly = 1 0 - 3 x
6.
Ịy2 = ( 4 - x ) 3
ĐẠ O
5.
TP
y = tanx;y = 0
y = Vcos4 x + sin4 x
|y = 4 x
4.
. I
.Q UY
jy = x
NH ƠN
Bài tập 6: Thể tích khối tròn xoay ñược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường sau quay quanh trục Ox
y = 0;x = -f;x = 7i 2
=—
HƯ NG
Bài tập 7:
X = 0;x
2.
|y = 2 x - x
TR
fy = ( x - 2 ) 2
00
5.
[y = 4
6.
y=^ 4
A
8.
y - x 2(x > 0 ) 9.
y
= -3 x + iọ
y =l
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
x = 0;x = 2
y =0 x = l;x = e
y = 2
x = 0;y = 0
y = x.lnx
4
n)
y = V x -ĩ
P2
y = 0,x = 0,x = 1
10
4.
|y = x2,y = 4x2
+3
1
Ịy = V2 sin x(0 < X < ly =0
B
[y = 0
[y= 4
CẤ
1.
ẦN
Thể tích khối tròn xoay ñược tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các ñường sau quay quanh trục 1. Ox 2. O y
264 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHUYÊN ðỀ IV ____________
NH ƠN
SÓ PHỨC
Nội dung của chuyên ñề gồm: 1. Các phép tính về số phức và các bài toán ñịnh tính.
HƯ NG
2. Biểu diễn hình học của số và ứng dụng.
ĐẠ O
TP
.Q UY
Trong chuyên ñề này giúp học sinh hiểu ñược dạng ñại số, biểu diễn hình học sô'phức, phép cộng, trừ, nhân, chia sô' phức dưới dạng ñại số, môñun của số phức, sô' phức liên hợp, căn bậc hai của sô' phức. Dạng lượng giác, acgumen của sô' phức, phép nhân, chiạ hai số phức dưới dạng lượng giác, công thức Moa-vrơ.
3. Căn bậc hai của sô' phức và phương trình bậc hai. 4. Phương trình quy về bậc hai.
ẦN
5. Cực trị trong sô' phức.
10
00
SỐ PHỨC
+3
§1.
B
7. ứng dụng sô' phức giải hệ phương trình.
TR
6. Dạng lượng giác của sô' phức.
P2
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT.
A
CẤ
1. Kiến thức: - Nắm ñược mở rộng tập họp số thực thành tập họp số phức. Nắm ñược số phức liên hợp củá tổng, tích và môñun của sô' phứ c.
HÓ
- Nắm ñược ñịnh nghĩa sô' phức nghịch ñảo và phép chia cho số phức khác 0.
Í-
2. Kĩ năng:
-L
- Vận dụng cách biểu diễn số phức bởi ñiểm và bởi vectơ trong mặt phang phức.
TO ÁN
- Vận dụng thành thạo phép công, trừ, nhân, chia hai sô' phức. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.
NG
1. ðịnh nghĩa số phức.
ƯỠ
Xét M2 = M.R = Ị(x;y)ịx;y € k Ị
BỒ
ID
Hai phần tử (x 1;y1) và (x2;y2) bằng nhau V (x1;y1),(x 2;y2) e K 2:
Phép cộng: z x + z2 = (Xi ;y!) + (x 2;y2) = (Xj-+ x 2;y! + y 2) € M2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
265 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Phép nhân: z x.z2 = (x ^Y j).(x2;y2) = (xr x2 - y ^ í X ^ + x2y 1) 6 R 2
NH ƠN
ðịnh nghĩa: Tập R2, cùng với phép cộng và phép nhân ở trên gọi là tập sổ phức c . Phần tử (x;y) e c gọi là một số phức. * Giao hoán: z1 + z 2 = z 2 + z 1, (Vzjjiz^eC)
TP
* Kết hợp: (Z j+ z2) + z3 = Z j+ (z 2 + z 3), (VZ1(Z2,Z3 € c )
.Q UY
2. Tính chất phép cộng.
ĐẠ O
* Tổn tại phần tử không: 30 = (0;0)€ 0 (ñpcm ).
Í-
* Zj -fz2 =z^ + z 2
-L
Thật vậy, Zl + Z2 = ( x 1 + x 2 ) + { y l + y 2) ỉ = ( x 1 + x 2 ) - { y 1 + y 2)i
TO ÁN
= (x1 - y 1i) + (x2 - y 2i) = z1 + z 2 (ñpcm ).
* Z1-Z2 =Z1-Z2
ƯỠ
NG
Thật vậy, z„.z2 = (XiX2 - yxy2) + ( x t f z + x2yj)i = ( x xx2 - y i y 2) - ( x i y 2 + x 2y í ) M xi - y ! i) .( x 2 - y 2i) = zr z2 (ñpcm).
BỒ
ID
* Z_1 = ( z )
Thật vậy,
, ze€*
= l= > z .Ị^ ỉj = ĩ= > z ^ - j = l tức là z_1= (z) 1 (ñpcm ). 267
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
=
If
1<
'I
Z j.—
I
— 1_ _ - l — = z 1. = = =Z i(,,,ap cm ) z = a - b i
-L
Í-
Dễ thấy, z3 = (a + bi)3 = a3 + 3a2bi - 3ab2 - b3i
TO ÁN
3 Ịa3 - 3 a b 2 = a Do ñó z = z< = > í Ì3a2b - b 3 = - b
(1)
ðặt a = tb, (t e K ). Hệ (*) trở thành:
(( tth'3 b ) —3 ( t b ) b z
=(tt»)
3(tb)2b - b 3 = - b
BỒ
ID
ƯỠ
NG
(*)
(2 )
Suy ra t^t2 —l j = 0 t = 0, t = - l hoặc t = l .
THI: Khi t = 0 => a = 0 thay vào ( 2 ) ta ñược
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
-b 3= -b
b = 0
hoặc
b
= —1 hoặc
b = 1.
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
TH2: Khi t = ±1 => a = ±b thay vào ( 2 ) ta ñược 2b3 = - b b = 0
4. Cách 1: Giả thiết z2 là số thuần ảo nên z2 + z2 = 0 => (z + Z)2 —2|z|2 = 0 . Mặt khác cũng từ z2 + z2 = 0 => (z - Z)2 + 2|z|2 - 0
.Q UY
_
NH ƠN
Vậy, số phức thỏa mãn bài toán: z = 0, z = - i, z = i
=>Z -Z =:2i h o ặ c z - z = - 2 i .
Cách 2: ðặt z = a + bi=>z2 = a 2 - b 2 + 2abi và ịzị = Va2 + b 2 2- b 2 =0
Ịa2 = 1
HƯ NG
Từ giầ thiết suy ra
ĐẠ O
TP
Do ñó ta có các sô' phức thỏa mãn là: z = i + l , z = - l + i,z = l —i,z = - l - i .
2+b2=2°Ịbz= l z —1 z -i
= 1 và
z -3 i z+i
TR
Ví dụ 5.1.1 Tìm sổ phức z thỏa mãn:
ẦN
Vậy các sô'phức cần tìm: z = i + l , z = - l + i,z = l - i , z = - l - i . =1
00
B
Lời giải.
+3
z —i
= 1 Ịz —lị = Ịz —íỊ | ( a - l ) + bi| = |a + ( b - l ) i | hay
P2
Z -1
10
Cáchl: Giả sử z = a + bi, ( a ,b e R ).
z-3i
z+i
= 1 ịz-3i| = Ịz + i||a + ( b - 3 ) i | = Ịa + (b + l)i| hay
HÓ
Lại có:
A
CẤ
( a - l ) 2 + b2 = a2 + ( b - l ) 2 tức a = b
.2
-L
Í-
a2 + ( b - 3 ) 2 = a 2 + (b + l ) 2 b = l= > a = l
TO ÁN
Vậy, số phức cẩn tìm là z = 1 + i Cách 2: Với 2 sô'phức z và z'
NG
z —1
A
z
=1 ịz —lị = |z —ij.
ƯỠ
Ta có:
ta luôn có:
ID
Gọi A và B là 2 ñiêm biểu diễn các số 1 và i tức là A (l;0 ), B (0 ;l).
BỒ
Với giả thiết: |z - lị = ịz - i| « • MA = MB, ở ñây M = M(z) là ñiểm biêu diễn số
phức z . 273 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
NH ƠN
Như vậy, M nằm trên ñường trung trực của AB o M nằm trên ñường thẳng y = x (a) z —'3i
Lại có:
= 1 |z - 3i| = |z + i| o MC = MB tức là M nằm trên trung trực
z+i
.Q UY
của CB với C(0;3); B(0;-1), nghĩa là ñiểm lyi nằm trên ñường thẳng y = 1 ( b ) .
=>z = l + i .
ĐẠ O
TP
Từ (a) và (b) suy ra M nằm trên ñường thẳng y = X và y = 1 tức
Ví dụ 6.1.1
HƯ NG
1. Nêu |zx1= |z2| = 1, zxz2 5*- 1 thì T = — + -Z-2 là sô' thực. X-ỉ- ZjZ2
(z, + z 2A 7)fz7 ,) ( z 3, + Z,1) K tl,ì T VI 2 + z3A * *Z1Z2Z3
ẦN
, I, , U,I , U, I 1WA'.. L 1"1| |"2I —1"3|
00
B
TR
+Z3Z1 = r với Zj + z2 + z3 0. là số thực và zlz2 z1+ z 2+ z 3
+3
10
3. SỐphức w = - —- là số thuần ảo 1z| = l .
P2
— 1 =|Zj ị =l=>Zj = i = l,2 1;
CẤ
— Zj.Zj
_
Z1 + => T = Zl + zz 2
_
_
1
HÓ
_____
A
1. Ta có
Lời giải.
l + zr z2
Í-
1 + ZjZ2
Z1 + z 2 _ Z1
]_ z 2 _ Z1 + z 2 _
1+ _ ỉ_
2^2
-L
Z1Z2
TO ÁN
Vậy T là số thực.
NG
2. Ta có:
(z
i
+
z
2)(z 2 +
z
3)(z 3 +
z i
BỒ
r
r
r
)_ 2
2
r r r
Zl - Z2-Z3
II
£1
vz3
Zl y
2
Zj z 2 z 3
ID
ƯỠ
T=
r
(z, + z 7) ( z ? + z , ) ( z , + Z ,)
z 1z2z3
---------— = T=>T là sô thực.
274
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
„4
r
ð ă t ^ _ z l z 2 + Z 2Z3 + Z 3Z1 ^
r
-+ ----- + -
A = z lz2
Z3Z1
r2 r r2 _ +_ +_ Z1
—
4
r 2i f z ! + z ? + Z o )
—
z2
z3
.Q UY
1 Z1 +Z 7 +Z3
Z2Z3
r
NH ƠN
_4
,
7
TP
=» A = IZjZ ~2 +Z- 2Z3 +Z3Zj=» A-A = r =1A I =»lA l= r •
ĐẠ O
3. Ta thây vơi z = 0 bài toán không thỏa mãn Với z * 0 => Z.Z = |z|2. z —1
1 —Z
z+1
Z+1
HƯ NG
—
Ta có w là sô' thuần ảo w = —w
—= =——
ẦN
o ( z - l ) ( z + l) = ( l-z )( z + l ) o z . z = l « | z ị 2 = l o | z | = l.
CHỦ ðỂ 2 ___________________________ ___________________
TR
o
00
B
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
+3
10
SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
P2
□ Các ví dụ minh hoạ:
CẤ
Ví dụ 1.2.1 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức z
HÓ
A
thỏa mãn ñiều kiện: z2 là sô' ảo.
Lời giải.
Í-
ðặt z = a + bi, (a,b e R) là số phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của
-L
z trong mặt phẳng phức.
TO ÁN
z2 = (x + yi)z = x 2 - y 2 +2yi Vì z2 là sô'ảo nên X2 - y 2 = 0 o y = ±x
=
± x
ƯỠ
y
NG
Vậy, tập hợp các ñiểm biểu diễn của sô'phức là ñường thẳng có phưong trình:
ID
Ví dụ 2.2.1 Trọng mặt phẳng phức, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn của sô' phức z thỏa mãn ñiều kiện:
BỒ
1. Ịz + 2| = |i - z |
3. |z - i | = |(l + ỉ)z|
2. |z —2| + |z + 2| —5 ðỂ'thi ðại học Khối B - năm 2010
275
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Lời giải. 1. Cách 1: ðặt z = a + bí, ( a ,b e ẵ ) là số phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu
NH ƠN
diễn của z trong mặt phẳng phức. Ta có: |z + 2ị = |i -z j |(x + 2 ) + yiị = |x + (y - l)i|
.Q UY
Ậ x + J2 ý + y 2 = ^ x 2 + ( y - l ) 2 » 4 x + 2 y + 3 = 0.
TP
Vậy, tập hợp ñiểm M cần tìm là ñường thẳng 4x + 2 y + 3 = 0.
ĐẠ O
Cách 2: |z + 2| = |i-z |< = > |z -(-2 )| = ịz - i| (*)
ðặt z = a + bi, (a,b eM ) là sô'phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của
HƯ NG
z trong mặt phẳng phức, ñiểm A biểu diễn số - 2 tức A (-2 ;0 ) và ñiểm B biểu diễn sô'phức 1 tức B (0;l)
ẦN
Khi ñó (*) MA = MB
TR
Vậy, tập hợp ñiểm M cần tìm là ñường trung trực của A B : 4x + 2y + 3 = 0.
B
2. ðặt z = a + bi, (a,b e K) là sô' phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễn của z
00
trong mặt phang phức.
+3
10
Ta có: | z - 2 | + |z + 2 | = 5 < = > Ị ( a ~ 2 ) + b i | + | ( a + 2 ) + bi| = 5
P2
hay Ậ a - 2 ) z + b 2 + Ậ a + 2)2 + b2 = 5 ( 1 )
A
CẤ
(a-2)2 + b2 +(a + 2)2 + b2 = 5 ^ ( a - 2 ) 2 + b2 -I^(a + 2)z + b2 j
-L
Í-
HÓ
>/(a —2 ) + b 2 - yj(a + 2 ) + b 2 - —— ( 2 ) ^ /(a -2 )2 + b2 + ự (a + 2)2 + b2 =5
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
Từ ( l ) , ( 2 ) ta có hê- -
276
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Vậy, tậ p h ợ p các ñ iể m b iểu d iễ n của sô' p h ứ c là elip có p h ư ơ n g trìn h
4
NH ƠN
25 + 9 4
.Q UY
Cách 2: ðặt z = a + bi, (a,b e R) là sô' phức ñã cho và M (x;y) là ñiểm biểu diễi của z trong mặt phang phức.
=
+ĩ =|z - 2|
HƯ NG
MFi = Ặ2^ãf+(-bf
ĐẠ O
Ta có: MFx = ^ ( - 2 - a ) + ( - b ) 2 = Ậ a + 2)2 + b2 =|z + 2|
TP
Trong mặt phẳng phức, xét các ñiểm Fị (-2;0 ),F 2 (2)0)
Giả thiết |z - 2 | + ịz + 2j = 5MF1 + MF2 = 5
Í4a2 =25
, , X2
y2
=*(E):-£=- + ~ - = 1 [ 4 b2 = 9 25 9
TR
Í2a =5
Ta có: •; [2c = 4
ẦN
Vì MFj + MF2 > Fj Fj , nên tập hợp ñiểm M là 1 eỉip.
4
B
4
(x,y e R)
10
00
3. Gọi M (x;y) là ñiểm biểu diễn của sô'phức z = X+ y.i
P2
+3
S u y ra Ị z - i | = ^ x 2 + ( y - l )2
CẤ
1(1 + i)z| = 1(1 + i)(x + yi)Ị = Ậ x - y ý + (x + y ý
A
Nên |z - i | = |(l + i)z|x2 + ( y - l ) 2 = ( x - y ) 2 + (x + y )2 x2 + (y + l ) 2 - 2 .
TO ÁN
2~
-L
Í-
HÓ
Vậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn: X2 + (y + 1)2 = 2.
CĂN BẬC HAI CỦA s ố PHỨC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
NG
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT.
ƯỠ
1. Kiến thức: - Nắm ñược ñịnh nghĩa căn bậc hai của sô' phức.
BỒ
ID
- Biết cách ñưa việc căn bậc hai của sô' phức về việc giải một hệ hai phương trình ẩn thực. - Biết cách giải một phưang trình bậc hai. 277
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. Kĩ năng: —Tính ñược căn bậc hai của sô' phức.
NH ƠN
*- Giải ñược phương trình bậc hai với hệ sô' phức.
.Q UY
B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA. 1. ðịnh nghĩa:
Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa z2 = w gọi là căn bậc hai của w .
ĐẠ O
Nếu a > 0 thì a có hai căn bậc hai là —Vã và Vã .
TP
• Xét số thực w = a Ỷ 0 (vì 0 có căn bậc hai là 0).
Nếu a < 0 thì a có hai căn bậc hai là iyỊịãị và -i-y/ỊãỊ •
HƯ NG
ðặc biệt: - 1 có hai căn bậc hai là ±i và - a 2 (a là sô' thực khác 0) có hai căn bậc hại là ± ia . 2. Cách tìm căn bậc hai của số phức
ẦN
Với w = a + bi.
+3
Giải hệ này, ta ñược x,y .
10
00
B
TR
ð ể tìm căn bậc hai của w ta gọi z = X + iy
P2
3. Phương trình bậc hai với hệ số phức
CẤ
Là phương trình c ó dạng: az2 + bz + c = 0 , trong ñó a, b, c là các số phức a ^ 0 .
A
a. Cách giải:
HÓ
Xét biệt thức A = b2 - 4ac và s là một căn bậc hai của A
NG
TO ÁN
-L
Í-
• Nếu A = 0 phương trình có nghiệm kép: z = —2a • Nếu A * 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt -b -5
,z2 là hai nghiệm của phương trình: az2 + bz + c = 0 .
BỒ
ID
ƯỠ
Gọi
-b + 5
b Z1 + z2 = ---Khi ñó, ta có hệ thức sau:
c Z 1Z2 -
a
278
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
o
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHU ð Ể 3
NH ƠN
CẨN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. □ Các ví dụ minh hoạ:
3.
4. z = - 5 + 12i
z = - 1 + 4iV3
TP
2. z = 3 3 —56i
ĐẠ O
1.z = 8 + 6i
.Q UY
Ví dụ 1.3.2 Tìm căn bậc hai của số phức:
Lời giải.
HƯ NG
1. Xét số phức: © = X+ iy ( x , y € l ) ,
co là căn bậc hai của số phức z = 8 + 6ì khi và chỉ khi co2 = 8 + 6i
ẦN
fx2 - y 2 = 8 fx2 - y 2 = 8 fx2 = 9 fx = - 3 fx = 3 ^ =>4 < => í hoặc [2xy = 6 Ịx2 + y 2 = 10 Ịy 2 = l l y - -1 ly = 1
TR
Vậy, z = 8 + 6i có 2 căn bậc 2 là co = —3 —i hoặc 0)-=3 + i
00
B
2. Xét số phức: co = X + iy (x,y € R ),
|x 2 = 4 9 [x = 7 [x = - 7 o< ^>SS => < nhoăc oạc ^ í [X2 + y 2 = 65 [y2 =16 ly = - 4 ■ [y = 4
= —^J ?í
CẤ
[2xy = - 5 6
íx 2 - y 2 = 33
+3
-V2 = 3 3
P2
í
10
co là căn bậc hai của sô'phức z = 3 3 —56i khi và chỉ khi co2 = 3 3 —56i
Vậy, z = 3 3 —56i có 2 căn bậc 2 là z = - + —i a=— 5 5 3 I I— 2-v/ĨÕ
ĐẠ O
•
HƯ NG
2. Gọi z = a + bi, (a,b € R) là sô' phức cần tìm.
ẦN
Giả thiết -L---------- 1— = —o | z —3 + 4iị = 5|(a—3) + 3 |z - 3 + 4 i|-3 2 1 1 IV ' V
thoảmãn là ñường tròn tâm
B
TR
Do ñó tập hợp ñiểm biểu diễn của sô' phức z l(3 ;-4 ) bán kírth R = 5.
(b + 4)i| = 5 ; I
N
+3
10
00
_ f | z - 3 + 4i| + l Khi ñó số: phức z thoả mãn log, "4---------- 4---- :1 là SÔ' phức có môñun lớn UB^ 3 | Z- 3 + 4 i |- 3 /
P2
nhất thì ñiểm biểu diễn của z là ñiểm ñô'i xứng với 0(0;0) qua l(3 ;-4 )
CẤ
N ñôi xứng với 0 qua ỉ có to ạñ ộ là N(6;—8)
HÓ
A
Vậy, số phức z cẩn tìm là z = 6 —8i
1 — 2
-L
-
Z.Z =
TO ÁN
1. Tìm m ñể
Í-
Ví dụ 2.5.2 Gho số phức z —----- 1 . m— -r, m € M . 1 —mím —2ij
BỒ
ID
ƯỠ
1. z =
NG
2. Tìm giá trị nhỏ nhâ't của sò' thực k sao cho tổn tại m ñ ể |z —lị < k
Z.Z
—m + i
Lời giải.
_
(—m + i)[(l —m2)—2mi]
_
m
1 - m(m - 2i) ~ [(í _ m2 )+ 2m i][(i- m2) - 2m i]_ m2 + 1
_
m
ì2
m2 + l j
1 1
ì2
(m 2 + l )
_
(
i__ m2 + 1
11 m2 + l 283
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
- 1 1 1 2 Mà z.z-■=— tức ——— = — hay m + 1 = 2 m = ± 1 . 2 rn 2 m +1 —1
_ „ = > z -l:
1 —m + i
NH ƠN
i-m 2. Ta có: z = —i + 2 m i —m
m -i
i-m
.Q UY
k>0
m —2m + 2
ĐẠ O
Xét hàm sô' f (m ):
TP
|z —11 = ■ —1— —■■= J -------— ------ => z —1 ỉ (m ==0 — —-— 2
ẦN
3 -V 5
2
, /3 - V 5 _ V 5 - 1 k > i ---------= — -----V 2 2
10
00
=> Yêu cẩu bài toán
ị l + Js} 2
TR
Lập bảng biến thiên ta có m inf(m ) = f
2
P2
+3
17fi , V5 - 1 ^ Vạy R -- ---------là giá trị phái tìm.
CẤ
Bài toán còn có thể mở rộng:.
2. Tìm số phức z có môñun lớn nhất.
HÓ
A
1. Tìm m ñế ịz - i| < —
Ví dụ 3.5.2 Cho số phức z thỏa mãn |z —3 + 4iỊ = 4 . Tìm giả trị lờn nhất và giá
Lời giải.
TO ÁN
-L
Í-
trị nhỏ nhâ't của z .
Cãch 1: áp dụng bất ñẳng thức tam giác, ta có
NG
|| z I — 13 — 4i ị| < |z —(3 — 4i)ị = 4 =» —44- ị 3 — 4 i Ị< |zị < 4 + 13 — 4 i I =ỉ> 1 < Ịz| < 9 .
BỒ
ID
ƯỠ
• |z| = l4=>z = ———i =s>min|z| = l
•
II _ 27 36 |_ n z = 9z = —- —— i= » m a x z = 9 . 1 1 5 5 11
Cách 2: ðặt z = X + iy => z - 3 + 4i = (x —3 ) + (y + 4)1
I
284 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
N ên từ giả thiê't=ỉ> (x - 3 )2 + (y + 4 ) 2 = 1 6
X2 + y 2 - 2(3x - 4 y ) + 9 = 0 (*)
Nên từ (*) ta có:
TP
.Q UY
X + y 2 -lO -ự x2 + y 2 + 9 < 0 r~2 2^ II ______ = > 1 < V X + y < 9 => i < | z |< 9 . x2 + y2 +10V x2 + y 2 + 9 > 0
NH ƠN
Do (3x - 4y )2 < 2 5 |x 2 + y 2Ị =►s Ặ 2 + y 2 < 3x - 4y < 5 Ặ 2 + y 2
ĐẠ O
Tương tự như trên: min|z| = l và max|z| = 9 .
Từ (x —3)2 + (y + 4)2 = 16 => 3 a G[0;2t ĩ] sao cho: X = 3 + 4 sin a ;y = - 4 + 4 co sct. Khi ñó:
HƯ NG
Chú ý: Ta có thể giậi bài toán theo cách sau
ẦN
|z|2 = ( 3 + 4 s in a )2 + ( —4 + 4 c o sa )2 = 41 + 8 (3 sin a —4 c o sa )
TR
Do —5 < 3 s in a —4 c o s a < 5 = ^ l< |z ị2 < 8 1 = ^ 1 < Ị z |< 9 .
10
00
B
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA s ố PHỨC P2
+3
_______________ VÂ ỨNG DỤNG___________ CẤ
A. CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG CẦN ðẠT. 1. Kiến thức:
HÓ
A
- Nắm ñược khái niệm acgumen của số phức, biết công thức Moa - vrơ và ứng dụng vào lượng giác.
Í-
- Nắm ñược công thức nhân, chia sô' phức dưới dạng lượng giác.
-L
2. Kĩ năng:
TO ÁN
- Vận dụng thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia dưới dạng lượng giác. - Vận dụng linh hoạt biến ñổi từ dạng ñại sô' sang dạng lượng giác. B. LÝ THUYẾT GIÁO KHOA.
NG
1. ðịnh nghĩa: Cho số phức z = a + bi, z VÉ0 . SỐ ño (radian) của mỗi góc lượng giác (Ox,OM) ñược gọi là một acgumen
ID
i)
ƯỠ
Gọi M là ñiểm biểu diễn của sô"phức z .
BỒ
của z .
• Nếu ip là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ip + k2ĩĩ, k Gz . Nên acgumen của z
0 xác ñịnh sai khác k2ir. 285
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
• Hai số phức z và kz (k là số thực dương) có acgumen sai khác k2iĩ, k € %
tp là một acgumen của z .
.Q UY
NH ƠN
ii) Gọi r là modun và
sô' phức z
TP
Dạng z = r(cosip + isinip), trong ñó r > 0 , ñược gọi là dạng lượng giác của 0 . Còn dạng z = a + bi ñược gọi là dạng ñại sô'
ĐẠ O
ð ể tìm dạng lượng giác của số phức z ta tìm r,ip theo hệ (1). 2. Phép toán số phức với dạng lượng giác.
HƯ NG
Cho hai số phức z = r(coscp + isinip); z' = r'(cosip'+isiriip').Tacó:
ẦN
i) Z.Z ’= r r 'Ịcos (ip + ip') + i sin (ip + ip')j,
B
TR
ii) — = —Ịcos(tp —ip') + isin(tp —ip')Ị (với r'> 0). z r 3. Công thức Moa - vrơ
10
00
Cho sổ phức z = r(costp + i sirup) và n là số nguyên dưong. Ta có:
6_______________ P2
CHỦ ðỂ
CẤ
o
+3
zn =Ịr(cosip + isirnp)]n = rn (cosmp + isinntp).
HÓ
A
DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA s ố PHỨC
TO ÁN
-L
Í-
□ Phương pháp: Công thức De-Moivre: Có thể nói công thức De - Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler. Công thức 1: (cosx + isin x).(cosy + isiny ) = cos(x + y ) + is in (x + y )
Số phức z = a + bi ta có: z = a + bi = v a 2 + b2
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Công thức 2: (cosx + isinx)" = c o sn x + isinnx
\ Va2 + b 2
Va2 + b2 y
= |z|(cos(p + isin(p) = r(coscp + isincp) Với r = Ịzị và góc (p ñược gọi là argument của z, ký hiệu là a r g (z ). Ngược vói phép Iuỹ thừa ta có phép khai căn.
286 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
0 Các v í dụ m in h hoạ:
NH ƠN
Ví dụ 1.6.3 1. Tí nh A = ( l + i )12 + ( l - i )12
.Q UY
1 + W3 Tìm phần thực và phần ảo của sô' phức z = 1+ i
2.
TP
ðê' thi ðại học Khối B - năm 2011
\4
S ^4 z2 + — 3. Cho số phức z 1(z2 thỏa mãn \zị -Z 2 I= |zi| = |z2 Ị> 0 . Tính A = ỉ í l z2 / VZ1
HƯ NG
ĐẠ O
f
4. Cho sô' phức z thỏa mãn z = 7 -^-. Tìm môñun của sô' phírc z + iz
ẦN
ð ểế' í/zi í/ỉi ðại £)«/■ học Khối A - năm 2010
1
1 ■ ^ 2
c o s —+ i s i n —\ l - i = V 2 ÍCOS—- i s i n — V 4 4y V 4 4,
r.
v2 A = ( l + i )1Z + ( l - i )12 = >/2
IT 1
4J
^
4
4J
CẤ A = >/8-
cos 7T+ isin^ __ 371 . . 3 7 1
COS— + i s i n —
4
4
-L
Í-
V 2 r COS—+ i s i n — V 4 4
HÓ
2. z =
4
. .
P2
V
= 64(2cos37t) = - 1 2 8
" + i-s i•n n 2 COS— —f1 1 3 3y
\12 / \12 í ___ 7t %\ COS—+ isin — + COS—- i s i n — 7t
10
/rl2
00
B
=
+3
1 . l + i = V2
TR
Lời giải.
S t ĩ '! n . . n ( 3;rì = 2 ~ ã cos—+ isin— = 2 + 2i i COS 71----- + i s i n 714 4 |V 4 V
TO ÁN
■l 4
J
‘T j_
NG
Vậy phần thực của z là 2 và phần ảo của z là 2.
ƯỠ
3 .ð ặ t— = w và w = a + bi (a, b e R ), khi ñó ịĩị —z21= [zJ [= ịz2 Ị> 0 z2
ID
•£>Ịz2W - z 2| = Ịz2w| = |z2 Ị> 0 tương ñương với Ị w - l| = |w| = l
BỒ
1 x /ĩ tức ( a - l ) 2 + b 2 = a 2 + b 2 = 1 hay a = —,b = ± — .
287
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4n
, ^JL_
. . 4n
__ 4 k . . 4 tt = cos-— —i sin 3 3 vW ;
Taco w = c o s —- + isin — và 4 tt Do ñó A = 2 c o s— = - 1 . 3
v
.Q UY
, 4
NH ƠN
1 v 5 . __ n . . n *.VỚi w = —+ —-i = co s—+ isin—. ; 2 2 3 3
TP
1 73 * Với w = ————-i, tương tự ta cũng có A = —1.
ĐẠ O
4. Cách 1:
HƯ NG
Ta có: z - - ( l - v^i)3 (1 + i) = - ị l - 3 y / 3 i + 3.1.3Ĩ2 - 3yỈ3Ử) ( l + i)
= i( l- 3 > / 3 i-9 .+ 3>/3i)(l + i) = - 4 ( l + i)=>iz = - 4 - 4 i .
l
71 ' COS —— + i s i n
1 3J
/ \
B
\
TR
(
\\
n )
3-JJ
00
Cách 2: Ta có ( l - ^ i ) = 2
ẦN
D o ñ ó ị z + iz| = | - 4 - 4 i - 4 i - 4 | = 8 | l + i| = 8-\/2 .
10
= > Ị l - V 3 ij = 8 ( c o s ( - 7r) + is in ( - 7t)) = - 8
- 4i + i( - 4 + 4i) = -8 (1 + i) => |z + izj = 8 V2 .
CẤ
=> z + iz = - 4
P2
+3
-8 —8 ( l + i) => z = —— = — ------ - = - 4 - 4 i 1 -ỉ 2
HÓ
A
Ví dụ 2.6.3 Tìm sô' phức z thỏa mãn: z + V 21 có một acgumen bằng một acgumen
Í-
của z + \Ỉ2 cộng vói —. Tìm giá trị lớn nhât của biểu thức T = Ịz + 1| + ịz + i|.
-L
Lờỉ giải.
TO ÁN
ðặt z = a + bi (a, b e M ). Khi ñó z + y/ĩi có một acgumen bằng một acgumen ,
của
Z+
/r
n
„
Z + V 21
&
4
Z+ V2
l
4
4J
a + (b + -v/2ji
a(a + ^ ) + b(b + ^ )
(a + V 2)(b + V 2 )-a b
+ n/ 2
a + V2 + bi
Ịa + ^ j 2 + b 2
Ịa + V 2 ]2 + b 2
NG
Z+ V21
ƯỠ ID BỒ
ô
V2 cộng với — n ê n ----- COS—+ isin — với rị> 0.
z
a ía + V 2 Ì + b(b + V 2 )
(a + V 2 ) ( b + >/2 ) - a b
ịa + y / ĩ j + b 2
^a + V 2 j + b 2
Suy ra ——------ ^
i
=
— í------ > 0
288 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
a2 + b2 = 2 ị a
+
j + b 2 * 0 ( *)
\ Ỉ 2
NH ƠN
1
â + b + >/2"> 0
.Q UY
Ta c ó : T = |z + l | + |z + i| = |a + l + bi| + |a + ( b + l ) i |
TP
= ìỊịã + í ị + b2 + ^ a2 + (b + 1 } = V3 + 2a 4- V3 + 2b do
ĐẠ O
Áp dụng bâ't ñằng thức trung bình cộng - trung bình nhân, ta ñược:
Suy ra T < 2 V5 , ñẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Vậy, giá trị lớn nhất của T là 2 ^ , ñạt khi z = 1 + i
ẦN
Ví dụ 3.6.3
HƯ NG
T 2 < 2(6 + 2a + 2 b ) —— hoặc z * + l > 1 . 1
< 2. Chứng minh:
z
Tìm sô' phức z s.ao cho | z - l | = |z —3| và một acgumen của Z -3 bằng với
acgumen của z + 3 cộng vói —.
TR
□ Hoạt ñộng 18: Tính giá trị biểu thức C _I I __________________________________ -J^
ẦN
1.
2k
,
, o l 0 0 4 p 2 0 0 8 _q 1 0 0 6 ^ 2 0 1 0
L 2 0 1 0 + - + -á
L2Õ Ĩ0~ á
L 2010
00
^ — ^2010 —
3.
5
+3 P2
Vỹ = 6
A
y+3x
y + 42x
17 103
y + 42x
17
-J sx = 2 1+x + y 2. \ / 1 f i y =4^2 1 ]x + y y L\ x+
3 x -y X2 + y 2
3
. X + y
TO ÁN
3+
12
HÓ
3-
Vx = 2
Í-
1+
y+3x
-L
1.
12
CẤ
1~
10
□ Hoạt ñộng 19: Giải hệ phương trình:
□ Hoạt ñộng 20: Tính tích phân 7t
4
BỒ
ID
ƯỠ
NG
(•cos5x 1. 1= l ^ ^ d x cosx 0 □ Hoạt ñộng 21:
r 2- J= 0JV sinx ; ) dx
Cho'dãy số (u n ) xác ñịnh bởi ux =1, u2 =0, u n+2 = un+1- u n V n eN * . Chứng minh (u n) bị chặn. 296
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
HƯỚNG DẰN GIẢI CÁC HOẠT ðỒNG. 1. ðặt
NH ƠN
Hoạt ñộng 1: = a x +1^2, z2 = a 2 + b2i 0 =^2 ( a ib i+ a 2b2) = l (a i + a2j + ( b i + b 2) —3
Í2x —3 = 2y + 1fx —y = 2
fx = 2
TP
Từ giả thiết ta có hệ:
.Q UY
aị + b ị = a ị + bị = l
ĐẠ O
ỡ Ị - ( 3 y 4 = 3 x - 7 W Ị x + y = 2 W ị y = 0 v i y x = 2 ’y = 0 -
HƯ NG
b. Ta có: ( 4 - i)3 = 5 2 -4 7 .i nên suy ra:
(x + 2 y ) ( 4 - i) 3 + ( 3 x - y ) ( x + 2i) = (x + 2 y )(5 2 -4 7 i) + ( 3 x - y ) ( x + 2i)
TR
=> (x + 2 y ) ( 4 - i) 3 + ( 3 x - y ) ( x + 2i) = 4 7 - 2 0 i
ẦN
= (3x2 - xy + 52x + 1 0 4 y ) - (41x + 96y )i
2 0 -4 1 X
B
Í3x2 - x y + 52x + 104y = 47
00
96
|4 1 x + 96y = 20
+3
10
329x2 + 7 0 8 x -2 4 3 2 = 0
608 x=-
V3 + yi
V 3. 2
L
TO ÁN NG ƯỠ ID BỒ
1 Ị—>/3si j(V 3+yi)
2
Í-
x + yi1
-L
c.
HÓ
A
CẤ
P2
x = -4 329 hoặc 231529 y= 12 y =2632
2
x + yi: _-\/3
-\/3 [ /5 2 y o |x = y ( l - y )
2 y
y 2
3 + xyi _ x + ỵ - 2 i
+|H )
3 2
ly =3
l y =3
3 + xyi, _ x + y + 2i
’ ( l + 2t)3 ” (1 —2i)3 ( l + 2i)3 ~ ( l + 2i)3
[x = -V 3 •
[x + y = 3
° w
=2
x = l,y = 2 x = 2,y = 1
297 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4. Dễ thấy cos72° = COS( 90 ° -1 8 ° ) = s in 18°.
2 1
V2 ,
TP
2
/■ ~\2 ('Vi, =1
ĐẠ O
(i )3=ĩ(i )2“
1 4 -Vỉ,ì — -_ i 1Í1?
.Q UY
1 ^/3" — 2 “sfs 5. z = H— —i nên |z| = 1 , số phức liên hiệp: z = ----------—i . 2 2 1 2 22
NH ƠN
z = cos 18° + cos72° i = cos 18° + s in 18° i => |z| = ẶCOS18° j2 + (s in l8 ° j2 = 1
6. a. A = ( l - i ) 9 4-(l + i)10
HƯ NG
( 1 - i)2 = 1 - 2i + i2 - -2 i
ẦN
■ = > ( l- 0 9 = [ ( l - i ) 2] 4( l - i ) = (-2 i) 4( l - i ) = 1 6 ( i 2)2 ( 1 - 0 = 1 6 (1 -1 )'
TR
(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2Ỉ => (1 + i)10 = (1 + i)2"5 = (2i)5 = 3 2 ( i 2 )2 i = 32i
00
B
Vậy A = 16(1 —i) +321 = 16 +161 = 16(1 + 1).
P2
+3
10
^ 1 N b. B = ( l - i ) 8 + i13- — V i13 \ V 1 VI K )
(1 - i)2 4 = ( - 2 i ) 4 = 1 6 ( i 2)2 = 1 6 ( - 1 ) 2 = 16
HÓ
A
=> ( 1 - i ) 8 =
CẤ
( 1 - i)2 = 1 - 2i + i2 = - 2 i
1
-L
•13
Í-
i13- = i12.i = (i2)6.i = ( - l ) 6i = i i
- W- 2
i
-I ^
I /
1
i
—2
i
TO ÁN
r*
1
2Ĩ + i2 Ỉ2 _ . (1 ( l + i)2 iỶ _ l1 + 2i 2i ĩ ^ ĩ _ ( l- i) ( l + i) _ 1 -i2 ~ l - ( - l )
BỒ
ID
ƯỠ
NG
1l + i _
^
f l + n 21 / ;\21 /;2\10 • / ^ 1 0 . . iZ i = ( 0 = 0 ) - M " 1) -i= i u -u v ’
f-2 \ Vậy B = 16 + i — i = 14. c.
M = i5 +
i6 + i7 +. . . + i 18 = i5 ( l + i + i2 + i3 + ... + i 13j
298 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
M = 1, 5. 1, .1------------- 1 " = 1f H * 1— M = i* . U >i —- q- — •— —^ 1- i
1- i
= ,5.(1 ĩ+
v
u t . ;7C7Z 1 ' ! :r 1)’ , r- — ( l - i ) ( l + i)
i+1% —|4( 5— -z 1- i 2
.Q UY
1 1- q
NH ƠN
De thấy;1 + i + i2 + i3 +... + i13 là tổng của cấp số nhân có 14 số hạng, trong ñó sô"hạng ñẩu tiên Uj = 1, công bội q = i .
TP
M
ĐẠ O
d. N = l + ( l + i) + ( l + i)z + ( l + i)'+ ... + ( l + i)"ulu.
•\2011
N = u.
l - ( 1 + i)
ẦN
1-q
HƯ NG
DÌ thây tổng trên là tổng của câp sô' nhân có 2011 số hạng, trong ñó số hạng ñẩu tiên Uj = 1, công bội q = 1 + i .
B
TR
(1 + i)2 - 1 + 2i + i2 = 2i => (1 + i)2011 = [(1 + i)2] 1005 (1 + i) = (2i)1005 (1. + i)
l - 2 1005( i - l )
1-q
l - ( l + i)
1 —2
(i —l )
10
1 - q 2011
00
=> (1 + i)2011 = 2 1005 (i2 )502 i ( l + i) = 2 1005 (i + i2) = 2 1005 (i - 1 ) .
—i
P2
i_2lp05/ị2
L r — L= 21005 + (21005+ i) i
CẤ
=—
+3
N = Uj —4—ỉ------------------------------------------------ = 1.------- = l ------ 1--------- L
HÓ
A
Hoạt ñộng 2:
8+ i =2 - 3 ỉ l + 2i _ 2 _ ị _ J 2. Dễ dàng chứng minh ñ#ợc Zj -Zj = |zJ = 1, Zị = — , z2 = — Z1 z2 1 1 -+ T 1 z2 _ Z1 ~*~z2 là số thực. A -- Zl1 +Z2 2
NG
TO ÁN
-L
Í-
1. Biên ñổi về dạng: z :
ƯỠ
1 + Zj ,z2
ị + 4
-
_ l + Z l Z2
Z1 z2
BỒ
ID
3. z = a + bi j]z -2 + i | - l
V ( a - 2 ) z + (b + l ) 2 = l suyra íb2 + (b + l f = l
Ib = a —2
b= a -2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
[b = a - 2 299 WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
‘2a + b - 2 = 0
(1).
| z - l | = -\/5 - J ( a - l )2 + b 2 = > / 5
( 2) .
NH ƠN
4. ( z - l ) ( z + 2ij = a2 + b 2 - a - 2 b + (2a + b - 2 ) i là số thực, suy ra
.Q UY
Từ (1) và (2) suy ra(a;b) = (0;^)a(2 ;-2)
ĐẠ O
TP
f a2 + b2 = 5 6b = —6
= 7i + 2 ( - l ) + 3 = l + 7i Vậy z có phần thực a = 1, phẩn ảo b = 7 . 3-4Ỉ _ (3-4i)(4 + i)_ l2 -1 3 i-4 i2 ~~ ( 4 - i ) ( 4 + i ) ~~
1 6 —i2
ẦN
4 -i
HƯ NG
9. a. z = i ( 2 - i ) ( 3 + i) = ( 2 i - i 2 ) ( 3 + i) = ( 2i + l ) ( 3 + i) = 7i + 2 i2 + 3
TR
1 2 - 1 3 i - 4 ( - l ) _ 16-131
_
00
B
1 6 -(-l)
13.
~~ 17
17*
13 —.
+3
10
16 Vậy z có phần thực a = — , phần ảo b =
17
16
P2
c. (1 + i)2 = 2i => ( l + i)2 (2 - i) = 2i(2 - i) = 2 + 4i
CẤ
Giả thiết (2 + 4i)z = 8 + i + ( l + 2i)z
( l + 2i)z = 8 + iz = -^ -^ 7 = 2 —3i
HÓ
A
Vậy z có phẩn thực là a = 2 và phẩn ảo b = - 3 .
Í-
10. a. ðặt z = a + bi (a, b eM ). Khi ñó |z -3 i| = | l - i z |
[email protected]ơng ñ#ơng với
TO ÁN
-L
Ịa + (b —3)i| = ịl —i(a —bi)Ị ịa + (b—3)í| = Ịl —b—aij a2 + ( b - 3 ) 2 = ( l - b ) 2 + ( - a i) 2 o b = 2.
NG
9 9 9 ( a - 2 ỉ) a3 - 5 a + Í2a2 + 26)i Khi ñó z - —= a + 2 i ----- -— = a + 2 i ---- ^ ----- - = ----------- 5------------ — và là số z a + 2i a +4 a +4
ƯỠ
thuần ảo khi và chỉ khi a3 - 5a = 0 hay a = 0, a = ±-Js .
ID
Vậy các SỐphức cần tìm là z = 2 i , z - \ f s + 2 i , z = —JE + 2 i.
BỒ
c. ð ặ tz = a + bi (a, b e K ). Khi ñó |z| = Ịz —2 —2iị
[email protected]ơng ñ@ơng với |a + bi| = |( a - 2 ) + ( b - 2 ) i | tức a2 + b2 = ( a - 2 ) 2 + ( b - 2 ) 2 b = 2 - a ( l )
300
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
z -2 i _ a + (b -2 )i
[ a + (b - 2 ) i][( a - 2 ) -b i]
a C0: z - 2 ~ (a - 2 ) + bi “
( a —2) + b2
.Q UY
a (a -2 ) + b (b -2 ) (a -2 )(b -2 )-a b = ----------- -=------------1----------- -------------i là sô ảo khi và chỉ khi ( a - 2 ) +b ( a - 2 ) +b a (a -2 ) + b (b -2 )
TP
(a - 2)2 + b2
d. ðẳng thức cho : 2 + z2 - ( z ) -
= ( l + 4i) z2 + z.z + (zỊ2
HƯ NG
•,
z 2 +z.z + ị z j
ĐẠ O
T ừ ( l ) và (2) suy ra a = 0,b - 2 tức ta tìm ñ@ợc z = 2i
.
NH ƠN
T
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
/ —\2
zz - ( z ) = 4 a b i, z2 +z.z + (z) = 3a2 - b 2
ẦN
Khi ñó: 2 + (3a2 - b 2 j4abi = ( l + 4i)(3a2 - b 2):=>z = - l - i , z = l + i
TR
11. a. Ta có: z = ( l + 2 V 2 i)(l-V 2 i) = l - V 2 i + 2 V 2 i-4 i2 = 5 + V ã
00
B
=> z = 5 - V 2i. Vậy phẩn ảo của z bằng —y / ĩ . 1-i
+3
l + 3i + 3i + i
10
1 + 31^3+ 9i2 + 3 7 3 í3 4 b. z = --------—— -— T------ = — —= 2 + 2i
CẤ
P2
Vậy phần thực của z là 2 và phẩn ảo của z là 2. Hoạt ñộng 3: z = 3 —3i hoặc z = 3 + 3 i
A
z2 —6z + 18 = 0 (z —3)2 = 9i2
HÓ
Trong mặt phẳng tọa ñộ sô' phức z = 3 - 3 i có biểu diễn là A(3 ;-3 ), số phức
Í-
z = 3 + 3i có biểu diễn là B(3;3).
|zị4
=
|z|4.z2 Ịzj4 -J
-J
200
2=z2 v à _
z 2.z2 jz|
^
= 4 + 28ỉ
1-7Ỉ
NG
z
TO ÁN
-L
AOAB có OA = OB = 3-\/2 và OA.OB = 0 , suy ra ñpcm. Hoạt ñộng 4:
ID
ƯỠ
Ph®ơng trình cho t©ơng ñ®ơng : z2 + z + 4 + 28i = 0 có A—( 7 - 8 i ) 2 z = 3 + 4i hoặc z = - 4 - 2 i
BỒ
2. Gọi z = X4- yi với x,y 6 K z _ 5 ± ^ _ i = 0 o z i - 5 - i V 3 - z = 0 o x 2+ y 2- ,x - 5 - ( V 3 + y ) i = 0
301 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
(x2 + y 2 - x - 5 = 0
tte -y -o
(x = - l '
fx = 2
i y = W | hay|y = - ^
NH ƠN
Vậy z = - 1 - >/§1 hay z = 2 - \/3 i.
Khiñó z - ( 2 + 3 i ) = l- 9 i o a + b r-Ỉ2 + 3 i)(a -b ỉ) = l - 9 i
.Q UY
3. Giảsử z = a + bij(a,beM )
TP
- ( a + 3b) + (3 b -3 a )i = l-9 i< = > j a |a v ' [3 b -3 a = - 9 \b = - l
ĐẠ O
Vậy z = 2 - i
HƯ 0 N G
4. Giả sử z = a + bi (a.belR )
ẦN
1X a=— I 2
0
1
*
10 +3
1 1
P2
CẤ
A
2|a + ( b - l ) i |- |( 2 b + 2)i|
HÓ
1. Hệ cho trở thành:
a=- : <
1 a=— 2
Vậy có 3 sô'phức thỏa bài toán là : z = 0, z = Hoạt ñộng 5:
[a = 0 17 Il b = 0
4b2 = 1 °
00
B
I-b = 2ab
G II Xi
|a 2 + b2 +a = a2 - b 2
TR
a = -2 b 2
n
cr CD II II
= |z|2 + z • » (a + ib)2 = a2 + b2 + a - ib a2 - b2 + 2abi = a2 + b2 + a - bi
1 1 z = - ———i
Í4b = a2 > 0 ||á.4b| = 8
Í-
|4abi| = 2 V2
b= ± ỉ 2
-L
2 .G ọ iz = x + yi ( x , y s l ) .
BỒ
ID
ƯỠ
NG
TO ÁN
í|z - 2 i| = |z| Ta có V
«•
x + ( y - 2 ) i| = |x + yi| x + ( y - l ) i | = | x - l + yỉ| ; + ( y - 2ỵ = x 2 + y 2 x2 + ( y - l ) 2 = ( x - l ) 2 + y 2
y =l
z = l + i.
|x - l
3. ðặt z = x + i.y ==>z-(2 + i) = ( x - 2 ) + ( y - l ) i
=>|z-(2 + i)|=-^(x-2)2 + ( y - l ) 2 và z.z = x2+ y 2 302
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
(x - 2 ) + (y - 1)2 = 10
f 2x + y = 10 IX2 + y 2 = 25
[x2 + y 2 = 25
NH ƠN
Từ giả thiết, ta có:
íy = 1 0 -2 x íx = 3 fx = 5 , _ 1 hoăc < [x - 8 x + 15 [y = 4 ly = 0
+2
z + 2i
:+ 2|
TP
Z
= 1 I ——Ị - 1 « |z + 2| = |z + 2ii |x + 2 + yi| = |x + (y+ 2)i|
ĐẠ O
Ta có:
.Q UY
Vậy z = 3 + 4i và z = 5 là các số cẩn tìm. 4. Gọi z = X + yi.
'Mặt khác:
HƯ NG
^ Ậ x + 2)2 + y 2 = ^/x2 + (y + 2)2 x = y . |(z + l ) ( z - i)ị = 5 • » |z + l||z - i| = 5 |x + 1 + yiịịx - yi - i| ==5 Ậ
x
+
l ) 2
+
y
2 Ậ
2 +
( y
+
ì
f
=5
ẦN
o
TR
Mà x = y nên x + 1 = y + 1 , do ñó ta cỏ: (x + l ) 2 + x 2 = 5 = > x = -2 ;x = l.
2z + i
2z + i
1 + Z:
00
1+z
10
5. Giả sử z = x + yi,(x,y eM )=>z = x - y i
B
Vậy: z = - 2 -2 i; z = l + i.
( l + i) = i ( 2 z + i) = 2 i z - l < = > 2 + z - 2 i z = 0
CẤ
P2
+3
1+ỉ 1 -ỉ 1 -i «=>2 + (x + y i ) - 2 i ( x - y i ) = 0 » 2 + x - 2 y + ( y - 2 x ) i = 0 _ 2
X=
Í-
HÓ
A
Í2 + x - 2 y = 0 < o [y -2 x = 0
TO ÁN
-L
6. Giả sử z = x + yi,(x ,y e K)=ỉ>z = x - y i . f|x + y ỉ - i | = l [ |x - y i + i - l ị = 2
NG
|z - i | = l II z + i- 1 =2
x2 + ( y - l ) 2 = l
ƯỠ
BỒ
ID
( x - l ) 2+ ( y - l ) 2=4
[x2 + ( y - l ) 2 = l x=-l
z = - l + i.
303
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
7. Gọi z = X + yi => z 2 = X2 - y 2 + 2 x y .i,
z2 + |z| + 8z = 44x2 - y 2 + 8 x + ^ x2 + y z + (2 x y -8 y ).i = 44
j x 2- y 2 + 8x + 7 x 2+ y 2 =4 4
ị x 2 - y 2 + 8x + yjx2 + y 2 = 44
■
| x z + 8 x + |x |= 4 4
x = -ll;x = - - - ^ ĩ ^
|x = 4
fx = 4
.Q UY
h °
ĐẠ O
TH2:
Jy=o
HƯ NG
THI:
"( 2 y ( x - 4 ) =0
TP
|2xy-8y = 0
NH ƠN
Iz 1= yỊx +ỹ* và z - X- y.i . N ê n :
'T y2 + 1 6 = y 2 - 4 ° l y = ± 3
ẦN
V- 1 1 _ - 9 + V2 5 7 Vậy z = - l l ; z = — — ----- ;z = 4 ± 3 i.
TR
8. Cách 1: Giả sử z = x + yi,(x,y eM )=>z = x - y i .
00
B
z3 = Z (x + yi )3 = X - yi X3 - 3xy2 + (3x2y - y 3) i = X - yi [x 3- 3 xy2 = x
j x ( x 2 - 3 y 2) = x
+3
A
y =0
CẤ
x2 - 3 y 2 - l = 0
HÓ
Ịy (3 x 2 - y 2) = - y
P2
x=0
10
[3x2y - y 3 = - y
3x2 - y 2 + l = 0
x = 0,y = 0=>z = 0
x = 0,y2 = l:=>z = ±i X
= l,y = 0 => z = ±1
-L
Í-
Vậy
[email protected]ơng trình cho có 5 nghiệm z = 0, z = ±i, z = ± l .
TO ÁN
Cách 2: z3 = z Cỉ- Z.Z3 = Z.Z = |z|2 ■£>|z|4 = |zỊ2 « |z|2 (|zp - 1 ] = 0 -SS
|zf = 0
|z f-l = 0
NG
Khi Ịz|2 = 0 thì z = 0 , do ñó z = 0 là một nghiệm của ph®ơng trình z3 = Z.
BỒ
ID
ƯỠ
Khi ị z |- l = 0=í>z^0 nênph#ơngtrình z3 = z o Z.Z3 = Z.Z hay z 4 = Z.Z = 1 Ịz2 - l ) ( z 2 + 1 j = 0
z -1 = 0
z =±l
z2 +1 = 0
z = ±i
Vậy
[email protected]ơng trình cho có 5 n gh iệm z = 0, z = ± i, z = ± 1 .
304
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Hoạt ñộng 6:
2. X2 = 4y
NH ƠN
1. X= 0 hoặc y = 0 Hoạt ñộng 7: í
(l-V 3i)z'
r \
1_ K ị
.Q UY
1. z ' = Ị l + V 3 i j z + 2 = > z = - ----------- -------------------
TP
Từ |z - l | = 2 « ( l-V 3 i) z '- 6 + 2V3i =8
ĐẠ O
ðặt z ’= a + bi, (a ,b e K ), khi ây ta tìm ñ®ợc ( a - 3 ) 2 +^b —yỈ3 j = 1 6
HƯ NG
Vậy, tập hợp các ñiểm biểu diễn của số phức lậ ñoờng tròn có ph©ơng trình (x -3 )2 + (y -V 3 )2 =16.
ẦN
2. ja + ( b - l ) i | + |a + ( b + l ) i | = 4 .
10
00
B
Tập hợp ñiểm M là elip (E): — + — = 1
TR
ðặt F^.O j-l), F2(0 ;i), MF1 + MF2 =2F1Fz
+3
3. Tập hợp ñiểm M là elip (E): — + — = 1
P2
Hoạt ñộng 8:
CẤ
1. Gọi A,B lần
[email protected]ợt là biểu diễn của các số phức
A
Zj = i, z2 = —2 —3i => A (0 ;l), B (-2 ;-3 )
HÓ
Khi ñó: Ịz —i| = |z + 2 + 3i| jz —ZjỊ= |z —z2Ị^ MA = MB
-L
Í-
Vậy quỹ tích của M là ñ®ờng trung trực ñoạn AB . 3 5
E
TO ÁN
2. Gọi E ỉà ñiểm biểu diên của số phức z, = " + -ri r 12 2 Khi ñó: |2z + 3 - 5i| < 2 |2z - 2zxI< 2 |z - zxI< 1
(
3 5^
{
2 2J
EM < 1
ƯỠ
NG
Vậy quỹ tích của M là hình gồm ñ@ờng tròn tâm E bán kính R = 1 và miền trong của nó.
ID
3. ðặt z = x + y i( x ,y e R ) ; z - 3 + 4i = ( x - 3 ) + (y + 4 ) i .
BỒ
Từ giả thiết ta có: ^ ( x - 3 ) 2 + (y + 4)2 = 2 (x - 3)2 + (y + 4)2 = 4.
Tập hợp ñiểm biêu diễn các sô'phức z là (teờng tròn tâm 1(3; - 4) bán kính R = 2.
305 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
4. Gọi E,F lẩn
[email protected]ợt là biểu diễn hình học của các số phức Zj = - 4 - 3 i,
NH ƠN
?z = 3 - 2 i= > E ( - 4 ;-3 ), F(3;-2)=>EF = 5 ^ . Khi ñó: |z + 4 + 3i| + |z - 3 + 2i| = 1 0 « M E + MF = 10
.Q UY
Vậy quỹ tích của M là Elip có hai tiêu ñiểm E, F và ñộ dài trục lớn bằng 5. Hoạt ñộng 9: „ V
- y 2 + 2xy.i =
y =—
2x
9 x ---- 2 4x
+ 3i
4
c
4
X = ±1
4-x4 + 5x2 - 9 = 0
TR
4x
5
2xy =3 3 y = f2x
2x
2
4
- A
HƯ NG
X2
y
ẦN
=> z2 = - —+ 3 i« 4
2
ĐẠ O
2
x
TP
ĩ. Gỉa sử z = X + yi,x,y e M là căn bậc hai của số phức ——+3i 4
3
y-±ỉ2
3
10
00
B
Vậy ——+ 3i có hai căn bậc hai là : 1 + ^ i và —1 —-ri. 7 4 2 2
+3
-3 .- Ệ7—= - = 7 -—i.G i . Gi ỉa a s ử z = x + yi,x,y e K là căn bậc hai của sô'phức 7 —i 2 .T a c 3: ó : í------
2
3
2x
- 4
4x
x =±l
2x
5
-L
X -
9 4x 2
HÓ
o
T 2x
Í-
y
A
CẤ
P2
2 2 2 íx2- y 2=7 =>z - 7 - i o x - y +2xy.i = 7 - i < » - J I^2xy = - 1
2 -
4
4x 4 + 5 x 2 - 9 = 0
y=±ỉ' 2
TO ÁN
3 3 Vậy 7 - i có hai căn bậc hai là: l + T'i và - l - f - i . 7 2 2
NG
3. Ta có: ( l - 2 i ) 5 = 41 + 38.i.
BỒ
ID
ƯỠ
Gia sử z = x + yi,x,y e l là căn bậc hai của sô'phức 41 + 38.Ĩ =>z2 = 4 1 + 38.i
: íx 2- y 2 = 41 8 = 3 + 4i ỉà một căn bậc hai của A.
TR
5. Ta có: A = (2i + 1)2 - 4(1 - 5i) = - 7 + 24i = (3 + 4i)2
00
B
Vậy
[email protected]ơng trình có hai nghiệm: zx = i +1; z2 = - 2 - 3 i.
4. z = 3 + 4i, z = 3 - 4 i, z = 9
CẤ
Hoạt ñộng 12:
P2
3. z = —3i, z = 3 - i , z = 3 + i
2. z = 5i, z = - 2 - 5 i , z = - 2 + 5i
+3
1. z = 2i, z = —1 —2i, z = - l + 2i
10
Hoạt ñộng 11:
HÓ
A
1. t 2- ( 2 - i ) t - 2 i = 0 / (t = z2) t = 2 hoặc t = - i :=>z = ±iV2,z = ± — -(-1 + i) trình.Chia cả hai vế
Í-
2. Nhận thầy z = 0 không phải là nghiệm của ph#ơng
TO ÁN
-L
ph® ong trình cho z2 ta ñ@ợc: 2 z2 + -^ -j-7 Z+—1+ 9= 0 V zV - V z
NG
=^2t2 - 7 t + 5 = 0, í t = z + —ìt = lhoặc t = — =>z = 1 ± l ^ , Z z -2 , z -- 21 .
BỒ
ID
ƯỠ
3. 4-íz2 + - ^ -ì- ( 6 + 1 0 i ) í z - ỉ + 1 5 i- 8 = 0=>z = 2,z = - - , z = 2i,z = - i
5. Ph©ơng trình (25z2 + lo ) —(50iz + 12i)2 = 0 Ó (2 5 z 2 + 5 0 iz + 1 0 + 1 2 i)(2 5 z 2 - 5 0 i z + 1 0 - 12 i) = 0 3 07
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
25z2 + 50iz + 10 + 12i = 0
(5z + 5i)2 = - 3 5 - 1 2 i = ( l - 6 i ) 2
25z2 -5 0 iz + 1 0 -1 2 i = 0
(5z - 5 i ) 2 = -3 5 + 12Ỉ = (1 + 6i)2
Zj
-
NH ƠN
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
l-lli_ -1 + i ;z2 - 5 5
:Z4_
.Q UY
1+ l l i - 1 - i
5
TP
Hoạt ñộng 13:
ĐẠ O
1. t 4 + 6 t2 - 4 0 = 0, |^t = z + ^ - = z + 5
HƯ NG
t2 = 4 hoặc t2 = ±iVĨÕ => z = -3 ,z = -7 ,z = - 5 ± iVĨÕ 2..(z2 + l ) 2 = i2(z + 3)2
ẦN
'3. z = ± l,z = 2i - l,z = -2 i + l,z = - 3
B
TR
4. ^z2 + 2z)Ịz2 + 2z - 3) = 0
00
Hoạt ñộng 14:
+3
10
Ta có
[email protected]ơng trình f(z) = ( 2 z - i ) 4 - ( z - l ) 4 = 0
CẤ
P2
f(z) = 1 5 ( z - z 1) ( z - z 2) ( z - z 3) ( z - z 4) + 1 = ( z a - i ) ( Zl + i) => p =
A
Vì
Í-
HÓ
Mà f(i) = i4 - ( i - l ) 4 =5; f ( - i ) = (-3 i) 4 - ( i + l ) 4 = 8 5 . Vậy p = — .. 9
-L
Hoạt ñộng 15:
TO ÁN
4. ð ặ tz = a + bi (a, b e R ) . Khi ñó |z - 4 + 3i| = 3«|(a-4)+:j(b+ 3)i| = 3 (a-4)2 +(b+3)2 = 9 . Do ñó các ñiểm M biểu diễn sô'phức z thoả mãn bài
NG
toán nằm trên ñoàng tròn (c) tâm 1(4;-3) và bán kính R = 3
BỒ
ID
ƯỠ
|z| ñạt giá trị nhỏ nhâ't khi và chỉ khi ñiểm M s (c) và gần lo nhất.
Khi ñó M .là giao ñiểm của (c ) và ñ@òng thẳng 01, với M là giao ñiểm gần 0
hơn và 0I = ^ 4 2 + ( - 3 ) 2 =5 K ẻM H XOx. 308
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
, MH OM O I-R 5-3 2 WI, 6 Theo ñịnh lí talet, ta có: ——= — ‘= ——-— = ------- = — MH = — 3 OI 5 5 5 5 r , OH^OM nu _4 Lại có: - - — => OH = — 2 OI 5 4 6. Vậy, số phức cần tìm là z = —+ —i
.Q UY
NH ƠN
_
5. ðặt z = a + bi (a, b e K ). Khi ñó | z - l - 2 i | = 2 o ( a - l ) 2 + ( b - 2 ) 2 = 4
TP
Vậy, tập họp ñiểm M là cN>òng tròn: ( x - l ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 có tâm I(l'2)
ĐẠ O
ð@ờng thẳng OI có phsong trình: y = 2 x . chỉ là 1 trong 2 giao ñiểm ñ@ờng thẳng 01 với (c ).
ẦN
z = 1 — 7=1 + . V5
HƯ NG
|z| ñạt giá trị nhỏ nhâ't khi và chỉ khi ñiểm M e (c) và gần 0 nhâ't, ñiểm ñó
TR
6. Giả thiết suy ra: b = - a + 4
00
B
Tập hợp ñiểm M biểu diễn các số phức z là ñ®ờng thẳng b = - a + 4 Mặt khác |z| = Vã^~+Ĩ? =
10
> 2 V2 .
P2
+3
|z| . = 2 ^ 2 khi (x;y) = (2;-2)=> z = 2 - 2 i .
CẤ
Hoạt ñộng 16:
-L
Í-
Do z =1=> 1 -Z < 1 + z = 22à à 1 + Z3
IV o
HÓ
A
1. Ta có: 1 + Z + 1 + z + z" < 1 + z 3 + 1 + z + z 2 = 5
NG
TO ÁN
l + z3H-|l + z + z2| = |l + z3 +
ịl-z |
> ỉ | l + z3 + ỉ l - z 3
2
2
> ỉ l + z3 + l - z 3 = 1 . 2 Z.Z
= |z|2
ID
ƯỠ
2. Dễ dàng chứng minh ñ@ợc:
1-Z 3
1+Z3Ị > -Ị i+ Z 3 1 2'
BỒ
K + z 2|2 +Iz l - z 2|2 = ( z l + z 2 ) ( z i + z 2 ) + ( z l - z z ) ( z i - z 2)
= |z jf + Z ị Z 2 + Z2Z! + |z2|2 + ịZl|2 - ZlZ2 -ZjZ! + ịz2ị2 =
+ ịz.
309
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
J2 ' ‘ và z2 + l 0 ,y > 0
TO ÁN
Nhân phương trình ñẩu cho \Ỉ3, phaơng trình sau cho sô' ảo i , rồi cộng 2 vế ta ñ®ợc 'J3x + J ỹ i -----^ — ịy f 3 x - J ỹ i ) = 2yỈ3+6i (*) y + 3x' '
12
Z - —
z
= 2>/3+6i, phoơng
ƯỠ
NG
ðặt Z = yj3x + j ỹ i , ph®ơng trình (*) trở thành:
BỒ
ID
trình này
[email protected]ơng ñ@ơng với z2 - ( 2 V3 + 6 ijz -1 2 = 0 z = 3 + -v/3 + Ị3 +V3ij Ị
I—
\
V ớ iz = 3 + V 3+ 3 + V3Ĩw v '
ÍV3x = 3 + 7 3
[V y = 3 + V3
íx = 4 + 2^3
1.!_\_ (y = 12 + 6 ^
310 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
H o ạ tñ ộ n g l Q : ð ể ý c o s5 x + is in 5 x = (c o sx + is i n x ) 5
1. Suy ra cos5x = coss x - 1 0 c o s 3xsìn 2x + 5 co sx sin 4x
NH ƠN
2. Suy ra sin5x = 5sinx.cos4 x - 1 0 s in 3xcos2x + sin5x Hoạt ñộng 22: ft
..
K
u
.Q UY
Ph© ong trìn h ñ ặ c
[email protected] c ủa d ã y s ố ñ ã cho X2 - X + 1 = 0 có 2 n g h iệ m p h ứ c là
. . n
_
A
Tí
A
2lĩ u n = 0 = A.COS—- + B .sin — 0 3 3 n
tức
b V3
2+
2
A = 1
HƯ NG
ít
-A+ỉ â =o 2 2
3
ẦN
. _
u, = 1 = A.cos-r- + B.sin — 1 3 3
ĐẠ O
TP
X, =cos—‐ i s i n —, X, = cos— + isin^‐,nên 1 3 3 2 3 3 ĨÌK rm u = l n A.COS-— + B.sin , Vn e F f . Vì ux = 1, u2 = 0 nên c ó 1 3 3
TR
n71 V3 . ntt w ... Suy ra un = cos——+ ——.sin— , V n e N V3
00
P2
+3
10
nn COS— +
B
. n7ĩ .sin— < . 1 + , V neN * tức (u n) bị chặn. 1 3 3 3 I3J í D. BÀI TẬP T ự LUYỆN. Bàỉ tập 1: Xác ñịnh phần thực và phần ảo của các sô' phức: Vậy, |u^
33
2. z = -^ 1 4 + 5i
A
1+ 1
CẤ
1. z = (3 + 5 i) ( 4 - 6 i)
1. z = ( 2 - 3 i)( 3 + 2i)
3. z = ( l + i)2 - ( l - i ) 2
TO ÁN
-L
Í-
HÓ
+ ( l - i ) 10 + (2 + 3 i)(2 -3 i) + T 1 -iy Bài tập 2: Xác ñịnh phẩn thực và phần ảo của các số phức:
3. Z -
M M
NG
1 —2i 4 . z = 2. z = 3 + 21 4 + 3i Bài tập 3: Tìm các sô' thực x,y sao cho z = z ', biết rằng:
ƯỠ
z = (4x + 5) + (2 y + 7 )i, z ’ = ( 4 y - 5 ) - ( 7 x + 2 ) i .
BỒ
ID
Bài tập 4: Cho z = 2x2 - 3 x + l + ( x - l ) ( y - 3 ) i với x,y là các sô'thực. Tìm x,y sao cho: 1. z là sô'thực.
2. z là thuần ảo và |z| = 4
3. z = 6 + 5i 311
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 5: Cho z = 3y2 —5y + 2 - ( x + l ) ' ( ý - l ) i với x,y là các sô'thực. Tìm x,y sao cho: 2. z là thuần ảo
3. z = 2 + 3i
Bài tập 6: Tính |z| biết: 2. —
3.
=»2i M-3
/
-
(V3i + l )
\2 0 0 9
+ (v 3 i-l)
là số thuần ảo.
iV sj là sô’thực.
HƯ NG
3. z = ^2 + i\/5 j
i-1
ĐẠ O
2.
\2 0 0 9
f—
3z + 2
TP
Bài tập 7: Chứng minh rằng: /- .\2010 .\2010 A 1 1 .( l- i) + ( l + i) ỉà một số thực /
z - 1 _ 3i + 2
.Q UY
Z+1
1. ( 3 i - l ) z = ( 2 i + l )
NH ƠN
1. z là sô' thực.
í 19 + 7 iY f2 0 +5 iY ỉà số thuần ảo. \ 9 —i ) { 7 + 6i ) Bài tập 8: Tìm sô' phức z thỏa mãn: I. z - 5 + 7i = 2 - i 2. 2 + 3i + z = - 5 - i z 3. z(2 + 3i) = 4 + 5i 4. -= 3 + 2i - l + 3i 2+i —1 + 3i 6. 2 z (l —i) = 2 iz(l 5. ——z = 1 -i 2+ i Bài tập 9: Thực hiện các phép tính: Z-
P2
+3
10
00
B
TR
ẦN
4.
CẤ
(2 + i)S+ ( 2 - i ) 3 A=-
B=
HÓ
•\2010
D = ( l + i) + ( l + i) + ...+ ( l + i)
Í-
c = i+i2+...+i2009
N.2009
2 - Vã
A
,\3
1 + 3731
-L
Bài tập 10: Thực hiện phép tính: ( l + 2i)2 - ( l - i f
( 3 - 2 i ) [ ( 4 + 3 i) - ( H - 2 i) l
TO ÁN
1.
5 -4 i
(3 + 2i)3 - ( 2 + i)2
ƯỠ
NG
3. 3|z + i| = |z + z - 3 i|
BỒ
ID
5. V 2^cosl8°+ isin l8 ° j 7. 2 —i1 + i2 + ... + Ĩ2011
8. z =
i + 2i + 3i + ... + 2 0 1 1 i
312
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 11: Thực hiện phép tính: A _ 1 f;7 • A = — V - 41
i7 J
B=
NH ƠN
2il
ì
.Q UY
+ ( l - i ) 10+(2 + 3i)(2-3i) + y
A
+Ấi)
+ ( 1 -_ ii)2009 ) 2 0 0 9_- /(i105 i105+ 23+ 2 0 -_ + (1 + ii23 + ii20
i34)
ĐẠ O
D=
TP
+ ( l - i ) + ( l - i ) 2 + ( l - i ) 3+... + ( l - i ) 20
HƯ NG
Bài tập 12: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn ñiều kiện: 2. z - z + 1 - i = 2
1. l < | z - l | < 2
4. 2 | z - i | = | z - z + 2 i |
ẦN
3. l < | z + l - i | < 2
TR
Bài tập 13: Tìm tập hợp các ñiểm M biểu diễn các số phức z = X+ yi thỏa mãn
B
[0 < x + y < l
ñiều kiện:
10
00
[y < -x 2+ l
+3
Bài tập 14: Cho ũ, V là biểu diễn của hai sô' phức 1 + 3i và 3 —2i
P2
1. 3u + 2v ; 5u - 3v biểu diễn những số phức nào? Gọi A1(A2 ,A3,A4 lẩn
[email protected]ợt là biểu diễn hình học của các sô' phức
A
Bài tập 15:
CẤ
2. Gọi X là biểu diễn của số phức 6 + 4 i. Hãy phân tíqh X qua u, V.
HÓ
zx = l + 3i, z2 - - 3 + 2Ĩ, z3 = 5 -1 , z4 = 4 + 5i.
Í-
1. Tính ñộ dài các ñoạn kỵh. 2, h-ih-3, AXA4
-L
2. Tìm SỐphức có biểu diễn là ñiềm M sao cho A1A2A4M là hình bình hành.
TO ÁN
Bài tập 16: Cho hai s ố phức Zj ,z2 . Chứng minh rằng: \ z xI- |z21| < ịz1 + z21< |zj I+ \z21.
ƯỠ
NG
Bài tập 17: 1. Hãy giải các
[email protected]ơng trình sau trong tập c b. Ịz2 + ij(z2 - 2 i z - l ) = 0
ID
a. X2 - ( 3 - i ) x + 4 - 3 i = 0
BỒ
2. Giải các phơng trình sau với ẩn là z a. z + z = 0
b. [ ( 2 - i ) z + 3 + ijỊte + -Vj = 0 313
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
3. Giải các hệ phương trình sau: ị z 1+ z2 = 4 + i \z ị + z ị = 5-2í
Z -1 2
5
z2009 + z2010 + 1 = 0
, Z -4
= r và ----- - =1 z-8i 3 Z -8
.Q UY
c. —
+ 2z2 + 2z + 1 —0
b.
NH ƠN
,
Bài tập 18:
TP
1. Cho các sô' phức zj;z2 thỏa mãn ñiều kiện
HƯ NG
ĐẠ O
Ịzt Ị= ịz2j = 10 và |5zt - 5 z 2Ị= V2 0 1 2 . Hãy tính Q = |4z1+3z2Ị.
ẦN
2
ị
Tìm sô'phức z có phẩn thực lớn nhất thỏa mãn: jz| + 20 ——-—- = 3v5 . z+2+ i
2.
Tìm số phức z thỏa mãn ñồng thời thỏa 2 ñiều kiện: |z| = |z + 4 —3i| và biểu
00
B
TR
1.
+3
= i; ( l - i ) 2 = -2 i =>z = i33+ ( -2 i) 5+ 1 3 - Ĩ = 1 3 -3 2 Ĩ
CẤ
3. Ta có: —
P2
E. HƯỚNG DẪN GIẢI. Bài tập 1:
10
thức A = ịz +1 - i| + |z - 2 + 3i| có giá trị nhỏ nhất.
HÓ
A
=> Phần thực của z bằng 13, phần ảo của z bằng - 3 2 . CM ý. Khi gặp các bài toán yêu cẩu tính Zn với n là số tự nhiên khá lớn thì ta ñi
Ta có z
BỒ
ID
ƯỠ
NG
2
TO ÁN
-L
Í-
tính các lũy thừa nhỏ hơn ñể tìm quy luật của zn. Bài tập 2: 1. Ta có z = 6 + 4 i - 9 i + 6 = 1 2 - 5 i phần thực của z bằng 12, phần ảo của z bằng —5. íĩ- ĩK ! z ĩ)
(3 + 2 i ) ( 3 - 2 i )
- 1 + 81 - 1 + 8i 1 I 8 | 32 - ( 2 i ) 2 13 13
13
1 => Phẩn thực của z bằng ——, phần ảo của z bằng — .
8
3. Ta CÓI z = 1 + 2Ỉ + —1 + 2Ỉ — = 4i Phẩn thực của z bằng 0 , phần ảo của z bằng 4. 4.
Ta có:
(2
+ i )3 = 2 3 + 3 . 2 2.i + 3.2.i 2 + i 3= 2 + l l i
314
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
« ( 2 + !)s ( l - i ) = 13 + 9 i « z = Í H Ị ! ^ í ^ = Z ! - i . i (4 + 3 i)(4 -3 i)
25
25
® • Với V U I y = 3= >z == 2x2 - 3 x + l
- M
+
I
HƯ NG
í 2x2 - 3x + 1 = 0 X= Ậ 2. Ta có z là thuần ảo 4 s, s 2
Ị(x-l)(y-3)*0
ẦN
TR
í =-
2 hoặc •
là những những cặp cặp cẩn cẩn tìm tìm .. 22 là
B
=-
00
' Vậy ■
ịy / 3
(y - 3 ) i => jz| = —ịy—3j => ịz| = 4 o |y -3 ị = 8 y = 1 l;y = - 5 .
liy y -= - 3
ỵ =l l
10
Khi ñó: z =
ĐẠ O
ì 79 « 3 => Phân thực của z bang — , phần ảo của z bằng — —■. 25 25 Bài tập 4: X= 1 1. Ta có z làsốthự c o ( x - l ) ( y - 3 ) = 0 y=3‘ • Với X = 1 => z = 0
NH ƠN
'
.Q UY
; v
TP
v
+3
Í2 x 2 - 3 x + 1 = 6 3. Ta có: z = 6 + 5ií
t(x - l ) ( y - 3) = 5
Í-
HÓ
A
CẤ
P2
j(x - l) ( y - 3) = 5
Í2x 2 - 3 x - 5 = 0
TO ÁN
-L
Bài tập 6:
NG
2. Tacó: ^ - i i = 2i + 3z + l = (2i + 3 ) ( z - 2 ) o ( 2 + 2 i)z = 7 + 4i
2 + 2i
4 4
114
ID
ƯỠ
7 + 4i 11 3 . VĨ3Õ => z = ' —_ - = —i => z = —— .
BỒ
Bài tập 7: 1. ðặt z = l + i = » z = 1 - i và Zj = ( l + i)2010 = z 2010 =>Zị = z 2010 = ( z j 0 /„
.\2010
/„
.\2010
+ ( l + i)
_
— ,,
„ ,
= z 1+ z 1 là số thực
= (l-i)
ñpcm. 315
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
Bài tập 9:
*
NH ƠN
Ta có: ( 2 + i)3 = 2 + l l i ; ( 2 - i )3 = 2 - l l i
, 2 + 11Í + 2 - 1 U _ 4 2 . A = ---:---- -- ------ = ----------------- —i.
2 +llí-(2 -lli)
2.
22i
11
ð ă t z = 1 + 3 ^ - = - l + V 3 i = > a 2 f c - 2 ( l + V 3 i)
2 - v3i
v
.Q UY
1 .
'
ĐẠ O
TP
^>z3 = z2.z = - 2 ( 1 - V3ĩ)(l-f-V3í) = —8 =>B = z2009 = (z3)
,z2- (-8)669 - 2(1 + Vãi)" = 22008(1 + Vãi).
HƯ NG
3. Áp dụng công thức tính tổng của câ'p sô' nhân, tạ có:
c = i— - — = I-— = :i. 1 -i 1 -ỉ 4. Áp dụng công thức tính tổng của câp số nhân, ta có: (. .>.2010 /. .\2010 „ D. ( l t l ) ĩ d ^ r _ 1 , i = ( l + i ) í í ± j£ ! z í _ 1. i . v ’ l - ( i + l) 1 ’ i
B
TR
ẦN
r _ ; l - i 2009 _ : l - i
10
1 ) ( 2 1005 i -
1 ) - 1 - i = 2 100S i + 2 1005 - 2 .
+3
= > D = - i (ỉ +
00
Mà (1 + i)2 = 2i => (1 + i)2010 - (2i)1005 = 21005.i1004.i = 21005.i
1. Tacó:
= (l;3 ), v = {3;-2)
CẤ
ũ
P2
Bài tập 14:
Suy ra: 3u + 2v = (9;3) ỉà biểu diễn cửa sô'phức 9 + 3i
HÓ
A
5u —3v = ( - 4 ; 2 l) là biểu diễn của sô'phức - 4 + 2ỈỈ.
TO ÁN
-L
Í-
« -T. ' ^ fm + 3n = 6 2. Ta có: X= (6 ;4 ). Giả sử x = m.u + n.v => ■/2
BỒ
AxA4 = |z 1- z 4ị = VĨ3
316,
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
2. Gọi z là sô'phức cẩn tìm. Ki ñó: AjM và A2A4 lẩn
[email protected]ợt là biểu diễn của các
NH ƠN
p h ứ c z - Z1 v à z 4 - z 2
í
TP
.Q UY
Aj A2A4M là hình bình hành A ]^ = A2A4 z —z x = z4 - z2
=>OM = |z1|,ON =ịz2| và PO = Ịz1 + z 2|
HƯ NG
ĐẠ O
Ta có: |zt + z 2| = OP A = ^(x + 1)2 + (y - 1)2 + Ậ x - Z ) 2 + ( y + 3)2
ƯỠ
Xét E ( - l; l ) , F (2;-3) và M(x;y^
BỒ
ID
Bài toán trở thành: Tìm ñiểm M ( 1UỌC ñ@ờng íhẳng 8x + 6y + 25 = 0 sao cho ME + MF nhỏ nhâ't.
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
ẳự >
CHUYÊN ðỀ II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM s ố LOGARIT.
Jt I
.Q UY
Bài 1: LOy thừa, Iogarit
NH ƠN
* y (tu G
Chủ ñê' 1: Tính giá trị biếu thức, rút gọn ................................................................................ 8
TP
Chủ ñề 2: Chứng minh dẳng thức, bâ't dẳng thức ............................................................... 10
ĐẠ O
Bài 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
Chủ ñê' 1: Tập xác ñịnh của hàm số........................................................................................23
HƯ NG
Chủ ñê' 2: Tính giới hạn và ñạo hàm .....................................................................................24 Chủ ñê' 3: ứ n g dụng, chứng minh ñang thức - bất ñẳng thức.........................................26 Bài 3: Phương trình, bất phương trình mũ
ẦN
Chủ ñề 1: Biến ñổi, quy vể cùng cơ s ố ...................................................................................43 ......................................................................................................... 44
TR
.-’Chú ñê'2: ðặt ân phụ
Chủ ñê' 3: Logarit h ó a ............... ..............................................................................................47
00
B
Chủ ñê' 4: Biến ñổi phương trình vê' dạng tíc h .....................................................................49
10
Chú ñ ề 5: Phương pháp ñổ t h ị ...............................................................................................49
+3
Chủ ñề 6: Sử dụng tính dơn ñiệu cùa hàm s ố ......................................................................50
P2
Chú ñề 7: Phương pháp lượng giác hóa ...............................................................................53
CẤ
Chủ ñê' 8: Tìm tham số thực m thóa mãn ñiểu kiện / cho trước ................................... 53 Chủ ñ ể 9: Giải bất phương tr ìn h ............................................................................................54
HÓ
A
Bài 4: Phương trình, bất phương trình Iogarit Chủ ñ ẽ 1: Biến ñối, quy vê' cùng cơ s ố ...................................................................................77
Í-
Chù ñê' 2: ðặt ẩn phụ .............................................................................................................. 82
-L
Chủ ñề 3: Logarit h ó a .............................................................................................................. 85
TO ÁN
Chù ñê' 4: Biến ñổi phương trình vê' dạng tíc h .....................................................................85 Chủ ñề 5: Phương pháp ñổ t h ị .................. !..................................................... ......................86
NG
Chủ ñề 6: Sừ dụng tính ñơn ñiệu của hàm s ố ......................................................................87 Chủ ñê' 7: Dùng hàm số logarit làm ẩn s ố ............................................................................88
BỒ
ID
ƯỠ
Chủ ñ ề 8: Tìm tham số thực m thỏa mãn ñiểu kiện l cho trước ................................... 89 Chủ ñê' 9: Giái bât phương tr ìn h ............................................................................................ 91
Bài 5: Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit Chù ñề 1: Phương pháp thế, biến ñổi vê'hệ ñại số.............................................................126 Chủ ñề 2: Phương pháp hàm sô'...........................................................................................132
318 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
CHUYÊN ðỀ III:
NH ƠN
CÁC VẤtỊl ðỀ LIỀN QUAN NGUYÊN HÀM, TÍCII PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: Nguyên hàm
Chủ ñê' 1: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tí c h ...............................................153
.Q UY
Chủ ñ ể 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp ñối bicn sô’.............................................ĩ 57
Chủ ñề 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp lừng phần .............................................164
TP
Bài 2: Tích phân
ĐẠ O
Chủ ñê' 1: Tìlm tích phân bằng phương pháp phân tích ................................................... 178 Chủ ñ ề 2: Tìm tích phân bằng phương pháp ñổi biến sô '......... ........................................ 183
HƯ NG
Chủ ñề 3: TìỊm tích phân bằng phương pháp từng p h ầ n ...................................................193 Chù ñ ề 4: Tích phân ñặc b iệ t................................................................................................. 199 Bài 3: ứ n g dụrig tích phân
ẦN
Chủ ñề 1: Diện tích hình phẳng giới h ạ n .............................................................................244
TR
Chủ ñ ề 2: Thể tích hình phẳng giới hạn ..............................................................................247
00
B
CHUYÊN ðỂ IV:
10
SỐ PHỨC
+3
Bài 1: Số phức
P2
Chủ ñề 1: Phép tính sô' phức và các bài toán ñịnh tính .................................................... 268
CẤ
Chủ ñê' 2: Biểu diễn hình học cúa số phức và ứng d ụ n g .................................................. 275 Bài 2: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
HÓ
A
Chủ ñê' 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc h a i........................................... 279 Chủ ñ ề 4: Phương trình quy vê' phương trình bậc h a i...................................................... 282
-L
Í-
Chù ñ ể 5: Cực trị của số phức ............................................................................. .................282 Bài 3: Dạng lượng giác của số phức và ứng ñụng
TO ÁN
Chủ ñê' 6: Dạng lượng giác của số phức ............................................................................;286
BỒ
ID
ƯỠ
NG
Chú ñ ề 7: ứ n g dụng số phức giải hệ phương trìn h ...........................................................290
319
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON
WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON
SÁCH PHÁT HÀNH TẠI
NH ƠN
* H Ệ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊ U T H Ị CỦA CÔNGTICữPHẤNVÃHhóa bu lịch EIALAITRẼNTOÁNquốc * H Ệ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊ U T H Ị CỦA
NS M INH TKÍ - 103 Lý Thái Tổ
QUÀNG NGÀI: NS TRẦ N QUỐC TUẤ N - 526 Quang Trung
TP
ðÀ NẴNG:
.Q UY
CÕNGTIcắ PHẨNVÃNHÓAPHIÍtiNCNAMTRẼNTOADQUỐC
CÔNG TY C P P H S - 34 - 36 Thống N hất - Nha Trang
ĐẠ O
NHA TRANG:
S IÊ U T H Ị TÂN T IẾ N - 11 Lê Thành Phương
BÌNH THUẬN: NS HƯNG ðẠO - 328 T rần Hưng Dạo - TP. Phan T hiết NS KIM NGẤN - 88 Cách Mạng Tháng Tám - TP. Biên Hòa
VỮNG TÀU:
NS ðÔNG HẨỊ - 38 Lý Thường Kiệt
HƯ NG
ðỔNG NAI:
NS ABC - 204 Bình Giã
CÔNG TY SÁCH T BTH - 40B Hùng. Vương
DAKLAK:
NS GIÁO DỰC - 19 Trường Chinh
ẦN
GIA LAI:
TR
NS LÝ THƯỜNG K IỆ T - 55 - 57 Lý Thường Kiộtì CỐNG TY C P SÁ CH TBTH - 129 Phan ðình Phùng
LÂM ðỒNG:
CÔNG TY CP SÁ CH TBTH - 09 Nguyễn Văn Cừ - ðà Lạt
DĂK NÔNG:
NS GIÁO DỤC - 30 T rần Hưug ðạo - Gia Nghĩa
TÂY NINH:
NS VÃN NGHỆ - 295 ðường 30 tháng 4
LONG AN:
CÔNG TY PH S - 04 Võ Văn Tần - TX. Tân An
TIỀN GIANG:
CÔNG TY C P SÁ CH TBTH -.2 2 Ilùng Vương - TP. Mỹ Tho
CÂN THƠ:
CÔNG TY C P SÁCH TBTH - 132 Dường 30 tháng 4
CẤ
P2
+3
10
00
B
KONTUM:
NS HỒNG ÂN - 94 Xô Viết Nghệ Tĩnh CÔNG TY SÁCH TBTH - 50 Nguyền Thái Học - TX Vị T hanh
ðỔNG THÁP:
NS V IỆ T HƯNG - 200 Nguyễn Huệ - TP. Cao Lãnh
BẾN TRE:
CÔNG TY CP SÁ CH TBTH - 03 Dồng Khởi
HÓ
Í-
NS T R Ẻ - 41 Trần Hưng ðạo
-L
SÓC TRẢNG:
A
HẬU GIANG:
NS TRANG - 112 Nguyền Thị Minh Khai
TO ÁN
BẠC LIÊU:
NG
KIÊN GIANG:
BỒ
ID
ƯỠ
CÀ MAU:
CÔNG TY C P SÁCH TBTH - 59 Lý Thường Kiột - Phường 3 TRUNG TÂM P H S - 57 Hoàng Văn Thụ NS ðỔNG H ồ I - 98B T rần Phú - Iỉạch Giá NS ðÔNG H ồ II - 989 Nguyền Trung Trực - Rạch Giá CÔNG TY C P SÁ CH TBTH - 26 - 28 Lô Lợi - Phường 2
BÌNH DƯƠNG: NHÀ SÁCH 277 - 518 Cách Mạng T háng Tám - Thủ Dầu Một AN GIANG: ■NS TH Ư QUÁN - 3/5 Tôn ðức Thắng - TP. Long Xuyên NS THANH K IÊN - 496 Võ Thị Sáu - Tl>. Long Xuyên TT VÃN HÓA TỔN G H Ợ P - 1 5 - 1 7 Iíai Bà Trưng SÁCH CÓ BÁN LỄ TẠI CÁC CỬA HÀNG SÁCH T R Ê N TOÀN QUỐC
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON